参数方程化成普通方程
参数方程与普通方程互化
参数方程与普通方程互化参数方程与普通方程是数学中的两种表达形式。
参数方程使用参数来表示变量之间的关系，而普通方程则以变量直接表示变量之间的关系。
参数方程与普通方程可以进行互化，即从参数方程导出普通方程，或者从普通方程导出参数方程。
首先，我们来探讨从参数方程导出普通方程的方法。
假设我们有以下参数方程：x=f(t)y=g(t)我们的目标是找到一个普通方程，将x和y之间的关系用该方程表示出来。
为了达到这个目标，我们可以通过以下步骤：1.将第一个参数方程中的t表示为x的函数，即t=h1(x)。
这里的h1(x)是反函数，用来表示x的函数与t的关系。
2.将第二个参数方程中的t表示为y的函数，即t=h2(y)。
这里的h2(y)是反函数，用来表示y的函数与t的关系。
3.将上述两个方程联立，得到h1(x)=h2(y)。
4.最后将h1(x)=h2(y)代入第一个参数方程，得到x=f(h1(x))。
5.将x=f(h1(x))代入第二个参数方程，得到y=g(h2(y))。
最终，我们得到普通方程x=f(h1(x))和y=g(h2(y))。
接下来，我们来探讨从普通方程导出参数方程的方法。
假设我们有以下普通方程：F(x,y)=0我们的目标是找到一对参数方程，将x和y之间的关系用这对方程表示出来。
为了达到这个目标，我们可以通过以下步骤：1.假设x=f(t)，其中f(t)是x关于一些参数t的函数。
2.将上面的假设代入普通方程，得到F(f(t),y)=0。
3.将上述方程进行整理，解出y关于t的函数，即y=g(t)。
4.最终得到参数方程x=f(t)和y=g(t)。
需要注意的是，从普通方程导出参数方程的过程中，参数t的选择是自由的，并不唯一、不同的参数选择会导致不同的参数方程，但它们的图形表达的是同一个曲线。
参数方程与普通方程的互化在数学中有非常广泛的应用，尤其在几何学和物理学中经常会用到。
例如，在解决曲线的问题时，参数方程能够更直观地描述曲线的性质，而普通方程则更方便计算。
参数方程化普通方程
参数方程化普通方程[重点难点]掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。
[例题分析]1．把参数方程化为普通方程(1)(θ∈R，θ为参数)解:∵y=2+1-2sin2θ, 把sinθ=x代入，∴y=3-2x2,又∵|sinθ|≤1, |cos2θ|≤1, ∴|x|≤1, 1≤y≤3 ∴所求方程为y=-2x2+3 (-1≤x≤1, 1≤y≤3)(2)(θ∈R，θ为参数）解:∵x2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，把y=sinθcosθ代入，∴x2=1+2y。
又∵x=sinθ+cosθ=sin(θ+) y=sinθcosθ=sin2θ∴|x|≤，|y|≤。
∴所求方程为x2=1+2y (|x|≤, |y|≤)小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。
消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值围，一般来说应分别给出x, y的围。
在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。
(3)(t≠1, t为参数)法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。
x+y==1, 又x=-1≠-1，y=≠2,∴所求方程为x+y=1 (x≠-1, y≠2)。
法二:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。
由x=, ∴x+xt=1-t,∴(x+1)t=1-x，即t=代入y==1-x，∴x+y=1，（其余略）这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。
(4)(t为参数)分析:此题是上题的变式，仅仅是把t换成t2而已，因而消参方法依旧，但带来的变化是围的改变，可用两种求值域的方法:法一:x=-1, ∵t2≥0, t2+1≥1,∴0<≤1, ∴-1<-1≤1, ∴-1<x≤1。
法二:解得t2=≥0, ∴-1<x≤1,同理可得出y的围。
参数方程化成普通方程
参数方程化成普通方程参数方程可以表示为一组含有参数的方程组，而普通方程是不含有参数的方程。
将参数方程转化为普通方程的方法有以下几种：1.消参法消参法是将参数方程中的参数用非参数变量表示出来，从而得到普通方程。
具体步骤如下：（1）根据参数方程的定义，将参数用非参数表示，假设参数为t，则可以将参数表示为x=f(t)和y=g(t)；（2）将上述表达式代入参数方程中的方程组中，得到非参数变量的方程组，即F(x,y)=0；（3）通过解F(x,y)=0，得到x和y之间的关系，从而得到普通方程。
2.去参数化法去参数化法是通过消去参数，将参数方程对应的曲线变为非参数方程的方法。
具体步骤如下：（1）将参数方程中的参数表示为t=x/y或y/x；（2）将上述表达式代入参数方程中的方程组，得到去参数化的方程组；（3）通过解去参数化的方程组，得到x和y之间的关系，从而得到普通方程。
3.参数消去法参数消去法是通过消去参数，得到仅含有非参数变量的方程。
具体步骤如下：（1）将参数方程中的参数表示为非参数变量t的函数，即t=f(x,y)；（2）将t代入参数方程的方程组中，得到含有非参数变量x和y的方程组；（3）通过解上述方程组，得到x和y之间的关系，从而得到普通方程。
4.直接法直接法是对特定的参数方程直接求导或代入一些特定的数值来消去参数，从而得到普通方程。
（1）将参数方程中的参数表示为非参数变量t的函数，即t=f(x,y)；（2）对 t 求导，得到 dt/dx 和 dt/dy；（3）代入 dt/dx 和 dt/dy，消去参数 t，从而得到 x 和 y 之间的关系，从而得到普通方程。
以上是将参数方程化为普通方程的几种方法，具体的选用方法取决于具体的参数方程形式和求解的要求。
不同的方法在不同的场合下有着不同的适用性，需要根据具体情况进行选择。
参数方程化成普通方程
直接判断此参数方程所表示的曲线类型 并不容易，但若将参数方程化为熟悉的普 通方程，则比较简单了。
参数方程化成 普通方程
例1、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
解：(1)应用加减消元法，得2x 3y 7,因此，所求 的普通方程是 2x+3y+7=0
解：(2)因为x t 1 1 所以普通方程是y 2x （ 3 x 1) 这是以（1，1）为端点的一条射线（包括端点）
链接高考
广东卷 在直角坐标系中圆
C的参数方程
x 2 cos
y 2 2 sin
为参数 ，则圆C的普通方程为x_2 _____y___ 22 4
宁夏
海南卷已知曲线C1
x y
cos s in
为参数
曲线C2
x
同时平方得
x2 1 2y
又 x sin cos
x 2
2 sin
4
普通方程为x2 1 2 y x 2
练习 把下列参数方程化为普通方程
解：1 x2 y2 1 x 5且0 y 4
25 16
二. 利用三角恒等式消去参数
解：利用sin2 cos2 1得到
x2 y2 25
若 0，2 ，则普通方程是什么？
思 若 0， ，则普通方程是什么？
考 若 0， ，则普通方程是什么？
2
解：将x xs2in1c2ossin两 边cos
苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。
关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于
数学学案：参数方程化成普通方程
§3参数方程化成普通方程1．掌握将参数方程化成普通方程的两种常用的消去参数的方法：代数法和三角恒等式法．2．选取适当的参数，能将普通方程化为参数方程．一、代数法消去参数1．代入法从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数,得到曲线的______．我们通常把这种方法称为代入法．2．代数运算法通过代数方法,如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行______，消去参数．【做一做1】将参数方程错误!(t为参数）化为普通方程为__________．二、利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x，y都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用______消去参数．常用的三角恒等式有：sin2θ＋c O s2θ＝1,错误!－tan2θ＝1，(sin θ＋c O s θ)2－2sin θc O s θ＝1等．将参数方程化为普通方程时，要注意两个方面：(1）根据参数满足的条件，明确x，y的取值范围；（2）消去参数后,普通方程和参数方程中的变量x和y的取值范围要保持一致．【做一做2－1】将参数方程错误!（θ为参数)化为普通方程为__________．【做一做2－2】将参数方程错误!化为普通方程为__________．1．曲线参数方程与普通方程互化的意义剖析：在数学中有时需要把曲线的参数方程转化为普通方程，而有时又需要将普通方程转化为参数方程，这都是基于对曲线的更好的研究．有时要直接建立曲线的普通方程很困难；有时要直接建立曲线的参数方程又不容易，故在数学中常常把问题进行相互转化从而把问题更好地解决．曲线的参数方程与相应的普通方程是同一曲线方程的两种不同表现形式，在具体问题中采用哪种方程形式能更好地研究相应的曲线的性质就可以灵活地选用相应曲线的对应方程形式．2．将参数方程化为普通方程时,消去参数的常用方法剖析：①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示），再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程错误!如果t是常数,θ是参数，那么可以利用公式sin2θ＋c O s2θ＝1消参;如果θ是常数,t是参数,那么适当变形后可以利用(m＋n)2－（m－n)2＝4mn消参．答案：一、1．普通方程2．代数运算【做一做1】2x－y－4＝0(x≥0)将x＝t代入y＝2错误!－4得y ＝2x－4。
第2章 §3 参数方程化成普通方程
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普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围， 它将决定参数方程是否与普通方程等价.②参数的选取不同，得到的参数方程是 不同的.如本例(2)，若令 x＝tan θ(θ 为参数)，则参数方程为xy＝ ＝ttaann2θθ，＋tan θ－1 (θ 为参数).
即(y－1)2＝－14x(y≥1).
方程表示的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于 x 轴，开口向左的抛物线的一
部分.
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(2)由已知可得
ax＝11－ ＋tt22，
①
by＝1＋2tt2， ②
①2＋②2 得ax22＋by22＝1(a＞b＞0，x≠－a)，这就是所求的普通方程，方程表 示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆(去掉左顶点).
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【解析】 (1)把 t＝x 代入②得 y＝2x 即普通方程为 y＝2x. (2)由 sin2 θ＋cos2 θ＝1 得 x2＋y2＝1. (3)由②得 t＝y－1，代入①得 x＝2(y－1)2.
【答案】 (1)y＝2x (2)x2＋y2＝1 (3)x＝2(y－1)2
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(t 为参数)
x＝tan t， D.y＝1－tan2t
(t 为参数)
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【解析】 A 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]，y∈[0,1]. B 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]，y∈[0,1]. C 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞，1]. D 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈R，y∈(－t 为参数)；
熟练掌握参数方程化为普通方程技巧——参数方程化为普通方程实践教案
一、教学目标1.掌握参数方程化为普通方程的基本方法。
2.培养学生解决数学问题的能力。
3.提高学生的运算能力和推理能力。
二、教学内容1.参数方程化为普通方程的基本方法。
2.练习算例。
三、教学步骤1.引入老师引出参数方程化为通方程的方法，让学生对的内容有一个预期，激发学生的学习兴趣。
2.讲解老师讲解参数方程化为普通方程的基本方法，例如，将x=f(t),y=g(t)代入一个方程，再进行化简。
3.示例练习老师给出一些例题，让学生动手实践，例如：将参数方程x=cos t,y=sin t化为普通方程；将参数方程x=a sin t,y=b cos t化为普通方程。
4.课堂练习老师在课堂上给学生出一些练习题，让学生自己想办法解题，并在课堂上讲解答案。
5.作业布置老师布置一些适合学生自主练习的作业，让学生继续巩固、深入地掌握参数方程化为普通方程的方法。
四、教学重点难点1.理解参数方程及普通方程的原理和特点，掌握参数方程化为普通方程的方法。
2.能够独立思考、分析并解决数学问题，提高学生的计算和推理能力。
五、教学方法与手段老师采用多种教学方法，如讲解、演示、引导、举例和练习等，帮助学生掌握参数方程化为普通方程的方法。
老师在教学中采用多媒体教学手段，通过PPT课件、多媒体演示、互动讨论、积极回答学生问题等方式，增强学生的学习效果。
六、教学效果评估老师通过课堂上的练习及作业检查等方式，对学生的学习效果进行评估，评估结果包括听课效果、课堂参与度、课堂表现等。
七、教学总结本次教学通过引入、讲解、演示、练习、布置作业等多种教学方式，帮助学生掌握了参数方程化为普通方程的基本方法，进一步提高了学生的运算能力和推理能力，达到预期的教学目标。
圆的参数方程转化为普通方程
圆的参数方程转化为普通方程圆是一个非常重要的几何图形，其具有很多特殊的性质和应用，比如在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
圆可以用很多方式来表示，其中一种常见的方式是使用参数方程。
本文将介绍如何从圆的参数方程转化为普通方程。
1.什么是圆的参数方程？在笛卡尔坐标系中，一个圆可以表示成所有满足以下方程的点的集合：(x−a)2+(y−b)2=r2其中，(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
如果将上式展开，得到一个一次方程组：x2−2ax+a2+y2−2by+b2=r2由于等式右边是常数，所以可以把它记为一个新的符号t，即：t=r2−a2−b2将t带入原方程中，得到圆的参数方程：x=a+rcosθ,y=b+rsinθ其中，θ是参数，表示圆上任意一点对应圆心的连线与x轴正方向的夹角。
圆的参数方程在某些情况下非常有用，比如在物理学中描述圆周运动、计算极坐标下的面积等。
2.从圆的参数方程转化为普通方程虽然圆的参数方程在某些情况下非常有用，但是在其他领域，如计算机程序设计、工程建模等方面，常使用普通方程来表示圆。
从参数方程转换为普通方程有多种方法，下面是其中的两种：方法一：使用三角函数公式根据三角函数的定义，可以得到：cos2θ+sin2θ=1将cosθ和sinθ分别用参数方程表示：cosθ=(x−a)/r,sinθ=(y−b)/r代入上述公式，得到：(x−a)2/r2+(y−b)2/r2=1再将这个方程进行一些简单的变形，便可以得到普通方程：(x−a)2+(y−b)2=r2这个公式与开篇给出的表示圆的普通方程是完全一致的。
方法二：降维圆的参数方程是一个二维的方程，而普通方程是一个一维的方程。
因此，我们可以用一些技巧将参数方程降维。
例如，可以将y视为因变量，x和θ视为自变量，然后把θ消去。
这样得到一个包含x和y的一次方程：(x−a)2+(y−b)2=r2同样，这个方程与开篇给出的表示圆的普通方程完全一致。
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一.代数法消去参数
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各 表示什么曲线？
步骤：（1）消参； （2）求定义域。
特别强调：参数方程与普通方程互化中。必 须使x,y的范围保持一致
解：由x 1 1 t 0得
t
t 1 x 1
1 x
将其代入y 1 t 2得
y
1
引例
直接判断此参数方程所表示的曲线类型 并不容易，但若将参数方程化为熟悉的普 通方程，则比较简单了。
参数方程化成 普通方程
例1、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
解：(1)应用加减消元法，得2x 3y 7,因此，所求 的普通方程是 2x+3y+7=0
解：(2)因为x t 1 1 所以普通方程是y 2x （ 3 x 1) 这是以（1，1）为端点的一条射线（包括端点）
二. 利用三角恒等式消去参数
解：利用sin2 cos2 1得到
x2 y2 25
若 0，2 ，则普通方程是什么？
思 若 0， ，则普通方程是什么？
考 若 0， ，则普通方ossin两 边cos
y
2 2
t 2t 2
2
t为参数，则C1，C2各是什么曲线？
并指出C1，C2的公共点的个数。
解： C 是以0，0为圆心，以1为半径的圆, 1
普通方程是x2 y2 1
C 是直线，普通方程是x y 2 0 2
C 与C 有且只有一个交点
1
2
2y 1 2x2 1 x 1 3x2 y2 25
三. 整体消参法
说明:把参数方程化为普通方程,常用方法有:
(1)代入(消参数)法
(2)加减(消参数)法 (3)借用代数或三角恒等式(消参数)法 常见的代数恒等式:
在消参过程中注意变 量x、y取值范围的 一致性，必须根据参 数的取值范围，确定 f(t)和g(t)值域得x、y 的取值范围。
1
1
x2
x 1
利用解方 程求出参 数t ,然后 代入消去 参数。
练习：将下列参数方程化成普通方程
将参数方程化为
普通方程中，必
解：（1）x
3y
1
0( x
1)
须使x，y的取值 范围保持一致。
否则，转化就是
2x 3y 00 x 3或 1 y 0 不等价的.
链接高考
广东卷 在直角坐标系中圆
C的参数方程
x 2 cos
y 2 2 sin
为参数 ，则圆C的普通方程为x_2 _____y___ 22 4
宁夏
海南卷已知曲线C1
x y
cos s in
为参数
曲线C2
x
同时平方得
x2 1 2y
又 x sin cos
x 2
2 sin
4
普通方程为x2 1 2 y x 2
练习 把下列参数方程化为普通方程
解：1 x2 y2 1 x 5且0 y 4
25 16