太原五中2019-2020学年度第一学期阶段性检测高二数学(理)
密
学校 班级
姓名 学号
密 封 线 内 不 得 答 题
太原五中2019-2020学年度第一学期阶段性检测
高 二 数
学(理)
出题人、校对人:阴瑞玲、闫晓婷、王泽宇(2019.10.17)
一、选择题(每小题4分,共40分,
每小题只有一个正确答案) 1.下列命题正确的是( )
A.
棱柱的侧面都是长方形 B. 棱柱的所有面都是四边形 C. 棱柱的侧棱不一定相等
D. —个棱柱至少有五个面
2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45?,上底为1腰梯形,那么原平面图形的面积是( ) A.
2
B. C. D.3.已知两条不同的直线m n 、,和平面α,下列结论正确的是( ) ①//,m n n α⊥,则m α⊥; ②//,//m n
αα,则//m n ;
③,m n
αα⊥⊥,则//m n ;
④m 与平面α所成角的大小等于n 与平面α所成角的大小,则//m n . A. ①③ B. ①②
C. ②③
D. ①④
4.三棱锥P -ABC 三条侧棱两两垂直,三个侧面面积分别为2,则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. 4π
B. 6π
C. 8π
D. 10π
5.在正方体1111A B C D A B C D -中,E 是棱1BB 的中点,用过点
1A E C 、、的平面截去该正方体的下半部分,则剩余几何体的正视图(也称主视图)是( )
A .
B .
C .
D .
6.如图所示,直线P A 垂直于⊙O 所在的平面,△ABC 内接于⊙O ,且AB 为⊙O 的直径,点M 为线段PB 的中点.现有结论:①BC ⊥PC ;②OM //平面APC ;③点B 到平面P AC 的距离等于线段BC 的长.其中正确的是( )
A .①②
B .①②③
C .①
D .②③
7.在《九章算术》中,将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”,现有一个羡除如图所示,DA ⊥平面ABFE ,四边形ABFE ,CDEF 均为等腰梯形,AB //CD //EF ,AB =AD =4,EF =8,EF 到平面ABCD 的距离为6,则这个“羡除”体积是( ) A .96
B .72
C .64
D .58
8.在平面四边形ABCD 中,AC ⊥BC ,BC =1,AB=2,将△ABC 沿对角线AC 所在的直线折起,使平面ABC ⊥平面ACD ,则直线AB 与平面ACD 所成角为(
) A .
3
π B .
6
π C .
56
π
D
.
23
π 9.如图,平面四边形ABCD 中,E F 、是AD BD 、的中点,=2AB AD CD ==,
BD =,90BDC ∠=,将△ABD 沿对角线BD 折起至△A BD ',使平面A BD '⊥
平面BCD ,则四面体A BCD '-中,下列结论不正确的是( )
A .EF //平面A BC '
B .异面直线CD 与A B '所成的角为90°
C .异面直线EF 与A C '所成的角为60°
D .直线A C '与平面BCD 所成的角为30° 10.如图,直三棱柱111ABC A B C -中,侧棱长为2,=1AC BC =,
=90ACB ?
∠,D 是11A B 的中点,F 是1BB 上的动点,1AB DF 、交于点E .
要使1AB ⊥平面1C DF ,则线段1B F 的长为( )
A .12
B .1
C .3
2
D .2
二、填空题(每小题4分,共20分)
14.如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,2AB =,1AA ,D F 、分别是棱AB 、1AA 的中点,E 为棱AC 上的动点,则△DEF 的周长的最小值为 .
15.在三棱锥S-ABC 中,△ABC 是边长为3的等边三角形,SA =SB 32=,二面角S-AB-C 的大小为120°,则此三棱锥的外接球的半径为 .
三、解答题(每小题10分,共40分)
16.(10分)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,AB ⊥BC ,AA 1 = AC = 2,BC = 1,E 、F 分别是A 1C 1、BC 的中点.
(1)求证:平面ABE ⊥平面B 1BCC 1; (2)求证:C 1F ∥平面ABE .
17.(10分)如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形,∠BCD =60°,E 是CD 的中点,PA ⊥底面ABCD ,PA =(1)求证:BE ⊥平面PAB ; (2)求二面角
A-BE-P 的大小.
18.(10分)在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别在棱AB 、CD 上,且AE =CF =1
.
(1)求异面直线
A 1E 与C 1F 所成角的余弦值; (2)求四面体EFC 1A 1的体积.
19.(10分)如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,AB PC ⊥,AD BC ,AD CD ⊥,且2PC BC AD =
=2CD ==2PA =. (1) P A ⊥平面ABCD ;
(2)在线段PD 上,是否存在一点M
,使得二面角M-AC-D 大小为60°?如果存在,求
的值;如果不存在,请说明
理由.
1
A A
B
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姓名 学号
密 封 线 内 不 得 答 题
太原五中2019-2020学年度第一学期阶段性检测
高 二 数 学(理)
出题人、校对人:阴瑞玲、闫晓婷、王泽宇(
2019.10.17)
一、选择题(每小题4分,共40分,每小题只有一个正确答案) 1.
下列命题正确的是( )
A. 棱柱的侧面都是长方形
B.
棱柱的所有面都是四边形 C. 棱柱的侧棱不一定相等 D.
—个棱柱至少有五个面 【答案】D
A 不对,侧面都是平行四边形,不一定都是长方形;
B 不对,三棱柱的底面是三角形;
C 不对,棱柱的侧棱一定相等;
D 对,三棱柱的面最少,三个侧面两个底面共
5个面,其他棱柱都多余5个面,故选
D . 2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45?,上底为1腰梯形,那么原平面图形的面积是( ) A.
2
B.
C. D.【答案】C
依题意,四边形ABCD 是一个底角为,上底为,腰为的等腰梯形,
过C,D 分别做
,
,
则和为斜边长为的等腰直角三角形,所以AE=DE=BF =1,又
EF=CD=1,梯形ABCD 的面积:
在斜二测画直观图时,直观图的面积与原图的面积之比为:
即: .故选C.
3.已知两条不同的直线m n 、,和平面α,下列结论正确的是( ) ①//,m n n α⊥,则m α⊥; ②//,//m n αα,则//m n ; ③,m n α
α⊥⊥,则//m n ;
④m 与平面α所成角的大小等于n 与平面α所成角的大小,则//m n . A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ①④
【答案】A ②不对,因为直线
可能平行可能相交也可能异面;
④不对,线m,n 可能平行可能相交也可能异面;故选A . 4.三棱锥P -ABC 三条侧棱两两垂直,三个侧面面积分别为222
,,,则该三棱锥的外接球的表面积为(
)
A. 4π
B. 6π
C. 8π
D. 10π 【答案】B
三棱锥P?ABC 的三条侧棱P A 、PB 、PC 两两互相垂直,它的外接球就是它扩展为长方体的外接球,设PA a PB b PC c ===,,,则
111222ab bc ca ===
,
解得,1,a b c =
===所以球的半径长R ,则球的表面积S=4πR 2
=6π,故选B. 5.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是棱1BB 的中点,用过点1A E C 、、的平面截去该正方体的下半部分,则剩余几何体的正视图(也称主视图)是
( )
A .
B .
C .
D .
【答案】A
剩余部分的直观图如图: 则该几何体的正视图为图中粗线部分,故选A .
6.如图所示,直线P A 垂直于⊙O 所在的平面,△ABC 内接于⊙O ,且AB 为⊙O 的直径,点M 为线段PB 的中点.现有结论:①BC ⊥PC ;②OM ∥平面APC ;③点B 到平面P AC 的距离等于线段BC 的长.其中正确的是( ) A .①② B .①②③ C .① D .②③ 【答案】B
对于①,∵P A ⊥平面ABC ,∴P A ⊥BC .
∵AB 为⊙O 的直径,∴BC ⊥AC ,又∵P A ∩AC =A ,∴BC ⊥平面P AC , 又PC ?平面P AC ,∴BC ⊥PC .
对于②,∵点M 为线段PB 的中点,∴OM ∥P A , ∵P A ?平面P AC ,OM ?平面P AC ,∴OM ∥平面P AC . 对于③,由①知BC ⊥平面P AC ,
∴线段BC 的长即是点B 到平面P AC 的距离,故①②③都正确.故选B. 7.在《九章算术》中,将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”,现有一个羡除如图所示,DA ⊥平面ABFE ,四边形ABFE ,CDEF 均为等腰梯形,AB //CD //EF ,AB =AD =4,EF =8,EF 到平面ABCD 的距离为6,则这个“羡除”体积是( )
A .96
B .72
C .64
D .58
【答案】C
如图所示,多面体切割为两个三棱锥E ﹣AGD ,F ﹣HBC 和一个
直三棱柱GAD ﹣HBC ,
因为
,且到平面ABCD 的距离为
6,
,
所以这个“羡除”体积为
.故选C .
8.在平面四边形ABCD 中,AC ⊥BC ,BC =1,AB=2,将△ABC 沿对角线AC 所在的直线折起,使平面ABC ⊥平面ACD ,则直线AB 与平面ACD 所成角为( ) A .
3
π
B .
6
π C .
56
π
D .
23
π 【答案】B
,则AC=
,平面
平面
,
交线为
AC
,
BC
AC ,
所以BC
面ACD ,所以
即为直线与平面所成角,cos = ,
所以
=
,故选B.
9.如图,平面四边形ABCD 中,E F 、是AD BD 、的中点,=2AB AD CD ==,
BD =90BDC ∠=,将△ABD 沿对角线BD 折起至△A BD ',使平面A BD '⊥
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姓名
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密 封 线 内 不 得 答 题
平面BCD ,则四面体A BCD '-中,下列结论不正确的是( )
A .EF //平面A BC '
B .异面直线CD 与A B '所成的角为90°
C .异面直线EF 与A C '所成的角为60°
D .直线A C '与平面BCD 所成的角为30° 【答案】C 因为,
分别为
和两边中点,所以
,
即
平面
,A 正确; 因为平面平面,交线为
,且
,所以
平面
,
即,故B 正确; 取边中点
,连接
,,则,
所以为异面直线
与
所成角, 又,
,,即
,故C 错误; 因为平面平面
,连接
,则
,所以
平面
,
连接FC ,所以为异面直线
与所成角,
又
,∴
,
又
,sin
,∴
,D
正确;故选C .
10.如图,直三棱柱111ABC A B C -中,侧棱长为2,=1AC BC =,=90ACB ?
∠,D 是11
A B 的中点,F 是1BB 上的动点,1AB DF 、交于点E .要使1AB ⊥平面1C DF ,则线段1B F 的长为( )
A .
12
B .1
C .
32
D .2
【答案】A
设B 1F=x,因为AB 1⊥平面C 1DF,DF ?平面C 1DF,
所以AB 1⊥DF.由已知可得A 1B 1=,设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h,
则DE=h.
又2×=h ,所以h=,DE=.在Rt △DB 1E 中,B 1E==.
由面积相等得×=x,得x=.
二、填空题(每小题4分,共20分)
11.两个球的体积之比是8:27,那么两个球的表面积的比为 . 【答案】4:9
12.三棱锥P-ABC 中,P A=PB=PC ,过点P 作平面ABC 的垂线,垂足为O ,则点O 是
ABC 的 心. 【答案】外心
13.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱DD 1和BB 1上的点,MD =1
3
DD 1,NB =1
3BB 1,那么正方体过点M ,N ,C
1的截面图形是 边形.
【答案】选在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱
DD 1和BB 1上的点,MD =13DD 1,NB =1
3BB 1.如图,延长
C 1M 交C
D 的延长线于点P ,延长C 1N 交CB 的延长线于点Q ,连接PQ 交
AD 于点E ,AB 于点F ,连接NF
,ME ,则正方体过点M ,N ,C 1的截面图形是五边形.
14.如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,2AB
=,1AA ,D
F 、分别是棱AB
、 1AA 的中点,E 为棱AC 上的动点,则△DEF 的周长的最小值为 .
【答案】
15.在三棱锥S-ABC 中,△ABC 是边长为3
的等边三角形,SA =SB 32=,二面角S-AB-C 的大小为120°,则此三棱锥的外接球的半径为 . 【答案】
2
三、解答题(每小题10分,共40分)
16.(10分)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱垂直于
底
面,AB ⊥BC ,AA 1 = AC = 2,BC = 1,E 、F 分别是A 1C 1、BC 的中点. (1)求证:平面ABE ⊥平面B 1BCC 1; (2)求证:C 1F ∥平面ABE .
ABC-A 1B 1C 1中,BB 1⊥底面ABC.所以BB 1⊥AB. 又因为AB ⊥BC ,所以AB ⊥平面B 1BCC 1. 所以平面ABE ⊥
平面B 1BCC 1.
AB 的中点G ,连接EG ,FG ,如图.
因为E ,F 分别是A 1C 1,BC 的中点,所以FG ∥AC ,且FG
因为AC ∥A 1C 1,且AC=A 1C 1,所以FG ∥EC 1,且FG=EC 1. 所以四边形FGEC 1为平行四边形.所以C 1F ∥EG.
又因为EG ?平面ABE ,C 1F ?平面ABE ,所以C 1
F ∥平面ABE.
17.(10分)如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形,∠BCD =60°,E 是
CD 的中点,PA ⊥底面ABCD ,PA =(1)求证:BE ⊥平面PAB ; (2)求二面角A-BE-P 的大小. 【答案】
,连接BD ,由ABCD 是菱形,
且
∠
BCD=60
°知,△BCD 是等边三角形.
因为E 是CD 的中点,所以BE ⊥CD.
密
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密 封 线 内 不 得 答 题
又AB ∥CD ,所以BE ⊥AB.又因为PA ⊥平面ABCD ,BE ?平面ABCD ,
所以PA ⊥BE.而PA ∩AB=A ,因此BE ⊥平面PAB.
(1)知BE ⊥平面PAB ,PB ?平面PAB ,所以PB ⊥BE.又AB ⊥BE ,
所以∠PBA 是二面角A-BE-P 的平面角.在Rt △PAB 中,tan ∠PBA ∠PBA=60°,
故二面角A-BE-P 的大小是60°.
∵EF ?平面EFC 1,A 1N ?平面EFC 1,∴A 1N ∥平面EFC 1,
∴VA 1-EFC 1=VN -EFC 1=VE -NFC 1=31
×S △NFC 1×3=31
×21
×2×3×3=3.
故四面体EFC 1A 1的体积为3.
19.(10分)如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,AB PC ⊥,AD BC ,AD CD ⊥,
且2PC BC AD ==2CD ==2PA =.
(1) P A ⊥平面ABCD ;
(2)在线段PD 上,是否存在一点M ,使得二面角M-AC-D 大
小为60°?如果存在,求的值;如果不存在,请说明
理由. 【答案】
(1)∵在底面
中,
,
且
∴,∴ 又∵,
,
平面,
平面
∴
平面
又∵平面 ∴ ∵, ∴ 又∵,
,
平面
,
平面
∴
平面
(2)方法一:在线段上取点
,使
则
又由(1)得平面
∴
平面 又∵平面
∴ 作于
又∵
,
平面
,
平面
∴平面 又∵
平面 ∴
又∵
∴
是二面角
的一个平面角
设
则
,
这样,二面角的大小为
即
即
∴满足要求的点
存在,且
方法二:取的中点
,则
、、三条直线两两垂直 ∴可以分别以直线、
、为、
、轴建立空间直角坐标系
且由(1)知是平面
的一个法向量
设 则
,
∴,
设
是平面
的一个法向量
则 ∴
令,则,它背向二面角
又∵平面的法向量
,它指向二面角 这样,二面角
的大小为
即
即
∴满足要求的点
存在,且