最新小学奥数--排列组合教案

小学奥数-----排列组合教案

加法原理和乘法原理

排列与组合:熟悉排列与组合问题。运用加法原理和乘法原理解决问题。在日常生活中我们经常会遇到像下面这样的两类问题:问题一：从 A 地到 B 地，可以乘火车，也可以乘汽车或乘轮船。一天中，火车有 4 班，汽车有 3 班，轮船有 2 班。那么从 A 地到 B 地共有多少种不同的走法？问题二：从甲村到乙村有两条道路，从乙村去丙村有 3 条道路（如下图）。从甲村经乙村去丙村，共有多少种不同的走法？解决上述两类问题就是运用加法原理和乘法原理。加法原理：完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有m

1

种不同的方法，

在第二类方法中有m

2种不同的方法，……，在第N类方法中有m

n

种不同的方法，

那么完成这件工作共有N＝m

1＋m

2

＋m

3

＋…＋m

n

种不同方法。

运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。

乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m

1

种方法，完成第

二个步骤有m

2种方法，…，完成第N个步骤有m

n

种方法，那么，完成这件工作

共有m

1×m

2

×…×m

n

种方法。

运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N

步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。

这两个基本原理是排列和组合的基础，与教材联系紧密（如四下《搭配的规律》），教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。

运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。小学阶段只学习两个原理的简单应用。

【例题一】每天从武汉到北京去，有 4 班火车，2 班飞机，1 班汽车。请问：每天从武汉到北京去，乘坐这些交通工具共有多少种不同的走法？

【解析】运用加法原理，把组成方法分成三类：一类乘坐火车,二类乘坐飞机,三类乘坐洗车.

解:4+2+1=7(种)

【例题二】用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？

【解析】运用加法原理，把组成方法分成三大类：

①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。

②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。

③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。

解:所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。

【例题三】在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数共有多少个？

【解析】运用加法原理，把组成的三位数分为九类：十位是9的有9个，十位是8的有8个，……十位是1的有1个.

解: 共有：1+2+3+……+9=45(个)

【例题四】各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？

【解析】一个数各个数位上的数字，最大只能是9，24可分拆为：24=9+9+6；24=9+8+7；24=8+8+8。运用加法原理，把组成的三位数分为三大类：

①由9、9、8三个数字可组成3个三位数：998、989、899；

②由9、8、7三个数字可组成6个三位数：987、978、897、879、798、789；

③由8、8、8三个数字可组成1个三位数：888。

解:所以组成三位数共有：3+6+1=10（个）。

【例题五】有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7和8厘米的细木条若干，从中选取适当的3根木条作为三条边可以围成多少个不同的三角形？

【解析】围三角形的依据：三根木条能围成三角形，必须满足任意两边之和大于第三边。要满足这个条件，需要且只需要两条较短边的和大于最长边就可以了。这道题的计数比较复杂，需要分层重复运用加法原理。

根据三角形三边长度情况，我们先把围成的三角形分为两大类：

第一大类：围成三角形的三根木条，至少有两根木条等长（包括三根等长的）。由题目条件，围成的等腰三角形腰长可以为1、2、3、4、5、6、7、8厘米，根据三角形腰长，第一大类又可以分为8小类，三边长依次是：

①腰长为1的三角形1个：1、1、1。

②腰长为2的三角形3个：2、2、1；2、2、2；2、2、3。

③腰长为3的三角形5个：3、3、1；3、3、2；3、3、3；3、3、4；3、3、5。

④腰长为4的三角形7个：4、4、1；4、4、2；……4、4、7。

⑤腰长为5的三角形8个：5、5、1；5、5、2；……5、5、8。同理，腰长为6、7、8厘米的三角形都是8个。

第一大类可围成的不同的三角形：1+3+5+7+8×

4=48（个）。

第二大类：围成三角形的三根木条，任意两根木条的长度都不同。

根据最长边的长度，我们再把第二大类围成的三角形分为五小类（最长边不可能为是3厘米、2厘米、1厘米）：

①最长边为8厘米的三角形有9个，三边长分别为：8、7、6；8、7、5；8、7、4；8、7、3；8、7、2；8、6、5；8、6、4；8、6、3；8、5、4。

②最长边为7厘米的三角形有6个，三边长分别为：7、6、5；7、6、4；7、6、3；7、6、2；7、5、4；7、5、3。

③最长边为6厘米的三角形有4个，三边长分别为：6、5、4；6、5、3；6、5、2；6、4、3。

④最长边为5厘米的三角形有2个，三边长分别为：5、4、3；5、4、2。

⑤最长边为4厘米的三角形有1个，三边长为：4、3、2。

第二大类可围成的不同的三角形：9+6+4+2+1=22（个）。

所以，这一题共可以围成不同的三角形：48+22=70（个）。

【例题六】一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？

【解析】要求“最多”多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第1把钥匙要配到锁，最多要试9次（如果9次配对失败，第10把锁就一定是这把钥匙，不用再试）；同理，第2把钥匙最多要试8次；……第9把锁最多试1次，最好一把锁不用试。

解: 最多试验次数为：9+8+7……+2+1=45（次）。

【例题七】如图,从甲地到乙地有三条路,从乙地到丙地有三条路,从丙地到丁地有四条路,从甲地到丙地有二条路。问：甲地到丁地共有多少种走法？

【解析】从甲地到乙地的走法分两大类：一大类从甲地直接到达乙地，二大类是经过乙地和丙地到达丁地，用加法原理。第二大类中，从甲地到丁地走法分三步，第一步，从甲地到乙地，第二步，从乙地到丙地，第三步，从丙地到丁地，用乘

法原理。

①、第一大类从甲地到丁地有2条路，用加法原理有2种走法。

②、第二大类从甲地到丁地分三步完成，用乘法原理。第一步，从甲地到乙地，有3条路，用加法原理有3种走法。第二步，从乙地到丙地，有3条路，用加法原理有3种走法。第三步，从丙地到丁地，有4条路，用加法原理有4种走法。根据乘法原理，第二大类共有3×3×4＝36种走法。

③、用加法原理，从甲地到乙地共有2＋36＝38种走法。

解：2+3×3×4＝38（种）

【例题七】某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。他要各买一样，共有多少种不同的买法？

【解析】运用乘法原理，把买饭菜分为三步走：

第一步：选汤有2种方法。

第二步：选荤菜有4种方法。

每种选汤方法对应的都有4种选荤菜的方法，汤和荤菜共有2个4种，即8种不同的搭配方法。

第三步：选蔬菜有3种方法。

荤菜和汤有8种不同的搭配方法，每种搭配方法，对应的都有3种选蔬菜的方法与其二次搭配，共有8个3种，即24种不同搭配方法。

如下图所示

解：共有不同的买法：2×4×3=24（种）。

【例题八】数学活动课上，张老师要求同学们用0、1、2、3 这四个数字组成三位数，请问：（1）可以组成多少个没有重复数字的三位数？（2）可以组成多少个不相等的三位数？

【解析】组成没有重复数字的三位数要求千位、十位、个位上的数字不同，数位之间是互相联系的，用乘法原理。完成没有重复数字的三位数的组成，分三步。第一步，看千位有多少种放法，0不能放首位，1、2、3任一个都可以放，有3种放法。第二步，看十位有多少种放法，四个数字千位放了一个，还剩三个，有3种放法。第三步，看个位有多少种放法，四个数字千位、十位各放了一个，还剩二个，有2种放法。

解：（１）3×3×2=18（个）

不相等的三位数，可以看出各数位上的数字是能重复的。要完成数的组合应该分三步：第一步，看千位有多少种放法，0不能放首位，1、2、3任一个都可以放，有3种放法。第二步，看十位有多少种放法，四个数字都可以放，有4种放法。第三步，看个位有多少种放法，四个数字都可以放，有4种放法，有4种放法。解：（2）3×4×4=48（个）

【例题九】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；

（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.

（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.

（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.

（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.

（6）七个人站成两排，前排三人，后排四人.

（7）七个人站成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。

【解析】（1）七个人排成一排要有序的分步进行，第一步，七个人每人都可以站第一位，7选7叫全选，有7种选法，也就是完成七个人排成一排的第一步。第二步，七人已选出一人站到第一位，还剩六人，有6种选法。同理，第三步有5种选法。第四步有4种选法。第五步有3种选法。第六步有2种选法。第七步有1种选法。

解：根据乘法原理得：7×6×5×4×3×2×1＝5040（种）

注：用排列公式写作：7

75040

P=（种）。

（2）确定小新站中间，只要考虑六人站一排的排列问题。只需排其余6个人站剩下的6个位置。分六步，第一步6种选法、第二步5种选法、第三步4种选法、第四步3种选法、第五步2种选法、第六步1种选法。

解：根据乘法原理得：6×5×4×3×2×1＝720（种）

注：用排列公式写作：6

6720

P=（种）.

（3）先确定中间的位置站谁，有2种选法。再排剩下的6个位置。

解：根据乘法原理得：（6×5×4×3×2×1）×2＝1440（种）

注：用排列公式写作：2×6

6

P=1440(种)．

（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．如图可知，小新和阿呆站两边位置是2选2，有2×1＝2种选法。其余五个位置

站法：第一位5种选法、第二位4种选法、第三位3种选法、第四位2种选法、第五位1种选法。

解：根据乘法原理得：（5×4×3×2×1）×（2×1）＝240（种）

注：用排列公式写作：552240P ?= (种)．

（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，也就是边上的两个位置5人去站，第一个位置有5种选法，第二个位置有4种选法，根据乘法原理得：5×4＝20（种）。再排剩下的5个人，有5×4×3×2×1＝120（种）。

解：根据乘法原理得：20×120＝2400（种）

注：用排列公式写作：25552400P P ?=（种）.

（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列． 解：根据乘法原理得：7×6×5×4×3×2×1＝5040（种）

注：用排列公式写作：775040P =（种）.

（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在后，阿呆在前”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。

解：根据乘法原理得：4×3×（5×4×3×2×1）×2＝2880(种)

注：用排列公式写作：4×3×55P ×2=2880(种)．

【例题十】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？

【解析】个位数字已知，问题变成从5个元素中取2个元素的排列问题，三位数的个位已确定为5，那么，1、2、3、4、6可以任意选择十位或百位，百位有5种选法，十位有4种选法。如图：

5种选法 4种选法 1种选法

千位 百位 个位

解：根据乘法原理得：5×4＝20（种）

注：用排列公式解题：已知5n =，2m =，根据排列数公式，一共可以组成

2 55420

P=?=(个)符合题意的三位数。

【例题十一】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？

【解析】按位数来分类考虑：首先要知道3的倍数的数的各位数值之和的规律:各位数值之和为3的倍数,则这个数是3的倍数.

⑴一位数只有1个3；

⑵两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成

2 2212

P=?=(个)不同的两位数，共可组成248

?=(个)不同的两位数；

⑶三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每一

组可以组成3

33216

P=??=(个)不同的三位数，共可组成6424

?=(个)不同的三位数；

⑷四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有4

4432124

P=???=(个)不同的四位数；

⑸五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有5

554321120

P=????=(个)不同的五位数．

解：根据加法原理得：一共有182424120177

++++=(个)能被3整除的数，即3的倍数．

【例题十二】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜最多要试几次？

【解析】用排除法分析：四个非0数码之和等于9的组合数位上不能有9、8、7数字，否则，其和大于9。首先，从合题意的大数6寻找有1，1，1，6一种组合；从5寻找有1，1，2，5一各组合；从4寻找有1，1，3，4；1，2，2，4；二种组合；从3寻找有1，2，3，3；2，2，2，3二种组合；从1、2分析其和小于9；因此分析得共有六种。第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312

?=(种)，选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．

解：根据加法原理得：一共可以组成412121212456

+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜最多要试56次．

【例题十三】两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法？

【解析】第一个位置在6个人中任选一个，有1

66

C=(种)选法，第二个位置在另

一胞胎的3人中任选一个，有1

33

C=(种)选法．同理，第3，4，5，6个位置依次有2，2，1，1种选法．如图：

解：根据乘法原理得：6×3×2×2×1×1＝72（种）

注：用排列公式写作：111111

63221163221172

P P P P P P

?????=?????=(种)。