解斜三角形及应用举例练习

一、选择题(每小题6分，共36分)1．(陕西卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3D. 2【解析】 由正弦定理得6sin 120°＝2sin C，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°， ∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.故选D. 【答案】 D2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积32，则a 的值为 ( )A ．1B ．2 C.32D. 3【解析】 由已知得：12bc sin A ＝12×1×c ×sin 60°＝32⇒c ＝2，则由余弦定理可得：a 2＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3⇒a ＝ 3.【答案】 D3．某人在C 点测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15米B ．5米C ．10米D ．12米【解析】 如图，设塔高为h ， 在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°， 则OC ＝OA ＝h . 在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ，在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得：OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ， 即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos120°， ∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)． 【答案】 C4．满足A ＝45°，c ＝6，a ＝2的△ABC 的个数记为m ，则a m 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．不确定【解析】 由正弦定理a sin A ＝c sin C得sin C ＝c sin Aa＝6×222＝32. ∵c ＞a ，∴C ＞A ＝45°， ∴C ＝60°或120°，∴满足条件的三角形有2个， 即m ＝2.∴a m ＝4. 【答案】 A5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－bc ＝a 2，且ab ＝3，则角C 的值为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【解析】 由b 2＋c 2－bc ＝a 2得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.又a b ＝3，∴sin Asin B＝3，∴sin B＝33sin A＝33×32＝12，∴B＝30°，∴C＝180°－A－B＝90°.【答案】 C6．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为() A.1762海里/时B．346海里/时C.1722海里/时D．342海里/时【解析】如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，由正弦定理，得MNsin 120°＝PMsin 45°，∴MN＝68×3222＝34 6.又由M到N所用时间为14－10＝4(小时)，∴船的航行速度v＝3464＝1726(海里/时)．【答案】 A二、填空题(每小题6分，共18分)7．在△ABC中，设命题p：asin B＝bsin C＝csin A；命题q：△ABC是等边三角形．那么命题p是命题q的________条件．【解析】命题p：asin B＝bsin C＝csin A.由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，∴sin A＝sin B＝sin C，∴A ＝B ＝C ⇒a ＝b ＝c .反之，过程亦成立． 【答案】 充分必要8．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．【解析】 如图由余弦定得：cos B ＝22＋(1＋3)2－(6)22×2×(1＋3)＝12⇒B ＝π3，故AD ＝AB sinπ3＝2×32＝ 3.【答案】39．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足a ＋b ＋c ＝2＋1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，则c ＝________；若C ＝π3，则△ABC 的面积S ＝________.【解析】 依题意及正弦定理得a ＋b ＝2c ，且a ＋b ＋c ＝2＋1，因此c ＋2c ＝2＋1，c ＝1，当C ＝π3时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝1，∴(a ＋b )2－3ab ＝1. 又a ＋b ＝2，因此2－3ab ＝1，∴ab ＝13，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×13sin π3＝312.【答案】 1312三、解答题(共46分)10．(15分)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C . (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ．求角C 的度数．【解析】 (1)由题意及正弦定理，得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1. BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1. (2)由△ABC 的面积＝12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13.由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝(AC ＋BC )2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，∴C ＝60°.11．(15分)(山东卷)已知函数f (x )＝2sin x cos 2φ2＋cos x sin φ－sin x (0＜φ＜π)在x ＝π处取最小值．(1)求φ的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32， 求角C .【解析】 (1)f (x )＝2sin x 1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)． 因为f (x )在x ＝π时取最小值， 所以sin(π＋φ)＝－1，故sin φ＝1. 又0＜φ＜π，所以φ＝π2.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x . 因为f (A )＝cos A ＝32， 且A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6.由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝22，又b ＞a ，所以B ＝π4或B ＝3π4.当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12，当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12.综上所述，C ＝7π12或C ＝π12.12．(16分)如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为152海里/小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东θ⎝⎛⎭⎫tan θ＝12的方向作匀速直线航行，速度为105海里/小时．(1)求出发后3小时两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？ (3)两船在航行中能否相遇？试说明理由．【解析】 以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．设在t 时刻甲、乙两船分别在P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．则⎩⎨⎧x 1＝152t cos 45°＝15t y 1＝x 1＝15t.由tan θ＝12可得，cos θ＝255，sin θ＝55，故⎩⎨⎧x 2＝105t sin θ＝10ty 2＝105t cos θ－40＝20t －40. (1)令t ＝3，P 、Q 两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)， |PQ |＝(45－30)2＋(45－20)2＝850＝534. 即出发后3小时两船相距534海里． (2)由(1)的解法过程易知： |PQ |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(10t －15t )2＋(20t －40－15t )2＝50t 2－400t ＋1600＝50(t －4)2＋800≥202， ∴当且仅当t ＝4时，|PQ |取得最小值20 2.即两船出发后4小时时距离最近，最近距离为202海里． (3)射线AP 的方程为y ＝x (x ≥0)， 射线BQ 的方程为y ＝2x －40(x ≥0)．它们的交点为M (40,40)，若甲、乙两船相遇，则应在M 点处． 此时，|AM |＝402＋402＝402，甲船到达M 点所用的时间为：t 甲＝|AM |152＝402152＝83(小时)，|BM |＝(40－0)2＋(40＋40)2＝405，乙船到达M 点所用的时间为：t 乙＝405105＝4(小时)，∵t 甲≠t 乙，∴甲、乙两船不会相遇．。