圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化
圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化
圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化(x-h)²+(y-k)²=r²这是圆的一般方程，也被称为普通方程。
它表示平面上任意一点到圆心的距离与半径r的关系。
为了将圆的参数方程转换为普通方程，首先假设圆的参数为角度θ，则参数方程可以表示为：x = h + r * cosθy = k + r * sinθ这里，θ的取值范围为0到2π，也即一个完整的圆周。
将这两个参数方程代入圆的一般方程中，可以得到：(h + r * cosθ - h)² + (k + r * sinθ - k)² = r²化简之后，可以得到传统的普通方程。
与参数方程相反，将普通方程转换为参数方程的过程叫做互化。
首先，假设圆的圆心为(h,k)，半径为r。
将圆的一般方程展开：(x-h)²+(y-k)²=r²然后，将其中的x和y都表示成关于θ的函数。
考虑到sin²θ +cos²θ = 1，可以设x - h = r * cosθ，y - k = r * sinθ。
将这两个式子代入，可以得到：(r * cosθ)² + (r * sinθ)² = r²化简之后，即得到参数方程。
这样，普通方程和参数方程之间实现了互化。
使用参数方程进行图形绘制时，可以通过改变参数θ的取值范围来绘制整个圆周。
此外，参数方程也可以用于描述其他形状，如椭圆、双曲线等。
通过调整参数方程的形式，可以绘制出各种不同形状的图形。
参数方程的优势在于它可以更直观地描述图形的特征。
通过改变参数的取值范围，我们可以创建出不同的图案，并更容易对图形进行变换、旋转、缩放等操作。
此外，参数方程的计算也更加简单，适合用于计算机图形学领域。
总之，参数方程和普通方程是描述圆的两种常用方式。
通过互化，我们可以在参数方程和普通方程之间自由切换，并利用它们来描述各种形状的图形。
参数方程与普通方程的互化
2cos 5(为参数)所 3 2sin
表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
(x 5)2 ( y 3)2 4
x r r cos 是3、4，圆则y圆 心2r 坐r s标in是 (__为_（_参_2_，数__1，_）_r___0)的直径
4 所以x [ 2, 2], 所以与参数方程等价的普通方程为
x2 y, x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
y
o
2
x
2
参数方程化为普通方程的步骤
步骤： 1、消掉参数 2、写出定义域
练习1
下列参数方程与方程y2 x表示同一曲线的是
A
x y
t t
2
(t为参数)
2 0得焦点坐标为(2,0)和(0,2) 4
小节：
1、参数方程的概念 2、能够解决一些简单的参数方程 3、圆的参数方程的表达式 4、将参数方程化为普通方程的方法 5、将普通方程化为参数方程的方法
注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x,y的取值范围保持一致。
作业：26页1、2、4、5
解：（1）把x 3cos代入椭圆方程，得到
9 cos2 y2 1,
94
所以y2 4(1 cos2 ) 4sin2 即y 2sin
由参数的任意性，可取y 2sin ,
所以椭圆 x2 y2 1的参数方程是 94
x
y
3 c os (为参数) 2sin
解：（1）由x t 1 1有 t x 1 代入y 1 2 t ,得到y 2x 3 又x t 1 1,所以与参数方程等价的 普通方程是 y 2x 3(x 1) 这是以(1,1)为端点的一条射线 (包括端点)
圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化
的坐标.
设P( x, y )
PA2 PB2
则
x 3 2cos
y
4
2
sin
( 4 2 c o s ) 2 ( 4 2 s i n ) 2 ( 2 2 c o s ) 2 ( 4 2 s i n ) 2
6 0 8 (3 c o s 4 s in )
6040sin()(sin53,
普通方程化为参数方程需要引入参数：
一般地, 如果知道变量x, y中的一个与参数t的关系,例如
○xt的=就是f关(曲t系)线，的y把=参g数它xy(方t代程)，。入gf那普((tt么)通) : 方 程，求出另一个变量与参数
○ 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致
例5 求椭圆
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圆的参数方程及参 数方程与普通方程 的互化
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知识回顾： 参数方程的概 念：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任
01
意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
x f (t), 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系
y g ( t ) . 02 变数 x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。
|,
(0
2)
（A）双曲线的一支, 这支过点（1, 1/2）;
（B）抛物线的一部分, 这部分过（1, 1/2）;
（C）双曲线的一支, 这支过点（–1, 1/2); （D）抛物线的一部分, 这部分过（–1, 1/2).
2.普通方程化为参数方程：
如y+：2=直xy0线，l可2t的以t普化通2为(方参t为 程数是方参 2程x:- 数 )
cos4)
圆的参数方程
例3
已知点P是圆 是圆x 例2. 如图,已知点 是圆 2+y2=16上的一个动点, 上的一个动点 当点P在圆 点A是x轴上的定点,坐标为 是 轴上的定点 坐标为(12,0).当点 在圆 线段PA中点 中点M的轨迹是什么 上运动时,线段 中点 的轨迹是什么?
已知点P是圆 是圆x 例2. 如图,已知点 是圆 2+y2=16上的一个动点, 上的一个动点 当点P在圆 点A是x轴上的定点,坐标为 是 轴上的定点 坐标为(12,0).当点 在圆 线段PA中点 中点M的轨迹是什么 上运动时,线段 中点 的轨迹是什么? 解:设M的坐标为 的坐标为(x,y), 圆 的坐标为(x,y),圆x2+y2=16 设 的坐标为 的参数方程为 x =4cosθ y =4sinθ 可设点P坐标为 坐标为(4cosθ,4sinθ) ∴可设点 坐标为
5
P(x,y)
p0
5
-5
确定的点P(x,y),都在圆 上. 都在圆O上 确定的点 都在圆 我们把方程组①叫做圆心在原点、 我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为 r的圆的参数方程， 是参数 的圆的参数方程， 是参数. 的圆的参数方程 θ
-5
思 2 :圆 为 1(a, b)、 径 r的 的 准 程 考 心 O 半 为 圆 标 方 为 x − a) + ( y − b) = r , 那 参 方 是 么 ? ( 么 数 程 什 呢
3、填空题 : x = 2 + cos θ （2，-2） (1)参数方程 表示圆心为 y = − 2 + sin θ 2 的圆，化为标准方程为 x − 2 + 半径为 1
(
) ( y + 2)2 =1
( 2 ) 把圆方程
圆的一般方程化为参数
圆的一般方程化为参数圆是我们日常生活中经常遇到的一种几何图形。
在数学中，圆可以使用一般方程和参数方程进行描述和表示。
本文将重点介绍圆的一般方程化为参数。
圆的一般方程是x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F是常数。
这个方程的一般形式可以描述任何圆形。
然而，在某些情况下，将一般方程转化为参数方程可以更方便地描述圆的性质和特点。
让我们考虑一种特殊情况，即圆心位于原点的圆。
对于这种情况，一般方程可以简化为x² + y² = r²，其中r是圆的半径。
我们可以通过参数方程来表示这个圆。
设参数为θ，那么圆上的点的坐标可以表示为x = rcosθ，y = rsinθ。
这样，我们可以通过改变θ的取值来得到圆上的所有点，从而描述整个圆。
对于一般情况的圆，我们可以通过平移来将圆心移动到原点，然后再进行参数化。
假设圆心的坐标为(h, k)，半径为r。
我们可以通过将x替换为x-h，y替换为y-k，得到以原点为圆心的一般方程(x-h)² + (y-k)² = r²。
然后，我们可以根据前面讨论的方法，得到参数方程为x = h + rcosθ，y = k + rsinθ。
这样，我们可以通过改变θ的取值来描述整个圆。
参数方程的优势在于可以更直观地表示圆的性质和特点。
例如，我们可以通过改变θ的取值范围，来控制圆的弧长。
当θ从0变化到2π时，我们可以得到整个圆的参数方程。
此外，参数方程还可以方便地描述圆与其他几何图形的相交、切线等关系。
除了参数方程，圆还可以使用极坐标方程进行描述。
极坐标方程是通过极径和极角来表示圆的方程。
对于以原点为圆心的圆，极坐标方程为r = r0，其中r0是圆的半径。
我们可以通过改变极角的取值来得到圆上的所有点。
类似地，对于一般情况的圆，我们可以通过平移来将圆心移动到原点，然后再进行极坐标参数化。
圆的一般方程可以通过参数方程或极坐标方程来表示。
参数方程与普通方程的互化
（2）把 x sin cos 平方后减去 y 1 sin2
得到 x2 y x sin cos
2 sin
因为 x 2, 2
4
所以
因此，与参x2 数 方y 程x等 价2, 的2普通方程是
练习、1.将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3cos
(1)
y
3sin
x=t+1/t
(3)
将曲线的参数方程化为普通方程，有利 于识别曲线的类型。
曲线的参数方程和普通方程是曲线
方程的不同形式。一般地，可以通过消
去参数而从参数方程得到普通方程。如
果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，
例如 x f t ，把它代入普通方程，求
出另一个变数与参数的关系 y gt
那么
x f t
y
gt
就是曲线的参数方程。
x t
且以
y
t
2
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值
范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
小结
普通方程
引入参数 消去参数
参数方程
如：①参数方程
x a r cos , y b r sin.
消去参数
可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
②参数方程
x
t,
（t为参数）
y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 （x≥0）
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保 持一致。
例4 求椭圆 x2 y2 1的参数方程。 94
高中数学选修4-4：圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化
2．1.2 圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化 ►知识梳理1.圆的参数方程．点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos t ，y ＝r sin t (t 为参数)．我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos t ，y ＝b ＋r sin t (t 为参数)． ►预习思考1．圆x 2＋y 2＝16的参数方程为：____________． 2．圆(x －6)2＋y 2＝4的参数方程为：______________．, 一层练习1．圆(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( )A ．(－1＋cos θ，sin θ)B ．(1＋sin θ，cos θ)C ．(－1＋2cos θ，2sin θ)D ．(1＋2cos θ，2sin θ)2．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π，θ是参数)上的动点，则yx的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－333．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为________．如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，那么a 的取值范围是________．4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数，0＜θ＜π)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则θ＝________． 5．指出下列参数方程表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，π≤t ≤2π)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．二层练习6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则（x －5）2＋（y ＋42）的最大值为______7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2，C 2：⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t为参数)，它们的交点坐标为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ()t 为参数和C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，它们的交点坐标为________．9．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为_________________10．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为____________．三层练习11．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝5＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最大值为________．12.(2015·广州一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋sin θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝t (t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C 1与C 2的交点的极坐标为________．13．如下图所示，已知定点A (2，0)，点Q 是圆C ：x 2＋y 2＝1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于点M ，当Q 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程．14．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos ty ＝－2＋3sin t (t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin(θ－π4)＝m ，(m ∈R)．(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．1．利用参数求曲线的轨迹方程．(1)利用参数求曲线的轨迹方程的基本步骤是：①确定参数；②求出参数方程；③消参；④得到轨迹的普通方程(注意轨迹范围)．(2)参数的选取应根据具体条件来考虑，例如可以是时间，旋转角，动直线的斜率、截距、动点的坐标等．2．参数方程与普通方程的等价性．把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使两种方程表示的曲线不一致 ，因此，在相互转化中，要注意两种方程的等价性．例如，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ消去参数θ后的x ＋y ＝1，它表示一条直线对吗？这是不对的．因为在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ中，x ，y 的取值范围是[0，1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ表示的是一条线段x ＋y ＝1(0≤x ≤1)，而不是直线x ＋y ＝1.3．关于求x 、y 的代数式的取值范围问题，常把普通方程化为参数方程，利用三角函数的值域求解．【习题2.1】1．解析：取投放点为原点，飞机飞行航线所在的直线为x 轴，过原点和地心的直线为y 轴建立平面直角坐标系，得到被投放的物资的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝100t ，y ＝－12gt2(t是参数，表示时间)，令x ＝1000，解得t ＝10.当t ＝10时，由方程得到y ＝－12×g ×102≈－12×9.8×102＝－490，即飞机投放救灾物资时的飞行高度约为490 m.2．解析：解法一 设经过时间t ，动点的位置是M (x ，y )，那么有x－2＝3t ，y －1＝4t ，于是点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝1＋4t(以时间t为参数)．解法二 设M (x ，y )是直线上任意一点，它与M 0(2，1)的有向距离为t ，根据已知条件，由速度合成的知识可知x －2＝35t ，y －1＝45t ，于是点M的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝1＋45t (以位移t 为参数)．3．证明：不妨设△ABC 的外接圆的半径为1，建立如下图所示的平面平面直角坐标系，使点B ，C 关于x 轴对称，那么外接圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)，A ，B ，C 的坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.设点M (cos θ，sin θ)，则|MA |2＋|MB |2＋|MC |2＝[(cos θ－1)2＋sin θ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－322＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋322＝6.4．解析：(1)消去t 得y ＝2x －7，即普通方程为y ＝2x －7，表示直线． (2)y ＝cos 2θ＋1＝2cos 2θ－1＋1＝2x 2，∵x ＝cos θ，∴－1≤x ≤1.∴普通方程为y ＝2x 2(－1≤x ≤1)，表示以(－1，2)，(1，2)为端点的一段抛物线弧．(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t (t 为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝t 2＋1t 2＋2，y 2＝t 2＋1t 2－2，两式相减得x 2－y 2＝4，即普通方程为x 2－y 2－4＝0，表示双曲线．(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，∴cos φ＝x 5，sin φ＝y 3，cos 2φ＋sin 2φ＝1，∴普通方程为x 225＋y 29＝1，表示椭圆．2．1.2 圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化 ►预习梳理1.圆的参数方程．点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos t ，y ＝r sin t(t 为参数)． 我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos t ，y ＝b ＋r sin t (t 为参数)． ►预习思考1．圆x 2＋y 2＝16的参数方程为：____________． 2．圆(x －6)2＋y 2＝4的参数方程为：______________．,预习思考1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos t ，y ＝4sin t(t 为参数) 2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数) 圆的参数方程与普通方程互化一层练习1．圆(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( ) A ．(－1＋cos θ，sin θ) B ．(1＋sin θ，cos θ) C ．(－1＋2cos θ，2sin θ) D ．(1＋2cos θ，2sin θ) 1．D2．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π，θ是参数)上的动点，则yx的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－332.A3．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为________．如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，那么a 的取值范围是________．3．x 2＋(y ＋1)2＝1 [1－2，1＋2]4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数，0＜θ＜π)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则θ＝________．4.π6或5π65．指出下列参数方程表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，π≤t ≤2π)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)． 5．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)得x 2＋y 2＝9.又由0＜θ＜π2，得0＜x ＜3，0＜y ＜3，所以所求方程为x 2＋y 2＝9(0＜x ＜3且0＜y ＜3)． 这是一段圆弧(圆x 2＋y 2＝9位于第一象限的部分)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)得x 2＋y 2＝4. 由π≤t ≤2π，得－2≤x ≤2，－2≤y ≤0.所求圆方程为x 2＋y 2＝4(－2≤x ≤2，－2≤y ≤0)．这是一段半圆弧(圆x 2＋y 2＝4位于y 轴下方的部分，包括端点)．(3)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋15cos θ，y ＝2＋15sin θ(θ为参数)得(x －3)2＋(y －2)2＝152，由0≤θ＜2π知这是一个整圆弧． 二层练习6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则（x －5）2＋（y ＋42）的最大值为________．6．67．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2， C 2：⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)， 它们的交点坐标为________．7．(2，1)8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为：C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ()t 为参数和C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，它们的交点坐标为________．8．(1，1)9．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为____________________________________．9.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数) 10．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为____________．10．ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2 三层练习11．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝5＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最大值为________．11．512.(2015·广州一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋sin θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝t (t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C 1与C 2的交点的极坐标为________．12.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 13．如下图所示，已知定点A (2，0)，点Q 是圆C ：x 2＋y 2＝1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于点M ，当Q 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程．13．解析：设点O 到AQ 的距离为d ，则12|AM |·d ＝12|OA |·|OM |·sin ∠AOM ， 12|QM |·d ＝12|OQ |·|OM |·sin ∠QOM . 又∠AOM ＝∠QOM ， 所以|AM ||QM |＝|OA ||OQ |＝21.所以AM →＝23AQ →. 因为点Q 是圆x 2＋y 2＝1上的点，所以设点Q 坐标为(cos θ，sin θ)，M (x ，y )，得(x －2，y －0)＝23(cos θ－2，sin θ－0)， 即x －23＝23cos θ，y ＝23sin θ， 两式平方相加，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝49， 故点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝49.14．(2015·福建卷，数学理)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin(θ－π4)＝m ，(m ∈R)． (1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；(2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．14．分析：(1)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，利用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)利用点到直线距离公式求解．解析：(1)消去参数t，得到圆的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，由2ρsin(θ－π4)＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0，所以直线l的直角坐标方程为x－y－m＝0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即|1－（－2）＋m|2＝2，解得m＝－3±2 2.1．利用参数求曲线的轨迹方程．(1)利用参数求曲线的轨迹方程的基本步骤是：①确定参数；②求出参数方程；③消参；④得到轨迹的普通方程(注意轨迹范围)．(2)参数的选取应根据具体条件来考虑，例如可以是时间，旋转角，动直线的斜率、截距、动点的坐标等．2．参数方程与普通方程的等价性．把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使两种方程表示的曲线不一致 ，因此，在相互转化中，要注意两种方程的等价性．例如，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ消去参数θ后的x ＋y ＝1，它表示一条直线对吗？这是不对的．因为在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ中，x ，y 的取值范围是[0，1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ表示的是一条线段x ＋y ＝1(0≤x ≤1)，而不是直线x ＋y ＝1.3．关于求x 、y 的代数式的取值范围问题，常把普通方程化为参数方程，利用三角函数的值域求解．【习题2.1】1．解析：取投放点为原点，飞机飞行航线所在的直线为x 轴，过原点和地心的直线为y 轴建立平面直角坐标系，得到被投放的物资的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝100t ，y ＝－12gt2(t 是参数，表示时间)，令x ＝1000，解得t ＝10.当t ＝10时，由方程得到y ＝－12×g ×102≈－12×9.8×102＝－490，即飞机投放救灾物资时的飞行高度约为490 m.2．解析：解法一 设经过时间t ，动点的位置是M (x ，y )，那么有x－2＝3t ，y －1＝4t ，于是点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝1＋4t (以时间t 为参数)．解法二 设M (x ，y )是直线上任意一点，它与M 0(2，1)的有向距离为t ，根据已知条件，由速度合成的知识可知x －2＝35t ，y －1＝45t ，于是点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝1＋45t(以位移t 为参数)． 3．证明：不妨设△ABC 的外接圆的半径为1，建立如下图所示的平面平面直角坐标系，使点B ，C 关于x 轴对称，那么外接圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)，A ，B ，C 的坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.设点M (cos θ，sin θ)，则|MA |2＋|MB |2＋|MC |2＝[(cos θ－1)2＋sin θ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－322＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋322＝6. 4．解析：(1)消去t 得y ＝2x －7，即普通方程为y ＝2x －7，表示直线．(2)y ＝cos 2θ＋1＝2cos 2θ－1＋1＝2x 2，∵x ＝cos θ，∴－1≤x ≤1.∴普通方程为y ＝2x 2(－1≤x ≤1)，表示以(－1，2)，(1，2)为端点的一段抛物线弧．(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝t 2＋1t 2＋2，y 2＝t 2＋1t 2－2，两式相减得x 2－y 2＝4，即普通方程为x 2－y 2－4＝0，表示双曲线．(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，∴cos φ＝x 5，sin φ＝y 3，cos 2φ＋sin 2φ＝1，∴普通方程为x 225＋y 29＝1，表示椭圆．。
圆的参数方程
y = 2 + sinθ
由于点P在圆上，所以可设 （ 由于点 在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ） 在圆上 ， ） （1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2 ） =14+4 sinθ +6cosθ=14+2 sin(θ +ψ). 13
(其中 其中tan ψ =3/2) 其中
AxLeabharlann C3、解：不妨设∆ABC的外接圆的半径为1，建立 如图的平面直角坐标系，时点B, C关于x轴对称 那么外接圆的参数方程是{ x = cos θ y = sin θ (θ为参数)
1 3 1 3 A, B, C的坐标分别为(1,0), (− , ), (− ,− ) 2 2 2 2 设点M (cos θ , sin θ )则 MA + MB + MC = [(cos θ − 1) 2 + sin 2 θ ] +
第二讲
参数方程
1、圆的参数方程 、
1、参数方程的概念： 、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的 坐标x, 都是某个变数 都是某个变数t的函数 坐标 y都是某个变数 的函数 x = f (t ), （2） y = g (t ). 并且对于t的每一个允许值 由方程组 所确定的点 并且对于 的每一个允许值, 由方程组(2) 的每一个允许值 M(x,y)都在这条曲线上 那么方程 就叫做这条曲线的 都在这条曲线上, 都在这条曲线上 那么方程(2) 参数方程, 联系变数x,y的变数 叫做参变数, 简称参数. 参数方程 联系变数 的变数t叫做参变数 简称参数 的变数 叫做参变数 相对于参数方程而言， 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。 的方程叫做普通方程。
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(1)设 x 3cos , 为参数；
(2)设 y 2t , t 为参数.
为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？
练习: 曲线y=x2的一种参数方程是（
2 x t A、 4 y t
）.
x t D、 2 y t
x sin t B、 2 y sin t
三、参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同 形式.为了研究方便，经常要将两种形式进行 互化 1. 将参数方程化为普通方程 一般地通过消参可以将参数方程化为普通方程 注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x，y的取值范围保持一致，否则，互化就是 不等价的.
例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们 各表示什么曲线？
上的一点,求 PA PB 的最大值和最小值以及对应P点的 坐标.
2
2
设P( x, y ) 则
PA PB
2 2
x 3 2cos y 4 2sin
(4 2cos )2 (4 2sin ) 2 (2 2cos ) 2 (4 2sin ) 2
圆的参数方程及参数方 程与普通方程的互化
一、知识回顾： 参数方程的概念： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所
x f (t ), y g (t ).
确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上， 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，
一般地, 如果知道变量x, y中的一个与参数t的关系,例 如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t的 关系y=g(t)，那么:
x f (t ) y g( t )
就是曲线的参数方程。 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取 值范围保持一致
x2 y2 1 的参数方程： 例5 求椭圆 9 4
x= sin cos x= t 1 (1) (t为参数) (2) ( 为参数). y 1 sin 2 y 1 2 t
解: (1)由 x t 1 1
得 t x 1 代入 y 1 2 t
得到 y 2 x 3( x 1) 这是以（1，1）为端点的一条射线；
3 4 60 40sin( ) (sin , cos ) 5 5 21 28 , 取得最大、最小值时 P 的坐标分别为 最大值和最小值分别为：60和20； 5 5
60 8(3cos 4sin )
9 12 5, 5
2 cos 6 2sin x 3 cos , y sin 2 2
因此，点M的轨迹的参数方程是
x 3 cos , ( 为参数) y sin .
例2. 已知A（―1，0）、B（1，0）, P为圆
( x 3)2 ( y 4)2 4
联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。
二、圆的参数方程
1. 圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.
x r cos ( 为参数) y r sin
其中参数θ的几何意义 是OM0绕点O逆时针旋转到 OM的位置时，OM0转过的 角度
圆心为O1 (a, b) ， 半径为r 的圆的参数方程
x sin (2) y cos2
x=t+1/t
(3)
y=t2+1/t2
(1) ( x2 )2 y2 9 (2) y 1 2x2（ 1≤x≤1） 步骤：（1）消参； （2）求定义域。
(3) x2 y = 2（x≥2或x≤ 2）
例4 参数方程
x | cos sin |, 2 2 (0 2 ) y 1 (1 sin ) 2
的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
表示（ B ）
（A）双曲线的一支, 这支过点（1, 1/2）; （B）抛物线的一部分, 这部分过（1, 1/2）; （C）双曲线的一支, 这支过点（–1, 1/2); （D）抛物线的一部分, 这部分过（–1, 1/2).
2.普通方程化为参数方程：
普通方程化为参数方程需要引入参数： 如：直线 l 的普通方程是 2x-y+2=0，可以化为参数方程: x t (t为参数) y 2t 2源自x t C、 y t
解： 在y=x2中，x∈R,
y≥0，
在A、B、C中，x, y的范围都发生了变化， 因而与 y=x2不等价； 而在D中， x, y范围与y=x2中x, y的范围相同， 代入y=x2后满足该方程，
从而D是曲线y=x2的一种参数方程. 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y
y b
v O
x a r cos (为参数) y b r sin
P r y
a
x
x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数， 另外，要注明参数及参数的取值范围。
例1 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0) 是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。 y P 解：设点M的坐标是(x, y), M xOP Q o x 则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ). 由中点坐标公式可得
( 2) x si n cos 2 si n (
4
)
所以x
2, 2
把 x sin cos平方后减去y 1 sin2
2 x 得到 y
x 2, 2
练习、将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3 cos (1) y 3 sin