成都市树德实验中学八年级数学上册第三单元《轴对称》测试卷(答案解析)

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成都市八年级数学上册第三单元《轴对称》测试题(有答案解析)

一、选择题1．如图，在等腰三角形ABC 中，,36,AB AC A D =∠=是AC 的中点，ED AC ⊥交AB 于点E ，已知6,2AC DE ==，则BC 的长为（）A ．13B ．32C ．40D ．20 2．已知锐角AOB ∠，如图（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点,C D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接,CP DP ；（3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①//CP OB ；②2CP QC =；③AOP BOP ∠=∠；④CD OP ⊥．其中正确的有（）A ．①②③④B ．②③④C ．③④D ．③ 3．若a ，b 是等腰ABC 的两边长，且满足()2370a b -+-=，此三角形的周长是（）A ．13B ．13或17C ．17D ．204．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()4,3-，点P 在x 轴上，且使AOP 为等腰三角形，符合题意的点P 的个数为（）．A ．2B ．3C ．4D ．55．下列命题正确的是（）A ．全等三角形的对应边相等B ．面积相等的两个三角形全等C ．两个全等三角形一定成轴对称D ．所有等腰三角形都只有一条对称轴 6．如图，点O 是ABC 的ABC ∠，ACB ∠的平分线的交点，//OD AB 交BC 于点D ，//OE AC 交BC 于点E ，若ODE 的周长为9cm ，那么BC 的长为（）A ．8cmB ．9cmC ．10cmD ．11cm 7．如图，在Rt ABC ∆中， 90,30,ACB A CD ︒︒∠=∠=是斜边AB 上的高，2BD =，那么AD 的长为（）A ．2B ．4C ．6D ．88．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，且点E 在ABC 内部，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①EBD DAE ∠=∠；②ADE BCE ≌△△；③BD AF =；④BDE ACE S S =△△，其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．下列推理中，不能判断ABC 是等边三角形的是（） A ．A B C ∠=∠=∠ B ．,60AB AC B =∠=︒C ．60,60A B ∠=︒∠=︒D ．AB AC =，且B C ∠=∠ 10．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形．A ．6B ．7C ．8D ．912．若a b c 、、是ABC 的边，且222()()()0,a b a c b c -+-+-=则ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形二、填空题13．如图，点D 、E 是ABC 的边BC 上的点，且AED n ∠=︒，::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，若点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，则n =________．14．如图，点A 为线段BC 外一动点，4BC =，1AB =，分别以AC 、AB 为边作等边ACD △、等边ABE △，连接BD ．则线段BD 长的最大值为______．15．如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒点D 在BC 上，BD BA =，点E 在BC 的延长线上，CA CE =，连接AE ，则DAE ∠的度数为_____________．16．如图，在△ABC 中，直线l 垂直平分BC ，射线m 平分∠ABC ，且l 与m 相交于点P ，若∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP ＝_____°．17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 是BC 上一点，且∠BAP ＝90°，CP ＝4cm ．则BP 的长＝________．18．若等腰三角形的一条边长为5cm ，另一条边长为10cm ，则此三角形第三条边长为__________cm ．19．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，BE ⊥AD 于E ，AB =6，AC =14，∠ABC =3∠C ，则BE =____．20．如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，点A ，点C 均在格点上，点P 为x 轴上任意一点，则PAC △周长的最小值为________．三、解答题21．如图，,A B AE BE ∠=∠=，点D 在AC 边上，12,AE ∠=∠和BD 相交于点O ．（1）求证：AEC BED ∆≅∆（2）若70BDE ︒∠=，求1∠的度数．22．如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF ．求证：（1）Rt △ABF ≌Rt △DCE ；（2）OE ＝OF ．23．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1,ABC 的三个顶点分别为()()4,3,3,()3,1,1A B C -．请在坐标系中标出,,A B C 三点，画出ABC ∆，并画出ABC ∆关于y 轴对称的图形111A B C ∆，写出点111,,A B C 的坐标．24．如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，点M 从点B 出发沿线段BC 方向，在线段BC 上运动．在点M 运动的过程中，连结AM ，并以AM 为边在线段BC 上方，作等边AMN ∆，连结CN ．（1）当_________BAM ∠=时，2AB BM =；（2）请添加一个条件：_________，使得ABC ∆为等边三角形；当ABC ∆为等边三角形时，求证：CN CM AC +=；25．如图，△ABC 为等边三角形，直线l 经过点C ，在l 上位于C 点右侧的点D 满足∠BDC ＝60°．（1）如图1，在l 上位于C 点左侧取一点E ，使∠AEC ＝ 60°，求证：△AEC ≌△CDB ；（2）如图2，点F 、G 在直线l 上，连AF ，在l 上方作∠AFH ＝120°，且AF ＝HF ，∠HGF ＝120°，求证：HG ＋BD ＝CF ；（3）在（2）的条件下，当A 、B 位于直线l 两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG 、CF 、BD 的数量关系为．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中点(6,8)A ，点(6,0)B ．（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P ，使点P 同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；①点P 到A ，B 两点的距离相等；②点P 到xOy 的两边的距离相等．（2）在（1）作出点P 后，直接写出点P 的坐标______．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE ，然后根据等边对等角可得∠ECD=∠A ，再根据三角形内角和等于180°求出∠B=72°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BEC=72°，然后根据等角对等边的性质和勾股定理解答．【详解】解：∵D 是AC 的中点，ED AC ⊥交AB 于点E ，∴ED 垂直平分AC ，∴AE=CE ，∴∠ECD=∠A ，∵∠A=36°，∴∠ECD=36°，∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠B=12（180°-36°）=72°， ∵∠ECD=∠A=36°，∴∠BEC=∠ECD+∠A=36°+36°=72°，∴∠B=∠BEC ，∴BC=CE ，∵AE=CE ，ED ⊥AC ，∴CD=12AC =3，在Rt △CED 中，∴故选A ．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角以及等角对等边的性质，熟练掌握有关性质是解题的关键． 2．B解析：B【分析】由作图易判断射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线，CDP 为等边三角形，由它们的性质逐项判断即可．【详解】由作图（1）（2）可知OC=OD ，CP=DP ，∴射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线．∴即=AOP BOP ∠∠，CD OP ⊥，故③④正确；由作图（2）可知CP=CD=DP ，即CDP 为等边三角形，又∵CD OP ⊥，∴CP=2CQ ，故②正确；若//CP OB ，则=CPO BOP ∠∠，又∵=AOP BOP ∠∠，∴=CPO AOP ∠∠，∴OC=PC ，故只有当OC=PC 时，//CP OB ，故①错误．综上，正确的有②③④．故选：B ．【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．理解作图步骤隐藏的已知信息是解答本题的关键．3．C解析：C【分析】根据绝对值非负性的性质以及平方的非负性可知a 和b 的值，然后根据等腰三角形的性质分情况计算即可；【详解】∵ ()2370a b -+-=， ∴ a=3，b=7，若腰为3时，3+3＜7，三角形不成立；若腰为7时，则周长为7+7+3=17，故选：C ．【点睛】本题考查了非负性的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键；． 4．C解析：C【分析】以O 为圆心，AO 长为半径画圆可得与x 轴有2个交点，再以A 为圆心，AO 长为半径画圆可得与x 轴有1个交点，然后再作AO 的垂直平分线可得与x 轴有1个交点．【详解】解：如图所示：点P 在x 轴上，且使△AOP 为等腰三角形，符合题意的点P 的个数共4个，故选：C ．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．5．A解析：A【分析】分别利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质判断得出即可．【详解】解：A 、全等三角形的对应边相等，是真命题；B 、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；C 、两个全等三角形不一定成轴对称，原命题是假命题；D 、所有等腰三角形不一定都只有一条对称轴，如等边三角形有三条对称轴，原命题是假命题；故选：A ．【点睛】本题主要考查了命题与定理，熟练掌握几何性质与判定是解题的关键．6．B解析：B【分析】由OB ，OC 分别是△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的平分线和OD ∥AB 、OE ∥AC 可推出BD=OD ，OE=EC ，从而得出BC 的长等于△ODE 的周长即可．【详解】解：∵OD ∥AB ，OE ∥AC ，∴∠ABO=∠BOD ，∠ACO=∠EOC ，∵点O 是ABC 的ABC ∠，ACB ∠的平分线的交点，∴∠ABO=∠OBD ，∠ACO=∠OCE ；∴∠OBD =∠BOD ，∠EOC=∠OCE ；∴BD=OD ，CE=OE ；∴△ODE 的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC= BC∵ODE 的周长为9cm ，∴BC=9cm ．故选：B ．【点睛】此题考查了平行线性质，角平分线定义以及等腰三角形的判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键，难度中等．7．C解析：C【分析】根据∠ACB=90°，∠A=30°，CD 是斜边AB 上的高，利用互余关系求∠BCD=30°，DB=2，可求BC ，在Rt △ABC 中，再利用含30°的直角三角形的性质求AB ，再用线段的差求AD ．【详解】解：Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，CD 是斜边AB 上的高，∴∠CDB=90°，∴∠BCD=90°-∠B=30°，∴BC=2BD ＝4，同理，AB=2BC=8，AD=AB-BD=8-2=6，故选：C ．【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质，准确运用在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半是解题关键．8．D解析：D【分析】由AD 为△ABC 的高线，可得∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，Rt △ABE 是等腰直角三角形，可得90ABE BAD DAE ∠+∠+∠=︒，从而可判断①；由等腰Rt ABE △可得AE BE =，结合AD BC =，∠DAE=∠CBE ，可判断②；由△ADE ≌△BCE ，可得,ADE BCE ∠=∠ 再证明∠BDE=∠AFE ，结合EBD DAE ∠=∠，AE BE =，证明△AEF ≌△BED ，可判断③；由△ADE ≌△BCE ，可得,DE CE = 由△AEF ≌△BED ，,EF DE = 证明,EF CE =从而可判断④．【详解】解：∵AD 为△ABC 的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴90ABE BAD DAE ∠+∠+∠=︒，∴∠DAE=∠CBE ，即EBD DAE ∠=∠，故①正确；∵Rt △ABE 是以AB 为底等腰直角三角形，∴AE=BE ，在△ADE 和△BCE 中，AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；故②正确；△ADE ≌△BCE ，,ADE BCE ∴∠=∠∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，90ADB ADC ∠=∠=︒，∴∠BDE=∠AFE ，在△AEF 和△BED 中，FAE DBE AFE BDE AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴AF BD =；故③正确；∵△ADE ≌△BCE ，∴,DE CE =△AEF ≌△BED ，,,AEF BED EF DE SS ∴== ,EF CE ∴=∴,AEF ACE SS = ∴ ,BDE ACES S =故④正确；综上：正确的有①②③④．故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的中线与高的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．9．D解析：D【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．【详解】A 、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；B 、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；C 、由“∠A ＝60°，∠B ＝60°”可以得到“∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC 是等边三角形，故本选项不符合题意；D 、由“AB ＝AC ，且∠B ＝∠C”只能判定△ABC 是等腰三角形，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．10．C解析：C【分析】易证△ACE ≌△DCB ，可得①正确；即可求得∠AOB ＝120°，可得③错误；再证明△ACM ≌△DCN ，可得②④正确和CM ＝CN ，即可证明⑤正确；即可解题．【详解】解：∵ACD △和BCE 都是等边三角形∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCE ＝60°，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠BDC ＝∠EAC ，DB ＝AE ，①正确；∠CBD ＝∠AEC ，∵∠AOB ＝180°−∠OAB−∠DBC ，∴∠AOB ＝180°−∠AEC−∠OAB ＝120°，③错误；在△ACM 和△DCN 中，60BDC EAC DC ACACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴AM ＝DN ，④正确；∠AMC ＝∠DNC ，②正确；CM ＝CN ，∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠MCN ＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，∴△CMN 是等边三角形，⑤正确；故有①②④⑤正确．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE≌△DCB和△ACM≌△DCN是解题的关键．11．B解析：B【分析】先确定对称轴，再找到对称点进而可以找到符合题意的对称三角形即可．【详解】解：如图，左右对称的有4个，如图，上下对称的有1个，如图，关于正方形的对角线对称的有2个，∴一共有7个与原三角形关于某直线对称的格点三角形，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，找到正确的对称轴，画出相应的对称三角形是解决本题的关键．12．D解析：D【分析】由偶次方的非负性质得出a-b=0，a-c=0，b-c=0，得出a=b=c ，即可得出结论．【详解】解：∵222()()()0,a b a c b c -+-+-=，∴a-b=0，a-c=0，b-c=0，∴a=b ，a=c ，b=c ，∴a=b=c ，∴这个三角形是等边三角形；故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定、偶次方的非负性质；熟练掌握等边三角形的判定方法，由偶次方的非负性质得出a=b=c 是解题的关键．二、填空题13．80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ∠BEA=∠B 再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x 再根据三角形外角的性质可得∠AED 【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上点解析：80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ，∠BEA=∠B ，再根据比例关系设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，根据三角形内角和定理可求得x ，再根据三角形外角的性质可得∠AED ．【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，∴AD=CD ，AE=BE ，∴∠DAC=∠C ，∠BAE=∠B ，∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，∴,2C x B x ∠=∠=，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴322180x x x x x ++++=︒，解得20x =︒，∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒，即n=80，故答案为：80．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．14．5【分析】连接CE 根据等边三角形的性质得到AE ＝ABAC ＝AD ∠CAD ＝∠BAE ＝60°再利用SAS 推出△BAD ≌△EAC 由全等三角形的性质得到BD ＝EC 由于线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值即可解析：5【分析】连接CE,根据等边三角形的性质得到AE ＝AB ，AC ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，再利用SAS 推出△BAD ≌△EAC ，由全等三角形的性质得到BD ＝EC ，由于线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值，即可得到结果．【详解】解：连接CE ，∵△ACD 与△ABE 是等边三角形，∴AE ＝AB ，AC ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，∴∠CAD ＋∠BAC ＝∠BAE ＋∠BAC ，即∠BAD ＝∠EAC ，在△BAD 与△EAC 中，AD AC BAD EAC AB AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BAD ≌△EAC （SAS ），∴BD ＝EC ；∵线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值，当线段EC 的长取得最大值时，点E 在CB 的延长线上，且BC ＝4，AB ＝1，∴线段BD 长的最大值为BE ＋BC ＝AB ＋BC ＝5．故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，并正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．15．【分析】利用余角等腰三角形和三角形外角的性质即可求出【详解】∵∴∵∴根据题意可知∴∴故答案为：45【点睛】本题考查等腰三角形和三角形外角的性质以及余角找出图形中角的等量关系是解答本题的关键解析：45【分析】利用余角、等腰三角形和三角形外角的性质即可求出．【详解】∵BDA DAE AEC ∠=∠+∠，DAE DAC EAC ∠=∠+∠，∴BDA DAC EAC AEC ∠=∠+∠+∠．∵90DAC BAC BAD BAD ∠=∠-∠=︒-∠，∴90BDA BAD EAC AEC ∠=︒-∠+∠+∠．根据题意可知=BDA BAD EAC AEC ∠=∠∠∠，．∴45BDA AEC ∠-∠=︒，∴=45DAE ∠︒．故答案为：45．【点睛】本题考查等腰三角形和三角形外角的性质以及余角．找出图形中角的等量关系是解答本题的关键．16．32【分析】根据角平分线定义求出∠ABP ＝∠CBP 根据线段的垂直平分线性质得出BP ＝CP 根据等腰三角形的性质得到∠CBP ＝∠BCP 根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°＝180°解方解析：32【分析】根据角平分线定义求出∠ABP ＝∠CBP ，根据线段的垂直平分线性质得出BP ＝CP ，根据等腰三角形的性质得到∠CBP ＝∠BCP ，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP +24°+60°＝180°，解方程得到答案．【详解】解：∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠CBP ，∵直线l 是线段BC 的垂直平分线，∴BP ＝CP ，∴∠CBP ＝∠BCP ，∴∠ABP ＝∠CBP ＝∠BCP ，∵∠A +∠ACB +∠ABC ＝180°，∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，∴3∠ABP +24°+60°＝180°，解得：∠ABP ＝32°，故答案为：32．【点睛】本题考查角平分线的定义和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义和垂直平分线的性质．17．8cm 【分析】先根据已知条件求得PA=PC 再含30度直角三角形的性质求得BP 的长即可【详解】解：∵AB=AC ∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵∠BAC=120°∠BAP=90°∴∠PAC=30解析：8cm【分析】先根据已知条件求得PA=PC ，再含30度直角三角形的性质求得BP 的长即可．【详解】解：∵AB=AC ，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵∠BAC=120°，∠BAP=90°，∴∠PAC=30°，∴∠C=∠PAC ，∴PA=PC=4cm ，∵∠BAP=90°，∠B=30°，∴BP=2AP=8cm ．故答案为：8cm【点睛】本题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键是根据已知条件求得PA=PC=4cm ，再根据含30度直角三角形的性质求得BP 的长．18．10【分析】因为等腰三角形的两边分别为5cm 和10cm 但没有明确哪是底边哪是腰所以有两种情况需要分类讨论【详解】当5cm 为底时其它两边都为10cm5cm10cm10cm 可以构成三角形；当5cm 为腰时解析：10【分析】因为等腰三角形的两边分别为5cm 和10cm ，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】当5cm 为底时，其它两边都为10cm ，5cm 、10cm 、10cm 可以构成三角形；当5cm 为腰时，其它两边为5cm 和10cm ，因为5+5=10，所以不能构成三角形，故舍去．所以三角形三边长只能是5cm 、10cm 、10cm ，所以第三边是10cm ．故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 19．【分析】如图延长交于证明可得再求解再证明：可得从而可得答案【详解】解：如图延长交于AD 平分∠BAC 故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理三角形的外角的性质角平分线的定义等腰三角形的判定与性解析：4.【分析】如图，延长BE ，交AC 于G ，证明,AGB ABG ∠=∠ 可得,AG AB = ,GE BE = 再求解CG ，再证明：C CGB ∠=∠，可得,BG CG = 从而可得答案．【详解】解：如图，延长BE ，交AC 于G ，AD 平分∠BAC ，,GAE BAE ∴∠=∠,BE AD ⊥90AEG AEB ∴∠=∠=︒，,AGB ABG ∴∠=∠6AG AB ∴==，,GE BE = 14AC =，8CG ∴=，,AGB C CBG ∠=∠+∠2,ABC ABG CBG AGB CBG C CBG ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠3,ABC C ∠=∠32,C C CBG ∴∠=∠+∠,C CBG ∴∠=∠8BG CG ∴==，1 4.2BE BG ∴== 故答案为：4.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．20．【分析】根据勾股定理可得AC 的长度作点C 关于x 轴的对称点C′连接AC′与x 轴交于点P 利用勾股定理求出AP+PC 的最小值从而得出答案【详解】AC=如图作点C 关于x 轴的对称点C′连接AC′与x 轴交于点P 解析：21022【分析】根据勾股定理可得AC 的长度，作点C 关于x 轴的对称点C′，连接AC′，与x 轴交于点P ，利用勾股定理求出AP+PC 的最小值，从而得出答案．【详解】AC=222222+=，如图，作点C 关于x 轴的对称点C′，连接AC′，与x 轴交于点P ，则AP+PC=AP+PC′=AC′，此时AP+PC 2226210+=所以△PAC 周长的最小值为21022故答案为：21022．【点睛】本题主要考查了轴对称－最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．三、解答题21．（1）见解析；（2）40°【分析】（1）由12∠=∠得到BED AEC ∠=∠，然后根据ASA 即可证明AEC BED ∆≅∆；（2）由（1）得DE=CE ，70C BDE ∠=∠=︒，由三角形内角和即可求出1∠的度数．【详解】解：()11=2∠∠，BED AEC ∠=∠∴又,A B AE BE ∠=∠=()AEC BED ASA ∴∆≅∆；()2AEC BED ∆≅∆70,BDE C DE CE ∴∠=∠=︒=70C EDC ︒∴∠=∠=118027040︒︒︒∴∠=-⨯=；【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质进行解题．22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由于△ABF 与△DCE 是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明；（2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB ＝∠DEC ，再根据等腰三角形的性质得出结论．【详解】证明：（1）∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE ，∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形，在Rt △ABF 和Rt △DCE 中∵BF CE AB CD=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE （HL ）；（2）∵Rt △ABF ≌Rt △DCE （已证），∴∠AFB ＝∠DEC ，∴OE ＝OF ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，掌握HL 判断两个直角三角形全等，是解题的关键．23．图见解析；点111,,A B C 的坐标分别为()()–4,3,3,3--，()1,1-【分析】先在平面直角坐标系中画出,,A B C 三点，顺次连接即可；再按照轴对称的性质，画出它们的对称点即可．【详解】解：如图所示，111,ABC A B C ∆∆，即为所求；点111,,A B C 的坐标分别为()()–4,3,3,3--，()1,1-【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中描点和画轴对称图形，关于y轴对称点的坐标变化规律，解题关键是正确描点和画对称点．24．（1）30；（2）AB=AC；证明详见解析．【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可；（2）利用等边三角形的判定即可解答；利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证得△BAM≌△CAN（SAS），利用全等三角形的性质即可求证结论．【详解】（1）当∠BAM=30°时，∴∠AMB=180°﹣60°﹣30°=90°，∴AB=2BM；故答案为30；（2）添加一个条件AB=AC，可得△ABC为等边三角形；故答案为AB=AC；①∵△ABC与△AMN是等边三角形，∴BC＝AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM=∠CAN，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM=CN，∴BM＋CM=CN＋CM即BC＝AC＝CN＋CM．【点睛】本题考查等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学知识．25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．【分析】（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB；（2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论；（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD+∠ACE=120°，∵∠AEC=60°，∴∠ACE+∠EAC=120°，∴∠BCD=∠EAC，在△AEC和△CDB中∵60 AEC BDCBCD EACAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，∴BD=CE，∵∠AEC=60°，∴∠AEF =120°，∵∠AFH ＝120°，∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，∴∠FAE=∠GFH，∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，∴△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=HG+BD；（3）解：HG=CF+BD，理由是：如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，∵∠BDC=60°，∴△BDM是等边三角形，∴∠BMD=60°，∵∠AED=60°，∴∠AEC=∠CMB=120°，∵∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACE≌△CBM（AAS），∴CE=BM=BD，由（2）可证△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=FE，∵EF=CF+CE∴HG=CF+BD．故答案为：HG=CF+BD．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．26．（1）作图见解析；（2）（4，4）【分析】（1）作AB的垂轴平分线和∠xOy的角平分线，它们的交点即为P点；（2）由于点P在AB的垂轴平分线上，则P点的纵坐标为4，再利用点P在第一象限的角平分线上，则点P的横纵坐标相同，从而得到P点坐标．【详解】（1）如图，点P为所作；（2）P点坐标为（4，4）．故答案为（4，4）．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．。

新人教版初中数学八年级数学上册第三单元《轴对称》测试卷(答案解析)(1)

一、选择题1．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的一动点，则PA PB +的最小值是（）．A ．6B ．8C ．10D ．112．如图，已知ABC ∆中，,AB AC =点,D E 是射线AB 上的两个动点(点D 在点E 的右侧)．且,CE DE =连结CD ，若ACE x ∠=，BCD y ∠=．则y 关于x 的函数关系式是（）A ．()900180y x x =-<<︒B ．()101802y x x =<<︒C ．()39001802y x x =-<<︒ D ．()201803y x x =<<︒ 3．如图，在ABC 中，34B ∠=︒，BCA ∠的平分线CD 交AB 于点D ，若DE 垂直平分BC 交BC 于点E ，则A ∠的度数为（）A ．90°B ．68°C ．78°D ．88°4．等腰三角形的两边a ，b 满足7260a b --=，则它的周长是（） A ．17 B ．13或17 C ．13 D ．195．如图，长方形纸片ABCD （长方形的对边平行且相等，每个角都为直角），将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，下列结论：①AF AE =，②ABE AGF ≌，③AF CE =，④60AEF ∠=︒，其中正确的（）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④ 6．若a ，b 为等腰ABC 的两边，且满足350a b -+-=，则ABC 的周长为（）A ．11B ．13C ．11或13D ．9或15 7．如图，长方形ABCD 沿直线EF 、EG 折叠后，点A 和点D 分别落在直线l 上的点A '和点D 处，若130∠=︒，则2∠的度数为（）A ．30°B ．60°C ．50°D ．55°8．如图，已知点D 为ABC 内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若6AC =，4BC =，则BD 的长为（）A ．2B ．1.5C ．1D ．2.59．如图，ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线DE 分别交AB 、AC 于点E 、D ，若52BAC ∠=︒，则DBC ∠=（）．A ．12︒B ．14︒C ．16︒D ．18︒10．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，连接ED ，EC 延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①DAE CBE ∠=∠；②CE DE ⊥；③BD AF =；④AED 为等腰三角形；⑤BDE ACE S S =△△，其中正确的有（）A ．①③⑤B ．①②④C ．①③④D ．①②③⑤ 11．如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC 与外角∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ．下列结论：①∠ACB ＝2∠APB ；②BP 垂直平分CE ；③PG ＝AG ；④CP 平分∠DCB ；其中，其中说法正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，AB 垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点P ，交AC 于点Q ，连接BE ，BQ ，则EBQ ∠=（）A ．65︒B ．60︒C ．56︒D ．50︒二、填空题13．如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，30B ，6AC =，P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，则ACP △周长的最小值为________．14．如图，ABC 中，AB BC =，点D 在线段BC 上（不与点,B C 重合）．作法如下：①连接AD ，作AD 的垂直平分线分别交直线,AB AC 于点,P Q ，连接,DP DQ ，则APQ DPQ △≌△；②过点D 作AC 的平行线交AB 于点P ，在线段AC 上截取AQ ，使AQ DP =，连接,PQ DQ ，则APQ DQP △≌△；③过点D 作AC 的平行线交AB 于点P ，过点D 作AB 的平行线交AC 于点Q ，连接PQ ，则APQ DQP △≌△；④过点D 作AB 的平行线交AC 于点Q ，在直线AB 上取一点P ，连接DP ，使DP AQ =，连接PQ ，则APQ DPQ △≌△．以上说法一定成立的是__________．（填写正确的序号）15．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//EF BC 交BD 于点G ，若130BEG ∠=︒，则DGF ∠=______．16．如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒点D 在BC 上，BD BA =，点E 在BC 的延长线上，CA CE =，连接AE ，则DAE ∠的度数为_____________．17．给出如下三个图案，它们具有的公共特点是：________．（写出1个即可）18．如图，在ABC 中，AB AC =，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ，在点D 从B 向C 运动过程中，如果ADE 是等腰三角形，则BDA ∠的度数是____________19．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A ，1B B 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，……按此规律作下去，若11A B O α∠=，则1010A B O ∠=___________．20．如图，一棵大树在一次强台风中于距地面5米处倒下，则这棵树在折断前的高度为________米．三、解答题21．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A B C ，，的坐标分别为()()()4,5,2,1,1,3--- （1）作出ABC ∆关于y 轴对称的A B C ∆'''，并写出点'B 的坐标（2）点P 是x 轴上的动点，当A BP ∆'周长最小时，找出点P ，并直接写出点P 的坐标22．已知45MAN ∠=︒，点B 为射线AN 上一定点，点C 为射线AM 上一动点（不与点A 重合），点D 在线段BC 的延长线上，且CD CB =．过点D 作DE AM ⊥于点E ．（1）当点C 运动到如图1的位置时，点E 恰好与点C 重合，此时AC 与DE 的数量关系是；（2）当点C 运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC AE DE =+；（3）在点C 运动的过程中，点E 能否在射线AM 的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC ，AE ，DE 之间的数量关系；若不能，请说明理由．23．如图，//AB CD ，点E 在CB 的延长线上，A E ∠=∠，AC ED =．（1）求证：BC CD =；（2）连接BD ，求证：ABD EBD ∠=∠．24．如图，在ABC ∆中，,AB AC =过点A 作//AD BC 交ABC ∠的平分线BD 于点D ，求证：AC AD =．25．已知：如图，//AC BD ，AE ，BE 分别平分CAB ∠和ABD ∠，点E 在CD 上．用等式表示线段AB 、AC 、BD 三者之间的数量关系，并证明．26．如图，在ABC 中，45B ︒∠=，60C ︒∠=，点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将AEF 折叠得到PEF ．（1）如图1，当点P 落在BC 上时，求AEP ∠的度数．（2）如图2，当PF AC ⊥时，求BEP ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据题意，设EF 与AC 的交点为点P ，连接BP ，由垂直平分线的性质，则BP=CP ，得到PA PB PA PC AC +=+=，即可得到PA PB +的最小值．【详解】解：根据题意，设EF 与AC 的交点为点P ，连接BP ，如图：∵EF 是BC 的垂直平分线，∴BP=CP ，∴8PA PB PA PC AC +=+==，∴PA PB +的最小值为8；故选：B ．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是正确找出点P 的位置，使得PA PB +有最小值．2．B解析：B【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ACB=∠ABC=x+∠BCE 和∠D=∠DCE=y+∠BCE ，由三角形的外角性质得出∠ABC=∠D+∠BCD ，即x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，即x=2y ，得出y 关于x 的函数关系式．【详解】解：∵AB AC =，ACE x ∠=，∴ ∠ACB=∠ABC=x+∠BCE ，∵CE DE =，BCD y ∠=∴∠D=∠DCE=y+∠BCE ，∵ ∠ABC 是△BCD 的一个外角，∴∠ABC=∠D+∠BCD ，即 x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，即x=2y ，∴()101802y x x =<<︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的外角等于它不相邻的两个内角和．熟练掌握并运用各性质是解题的关键．3．C解析：C【分析】由垂直平分线的性质，可得∠DCB=34B ∠=︒，由角平分线的定义得∠ACB=2∠DCB=68°，进而即可求解．【详解】∵DE 垂直平分BC 交BC 于点E ，∴DB=DC ，∴∠DCB=34B ∠=︒，∵CD 是BCA ∠的平分线，∴∠ACB=2∠DCB=68°，∴∠A=180°-34°-68°=78°，故选C ．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练垂直平分线的性质定理，是解题的关键．4．A解析：A【分析】根据绝对值和二次根式的性质求出a ，b ，再根据等腰三角形的性质判断即可；【详解】∵70a -=，∴70260a b -=⎧⎨-=⎩，解得73a b =⎧⎨=⎩， ∵a ，b 是等腰三角形的两边，∴当7a =为腰时，三边分别为7，7，3，符合三角形三边关系，此时三角形的周长77317++=；当3b =为腰时，三边为3，3，7，由于33+＜7，故不符合三角形的三边关系； ∴三角形的周长为17．故答案选A ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、绝对值性质和二次根式的性质，准确计算是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据翻折的性质可得∠AEF ＝∠CEF ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠CEF ，然后求出∠AEF ＝∠AFE ，根据等角对等边可得AE ＝AF ；根据HL 即可得到△ABE ≌AGF ．根据等量代换即可得到AF ＝CE ；根据△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，即可得到∠AEF 不一定为60°．【详解】解：由翻折的性质得，∠AEF ＝∠CEF ，∵矩形ABCD 的对边AD ∥BC ，∴∠AFE ＝∠CEF ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ，故①正确，在Rt △ABE 和Rt △AGF 中，AE AF AB AG=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △AGF （HL ），故②正确，∵CE ＝AE ，AE ＝AF ，∴CE ＝AF ，故③正确；∵AE ＝AF ，∴△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，∴∠AEF 不一定为60°，故④错误；故选C ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．C解析：C【分析】根据非负数的意义列出关于a 、b 的方程并求出a 、b 的值，再根据b 是腰长和底边长两种情况讨论求解．【详解】解：根据题意得a-3=0，b-5=0，解得a=3，b=5，（1）若3是腰长，则三角形的三边长为：3、3、5，能组成三角形，周长为：3+3+5=11；（2）若3是底边长，则三角形的三边长为：3、5、5，能组成三角形，周长为3+5+5=13．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形作出判断．7．B解析：B【分析】根据折叠的性质得到∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠，根据12180AEF D EG '∠+∠+∠+∠=︒得到2(12)180∠+∠=︒，即可求出答案．【详解】解：由折叠得：∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠，∵12180AEF D EG '∠+∠+∠+∠=︒，∴2(12)180∠+∠=︒，∴260∠=︒故选：B ．【点睛】此题考查折叠的性质，平角有关的计算，正确理解折叠性质得到∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠是解题的关键．8．C解析：C【分析】延长BD 与AC 交于点E ，由题意可推出BE=AE ，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE ，可推出BC=CE ，AE=BE=2BD ，根据AC=6，BC=4，即可推出BD 的长度．【详解】解：延长BD 与AC 交于点E ，∵∠A=∠ABD ，∴BE=AE ，∵BD ⊥CD ，∴BE ⊥CD ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD=∠ECD ，∴∠EBC=∠BEC ，∴△BEC 为等腰三角形，∴BC=CE ，∵BE ⊥CD ，∴2BD=BE ，∵AC=6，BC=4，∴CE=4，∴AE=AC-EC=6-4=2，∴BE=2，∴BD=1．故选：C ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．9．A解析：A【分析】由在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝52°，又由DE 是AB 的垂直平分线，即可求得∠ABD 的度数，继而求得答案．【详解】在ABC 中，AB AC =，52BAC ∠=︒，()11802ABC ACB BAC ∴∠=∠=⨯︒-∠ ()1180522=⨯︒-︒64=︒， DE 为AB 的中垂线，AD BD ∴=，52ABD BAC ∴∠=∠=︒，12DBC ABC ABD ∴∠=∠-∠=︒．故选A ．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．10．D解析：D【分析】①由等腰直角三角形的性质可得出结论；②证明△ADE ≌△BCE ，可得∠AEC=∠DEB ，即可求得∠AED=∠BEG ，即可解题；③证明△AEF ≌△BED 即可；④AE≠DE ，故④不正确；⑤易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE=EF ，S △AEF =S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE =S △ACE ，所以S △BDE =S △ACE ．【详解】解：①∵AD 为△ABC 的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE ，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE ，故①正确②在△DAE 和△CBE 中，AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；∴∠EDA=∠ECB ，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE ⊥DE ；故②正确；③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，∴∠BDE=∠AFE ，∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF ，在△AEF 和△BED 中，BDE AFE BED AEF AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴BD=AF ；故③正确；④∵AE≠DE ，∴△ADE 不是等腰三角形，⑤∵AD=BC ，BD=AF ，∴CD=DF ，∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形，∵DE⊥CE，∴EF=CE，∴S△AEF=S△ACE，∵△AEF≌△BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故⑤正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．11．D解析：D【分析】①根据角平分线的定义与三角形外角的性质可证此结论；②利用等腰三角形“三线合一”可证明此结论；③根据角平分线定义与平行线性质可得∠APG＝∠BAP，再利用等腰三角形的判定可证此结论；④如下图，由角平分线的性质定理可得PM=PN，PM=PO，则PN =PO，即可证明结论．【详解】解：∵AP平分∠BAC，PB平分∠CBE，∴∠CAB＝2∠PAB，∠CBE＝2∠PBE，∵∠CBE＝∠CAB＋∠ACB，∠PBE＝∠PAB＋∠APB，即∠CBE＝∠CAB＋2∠APB，∴∠ACB＝2∠APB．故①正确；∵BE＝BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE（三线合一）．故②正确；∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP，∵PG∥AD，∴∠APG＝∠CAP，∴∠APG＝∠BAP，∴PG＝AG．故③正确；如图，过点P 作PM ⊥AE 于点M ，PN ⊥AD 于点N ，PO ⊥BC 于点O ，∵AP 平分∠BAC ，PB 平分∠CBE ，∴PM=PN ，PM=PO ，∴PN =PO ，∴CP 平分∠DCB ．故④正确．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识并能灵活运用所学知识进行论证是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据等腰ABC ，118ABC ︒∠=，得到AB=CB ，∠A=∠C=1(180)312ABC ︒︒-∠=，由DE 垂直平分AB ，求得∠ABE=31A ∠=︒，同理：31QBC C ∠=∠=︒，根据∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC 计算得出答案．【详解】在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，∴AB=CB ，∠A=∠C=1(180)312ABC ︒︒-∠=， ∵DE 垂直平分AB ，∴AE=BE ，∴∠ABE=31A ∠=︒，同理：31QBC C ∠=∠=︒，∴∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC=56︒，故选：C ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．二、填空题13．18【分析】因为BC 的垂直平分线为DE 所以点C 和点B 关于直线DE 对称所以当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值再结合题目的已知条件求出AB的长即可【详解】解：如图∵P为BC边的垂直平分线DE上一解析：18【分析】因为BC的垂直平分线为DE，所以点C和点B关于直线DE对称，所以当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB的长即可．【详解】解：如图，∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，∴点C和点B关于直线DE对称，∴当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6，∴AB=2AC=12，∵AP+CP=AP+BP=AB=12，∴△ACP的周长最小值=AC+AB=18，故答案为：18．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线的问题以及垂直平分线的性质，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．14．①②③【分析】根据题意画出图形再根据垂直平分线的性质平行线的性质和三角形全等的判定可以得证【详解】解：①如图∵PQ为AD的垂直平分线∴PA=PDQA=QD∴在△APQ和△DPQ中∴△APQ≌△DPQ解析：①②③【分析】根据题意画出图形，再根据垂直平分线的性质，平行线的性质和三角形全等的判定可以得证．【详解】解：①如图，∵PQ 为AD 的垂直平分线，∴PA=PD ，QA=QD ，∴ 在△APQ 和△DPQ 中，PA PD PQ PQ QA QD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△APQ ≌△DPQ （SSS ），①正确；②如图，∵PD ∥AC ，∴∠DPQ=∠AQP ，∴在△APQ 和△DQP 中，AQ DP AQP DPQ QP PQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APQ ≌△DQP （SAS ），②正确；③如图，∵PD ∥AC ，∴∠DPQ=∠AQP ，同理∠DQP=∠APQ ，∴在△APQ 和△DQP 中，DPQ AQP PQ PQDQP APQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△APQ ≌△DQP （ASA ），③正确；④如图，△APQ ≌△DPQ 不成立，④错误；故答案为①②③．【点睛】本题考查三角形与平行线的综合应用，熟练掌握垂直平分线的性质，平行线的性质和三角形全等的判定是解题关键．15．25°【分析】由角平分线和平行线的性质证明则是等腰三角形由顶角的度数算出底角的度数即可得出结果【详解】解：∵BD 平分∴∵∴∴∴是等腰三角形∵∴∴故答案是：【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定解题的解析：25°【分析】由角平分线和平行线的性质证明EBG EGB ∠=∠，则BEG 是等腰三角形，由顶角的度数算出底角EGB ∠的度数，即可得出结果．【详解】解：∵BD 平分ABC ∠，∴EBG CBG ∠=∠，∵//EF BC ，∴CBG EGB ∠=∠，∴EBG EGB ∠=∠，∴BEG 是等腰三角形，∵130BEG ∠=︒， ∴180130252EGB ︒-︒∠==︒， ∴25DGF EGB ∠=∠=︒．故答案是：25︒．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定定理． 16．【分析】利用余角等腰三角形和三角形外角的性质即可求出【详解】∵∴∵∴根据题意可知∴∴故答案为：45【点睛】本题考查等腰三角形和三角形外角的性质以及余角找出图形中角的等量关系是解答本题的关键解析：45【分析】利用余角、等腰三角形和三角形外角的性质即可求出．【详解】∵BDA DAE AEC ∠=∠+∠，DAE DAC EAC ∠=∠+∠，∴BDA DAC EAC AEC ∠=∠+∠+∠．∵90DAC BAC BAD BAD ∠=∠-∠=︒-∠，∴90BDA BAD EAC AEC ∠=︒-∠+∠+∠．根据题意可知=BDA BAD EAC AEC ∠=∠∠∠，．∴45BDA AEC ∠-∠=︒，∴=45DAE ∠︒．故答案为：45．【点睛】本题考查等腰三角形和三角形外角的性质以及余角．找出图形中角的等量关系是解答本题的关键．17．都是轴对称图形【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征【详解】解：答案不唯一例如：都是轴对称图形故答案为：都是轴对称图形【点睛】本题考查了轴对称图形解题的关键是正确把握轴对称图形的特征解析：都是轴对称图形【分析】利用已知图形的特征分别得出其公共特征．【详解】解：答案不唯一，例如：都是轴对称图形，故答案为：都是轴对称图形．【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是正确把握轴对称图形的特征．18．110°或80°【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠BAC 的度数然后分3种情况：①AD ＝AE 时②AD ＝ED 时③当AE ＝DE 时分别求解即可【详解】∵在△ABC 中AB ＝AC ∠B ＝40°∴∠B ＝∠C=40解析：110°或80°【分析】根据等腰三角形的性质，先求出∠BAC 的度数，然后分3种情况：①AD ＝AE 时，②AD ＝ED 时，③当AE ＝DE 时，分别求解，即可．【详解】∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝40°，∴∠B ＝∠C=40°∴∠BAC ＝100°，①AD ＝AE 时，∠AED ＝∠ADE ＝40°，∴∠DAE ＝100°，此时，点D 与点B 重合，不符合题意舍去，②AD ＝ED 时，∠DAE ＝∠DEA ，∴∠DAE ＝12（180°−40°）＝70°， ∴∠BAD ＝∠BAC−∠DAE ＝100°−70°＝30°，∴∠BDA ＝180°−∠B−∠BAD ＝110°，③当AE ＝DE 时，∠DAE ＝∠ADE ＝40°，∴∠BAD ＝100°−40°＝60°，∴∠BDA ＝180°−40°−60°＝80°，综上所述：∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形，故答案是：110°或80°【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质，三角形内角和定理的理解和掌握，解本题的关键是分类讨论，是一道基础题目．19．【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A2B2O 依此类推即可得到结论【详解】解：∵B1A2＝B1B2∠A1B1O ＝α∴∠A2B2Oα同理∠A3B3O ∠A2B2Oα∠A4B4Oα∴∠AnBnOα 解析：512α．【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A 2B 2O ，依此类推即可得到结论．【详解】解：∵B 1A 2＝B 1B 2，∠A 1B 1O ＝α，∴∠A 2B 2O 12=α，同理∠A 3B 3O 12=∠A 2B 2O 212=α， ∠A 4B 4O 312=α， ∴∠A n B n O 112n -=α， ∴∠A 10B 10O 95221αα==．故答案为：512α．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．20．15【分析】如图在Rt △ABC 中∠ABC ＝30°由此即可得到AB ＝2AC 而根据题意找到CA ＝5米由此即可求出AB 也就可以求出大树在折断前的高度【详解】如图在Rt △ABC 中∵∠ABC ＝30°∴AB ＝2解析：15【分析】如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，由此即可得到AB ＝2AC ，而根据题意找到CA ＝5米，由此即可求出AB ，也就可以求出大树在折断前的高度．【详解】如图，在Rt △ABC 中，∵∠ABC ＝30°，∴AB ＝2AC ，∵CA ＝5米，∴AB ＝10米，∴AB ＋AC ＝15米．所以这棵大树在折断前的高度为15米．故答案为：15．【点睛】本题主要利用定理−−在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题．三、解答题21．（1）见解析，()'2,1B ；（2）见解析，()1,0P -【分析】（1）分别作出A ，B ，C 关于y 轴对称的对应点A′，B′，C′，即可得到答案．（2）作点B 关于x 轴的对称点B″，连接A′B″交x 轴于P ，点P 即为所求．【详解】解：()1如图'''A B C ∆即为所求，由图可知，()'2,1B ；()2如图所示，点()1,0P -即为所求点．【点睛】本题考查作图——轴对称变换，轴对称——最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（1）AC DE =；（2）补全图形见解析，证明见解析；（3）能，2.AC AE DE +=【分析】（1）先证明AC 是BD 的垂直平分线，可得：45ABD ADB ∠=∠=︒，可得：90DAB ∠=︒，可得45CAD CDA ∠=∠=︒，从而可得结论；（2）如图，过B 作BG AM ⊥于G ，证明：,BCG DCE ≌ 可得,,BG DE CG CE == 再证明：,AG BG DE == 从而可得()22,AC DE CE =+ ()2,AE DE DE CE +=+ 于是可得结论；（3）如图，过B 作BG AM ⊥于G ，同（2）理可得：(),BCG DCE AAS ≌AG BG =，可得,,CG CE BG DE == ,AG BG DE == 再证明2,AG AC AE =+从而可得结论．【详解】解：（1）当,E C 重合时，点D 在线段BC 的延长线上，CD CB =，DE AM ⊥，AC ∴是BD 的垂直平分线，,AB AD ∴=,ABD ADB ∴∠=∠45MAN ∠=︒，45ABD ∴∠=︒，45ABD ADB ∴∠=∠=︒，90DAB ∴∠=︒，45CAD CDA ∴∠=∠=︒，.AE DE ∴=故答案：.AE DE =（2）补全图形如图所示，过B 作BG AM ⊥于G ，DE AM ⊥，90DEC BGC ∴∠=∠=︒，,,BC DC BCG DCE =∠=∠(),BCG DCE AAS ∴≌,,BG DE CG CE ∴==45,MAN BG AM ∴∠=︒⊥，45GAB GBA ∴∠=∠=︒，,AG BG DE ∴==()()222,AC AG CG DE CE ∴=+=+()2,AE DE AG CG CE DE DE CE +=+++=+2.AC AE DE ∴=+（3）点E 能在射线AM 的反向延长线上，如图，过B 作BG AM ⊥于G ，同理可得：(),BCG DCE AAS ≌AG BG =，,,CG CE BG DE ∴==,AG BG DE ∴==2,AG AC CG AC CE AC AC AE AC AE ∴=+=+=++=+2.AC AE DE ∴+=【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的定义及性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABC=∠ECD ，则可利用AAS 证明△ABC ≌△ECD ，再由全等三角形的性质可证得结论；（2）根据“等边对等角”可得∠DBC=∠BDC ，结合∠ABC=∠ECD ，可得∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC ，再利用三角形的外角性质得∠EBD =∠ECD+∠BDC ，即可证明∠ABD=∠EBD ．【详解】证明：（1）∵AB ∥CD ，∴∠ABC=∠ECD ，在△ABC 和△ECD 中，ABC ECD A EAC ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△ECD （AAS ），∴BC=CD ．（2）证明：如图，∵BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∵∠ABC=∠ECD ，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC ，又∵∠EBD =∠ECD+∠BDC ，∴∠ABD=∠EBD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．24．见解析【分析】由已知可得∠ABD=∠D，从而得到AB=AD，进而得到AC=AD．【详解】证明：∵BD是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD，又AD//BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABD=∠D，∴AB=AD，∵AB=AC，∴AC=AD．【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质是解题关键．25．AB=AC+BD，证明见详解．【分析】延长AE，交BD的延长线于点F，先证明AB=BF，进而证明△ACE≌△FDE，得到AC=DF，问题得证．【详解】解：延长AE，交BD的延长线于点F，AC BD，∵//∴∠F=∠CAF，∠，∵AE平分CAB∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，∠，∵BE平分ABF∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．【点睛】本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题关键．26．（1）90°；（2）60°【分析】（1）证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．（2）根据折叠的性质求出∠AFE=45°，根据三角形内角和求出∠BAC，从而得到∠AEF和∠PEF，再根据平角的定义求出∠BEP．【详解】解：（1）如图1中，∵折叠，∴△AEF≌△PEF，∴AE=EP，∵点E是AB中点，即AE=EB，∴BE=EP，∴∠EPB=∠B=45°，∴∠PEB=90°，∴∠AEP=180°-90°=90°．（2）∵PF⊥AC，∴∠PFA=90°，∵沿EF将△AEF折叠得到△PEF．∴△AEF≌△PEF，∴∠AFE=∠PFE=45°，∵∠B=45°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-45°-60°=75°，∴∠AEF=∠PEF=180°-75°-45°=60°，∴∠BEP=180°-60°-60°=60°．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，全等三角形的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的线段和角．。

成都西川中学八年级数学上册第三单元《轴对称》测试题(答案解析)

一、选择题1．如图，在△ABD 中，分别以点A 和点D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 分别交BD 、AD 于点C 、E ．若AE=5cm ，△ABC 的周长=15cm ，则△ABD 的周长是（）A ．35cmB ．30cmC ．25cmD ．20cm 2．若实数a ，b 满足a 2－4a ＋4+(b －4)2=0，且a ，b 恰好是等腰△ABC 两条边的长，则△ABC 周长为（）A ．8B ．8或10C ．12D ．103．如图，在ABC ∆中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交,AB AC 于点M 和N ，再分别以,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（）A ．AD 是∠BAC 的平分线B ．60ADC ∠=︒ C ．点D 在AB 的垂直平分线上D ． : 1:3DAC ABD S S ∆∆= 4．在等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则B 的度数不可能是（）A ．80︒B ．60︒C ．50︒D ．20︒ 5．如图，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且62EBD ∠=，则AEB ∠的度数是（）A ．124B ．122C ．120D ．1186．定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（）A ．32B ．2C ．52D ．37．如图，在ABC 中，AB AC =，108BAC ∠=︒，72ADB ∠=︒，DE 平分ADB ∠，图中等腰三角形的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6 8．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（）度 A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40 9．下列推理中，不能判断ABC 是等边三角形的是（） A ．A B C ∠=∠=∠B ．,60AB AC B =∠=︒ C ．60,60A B ∠=︒∠=︒D ．AB AC =，且B C ∠=∠ 10．若海岛N 位于海岛M 北偏东30°的方向上，则从海岛N 出发到海岛M 的航线可能是（） A ． B ．C ．D ．11．已知一个等腰三角形ABC 的两边长为5，7，另一个等腰三角形ABC 的两边为23x -，35x -，若两个三角形全等，则x 的值为（）A ．5B ．4C ．4或5D ．10312．如图，在ABC 中，18cm AC =，20cm BC =，点M 从点A 出发以每秒2cm 的速度向点C 运动，点N 从点C 出发以每秒1.6cm 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当CMN △是以MN 为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm二、填空题13．如图，∠C=90°，CB=CO ，且点B 坐标为（-2，0），则点C 坐标为_________．14．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，连接EF ，将BEF ∠对折B 落在直线EF 上的点'B 处，得折痕EM ；将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点'A 得折痕EN ，若6215'BEM ∠=︒，则AEN ∠=____．15．如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线DE 分别与,AB BC 交于点,D E ，AC 的垂直平分线FG 分别与,BC AC 交于点,F G ，10,3BC EF ==，则AEF 的周长是________．16．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线1l ，2l 相交于点O ．若135∠=︒，则A C ∠+∠的度数为______．17．如图所示为一张三角形纸片，已知6cm AC =，8cm BC =，现将ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则ACD △的周长为________cm ．18．如图：已知在ABC 中，90ACB ︒∠=，36BAC ︒∠=，在直线AC 上找点P ，使ABP △是等腰三角形，则APB ∠的度数为________．19．如图，AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称，AO 的延长线交BC 于点D .若46BOD ∠=︒，22C ∠=︒，则ADC ∠=______°．20．若等腰三角形的一条边长为5cm ，另一条边长为10cm ，则此三角形第三条边长为__________cm ．三、解答题21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC 向上平移4个单位长度所得到的△A 1B 1C 1，并写出点A 1，B 1的坐标；（2）画出△DEF 关于x 轴对称后所得到的△D 1E 1F 1，并写出点E 1，F 1的坐标；（3）△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1组成的图形是轴对称图形，请画出它的对称轴．22．如图，ABC 是边长为10的等边三角形，现有两点P 、Q 沿如图所示的方向分别从点A 、点B 同时出发，沿ABC 的边运动，已知点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的运度为每秒2个单位长度，当点P 第一次到达B 点时，P 、Q 同时停止运动．（1）点P 、Q 运动几秒后，可得到等边三角形APQ ？（2）点P 、Q 运动几秒后，P 、Q 两点重合？（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能否得到以PQ 为底边的等腰APQ ？如存在，请求出此时P 、Q 运动的时间．23．在等边ABC 中，D E 、分别为AB AC 、边上的动点，以DE 为一边作等边DEF ．（1）如图1，若等边DEF 的顶点F 恰好在BC 上，求证：ADE CEF ≌；（2）如图2，若2BD AE ，当点D 从点A 向点B 运动（不运动到点B ）时，连接CF ，请判断ECF ∠的大小是否变化并说明理由．24．在等边三角形ABC 中，点E 为线段AB 上一动点，点E 与A ，B 不重合，点D 在CB 的延长线上，且ED ＝EC ．（1）当E 为边AB 的中点时，如图1所示，确定线段AE 与BD 的大小关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E 不是边AB 的中点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出BD 与AE 的数量关系；若成立，请给予证明；（提示：过E 作//EF BC 交AC 于点F ）（3）在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED ＝EC ，ABC 的边长为1，AE ＝2，请直接写出CD 的长．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中点(6,8)A ，点(6,0)B ．（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P ，使点P 同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；①点P 到A ，B 两点的距离相等；②点P 到xOy ∠的两边的距离相等．（2）在（1）作出点P 后，直接写出点P 的坐标______．26．如图所示，已知AB AC =，AD 是中线，BE CF =．（1）求证：BDE CDF ≌；（2）当60B ∠=︒时，过AB 的中点G ，作//GH BD ，求证：4GH AB 1=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【详解】解：∵MN 垂直平分线段AD ，∴AC=DC ，AE+ED=AD=10cm ，∵AB+BC+AC=15cm ，∴AB+BC+DC=15cm ，∴△ABD 的周长=AB+BC+DC+AD=15+10=25cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．2．D解析：D【分析】由已知等式，结合非负数的性质求a 、b 的值，再根据等腰三角形的性质，分类求解即可．【详解】解：∵a 2－4a ＋4+(b －4)2=0，∴(a －2)2+(b －4)2=0，∴a−2＝0，b−4＝0，解得：a ＝2，b ＝4，当a ＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三角形三边关系定理；当n ＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三角形三边关系定理，周长为：2＋4＋4＝10．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求a ，b 的值，再根据a 或b 作为腰，分类求解．3．D解析：D【分析】根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，即可判断A ；先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到60ADC ∠=︒，即可判断B ；过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断C ；由30CAD ∠=︒，可得12CD AD =，由AD DB =，可得12DC DB =．可得::DAC ABD SS CD DB =，由12CD DB =，可得:1:21:3DAC ABD S S =≠，即可判断D ．【详解】解：根据作图方法可得AD 是BAC ∠的平分线，故A 正确；∵90,30C B ∠=︒∠=︒，∴60CAB ∠=︒．∵AD 是BAC ∠的平分线，∴30DAC DAB ∠=∠=︒．∴60ADC ∠=︒．故B 正确；过D 作DE ⊥AB∵30,30B DAB ∠=︒∠=︒，∴AD DB =．∴AE=BE∴点D 在AB 的垂直平分线上．故C 正确；∵30CAD ∠=︒， ∴12CD AD =， ∵AD DB =， ∴12DC DB =． ∴12DAC CD AC S ⋅=，12ABD DB AC S ⋅=，∴::DAC ABD SS CD DB =， ∴12CD DB =， ∴:1:21:3DAC ABD S S =≠，故D 错误．故选择：D ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法及性质应用，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．4．B解析：B【分析】分∠A 是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B 的度数，即可得到答案．【详解】当∠A 是顶角时，则∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°，当∠B 是顶角时，则∠A 是底角，∴∠B=180°-80°-80°=20°，当∠C 是顶角时，则∠A 和∠B 都是底角，∴∠B=∠A=80°，综上所述：∠B 的度数为：50°或20°或80°．观察各选项可知∠B 不可能是60°．故选B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键．5．B解析：B【分析】由等边三角形的性质，得到AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°，然后证明△ACE ≌△BCD ，则∠CAE=∠CBD ，由角的关系，求出∠ABE+∠BAE=58°，即可得到答案．【详解】解：如图：∵ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠BCD+∠BCE=60°，∴∠ACE=∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE=∠CBD ，即6062BAE EBC ︒-∠=︒-∠，∵60EBC ABE ∠=︒-∠，∴6062(60)BAE ABE ︒-∠=︒-︒-∠，∴58ABE BAE ∠+∠=︒，∴18058122AEB ∠=︒-︒=︒；故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，以及角的和差关系，解题的关键是掌握所学的知识，正确求出58ABE BAE ∠+∠=︒． 6．B解析：B【分析】由已知可以写出∠B 和∠C ，再根据三角形内角和定理可以得解．【详解】解：由已知可得：∠B=∠C=k ∠A=（36k ）°，由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180，∴k=2，故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键．7．C解析：C【分析】利用等腰三角形的性质“等边对等角”，求出角的度数，再根据“等角对等边”证明三角形是等腰三角形．【详解】解：∵AB AC =，∴ABC 是等腰三角形，∵108BAC ∠=︒， ∴180108362B C ︒-︒∠=∠==︒， ∵72ADB ∠=︒， ∴18072BAD B ADB ∠=︒-∠-∠=︒，∴ADB BAD ∠=∠，∴AB BD =，∴ABD △是等腰三角形，∵1087236DAC BAC BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴DAC C ∠=∠，∴AD CD =，∴ACD △是等腰三角形，∵DE 平分ADB ∠， ∴1362ADE BDE ADB ∠=∠=∠=︒， ∴18072AED ADE DAE ∠=︒-∠-∠=︒，∴AED DAE ∠=∠，∴DE DA =，∴ADE 是等腰三角形，∵BDE B ∠=∠，∴BE DE =，∴BED 是等腰三角形，一共有5个等腰三角形．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定． 8．C解析：C【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想．9．D解析：D【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．【详解】A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．10．D解析：D【分析】根据题意画出图形，再利用“上北下南”求出方向角即可．【详解】解：如图：∵海岛N位于海岛M的北偏东30°方向上，∴海岛N在海岛M上方，故排除A､B选项，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，排除选项C，故选D．【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握方向角的概念．11．B解析：B【分析】根据等腰ABC 的两边长为5，7，得到ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；之后根据全等分2x-3=5，2x-3=7，3x-5=5，3x-5=7四种情况分类讨论，舍去不合题意的即可求解．【详解】解：∵等腰ABC 的两边长为5，7，∴ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；由题意得另一个等腰三角形的两边为23x -，35x -，且与等腰ABC 全等（1）当2x-3=5时，解得x=4，则3x-5=7，符合题意；（2）当2x-3=7时，解得x=5，则3x-5=10，不合题意；（3）当3x-5=5时，解得103x =，则2x-3=113，不合题意；（4）当3x-5=7时，解得x=4，则2x-3=5，符合题意；综上所述：x 的值为4．故答案为：B【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的性质，根据题意分类讨论是解题关键． 12．D解析：D【分析】要求运动后得到的等腰三角形的腰长，首先要求出动点所运动的时间．我们可以设M 、N 运动的时间为x 秒．【详解】设M 、N 运动的时间为x 秒．当CMN △是以MN 为底的等腰三角形时，,182, 1.6CM CN CM x CN x ==-= 即182 1.6x x -=，解得5x =．∴腰长为5 1.68cm ⨯=故选D ．【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度．二、填空题13．(－11)【分析】过点C 作CD ⊥y 轴于点D 根据等腰三角形的性质得出OD=CD=1得出结果【详解】解：过点C 作CD ⊥y 轴于点D ∵∠ACB=90°CB=CO ∴∠CBO=∠COB=45°∵CD ⊥y 轴∴∠C解析：(－1，1)【分析】过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，根据等腰三角形的性质得出OD=CD=1，得出结果．【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，∵∠ACB=90°，CB=CO，∴∠CBO=∠COB=45°，∵CD⊥y轴，∴∠CDO=90°，∴∠COD=∠DOC，∴OD=CD，∵CD⊥y轴，CB=CO，∴OD=12OB，∵点B坐标为（-2，0），∴OB=2，∴OD=CD=1，∴点C坐标为(－1，1)，故答案为(－1，1)．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．14．【分析】先根据折叠的性质求出∠B′EM根据邻补角求出∠AEA′再根据折叠的性质即可求出∠AEN【详解】解：根据折叠可知：EM平分∠BEB′∴∠B′EM=∠BEM=62°15′∴∠AEA′=180°-解析：2745'【分析】先根据折叠的性质求出∠B′EM，根据邻补角求出∠AEA′，再根据折叠的性质即可求出∠AEN．【详解】解：根据折叠可知：EM平分∠BEB′，∴∠B′EM=∠BEM=62°15′，∴∠AEA′=180°-2×62°15′=55°30′，EN平分∠AEA′，∴∠AEN=∠A′EN=12∠AEA′=12×55°30′=27°45′，故答案为：27°45′．【点睛】本题考查了折叠的性质，邻补角的定义，以及角的计算、度分秒的换算，解决本题的关键是掌握折叠的性质．15．16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EAAF＝FC根据三角形的周长公式计算得到答案【详解】解：∵DE是AB边的垂直平分线∴EB＝EA∵FG是AC边的垂直平分线∴AF＝FC∴△AEF的周长解析：16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA、AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DE是AB边的垂直平分线，∴EB＝EA，∵FG是AC边的垂直平分线，∴AF＝FC，∴△AEF的周长=AF+AE+EF=FC+BE+EF=EC+EF+BE+EF=BC+2EF=10+6=16，故答案为：16．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16．35°【分析】连接OB同理得AO=OB=OC由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO∠C=∠CBO进而得到∠A+∠C=∠ABC由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD∠BOE=∠COE由平角的定义得∠DO解析：35°【分析】连接OB，同理得AO=OB=OC，由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，进而得到∠A+∠C=∠ABC，由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，由平角的定义得∠DOE=145°，最后由四边形内角和定理可得结论．【详解】解：连接OB，∵线段AB 、BC 的垂直平分线l 1、l 2相交于点O ，∴AO=OB=OC ，∴∠AOD=∠BOD ，∠BOE=∠COE ，∠A=∠ABO ，∠C=∠CBO ，∴∠A+∠C=∠ABC ，∵∠DOE+∠1=180°，∠1=35°，∴∠DOE=145°，∴∠ABC=360°-∠DOE-∠BDO-∠BEO=35°；故答案为：35°【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．17．14【分析】根据折叠的性质得到AD=BD 即可求出答案【详解】由折叠得：AD=BD ∵∴的周长=AC+AD+CD=AC+BC=6cm+8cm=14cm 故答案为：14【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后对解析：14【分析】根据折叠的性质得到AD=BD ，即可求出答案．【详解】由折叠得：AD=BD ，∵6cm AC =，8cm BC =，∴ACD △的周长=AC+AD+CD=AC+BC=6cm+8cm=14cm ，故答案为：14．【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后对应的线段相等，熟记性质是解题的关键．18．72°或18°或108°或36°【分析】分四种情况：①AB ＝BP1时②当AB ＝AP3时③当AB ＝AP2时④当AP4＝BP4时分别讨论根据等腰三角形的性质求出答案即可【详解】∵在Rt △ABC 中∠C ＝9解析：72°或18°或108°或36°【分析】分四种情况：①AB ＝BP 1时，②当AB ＝AP 3时，③当AB ＝AP 2时，④当AP 4＝BP 4时，分别讨论，根据等腰三角形的性质求出答案即可．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝36°，∴当AB ＝BP 1时，∠BAP 1＝∠BP 1A ＝36°，当AB ＝AP 3时，∠ABP 3＝∠AP 3B ＝12∠BAC ＝12×36°＝18°，当AB ＝AP 4时，∠ABP 4＝∠AP 4B ＝12×（180°−36°）＝72°，当AP 2＝BP 2时，∠BAP 2＝∠ABP 2，∴∠AP 2B ＝180°−36°×2＝108°，∴∠APB 的度数为：18°、36°、72°、108°．故答案为：72°或18°或108°或36°【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题关键．19．70【分析】根据三角形的外角和定理得和再根据轴对称的性质得和列式求出的值即可得到结果【详解】解：∵是的外角∴∵是的外角∴∵与关于边OB 所在的直线成轴对称∴∴即解得∴故答案是：【点睛】本题考查轴对称的解析：70【分析】根据三角形的外角和定理，得ADC A ABC ∠=∠+∠和ADC BOD OBD ∠=∠+∠，再根据轴对称的性质得12OBD ABC ∠=∠和22C A ∠=∠=︒，列式求出ABC ∠的值，即可得到结果．【详解】解：∵ADC ∠是ABD △的外角， ∴ADC A ABC ∠=∠+∠， ∵ADC ∠是BOD 的外角， ∴ADC BOD OBD ∠=∠+∠， ∵AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称， ∴12OBD ABC ∠=∠，22C A ∠=∠=︒， ∴12A ABC BOD ABC ∠+∠=∠+∠，即122462ABC ABC ︒+∠=︒+∠，解得48ABC ∠=︒， ∴224870ADC A ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案是：70．【点睛】本题考查轴对称的性质和三角形外角和定理，解题的关键是熟练运用这两个性质定理进行求解．20．10【分析】因为等腰三角形的两边分别为5cm 和10cm 但没有明确哪是底边哪是腰所以有两种情况需要分类讨论【详解】当5cm为底时其它两边都为10cm5cm10cm10cm可以构成三角形；当5cm为腰时解析：10【分析】因为等腰三角形的两边分别为5cm和10cm，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】当5cm为底时，其它两边都为10cm，5cm、10cm、10cm可以构成三角形；当5cm为腰时，其它两边为5cm和10cm，因为5+5=10，所以不能构成三角形，故舍去．所以三角形三边长只能是5cm、10cm、10cm，所以第三边是10cm．故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．三、解答题21．（1）图见解析，A1（3，2），B1（4，1）；（2）图见解析，E1（﹣2，﹣3），F1（0，﹣2）；（3）见解析【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；（2）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出点D1，E1，F1的坐标，然后描点即可；（3）直线C1F1和C1F1的垂直平分线都是△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形的对称轴．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1（3，2），B1（4，1）；（2）如图，△D1E1F1为所作，E1（﹣2，﹣3），F1（0，﹣2）；（3）如图，直线l和直线l′为所作．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．22．（1）点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ；（2）点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒．【分析】（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，利用,AP AQ = 列方程，解方程可得答案；（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，由追及问题中的相等关系：Q 的运动路程等于P 的运动路程加上相距的路程，列方程，解方程即可得到答案；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．先证明：ACP △≌ABQ △，可得CP BQ =，再列方程，解方程并检验即可得到答案．【详解】解：（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，如图①，AP t =，102AQ AB BQ t =-=-，∵三角形APQ 是等边三角形，,AP AQ ∴=∴102t t =-，解得103t =， ∴点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ．（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，102x x +=，解得：10x =．∴点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合．（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．理由如下：由（2）知10秒时P 、Q 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设APQ 是等腰三角形，∴AP AQ =，∴APQ AQP ∠=∠，∴APC AQB ∠=∠，∵ACB △是等边三角形，∴C B ∠=∠，在ACP △和ABQ △中，,,,AC AB C B APC AQB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴ACP △≌ABQ △，∴CP BQ =，设当点P 、Q 在BC 边上运动时，P 、Q 运动的时间y 秒时，APQ 是等腰三角形，由题意得：10CP y =-，302QB y =-，∴ 10302y y -=-，解得：403y =， P 的最长运动时间为2020,1s = Q 从B A C B →→→的最长时间为30=152s ，由403＜15， ∴ 403y =符合题意， ∴当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒．【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，动点问题，掌握以上知识是解题的关键．23．（1）见解析；（2）不变，理由见解析．【分析】（1）根据AAS 证明ADE CEF ≌即可；（2）在AC 上截取CH AE =，连接FH ，根据等边△ABC 和等边△DEF 的性质证明△ADE HEF ≅∆可得FH CH =，得∠FCH HFC =∠，进一步可得∠30ECF =︒．【详解】解：（1）证明：∵△ABC 和△DEF 是等边三角形∴∠A=∠C=60°，∠DEF=60°，DE=EF∵∠DEF=60°，∴∠DEF+∠FEC=180°-60°=120°∵∠C=60°∴∠CFE+∠FEC=180°-60°=120°∴∠DEA EFC =∠在△ADE 和△CEF 中，A C DEA EFC DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE CEF ≌；（2）在AC 上截取CH AE =，连接FH ，设,AE CH x ==等边△ABC 的边长为a∵22BD AE x ==∴2AD EH a x ==-∵△ABC 是等边三角形∴∠60A =︒∴∠120ADE DEA +∠=︒∵△DEF 是等边三角形∴∠60,DEF DE EF =︒=∴∠120AED FEC +∠=︒∴∠ADE FEC =∠∴△()ADE HEF SAS ≅∆∴∠60,FHE A FH AE x =∠=︒==∴FH CH =∴∠FCH HFC =∠∵∠60FCH HFC FHE +∠=∠=︒∴260FCH ∠=︒∴∠30FCH =︒即∠30ECF =︒【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键．24．（1）AE ＝BD ；见解析；（2）成立；AE ＝BD ；见解析；（3）CD 的长为3或1.【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质证得∠ECB ＝30°，由DE ＝CE ，求出∠D ＝∠ECB ＝30°得到∠DEB ＝30°，推出BD ＝BE ，根据AE ＝BE 证得结论；（2）过E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，得到△AEF 是等边三角形，推出BE=CF ，利用∠DBE ＝∠EFC ＝120°，∠BED ＝∠ECF ，证得△DEB ≌△ECF （AAS ），得到BD ＝EF=AE ；（3）作EF ∥BC 交CA 的延长线于点F ，则△AEF 为等边三角形，利用∠CEF ＝∠EDB ，EB ＝CF ＝3，∠F ＝∠B ＝60°，证得△CEF ≌△EDB （AAS ），得到BD ＝EF ＝2，求出CD ＝BD －BC ＝1，同理可得CD ＝3【详解】解：（1）AE ＝BD ；证明：∵△ABC 为等边三角形，AE ＝BE ，∴CE 平分∠ACB ，∴∠ECB ＝30°．∵DE ＝CE ，∴∠D ＝∠ECB ＝30°．∵∠ABC ＝∠D ＋∠DEB ＝60°，∴∠DEB ＝30°，∴∠D ＝∠DEB ，∴BD ＝BE ．∵AE ＝BE ，∴AE ＝BD ；（2）当E 为边AB 上任意一点时，AE ＝BD 仍成立；证明：如图1，过E 作EF ∥BC 交AC 于点F ．∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠A ＝60°，AB ＝AC ＝BC ，∴∠AEF ＝∠ABC ＝60°，∠AFE ＝∠ACB ＝60°，即∠AEF ＝∠AFE ＝∠A ＝60°,∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF．∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°．∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD，∴∠BED＝∠ECF，∴△DEB≌△ECF（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD；（3）CD的长为3或1如图2，作EF∥BC交CA的延长线于点F，则△AEF为等边三角形，∴AF＝AE＝EF＝2，∠BEF＝60°，∴∠CEF＝60°＋∠BEC．∵∠EDC＝∠ECD＝∠B＋∠BEC＝60°＋∠BEC，∴∠CEF＝∠EDB．又∵EB＝CF＝3，∠F＝∠B＝60°，∴△CEF≌△EDB（AAS），∴BD＝EF＝2，∴CD＝BD－BC＝1，如图3，同理可得CD＝3，综上所述，CD的长为3或1【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的性质，等腰三角形等边对等角的性质，熟练掌握三角形的知识并熟练应用是解题的关键．25．（1）作图见解析；（2）（4，4）【分析】（1）作AB的垂轴平分线和∠xOy的角平分线，它们的交点即为P点；（2）由于点P在AB的垂轴平分线上，则P点的纵坐标为4，再利用点P在第一象限的角平分线上，则点P的横纵坐标相同，从而得到P点坐标．【详解】（1）如图，点P 为所作；（2）P 点坐标为（4，4）．故答案为（4，4）．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．26．（1）见详解；（2）见详解．【分析】（1）由AB=AC ，AD 是中线，得到∠B=∠C ，BD=CD ，即可得到结论；（2）由等腰三角形的性质得到AD ⊥BC ，根据平行线的性质得到∠AHG=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到结果．【详解】证明（1）如图：∵AB=AC ，AD 是中线，∴∠B=∠C ，BD=CD ，在△BDE 与△CDF 中，BE CF B C BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDF ；（2）∵GH ∥BD ，∠B=60°，∴∠AGH=60°，∵AB=AC ，AD 是中线，∴AD⊥BC，∴∠BAD=30°∠AHG=90°，∴GH=1AG，2∵AG=1AB，2∴GH=1AB．4【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握定理是解题的关键．。

人教版初中数学八年级数学上册第三单元《轴对称》测试(含答案解析)(1)

一、选择题1．下列命题中，假命题是（）A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形C ．相等的两个角是对顶角D ．有一个角是60的等腰三角形是等边三角形2．如图，已知60AOB ∠=︒，点P 在OA 边上，8OP cm =，点M 、N 在边OB 上，PM PN =，若2MN cm =，则OM 为（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．1cm3．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法中正确的个数是（） ①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；④:2:5DAC ABC S S =△△A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，AD AE =，若40BAD ∠=︒，则CDE ∠的度数为（）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒5．如图，等边ABC 的顶点(1,1)A ，(3,1)B ，规定把等边ABC “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，ABC 顶点C 的坐标为（）A ．(2020,13)-+B ．(2020,13)---C ．(2019,13)-+D ．(2019,13)--- 6．如图，在ABC 中，87,A ABC ∠=︒∠的平分线BD 交AC 于点,DE 是BC 中点，且DE BC ⊥，那么C ∠的度数为（）A ．16︒B ．28︒C ．31︒D ．62︒7．如图，ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线DE 分别交AB 、AC 于点E 、D ，若52BAC ∠=︒，则DBC ∠=（）．A ．12︒B ．14︒C ．16︒D ．18︒8．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（）A ．∠1＝2∠2B ．∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠2﹣∠1＝180° 9．如图，∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a 1，第2个等边三角形的边长记为a 2，以此类推．若OA 1=1，则a 2019=（）A ．22017B ．22018C ．22019D ．2202010．以下说法正确的是（）A ．三角形中 30°的对边等于最长边的一半B ．若a + b = 3，ab = 2，则a - b = 1C ．到三角形三边所在直线距离相等的点有且仅有一个D ．等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线 11．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（）A ．30B ．60︒C ．40︒或50︒D ．30或60︒ 12．已知等边△ABC 的边长为6，D 是AB 上的动点，过D 作DE ⊥AC 于点E ，过E 作EF ⊥BC 于点F ，过F 作FG ⊥AB 于点G ．当G 与D 重合时，AD 的长是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．平面直角坐标系xOy 中，先作出点P (2,3)-关于y 轴的对称点，再将该对称点先向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到点P 1，称为完成一次图形变换，再将点P 1进行同样的图形变换得到点P 2，以此类推，则点P 2020的坐标为___________．14．如图，点C 在DE 上，,,45B E AB AE CAD BAE ∠=∠=∠=∠=︒，则ACB =∠_____________．15．如图，等边△ABC 的边长为4，点D 在边AC 上，AD ＝1．（1）△ABC 的周长等于_____；（2）线段PQ 在边BA 上运动，PQ ＝1，BQ ＞BP ，连接QD ，PC ，当四边形PCDQ 的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC ，QD ，并简要说明点P 和点Q 的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____．16．嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用()1,1-表示，右下角的圆形棋子用()0,0表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置是__________．17．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 平分ABC ∠，如果9cm AC =，那么AD = ___________cm ．18．含30角的直角三角板与直线1l ，2l 的位置关系如图所示，已知12//l l ，30A ∠=︒，160∠=︒，若6AB =，CD 的长为__________．19．如图，已知 O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，且∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为_____度．20．△ABC 中，∠A =50°，当∠B =____________时，△ABC 是等腰三角形．三、解答题21．如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF ．求证：（1）Rt △ABF ≌Rt △DCE ；（2）OE ＝OF ．22．如图，在平面直角坐标系中有ABC ：（1）已知111A B C △和ABC 关于y 轴对称，在图中画出111A B C △；（2）将111A B C △沿x 轴向右平移4个单位，在图中画出平移后的222A B C △；（3）222A B C △和ABC 关于某条直线l 对称，在图中画出对称轴l ．23．（1）如图1，О是等边ABC 内一点，连接OA OB OC 、、，且3,4,5,OA OB OC ===BAO BCD ≅△△，连接OD ．①OBD ∠= __度；（答案直接填写在横线上）②OD =_ __﹔（答案直接填写在横线上）③求BDC ∠的度数．（2）如图2所示，О是等腰直角()90ABC ABC ∠=︒△内一点，连接OA OB OC 、、，BAO BCD ≅△△，连接OD ．当OA OB OC 、、满足什么条件时，90ODC ∠=．请给出证明．24．如图，在平面直角坐标系中，(2,4)A ，(3,1)B ，(2,1)C --．（1）在图中作出ABC 关于x 轴的对称图形111A B C △，并直接写出点1C 的坐标：________；（2）求ABC 的面积：（3）点(),2P a a -与点Q 关于x 轴对称，若6PQ =，则点P 的坐标为________．25．如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为G ，且AD AB =，60EDF ∠=︒，其两边分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）求证：ABD △是等边三角形；（2）若2DG =，求AC 的长；（3）求证：AB AE AF =+．26．如图，在ABC ∆中，,AB AC =过点A 作//AD BC 交ABC ∠的平分线BD 于点D ，求证：AC AD =．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用全等三角形的判定和等腰三角形的性质判断A 、B ，根据对顶角的定义判断C ，根据等边三角形的判定判断D ．【详解】解：A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是真命题；B ．已知等腰三角形的两腰相等，且顶角的平分线即为底边上的高，则可根据为HL 可以得出两个三角形全等，故本选项是真命题；C 、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；D 、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题；故选C ．【点睛】本题考查了命题和定理，解题的关键是明确题意，可以判断题目中的命题的真假，对于假命题能举出反例或者说明理由．2．B解析：B【分析】过P 作PC 垂直于MN ，由等腰三角形三线合一性质得到MC=CN ，求出MC 的长，在直角三角形OPC 中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OC 的长，由OC-MC 求出OM 的长即可．【详解】解：过P 作PC ⊥MN ，∵PM=PN ，∴C 为MN 中点，即MC=NC=12MN=1，在Rt △OPC 中，∠AOB=60°，∴∠OPC=30°，∴OC= 12OP=4，则OM=OC-MC=4-1=3cm ，故选：B ．【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．3．C解析：C【分析】根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，由此判断①正确；先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到60ADC ∠=︒，判断②正确；过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断③正确；证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，得到S △ACD =S △AED ，根据等底同高得到S △AED =S △BED ，即可得到:1:3DAC ABC S S =，判断④错误．【详解】解：由题意得：AD 是BAC ∠的平分线，故①正确；∵90C ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠BAC=60︒，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，∴60ADC ∠=︒，故②正确；过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵∠BAD=30B ∠=︒，∴AD=BD ，∴△ABD 是等腰三角形，∴AE=BE ，∴点D 在AB 的中垂线上，故③正确；∵AD 是BAC ∠的平分线，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴CD=DE ，∠C=∠AED=90︒，又∵AD=AD ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，∴S △ACD =S △AED ，∵AE=BE ，DE ⊥AB ，∴S △AED =S △BED ，∴:1:3DAC ABC S S =，故④错误；故选：C ．．【点睛】此题考查角平分线的作图方法及性质应用，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．4．B解析：B【分析】根据AB AC =，D 为BC 的中点，∠CAD=40BAD ∠=︒，∠C=50︒，由AD AE =，得到∠AED =70︒，再根据∠AED=∠C+∠CDE 求得答案．【详解】∵AB AC =，D 为BC 的中点，∴∠CAD=40BAD ∠=︒，∠BAC=802BAD ∠=︒，∴∠B=∠C=50︒，∵AD AE =，∴∠AED=∠ADE=70︒，∵∠AED=∠C+∠CDE ，∴CDE ∠=20︒，故选：B ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质：等边对等角求角的度数以及三线合一，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记并熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键．5．D解析：D【分析】先求出点C 坐标，第一次变换，根据轴对称判断出点C 变换后在x 轴下方然后求出点C 纵坐标，再根据平移的距离求出点C 变换后的横坐标，最后写出第一次变换后点C 坐标，同理可以求出第二次变换后点C 坐标，以此类推可求出第n 次变化后点C 坐标．【详解】∵△ABC 是等边三角形AB=3-1=2∴点C 到x 轴的距离为1+212⨯=+2 ∴C(2，1+由题意可得:第1次变换后点C 的坐标变为(2-1，1)，即(1，1-，第2次变换后点C 的坐标变为(2-21)，即(0，1+第3次变换后点C 的坐标变为(2-3，1)，即(-1，1--第n 次变换后点C 的坐标变为(2-n ，1)(n 为奇数)或(2-n ，1+为偶数)， ∴连续经过2021次变换后，等边ABC 的顶点C 的坐标为(-2019，1-，故选：D ．【点睛】本题考查了利用轴对称变换（即翻折）和平移的特点求解点的坐标，在求解过程中找到规律是关键． 6．C解析：C【分析】根据角平分线的定义得到ABD CBD ∠=∠，根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC ，进而得到DBC C ∠=∠，根据三角形内角和定理列式计算即可．【详解】∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∵DE BC ⊥，E 是BC 中点，∴DB=DC ，∴DBC C ∠=∠，∴ABD CBD C ∠=∠=∠，∴18087ABD CBD C ∠+∠+∠=︒-︒，解得：31C ∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．7．A解析：A【分析】由在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝52°，又由DE 是AB 的垂直平分线，即可求得∠ABD 的度数，继而求得答案．【详解】在ABC 中，AB AC =，52BAC ∠=︒，()11802ABC ACB BAC ∴∠=∠=⨯︒-∠ ()1180522=⨯︒-︒64=︒， DE 为AB 的中垂线，AD BD ∴=，52ABD BAC ∴∠=∠=︒，12DBC ABC ABD ∴∠=∠-∠=︒．故选A ．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．8．D解析：D【分析】根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．【详解】解：∵2∠是ACD △的外角，∴12C ∠+∠=∠，∴∠C=∠2-∠1，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵AB BD =，∴2BAD ∠=∠，∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 9．B解析：B【分析】根据等边三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及a 2=2a 1，得出a 3=4a 1=4，a 4=8a 1=8，a 5=16a 1=16，进而得出答案．【详解】解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°−120°−30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°−60°−30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=1，∴A 2B 1=1，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a 2=2a 1=2，a 3=4a 1=22，a 4=8a 1=32，a 5=16a 1=42，，以此类推：a 2019=22018．故选：B．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，根据已知得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16…进而发现规律是解题关键．10．D解析：D【分析】对每个选项一一分析即可得到正确答案．【详解】解：A、错误，正确的说法是：含30°的直角三角形中 30°的对边等于最长边的一半；B、错误，例如a =1，b=2，满足a +b = 3 ，ab = 2，但不满足a -b = 1；C、错误，到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，在三角形内部的有一个，是三个内角角平分线的交点，在三角形的外部还有三个，是三角形的外角角平分线的交点；D、正确，等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线，都在等腰三角形的底边的垂直平分线上，故选：D．【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．11．D解析：D【分析】由三角形的高可在三角形的内部，也可在三角形的外部，所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况作出符合题意的图形，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，分两种情况：①如图，当三角形的高在三角形的内部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠A=60°，∴∠C=∠ABC=1802A ︒-∠ =60°； ②如图，当三角形的高在三角形的外部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=180302BAC ︒-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理的应用，三角形的高的含义，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论解决问题是解题的关键． 12．D解析：D【分析】设BD=x ，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，依次表示出BF 、CF 、CD 、AE 、AD ，然后根据AD+BD=AB 列方程即可求出x 的值．【详解】解：如图，设BD=x ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE ⊥AC 于点E ，EF ⊥BC 于点F ，FG ⊥AB ，∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，∴∠BFD=∠ADE=∠CEF=30°，∴BF=2x ，∴CF=6-2x ，∴CE=2CF=12-4x ，∴AE=6-CE=4x-6，∴AD=2AE=8x-12，∵AD+BD=AB，∴8x-12+x=6，∴x=2，∴AD=8x-12=16-12=4．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．二、填空题13．【分析】按程序先作y轴对称求出点坐标横坐标-2纵坐标-1完成一次图形变换求出P变换后的坐标找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0偶次变换点的横坐标x=-2纵坐标变一次下移一个单位【详解】解：完成--解析：(2,2017)【分析】按程序先作y轴对称，求出点坐标，横坐标-2，纵坐标-1，完成一次图形变换求出P变换后的坐标，找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．【详解】-关于y轴的对称点（2，3），横坐标2-2=0，纵坐标3-解：完成1次图形变换，点P (2,3)1=2，P1（0，2），完成2次图形变换，点P1(0,2)关于y轴的对称点（0，2），横坐标0-2=-2，纵坐标2-1=1，P2（-2，1），完成3次图形变换，点P2（-2，1）关于y轴的对称点（2，1），横坐标3-3=0，纵坐标1-1=0，P3（0，0），完成4次图形变换，点P3（0，0）关于y轴的对称点（0，0），横坐标0-2=-2，纵坐标0-1=-1，P4（-2，-1），……,完成2020次图形变换，点P2019（0，3-2019）关于y轴的对称点（0，-2016），横坐标0-2=-2，纵坐标-2016-1=-2017，P2020（-2，-2017）．故答案为：（-2，-2017）．【点睛】本题考查图形规律探索问题，掌握图形程序变换的轴对称性质和平移特征，关键是找到变换规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．14．【分析】由条件可证得△ABC≌△AED则可求得∠ACB=∠ADEAD=AC再利用等腰三角形的性质可求得答案【详解】解：∵∠CAD=∠BAE ∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE 即∠BAC=∠DAE解析：67.5【分析】由条件可证得△ABC ≌△AED ，则可求得∠ACB=∠ADE ，AD=AC ，再利用等腰三角形的性质可求得答案．【详解】解：∵∠CAD=∠BAE ，∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE ，即∠BAC=∠DAE ，在△ABC 和△AED 中，B E AB AEBAC EAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△AED （ASA ），∴AD=AC ，∠ACB=∠ADE ，∴∠ACD=∠ADC ，∵∠CAD=45°，∴∠ADC=67.5°，∴∠ACB=67.5°，故答案为：67.5．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．15．见解析过点C 作CE ∥AB 且CE=1作点D 关于AB 的对称点F 连接EF 交AB 于一点为Q 在AB 上BQ 之间截取PQ=1连接CPDQ 则四边形PCDQ 为所求的周长最小的四边形【分析】（1）根据三角形周长公式计算解析：见解析，过点C 作CE ∥AB ，且CE=1，作点D 关于AB 的对称点F ，连接EF 交AB 于一点为Q ，在AB 上BQ 之间截取PQ=1，连接CP 、DQ ，则四边形PCDQ 为所求的周长最小的四边形【分析】（1）根据三角形周长公式计算；（2）过点C 作CE ∥AB ，且CE=1，作点D 关于AB 的对称点F ，连接EF 交AB 于一点为Q ，在AB 上BQ 之间截取PQ=1，连接CP 、DQ ，则四边形PCDQ 为所求的周长最小的四边形．【详解】（1）△ABC 的周长等于4312⨯=，故答案为：12；（2）如图：故答案为：过点C 作CE ∥AB ，且CE=1，作点D 关于AB 的对称点F ，连接EF 交AB 于一点为Q ，在AB 上BQ 之间截取PQ=1，连接CP 、DQ ，则四边形PCDQ 为所求的周长最小的四边形．．【点睛】此题考查等边三角形的性质，三角形周长计算公式，轴对称的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．16．【分析】首先确定平面直角坐标系再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置即可解决问题【详解】解：平面直角坐标系如图所示淇淇放的方形棋子的位置如图坐标为（-12）故答案为（-12）【点睛】本题考解析：()1,2-【分析】首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题．【详解】解：平面直角坐标系如图所示，淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为（-1，2），故答案为（-1，2）．【点睛】本题考查坐标与图形的性质，坐标位置的确定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．17．6【分析】先求得∠ABD=∠CBD=30°进而得AD=BD 设AD=BD=x(cm)列出关于x 的方程即可求解【详解】∵在中∴∠ABC=60°∵BD 平分∴∠ABD=∠CBD=30°∴∠ABD=∠A ∴AD解析：6先求得∠ABD=∠CBD=30°，进而得AD=BD ，设AD=BD=x(cm)，列出关于x 的方程，即可求解．【详解】∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，∴∠ABC=60°,∵BD 平分ABC ∠，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ABD=∠A ，∴AD=BD ，设AD=BD=x(cm)，∵AC=9cm ，∴CD=(9-x)cm ， ∴912x x -=，即：x=6， ∴AD =6．故答案是：6【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定定理以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”是解题的关键．18．3【分析】再根据含角的直角三角形的边角关系证得BC=AB=3根据平行线的性质可求得∠BDC=∠1=60°根据∠CBD=60°和三角形内角和定理可证得△BCD 是等边三角形即可证得CD=BC=3【详解】解析：3【分析】再根据含30角的直角三角形的边角关系证得BC=12AB=3，根据平行线的性质可求得∠BDC=∠1=60°，根据∠CBD=60°和三角形内角和定理可证得△BCD 是等边三角形，即可证得CD=BC=3．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=12AB=3，∠CBD=60°， ∵12//l l ，∴∠BDC=∠1=60°，又∠CBD=60°，∴∠BCD=60°，∴△BCD 为等边三角形，∴CD=BC=3，故答案为：3．本题考查了含30角的直角三角形的边角关系、平行线的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握含30角的直角三角形的边角关系，证得△BCD为等边三角形是解答的关键．19．100【分析】连接AO延长交BC于D根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A即可求解【详解】解：连接AO延长交BC于D∵O为△A解析：100【分析】连接AO延长交BC于D，根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC，再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A，即可求解．【详解】解：连接AO延长交BC于D，∵O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，∴OB=OA=OC，∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，∵∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB，∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC，∵∠BAC=50°，∴∠BOC=100°．故答案为：100．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，属于基础题型，熟练掌握它们的性质和运用是解答的关键．20．50°或80°或65°【分析】由已知条件根据题意分三种情况讨论：①∠A是顶角；②∠A是底角∠B＝∠A时③∠A是底角∠B＝∠A时利用三角形的内角和进行求解【详解】①∠A是顶角∠B＝（180°−∠A）÷解析：50°或80°或65°【分析】由已知条件，根据题意，分三种情况讨论：①∠A是顶角；②∠A是底角，∠B＝∠A 时，③∠A是底角，∠B＝∠A时，利用三角形的内角和进行求解．【详解】①∠A是顶角，∠B＝（180°−∠A）÷2＝65°；②∠A是底角，∠B＝∠A＝50°．③∠A是底角，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°−50°×2＝80°，∴当∠B的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．故答案为：50°或65°或80°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明；（2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB＝∠DEC，再根据等腰三角形的性质得出结论．【详解】证明：（1）∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中∵BF CE AB CD=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）；（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），∴∠AFB＝∠DEC，∴OE＝OF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，掌握HL判断两个直角三角形全等，是解题的关键．22．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）直接利用轴对称的性质得出对称轴的位置进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示：（2）如图所示；（3）如图所示．【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． 23．（1）①60︒；②4；③150︒；（2）2222OA OB OC +=，证明见解析．【分析】（1）①由BAO BCD ≅△△得到,BO BD ABO CBD =∠=∠，继而证明ABC OBD ∠=∠即可解题；②由BAO BCD ≅△△得到BO BD =，结合①结论60OBD ∠=︒，可证明OBD 是等边三角形，即可解题；③根据BAO BCD ≅△△得到=AO CD ，在ODC △中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明ODC △为直角三角形，继而得到90ODC ∠=，再结合OBD 是等边三角形即可解得60OBD ∠=︒据此解题即可；（2）由,BAO BCD ≅可得90,,OBD ABC BO BD CD AO ∠=∠=︒==，可证明OBD 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得2OD OB =，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可．【详解】解:（1）①BAO BCD ≅,BO BD ABO CBD ∴=∠=∠ABO OBC CBD OBC ∴∠+∠=∠+∠即ABC OBD ∠=∠60ABC OBD ∴∠=∠=︒故答案为：60︒；②BAO BCD ≅BO BD ∴=，由①得60OBD ∠=︒OBD ∴△是等边三角形，4OD OB BD ∴===故答案为：4；③BAO BCD ≅AO CD ∴=4,3,5OD DC OC ===222OD DC OC ∴+=ODC ∴为直角三角形90ODC ∴∠= OBD △为等边三角形60BDO ∴∠=︒90+60=150BDC ODC BDO ∴∠=∠+∠=︒︒；（2）当2222OA OB OC +=时，90ODC ∠=︒．理由如下:,BAO BCD ≅90,,OBD ABC BO BD CD AO ∴∠=∠=︒==，OBD ∴△为等腰直角三角形，2OD OB ∴=，当222CD OD OC +=时，OCD 为直角三角形，90ODC ∠=︒2222OA OB OC ∴+=，当OA OB OC 、、满足2222OA OB OC +=时，90ODC ∠=︒．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理、全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．24．（1）作图见详解，（−2，1）；（2）8.5；（3）（5，3）或（−1，−3）【分析】（1）分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可．（2）利用分割法求解即可．（3）先根据P ，Q 关于x 轴对称，得到Q 的坐标，再构建方程求解即可．【详解】（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求．点C 1的坐标（−2，1）．故答案为：（−2，1）；（2）S △ABC ＝5×5−12×1×3−12×4×5−12×2×5＝8.5．（3）∵点(),2P a a -与点Q 关于x 轴对称，∴Q (),2a a -，∵6PQ =，∴|(a-2)-(2-a)|=6，解得：a=5或a=-1，∴P （5，3）或（−1，−3）．故答案为：（5，3）或（−1，−3）．【点睛】本题考查了作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握关于坐标轴对称的两点的坐标特征，属于中考常考题型．25．（1）见解析；（2）4AC =；（3）见解析【分析】（1）连接BD 由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD ＝∠DAC ＝12×120°＝60°，再由AD ＝AB ，即可得出结论；（2）由等边三角形三线合一可得，122DG AG AD ===，可得4AD AB AC ===，即可求解；（3）由△ABD 是等边三角形，得出BD ＝AD ，∠ABD ＝∠ADB ＝60°，证出∠BDE ＝∠ADF ，由ASA 证明△BDE ≌△ADF ，得出AF ＝BE ，即可求解．【详解】证明：（1）AB AC =，AD BC ⊥，12BAD DAC BAC ∴∠=∠=∠， 120BAC ∠=︒，1120602BAD DAC ∴∠=∠=⨯︒=︒， =AD AB ，ABD ∴是等边三角形．（2）ABD 是等边三角形，AD AB BD ∴==，AD BC ⊥，122DG AG AD ∴===， 4AD AB AC ∴===，即4AC =；（3）ABD 是等三角形，60ABD ADB ∴∠=∠=︒，BD AD =，60EDF ∠=︒，ADB ADE EDF ADE ∴∠-∠=∠-∠，即BDE ADF ∠=∠．在BDE 和ADF 中，60ABD DAC ∠=∠=︒，BD AD =，BDE ADF ∠=∠， (ASA)BDE ADF ∴△≌△，BE AF ∴=，AB AE BE =+，AB AE AF ∴=+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．26．见解析【分析】由已知可得∠ABD=∠D ，从而得到AB=AD ，进而得到AC=AD ．【详解】证明：∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD ，又AD//BC ，∴∠CBD=∠D ，∴∠ABD=∠D ，∴AB=AD ，∵AB=AC ，∴AC=AD ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质是解题关键．。

八年级数学轴对称单元测试题及答案

D C B A 八年级数学《轴对称》单元测试题选择题（本大题共12小题，每题2分，共24分）1. 以下几何图形中，是轴对称图形且对称轴条数大于1的有（）长方形； ⑵正方形； ⑶圆； ⑷三角形； ⑸线段； ⑹射线； ⑺直线.A 3个B 4个C 5个D 6个2. 以下说法正确的选项是（）A. 任何一个图形都有对称轴B.两个全等三角形必然关于某直线对称C.若△ABC 与△DEF 成轴对称，那么△ABC ≌△DEFD.点A ，点B 在直线L 两旁，且AB 与直线L 交于点O ，假设AO ＝BO ，那么点A 与点B 关于直线L 对称3.如下图是一只停泊在安静水面的小船，它的“倒影”应是图中的（）4.在平面直角坐标系中，有点A （2，－1），点A 关于y 轴的对称点是（）A.（－2，－1）B.（－2，1）C.（2，1）D.（1，－2）5.已知点A 的坐标为（1，4），那么点A 关于x 轴对称的点的纵坐标为（）A. 1B. －1C. 4D. －46.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A.过极点的直线B.底边上的高C.底边的中线D.顶角平分线所在的直线.7.已知点A （－2，1）与点B 关于直线x ＝1成轴对称，那么点B 的坐标为（）A.（4，1）B.（4，－1）C.（－4，1）D.（－4，－1）8.已知点P （1，a ）与Q （b ，2）关于x 轴成轴对称，又有点Q （b ，2）与点M （m ，n ）关于y 轴成轴对称，那么m －n 的值为（）A 3 B.－3 C. 1 D. －19.等腰三角形的一个内角是50°，那么另外两个角的度数别离为（）A.65°，65°B.50°，80°C.65°，65°或50°，80°D.50°，50°10.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么那个等腰三角形的顶角为（）A. 30°B. 150°C. 30°或150°D.12°11.等腰三角形底边长为6cm ，一腰上的中线把周长分成两部份的差为2cm ，那么腰长为（）A. 4cmB. 8cmC. 4cm 或8cmD. 以上都不对12.已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，点P1和点P 关于OA 对称，点P2和点P 关于OB 对称，那么P1、O 、P2三点组成的三角形是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形二、填空题：（本大题共8小题，每题3分，共24分）13.等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴.第14题第15题第16题O21题⑴L21题⑵B14.如图，若是△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A1的坐标为15.如图是某时刻在镜子中看到准确时钟的情形，那么实际时刻是.16.∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，那么PQ＝.17.等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm，那么三角形的面积为.18.点P（1，2）关于直线y＝1对称的点的坐标是；关于直线x＝1对称的的坐标是.19.三角形三内角度数之比为1∶2∶3，最大边长是8cm，那么最小边的长是.20.在△ABC和△ADC中，以下3个论断：①AB＝AD；②∠BAC＝∠DAC；③BC＝DC.将两个论断作为条件，另一个论断作为结论组成一个命题，写出一个真命题：三、解答题：（本大题共52分）21.（每题5分，共10分）作图题：（不写作法，保留作图痕迹）如图，已知线段AB和直线L，作出与线段AB关于直线L对称的图形.已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC＝PD，且P到∠AOB两边的距离相等.22.（5分）如下图，在平面直角坐标系中，A（－1，5），B（－1，0），C（－4，3）.⑴求出△ABC的面积.在图形中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1.写出点A1，B1，C1的坐标.23.（5分）如下图，梯形ABCD关于y轴对称，点A2，0）.写出点C和点D的坐标；求出梯形ABCD的面积.E DC B A P DC B A P ED C B ANM F E CB A24.（5分）如图，△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE ＝3cm ，△ABD 的周长为13cm.求△ABC 的周长.25.（6分）如图，D 是等边三角形ABC 内一点，DB ＝DA ，BP ＝AB ，∠DPB ＝∠DBC.求证：∠BPD ＝30°.26.（8分）如图，△ABC 为任意三角形，以边AB 、AC 为边别离向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD 、BE 而且相交于点P . 求证：⑴CD ＝BE. ⑵∠BPC ＝120°28.（7分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，BC ＝6，AB 的垂直平分线交BC 于M ，交AB 于E ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，交AC 于F ，求证：BM ＝MN ＝NC.。

八年级上《轴对称图形》单元测试含答案.docx

八年级上《轴对称图形》单元测试含答案一、选择题1．下列图案中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．到三角形三个顶点距离相等的是（）A．三边高线的交点B．三条中线的交点C．三条垂直平分线的交点D．三条内角平分线的交点3．如图，△ ABC与△ A′ B′C′关于直线l 对称，且∠ A=78°，∠ C′ =48°，则∠ B 的度数为（）A． 48° B ． 54° C． 74° D． 78°4．如图， Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=50°，将其折叠，使点 A 落在边 CB上 A′处，折痕为CD，则∠A′ DB=（）A． 40° B ． 30° C． 20° D． 10°二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分18 分）5．如图， AD∥ BC， BD平分∠ ABC，且∠ A=110°，则∠ D=°．6．如图，△ ABC中，∠ B，∠ C 的平分线相交于点O，过O作 DE∥ BC，若 BD+EC=5cm，则 DE等于cm．7．如图，在正方形 ABCD中，E 是 AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是 AC上一动点，则 PB+PE的最小值是．8．点 P 在线段 AB的垂直平分线上，PA=10，则 PB=．9．如图，△ ABC中，∠ ACB=90°， AD平分∠ BAC， AD=10， AC=8．则点 D 到 AB 边的距离为．10．如图，△ ABC中， AB+AC=6cm， BC的垂直平分线l 与 AC相交于点D，则△ABD的周长为cm．三、解答题11．已知：如图，在△ABC中，∠ BAC=90°， BD平分∠ ABC，DE⊥ BC于 E．证明： BD垂直平分AE．12．已知：如图，∠ABC=∠ ADC=90°， E、 F 分别是 AC、 BD的中点．求证：EF⊥ BD．13．（ 1）如图，在△ ABC中，∠ BAC=90°， AB=AC，点 D 在 BC上，且 BD=BA，点 E 在 BC的延长线上且CE=CA，试求∠ DAE的度数；（ 2）如果把第（1）题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由；（3）如果把第（ 1）题中“∠ BAC=90°”的条件改为“∠ BAC＞ 90°”，其余条件不变，那么∠ DAE与∠ BAC有怎样的大小关系？14．有一条道路和两个养鸡场．（ 1）把这条道路看成一条直线，两个养鸡场分别看成点A、 B，点 A、 B 与直线有多少种不同的位置关系？画出可能位置的图形．（ 2）现要在道路旁建一座冷藏库，冷藏库应建在何处，可使两个养鸡场到该冷藏库的距离和最短？参考答案与试题解析一、选择题1．下列图案中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：根据轴对称图形的概念知B、 C、 D 都不是轴对称图形，只有 A 是轴对称图形．故选 A．【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．2．到三角形三个顶点距离相等的是（）A．三边高线的交点B．三条中线的交点C．三条垂直平分线的交点D．三条内角平分线的交点【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据题意得出到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，画出图形后根据线段垂直平分线定理得出PA=PC，PC=PB，推出 PA=PC=PB即可．【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，理由是：∵ P 在 AB的垂直平分线EF 上，∴PA=PB，∵P 在 AC的垂直平分线 MN上，∴ PA=PC，∴ PA=PC=PB，即 P 是到三角形三个顶点的距离相等的点．故选 C．【点评】本题考查了线段垂直平分线定理，注意：线段垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，而三角形三个角平分线的交点到三角形三边的距离相等．3．如图，△ ABC与△ A′ B′C′关于直线l 对称，且∠ A=78°，∠ C′ =48°，则∠ B 的度数为（）A． 48° B ． 54° C． 74° D． 78°【考点】轴对称的性质；三角形内角和定理．【分析】由对称得到∠C=∠ C′=48°，由三角形内角和定理得∠B=54°，由轴对称的性质知∠B=∠ B′=54°．【解答】解：∵在△ABC中，∠ A=78°，∠ C=∠ C′ =48°，∴∠ B=180°﹣ 78°﹣ 48° =54°∵△ ABC与△ A′ B′C′关于直线l 对称，∴∠ B=∠ B′ =54°．故选 B．【点评】本题考查轴对称的性质及三角形内角和定理；把已知条件转化到同一个三角形中利用内角和求解是正确解答本题的关键．4．如图， Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=50°，将其折叠，使点 A 落在边 CB上 A′处，折痕为CD，则∠A′ DB=（）A． 40° B ． 30° C． 20° D． 10°【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′ DB=∠ CA'D﹣∠ B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'D=∠ A=50°，易求∠ B=90°﹣∠ A=40°，从而求出∠A′ DB的度数．【解答】解：∵Rt △ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=50°，∴∠ B=90°﹣ 50° =40°，∵将其折叠，使点 A 落在边 CB上 A′处，折痕为CD，则∠ CA'D=∠ A，∵∠ CA'D 是△ A'BD 的外角，∴∠ A′ DB=∠ CA'D﹣∠ B=50°﹣ 40° =10°．故选： D．【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分18 分）5．如图， AD∥ BC， BD平分∠ ABC，且∠ A=110°，则∠ D= 35°．【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【专题】计算题．【分析】根据平行线的性质先求得∠ABC的度数，再根据角平分线的性质及平行线的性质求得∠D的度数．【解答】解：∵AD∥BC，∠ A=110°，∴∠ ABC=180﹣∠ A=70°；又∵ BD平分∠ ABC，∴∠ DBC=35°；∵AD∥ BC，∴∠ D=∠ DBC=35°．故答案为： 35．【点评】此题考查了角平分线的性质及平行线的性质，比较简单．6．如图，△ ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点 O，过 O作 DE∥ BC，若 BD+EC=5cm，则 DE等于5cm．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】根据∠B，∠ C 的平分线相交于点O，可得出∠ OBD=∠ OBC，∠ OCE=∠ OCB，再由 DE∥ BC，得出∠ DOB=∠ OBC，∠ EOC=∠ OCB，从而得出∠ OBD=∠ DOB，∠EOC=∠ ECO，则 OD=BD，OE=CE，从而得出DE=BD+EC．【解答】解：∵∠B，∠ C 的平分线相交于点O，∴∠ OBD=∠OBC，∠ OCE=∠ OCB，∵DE∥ BC，∴∠ DOB=∠OBC，∠ EOC=∠ OCB，∴∠ OBD=∠DOB，∠ EOC=∠ ECO，∴OD=BD， OE=CE，∴DE=OD+OE=BD+EC，∵ BD+EC=5cm，∴DE=5cm．故答案为 5．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，以及平行线的性质和角平分线的定义，是基础知识要熟练掌握．7．如图，在正方形ABCD中， E 是 AB上一点， BE=2， AE=3BE，P 是 AC上一动点，则PB+PE的最小值是10．【考点】轴对称- 最短路线问题；正方形的性质．【分析】由正方形性质的得出B、 D 关于 AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交 AC于 P，连接 BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图，连接DE，交 AC于 P，连接 BP，则此时PB+PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、 D 关于 AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2， AE=3BE，∴ AE=6， AB=8，∴ DE==10，故PB+PE的最小值是 10．故答案为： 10．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．8．点 P 在线段 AB的垂直平分线上，PA=10，则 PB= 10．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线性质得出PA=PB，即可求出答案．【解答】解：∵点P 在线段 AB的垂直平分线上，∴PA=PB，∵ PA=10，∴PB=10，故答案为： 10．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．9．如图，△ ABC中，∠ ACB=90°， AD平分∠ BAC， AD=10， AC=8．则点 D 到 AB 边的距离为6．【考点】角平分线的性质．【分析】根据勾股定理求出CD，过 D 作 DE⊥ AB 于 E，根据角平分线性质得出DE=CD，即可得出答案．【解答】解：在△ ABC中，∠ ACB=90°， AD=10， AC=8，由勾股定理得： CD==6，过D 作 DE⊥ AB于 E，∵， DE⊥ AB，∠ ACB=90°， AD平分∠ BAC，∴DE=CD=6，故答案为： 6．【点评】本题考查了角平分线性质和勾股定理的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．10．如图，△ ABC中， AB+AC=6cm， BC的垂直平分线l 与 AC相交于点D，则△ ABD 的周长为6cm．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】数形结合．【分析】根据中垂线的性质，可得DC=DB，继而可确定△ABD的周长．【解答】解：∵l 垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ ABD的周长 =AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm．故答案为： 6．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，注意掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．三、解答题11．（ 2014 秋?海陵区期中）已知：如图，在△ABC中，∠ BAC=90°， BD平分∠ ABC， DE⊥ BC于 E．证明： BD垂直平分AE．【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】根据已知和角平分线性质求出AD=DE，∠ ABD=∠ EBD，∠ BAD=∠ BED=90°，证△ BAD≌△ BED，推出 AB=BE，根据等腰三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵∠BAC=90°， BD平分∠ ABC，DE⊥ BC，∴AD=DE，∠ ABD=∠ EBD，∠ BAD=∠BED=90°，在△ BAD和△ BED中∴△ BAD≌△ BED（ AAS），∴AB=BE，∵BD平分∠ ABE，∴ BD垂直平分 AE，【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是求出 AB=BE．12．（ 2014 秋?无锡校级期末）已知：如图，∠ABC=∠ ADC=90°， E、 F 分别是 AC、 BD的中点．求证：EF⊥ BD．【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】连接BE、 DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=DE= AC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明．【解答】证明：如图，连接BE、 DE，∵∠ ABC=∠ADC=90°， E 是 AC的中点，∴BE=DE= AC，∵F 是BD的中点，∴ EF⊥ BD．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．13．（ 2008 秋?南通期末）（ 1）如图，在△ ABC中，∠ BAC=90°， AB=AC，点 D在 BC上，且 BD=BA，点E 在 BC的延长线上且CE=CA，试求∠ DAE的度数；（ 2）如果把第（1）题中“ AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由；（3）如果把第（ 1）题中“∠ BAC=90°”的条件改为“∠ BAC＞ 90°”，其余条件不变，那么∠ DAE与∠ BAC有怎样的大小关系？【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】（ 1）要求∠ DAE，必先求∠ BAD和∠ CAE，由∠ BAC=90°， AB=AC，可求∠ B=∠ACB=45°，又因为BD=BA，可求∠ BAD=∠ BDA=67.5°，再由 CE=CA，可求∠ CAE=∠E=22.5 °，所以∠ DAE=∠ BAE﹣∠BAD=112.5°﹣ 67.5 ° =45 度；（2）先设∠ CAE=x，由已知 CA=CE可求∠ ACB=∠CAE+∠ E=2x，∠ B=90°﹣ 2x，又因为 BD=BA，所以∠ BAD=∠BDA=x+45°，再根据三角形的内角和是180°，可求∠ BAE=90° +x，即∠ DAE=∠ BAE﹣∠ BAD=（90°+x）﹣（ x+45°） =45 度；（3）可设∠ CAE=x，∠ BAD=y，则∠ B=180°﹣ 2y，∠ E=∠ CAE=x，所以∠ BAE=180°﹣∠ B﹣∠ E=2y﹣ x，∠ BAC=∠ BAE﹣∠ CAE=2y﹣ x﹣x=2y ﹣ 2x，即∠ DAE= ∠ BAC．【解答】解：（1）∵ AB=AC，∠ BAC=90°，∴∠ B=∠ ACB=45°，∵BD=BA，∴∠ BAD=∠BDA= （ 180°﹣∠ B）=67.5 °，∵CE=CA，∴∠ CAE=∠E=∠ ACB=22.5°，在△ ABE中，∠ BAE=180°﹣∠ B﹣∠ E=112.5 °，∴∠ DAE=∠BAE﹣∠ BAD=112.5°﹣ 67.5 ° =45 度；（2）不改变．设∠CAE=x，∵ CA=CE，∴∠ E=∠ CAE=x，∴∠ ACB=∠CAE+∠ E=2x，在△ ABC中，∠ BAC=90°，∴∠ B=90°﹣∠ ACB=90°﹣ 2x，∵BD=BA，∴∠ BAD=∠BDA= （ 180°﹣∠ B）=x+45°，在△ ABE中，∠ BAE=180°﹣∠ B﹣∠ E，=180°﹣（ 90°﹣ 2x）﹣ x=90° +x，∴∠ DAE=∠BAE﹣∠ BAD，=（ 90° +x）﹣（ x+45°） =45°；（3）∠ DAE= ∠ BAC．理由：设∠ CAE=x，∠ BAD=y，则∠ B=180°﹣ 2y ，∠ E=∠ CAE=x，∴∠ BAE=180°﹣∠ B﹣∠ E=2y﹣ x，∴∠ DAE=∠BAE﹣∠ BAD=2y﹣x﹣ y=y ﹣x，∠BAC=∠ BAE﹣∠ CAE=2y﹣ x﹣x=2y ﹣ 2x，∴∠ DAE= ∠ BAC．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．本题由易到难，由特例到一般，是一道提高学生能力的训练题．14．有一条道路和两个养鸡场．（ 1）把这条道路看成一条直线，两个养鸡场分别看成点A、 B，点 A、 B 与直线有多少种不同的位置关系？画出可能位置的图形．（2）现要在道路旁建一座冷藏库，冷藏库应建在何处，可使两个养鸡场到该冷藏库的距离和最短？【考点】轴对称 - 最短路线问题；作图—应用与设计作图．【分析】（ 1）由题意可知点A、B 与直线有 2 种位置关系，一是点A、B 与直线 L 同侧，另一个是点A、B 与直线 L 异侧；（ 2）当 A、 B 与直线 l 同侧时，过点A作 l 的对称点 A ，连接 BA ，相交 l 于 O， O即为冷藏库位置；11当A、 B 与直线 l 异侧时，连接 AB，相交 L 于 O′， O′即为冷藏库位置．【解答】解：（ 1）如图所示：（ 2）如图所示：【点评】本题考查了应用与设计作图，此类题目主要把简单作图放入实际问题中，解题关键是首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。

2023-2024学年四川省成都市青羊区树德实验学校八年级(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年四川省成都市青羊区树德实验学校八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数.下列各数中，属于无理数的是( )A. B. 0 C. D.2.在平面直角坐标系中，点所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是( )A. 2，3，4B. ，，C. ，，D. ，，4.下列命题中，假命题是( )A. 相等的角是对顶角B. 三角形内角和为C. 实数和数轴上点是一一对应的D. 两条直线平行，同旁内角互补5.甲、乙两人在相同的条件下做投篮训练，他们各投了5组，每组10次，两人投中的平均数为，方差，；则投篮的命中率较稳定的是( )A. 两人一样稳定B. 甲C. 乙D. 无法判断6.已知一次函数，则该函数的图象大致是( )A. B. C. D.7.已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则的度数是( )A. B. C. D.8.我国古代数学专著《孙子算经》中记载了一道题，“一百马，一百瓦，大马一拖三，小马三拖一，大马小马各几何？”大意是，100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马？有多少匹小马？设有大马x匹，小马y匹，根据题意列方程组正确的是( )A. B.C. D.二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

9.27的立方根是______，9的平方根是______.10.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______.11.如图，在中，，，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则的度数是______.12.如图，直线与直线都经过点，则关于x，y的方程组的解是______.13.图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形如图2所示演化而成的.如果图2中的…，那么的长为______.14.比较大小：______15.关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为______.16.定义：对于给定的一次函数、b为常数，且，把形如的函数称为一次函数的“新生函数”.已知一次函数，若点在这个一次函数的“新生函数”图象上，则m的值是______；若点在这个一次函数的“新生函数”图象上，则n的值是______.17.如图，在中，，，，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠，使点B的对应点始终落在边AC上，若为直角三角形，则BM 的长为______.18.如图，在等腰中，，，D、E两点分别是边AC、AB上的动点，且，将线段DE绕点D顺时针旋转得到线段DF，连接BF，若，则线段BF长度的最小值为______.三、解答题：本题共8小题，共78分。

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一、选择题1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()4,3-，点P 在x 轴上，且使AOP 为等腰三角形，符合题意的点P 的个数为（）．A ．2B ．3C ．4D ．52．如图所示，等腰直角三角形ADM 中，AM DM =，90AMD ∠=︒，E 是AD 上一点，连接ME ，过点D 作DC ME ⊥交ME 于点C ，过点A 作AB ME ⊥交ME 于点B ，4AB =，10CD =，则BC 的长度为（）A ．3B ．6C ．8D ．103．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…，在射线ON 上，点B ，1B ，2B ，3B ，…，在射线OM 上，112A B B ，223A B B △，334A B B △，…，均为等边三角形．若11OB =，则202020202021A B B △的边长为（）A ．20192B ．20202C ．20212D ．202224．若a ，b 为等腰ABC 的两边，且满足350a b --=，则ABC 的周长为（）A ．11B ．13C ．11或13D ．9或15 5．如图，在Rt ABC ∆中， 90,30,ACB A CD ︒︒∠=∠=是斜边AB 上的高，2BD =，那么AD 的长为（）A ．2B ．4C ．6D ．8 6．等腰三角形两边长为2和4，则其周长为（）A ．8B ．10C ．8或10D ．12 7．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，AEC BED △△≌，点D 在AC 边上，AE 和BD 相交于点O ，若30AED ∠=︒，120∠=︒BEC ，则ADB ∠的度数为（）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°9．如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形．A ．6B ．7C ．8D ．910．若a b c 、、是ABC 的边，且222()()()0,a b a c b c -+-+-=则ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 11．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（）A ．6cmB ．6.5cmC ．7cmD ．8cm12．如图，在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，AB 垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点P ，交AC 于点Q ，连接BE ，BQ ，则EBQ ∠=（）A ．65︒B ．60︒C ．56︒D ．50︒二、填空题13．平面直角坐标系xOy 中，先作出点P (2,3)-关于y 轴的对称点，再将该对称点先向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到点P 1，称为完成一次图形变换，再将点P 1进行同样的图形变换得到点P 2，以此类推，则点P 2020的坐标为___________．14．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则B ∠=________°．15．如图所示为一张三角形纸片，已知6cm AC =，8cm BC =，现将ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则ACD △的周长为________cm ．16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 是BC 上一点，且∠BAP ＝90°，CP ＝4cm ．则BP 的长＝________．17．如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C ，D ，O 是网格线交点，那么AOB ∠___________COD ∠（填“＞”，“＜”或“＝”）．18．在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以A ，C 为圆心，以大于12AC 的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M ，N ； ②作直线MN 交AB 于点D ，连结CD ．请回答：若BC=DC ，∠B=100°，则∠ACB 的度数为____． 19．如图，在四边形ABCD 中，130DAB ∠=︒，90D B ∠=∠=︒，点M ，N 分别是CD ，BC 上两个动点，当AMN 的周长最小时，AMN ANM ∠+∠的度数为_________．20．如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，点A ，点C 均在格点上，点P 为x 轴上任意一点，则PAC △周长的最小值为________．三、解答题21．如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF ．求证：（1）Rt △ABF ≌Rt △DCE ；（2）OE ＝OF ．22．如图，在△ABC 中， AB =AC ．过点A 作BC 的平行线交∠ABC 的角平分线于点D ，连接CD ．(1)求证：△ACD 为等腰三角形．(2)若∠BAD =140°，求∠BDC 的度数．23．已知在ABC 中，CAB ∠的平分线AD 与BC 的垂直平分线DE 交于点D ，DM AB ⊥于M ，DN AC ⊥交AC 的延长线于N ．（1）证明：BM CN =；（2）当80BAC ∠=︒时，求DCB ∠的度数．24．如图，在ABC ∆中，AB AC =．（1）尺规作图：作边AB 的垂直平分线，交AB 于点D ，交AC 于点E ，连结BE ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若6AB =，4BC =，求BEC ∆的周长．25．如图，,ABC AEF ∆∆均为等边三角形，连接BE ，连接并延长CF 交BE 于点D ．（1）求证：CAF BAE ∆≅∆;（2）连接AD ，求证DA 平分CDE ∠.26．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分∠ACF，求证：BE＝CF．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】以O为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有2个交点，再以A为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有1个交点，然后再作AO的垂直平分线可得与x轴有1个交点．【详解】解：如图所示：点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数共4个，故选：C．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．2．B解析：B【分析】通过先证明AMB MDC △≌△，得到=4AB MC =,=10MB CD =，即可求得=BC MB MC -，即可得到答案．【详解】解：∵DC ME ⊥，AB ME ⊥，90AMD ∠=︒∴DCM B ∠=∠，+90AMB DMC ∠∠=︒,+90MDC DMC ∠∠=︒∴AMB ∠=MDC ∠∵AM DM =∴AMB MDC △≌△∴AB MC =,MB CD =∵4AB =，10CD = ∴4MC =,10MB =∴=1046BC MB MC -=-=故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义，熟练掌握全等三角形判定和性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．3．A解析：A【分析】先求出∠O=∠OA 1B 1=30°，从而A 1B 1=A 1B 2= OB 1=1，然后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵△A 1B 1B 2是等边三角形，∴∠A 1B 1B 2=∠A 1B 2O=60°，A 1B 1=A 1B 2，∵∠O=30°，∴∠A 2A 1B 2=∠O+∠A 1B 2O=90°，∵∠A 1B 1B 2=∠O+∠OA 1B 1，∴∠O=∠OA 1B 1=30°，∴OB 1=A 1B 1=A 1B 2=1，在Rt △A 2A 1B 2中，∵∠A 1A 2B 2=30°，∴A 2B 2=2A 1B 2=2，同法可得A 3B 3=22，A 4B 4=23，…，A n B n =2n-1，∴202020202021A B B △的边长=22019，故选：A．【点睛】本题考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．4．C解析：C【分析】根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据b是腰长和底边长两种情况讨论求解．【详解】解：根据题意得a-3=0，b-5=0，解得a=3，b=5，（1）若3是腰长，则三角形的三边长为：3、3、5，能组成三角形，周长为：3+3+5=11；（2）若3是底边长，则三角形的三边长为：3、5、5，能组成三角形，周长为3+5+5=13．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形作出判断．5．C解析：C【分析】根据∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边AB上的高，利用互余关系求∠BCD=30°，DB=2，可求BC，在Rt△ABC中，再利用含30°的直角三角形的性质求AB，再用线段的差求AD．【详解】解：Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，CD是斜边AB上的高，∴∠CDB=90°，∴∠BCD=90°-∠B=30°，∴BC=2BD＝4，同理，AB=2BC=8，AD=AB-BD=8-2=6，故选：C．【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质，准确运用在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半是解题关键．6．B解析：B【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．【详解】解：①当2为腰时，2+2=4，不能构成三角形，故此种情况不存在；②当4为腰时，符合题意，则周长是2+4+4=10．故选：B ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解． 7．B解析：B【分析】根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．【详解】第一个图案是轴对称图形，第二个图案不是轴对称图形，第三个图案是轴对称图形，第四个图案不是轴对称图形，综上所述：是轴对称图形的图案有2个，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．8．A解析：A【分析】由△AEC ≌△BED 可知：EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度数，从而可求出∠ADB 的度数．【详解】解：∵△AEC ≌△BED ，∴EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，∴∠BEO+∠AED=∠CED+∠AED ，∴∠BEO=∠CED,∵∠AED=30°，∠BEC=120°，∴∠BEO=∠CED=120302︒-︒=45°，在△EDC 中，∵EC=ED，∠CED=45°，∴∠C=∠EDC=67.5°，∴∠BDE=∠C=67.5°，∴∠ADB=180°-∠BDE-∠EDC=180°-67.5°-67.5°=45°，故选A．【点睛】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质．9．B解析：B【分析】先确定对称轴，再找到对称点进而可以找到符合题意的对称三角形即可．【详解】解：如图，左右对称的有4个，如图，上下对称的有1个，如图，关于正方形的对角线对称的有2个，∴一共有7个与原三角形关于某直线对称的格点三角形，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，找到正确的对称轴，画出相应的对称三角形是解决本题的关键．10．D解析：D【分析】由偶次方的非负性质得出a-b=0，a-c=0，b-c=0，得出a=b=c ，即可得出结论．【详解】解：∵222()()()0,a b a c b c -+-+-=，∴a-b=0，a-c=0，b-c=0，∴a=b ，a=c ，b=c ，∴a=b=c ，∴这个三角形是等边三角形；故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定、偶次方的非负性质；熟练掌握等边三角形的判定方法，由偶次方的非负性质得出a=b=c 是解题的关键．11．D解析：D【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．【详解】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN BC ⊥，BN CN =，∴90ANB ANC ∠=∠=，60EBC E ∠=∠=，∴EBM △是等边三角形，6BE cm =，∴6EB EM BM cm ===，//DF BC ，∴60EFD EBM ∠=∠=，∴EFD △是等边三角形，2DE cm =，∴2EF FD ED cm ===，∴4DM cm =，EBM △是等边三角形，∴60EMB ∠=，∴30NDM ∠=，∴2NM cm =，∴4BN BM NM cm =-=，∴28BC BN cm ==．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．12．C解析：C【分析】根据等腰ABC ，118ABC ︒∠=，得到AB=CB ，∠A=∠C=1(180)312ABC ︒︒-∠=，由DE 垂直平分AB ，求得∠ABE=31A ∠=︒，同理：31QBC C ∠=∠=︒，根据∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC 计算得出答案．【详解】在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，∴AB=CB ，∠A=∠C=1(180)312ABC ︒︒-∠=， ∵DE 垂直平分AB ，∴AE=BE ，∴∠ABE=31A ∠=︒，同理：31QBC C ∠=∠=︒，∴∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC=56︒，故选：C ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．二、填空题13．【分析】按程序先作y轴对称求出点坐标横坐标-2纵坐标-1完成一次图形变换求出P变换后的坐标找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0偶次变换点的横坐标x=-2纵坐标变一次下移一个单位【详解】解：完成--解析：(2,2017)【分析】按程序先作y轴对称，求出点坐标，横坐标-2，纵坐标-1，完成一次图形变换求出P变换后的坐标，找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．【详解】-关于y轴的对称点（2，3），横坐标2-2=0，纵坐标3-解：完成1次图形变换，点P (2,3)1=2，P1（0，2），完成2次图形变换，点P1(0,2)关于y轴的对称点（0，2），横坐标0-2=-2，纵坐标2-1=1，P2（-2，1），完成3次图形变换，点P2（-2，1）关于y轴的对称点（2，1），横坐标3-3=0，纵坐标1-1=0，P3（0，0），完成4次图形变换，点P3（0，0）关于y轴的对称点（0，0），横坐标0-2=-2，纵坐标0-1=-1，P4（-2，-1），……,完成2020次图形变换，点P2019（0，3-2019）关于y轴的对称点（0，-2016），横坐标0-2=-2，纵坐标-2016-1=-2017，P2020（-2，-2017）．故答案为：（-2，-2017）．【点睛】本题考查图形规律探索问题，掌握图形程序变换的轴对称性质和平移特征，关键是找到变换规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．14．25【分析】设∠ADC＝α然后根据AC＝AD＝DB∠BAC＝105°表示出∠B和∠BAD的度数最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数进而求得∠B的度数即可【详解】解：∵AC＝AD＝DB∴∠B＝解析：25【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，进而求得∠B的度数即可．【详解】解：∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，设∠ADC＝α，∴∠B ＝∠BAD ＝2α ， ∵∠BAC ＝105°，∴∠DAC ＝105°﹣2α，在△ADC 中， ∵∠ADC +∠C +∠DAC ＝180°，∴2α+105°﹣2α＝180°，解得：α＝50°，∴∠B ＝∠BAD ＝2α＝25°，故答案为：25．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．15．14【分析】根据折叠的性质得到AD=BD 即可求出答案【详解】由折叠得：AD=BD ∵∴的周长=AC+AD+CD=AC+BC=6cm+8cm=14cm 故答案为：14【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后对解析：14【分析】根据折叠的性质得到AD=BD ，即可求出答案．【详解】由折叠得：AD=BD ，∵6cm AC =，8cm BC =，∴ACD △的周长=AC+AD+CD=AC+BC=6cm+8cm=14cm ，故答案为：14．【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后对应的线段相等，熟记性质是解题的关键．16．8cm 【分析】先根据已知条件求得PA=PC 再含30度直角三角形的性质求得BP 的长即可【详解】解：∵AB=AC ∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵∠BAC=120°∠BAP=90°∴∠PAC=30 解析：8cm【分析】先根据已知条件求得PA=PC ，再含30度直角三角形的性质求得BP 的长即可．【详解】解：∵AB=AC ，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵∠BAC=120°，∠BAP=90°，∴∠PAC=30°，∴∠C=∠PAC，∴PA=PC=4cm，∵∠BAP=90°，∠B=30°，∴BP=2AP=8cm．故答案为：8cm【点睛】本题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键是根据已知条件求得PA=PC=4cm，再根据含30度直角三角形的性质求得BP的长．17．>【分析】如图过点B作BE⊥AC于E证明△BOE是等腰直角三角形得到∠BOE=过点C作CF⊥OC使FC=OC证明△OCF是等腰直角三角形得到∠FOC=由图知∠FOC>∠COD即可得到∠AOB>∠CO解析：>【分析】如图，过点B作BE⊥AC于E，证明△BOE是等腰直角三角形，得到∠BOE=45︒，过点C 作CF⊥OC，使FC=OC，证明△OCF是等腰直角三角形，得到∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，即可得到∠AOB>∠COD．【详解】如图，过点B作BE⊥AC于E，∵OB=OE=2，∠BEO=90︒，∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠BOE=45︒，过点C作CF⊥OC，使FC=OC，∴∠FCO=90︒，∴△OCF是等腰直角三角形，∴∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，∴∠AOB>∠COD，故答案为：>．．【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定及性质,角的大小比较，根据图形确定角的位置关系是解题的关键．18．30°【分析】依据等腰三角形的性质即可得到∠BDC的度数再根据线段垂直平分线的性质即可得出∠A的度数进而得到∠ACB的度数【详解】解：根据题意如图：∵BC=DC∠ABC=100°∴∠BDC=∠CBD解析：30°【分析】依据等腰三角形的性质，即可得到∠BDC的度数，再根据线段垂直平分线的性质，即可得出∠A的度数，进而得到∠ACB的度数．【详解】解：根据题意，如图：∵BC=DC，∠ABC=100°，∴∠BDC=∠CBD=180°-100°=80°，根据题意得：MN是AC的垂直平分线，∴CD=AD，∴∠ACD=∠A，∴∠A=1(18080)50⨯︒-︒=︒，2∴∠ACB=∠CBD-∠A=80°-50°=30°．故答案为：30°．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．解题时注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．19．100°【分析】作点A关于BC的对称点A′关于CD的对称点A″根据轴对称确定最短路线问题连接A′A″与BCCD的交点即为所求的点MN利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″再根据轴对称的性质和三解析：100°【分析】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°，由轴对称的性质得：A′N= AN，A″M=AM∴∠A′=∠A′AN，∠A″=∠A″AM，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．故答案为：100°【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．20．【分析】根据勾股定理可得AC的长度作点C关于x轴的对称点C′连接AC′与x轴交于点P利用勾股定理求出AP+PC的最小值从而得出答案【详解】AC=如图作点C关于x轴的对称点C′连接AC′与x轴交于点P解析：21022【分析】根据勾股定理可得AC的长度，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，利用勾股定理求出AP+PC的最小值，从而得出答案．【详解】22222+=如图，作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，与x轴交于点P，则AP+PC=AP+PC′=AC′，此时AP+PC 2226210+=所以△PAC 周长的最小值为21022 故答案为：21022．【点睛】本题主要考查了轴对称－最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由于△ABF 与△DCE 是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明；（2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB ＝∠DEC ，再根据等腰三角形的性质得出结论．【详解】证明：（1）∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE ，∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形，在Rt △ABF 和Rt △DCE 中∵BF CE AB CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE （HL ）；（2）∵Rt △ABF ≌Rt △DCE （已证），∴∠AFB ＝∠DEC ，∴OE ＝OF ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，掌握HL 判断两个直角三角形全等，是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）50BDC ∠=︒．【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠ADB=∠ABD ，从而可得AB=AD ，再依据等量代换即可得出结论；（2）根据等腰三角形等边对等角可求得∠ADB=20°，再依据角平分线的性质、平行线的性质和等腰三角形等边对等角求得70ADC ∠=︒，最后利用角的和差即可求得结论．【详解】解：（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ，∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠DBC ，∴∠ADB=∠ABD ，∴AB=AD ，∵AB =AC ，∴AC=AD ，即△ACD 为等腰三角形；（2）∵AB=AD ，∠BAD =140°，∴∠ADB=∠ABD=1802BAD ︒-∠=20°， ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠ABD=40°，∵AB =AC ，∴∠ACB=∠ABC=40°,∵AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB=40°,∵AC=AD ， ∴180702DAC ADC ACD ︒-∠∠=∠==︒, ∴50AD DC AD C B B ∠-∠=∠=︒．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的有关证明．（1）中需正确识别角平分线与平行线所构成的等腰三角形；（2）中能根据等边对等角依次计算角度是解题关键．23．（1）证明见解析；（2）∠DCB=40°．【分析】（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN ，DB=DC ，根据HL 证明Rt △DMB ≌Rt △DNC ，即可得出BM=CN ；（2）根据角平分线的性质得到DM=DN ，根据全等三角形的性质得到∠ADM=∠ADN ，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠EDC=50°于是得到结论．【详解】（1）证明：连接BD ，DC ，如图所示：∵AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=DN ，∵DE 垂直平分BC ，∴DB=DC ，在Rt △DMB 和Rt △DNC 中，DB DC DM DN =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DMB ≌Rt △DNC （HL ），∴BM=CN ；（2）解：由（1）得：∠BDM=∠CDN ，∵AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DM=DN ，在Rt △DMA 和Rt △DNA 中，DA DA DM DN =⎧⎨=⎩∴Rt △DMA ≌Rt △DNA （HL ），∴∠ADM=∠ADN ，∵∠BAC=80°，∴∠MDN=100°，∠ADM=∠ADN=50°，∵∠BDM=∠CDN ，∴∠BDC=∠MDN=100°，∵DE 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ，∴∠EDC=12∠BDC=50°， ∴∠DCB=90°-∠EDC=40°，∴∠DCB=40°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 24．（1）见详解；（2）10．【分析】（1）分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 长度为半径画弧，在AB 两边分别相交于两点，然后过这两点作直线即为AB 的垂直平分线；（2）由中垂线的性质得AE ＝BE ，根据△EBC 的周长＝BE ＋CE ＋BC ＝AE ＋CE ＋BC ＝AC ＋BC ，进而可得答案．【详解】（1）如图所示：（2）∵6AB =，∴6AC AB ==，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE=BE ，∴BEC ∆的周长=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=4+6=10．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的性质及基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．25．（1）见解析；（2）详见解析.【分析】（1）利用SAS 证明即可；（2）逆用角的平分线性质定理证明.【详解】(1)∵△ABC,△AEF 是等边三角形,∴AC=AB,AF=AE,∠CAB=∠EAF,∴∠CAB-∠FAB =∠EAF-∠FAB,∴∠CAF=∠BAE,∴△CAF ≌△BAE;(2)过点A 分别作AH ⊥CD 于点H,AG ⊥BE,交BE 的延长线于点G,由（1）知，△CAF ≌△BAE ，∴CF=BE ，CAF BAE SS =, ∴1122CE AH BE AG ⨯⨯=⨯⨯， ∴AH=AG ，∴DA 平分∠CDE.【点睛】本题考查了三角形的全等，等边三角形的性质，角平分线性质定理的逆定理，准确选择全等判定方法，活用角的平分线的逆定理是解题的关键.26．证明见解析．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB=AC ，证明△BDE ≌△CDF ，根据全等三角形的性质得到BE=CF ．【详解】证明：∵AD 垂直平分BC ，∴AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∵BC 平分∠ACF ，∴∠FCB ＝∠ACB ，∴∠ABC ＝∠FCB ，在△BDE 和△CDF 中，EDB FDC BD CDEBD FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BDE ≌△CDF （ASA ），∴BE ＝CF ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．。