第38讲 直线、平面平行与垂直的综合问题
直线与平面、平面与平面垂直的性质 课件
a⊥α
(3)符号语言：
b⊥α
⇒a∥b.
(4)作用：
பைடு நூலகம்
①线面垂直⇒线线平行；
②作平行线．
平面与平面垂直的性质定理
(1)文字语言： 两个平面垂直，则 一个平面内 垂直于 交线 的直 线与另一个平面 垂直 ．
[一点通] 已知条件是线面垂直和面面垂直，要 证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平 面内，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得 到线线垂直．在空间几何图形中，高一级的垂直关系 蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面 垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
[例3] (12分)已知：如图，平面 PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC， AE⊥平面PBC，E为垂足．
[例2] 如图所示，在三棱锥P— ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥ 平面PBC. 求证：BC⊥AC.
[思路点拨] 若BC⊥AC，则会有BC⊥平面PAC，故 只要在平面PAC内再找一线与BC垂直即可．由已知平面 PAC⊥平面PBC.故可由两平面垂直的性质在面PAC中作 交线PC的垂线可证．
[精解详析] 在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D. ∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且 AD⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC， ∴AD⊥平面PBC. 又∵BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC. ∵AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC.
(2)图形语言：
(3)符号语言：
α⊥β α∩β＝l
a⊂α a⊥l
⇒a⊥β.
高中 直线、平面垂直的判定与性质 知识点+例题+练习
教学过程在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.教学效果分析1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.(1)求证：DA⊥BC；(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β.3.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是________．6.如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．二、解答题4．(2014·北京西城一模)。
平行与垂直综合问题ppt
已知两条直线a和b垂直，可以作直线c与直线a平行且与直线b相交，那么交点P就是直线a与直线b的交点。
求两条直线的交点
垂直的辅助线应用举例
解题技巧和方法总结
要点三
熟练掌握垂直辅助线的作法
要想熟练准确地添加垂直辅助线，必须熟练掌握垂直辅助线的作法，特别是对于一些特殊图形，需要学会添加垂直辅助线的技巧。
针对平行与垂直综合问题的研究具有重要的理论和应用价值。
平行四边形定理
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。
定义和定理介绍
垂直的定义
两条直线相交成直角，则两条直线互相垂直。
平行与垂直的性质
平行线与垂直线的交点为直角点；垂直线段的长度等于平行线段长度的乘积；两个平行平面同时垂直于第三个平面，则它们相互平行。
01
02
03
总结词
这是总结平行与垂直问题的解题技巧和方法的题型
详细描述
这类问题通常会针对平行与垂直的知识点进行总结和归纳，对解题方法和技巧进行梳理。
解题方法
根据题目给出的信息和知识点的特点，总结出解题方法和技巧，并进行归纳和梳理。
解题技巧和方法总结
05
平行的辅助线添加方法
如何添加平行的辅助线
确定平行条件
两条直线或线段相交成直角，则称它们互相垂直(perpendicular)，记作$a \perp b$，或$\angle 1 \perp \angle 2$。
垂直定义
在平面几何中，垂直通常用符号"$ \perp $"表示，其中一条直线或线段为$a$，另一条直线或线段为$b$。
符号表示
垂直的定义及符号表示
练习题一：平行的判定和性质
直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件
直线与平面垂直的性质定理
直线与平面垂直直线与平面内 的所有直线都垂直
直线与平面垂直则直线与平面内 的所有平面都垂直
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直线与平面垂直则直线与平面内 的所有线段都垂直
直线与平面垂直则直线与平面内 的所有点都垂直
直线与平面垂直的性质定理的应用
判断直线与平 面是否垂直
计算直线与平 面的夹角
解决立体几何中的问题如求体 积、表面积等
感谢观看
汇报人：
判断平面与平 面是否垂直
计算平面与平 面的夹角
03
平面与平面垂直的性质
平面与平面垂直的定义
两个平面垂直是指两个平面相交 形成的线垂直于这两个平面
垂直的判定：如果两个平面的法 向量垂直那么这两个平面垂直
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垂直的性质：如果两个平面垂直 那么这两个平面的法向量也垂直
垂直的应用：在立体几何中平面 与平面垂直的性质可以用来解决 一些立体几何问题
直线与平面垂直、平面与平面垂直 的性质
单击添加副标题
汇报人：
目录
01
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02
03
平面与平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质
01
添加章节标题
02
直线与平面垂直的性质
直线与平面垂直的定义
直线与平面垂直是指直线与平面相交成90度角 直线与平面垂直的性质包括：直线与平面内的任意直线垂直 直线与平面垂直的性质还包括：直线与平面内的任意线段垂直 直线与平面垂直的性质还包括：直线与平面内的任意平面垂直
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直它们的法向量也垂 直
直线与平面的平行和垂直(汇总演示)资料
15
条直线与这个平面垂直.
线线平行
1 2
线面平行
a b
3 面面平行
4
12
5
14
10
线线垂直 6
7
11 13
线面垂直
8 9
面面垂直
返回
关于平行、垂直的
定7理由直（线与运平面用垂直）的定结义可构知:示意图l
如果一条直线与一个平面垂直，
那么这条直线与这个平面内的任意
15线线平一行条直线1垂2直. 线面平行
3 面面平行
4
5
14
10
线线垂直 6
7
11 13
线面垂直
8 9
面面垂直
返回
关于平行、垂直的 3 两个平面平行的判定定理: a
如果一个平面内有两条 b
定理（运用）结构示意图 相交直线都平行于另一个平 面，那么这两个平面平行.
15
线线平行
1 2
12
线面平行
3 面面平行
4
5
14
10
线线垂直 6
7
11 13
平面，那么这两条直线平行.
15
线线平行
1 2
线面平行
3 面面平行
4
12
5
14
10
线线垂直 6
7
11 13
线面垂直
8 9
面面垂直
返回
关于平行、垂直的 12 直线与平面垂直的判定定理2:
a b
定理（运用）结构示意图 如果两条平行直线中的一条 垂直于一个平面，那么另一条也
垂直于同一个平面.
15
线线平行
返回
l
关于平行、垂直的 14 两个平面平行的性质定理2: 一条直线垂直于两个平行
直线和平面平行、垂直的判定及性质(单清春老师)
在日常生活中，为了确保家具的平稳性，常常需要确保家具的腿与地面平行。
02
直线和平面垂直的判定及性 质
判定条件
直线与平面内两条相交直线都垂直， 则直线与平面垂直。
直线与平面垂直的判定定理：如果一 条直线与平面内的两条相交直线都垂 直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线和平面平行、垂直的判 定及性质
目录
• 直线和平面平行的判定及性质 • 直线和平面垂直的判定及性质 • 直线和平面平行与垂直的综合应
用 • 直线和平面平行、垂直在几何图
形中的应用
01
直线和平面平行的判定及性 质
判定条件
直线与平面平行，则 直线与平面内任意一 条直线平行。
若直线与平面内的无 数条直线平行，则该 直线与该平面平行。
立体几何图形中的平行与垂直
总结词
在立体几何图形中，平行和垂直关系是 描述三维空间中物体位形中，平行和垂直关系是描 述三维空间中物体位置关系的重要方式。 例如，在长方体中，对面平行且相等，体 对角线互相平分且垂直；在正方体中，六 面相等且平行，体对角线互相平分且相等 。这些性质在解决立体几何问题中具有重 要的作用，如计算体积、表面积等。
感谢您的观看
THANKS
。
判定定理
如果一条直线与平面内的两条 相交直线都垂直，那么这条直
线与这个平面垂直。
证明方法
利用直线与平面的交点，通过 反证法或直接证明法进行证明
。
解题技巧
利用几何图形中的平行线、垂线 等性质，结合判定定理进行推理。
注意利用已知条件，通过反证法 或直接证明法进行证明。
注意利用几何图形中的对称性、 中点等性质，简化证明过程。
直线、平面垂直的性质基础知识+典型例题答案解析
直线、平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a，b都平行于平面α，求证：AB⊥α；（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且cαβ=，求证：AB∥c．【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥α，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB ∥c．证明：（1）如图（1），在α内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面α的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面α的交线为b＇．∵a∥α，b∥α，∴a∥a＇，b∥b＇．又∵AB⊥α，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥α．（2）如图，过B作BB＇⊥α，则AB⊥BB＇．又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面．∵b⊥β，∴b⊥c，∵BB＇⊥α，∴BB＇⊥c．∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面．故c∥AB．【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．举一反三：【变式1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．高清：空间的线面垂直398999 例3例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB ⊥PD 可得 PD⊥面ABE。
直线与平面平行、垂直有关知识点
直线与平面平行、垂直有关知识点直线与平面平行、直线与平面垂直.1.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线与平面内一条直线平行，则∥. （×）（平面外一条直线）②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （×）（平面外一条直线）③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行.（√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线与平面、所成角相等，则∥.（×）（、可能相交）3.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若⊥，⊥，得⊥（三垂线定理），得不出⊥. 因为⊥，但不垂直OA.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
【解答】 (1) 如图(2)，连接BD，MO，在平行四边形 ABCD中，
因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中 点，所以PB∥MO，
因 为 PB⊄ 平 面 ACM ， MO⊂ 平 面 ACM ， 所 以 PB∥ 平 面 ACM.
第七章 立体几何
因为BC1⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BC1. 又BC1⊥B1D，且AD∩B1D＝D，所以BC1⊥平面B1AD.
第15页
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第七章 立体几何
目标2 存在性问题 (2019·如东调研)如图(1)，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝
a，∠ABC＝60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形． (1) 求证：BC⊥平面ACEF；
第22页
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第七章 立体几何
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
所以QM∥PF，且QM＝PF， 所以四边形PQMF为平行四边形， 所以PQ∥FM. 又因为FM⊂平面A1EF，且PQ⊄平面A1EF， 所以PQ∥平面A1EF.
第23页
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第七章 立体几何
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学提高版
第30页
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第七章 立体几何
(2) 求证：AD⊥平面PAC；
【解答】因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC. 又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，
因为AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.
第31页
第26页
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第七章 立体几何
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第七章 立体几何
(2) 求证：FG∥平面BCD； 【解答】 如图(2)，取AB中点H，连接GH，FH， 所以GH∥BD, FH∥BC，所以GH∥平面BCD，FH∥平面BCD， 所以平面FHG∥平面BCD，所以GF∥平面BCD.
目标1 平行、垂直的综合问题 (2019·太仓月考)在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知平面
BB1C1C⊥平面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，且B1D⊥BC1. (1) 求证：A1C∥平面B1AD；
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第七章 立体几何
【解答】 如图(2)，连接BA1交AB1于点O，连接OD.由棱柱知 侧面AA1B1B为平行四边形，所以O为BA1的中点．
第5页
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第七章 立体几何
【解析】 该几何体为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到 正 方 体 中 ( 如 图 (2)) ， 取 AN 的 中 点 H ， 连 接 HB ， MH ， GB ， 则 MC∥HB ， 又 HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；由题意易得GB∥MH，又GB⊄平面AMN， MH⊂平面AMN，所以GB∥平面AMN，所以B正确；因为AB∥CD，DM∥BN，且 AB∩BN＝B，CD∩DM＝D，所以平面DCM∥平面ABN，所以D正确．故选C.
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第七章 立体几何
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第七章 立体几何
翻折问题通常在折痕的同侧的位置关系和线的长度、角的大小不变，异侧就会 发生变化．由于图形被翻折后从平面图形变成了空间图形，故很多原始位置关系和 平面几何条件都不能使用．
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所以EM＝AN，又EM∥AN， 所以四边形EMAN为平行四边形， 所以AM∥NE. 又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， 所以AM∥平面BDE.
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第七章 立体几何
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第七章 立体几何
立体几何中探索性问题：如果点M存在，那么该命题在证明时，则必须先说明 存在和具体位置，再证明面面垂直；如果不存在，则必须用反证法证明，先假设线 面不平行，推出矛盾．其中点是否存在，这里需要结合线面平行进行分析．
已知直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB ⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋ 3，过 A 作 AE ⊥CD，垂足为 E，G，F 分别为 AD，CE 的中点， 现将△ADE 沿 AE 折叠，使得 DE⊥EC.
(1) 求证：BC⊥平面 CDE； 【解答】 由已知得DE⊥AE，DE⊥EC， 所以DE⊥平面ABCE， 所以DE⊥BC. 又BC⊥CE，CE∩DE＝E，所以BC⊥平面DCE.
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第七章 立体几何
(3) 求直线AM与平面ABCD所成角的正切值． 【解答】如图(2)，取 DO 的中点 N，连接 MN，AN，所以 MN∥PO，MN＝12PO
＝1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，
所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．
又D是BC的中点，所以OD∥A1C. 因为A1C⊄平面B1AD，OD⊂平面B1AD，所以A1C∥平面B1AD.
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第七章 立体几何
(2) 求证：BC1⊥平面B1AD. 【解答】因为D是BC的中点，AB＝AC，所以AD⊥BC.
因为平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊂平面ABC，所 以AD⊥平面BB1C1C.
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第七章 立体几何
目标3 翻折问题
如图(1)，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的 点，且满足AE＝FC＝CP＝1.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平 面EFB，连接A1B，A1P，如图(2)所示．
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第七章 立体几何
第七章 立体几何 第38讲 直线、平面平行与垂直的综合问题
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栏 目 导 航
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链教材 ·夯基固本 研题型 ·技法通关
第七章 立体几何
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第七章 立体几何
(2) 在线段EF上是否存在点M，使得AM∥平面BDE？若存在，求出FM的长，若 不存在，说明理由．
【解答】当 FM＝ 33a 时，AM∥平面 BDE. 如图(2)，在梯形ABCD中，设AC∩BD＝N，连接EN， 则CN∶NA＝DC∶AB＝1∶2. 因为 FM＝ 33a，EF＝AC＝ 3a， 因为 FM＝ 33a，EF＝AC＝ 3a，
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第七章 立体几何
2．如图(1)，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面
ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是
(C)
A．MC⊥AN
B．GB∥平面AMN
C．平面CMN⊥平面AMN
D．平面DCM∥平面ABN
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知识聚焦 1．平行和垂直关系可以按照下表进行相互转化：
第七章 立体几何
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研题型 ·技法通关
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第七章 立体几何
分类解析
(1) 若Q为A1B的中点，求证：PQ∥平面A1EF；
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【解答】 如图(3)，取A1E的中点M，连接QM，MF. 在△A1BE中，Q，M分别为A1B，A1E的中点， 所以 QM∥BE，且 QM＝12BE. 因为CFAF＝CPBP＝12， 所以 PF∥BE，且 PF＝12BE，
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第七章 立体几何
(2) 若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的____垂____心．
【解析】如图(2)，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.因为 PC⊥PA ， PB⊥PC ， PA∩PB ＝ P ， 所 以 PC⊥ 平 面 PAB ， AB⊂ 平 面 PAB ， 所 以 PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，所以 AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．同理可证BD，AH为△ABC底边上的高，即O为 △ABC的垂心．
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第七章 立体几何
【解答】 由题意知，四边形ABCD为等腰梯形，且AB＝2a，AC＝a，所以 AC⊥BC，
又平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC， 所以BC⊥平面ACEF.
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在
Rt△DAO
中，AD＝1，AO＝12，所以
DO＝
5 2.
(2) 求证：A1E⊥EP. 【解答】如图(4)，取BE中点D，连接DF. 因为AE＝CF＝1，DE＝1， 所以AF＝AD＝2，而∠A＝60°，即△ADF是正三角形． 又因为AE＝ED＝1, 所以EF⊥AD. 所以在题图(2)中有A1E⊥EF. 因为平面A1EF⊥平面EFB，平面A1EF∩平面EFB＝EF， 所以A1E⊥平面BEF. 又EP⊂平面BEF，所以A1E⊥EP.