2016年全国高考导数压轴题汇编
2016年全国各地高考数学分类汇编-04 导数及其应用
2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（04导数及其应用）一、选择题1.（2016全国Ⅰ文）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1- （B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】C考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.2.（2016山东文、理）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ） （A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A 【解析】试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当sin y x =时，cos y x '=，有c o s 0c o s 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,xy x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A. 考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.3. （2016四川文）已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =（ ） (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D【解析】试题分析：()()()2312322f x x x x '=-=+-，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 极小值为()2f ，由已知得2a =，故选D.考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点，4.（2016四川文、理）设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围. 【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．二、填空1.（2016全国Ⅱ理）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 【答案】1ln2-考点： 导数的几何意义.【名师点睛】函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的不同．2.（2016全国Ⅲ文）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________. 【答案】2y x =考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．3.（2016全国Ⅲ理）已知()f x 为偶函数，当0x <错误！未找到引用源。
2016年高考数学理真题分类汇编：导数及其应用
2016年高考数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A2、（2016年全国I 高考）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为【答案】D二、填空题1、（2016年全国II 高考）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln 2-2、（2016年全国III 高考）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程 是_______________。
【答案】21y x =--三、解答题1、（2016年北京高考） 设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+， （1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间.【解析】 （I ）()e a x f x x bx -=+∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=-∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间.2、（2016年山东高考）已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【解析】(Ⅰ) 求导数322)11(=)(′x x x a x f －－－ 322)(1(=x ax x )－－当0≤a 时，(0,1)∈x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈+∞x ，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；当0>a 时，3322+(2)(1(=2)(1(=)(′x ax a x x a x ax x x f ))－－)－－（1） 当＜２＜a 0时，1>2a， (0,1)∈x 或),(∈+∞2a x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (2) 当２=a 时，1=2a， )(0,∈+∞x ，0≥)(′x f ，)(x f 单调递增， (3) 当２>a 时，1<2<0a， )(0,∈ax 2或∞)(1,∈+x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， ,1)(∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (Ⅱ) 当1=a 时，212+ln =)(x x x x x f －－，32322+11=2)(1(=)(′xx x x x x x f 2－－)－－于是)2+1112+ln =)(′)(322xx x x x x x x f x f 2－－－(－－－，－1－1－322+3+ln =xx x x x ，]2,1[∈x令x x x ln =)g(－ ，322+3+=)h(xx x x －1－1，]2,1[∈x ， 于是)(+(g =)(′)(x h x x f x f ）－， 0≥1=1=)(g ′xx x x －1－，)g(x 的最小值为1=g(1)；又42432+=+=)(h ′x x x x x x x 6－2－362－3－设6+23=)(θ2x x x －－，]2,1[∈x ，因为1=)1(θ，10=)2(θ－， 所以必有]2,1[0∈x ，使得0=)(θ0x ，且0<<1x x 时，0>)(θx ，)(x h 单调递增； 2<<0x x 时，0<)(θx ，)(x h 单调递减；又1=)1(h ，21=)2(h ，所以)(x h 的最小值为21=)2(h ． 所以23=21+1=)2(+1(g >)(+(g =)(′)(h x h x x f x f ））－． 即23)()(+'>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立．3、（2016年四川高考）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （I ）讨论f (x )的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得f (x ) ＞-e 1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。
高考导数压轴题---题型三极值最值型(精编完美版)
题型三极值最值型1.求函数的极值必背结论一极大值极小值⑴在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值；⑵在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值；⑶极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。
注：①极值是局部概念，只能反映在某一点附近的大小状况.②在定义域或某区间上，极值可以不止一个，也可没有.③极大值不一定大于极小值.④极大值与极小值交替出现.⑤极值只能出现在区间的内部，不会出现在区间端点。
必背结论二极值的判定一般的，当函数y=f(x)在x0处连续时⑴如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)为函数的极小值；⑵如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)为函数的极大值；注：①导数为0的点不一定是极值点，例如y＝x3在x＝0处的导数是0，但它并不是极值点.②对于可导函数，极值点的导数必为0.③函数导数不存在的点也可能是极值点.例如y＝|x|在x＝0处取得极值，但导数不存在.例1.函数f(x)＝3e x3＋4x²，求f(x)的极值点.解：f(x)的定义域为Rf′(x)＝3e x(3＋4x²－8x)(3＋4x²)²＝3e x(2x－1)(2x－3)(3＋4x²)²令f′(x)＝0，则x1＝12，x2＝32∴f(x)的极大值点为x＝12，极小值点为x＝32.例2.求f(x)＝x3－3x²－2在(a－1，a＋1)(a＞0)内的极值. 解：f(x)的定义域为Rf′(x)＝3x²－6x＝3x(x－2)令f′(x)＝0，则x1＝0，x2＝2f(x)在(a－1，0)上递增，在(0，a＋1)上递减，∴f(x)有极大值f(0)＝－2，无极小值⑵当a－1＝0即a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)递减，无极值.⑶当0＜a－1＜2即1＜a＜3时，f(x)在(a－1，2)上递减，在(2，a＋1)上递增，∴f(x)有极小值f(2)＝－6，无极大值⑷当a－1≥2即a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)递增，无极值.综上所述：当0＜a＜1时，f(x)有极大值f(0)＝－2，无极小值当1＜a＜3时，f(x)有极小值f(2)＝－6，无极大值当a＝1或3时，f(x)无极值.例3.f(x)＝x²－1－2alnx(a≠0)，求f(x)的极值.解：f(x)的定义域为(0，＋∞)f′(x)＝2x－2ax＝2(x²－a)x⑴当a≤0时，f′(x)＞0，∴f′(x)在(0，＋∞)上递增，∴f(x)无极值⑵当a＞0时，若x∈(0，a)，则f′(x)＜0，f(x)在(0，a)递减，若x∈(a，＋∞)，则f′(x)＞0，f(x)在(a，＋∞)递增，∴f(x)极小值＝f(a)＝a－1－alna，无极大值.综上所述：当a≤0时，f(x)无极值，当a＞0时，f(x)极小值＝a－1－alna，无极大值.例4.f(x)＝ln(x＋1)＋a(x²－x)，讨论f(x)极值点的个数.解：f(x)的定义域(－1，＋∞)f′(x)＝1x＋1＋a(2x－1)＝1＋a(2x－1)(x＋1)x＋1＝2ax²＋ax＋1－ax＋1⑴当a＝0时，f′(x)＝1x＋1＞0，f(x)在(－1，＋∞)递增，f(x)极值点个数为0⑵当a＞0时，△＝a²－8a(1－a)＝9a²－8a＝a(9a－8)①当△≤0即0≤a≤89时，f′(x)≥0，∴，f(x)在(－1，＋∞)递增，f(x)极值点个数为0②当△＞0即a＞89时，f(x)在(－1，x1)递增，在(x1，x2)递减，在(x2，＋∞)递增，∴f(x)极值点个数为2.⑶当a ＜0时，△＞0，，f (x )在(－1，x 2)递增，在(x 2，＋∞)递减，∴f (x )极值点个数为1.综上所述：当0≤a ≤89时，f (x )极值点个数为0，当a ＜0时，f (x )极值点个数为1，当a ＞89时，f (x )极值点个数为2.2.求函数的最值 必背结论三 最大值，最小值⑴函数f (x )在区间[a ，b ]的最大值点x 0是指：∀x ∈[a ，b ]，都有f (x )≤f (x 0)，最大值在极大值点取得，或者在区间的端点取得.⑵函数f (x )在区间[a ，b ]的最小值点x 0是指：∀x ∈[a ，b ]，都有f (x )≥f (x 0)，最小值在极小值点取得，或者在区间的端点取得.注：最值点不一定为极值点，极值点也不一定是最值点，当定义域为开区间时，最值一定是极值。
历年高考数学导数压轴题
历年高考数学导数压轴题
1. 2017年高考数学导数题：
①已知函数f(x)的导数是g(x)，若g(x)的导数等于函数f(x)的二阶导数，求f(x)的表达式。
解：令数列{y，y’，y”}表示函数f(x)的值与其一阶导数与二阶导数，
令数列{u，u’}表示函数g(x)的值与其一阶导数，那么依据题意有：
u’=y”，u=y’，由于积分的连续性，可得函数f(x)的表达式：f(x)=xu-
1/2∫udu+φ(x)，其中φ(x)是任意可导函数。
2. 2018年高考数学导数题：
①已知函数f(x)在(-1,1)上有关于x的二阶导数存在且满足f'(-1)=f'(1)，
求f(x)的一般形式。
解：由题意可知f'(-1)=f'(1)，即函数f(x)在(-1,1)处有极值，f”(x)存在于(-1,1)，根据可导多次函数的性质，在(-1,1)处函数f(x)可表示为：
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，其中a、b、c、d均为常数，求出常数a、b、c
值可得f(x)的一般形式。
3. 2019年高考数学导数题：
①已知函数f(x)的导数为2x-1，求f(x)的一般形式；
解：令y=f(x)，则有y’=2x-1，由积分的连续性，可得y=x^2-2ln|x|+C，其中C为任意常数，即f(x)=x^2-2ln|x|+C。
2016年全国高考导数压轴题汇编
2016 全国各地导数压轴题汇编1、（ 2016 年全国卷Ｉ理数）已知函数f ( x) (x 2)e x a( x 1) 2有两个零点（I ）求 a 的取值范围（II ）设 x1, x2是 f ( x) 的两个零点，求证：x1x2 22、（ 2016 年全国卷Ｉ文数）已知函数f ( x)(x2)e x a( x 1)2（I ）讨论 f (x) 的单调性（II ）若 f ( x) 有两个零点，求 a 的取值范围3、（ 2016 年全国卷II 理数）(I )讨论函数 f (x) x 2 e x的单调性，并证明当x >0 时，( x 2)e x x 2 0;x 2(II ) 证明：当a [0,1)时，函数g（ x）=e x ax a ( x0)有最小值设（）的最小值为h(a) ，x2. g x求函数 h(a) 的值域 .4、（ 2016 年全国卷II 文数）已知函数 f ( x) ( x 1)lnx a(x 1) .（I ）当a 4 时，求曲线yf ( x) 在 1, f (1) 处的切线方程；(II) 若当x 1, 时，f( x)＞0，求 a 的取值范围 .5、（ 2016 年全国卷 III 理数）设函数 f ( x) a cos2x (a 1)(cos x 1) 其中 a＞ 0，记 | f ( x) |的最大值为 A （Ⅰ）求f ( x) ；（Ⅱ）求 A ；（Ⅲ）证明f ( x) 2 A6、（ 2016 年全国卷 III 文数） 设函数 f ( x) ln x x 1. （Ⅰ）讨论 f ( x) 的单调性；（Ⅱ）证明当x 1x ；x (1, ) 时， 1ln x（Ⅲ）设 c 1，证明当 x (0,1)时，1(c 1)x c x.7、（ 2016 年天津理数）设函数 f ( x) (x 1)3ax b, x R 其中 a, b R (Ⅰ )求 f ( x) 的单调区间；(Ⅱ )若 f ( x) 存在极点 x0，且f ( x1) f ( x0 ) 其中 x1x0，求证： x1 2x0 3；(Ⅲ )设 a 0 ，函数 g (x) | f (x) |,求证： g(x) 在区间 [ 0,2] 上的最大值不小于14．．．8、（ 2016 年四川理数）设函数f ( x) ax2a ln x 其中a R（Ⅰ）讨论f( x)的单调性；（Ⅱ）确定a 的所有可能取值，使得f (x)1 e1 x 在区间（1，+∞）内恒成立( e=2.718 ⋯x为自然对数的底数)。
2016全国3卷理科数学压轴题
2016全国3卷理科数学压轴题
全国3卷的适用地区是广西、贵州、云南.
本题作为3卷的压轴题，前两问难度适中，都可以得分.所以大家对于压轴题也不要完全放弃，前面2问都可以尝试着做.
第2问有点意思.
按照求最值先求极值的思路去解此问，困难会比较大.
但是，我们仔细观察函数解析式的特点，发现我们能够把这个复杂的函数化为关于余弦的二次函数.
这是化归思想的体现，即把一个陌生的问题转化为熟悉的问题.
下面研究二次函数在闭区间上的最值问题.
首先，我们把这三个函数值算出来.
接下来，要根据对称轴与定义域的关系，研究最值出现的位置.
下面，按照二者可能的大小关系分类讨论.
继续讨论.
为确定哪个为最大值，需要把三个可能的最大值进行比较.
比较大小的最常用方法就是作差法，本题稍显麻烦，因为有三个值需要比较，而且其中一个还有绝对值.
为直观地表示它们的大小，我们采用画函数图象的方法，并辅助一定的运算使得图象精确.
由上图，我们得到如下结论.
综上所述，A的取值如下：
第3问是证明不等式.
观察不等式的两边，都是关于a的表达式，但是左边式子含有x，于是需要用到绝对值不等式和三角函数的有界性.
不等式的证明是需要摸索的，如果放缩的幅度过大，要随时调整.
比较大小时，我们多次用到作差法，这是通法.
还有最后一步讨论.
综上所述，原不等式得证.
体会：借助二次函数、绝对值函数深入地考察了分类讨论思想.我开通了分答,想向我提问且有支付能力的朋友可以使用.。
2016年高考数学真题解析之导数真题(理科)
1 x
2 x2
2 x3
)
x
ln
x
3 x
1 x2
2 x3
1
，
x [1,2] ，
令 g(x)
x ln x, h(x)
3 x
1 x2
2 x3
1， x [1,2] .
则 f (x) f '(x) g(x) h(x) ，
由
g
'(x)
x 1 x
0
可得
g(x)
（Ⅰ）求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x1）= f（x0），其中 x1≠x0，求证：x1+2x0=3；
1 （Ⅲ）设 a＞0,函数 g（x）= |f（x）|,求证：g（x）在区间[0,2]上的最大值不．小．于．4 .
5．设函数 f (x) cos 2x ( 1)(cos x 1) ，其中α＞0，记 f (x) 的最大值为 A.
2．（Ⅰ）当 x （0, 1 ) 时， f '(x) <0， f (x) 单调递减；当 x （ 1 ，+) 时， f ' (x) >0，
2a
2a
f (x) 单调递增；（Ⅱ） a Î [1 ,+¥) .
2 【来源】2016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷精编版） 【解析】 试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的
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参考答案 1．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【来源】2016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版） 【解析】
2012-2016数学全国卷导数大题汇编(理科)
21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ln（x+m）（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞021．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜221．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=e x的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e x+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．。
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2016年全国高考导数压轴题汇编
2016全国各地导数压轴题汇编
1、（2016年全国卷Ｉ理数）
已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点
（I ）求a 的取值范围
（II ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，求证：
221<+x x
2、（2016年全国卷Ｉ文数）
已知函数2)1
a
e
x
f x
=x
x
+
)2
(
-
(
)
(-
（I）讨论)(x f的单调性
（II ）若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围
3、（2016年全国卷II 理数）
(I)讨论函数x
x 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++>
(II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax a g x x -->（） 有
最小值.设g（x）的最小值为()
h a的
h a，求函数()
值域.
4、（2016年全国卷II 文数） 已知函数.
（I ）当时，求曲线在处的切线方程；
(II)若当时，，求的取值范围.
()(1)ln (1)f x x x a x =+--4a =()y f x =()1,(1)f ()1,x ∈+∞()0f x ＞a
5、（2016年全国卷III 理数） 设函数)1)(cos 1(2cos )(+-+=x a x a x f 其中a ＞0，记|)(|x f 的最大值为A
（Ⅰ）求)(x f '；
（Ⅱ）求A ；
（Ⅲ）证明A x f 2)(≤'
6、（2016年全国卷III 文数）
设函数()ln 1f x x x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x
x x -<<； （Ⅲ）设
1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->.
7、（2016年天津理数） 设函数R x b ax x x f ∈---=,)1()(3其中R b a ∈, (Ⅰ)求)(x f 的单调区间； (Ⅱ)若)(x f 存在极点0x ，且)()(01x f x f =其中01x x ≠，求证：3201=+x x ；
(Ⅲ)设0>a ，函数|)(|)(x f x g =,求证：)(x g 在区间]2,0[上
的最大值不小于
．．．41
8、（2016年四川理数） 设函数x
a ax
x f ln )(2
--=其中R a ∈
（Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；
（Ⅱ）确定a 的所有可能取值，使得x
e x
x f -->11)(在区间（1，+∞）内恒成立(e =2.718…为自然对数的底数)。
9、（2016年山东理数） 已知()2
21()ln ,x f x a x x a R x -=-+∈.
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立
2、 (I)
(i)设，则当时，；当
时，.
所以在单调递减，在单调递增.
(ii)设，由得x=1或x=ln(-2a).
①若，则，所以在
单调递增.
②若，则ln(-2a)<1,故当
时，；
当时，，所以在
单调递增，在单调递减.
③若，则，故当
时，，当时，，所以
在单调递增，在单调递减.
(II)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.
又，取b满足b<0且，则，所以有两个零点.
(ii)设a=0，则所以有一个零点.
(iii)设a<0，若，则由(I)知，在单调递增.
又当时，<0，故不存在两个零点；若，则由(I)知，在单调递
减，在单调递增.又当时<0，
故
不存在两个零点. 综上，a 的
取值范围为
.
3、试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.
222
(1)(2)(2)'()0,
(2)(2)x x x
x x e x e x e f x x x -+--==≥++
且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增，
因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=- 所以(2)(2),(2)20
x
x x e x x e x ->-+-++>
（II ）
22(2)(2)2()(()),
x x e a x x g x f x a x x
-+++==+
由（I ）知，
()f x a
+单调递增，对任意
[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥
因此，存在唯一0
(0,2],x ∈使得0
()0,f x a +=即0
'()0g x =， 当0
0x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减；
当0
x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增.
因此()g x 在0
x x =处取得最小值，最小值为
000
000022
000(1)+()(1)().2
x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+
于是
0h()2
x e a x =
+，由
2(1)()'0,2(2)2
x x x e x e e x x x +=>+++单调递增
所以，由0
(0,2],x ∈得
0022
01().2022224
x e e e e h a x =<=≤=+++
因为
2
x e x +单调递增，对任意
2
1(,],
24
e λ∈存在唯一的
0(0,2],x ∈0()[0,1),
a f x =∈
使得(),h a λ=所以()h a 的值域是
21(,],24
e
综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有()h a ，()h a 的值域是21(,].24
e
考点： 函数的单调性、极值与最值.
4、【答案】（Ⅰ）220.x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求定义域，再求()f x '，(1)f '，(1)f ，由直线方程得点斜式可求曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为
220.
x y +-=（Ⅱ）构造新函数
(1)
()ln 1
-=-
+a x g x x x ，对实数a 分类讨论，用导数法求解.
试题解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，
1()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+-f x x x x f x x x
，(1)2,(1)0.'=-=f f 曲线
()
=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=
（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x
令
(1)()ln 1
-=-
+a x g x x x ，则
222
122(1)1
(),(1)0(1)(1)
+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ，
（i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，2
22(1)1210
+-+≥-+>x
a x x x ，故
()0,()
'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ；
（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得
22121(1)1,1(1)1
=---=-+--x a a x a a ，
由2
1
>x
和12
1
=x x
得1
1<x ，故当2
(1,)∈x x 时，()0'<g x ，()g x 在
2(1,)
∈x x 单调递减，因此()0<g x .
综上，a 的取值范围是(],2.-∞
考点：导数的几何意义，函数的单调性.。