太原五中2019-2020学年度第一学期阶段性检测高二数学(理)
2019年11月山西省太原五中2020届高三毕业班阶段性检测数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前山西省太原市第五中学2020届高三毕业班上学期阶段性质量检测数学(理)试题(解析版)2019年11月一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项）1.已知集合211|log ,|,022x A x y x B y y x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫==-==<⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =（ ） A. (1,)+∞ B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】 分别化简集合,A B ，再求交集即可. 【详解】211{|log }={|}2(2)A x y x x x ==->， 1{|(),0}{|1}2x B y y x y y ==<=>. (1,)A B =+∞.故选：A【点睛】本题主要考查集合的交集运算,同时考查了对数函数的定义域和指数函数的值域,属于简单题.2.已知z 是z 的共轭复数,且||13z z i -=+,则z 的模是（ ）A. 3B. 4C. 5【答案】C【解析】【分析】首先设z a bi =+,()13a bi i -=+,分别解出,a b 即可求出答案.【详解】设z a bi =+,因为||13z z i -=+,()13a bi i --=+,即)13a bi i +=+.13a b ==⎪⎩,解得：43a b =⎧⎨=⎩, 43z i =+,5z ==.故选：C【点睛】本题主要考查复数的代数式,同时考查了复数模长的计算,属于简单题.3.若,,2(,0)a b a b ->可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则()()11a b ++的值为（ ）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】A【解析】【分析】首先根据题意的到,2,a b -构成等比数列,从而得到4ab =,再分别讨论,,2a b -构成等差数列和2,,a b -构成等差数列,即可求出,a b 值,再带入(1)(1)a b ++即可.【详解】因为,0a b >,所以,2,a b -构成等比数列.所以4ab =①.当,,2a b -构成等差数列时,可得：22a b -=②.由①②可得：4a =,1b =.(1)(1)10a b ++=.当2,,a b -构成等差数列时,可得：22b a -=②.由①②可得：1a =,4b =.(1)(1)10a b ++=.故选：A。
【解析】山西省太原市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题
2019~2020学年第一学期高二年级阶段性测评数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知点()1,2A ，()2,1B -，则直线AB 的斜率为（ ） A.13B. 13-C. 3D. 3-【答案】D 【分析】由斜率的定义求解即可 【详解】由斜率的定义得212121312y y k x x -+===---， 故答案为：直线AB 的斜率为3- 故选：D【点睛】本题考查直线的斜率的定义，属于基础题2.在空间直角坐标系中，点()1,2,1P -与()0,1,1Q 之间的距离为（ ） A 2【答案】B 【分析】可结合两点间距离公式求解 【详解】由两点间距离公式得l ==故选：B【点睛】本题考查空间中两点间距离公式，属于基础题 3.过点()0,1-且垂直于直线12y x =的直线方程为（ ） A 21y x =--B. 21y x =-C. 22y x =-+D.21y x =+【答案】A由两直线垂直的位置关系和点斜式求解即可【详解】由两直线垂直斜率之积为-1可得直线斜率为1212k -==-，再由点斜式可得()201y x =---，化简得21y x =--故选：A【点睛】本题考查两直线垂直的位置关系，由点斜式求直线解+析式，属于基础题 4.用一个平面去截如图所示的圆柱体，则所得的截面不可能是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【分析】对四个选项进行分析可初步判定，矩形，圆，椭圆很容易得出，只有三角形得不出，具体包括三种切割方式：横切，竖切，斜切【详解】当截面与轴截面平行时，所截截面为矩形；当截面与上下底面平行时，所截截面为圆；当截面不经过上下底面斜切时，截面为椭圆；当截面经过上下底面时（交线不是圆面的切线时），截面为上下两条边平行，中间两条腰是曲线的图形，故截面的形状不可能是三角形 故选：D【点睛】本题考查圆柱体截面形状，多角度去分析是解题的关键，属于基础题 5.与圆()()22121x y -++=关于原点对称的圆的方程为（ ） A. ()()22121x y -+-= B. ()()22121x y +++= C. ()()22121x y ++-= D. ()()22211x y -++=【答案】C可先求圆心关于原点的对称点，再由半径相同写出方程即可【详解】圆()()22121x y -++=的圆心为()1,2-，圆心关于原点的对称点为()1,2-，故对称的圆的方程为：()()22121x y ++-= 故选：C【点睛】本题考查关于原点对称的点的求法，圆的标准方程的求法，属于基础题6.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若m αP ，n ⊂α，则m n P B. 若m α⊥，αβ∥，则m β⊥ C. 若m αP ，αβ⊥，则m β⊥ D. 若m αP ，n αP ，则m n P【答案】B 【分析】由线面平行的性质可判断A 错；由平行的递推性判断B 对；C 项可能性很多，m 与β不一定垂直；D 项可能性很多，不一定m n P【详解】对A ，线面平行只能推出线和过平面的交线平行，推不出和平面内的某一条线平行，如图：对B ，根据平行的递推性，可得正确，如图：对C ，可随机举一反例，如图：直线与β斜交；对D ，直线有可能相交，如图：故选：B【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，结合实例和图形较容易说明问题，属于基础题 7.已知直线1:30l mx y +-=与直线2:0l x y m --=平行，则它们之间的距离是（ ） A. 2 B. 42D. 2【答案】C 【分析】根据两直线一般式对应系数关系111222A B C A B C =≠求解即可 【详解】由题可知，应满足13111m m m -=≠⇒=---，则两直线可化为3010x y x y ⎧⎨⎩-+=-+=，由平行直线间距离公式122222C C d A B-===+故选：C【点睛】本题考查两平行直线间的距离求法，属于基础题8.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三尺，无广，高四尺.问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该鳖臑的体积为（ ）A. 6B. 9C. 18D. 27【答案】A 【分析】根据三视图画出图形，结合三棱锥体积公式求解即可 【详解】由三视图，画出图形，如图：则该鳖臑的体积为：11343632V =⨯⨯⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查由三视图求三棱锥的体积，属于基础题9.已知实数x ，y 满足条件20,220,3,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则3z x y =-的最小值为（ ）A. 6B.103C. 92-D. 103-【答案】C 【分析】可将目标函数转化为33x zy =-，再结合约束条件画出可行域，结合位置关系判断即可【详解】根据约束条件画出可行域，目标函数可转化为33x zy =-，要使z 取到最小值，则截距3z-取到最大值，由图可知，相交于右上方的点时，有最值，即点为53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入3z x y=-得92z =-故选：C【点睛】本题考查根据线性约束条件求最值，正确画出图形，学会转化目标函数是解题的关键，属于基础题10.已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点，则异面直线1C M 与BN 所成角的大小为（ ）A. 30°B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】D 【分析】根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解 【详解】如图：作AN 的中点'N ，连接'N M ，1'C N 由题设可知'N M BN P ，则异面直线1C M 与BN 所成角为1'N MC ∠或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，'5N M = ，16C M =，1'41C N =，得21122''N M M C N C =+，即1'90N MC ∠=︒故选：D【点睛】本题考查异面直线的求法，属于基础题11.已知()3,0A -，()0,1B ，点C 为圆22410x y y +++=上任意一点，则ABC ∆面积的最大值为（ ） A.32B.332C.53D.73【答案】C 【分析】可根据题意画出图形，求三角形面积的最值可转化为求圆上一点到直线AB 距离的最大值，由点到直线距离公式即可求解 【详解】如图所示：要求三角形面积的最大值，需先求圆上一点到直线AB 距离的最大值，求圆心到直线距离，再加上半径即可，圆22410x y y +++=可转化为()2223x y ++=，圆心为()0,2-，33AB k ==，则直线方程为31y x =+，圆心到直线的距离33113d ==+max 33533h d r =+=，312AB =+=，则15353=22ABC S ∆⨯=故选：C【点睛】本题考查点到直线距离公式，两点间距离公式，数形结合的思想，属于中档题 12.将边长为2的正ABC ∆沿着高AD 折起，使120BDC ∠=o ，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A. 72π B. 7π C.132π D.133π 【答案】B 【分析】通过底面三角形BCD 求出底面圆的半径DM ，判断球心到底面圆的距离OM ，求出球O 的半径，即可求解球O 的表面积．【详解】△BCD 中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为：r,由余弦定理得到BC=3，再由正弦定理得到32 1.sin120r r =⇒= 见图示：AD 是球的弦，3M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴OM=32，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径.∴球的半径371+4 该球的表面积为：4π×OD 2=7π； 故选：B ．【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.二、填空题（共4个小题，每题4分，共16分）13.圆22220x y x y +++=的半径为______________.【分析】将一般式化为标准式即可求得【详解】由()()2222220112x y x y x y +++=⇒+++=，则半径为r =【点睛】本题考查圆的一般式和标准式的互化，熟练运用配方法是解题关键，属于基础题 14.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为 ．试题分析：由2r l πθ=，得2233r ππ=，即1r =，∴2211133V r h ππ==⋅=．考点：圆锥的侧面图与体积．15.已知长为()20a a >的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹方程为____________. 【答案】()2220x y a a +=>【分析】可采用数形结合思想进行转化，结合直角三角形斜边上的中线性质即可求得 【详解】如图：不论直线怎么移动，线段AB 的中点的P 始终为Rt OAB ∆斜边上的中线，即OP a =，即()2220x y a a +=>故答案为：()2220x y a a +=>【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求法，数形结合的转化思想，属于基础题16.如图，在棱长为1的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.【答案】325⎣⎦，【详解】试题分析：如下图所示，分别取棱111,BB B C 的中点,M N ，连接MN ，连接1BC ，因为,,,M N E F 为所在棱的中点，所以11//,//MN BC EF BC ，所以//MN EF ，又MN ⊄平面,AEF EF ⊂平面AEF ，所以//MN 平面AEF ；因为11//,AA NE AA NE =，所以四边形1AENA 为平行四边形，所以1//A N AE ，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以1//A N 平面AEF ，又1A N MN N =I ，所以1//A MN 平面AEF ，因为P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在直角11A B M ∆中，2221111151()22A M A B B M =+=+=，同理，在直角11A B N ∆中，求得15A N =以AMN ∆为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短，P 位于,M N处时1A P 最长，2222115232()()244AO A M OM =-=-=，115A M A N ==，所以线段1A P 长度的取值范围是32542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.考点：点、线、面的距离问题.【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题（共5个小题，共48分）17.已知ABC ∆的顶点()1,4A -，()2,1B --，()0,1M 是BC 的中点.（1）求直线AC 的方程；（2）求AC 边上的高所在直线的方程.【答案】（1）3110x y +-=；（2）350x y -+=.【分析】（1）先设(),C x y ，再结合中点坐标公式求解即可；（2）所求直线与AC 直线垂直，可算出斜率，又直线过点B ，利用点斜式即可求解；【详解】（1）设(),C x y ，由题意得20,12,x y -+=⎧⎨-+=⎩∴2,3,x y =⎧⎨=⎩∴()2,3C . ∴直线AC 的方程为3110x y +-=；（2）∵()1,4A -，()2,3C ，∴13AC k =-，∴AC 边上的高所在直线的斜率3k =，∴AC 边上的高所在直线方程为：()321y x =+-，即350x y -+=.【点睛】本题考查中点坐标公式，直线方程的求法，属于基础题18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，11C D 的中点.（1）求证：EF P 平面11ADD A ；（2）求证：EF ⊥平面11A B CD .【答案】（1）证明见解+析；（2）证明见解+析.【分析】 （1）要证直线EF P 平面11ADD A ，可在平面11ADD A 中找一条线与EF 平行，连接1AD ，先证明1AEFD 是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求证； （2）结合线面垂直的判定定理，证明直线EF ⊥平面11A B CD 的两条交线即可； 【详解】（1）连接1AD ，∵1111ABCD A B C D -是正方体，11AB C D ∴P ，11AB C D =， ∵E ，F 分别是AB ，11C D 的中点，∴1AE FD ∥，1AE FD =. ∴1AEFD 是平行四边形，∴1EF AD ∥， ∵EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ， ∴EF P 平面11ADD A ；（2）由（1）得1EF AD ∥，∵1111ABCD A B C D -是正方体.∴11A B ⊥平面11ADD A ，∴111A B AD ⊥，∴11A B EF ⊥，∵1111ABCD A B C D -是正方体，∴11ADD A 是正方体，∴11A D AD ⊥，∴1A D EF ⊥，∵1A D ⊂平面11A B CD ，11A B ⊂平面11A B CD ，1111A B A D A ⋂=，∴EF ⊥平面11A B CD .【点睛】本题考查线面平行，线面垂直的证明，属于基础题19.已知圆221:1C x y +=与圆222:60C x y x m +-+=.（1）若圆1C 与圆2C 外切，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，若直线20x y n ++=与圆2C 的相交弦长为23n 的值.【答案】（1）5；（2）35n =-+35n =-分析】（1）先将圆2C 化成标准式，利用两圆相切的性质，得圆心距等于半径之和，即1212C C r r =+，即可求解；（2）结合圆的几何性质，圆的半径，弦心距，半弦长构成直角三角形，可将弦长问题转化成圆心到直线距离问题，可进一步求解【详解】（1）∵221x y +=，∴()10,0C ，11r =， ∵2260x y x m +-+=，∴()2239x y m -+=-，∴()23,0C ，29r m =- ∵圆1C 与圆2C 外切，∴1212C C r r =+，∴319m =+-5m =；（2）由（1）得5m =，圆2C 的方程为()2234x y -+=，()23,0C ，22r =， 由题意可得圆心2C 到直线20x y n ++=的距离223315n d r +==-=，∴35n =-+或35n =--. 【点睛】本题考查两圆相切的几何性质，直线与圆的位置关系，属于基础题20.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD CD ⊥，AD BC ∥,224AD BC CD ===,25PC =,PAD ∆是正三角形.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求AC 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解+析；（2）155.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，可利用已知条件，先证直线CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，即可得证；（2）作点PD 的中点E ，连接AE ，CE ，由面面垂直的和判定定理可得AC 与平面PCD 所成角为ACE ∠，通过计算即可求得【详解】（1）证明：∵PAD ∆是正三角形，24AD CD ==，∴4PD =，2CD =，∴22220PC PD CD =+=，∴CD PD ⊥，∵AD CD ⊥，CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥；（2）设点E 是PD 的中点，连接AE ，CE ，∵PAD ∆是正三角形，∴AE PD ⊥，23AE =， 由（1）得CD ⊥平面PAD ，∴平面PCD ⊥平面PAD ，∴AE ⊥平面PCD ，∴AC 与平面PCD 所成角为ACE ∠，∵AD CD ⊥，∴2225AC AD CD =+=, ∴15sin 5AE ACE AC ∠==. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，求线面角的夹角的正弦值，属于中档题21.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD CD ⊥，AD BC ∥，224AD BC CD ===,25PC =，PAD ∆是正三角形.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求二面角P BC A --的大小.【答案】（1）证明见解+析；（2）60o .【分析】（1）通过线面垂直来证线线垂直，先证CD ⊥平面PAD ，再说明PA ⊂平面PAD ，即可得证；（2）设点E 是AD 的中点，连接PE ，BE ，通过几何关系可得PBE ∠是二面角P BC A --的平面角，再计算即可【详解】（1）证明：∵PAD ∆是正三角形，24AD CD ==，∴4PD =，2CD =，∴22220PC PD CD =+=，∴CD PD ⊥，∵AD CD ⊥，CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥；（2）设点E 是AD 的中点，连接PE ，BE ，∵PAD ∆是正三角形，∴PE AD ⊥，23PE =∵AD BC ∥，∴BC BE ⊥，∵224AD BC CD ===，∴2DE BC ==，∵AD CD ⊥，AD BC ∥，∴BCDE 是正方形，∴BC BE ⊥，∴BC ⊥平面PBE ，∴BC PB ⊥，∴PBE ∠是二面角P BC A --的平面角，由（1）得CD ⊥平面PAD ，∴CD PE ⊥，∴BE PE ⊥， ∴tan 3PE PBE BE∠==，∴60PBE ∠=︒. 【点睛】本题考查线面平行的证明，二面角大小的求法，属于中档题22.已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:280l x y --=上的动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B .（1）当23PA =时，求点P 的坐标；（2）当APB ∠取最大值时，求APO ∆的外接圆方程.【答案】（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP 组成直角三角形，故有22OP r PA =+P 的坐标；（2）当圆心到直线距离最短时，可确定点P 位置，此时圆心位置为点O 与点P 的中点坐标，半径为12OP ，结合垂直关系和直线方程可求点P ，进而求得APO ∆的外接圆方程 【详解】（1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，∵PA =4OP ==， ∴2216,280,x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）由题意可知当OP l ⊥时，APB ∠取最大值，设此时(),P x y ，由2,280y x x y =-⎧⎨--=⎩得8,516,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴816,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， APO ∆的外接圆圆心为'54,58O ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径1'2r OP ==APO ∆的外接圆方程为224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，圆的几何性质，勾股定理的应用，图形与方程的转化思想，属于中档题23.已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:280l x y --=上的动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B .（1）当PA =时，求点P 的坐标；（2）设APO ∆的外接圆为圆M ，当点P 在直线l 上运动时，圆M 是否过定点（异于原点O ）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）是过定点，816,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP 组成直角三角形，故有OP =P 的坐标；（2）可先设()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，整理得APO ∆的外接圆方程为22000x x x y y y -+-=，结合00280x y --=代换得()()220820x x y y x y -+-+=，要使圆M 恒过定点满足，即2220,80,x y x x y +=⎧⎨-+=⎩，解出对应的,x y ，即可求解 【详解】（1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，∵PA =4OP ==， ∴2216,280,x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）设()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴APO ∆的外接圆方程为22000x x x y y y -+-=，∵00280x y --=，∴0028x y =+，∴()()220820x x y y x y -+-+=，令2220,80,x y x x y +=⎧⎨-+=⎩ 则8,5165,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或0,0x y =⎧⎨=⎩（舍去），∴圆M 过定点816,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，求证轨迹恒过定点问题，解题关键在于正确表示出外切圆方程，学会利用直线上的点满足的方程进行代换，将方程转化成恒成立问题，属于中档题。
太原2019-2020学年第一学期期中【高二数学】试卷答案
………`2 分
AD CD ，CD 平面 PAD ，CD PA ；
………`5 分
（2）设点 E 是 PD 的中点，连接 AE,CE ，
PAD 是正三角形， AE PD ， AE 2 3 ，
由（1）得 CD 平面 PAD ，平面 PCD 平面 PAD ，
AE 平面 PCD ，
AC 与平面 PCD 所成角为 ACE ，
ABCD A1B1C1D1 是正方体， ADD1A1 是正方形，
A1D AD1 ， A1D EF ，
………8 分
A1D 平面 A1B1CD ， A1B1 平面 A1B1CD ， A1B1 A1D A1，
EF 平面 A1B1CD .
………10 分
19 解：（1） x2 y2 1，C1(0,0) ， r1 1 ，
………8 分 A
AD CD ， AC AD2 CD2 2 5 ，
P
E
D
C
B
(B)图
sin ACE AE 15 . AC 5
………10 分
21.（B）（1）同（A）（1）；
（2）设点 E 是 AD 的中点，连接 PE, BE ，
P
PAD 是正三角形，PE AD ， PE 2 3 ，
AD / /BC ,BC BE ,
F C1 B1
EF 平面 ADD1A1 ， AD1 平面 ADD1A1 ，
D
EF // 平面 ADD1A1；
…………5 分 A
E
（2）由（1）得 EF // AD1 ， ABCD A1B1C1D1 是正方体，
C B
A1B1 平面 ADD1A1 ， A1B1 AD1 ， A1B1 EF ，
………6 分 ………8 分
山西省2019-2020学年上学期高二数学(理科)期中联考卷附答案解析
山西省2019-2020学年上学期高二数学（理科）期中联考卷考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择題）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：人教A 版必修2占70%,必修1,3,4,5占30%.第I 卷一、选择题:本大题共12小娌，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={)2ln(|+=x y x },B={0)2)(5(|≤-+x x x }，则=B A A.(-2,+∞)a [-2,2]C (-2,2] D.[-5，+∞)2.某中学初一、初二、初三的学生人数分别为500,600,700,现用分层抽样的方法从这三个年级中选取18人参加学校的演讲比赛，则应选取的初二年级学生人数为A.5B.6C.7D.83.若直线022=++-a y ax 与05)5(3=+-+y a x 平行，则a 的值为A.2B.1或3C.3D.2或34.已知α，β，γ是三个不同的平面，n m ,是两条不同的直线，下列判断正确的是A.若γβγα⊥⊥,，则βα‖B.若γγ⊥⊥n m ,，则nm ‖C.若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则nm ⊥ D.若βαβα⊂⊂n m ,,‖，则n m ‖5.已知两个单位向量21,e e 的夹角为060，向量2125e e m -=,则=||m A.19 B.21 C.52 D.76.点)cos 3,(sin θθP 到直线08=++y x 的距离的最小值为A.4B.32C.23D.527.已知A(1,0)，B(0,2),C(2,6)，则△ABC 的BC 边上的高线所在的直线方程为A.012=-+y xB.012=++y xC.016=--y xD.01=-x 8.光线自点(2,4)射入，经倾斜角为0135的直线1:+=kx y l 反射后经过点(5,0),则反射光线还经过下列哪个点A.（14,2)B.(14,1)C.(13.2)D.(13,l)9.已知P，Q 分别为圆4)3()6(:22=-+-y x M 与圆1)2()4(:22=-++y x N 上的动点,A 为x 轴上的动点，则||||AQ AP +的最小值为A.3101- B.355- C.357- D.335-10.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2):当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值范围为A.]103,0(πS B.),103[+∞πS C.]103,5(ππS S D.)2,103(ππS S 11.如图，在Rt△ABC 中,D,E 分别为AB ,AC 边上的中点,且AB=4,BC= 2.现将△ABC 沿DE 折起，使得A 到达A 1的位置,且二面角A1-DE-B 为60°，则A 1C=A.22 B.3 C.10 D.3212.若直线1-=kx y 与函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-≤≤--=4<2,86,20,2)(22x x x x x x x f 的图象恰有3个不同的交点,则A.)43,41[ B.)43,43[ C.)43,41[ D.)43,41(第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=0<,)41(,0>,lg 2)(x x x x f x ，则=-))10((f f ___.14.如图,某几何体由两个同底面的圆锥组合而成,若底面积为π9,小圆锥与大圆锥的高分别为4和6，则该几何体的表面积为___.15.若圆4)1()1(:22=++-y x M 与圆25)(:22=-+m y x N 内切，则=m ___.16.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面ABCD,ABLAD,AB//CD,AD-CD-PD=2,AB=1,E,F 分别为棱PC,PB 上一点.若BE 与平面PCD 所成角的正切值为2,则(AF+EF)2的最小值为___.三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或卡演算步骤17.(10分)已知直线l 经过点(3,-2).(1)若l 与直线x y 2=平行,求l 的方程(结果用一般式表示)；(2)若l 在x 轴上的截距与在y 轴上的截距相等，求l 的方程(结果用一般式表示).23:12:3818.(12分)已知四棱椎P-ABCD 的直观图如图所示,其中AB,AP ,AD 两两垂直,AB-AD-AP=2,且底面ABCD 为平行四边形.(1)证明:PA⊥BD.(2)如图、网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该四校锥的正视图与俯视图，请在网格纸上用粗线画出该四棱锥的侧视图,并求四梭锥P-ABCD 的表面积.19.(12分)a,b,c 分别为△ABC 内角A,B.C 的对边.已知222)cos(c b a B A ab -+=-.(1)求B A tan tan ;(2)若32,2tan ==a A ,求b .20.(12分)如图，在直四棱柱ABCD--A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为正方形，O 为A 1C 1的中点,且AB=2.(1)证明:OD//平面AB 1C.(2)若异面直线OD 与AB 1所成的正弦值为1122，求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积.21.(12分)在数列{n a },{n b }中,133,133,11111++-=---===++n a b b n b a a b a n n n n n n .等差数列{n c }的前两项依次为2a ,2b .(1)求{n c }的通项公式；(2)求数列{n n n c b a )(+}的前n 项和n S .22.(12分)已知圆C 的圆心在直线2-=x 上，且圆C 与023:=-+y x l 相切于点Q(-1,3).过点(-1,0)作两条斜率之积为-2的直线分别交圆C 于A,E 与B,F.(1)求圆C 的标准方程；(2)设线段AE,BF 的中点分别为M，N,证明:直线MN 恒过定点.。
【20套试卷合集】太原市第五中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在等比数列{}n a 中，若48a =，2q =-，则7a 的值为( )A ．64-B ．64C ．48-D ．482．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1313=-S S ，则数列}{n a 的公差是( ) A ．21B ．1C ．2D ．33．已知△ABC 中，a =b =60B =，那么角A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°4．若0<<b a ，则( )A ．22b a <B ．ab a <2C ．1>b aD ．ab b >25．顶点为原点，焦点为F （0，-1）的抛物线方程是( )A ．x y 22-=B ．x y 42-=C ．y x 22-=D ．y x 42-=6．双曲线22142x y -=的焦点坐标是( )A ．(6,0),(6,0)-B ．(C ．(2,0),(2,0)-D ．(7．在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，12,F F 为其左、右焦点，以21F F 为直径的圆与椭圆交于D C B A ,,,四个点，若21,F F ，D C B A ,,,恰好为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率为( )A 1B ．2C 1D ．28．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++=的整数k ( )A ．有3个B ．有2个C ．有1个D ．不存在二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 9．抛物线x y 22=上横坐标为2的点到其焦点的距离为________ 10．在ABC ∆中，3,5,120a b C ===，则＝________11．渐近线为x y 3±=且过点(1,3)的双曲线的标准方程是________12．已知递增的等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-，则_____n a =13．已知数列{}n a 对任意的*,N q p ∈满足q p q p a a a +=+且62-=a ，那么=10a ________.14．观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是________，其通项公式为________.三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．(本题满分7分)在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为4,,,,cos ,35a b c B A b π==. (1)求sin C 的值； (2)求ABC △的面积.16．(本题满分7分)等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知1S ，3S ，2S 成等差数列(1)求{n a }的公比q ； (2)求1a －3a ＝3，求n S17．(本题满分8分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34-=n n a S (*n ∈N )．(1)证明：数列{}n a 是等比数列；(2)若数列{}n b 满足*1()n n n b a b n +=+∈N ，且12b =，求数列{}n b 的通项公式．18．(本题满分7分)已知椭圆22:184x y C +=的左焦点为1F ，直线2:-=x y l 与椭圆C 交于A 、B 两点.(1)求线段AB 的长； (2)求1ABF ∆的面积.19．(本题满分7分)已知拋物线C ： x 2＝2py(p ＞0)的焦点F 在直线10x y -+=上.(1)求拋物线C 的方程；(2)设直线l 经过点A (－1，－2)，且与拋物线C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程.20．(本题满分8分)给出下面的数表序列：其中表),3,2,1( =n n 有n 行，第1行的n 个数是12,5,3,1-n ，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．(1)写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表)3(≥n n (不要求证明)；(2)每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，记此数列为{}n b 求和：32412231n n n b b b b b b b b b ++++(*N n ∈) 选做题已知椭圆C 经过点A (1，32)，且两个焦点分别为(－1，0)，(1，0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案考试时间：上午 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R ，集合{}2|||≤=x x A ，}011|{>-=x x B ，则=⋂B A ( ) A ．]2,2[- B ．)1,2[- C ．]2,1( D ．),2[+∞- 2.在空间中，下列命题正确的是（ ）A.三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B 若平面βα⊥，且l =βα ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面βC 若直线m 与平面α内的一条直线平行，则α//mD 若直线a 与直线b 平行，且直线a l ⊥，则b l ⊥3.直线03=+y x 被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（ ）A 1B 2C 3D 324．在ABC ∆中，“B B A A sin cos sin cos +=+”是“ 90=C ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知0a >，,x y 满足约束条件1,3,(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）A ．12 B ．14C ．1D ．2 6．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（ ）A.34 B.32C. 3 D ．2 37、右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A 、1000N P =B 、 41000N P =C 、1000MP =D 、41000MP =8.在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若7321...a a a a a k ++++=，则k =( ) A ．22 B ．23 C ．24 D ．259.已知直线a y x =+与圆422=+y x 交于A,B 两点，且-=+,其中O 为坐标原点，则实数a 的值为（ ）A. 2B. -2C. 2或-2 D 6或6-10．若()f x 是R 上的减函数,且(0)3,(3)1f f ==-，设{}1()3P x f x t =-<+<，{}()1Q x f x =<-，若“”x P x Q ∈∈“” 是的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( )A ．0t ≤B ．0t ≥C ．3t ≤-D ．3t ≥-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11.若数据组821,...,,k k k 的平均数为3，方差为3，则1282(3),2(3),,2(3)k k k +++的方差为______。
山西省太原市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
（2）在（1）的条件下，若直线 与圆 的相交弦长为 ，求实数 的值.
（1）∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，
∵圆 与圆 外切，∴ ，∴ ，∴ ；
（2）由（1）得 ，圆 的方程为 ， ， ，
由题意可得圆心 到直线 的距离 ，
∴ 或 .
20.如图，在四棱锥 中， ， , , , 是正三角形.
【答案】C
12.将边长为2的正 沿着高 折起，使 ，若折起后 四点都在球 的表面上，则球 的表面积为（ 二、填空题（共4个小题，每题4分，共16分）
13.圆 的半径为______________.
【答案】
14.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 ，圆心角为 的扇形，则此圆锥的体积为．
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】B
7.已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三尺，无广，高四尺.问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为 ，则该鳖臑的体积为（ ）
2019~2020学年第一学期高二年级阶段性测评数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知点 ， ，则直线 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2.在空间直角坐标系中，点 与 之间的距离为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
17.已知 的顶点 ， ， 是 的中点.
山西省太原市2019-2020学年中考五诊数学试题含解析
山西省太原市2019-2020学年中考五诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，嘉淇同学拿20元钱正在和售货员对话，且一本笔记本比一支笔贵3元，请你仔细看图，1本笔记本和1支笔的单价分别为( )A ．5元，2元B ．2元，5元C ．4.5元，1.5元D ．5.5元，2.5元2．如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使顶点A 与顶点C 重合在一起，EF 为折痕．若AB=9，BC=3，试求以折痕EF 为边长的正方形面积（ ）A ．11B ．10C ．9D ．163．如图，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=7，点E 为BC 上一动点，把△ABE 沿AE 折叠，当点B 的对应点B′落在∠ADC 的角平分线上时，则点B′到BC 的距离为（ ）A ．1或2B ．2或3C ．3或4D ．4或5 4．若实数m 满足22210⎛⎫++= ⎪⎝⎭m m ，则下列对m 值的估计正确的是（ ） A ．﹣2＜m ＜﹣1 B ．﹣1＜m ＜0C ．0＜m ＜1D ．1＜m ＜2 5．如图，在ABC V 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA P ，DF BA P ．下列四种说法： ①四边形AEDF 是平行四边形；②如果90BAC ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形；④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形. 其中，正确的有（ ） 个A．1 B．2 C．3 D．46．为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图(如图)．估计该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有（）A．12 B．48 C．72 D．967．根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p（p a）与它的体积v（m3）的乘积是一个常数k，即pv=k（k为常数，k＞0），下列图象能正确反映p与v之间函数关系的是（）A．B．C．D．8．据相关报道，开展精准扶贫工作五年以来，我国约有55000000人摆脱贫困，将55000000用科学记数法表示是（）A．55×106B．0.55×108C．5.5×106D．5.5×1079．某一公司共有51名员工（包括经理），经理的工资高于其他员工的工资，今年经理的工资从去年的200000元增加到225000元，而其他员工的工资同去年一样，这样，这家公司所有员工今年工资的平均数和中位数与去年相比将会（）A．平均数和中位数不变B．平均数增加，中位数不变C．平均数不变，中位数增加D．平均数和中位数都增大10．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝1．则∠BDC的度数是（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°11．已知关于x 的一元二次方程2230x kx -+=有两个相等的实根，则k 的值为（ ）A ．26±B ．6±C ．2或3D ．2或312．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 9的值为（ ）A ．（12）6B ．（12）7C ．（22）6D ．（22）7 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．分解因式：a 3b+2a 2b 2+ab 3＝_____．14．当03x ≤≤时，直线y a =与抛物线2(1)3y x =﹣﹣有交点，则a 的取值范围是_______．15．方程3211x x x---＝1的解是___. 16．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，点E 为AB 上一点，AE=23，点F 在AD 上，将△AEF 沿EF 折叠，当折叠后点A 的对应点A′恰好落在BC 的垂直平分线上时，折痕EF 的长为_____．17．－3的倒数是___________18．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，4)，直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，过点C作BC的垂线交⊙O于D，点E在BC的延长线上，且∠DEC ＝∠BAC．求证：DE是⊙O的切线；若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求⊙O直径的长．20．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB 于点E．求证：FC=2BF．21．（6分）化简：（x-1-2x2x1-+）÷2x xx1-+.22．（8分）阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE．(1)在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：(2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD；(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．23．（8分）对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）=22ax byx y++（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T（3，1）=22319314a b a b⨯+⨯+=+，T（m，﹣2）=242am bm+-．填空：T（4，﹣1）=（用含a，b的代数式表示）；若T（﹣2，0）=﹣2且T（5，﹣1）=1．①求a与b的值；②若T（3m﹣10，m）=T（m，3m﹣10），求m的值．24．（10分）某小学为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如下：补全条形统计图；求扇形统计图扇形D的圆心角的度数；若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？25．（10分）某商店老板准备购买A、B两种型号的足球共100只，已知A型号足球进价每只40元，B 型号足球进价每只60元．（1）若该店老板共花费了5200元，那么A、B型号足球各进了多少只；（2）若B型号足球数量不少于A型号足球数量的23，那么进多少只A型号足球，可以让该老板所用的进货款最少？26．（12分）2018年4月22日是第49个世界地球日，今年的主题为“珍惜自然资源呵护美丽国土一讲好我们的地球故事”地球日活动周中，同学们开展了丰富多彩的学习活动，某小组搜集到的数据显示，山西省总面积为15.66万平方公里，其中土石山区面积约5.59万平方公里，其余部分为丘陵与平原，丘陵面积比平原面积的2倍还多0.8万平方公里．（1）求山西省的丘陵面积与平原面积；（2）活动周期间，两位家长计划带领若干学生去参观山西地质博物馆，他们联系了两家旅行社，报价均为每人30元．经协商，甲旅行社的优惠条件是，家长免费，学生都按九折收费；乙旅行社的优惠条件是，家长、学生都按八折收费．若只考虑收费，这两位家长应该选择哪家旅行社更合算？27．（12分）在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两个点()11,Q x y 与()22,P x y .若Q 、P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，当该直角三角形的两条直角边分别与x 轴或y 轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q 与点P 之间的“直距”记做PQ D ，特别地，当PQ 与某条坐标轴平行（或重合）时，线段PQ 的长即为点Q 与点P 之间的“直距”．例如下图中，点()1,1P ，点()3,2Q ，此时点Q 与点P 之间的“直距”3PQ D =.（1）①已知O 为坐标原点，点()2,1A -，()2,0B -，则AO D =_________，BO D =_________； ②点C 在直线3y x =-+上，求出CO D 的最小值；（2）点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F 是直线24y x =+上一动点.直接写出点E 与点F 之间“直距”EF D 的最小值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】可设1本笔记本的单价为x 元，1支笔的单价为y 元，由题意可得等量关系：①3本笔记本的费用+2支笔的费用=19元，②1本笔记本的费用﹣1支笔的费用=3元，根据等量关系列出方程组，再求解即可．【详解】设1本笔记本的单价为x 元，1支笔的单价为y 元，依题意有：322013x y x y +=-⎧⎨-=⎩，解得：52x y =⎧⎨=⎩． 故1本笔记本的单价为5元，1支笔的单价为2元．故选A ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系设出未知数，列出方程组．2．B【解析】【分析】根据矩形和折叠性质可得△EHC ≌△FBC ，从而可得BF=HE=DE ，设BF=EH=DE=x ，则AF=CF=9﹣x ，在Rt △BCF 中，由BF 2+BC 2=CF 2可得BF=DE=AG=4，据此得出GF=1，由EF 2=EG 2+GF 2可得答案．【详解】如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，∠D=∠B=90°，根据折叠的性质，有HC=AD ，∠H=∠D ，HE=DE ，∴HC=BC ，∠H=∠B ，又∠HCE+∠ECF=90°，∠BCF+∠ECF=90°，∴∠HCE=∠BCF ，在△EHC 和△FBC 中，∵H B HC BC HCE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EHC ≌△FBC ，∴BF=HE ，∴BF=HE=DE ，设BF=EH=DE=x ，则AF=CF=9﹣x ，在Rt △BCF 中，由BF 2+BC 2=CF 2可得x 2+32=（9﹣x ）2，解得：x=4，即DE=EH=BF=4，则AG=DE=EH=BF=4，∴GF=AB ﹣AG ﹣BF=9﹣4﹣4=1，∴EF 2=EG 2+GF 2=32+12=10，故选B ．【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等，综合性较强，熟练掌握各相关的性质定理与判定定理是解题的关键.3．A【解析】【分析】连接B′D ，过点B′作B′M ⊥AD 于M ．设DM=B′M=x ，则AM=7-x ，根据等腰直角三角形的性质和折叠的性质得到：（7-x ）2=25-x 2，通过解方程求得x 的值，易得点B′到BC 的距离．【详解】解：如图，连接B′D ，过点B′作B′M ⊥AD 于M ，∵点B 的对应点B′落在∠ADC 的角平分线上，∴设DM=B′M=x ，则AM=7﹣x ，又由折叠的性质知AB=AB′=5，∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：222''AM AB B M =-，即22(7)25x x -=-，解得x=3或x=4，则点B′到BC 的距离为2或1．故选A ．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．4．A【解析】试题解析：∵222(1)0mm++=，∴m2+2+4m=0，∴m2+2=-4m，∴方程的解可以看作是函数y=m2+2与函数y=-4m，作函数图象如图，在第二象限，函数y=m2+2的y值随m的增大而减小，函数y=-4m的y值随m的增大而增大，当m=-2时y=m2+2=4+2=6，y=-4m=-42-=2，∵6＞2，∴交点横坐标大于-2，当m=-1时，y=m2+2=1+2=3，y=-4m=-41-=4，∵3＜4，∴交点横坐标小于-1，∴-2＜m＜-1．故选A．考点：1.二次函数的图象；2.反比例函数的图象．5．D【解析】【分析】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF为平行四边形，得出①正确；当∠BAC=90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD=∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形AEDF 是菱形，④正确，进而得到正确说法的个数．【详解】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；若∠BAC=90°，∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；若AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，又DE∥CA，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=DE，∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；若AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④正确，则其中正确的个数有4个．故选D．【点睛】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形、矩形及菱形的判定与性质是解本题的关键．6．C【解析】【详解】解:根据图形，身高在169.5cm～174.5cm之间的人数的百分比为：12100%=24% 6+10+16+12+6，∴该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有300×24%＝72(人)．故选C．7．C【解析】【分析】根据题意有：pv=k（k为常数，k＞0），故p与v之间的函数图象为反比例函数，且根据实际意义p、v都大于0，由此即可得.【详解】∵pv=k（k为常数，k＞0）∴p=kv（p＞0，v＞0，k＞0），故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．8．D【解析】试题解析：55000000=5.5×107， 故选D ．考点：科学记数法—表示较大的数9．B【解析】【分析】本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．【详解】解：设这家公司除经理外50名员工的工资和为a 元，则这家公司所有员工去年工资的平均数是20000051a +元，今年工资的平均数是22500051a +元，显然 2000002250005151a a ++＜； 由于这51个数据按从小到大的顺序排列的次序完全没有变化，所以中位数不变．故选B ．【点睛】本题主要考查了平均数，中位数的概念，要掌握这些基本概念才能熟练解题．同时注意到个别数据对平均数的影响较大，而对中位数和众数没影响．10．B【解析】【分析】只要证明△OCB 是等边三角形，可得∠CDB=12∠COB 即可解决问题. 【详解】如图，连接OC ，∵AB=14，BC=1，∴OB=OC=BC=1，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠CDB=12∠COB=30°，故选B．【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题型．11．A【解析】【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的方程，解之即可得出结论．【详解】∵方程2230x kx-+=有两个相等的实根，∴△=k2-4×2×3=k2-24=0，解得：k=26±．故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．12．A【解析】试题分析：如图所示．∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，∴S2+S2=S1．观察发现规律：S1=22=4，S2=12S1=2，S2=12S2=1，S4=12S2=12，…，由此可得S n=（12）n﹣2．当n=9时，S9=（12）9﹣2=（12）6，故选A．考点：勾股定理．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．ab （a+b ）1．【解析】【详解】a 3b+1a 1b 1+ab 3＝ab （a 1+1ab+b 1）＝ab （a+b ）1．故答案为ab （a+b ）1．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．14．31a -≤≤【解析】【分析】直线y a ＝与抛物线213y x ＝（﹣）﹣有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算． 【详解】解:法一：y a ＝与抛物线213y x ＝（﹣）﹣有交点 则有213a x ＝（﹣）﹣，整理得2220x x a ﹣﹣﹣＝244420b ac a ∴∆++≥＝﹣＝（）解得3a ≥﹣，03x ≤≤Q ，对称轴1x ＝23131y ∴＝（﹣）﹣＝1a ∴≤法二：由题意可知，∵抛物线的 顶点为13（，﹣），而03x ≤≤∴抛物线y 的取值为31y ≤≤﹣ y a Q ＝，则直线y 与x 轴平行，∴要使直线y a ＝与抛物线213y x ＝（﹣）﹣有交点，∴抛物线y 的取值为31y ≤≤﹣，即为a 的取值范围， ∴31a ≤≤﹣故答案为：31a -≤≤【点睛】考查二次函数图象的性质及交点的问题，此类问题，通常可化为一元二次方程，利用根的判别式或根与系数的关系进行计算．15．x ＝﹣4【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解.【详解】去分母得：3+2x ＝x ﹣1，解得：x ＝﹣4，经检验x ＝﹣4是分式方程的解.【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.16．4或43. 【解析】 【分析】 ①当AF ＜12AD 时，由折叠的性质得到A′E=AE=23，AF=A′F ，∠FA′E=∠A=90°，过E 作EH ⊥MN 于H ，由矩形的性质得到MH=AE=23，根据勾股定理得到A′H=22=3A E HE '-，根据勾股定理列方程即可得到结论；②当AF ＞12AD 时，由折叠的性质得到A′E=AE=23，AF=A′F ，∠FA′E=∠A=90°，过A′作HG ∥BC 交AB 于G ，交CD 于H ，根据矩形的性质得到DH=AG ，HG=AD=6，根据勾股定理即可得到结论．【详解】①当AF ＜12AD 时，如图1，将△AEF 沿EF 折叠，当折叠后点A 的对应点A′恰好落在BC 的垂直平分线上，则3AF=A′F ，∠FA′E=∠A=90°，设MN 是BC 的垂直平分线，则AM=12AD=3， 过E 作EH ⊥MN 于H ，则四边形AEHM 是矩形，∴3∵A′H=22=3A E HE'-，∴A′M=3，∵MF2+A′M2=A′F2，∴（3-AF）2+（3）2=AF2，∴AF=2，∴EF=22AF AE+=4；②当AF＞12AD时，如图2，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，则3AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，设MN是BC的垂直平分线，过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，则四边形AGHD是矩形，∴DH=AG，HG=AD=6，∴A′H=A′G=12HG=3，∴22A E A G'-'3∴3，∴22HF A H+'=6，∴22A E A F'+'=43综上所述，折痕EF的长为4或3故答案为：4或3【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质和判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．17．1 3 -【解析】乘积为1的两数互为相反数，即a的倒数即为1a，符号一致【详解】∵－3的倒数是1 3 -∴答案是1 3 -18．28 5【解析】【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案【详解】解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，当PM⊥AB时，PM最短，因为直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，22345+=，∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，∴△PBM∽△ABO，∴PB PM AB AO=，即：754PM =，所以可得：PM=285．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）见解析；（2）⊙O直径的长是5．【解析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BDC∽△BED，求出BD，即可得出结论．【详解】证明：（1）连接BD，交AC于F，∵DC⊥BE，∴∠BCD＝∠DCE＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵弧BC=弧BC，∴∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴BD⊥DE，∴DE是⊙O切线；解：（2）∵AC∥DE，BD⊥DE，∴BD⊥AC．∵BD是⊙O直径，∴AF＝CF，∴AB＝BC＝8，∵BD⊥DE，DC⊥BE，∴∠BCD＝∠BDE＝90°，∠DBC＝∠EBD，∴△BDC∽△BED，∴BDBE＝BCBD，∴BD2＝BC•BE＝8×10＝80，∴BD＝5即⊙O直径的长是45．【点睛】此题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，第二问中求出BC=8是解本题的关键．20．见解析【解析】【分析】连接AF，结合条件可得到∠B=∠C=30°，∠AFC=60°，再利用含30°直角三角形的性质可得到AF=BF=12CF，可证得结论．【详解】证明：连接AF，∵EF为AB的垂直平分线，∴AF=BF，又AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=∠BAF=30°，∴∠FAC=90°，∴AF=FC，∴FC=2BF．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．21．x1 x -【解析】【分析】根据分式的混合运算先计算括号里的再进行乘除. 【详解】（x-1-2x2x1-+）÷2x xx1-+=2x12x2x1--++·x1x x1+-（）=()2x1x1-+·x1x x1+-（）=x1x-【点睛】此题主要考查分式的计算，解题的关键是先进行通分，再进行加减乘除运算.22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =12m°.【解析】分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可；（2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明△ABD≌△CBE 即可解决问题；（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=12m°.详（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，AD AEDAB EACAB AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DAB≌△EAC，∴BD=EC．（2）证明：如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．∵DB=DE，∠BDC=60°，∴△BDE是等边三角形，∴∠BD=BE，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBE，∵AB=BC，∴△ABD≌△CBE，∴AD=EC，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD．∴AD+CD=BD．（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．由（1）可知△EAB≌△GAC，∴∠1=∠2，BE=CG，∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，∴△EDB≌△MDC，∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，∵∠EBC=∠ACF，∴∠MCD=∠ACF，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，∴△CFG≌△CFM，∴FG=FM，∵ED=DM，DF⊥EM，∴FE=FM=FG，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，∴∠EAF=∠FAG=12 m°．点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．23．（1）163a b；（2）①a=1,b=-1,②m=2．【解析】【分析】（1）根据题目中的新运算法则计算即可；（2）①根据题意列出方程组即可求出a,b的值；②先分别算出T（3m﹣3，m）与T（m，3m﹣3）的值，再根据求出的值列出等式即可得出结论. 【详解】解：（1）T（4，﹣1）==；故答案为；（2）①∵T（﹣2，0）=﹣2且T（2，﹣1）=1，∴解得②解法一：∵a=1，b=﹣1，且x+y≠0，∴T（x，y）===x﹣y．∴T（3m﹣3，m）=3m﹣3﹣m=2m﹣3，T（m，3m﹣3）=m﹣3m+3=﹣2m+3．∵T（3m﹣3，m）=T（m，3m﹣3），∴2m﹣3=﹣2m+3，解得，m=2．解法二：由解法①可得T（x，y）=x﹣y，当T（x，y）=T（y，x）时，x﹣y=y﹣x，∴x=y．∵T（3m﹣3，m）=T（m，3m﹣3），∴3m﹣3=m，∴m=2．【点睛】本题关键是能够把新运算转化为我们学过的知识，并应用一元一次方程或二元一次方程进行解题.. 24．（1）补图见解析；（2）27°；（3）1800名【解析】【分析】（1）根据A类的人数是10，所占的百分比是25%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得B类的人数；（2）用360°乘以对应的比例即可求解；（3）用总人数乘以对应的百分比即可求解．【详解】(1)抽取的总人数是：10÷25%=40(人)，在B类的人数是：40×30%=12(人).；(2)扇形统计图扇形D的圆心角的度数是：360×340=27°；(3)能在1.5小时内完成家庭作业的人数是：2000×(25%+30%+35%)=1800(人).考点：条形统计图、扇形统计图．25．（1）A型足球进了40个，B型足球进了60个；（2）当x=60时，y最小=4800元. 【解析】【分析】（1）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,根据该店老板共花费了5200元列方程求解即可；（2）设进货款为y元，根据题意列出函数关系式，根据B型号足球数量不少于A型号足球数量的23求出x的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可. 【详解】解：（1）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个, ∴ 40x +60（100-x）=5200 ,解得：x=40 ,∴100-x=100-40=60个,答：A型足球进了40个，B型足球进了60个．（2）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,100-x≥23 x,解得：x≤60 ,设进货款为y元，则y=40x+60(100-x)=-20x+6000 ,∵k=-20，∴y随x的增大而减小,∴当x=60时，y最小=4800元.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，仔细审题，找出解决问题所需的数量关系是解答本题的关键.26．（1）平原面积为3.09平方公里，丘陵面积为6.98平方公里；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先设山西省的平原面积为x平方公里，则山西省的丘陵面积为（2x+0.8）平方公里，再根据总面积=平原面积+丘陵面积+土石山区面积列出等式求解即可；（2）先分别列出甲、乙两个旅行社收费与学生人数的关系式，然后再分情况讨论即可.【详解】解：（1）设山西省的平原面积为x平方公里，则山西省的丘陵面积为（2x+0.8）平方公里．由题意：x+2x+0.8+5.59=15.66，解得x=3.09，2x+0.8=6.98，答：山西省的平原面积为3.09平方公里，则山西省的丘陵面积为6.98平方公里．（2）设去参观山西地质博物馆的学生有m人，甲、乙旅行社的收费分别为y甲元，y乙元．由题意：y甲=30×0.9m=27m，y 乙=30×0.8（m+2）=24m+48，当y 甲=y 乙时，27m=24m+48，m=16，当y 甲＞y 乙时，27m ＞24m+48，m ＞16，当y 甲＜y 乙时，27m ＜24m+48，m ＜16，答：当学生人数为16人时，两个旅行社的费用一样．当学生人数为大于16人时，乙旅行社比较合算．当学生人数为小于16人时，甲旅行社比较合算．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的应用.27．（1）①3，1；②最小值为3；（1）252-【解析】【分析】（1）①根据点Q 与点P 之间的“直距”的定义计算即可；②如图3中，由题意，当D CO 为定值时，点C 的轨迹是以点O 为中心的正方形（如左边图），当D CO ＝3时，该正方形的一边与直线y ＝－x ＋3重合（如右边图），此时D CO 定值最小，最小值为3；（1）如图4中，平移直线y ＝1x ＋4，当平移后的直线与⊙O 在左边相切时，设切点为E ，作EF ∥x 轴交直线y ＝1x ＋4于F ，此时D EF 定值最小；【详解】解：（1）①如图1中，观察图象可知D AO ＝1＋1＝3，D BO ＝1，故答案为3，1．②（i ）当点C 在第一象限时（03x <<），根据题意可知，CO D 为定值，设点C 坐标为(),3x x -+，则()33CO D x x =+-+=，即此时CO D 为3；（ii ）当点C 在坐标轴上时（0x =，3x =），易得CO D 为3；（ⅲ）当点C 在第二象限时（0x <），可得()3233CO D x x x =-+-+=-+>；（ⅳ）当点C 在第四象限时（3x >），可得()3233CO D x x x ⎡⎤⎣⎦=+--+=->；综上所述，当03x 剟时，CO D 取得最小值为3； （1）如解图②，可知点F 有两种情形，即过点E 分别作y 轴、x 轴的垂线与直线24y x =+分别交于1F 、2F ；如解图③，平移直线24y x =+使平移后的直线与O e 相切，平移后的直线与x 轴交于点G ，设直线24y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，观察图象，此时1EF 即为点E 与点F 之间“直距”EF D 的最小值.连接OE ，易证MON GEO ∽△△，∴MN ON GO OE =，在Rt MON △中由勾股定理得25MN =，∴2541=，解得5GO =，∴152EF D EF MG MO GO ===-=-.【点睛】本题考查一次函数的综合题，点Q 与点P 之间的“直距”的定义，圆的有关知识，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用新的定义，解决问题，属于中考压轴题．失分原因第（1）问 （1）不能根据定义找出AO 、BO 的“直距”分属哪种情形；（1）不能找出点C 在不同位置时， 的取值情况，并找到 的最小值第（1）问 （1）不能根据定义正确找出点E 与点F 之间“直距” 取最小值时点E 、F 的位置；（1）不能想到由相似求出GO 的值。
山西省太原市第五中学2019_2020学年高二数学上学期10月阶段性检测试题文
( )（也称主视图）是月阶段山西省太原市第五中学2019-2020学年高二数学上学期10文性检测试题． C．．A D． B 每小题只有一个正确答案）40分,,一、选择题（每小题4分共下列命题正确的是1.( )ABABCOPAO且内接于⊙所在的平面，△A. 棱柱的侧面都是长方形 B. 棱柱的所有面都是四边形 6.如图所示，直线垂直于⊙，OMBCOMPCPB//⊥为⊙为线段的直径，点；②的中点．现有结论：①棱柱的侧棱不一定相等C. D. —个棱柱至少有五个面BCPACAPCB的长．其中正确的是到平面；③点的距离等于线段平面?245的等2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为腰为，上底为1，( )( ) 腰梯形，那么原平面图形的面积是．①A．①② B．①②③ C D．②③2 A. D. B. C.228422在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五7.2ABFEDA四边，⊥平面面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，?nm、( ) ，下列结论正确的是和平面3.已知两条不同的直线EFABFECDEFABCDEFABADEF，，=8形，=均为等腰梯形，，//=4//??,n/m/n??m，则；① ABCD( )的距离为6，则这个“羡除”体积是到平面??//m//,nnm//，则；②58B96 ．72 C．64 D．A．ACABCDACAB=ABCBCBC所在的直线折起，8.在平面四边形2中，⊥，将△，沿对角线=1，????m,nnm//③；，则ACDABACDABC( ) 与平面使平面⊥平面所成角为，则直线??nm n/m/. 所成角的大小等于与平面所成角的大小，则④与平面????52 B． C ．． A． D ①②①③A. B. D. C. ②③①④66332?CD?AD、BDAB=AD、EF ABCD，中，是的中点，如图，平面四边形9.632，，ABCP则该三棱锥的三棱锥4.-，三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为222??BDBDAA BDABD90??BDC⊥平沿对角线，折起至△，使平面，将△2?BD2( )外接球的表面积为??ABCD BCD中，下列结论不正确的是( )面，则四面体 A. 4πD. 10π C. 8πB. 6πE D?ABCDCABBB点，是，中棱点中的体正在5.方过用11111C、E、A的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图11??BCABA CDEF点 .．A所成的角为//平面与90° B．异面直线??CACA BCDEFABEBBCC所成的角为所成的角为60° DC．异面直线．直线与30°与平面；⊥平面 (1)求证:平面?1?AC=BC，长为2，中直三棱柱,侧棱图10.如,111CFABE.11CABABC:∥平面(2)求证DFBBBAB、A=90ACB?EFD.的中点，上的动点，，是是交于点1111CDEABCDBCD=P-ABCD是是1?边长为1的菱形，∠1017.（分）如图,四棱锥60°,的底面FBCABDF( ) 的长为要使⊥平面，则线段1113?PAPAABCD. ⊥底面,的中点，3112． B．． C． DA22PABBE求证:；⊥平面(1)分）分，共二、填空题（每小题420 .两个球的体积之比是8:27，那么两个球的表面积的比为11.A-BE-P.(2)求二面角的大小ABCOPP-ABCPA=PB=PCABCO是的垂线，垂足为12.三棱锥中，，则点，过点作平面的ABBCMABCA的中点．－中，是分）如图，直三棱柱18.（10111.心MCABC (1)证明：；∥平面11112CAMMCMCABCAB的距离．＝2到平面＝2，，求点 (2)若＝＝BBNBBBMDMDDDABCDNACBDD，＝和中，，，13.在正方体-上的点，分别是棱＝1111111111133CNM.，的截面图形是那么正方体过点边形，119. （10分）在菱形中，，为线段CBAABC?3=2AAFD、2AB?，，如图，在正三棱柱中，14.1111的中点（如图1）．将沿折起到AA AB DEFEAC的周长的最小上的动点，则△的中点，、分别是棱为棱的位置，使得平面平面1，为线段的中点（如图2）． .值为（1）求证：；3?23?SBSAS-ABCABC，二面角，的等边三角形，3中，△15.在三棱锥是边长为（2）求证：平面；S-AB-C .的大小为120°，则此三棱锥的外接球的半径为（3）当四棱锥的体积为时，求的值．10解答题（每小题40分，共分）. 三CABC-AB侧棱垂直于底如图分16.(10)中在三棱柱,,文科答案111BCCBC = A= AC = 、AAFBC、ABE 的中2,1,,⊥,面分别是11 11-5: DCABA 6-10: BCBCA2CDAB,又∥ 11.4:9 12.外 13.五 15.14.AB.BE所以⊥AB.CBBBABC.BBABC-A中,在三棱柱所以⊥底面⊥16.(1)证明:11111ABCDBEPAABCD, ⊥平面?,平面又因为BCAB, ⊥又因为BE.PA⊥所以.BCCABB所以⊥平面11PAB.AB=ABEPA ,因此⊥平面而∩.BCCBABE所以平面⊥平面11PABPBPABBE, ?:由(1)知⊥平面平面, (2)解.FGGABEG ,连接,:(2)证明取如图的中点,BEABPBBE.,⊥所以⊥又BCCFEA,,分别是的中点因为,11.PBAA-BE-P是二面角所以∠的平面角FGFGAC且所以∥,PBA=PABPBA,,tan∠60∠°△在Rt中CCAACAC=A, ∥,且因为1111.A-BE-P°故二面角的大小是60.ECFGFG=EC所以∥,且11.FGEC为平行四边形所以四边形1EG.CF∥所以1ABEABEFEGC, ?平面又因为?,平面1ABE.CF∥平面所以1.BCD=BDBCDABCD△,°知60且∠,由,连接,如图证明17. (1):是菱形是等边三角形CDE, 的中点是因为CD.BE所以⊥318.19.）（1中，，，的中点，分别是线段因为在证．，所以明：的中点，菱形，中，因为，是线段因为在菱，所以，．所以形，所以四边形所以为平行四边形，所以，，．平面因为，所以平面，平面中，）知平面是四棱锥）由（1，所以的高，3（，，又，为线段．因为，所以的中点，．所以平面，平面平面因为平面，平面，所以．平面因为平面．，所以PMOP的中点，连接为线段2（）证明：如图，取，，4。
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密学校 班级姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题太原五中2019-2020学年度第一学期阶段性检测高 二 数学（理）出题人、校对人：阴瑞玲、闫晓婷、王泽宇（2019.10.17）一、选择题（每小题4分,共40分,每小题只有一个正确答案） 1.下列命题正确的是( )A.棱柱的侧面都是长方形 B. 棱柱的所有面都是四边形 C. 棱柱的侧棱不一定相等D. —个棱柱至少有五个面2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，上底为1腰梯形，那么原平面图形的面积是( ) A.2B. C. D.3.已知两条不同的直线m n 、，和平面α，下列结论正确的是( ) ①//,m n n α⊥，则m α⊥； ②//,//m nαα，则//m n ；③,m nαα⊥⊥，则//m n ；④m 与平面α所成角的大小等于n 与平面α所成角的大小，则//m n . A. ①③ B. ①②C. ②③D. ①④4.三棱锥P -ABC 三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A. 4πB. 6πC. 8πD. 10π5.在正方体1111A B C D A B C D -中，E 是棱1BB 的中点，用过点1A E C 、、的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是( )A ．B ．C ．D ．6.如图所示，直线P A 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM //平面APC ；③点B 到平面P AC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③7.在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，DA ⊥平面ABFE ，四边形ABFE ，CDEF 均为等腰梯形，AB //CD //EF ，AB =AD =4，EF =8，EF 到平面ABCD 的距离为6，则这个“羡除”体积是( ) A ．96B ．72C ．64D ．588.在平面四边形ABCD 中，AC ⊥BC ，BC =1，AB=2，将△ABC 沿对角线AC 所在的直线折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，则直线AB 与平面ACD 所成角为() A ．3π B ．6π C ．56πD．23π 9.如图，平面四边形ABCD 中，E F 、是AD BD 、的中点，=2AB AD CD ==，BD =，90BDC ∠=，将△ABD 沿对角线BD 折起至△A BD '，使平面A BD '⊥平面BCD ，则四面体A BCD '-中，下列结论不正确的是( )A ．EF //平面A BC 'B ．异面直线CD 与A B '所成的角为90°C ．异面直线EF 与A C '所成的角为60°D ．直线A C '与平面BCD 所成的角为30° 10.如图,直三棱柱111ABC A B C -中,侧棱长为2，=1AC BC =，=90ACB ︒∠，D 是11A B 的中点，F 是1BB 上的动点，1AB DF 、交于点E .要使1AB ⊥平面1C DF ，则线段1B F 的长为( )A ．12B ．1C ．32D ．2二、填空题（每小题4分，共20分）14.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA ，D F 、分别是棱AB 、1AA 的中点，E 为棱AC 上的动点，则△DEF 的周长的最小值为 .15.在三棱锥S-ABC 中，△ABC 是边长为3的等边三角形，SA =SB 32=，二面角S-AB-C 的大小为120°，则此三棱锥的外接球的半径为 .三、解答题（每小题10分，共40分）16.(10分)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,AB ⊥BC ,AA 1 = AC = 2,BC = 1,E 、F 分别是A 1C 1、BC 的中点.(1)求证:平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证:C 1F ∥平面ABE .17.（10分）如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD =60°,E 是CD 的中点,PA ⊥底面ABCD ，PA =(1)求证:BE ⊥平面PAB ； (2)求二面角A-BE-P 的大小.18.（10分）在棱长为3的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在棱AB 、CD 上，且AE ＝CF ＝1.(1)求异面直线A 1E 与C 1F 所成角的余弦值； (2)求四面体EFC 1A 1的体积．19.（10分）如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB PC ⊥，AD BC ，AD CD ⊥，且2PC BC AD ==2CD ==2PA =． (1) P A ⊥平面ABCD ；(2)在线段PD 上，是否存在一点M，使得二面角M-AC-D 大小为60°？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．1A AB密学校 班级姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题太原五中2019-2020学年度第一学期阶段性检测高 二 数 学（理）出题人、校对人：阴瑞玲、闫晓婷、王泽宇（2019.10.17）一、选择题（每小题4分,共40分,每小题只有一个正确答案） 1.下列命题正确的是( )A. 棱柱的侧面都是长方形B.棱柱的所有面都是四边形 C. 棱柱的侧棱不一定相等 D.—个棱柱至少有五个面 【答案】DA 不对，侧面都是平行四边形，不一定都是长方形；B 不对，三棱柱的底面是三角形；C 不对，棱柱的侧棱一定相等；D 对，三棱柱的面最少，三个侧面两个底面共5个面，其他棱柱都多余5个面,故选D . 2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，上底为1腰梯形，那么原平面图形的面积是( ) A.2B.C. D.【答案】C依题意，四边形ABCD 是一个底角为，上底为，腰为的等腰梯形，过C,D 分别做，，则和为斜边长为的等腰直角三角形，所以AE=DE=BF =1，又EF=CD=1，梯形ABCD 的面积：在斜二测画直观图时，直观图的面积与原图的面积之比为：即： .故选C.3.已知两条不同的直线m n 、，和平面α，下列结论正确的是( ) ①//,m n n α⊥，则m α⊥； ②//,//m n αα，则//m n ； ③,m n αα⊥⊥，则//m n ；④m 与平面α所成角的大小等于n 与平面α所成角的大小，则//m n . A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ①④【答案】A ②不对，因为直线可能平行可能相交也可能异面；④不对，线m,n 可能平行可能相交也可能异面；故选A . 4.三棱锥P -ABC 三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为222，，，则该三棱锥的外接球的表面积为()A. 4πB. 6πC. 8πD. 10π 【答案】B三棱锥P−ABC 的三条侧棱P A 、PB 、PC 两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PA a PB b PC c ===，，，则111222ab bc ca ===，解得,1,a b c ====所以球的半径长R ，则球的表面积S=4πR 2=6π，故选B. 5.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1BB 的中点，用过点1A E C 、、的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A剩余部分的直观图如图： 则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A ．6.如图所示，直线P A 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面P AC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( ) A ．①② B ．①②③ C ．① D ．②③ 【答案】B对于①，∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC .∵AB 为⊙O 的直径，∴BC ⊥AC ，又∵P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ， 又PC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥PC .对于②，∵点M 为线段PB 的中点，∴OM ∥P A ， ∵P A ⊂平面P AC ，OM ⊄平面P AC ，∴OM ∥平面P AC . 对于③，由①知BC ⊥平面P AC ，∴线段BC 的长即是点B 到平面P AC 的距离，故①②③都正确．故选B. 7.在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，DA ⊥平面ABFE ，四边形ABFE ，CDEF 均为等腰梯形，AB //CD //EF ，AB =AD =4，EF =8，EF 到平面ABCD 的距离为6，则这个“羡除”体积是( )A ．96B ．72C ．64D ．58【答案】C如图所示，多面体切割为两个三棱锥E ﹣AGD ，F ﹣HBC 和一个直三棱柱GAD ﹣HBC ，因为，且到平面ABCD 的距离为6，，所以这个“羡除”体积为．故选C ．8.在平面四边形ABCD 中，AC ⊥BC ，BC =1，AB=2，将△ABC 沿对角线AC 所在的直线折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，则直线AB 与平面ACD 所成角为( ) A ．3πB ．6π C ．56πD ．23π 【答案】B，则AC=，平面平面，交线为AC，BCAC ，所以BC面ACD ，所以即为直线与平面所成角，cos = ，所以=，故选B.9.如图，平面四边形ABCD 中，E F 、是AD BD 、的中点，=2AB AD CD ==，BD =90BDC ∠=，将△ABD 沿对角线BD 折起至△A BD '，使平面A BD '⊥密学校 班级姓名学号密 封 线 内 不 得 答 题平面BCD ，则四面体A BCD '-中，下列结论不正确的是( )A ．EF //平面A BC 'B ．异面直线CD 与A B '所成的角为90°C ．异面直线EF 与A C '所成的角为60°D ．直线A C '与平面BCD 所成的角为30° 【答案】C 因为，分别为和两边中点，所以，即平面，A 正确； 因为平面平面，交线为，且，所以平面，即，故B 正确； 取边中点，连接，，则，所以为异面直线与所成角， 又，，，即，故C 错误； 因为平面平面，连接，则，所以平面，连接FC ，所以为异面直线与所成角，又，∴，又，sin，∴，D正确；故选C ．10.如图,直三棱柱111ABC A B C -中,侧棱长为2，=1AC BC =，=90ACB ︒∠，D 是11A B 的中点，F 是1BB 上的动点，1AB DF 、交于点E .要使1AB ⊥平面1C DF ，则线段1B F 的长为( )A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】A设B 1F=x,因为AB 1⊥平面C 1DF,DF ⊂平面C 1DF,所以AB 1⊥DF.由已知可得A 1B 1=,设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h,则DE=h.又2×=h ,所以h=,DE=.在Rt △DB 1E 中,B 1E==.由面积相等得×=x,得x=.二、填空题（每小题4分，共20分）11.两个球的体积之比是8:27，那么两个球的表面积的比为 . 【答案】4:912.三棱锥P-ABC 中，P A=PB=PC ，过点P 作平面ABC 的垂线，垂足为O ，则点O 是ABC 的 心. 【答案】外心13.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1，那么正方体过点M ，N ，C1的截面图形是 边形.【答案】选在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1.如图，延长C 1M 交CD 的延长线于点P ，延长C 1N 交CB 的延长线于点Q ，连接PQ 交AD 于点E ，AB 于点F ，连接NF，ME ，则正方体过点M ，N ，C 1的截面图形是五边形．14.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB=，1AA ，DF 、分别是棱AB、 1AA 的中点，E 为棱AC 上的动点，则△DEF 的周长的最小值为 .【答案】15.在三棱锥S-ABC 中，△ABC 是边长为3的等边三角形，SA =SB 32=，二面角S-AB-C 的大小为120°，则此三棱锥的外接球的半径为 . 【答案】2三、解答题（每小题10分，共40分）16.(10分)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,AB ⊥BC ,AA 1 = AC = 2,BC = 1,E 、F 分别是A 1C 1、BC 的中点. (1)求证:平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证:C 1F ∥平面ABE .ABC-A 1B 1C 1中,BB 1⊥底面ABC.所以BB 1⊥AB. 又因为AB ⊥BC ,所以AB ⊥平面B 1BCC 1. 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.AB 的中点G ,连接EG ,FG ,如图.因为E ,F 分别是A 1C 1,BC 的中点,所以FG ∥AC ,且FG因为AC ∥A 1C 1,且AC=A 1C 1,所以FG ∥EC 1,且FG=EC 1. 所以四边形FGEC 1为平行四边形.所以C 1F ∥EG.又因为EG ⊂平面ABE ,C 1F ⊄平面ABE ,所以C 1F ∥平面ABE.17.（10分）如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD =60°,E 是CD 的中点,PA ⊥底面ABCD ，PA =(1)求证:BE ⊥平面PAB ； (2)求二面角A-BE-P 的大小. 【答案】,连接BD ,由ABCD 是菱形,且∠BCD=60°知,△BCD 是等边三角形.因为E 是CD 的中点,所以BE ⊥CD.密学校 班级姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题又AB ∥CD ,所以BE ⊥AB.又因为PA ⊥平面ABCD ,BE ⊂平面ABCD ,所以PA ⊥BE.而PA ∩AB=A ,因此BE ⊥平面PAB.(1)知BE ⊥平面PAB ,PB ⊂平面PAB ,所以PB ⊥BE.又AB ⊥BE ,所以∠PBA 是二面角A-BE-P 的平面角.在Rt △PAB 中,tan ∠PBA ∠PBA=60°,故二面角A-BE-P 的大小是60°.∵EF ⊂平面EFC 1，A 1N ⊄平面EFC 1，∴A 1N ∥平面EFC 1，∴VA 1－EFC 1＝VN －EFC 1＝VE －NFC 1＝31×S △NFC 1×3＝31×21×2×3×3＝3.故四面体EFC 1A 1的体积为3.19.（10分）如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB PC ⊥，AD BC ，AD CD ⊥，且2PC BC AD ==2CD ==2PA =．(1) P A ⊥平面ABCD ；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M-AC-D 大小为60°？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）∵在底面中，，且∴，∴ 又∵，，平面，平面∴平面又∵平面 ∴ ∵， ∴ 又∵，，平面，平面∴平面（2）方法一：在线段上取点，使则又由（1）得平面∴平面 又∵平面∴ 作于又∵，平面，平面∴平面 又∵平面 ∴又∵∴是二面角的一个平面角设则，这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直 ∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系且由（1）知是平面的一个法向量设 则，∴，设是平面的一个法向量则 ∴令，则，它背向二面角又∵平面的法向量，它指向二面角 这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且。