太原五中2019-2020学年度第一学期阶段性检测高二数学(理)

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太原五中2019-2020学年度第一学期阶段性检测高二数学(理)

学校 班级

姓名 学号

密 封 线 内 不 得 答 题

太原五中2019-2020学年度第一学期阶段性检测

高 二 数

学(理)

出题人、校对人:阴瑞玲、闫晓婷、王泽宇(2019.10.17)

一、选择题(每小题4分,共40分,

每小题只有一个正确答案) 1.下列命题正确的是( )

A.

棱柱的侧面都是长方形 B. 棱柱的所有面都是四边形 C. 棱柱的侧棱不一定相等

D. —个棱柱至少有五个面

2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45?,上底为1腰梯形,那么原平面图形的面积是( ) A.

2

B. C. D.3.已知两条不同的直线m n 、,和平面α,下列结论正确的是( ) ①//,m n n α⊥,则m α⊥; ②//,//m n

αα,则//m n ;

③,m n

αα⊥⊥,则//m n ;

④m 与平面α所成角的大小等于n 与平面α所成角的大小,则//m n . A. ①③ B. ①②

C. ②③

D. ①④

4.三棱锥P -ABC 三条侧棱两两垂直,三个侧面面积分别为2,则该三棱锥的外接球的表面积为( )

A. 4π

B. 6π

C. 8π

D. 10π

5.在正方体1111A B C D A B C D -中,E 是棱1BB 的中点,用过点

1A E C 、、的平面截去该正方体的下半部分,则剩余几何体的正视图(也称主视图)是( )

A .

B .

C .

D .

6.如图所示,直线P A 垂直于⊙O 所在的平面,△ABC 内接于⊙O ,且AB 为⊙O 的直径,点M 为线段PB 的中点.现有结论:①BC ⊥PC ;②OM //平面APC ;③点B 到平面P AC 的距离等于线段BC 的长.其中正确的是( )

A .①②

B .①②③

C .①

D .②③

7.在《九章算术》中,将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”,现有一个羡除如图所示,DA ⊥平面ABFE ,四边形ABFE ,CDEF 均为等腰梯形,AB //CD //EF ,AB =AD =4,EF =8,EF 到平面ABCD 的距离为6,则这个“羡除”体积是( ) A .96

B .72

C .64

D .58

8.在平面四边形ABCD 中,AC ⊥BC ,BC =1,AB=2,将△ABC 沿对角线AC 所在的直线折起,使平面ABC ⊥平面ACD ,则直线AB 与平面ACD 所成角为(

) A .

3

π B .

6

π C .

56

π

D

23

π 9.如图,平面四边形ABCD 中,E F 、是AD BD 、的中点,=2AB AD CD ==,

BD =,90BDC ∠=,将△ABD 沿对角线BD 折起至△A BD ',使平面A BD '⊥

平面BCD ,则四面体A BCD '-中,下列结论不正确的是( )

A .EF //平面A BC '

B .异面直线CD 与A B '所成的角为90°

C .异面直线EF 与A C '所成的角为60°

D .直线A C '与平面BCD 所成的角为30° 10.如图,直三棱柱111ABC A B C -中,侧棱长为2,=1AC BC =,

=90ACB ?

∠,D 是11A B 的中点,F 是1BB 上的动点,1AB DF 、交于点E .

要使1AB ⊥平面1C DF ,则线段1B F 的长为( )

A .12

B .1

C .3

2

D .2

二、填空题(每小题4分,共20分)

14.如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,2AB =,1AA ,D F 、分别是棱AB 、1AA 的中点,E 为棱AC 上的动点,则△DEF 的周长的最小值为 .

15.在三棱锥S-ABC 中,△ABC 是边长为3的等边三角形,SA =SB 32=,二面角S-AB-C 的大小为120°,则此三棱锥的外接球的半径为 .

三、解答题(每小题10分,共40分)

16.(10分)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,AB ⊥BC ,AA 1 = AC = 2,BC = 1,E 、F 分别是A 1C 1、BC 的中点.

(1)求证:平面ABE ⊥平面B 1BCC 1; (2)求证:C 1F ∥平面ABE .

17.(10分)如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形,∠BCD =60°,E 是CD 的中点,PA ⊥底面ABCD ,PA =(1)求证:BE ⊥平面PAB ; (2)求二面角

A-BE-P 的大小.

18.(10分)在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别在棱AB 、CD 上,且AE =CF =1

.

(1)求异面直线

A 1E 与C 1F 所成角的余弦值; (2)求四面体EFC 1A 1的体积.

19.(10分)如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,AB PC ⊥,AD BC ,AD CD ⊥,且2PC BC AD =

=2CD ==2PA =. (1) P A ⊥平面ABCD ;

(2)在线段PD 上,是否存在一点M

,使得二面角M-AC-D 大小为60°?如果存在,求

的值;如果不存在,请说明

理由.

1

A A

B

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姓名 学号

密 封 线 内 不 得 答 题

太原五中2019-2020学年度第一学期阶段性检测

高 二 数 学(理)

出题人、校对人:阴瑞玲、闫晓婷、王泽宇(

2019.10.17)

一、选择题(每小题4分,共40分,每小题只有一个正确答案) 1.

下列命题正确的是( )

A. 棱柱的侧面都是长方形

B.

棱柱的所有面都是四边形 C. 棱柱的侧棱不一定相等 D.

—个棱柱至少有五个面 【答案】D

A 不对,侧面都是平行四边形,不一定都是长方形;

B 不对,三棱柱的底面是三角形;

C 不对,棱柱的侧棱一定相等;

D 对,三棱柱的面最少,三个侧面两个底面共

5个面,其他棱柱都多余5个面,故选

D . 2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45?,上底为1腰梯形,那么原平面图形的面积是( ) A.

2

B.

C. D.【答案】C

依题意,四边形ABCD 是一个底角为,上底为,腰为的等腰梯形,

过C,D 分别做

则和为斜边长为的等腰直角三角形,所以AE=DE=BF =1,又

EF=CD=1,梯形ABCD 的面积:

在斜二测画直观图时,直观图的面积与原图的面积之比为:

即: .故选C.

3.已知两条不同的直线m n 、,和平面α,下列结论正确的是( ) ①//,m n n α⊥,则m α⊥; ②//,//m n αα,则//m n ; ③,m n α

α⊥⊥,则//m n ;

④m 与平面α所成角的大小等于n 与平面α所成角的大小,则//m n . A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ①④

【答案】A ②不对,因为直线

可能平行可能相交也可能异面;

④不对,线m,n 可能平行可能相交也可能异面;故选A . 4.三棱锥P -ABC 三条侧棱两两垂直,三个侧面面积分别为222

,,,则该三棱锥的外接球的表面积为(

)

A. 4π

B. 6π

C. 8π

D. 10π 【答案】B

三棱锥P?ABC 的三条侧棱P A 、PB 、PC 两两互相垂直,它的外接球就是它扩展为长方体的外接球,设PA a PB b PC c ===,,,则

111222ab bc ca ===

解得,1,a b c =

===所以球的半径长R ,则球的表面积S=4πR 2

=6π,故选B. 5.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是棱1BB 的中点,用过点1A E C 、、的平面截去该正方体的下半部分,则剩余几何体的正视图(也称主视图)是

( )

A .

B .

C .

D .

【答案】A

剩余部分的直观图如图: 则该几何体的正视图为图中粗线部分,故选A .

6.如图所示,直线P A 垂直于⊙O 所在的平面,△ABC 内接于⊙O ,且AB 为⊙O 的直径,点M 为线段PB 的中点.现有结论:①BC ⊥PC ;②OM ∥平面APC ;③点B 到平面P AC 的距离等于线段BC 的长.其中正确的是( ) A .①② B .①②③ C .① D .②③ 【答案】B

对于①,∵P A ⊥平面ABC ,∴P A ⊥BC .

∵AB 为⊙O 的直径,∴BC ⊥AC ,又∵P A ∩AC =A ,∴BC ⊥平面P AC , 又PC ?平面P AC ,∴BC ⊥PC .

对于②,∵点M 为线段PB 的中点,∴OM ∥P A , ∵P A ?平面P AC ,OM ?平面P AC ,∴OM ∥平面P AC . 对于③,由①知BC ⊥平面P AC ,

∴线段BC 的长即是点B 到平面P AC 的距离,故①②③都正确.故选B. 7.在《九章算术》中,将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”,现有一个羡除如图所示,DA ⊥平面ABFE ,四边形ABFE ,CDEF 均为等腰梯形,AB //CD //EF ,AB =AD =4,EF =8,EF 到平面ABCD 的距离为6,则这个“羡除”体积是( )

A .96

B .72

C .64

D .58

【答案】C

如图所示,多面体切割为两个三棱锥E ﹣AGD ,F ﹣HBC 和一个

直三棱柱GAD ﹣HBC ,

因为

,且到平面ABCD 的距离为

6,

所以这个“羡除”体积为

.故选C .

8.在平面四边形ABCD 中,AC ⊥BC ,BC =1,AB=2,将△ABC 沿对角线AC 所在的直线折起,使平面ABC ⊥平面ACD ,则直线AB 与平面ACD 所成角为( ) A .

3

π

B .

6

π C .

56

π

D .

23

π 【答案】B

,则AC=

,平面

平面

交线为

AC

BC

AC ,

所以BC

面ACD ,所以

即为直线与平面所成角,cos = ,

所以

=

,故选B.

9.如图,平面四边形ABCD 中,E F 、是AD BD 、的中点,=2AB AD CD ==,

BD =90BDC ∠=,将△ABD 沿对角线BD 折起至△A BD ',使平面A BD '⊥

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姓名

学号

密 封 线 内 不 得 答 题

平面BCD ,则四面体A BCD '-中,下列结论不正确的是( )

A .EF //平面A BC '

B .异面直线CD 与A B '所成的角为90°

C .异面直线EF 与A C '所成的角为60°

D .直线A C '与平面BCD 所成的角为30° 【答案】C 因为,

分别为

和两边中点,所以

平面

,A 正确; 因为平面平面,交线为

,且

,所以

平面

即,故B 正确; 取边中点

,连接

,,则,

所以为异面直线

所成角, 又,

,,即

,故C 错误; 因为平面平面

,连接

,则

,所以

平面

连接FC ,所以为异面直线

与所成角,

,∴

,sin

,∴

,D

正确;故选C .

10.如图,直三棱柱111ABC A B C -中,侧棱长为2,=1AC BC =,=90ACB ?

∠,D 是11

A B 的中点,F 是1BB 上的动点,1AB DF 、交于点E .要使1AB ⊥平面1C DF ,则线段1B F 的长为( )

A .

12

B .1

C .

32

D .2

【答案】A

设B 1F=x,因为AB 1⊥平面C 1DF,DF ?平面C 1DF,

所以AB 1⊥DF.由已知可得A 1B 1=,设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h,

则DE=h.

又2×=h ,所以h=,DE=.在Rt △DB 1E 中,B 1E==.

由面积相等得×=x,得x=.

二、填空题(每小题4分,共20分)

11.两个球的体积之比是8:27,那么两个球的表面积的比为 . 【答案】4:9

12.三棱锥P-ABC 中,P A=PB=PC ,过点P 作平面ABC 的垂线,垂足为O ,则点O 是

ABC 的 心. 【答案】外心

13.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱DD 1和BB 1上的点,MD =1

3

DD 1,NB =1

3BB 1,那么正方体过点M ,N ,C

1的截面图形是 边形.

【答案】选在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱

DD 1和BB 1上的点,MD =13DD 1,NB =1

3BB 1.如图,延长

C 1M 交C

D 的延长线于点P ,延长C 1N 交CB 的延长线于点Q ,连接PQ 交

AD 于点E ,AB 于点F ,连接NF

,ME ,则正方体过点M ,N ,C 1的截面图形是五边形.

14.如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,2AB

=,1AA ,D

F 、分别是棱AB

、 1AA 的中点,E 为棱AC 上的动点,则△DEF 的周长的最小值为 .

【答案】

15.在三棱锥S-ABC 中,△ABC 是边长为3

的等边三角形,SA =SB 32=,二面角S-AB-C 的大小为120°,则此三棱锥的外接球的半径为 . 【答案】

2

三、解答题(每小题10分,共40分)

16.(10分)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱垂直于

面,AB ⊥BC ,AA 1 = AC = 2,BC = 1,E 、F 分别是A 1C 1、BC 的中点. (1)求证:平面ABE ⊥平面B 1BCC 1; (2)求证:C 1F ∥平面ABE .

ABC-A 1B 1C 1中,BB 1⊥底面ABC.所以BB 1⊥AB. 又因为AB ⊥BC ,所以AB ⊥平面B 1BCC 1. 所以平面ABE ⊥

平面B 1BCC 1.

AB 的中点G ,连接EG ,FG ,如图.

因为E ,F 分别是A 1C 1,BC 的中点,所以FG ∥AC ,且FG

因为AC ∥A 1C 1,且AC=A 1C 1,所以FG ∥EC 1,且FG=EC 1. 所以四边形FGEC 1为平行四边形.所以C 1F ∥EG.

又因为EG ?平面ABE ,C 1F ?平面ABE ,所以C 1

F ∥平面ABE.

17.(10分)如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形,∠BCD =60°,E 是

CD 的中点,PA ⊥底面ABCD ,PA =(1)求证:BE ⊥平面PAB ; (2)求二面角A-BE-P 的大小. 【答案】

,连接BD ,由ABCD 是菱形,

BCD=60

°知,△BCD 是等边三角形.

因为E 是CD 的中点,所以BE ⊥CD.

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密 封 线 内 不 得 答 题

又AB ∥CD ,所以BE ⊥AB.又因为PA ⊥平面ABCD ,BE ?平面ABCD ,

所以PA ⊥BE.而PA ∩AB=A ,因此BE ⊥平面PAB.

(1)知BE ⊥平面PAB ,PB ?平面PAB ,所以PB ⊥BE.又AB ⊥BE ,

所以∠PBA 是二面角A-BE-P 的平面角.在Rt △PAB 中,tan ∠PBA ∠PBA=60°,

故二面角A-BE-P 的大小是60°.

∵EF ?平面EFC 1,A 1N ?平面EFC 1,∴A 1N ∥平面EFC 1,

∴VA 1-EFC 1=VN -EFC 1=VE -NFC 1=31

×S △NFC 1×3=31

×21

×2×3×3=3.

故四面体EFC 1A 1的体积为3.

19.(10分)如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,AB PC ⊥,AD BC ,AD CD ⊥,

且2PC BC AD ==2CD ==2PA =.

(1) P A ⊥平面ABCD ;

(2)在线段PD 上,是否存在一点M ,使得二面角M-AC-D 大

小为60°?如果存在,求的值;如果不存在,请说明

理由. 【答案】

(1)∵在底面

中,

∴,∴ 又∵,

平面,

平面

平面

又∵平面 ∴ ∵, ∴ 又∵,

平面

平面

平面

(2)方法一:在线段上取点

,使

又由(1)得平面

平面 又∵平面

∴ 作于

又∵

平面

平面

∴平面 又∵

平面 ∴

又∵

是二面角

的一个平面角

这样,二面角的大小为

∴满足要求的点

存在,且

方法二:取的中点

,则

、、三条直线两两垂直 ∴可以分别以直线、

、为、

、轴建立空间直角坐标系

且由(1)知是平面

的一个法向量

设 则

∴,

是平面

的一个法向量

则 ∴

令,则,它背向二面角

又∵平面的法向量

,它指向二面角 这样,二面角

的大小为

∴满足要求的点

存在,且

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