中职数学-三角函数教案

三角函数、任意角1.角的概念的推广⑴“旋转”形成角⑵“正角”与“负角”“0 角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。

记法：角或可以简记成。

2.“象限角” 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）3.终边相同的角所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合。

S =| =+k360,k Z二、弧度制1.定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1弧度的角王奎新新屯疆敞它的单位是 rad，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0王新奎新疆屯敞（2）角的弧度数的绝对值公式： = l（l 为弧长， r 为半径）∵ 360 ＝ 2 rad ∴ 180 ＝rad r2.角度制与弧度制的换算：∴ 1＝ rad 0.01745rad 1803. 两个公式 1）弧长公式： l = r由公式：= ll =r比公式l = n r 简单r 180弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 S = 1lR 其中l 是扇形弧长， R 是圆的半径2角度 0° 30° 45° 60°90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6π角度210°225°240°270°300°315°330° 360°弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π/62π实数的集合之间建立一种一一对应的关系王奎新新屯疆敞三、任意角三角函数的定义 1. 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P （x ，y ）1rad =57.30 = 5718'任意角的集合 实数集 R∵ 360 ＝ 2 rad ∴ 180 ＝ rad则 P 与原点的距离 r = x + y = x 2 + y 2 0上述三个比值都不会随P 点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即= k + (k Z)时，终边上任意一点 P 的横坐标 x 都为 0，所以 tan无意义；它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数. 以上三种函数，统称为三角函数。

三角函数值的定义域：sin = y Rr x cos=Rrtan = y|+ k ,k Zx22. 三角函数的符号sinsin为正全正3. 终边相同的角的同一三角函数值相等例如 390°和－330°都与 30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值 相同，即1)2)3) rrx把比值 x 叫做的余弦 r记作： cos = xr把比值 y叫做的正切记作： tan= ytan为正cos为正sin390°＝sin30 cos390°＝cos30°例2. 写出终边在y 轴上的角的集合（用 0 到 360度的角表示）sin(－330°)＝sin30° cos( －330°)＝cos30°诱导公式一（其中kZ ）: 用弧度制可写成sin(+ k 360) = sin sin(+ 2k ) = sincos(+ k 360) = cos cos(+ 2k ) = costan(+ k360) = tantan(+ 2k ) = tan这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0～2π间角的三角函数值问 题。

4. 三角函数的集合表示：yysin = = = y = MP r 1 cos= x = x = x = OM r 1tan =x MP OMOA例1. 在 0到 360 度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角(1) -120 (2)640 (3) - 95012'AT= AT例 3. 用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为｛|k 360<<k 360+90，（ k Z）｝；第二象限的角表示为第三象限的角表示为第四象限的角表示为巩固练习1.下列命题中正确的是（）A.终边在y轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.与120°角终边相同的角是（）A.－600°＋k·360°，ｋ∈ＺB.－120°＋k·360°，ｋ∈ＺC.120°＋（2k＋1）· 180°，ｋ∈ＺD.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ3.角α的终边落在一、三象限角平分线上，则角α的集合是4.角α是第二象限角，则180°＋α是第象限角；－α是第象限角；180°－α是第_______ 象限角．5.一个扇形OAB的面积是 1 平方厘米，它的周长是 4 厘米，求∠AOB和弦AB的长.1)sin100°·cos240°2)sin5+tan56. 确定下列各式的符号1)sin100°·cos240°2)sin5+tan5sin(+ 2k ) = sin cos(+ 2k ) = costan （+ k360） = tan （其中k Z ）用弧度制可写成四、三角函数（一）三角函数的几何表示1、有向线段：规定了方向（即规定了起点与终点）的线段称为有向线段。

有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线。

有向线段的数量：有向线段 AB 与有向直线 l 的方向相同或相反，分别把它的长度加上 正号与负号，这样所得的数叫做有向线段的数量。

记为 AB如图：AB ＝3，BC ＝2，CB ＝－22、三角函数线的定义：yysin = = = y = MP r 1 cos= x = x = x = OM r 1tan =x MP OMOA有向线段MP 、OM 、AT 都称为三角函数线 二）同角三角函数的关系2 2sin1. 公式：sin2+cos2=1= tancos2. 采用定义证明：1 x2 + y 2 = r 2 且sin= y , cos = x sin 2+ cos 2 =1 rr2当k+(kZ )时， sin = y x = yr= y =tan2 cos r r r x x三)诱导公式 1、诱导公式一：sin(+ k 360) = sin cos(+ k 360) = costan （+2k ） = tan （其中k Z ）诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为 0º―360º之间角的正弦、 余弦、正切，其方法是先在 0º―360º内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式（一） 的形式，然后得出结果。

2、诱导公式二： 用弧度制可表示如下：4、诱导公式四： 用弧度制可表示如下：sin(180-)= sinsin(-)= sincos(180-)= -cos cos(-)= -costan(180-)= -tan5、诱导公式五：sin(360-)= -sinsin(180+)= -sin sin(+)= -sin cos(180+)= -coscos(+)= -costan(180 +)=tan3、诱导公式三：sin()-sin tan(+)= tancos(-)= cos tan(-)= -tantan(-)= -tansin(2-)= -sincos（360-）= cos cos（2-）= costan（360-）= -tan tan（2-）= -tan 6、诱导公式六：sin（90 -） = coscos （90 -） = sin .tan（90 -） = cotcot （90 -） = tan .sec（90 -） = csccsc （90 -） = sec 7、诱导公式七：sin（90+） = coscos（90+） = -sin.tan（90+） = -cotcot （90 +） = -tan .sec（90+） = -csc csc （90 +） = sec 例 1. 确定角α为何值时，下面的式子有意义。

1（1）cosαtanα（ 2 ） 1 tan8例 2. 已知cos = - 8，17求 sin 、tan的值。

例 5. 求下列各式的值：1）sin －4）；（ 2）cos（－60º）－sin（－210º）3巩固练习1. 已知 sin α＋cos α＝ 1-2 3 ，且0<α<π，则tanα的值为（）3. 求下列三角函数值：19cos 19；( 3)sin(-240) ；(4) cos(-1665) 6五、三角函数的图象和性质（一）三角函数的周期性周期函数：一般地，对于函数 f （x ），如果存在一个非零常数 T ，使得当x 取定义域内的每 一个值时，都有 f （x ＋T ）＝f （x ），那么函数 f （x ）就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数 的周期。

说明： ①周期函数x 定义域 M ，则必有x+T M②T 往往是多值的（如 y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期 T 中最小的正数叫做 f （x ）的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）；正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ（k∈Z 且 k≠0）都是它的周期，最小正周期是 2π 注：在本书中，如果不加以说明，周期都是指函数的最小正周期。

③判 断：（1）x =3时sin （x +23）sin x2 则23一定不是函数y=sinx 的周期。

2(2)x = 时 sin( x + 2) = sin x632 则2一定是函数y=sinx 的周期。

3二）三角函数的性质 1.几何法作图A. - 33B. - 3C. 332 3 4cos + cos + cos+ cos = 。

5 55 5 1）sin 54； （2）2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）1）正弦函数 y=sinx，x∈［0，2π］的图象中，五个关键点是：(0,0) ( ,1)2(,0) ( 2,-1)(2 ,0)2）余弦函数 y=cosxx ［0,2 ］的图象中，五个关键点是(0,1) ( ,0)2(,-1) ( 32,0) (2 ,1)3.正弦函数的性质1）定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R分别记作：y＝sin x，x∈ R y＝ cos x，x∈ R2）值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］。