2003年北京市第18届“迎春杯”数学竞赛试题及详解【圣才出品】

2003年北京市第18届“迎春杯”数学竞赛试题及详解1．计算：11110[7(

)1]33542-⨯-⨯--=。【答案】7【解析】11110[7()1]3

3542-⨯-⨯--11110[()1]356=-⨯---1110[1]330=-⨯--1013010[]303030=-⨯--2110(30=-⨯213=7=。

2．如果210a a +-=，那么3222a a ++的值为

。

【答案】3

【解析】210a a +-=是已知条件。在不解方程的情况下，要运用此条件，那么应把32

22a a ++中各项组合尽量使表达式中含有2(1)a a +-，

则3232222()2a a a a a a a ++=+-+++22(1)2a a a a a =+-+++(凑出一个21a a +-)

202

a a =+++22

a a =++2(1)3a a =+-+(凑出第二个21a a +-)

03=+3

=

另解：也有其他的想法，

对3222a a ++求值，先消去3a 项，令32

22A a a =++，

32222(1)10(2)a a A a a ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩ ，(1)(2)a -⨯，得

22(3)a a A ++= ，

(3)(2)-，得2(1)A --=，即3A =，所以32223a a A ++==。3．代数式111213x x x ++-++的最小值为

。

【答案】25【解析】a b -是指a 点到b 点的距离。那么111213x x x ++-++(11)12(13)x x x =--+-+--，

即表示x 点到13-，11-，12三点的距离和。

由于131112-<-<。考虑(13)12x x --+-，直观可知它12(13)25≥--=。

当x 在13-与12之间时，取最小值25。而(11)0x --≥．(当11x =-时，取“=”)。

又11x =-恰好满足1312x -≤≤。

所以当11x =-时，两个不等式同时达到下式取“=”条件。原式111213x x x =++-++(131211)x x x =++-++250≥+25=故111213x x x ++-++的最小值为25。

4．某种商品的原价为100元，现有四种调价方案：

(1)先涨价%m ，再降价%n ；

(2)先涨价%n ，再降价%m ；(3)先涨价

%2m n -，再降价%2m n -；(4)先涨价%2m n +，再降价%2m n +；其中0100n m <<<．那么调价后售价最高的方案是

．(只需填1，2，3，4

中之一即可)。

【答案】1或3

【解析】由0100n m <<<，得000001n m <<<，令%u n =，00v m =，得01u v <<<。

第一种方案售价为1100(1%)(1%)100(1)(1)

x m n v u =+-=+-第二种方案售价为2100(1%)(1%)100(1)(1)x n m u v =+-=+-第三种方案售价为3100(1%)(1100(1)(1)2222m n m n v u v u x ----=+

-=+-第四种方案售价为4100(1%)(1%)100(1)(1)2222m n m n v u v u x ++++=+-=+-比较1x ，2x ：

因为12100(1)100(1)100(22)0x x v u vu u v vu v u -=+---+--=->，所以12x x >；

比较3x ，4x ：

因为23100[1(

)]2v u x -=-，24100[1()]2v u x +=-，故34x x >；比较1x ，3x ：

因为13

x x -22111100(1)100(1)424

v u vu v vu u =+----+-22311100()244v u vu v u =--++，

所以当100u =，100v =时，上式为负；当100u =，100v =时，上式为正。所以，1x 与3x 之间关系不定。

故调价后售价最高的是第1方案或第3方案。

5．在3和5之间插入6，30，20这三个正整数，得到3，6，30，20，5这样一串数．其中每相邻两个数的和可以整除它们的积(例如，369+=，9可以整除36⨯；再如，63036+=，36可以整除630⨯)．请你在4与3这两个数之间的三个括号中各填一个正整数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的积．4，，，，3。

【答案】有三组解：（4，4，12，6，3），（4，12，12，6，3）或（4，12，6，6，3）

【解析】设4，(x )，(y )，(z )，3是满足条件的一组数。

则4(4)x n x =+(n 是正整数)，解得4n 4n

x =-。1n =时，x 不是整数；2n =时，4x =；3n =时，12x =。

同样，3(3)z m z =+(m 是正整数)，解得3m 3m

z =-。1m =时，z 不是整数；2m =时，6z =。

于是4，(x )，(y )，(z )，3就是4，4，(y )，6，3或4，12，(y )，6，3考虑(y )，6。

6(6)y l y =+(l 是正整数)，解得66l y l

=-。1l =，无整数解；2l =，3y =；3l =，6y =；4l =，12y =；5l =．30y =。其中，满足4，(y )的只有12y =。

满足12，(y )的只有12y =，6y =。

故最终有三种组合，分别是：(4，4，12，6，3)，(4，12，12，6，3)或(4，12，6，6，

3)。