湖南省三湘名校2020届高三第二次大联考数学理试题Word版含解析
2020届三湘名校教育联盟高三下学期第二次大联考理综物理试题
2020届三湘名校教育联盟高三下学期第二次大联考理综物理试题一、单选题 (共6题)第(1)题两个完全相同的磁电式仪表A、B，零刻度均在表盘正中间。
按图示方式用导线连接起来。
在把电流表A的指针向左拨动的过程中，电流表B的指针将（ ）A．向左偏转B．向右偏转C．静止不动D．发生偏转，但无法判断偏转方向第(2)题带有活塞的汽缸内封闭一定量的理想气体，气体开始处于状态a，然后经过过程ab到达状态b或经过过程ac到达状态c，b、c状态温度相同，如图所示，设气体在状态b和状态c的压强分别为和，在过程ab和ac中吸收的热量分别为和，则（ ）A．，B．，C．，D．，第(3)题放射性同位素衰变的快慢有一定的规律，质量为的碳发生衰变，经过时间t后剩余碳14的质量为m，其图线如图所示。
下列说法正确的是（ ）A．碳14放出的粒子来自核外电子B．碳14的衰变方程为C．碳14的半衰期为11460年D．100个碳14原子经过11460年后还剩25个第(4)题两波源S1、S2在水槽中形成的波形如图所示，其中实线表示波峰，虚线表示波谷，则（ ）A．在两波相遇的区域中会产生干涉B．在两波相遇的区域中不会产生干涉C．点的振动始终加强D．点的振动始终减弱第(5)题如图所示为某质点做直线运动的加速度与时间的关系图象，其中时刻，质点的速度为零，下列说法正确的是（ ）A．在内，质点做匀变速直线运动B．在内，质点在时刻速度最大C．在内，质点在时刻离出发点最远D．在和时，质点速度相同第(6)题“西电东送”是我国实现经济跨区域可持续快速发展的重要保证，如图为模拟远距离高压输电示意图。
已知升压变压器原、副线圈两端的电压分别为和，降压变压器原、副线圈两端的电压分别为和。
在输电线路的起始端接入两个互感器，两个互感器原、副线圈的匝数比分别为和，各互感器和电表均为理想状态，则下列说法错误的是（ ）A．电压互感器起降压作用，电流互感器起把强电流变为弱电流作用B．若电压表的示数为200V，电流表的示数为5A，则线路输送电功率为100kWC．若保持发电机输出电压和用户数不变，仅将滑片Q下移，则输电线损耗功率增大D．若发电机输出电压一定，仅增加用户数，为维持用户电压不变，可将滑片P上移二、多选题 (共4题)第(1)题如图所示，木板AB倾斜固定放置，将一可视为质点的滑块从木板的顶端A点由静止释放，滑块最终恰好能运动至B点。
2020年湖南高三二模数学试卷(理科)
当
时， 有两个零点；
当
时， 无零点．
（2）
．
解析:
（ 1 ）方法一：
，
，
若
，则
，在
上单调递增，且
，
此时 存在唯一零点；
若
，令
，得
；
当
，
， 单调递增；当
时，
，
时，
， 单调递减，
∴
，且当
时，
，当
，
，
所以当
，即
时， 无零点；
当
，即
时， 有一个零点；
当
，即
时， 有两个零点．
综上：当
或
时， 有一个零点；
当
时， 有两个零点；
，且当
时，
，则函数
9. 设 ， 满足约束条件
A. B. C. D.
，则
的取值范围是（ ）．
10.
2
若函数 A. B. C. D.
在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）．
11.
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， 为
的外心，则
（ ）．
A.
B.
C.
D.
12. 已知函数 取值范围是（ ） A. B. C. D.
．
故选： ．
6
7. A 解析:
所以当
时，
又因为
，
∴
，
所以 的最小正周期为 ，
当
时，
，
所以 在
上为减函数．
故选 ．
，其图象关于直线
对称，
，
，
，
8. C
解析:
偶函数 满足
，故函数的周期为 ．
湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期11月月考(第二次大联考)数学试题含答案
湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期第二次大联考（11月）数学试题（答案在最后）本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本式卷和答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本式卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，则集合A B 中所含整数的个数为A.2 B.3C.4D.52.已知3i12iz -=+，则z 的虚部为A.75B.75-C.15-D.153.“202520251ab>”是“33a b >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()1sin 104θ︒+=-，则()sin 2110θ︒+=A.78B.18C.18-D.78-5.经研究表明：光源发射出来的粒子在没有被捕获之前属于光子，光子在离开光源后会与各种粒子撞击，其动量可能会改变，导致其速度降低，最终可能改变身份成为其他范围的粒子（如红外线粒子），不再能被人类的感光设备捕获.已知在某次光学实验中，实验组相关人员用人类感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A ，B ，通过数学建模与数据分析得知，此时刻在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为(4,3),(2,10)A B s s == ，设光子B 相对光子A 的位移为s ，则s 在A s上的投影向量的坐标为A.43,55⎛⎫⎪⎝⎭B.(2,7)- C.5239,2525⎛⎫⎪⎝⎭ D.43,2525⎛⎫⎪⎝⎭6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为1,2d a =也为等差数列，则d 的值为A.2B.3C.4D.87.已知函数1()ln 2(1)x f x x m x m+=+≠+关于点(,4)n 中心对称，则曲线()y f x =在点(n m -，())f n m -处的切线斜率为A.14 B.74C.38D.1388.ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πcos cos 2,3b Cc B A +==，则ABC 的内切圆半径的最大值为A.2B.3C.2D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正数x ，y 满足21x y +=，则A.81xy B.1412x y+ C.22142x y +D.1(1)4x y +10.三棱台111ABC A B C -中，112AB A B =，设AB 的中点为1,E AA 的中点为1,F A E 与BF 交于点1,G A C 与1C F 交于点H ，则A.直线GH 与直线1BB 异面B.1//GH BC C.线段AE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PCD.线段BE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PC11.设函数2()e ,x f x nx n n +=-+∈N ，记()f x 的最小值为n a ，则A.122a a >- B.1n a n +C.()()n f a f n > D.n m n ma a a +>+三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知命题：“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，则a 的取值范围是______．13.已知P 为边长为4的正六边形ABCDEF 内部及其边界上的一点，则AP AB ⋅的取值范围是______.14.三棱锥P ABC -中，AB AC AB AC ==⊥，平面PBC ⊥平面ABC ，且PB PC =.记P ABC -的体积为V ，内切球半径为r ，则21r V-的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()2cos 2,(0,π)f x x x x =+∈.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，求m 的取值范围.16.（本小题满分15分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)n n S n a =+.（1）探究数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为单调数列；（2）求数列{}2na n a ⋅的前n 项和nT .17.（本小题满分15分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是菱形，四面体11A BC D 的体积与四面体111A B BC 的体积之差为12,A BD 的面积为（1）求点A 到平面1A BD 的距离；（2）若11111,,2A B A D A B A C BD =⊥=，求锐二面角11A BD C --的余弦值．18.（本小题满分17分）已知函数2()ln 2x f x ax ax x =+-在(0,)+∞上有两个极值点12,x x ，且21x x <.（1）求a 的取值范围；（2）当21(1,e)x x ∈时，证明：122eln ln e 1x x <+<+.19.（本小题满分17分）对于(2,3,)m m = 项数列{}n a ，若满足111m miii i a am ==-=-∑∑，则称它为一个满足“绝对值关联”的m 阶数列．（1）对于一个满足“绝对值关联”的m 阶数列{}n a .证明：存在,{1,2,,}i j m ∈ ，满足0i j a a <；（2）若“绝对值关联”的m 阶数列{}n a 还满足(1,2,,)i a i m λ=，则称{}n a 为“绝对值λ关联”的m 阶数列．①请分别写出一个满足“绝对值34关联”的4阶数列和满足“绝对值1关联”的5阶数列（不必论证，符合要求即可）；②若存在“绝对值λ关联”的n 阶数列(2)n ，求λ的最小值（最终结果用常数或含n 的式子表示）．三湘名校教育联盟•2025届高三第二次大联考•数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C 【解析】由题意可得{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，可得{30}A B x x =- ∣ ，故集合A B 中所含整数有3,2,1,0---，共4个，故选C.2.【答案】A 【解析】由题意可得3i (3i)(12i)32i 6i 17i 12i (12i)(12i)555z ------====++-，故17i 55z =+，其虚部为75，故选A.3.【答案】A 【解析】由202520251ab> 及指数函数的单调性可得0a b > ，令函数3()f x x =，易得()f x 单调递增，故当0a b > 时，一定有33a b >，故充分性成立，但由33a b >只能推出a b >，即必要性不成立，故“20252025a b >1 ”是“33a b >”的充分不必要条件，故选A.4.【答案】A 【解析】由题意可得()1sin 104θ︒+=-，故()()()()2sin 2110sin 90220cos 22012sin 10θθθθ︒︒︒︒︒+=++=+=-+2171248⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故选A.5.【答案】C 【解析】由向量(4,3),(2,10)A B s s == ，可得(2,10)(4,3)(2,7)B A s AB s s ==-=-=-，所以s 在A s 上的投影向量为218135239(4,3),55252525A A A A As s s s s s ⋅-⎛⎫⋅=⨯=⋅= ⎪⎝⎭ ，故选C.6.【答案】C 【解析】易知232222n n d S a n d n d ⎛⎫-=+-+- ⎪⎝⎭也为等差数列，则232222d n d n d ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭为完全平方，则2322(2)02d d d ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得4d =，故选C.7.【答案】D 【解析】因为()f x 关于点(,4)n 中心对称，所以函数1()()4ln224x n g x f x n x n x m n ++=+-=++-++为奇函数，则240n -=，即2n =，且3ln 2x y x m +=++为奇函数，所以23m +=-，解得5m =-，故1()ln 5x f x x +=+-2,7x n m -=，且6()2(1)(5)f x x x '=-+-，故切线斜率为13(7)8f '=，故选D.8.【答案】B 【解析】设ABC 的内切圆半径为r ，由题意可得cos cos 2b C c B +=，由余弦定理可得2222a b c b ab +-⋅+2222222222222a c b a b c a c b c a ac a a +-+-+-⋅=+==，而11sin ()22ABC S bc A a b c r ==++ ，故2r =⋅2bcb c ++，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则224b c bc bc =+- ，当且仅当b c =时等号成立，而4=2()3b c bc +-，则b c +=，其中4bc ，故33222bc r b c =⋅=++=(24)t t < ，故24(2)6263t r t t -=⋅=-+ .故选B.9.【答案】AC 【解析】对于A ：因为21x y +=18xy ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故A 正确；对于B ：1424(2)8666x y x y x y x y x y y x +++=+=+++=+，当且仅当8x yy x =，即x =1,22y =时取等号，故B 错误；对于C ：因为22x y +，则22142x y + ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故C 正确；对于D ：因为2112(1)1(1)2(1)2222x y x y x y ++⎡⎤+=⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦，当且仅当21x y =+，即1,02x y ==时取等号，这与x ，y 均为正数矛盾，故1(1)2x y +<，故D 错误，故选AC.10.【答案】AD 【解析】如图所示，对于A ，因为1BB ⊂/平面11,BC F BB 平面1BC F B =，故1BB 与平面1BC F 的交点为B ，且是唯一的.又因为B ，G ，H 三点不共线，所以GH 不经过点B ，又GH ⊂平面1BC F ，所以直线GH 与直线1BB 没有交点，即直线GH 与直线1BB 异面，故A 正确；对于B ，因为AB 的中点为1,E AA 的中点为F ，所以点G 是1A AB 的重心，:1:2FG GB =，若1//GH BC ，则1:1:2FH HC =，事实上：()()1111111222A H A C A A AC A F A C A F λλλλ==+=+=+112AC λ ，所以H 是1FC 的中点，1:1:2FH HC =不成立，故B 错误；对于CD 选项，如图，取线段BF 的中点Q ，连接1AQ 并延长，交BE于点P ，下证1//BC 平面1A PC ：由H 为1C F 的中点可知1//HQ BC ，又1BC ⊂/平面1,A PC HQ ⊂平面1A PC ，所以1//BC 平面1A PC ，故D 正确，C 错误；故选AD.11.【答案】BCD 【解析】由题意可得()e xf x n '=-，当(,ln )x n ∈-∞时，()0,()f x f x '<单调递减，当(ln ,)x n ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，故2(ln )ln n a f n n n n n ==+-．对于A ：12212,62ln 2,22a a a a ==---=-2ln 20>，即122a a <-，故A 错误；对于B ：设函数2()1ln ,,()2ln 1F x x x x x F x x x '+=--∈=--N ，设函数1()2ln 1,()2,1g x x x g x x x '=--=- 时，则()0()g x g x '>⇒单调递增，故()(1)10g x g =>⇒ ()0()F x F x '>⇒单调递增，故22()(1)01ln 0ln 11n F x F n n n n n n n n a n =⇒--⇒+-+⇒+ ，故B 正确；对于C ：易知ln n n >，又因为()f x 在(ln ,)x n ∈+∞上单调递增，故(ln )()(1)f n f n f n <<+ ()n f a ，故()()n f a f n >，故C 正确；对于D ：[ln ln()][ln n m m n a a a m n m n m n m n +--=+-+++-ln()]n m +，只需证明ln ln()0n m n m +-+>即可，而ln ln e n n m m +=，由e 1(1)x x x >+易得e n m >(1)m n m mn m n +=++，故ln ln()0n m n m +-+>，同理可得ln ln()0m n n m +-+>，故n m n a a +>+m a ，故D 正确，故选BCD ．12.【答案】（8,0-]【解析】因为命题“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，当0a =时，20-<成立，当0a ≠时，则280a a a <⎧⎨∆=+<⎩，解得80a -<<，故a 的取值范围是(8,0]-，故答案为(8,0]-.13.【答案】[-8，24]【解析】由题意可得AB 的模为4，根据正六边形的特征及投影的定义可以得到AP 在AB方向上的投影长度的取值范围是[2,6]-，由数量积定义可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影长度的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是[8,24]-，故答案为[8,24]-.14.62+【解析】设三棱锥P ABC -的高为h ，依题意，可取BC 中点O ，连接OA ，OP ，则OA =1,OB OC OP h ===，则PBC 的面积为1,2h BC h ABC ⋅= 的面积112OA BC ⋅=，由21PA PB h ==+可得PBA 的面积为2212h +，于是三棱锥P ABC -2211h h +++，由等体积可知)2211133r hh h +++=⨯，所以2222222122122h h h r h h ++++==+，故21r V-=2222123221122h h h h h ++-+-=+.设函数22211()2x f x x +=+，且0x >，则()f x '=()2222222212121212x x x x x x +=++++，当3,()0,()2x f x f x '<<单调递减，3()02x f x '>>，()f x 单调递增，所以3()622f x f =+ ，所以62h =时，21r V -取得最小值62+62．15.【解析】（1）由题意可得π()32cos 22sin 2,(0,)6f x x x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，………………2分令π2,(0,π)6z x x =+∈，则π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为π13πsin ,,66y z z ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的单调递减区间是π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…………………………………………5分且由π3π22z ，得π2π63x ，所以()f x 的单调递减区间是π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………………………7分（2）当π,12x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2,2636x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在区间π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，……9分即sin y z =在ππ,236m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1，又因为π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3ππ13π2,266m +< ……12分即2ππ3m < ，故m 的取值范围为2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.……………………………………………………………13分16.【解析】（1）由题意得2(1)n n S n a =+，当2n 时，112n n S na --=，………………………………1分两式作差得112(1),(1)n n n n n a n a na n a na --=+--=，……………………………………………………3分所以11n n a a n n -=-，则数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，………………………………………………………………5分无单调性，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是单调数列.……………………………………………………………………6分（2）由（1）可得111n a a n ==，所以n a n =，故22an n n a n ⋅=⋅．……………………………………8分所以231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，①……………………………………………………………10分23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，②………………………………………………12分①-②得()231112122222222(1)2,12n nn n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=---⋅- ……………14分所以1(1)2 2.n n T n +=-⋅+…………………………………………………………………………………15分17.【解析】（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，设四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V Sh =（其中S 为菱形ABCD 的面积，h 为四棱柱ABCD -1111A B C D 的高），…………………………………………1分所以1ABDA 的体积为111236S h V ⋅=，同理四面体111A B BC 的体积为111236S h V ⋅=……………2分又因为四边形ABCD 是菱形，所以111122AO OC AC A C ===，所以点A 到平面1A BD 的距离为点1C 到平面1A BD 距离的一半，所以四面体11A BC D 的体积是四面体1ABDA 的体积的两倍，即13V ．……4分设点A 到平面1A BD 的距离为d ，则1111233663V V V d =-==⋅………………………………5分解得3d =分（2）如图，连接1OA ，由111A B A C ⊥得1A B AC ⊥，又四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又11,,A B BD B A B BD =⊂ 平面1A BD ，所以AC ⊥平面1A BD ，又1AO ⊂平面1A BD ，所以1A O AC ⊥，………………………………………………………………………………………………8分又11,A B A D BO BD ==，所以1A O BD ⊥，…………………………………………………………9分又,,BD AC O BD AC =⊂ 平面ABCD ，所以1A O ⊥平面ABCD ，以点O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，由（1）知12V =，且菱形ABCD的面积为S =，所以h ==………………………………11分依题意，1(0,0,0),((0,1,0),(O C B C -，易得平面1A BD的一个法向量为(0,0)OC =，…………………………………………………12分设平面1BC D 的一个法向量为(,,)n a b c =，又1(0,1,0),(OB OC ==- ，所以100OB n OC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00b a c =⎧⎨-=⎩，取(1,0,1)n = ，…………………………………………………13分故111cos ,2||n OC n OC n OC ⋅<>===⋅ ，……………………………………………………14分故锐二面角11A BD C --的余弦值为2.…………………………………………………………………15分【评分细则】本题第二问若考生通过利用几何法来求解二面角11A BD C --的平面角为11π4A OC ∠=，或者利用余弦定理等来直接求解二面角的余弦值，只要过程合理，最终答案正确均给满分，若过程有误或证明过程不严谨酌情扣一定的分数．18【解析】(1)易得()f x 定义域为(0,),()ln f x x a x '+∞=-，显然0a ≠.…………………………1分①当0a <时，()f x '单调递增，不可能有两零点，不合题意.…………………………………………2分②当0a >时，令函数()()g x f x '=，易得()x a g x x'-=，故(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减(,)x a ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增，……………………………………………………………4分当e a 时，有()()(1ln )0g x g a a a =- ，不可能有两零点；当e a >时，有()0,(1)10g a g <=>，由零点存在性定理可得()g x 在区间(1,)a 必有一个零点1x ．……………………………………………6分()2(2ln )g a a a a =-，令函数()2ln a a a ϕ=-，则2()10a aϕ'=->，即()a ϕ单调递增，故()(e)a ϕϕ>=e 20->，即()20g a >，故()g x 在(,)a +∞上有零点2x ，综上(e,)a ∈+∞．…8分（2）依题意有()()120g x g x ==，即1122ln ln 0x a x x a x -=-=，故得12211221ln ln ln ln x x x x a x x x x -====-2121ln x x x x -，…………………………………………………………10分因此2121122111ln ln ln 1x x x x x x x x x x ==--，令21(1,e)x t x =∈.则1ln ln 1t x t =-，同理2ln ln 1t t x t =-，故12eln ln x x +=e ln 1t t t +-，欲证122eln ln e 1x x <+<+，即证112ln (e 1)e e t t t t t --<<+++，……12分令函数1()ln 2e t m t t t -=-+，函数1()(e 1)ln ,(1,e)e t n t t t t -=+-∈+，只需证明()0,()0m t n t >>即可，又22222(e)2(e 1)(1)e 1()0(e)(e)t t t m t t t t t '+-+-+-==>++，……………………………………………………14分故()m t 是增函数，故()(1)0m t m >=，又222222(e 1)(e)1e ()e 1(e)(e)t t n t t t t t t '⎛⎫+-+==+-- ⎪++⎝⎭，令函数22e ()e 1h t t t =+--，则22e ()10h t t '=->，故()h t 单调递增，故()(1)0h t h >=，………………16分因此21()()0(e)n t h t t '=>+，故()n t 单调递增，故()(1)0n t n >=，故122eln ln e 1x x <+<+得证.17分【评分细则】第一问若考生求完导后用参变分离的方法来求参数范围，只要最终答案正确均给分，第二问也可用其他方法来证明，逻辑正确，严谨可酌情给分．19.【解析】（1）因为{}n a 为满足“绝对值关联”的m 阶数列，假设0i a ，则11110m m m m i i i i i i i i a a a a====-=-=≠∑∑∑∑1(2)m m - ，不满足题意，同理若0i a ，则111101(2)m m m mi i i i i i i i a aa a m m ====-=-+=≠-∑∑∑∑ ，也不满足题意，………………………………4分所以12,,,m a a a 中必有一些数小于0，也必有一些数大于0，不妨设121,,,0,,,,0l k k m a a a a a a +>< （其中1l k m << ），故存在{1,2,,},{,1,,}i l j k k m ∈∈+ ，满足0i j a a <．………………6分（2）①一个满足“绝对值34关联”的4阶数列为：3333,,,4444--；（答案不唯一，符合要求即可）8分一个满足“绝对值1关联”的5阶数列为：222,,,1,1333--；（答案不唯一，符合要求即可）……10分②设(1,2,,)i a i n λ= ，且111n n i i i i a an ==-=-∑∑．不妨设1212,,,0,,,,0k k k n a a a a a a ++< ，其中1k n < ，并记11,k n i i i i k a x a y ==+==∑∑，为方便起见不妨设x y （否则用i a -代替i a 即可），于是得11,n n i i i i ax y a x y ===+=-∑∑，因为111n n i i i i a a n ==-=-∑∑，即()()1x y x y n +--=-，所以11,22n n y x --=，一方面有1()2n y n k λ-=- ，另一方面12n x k λ- .所以1()n n k k n λλλ--+= ，即1n n λ- ，当且仅当n k k -=，即2n k =时等号成立.………13分（i ）当n 为偶数时，设*2,n s s =∈N ，则有前s 项为正数，后s 项为负数的数列111,,,n n n n n n --- ，111,,,n n n n n n ------ 是“绝对值1n n -关联”的n 阶数列，又1n n λ- ，所以λ的最小值为1n n -；……………………………………………………………………14分（ii ）当n 为奇数时，设*21,n s s =+∈N ，则11(),22n n y n k x k λλ--=- 等价于21s s k λ+- 且s k λ ，即λ不小于21s s k +-与s k中的最大者．……………………………………………………15分当k s =或1s +时，两者中的最大者均为1，有1λ ，当k s <或1k s >+时，有1s k >或121s s k>+-，则有1λ>，所以取k s =或1s +时，λ可能取得最小值1，且有前s 项为正数，后1s +项为负数数列1111,1,,1,,,,111n n n n n n ------+++ 符合题意，所以λ可以取得最小值1．…………………………………………………………………………………………16分综上所述λ的最小值为()*1,21,21n n s s n n s -⎧=⎪∈⎨⎪=+⎩N .……………………………………………………17分。
2020届三湘名校教育联盟高三下学期第二次大联考理综物理试题
2020届三湘名校教育联盟高三下学期第二次大联考理综物理试题一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题二十四节气是中华民族的文化遗产。
地球沿椭圆形轨道绕太阳运动，所处四个位置分别对应北半球的四个节气，如图所示。
下列关于地球绕太阳公转的说法正确的是（ ）A．冬至时线速度最大B．夏至和冬至时的角速度相同C．夏至时向心加速度最大D．可根据地球的公转周期求出地球的质量第(2)题北京时间2022年2月27日11时许，中国在海南文昌航天发射场使用长征八号运载火箭，以“1箭22星”方式，成功将泰景三号01卫星等共22颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，下列说法正确的是（ ）A．火箭发射时，喷出的高速气流对火箭的作用力大于火箭对气流的作用力B．火箭发射时，喷出的高速气流对火箭的作用力与火箭对气流的作用力是一对平衡力C．发射初期，火箭处于超重状态D．发射的卫星进入轨道正常运转后，动量保持不变第(3)题如图所示，用OA、OB、AB三根轻质绝缘绳悬挂两个质量均为m、带等量同种电荷的小球(可视为质点)，三根绳子处于拉伸状态，且构成一个正三角形，AB绳水平，OB绳对小球的作用力大小为T．现用绝缘物体对右侧小球施加一水平拉力F，使装置静止在图所示的位置，此时OA绳竖直，OB绳对小球的作用力大小为T′．根据以上信息可以判断T和T′的比值为( )A．B．C．D．条件不足，无法确定第(4)题如图所示，菱形导线框放置在水平面上，线框各边长均为且电阻均匀分布，顶角，整个空间中存在垂直水平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为，将电流从线框端流入端流出，通过的电流为，则线框整体受安培力大小为（ ）A．B．C．D．第(5)题如图，水平地面放置导线框abcd，正上方有一圆柱形磁体，若磁体以磁体中心为轴在xoz平面内顺时针转过一个小角度，此过程中线框始终处于静止状态，下列说法正确的是（ ）A．ab边对地面的压力增大，cd边对地面的压力减小B．ab边和cd边均不受磁场力的作用C．线框中感应电流的方向为abcdaD．线框受地面的摩擦力方向水平向右第(6)题医学上常用碘－131标记玫瑰红钠盐和马尿酸钠作为肝、胆和肾等检查的扫描显像剂。
2020届三湘名校教育联盟高三下学期第二次大联考理综物理试题
2020届三湘名校教育联盟高三下学期第二次大联考理综物理试题一、单选题 (共6题)第(1)题如图甲，智能寻迹小车上装有传感器，会自动识别并沿水平面内的黑色轨迹行驶，黑色轨迹上标有数值的短线为分值线。
比赛时，小车从起点出发，以停止时车尾越过的最后一条分值线的分数作为得分。
为了能让小车及时停下来获得高分，需要测试小车的刹车性能。
小庐同学在平直路面上做了刹车（可以认为车轮被“抱死”）实验，图乙是刹车过程中位移和时间的比值与时间t之间的关系图像。
下列说法正确的是（ ）A．由图像知，刹车过程中加速度大小为B．车轮与地面间的动摩擦因数大约是0.05C．从开始刹车时计时经2s，位移大小为0.5mD．某次比赛得96分，可能是刹车阻力偏大造成的第(2)题如图所示为华附校园内的风杯式风速传感器，其感应部分由三个相同的半球形空杯组成，称为风杯。
三个风杯对称地位于水平面内互成120°的三叉型支架末端，与中间竖直轴的距离相等。
开始刮风时，空气流动产生的风力推动静止的风杯开始绕竖直轴在水平面内转动，风速越大，风杯转动越快。
若风速保持不变，三个风杯最终会匀速转动，根据风杯的转速，就可以确定风速，则（ ）A．若风速不变，三个风杯最终加速度为零B．任意时刻，三个风杯转动的速度都相同C．开始刮风时，风杯所受合外力沿水平方向指向旋转轴D．风杯匀速转动时，其转动周期越大，测得的风速越小第(3)题用一条均匀直导线绕成如图所示的闭合回路，平行纸面放置，小圆环半径为R，大圆环半径为4R，整个回路处于垂直纸面向外的磁场中，磁场强度大小随时间的变化规律为，则闭合回路产生的感应电动势大小为（ ）A．B．C．D．第(4)题关于静电场的等势面，下列说法正确的是A．两个电势不同的等势面可能相交B．电场线与等势面处处相互垂直C．同一等势面上各点电场强度一定相等D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功第(5)题如图所示，一高考倒计时牌通过一根轻绳悬挂在定滑轮上。
2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考理综物理试题 含图片版解析
三湘名校教育联盟．2020届高三第二次大联考理科综合试题二、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19--21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14.中国核学会发布消息称，截至201 9年6月底，中国大陆在运核电机组47台，装机容量4873万千瓦，位居全球第三。
铀核()是获得核能的主要原料之一，其中一种核反应方程为并释放核能，下列说法正确的是A．该核反应是重核裂变，产物的结合能之和大于铀核()的结合能B．该核反应在中子的轰击下发生，核反应为人工转变C．X原子核中的核子数为140个，中子数为84个D．因为裂变时释放能量，根据E=mc2，所以裂变后的总质量数减少15.甲、乙两辆汽车从平直公路上同一位置沿着同一方向做直线运动，它们的v-t图象如图所示，则A.甲、乙两车同时从静止开始出发B．在t=2s时乙车追上甲车C．在t-4s时乙车追上甲车D．甲、乙两车在公路上能相遇两次16.“嫦娥四号”探测器的成功发射，实现了人类首次在月球背面无人软着陆。
通过多次调速让探月卫星从近地环绕轨道经地月转移轨道进入近月环绕轨道。
已知地球与月球的质量之比及半径之比分别为a、b，则下列关于近地卫星与近月卫星做匀速网周运动的判断正确的是A.加速度之比约为B．周期之比约为C．速度之比约为D．从近地轨道进入到地月转移轨道，卫星必须减速17.如图，半径为R的半球形容器固定在水平转台上，转台绕过容器球心O的竖直轴线以角速度ω匀速转动。
质量相等的小物块A、B随容器转动且相对器壁静止。
A、B和球心O点连线与竖直方向的夹角分别为α、β，α>β，则下列说法正确的是A.A的向心力小于B的向心力B．容器对A的支持力一定小于容器对B的支持力C．若ω缓慢增大，则A、_B受到的摩擦力一定都增大D．若A不受摩擦力，则B受沿容器壁向下的摩擦力18.如图所示，总阻值为R的正方形线框的左半侧处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与线框平面垂直，线框的对称轴MN恰与磁场边缘平齐。
三湘名校教育联盟2020-2021学年高三上学期第二次大联数学试题
6．已知实数 ， ，则 是 的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被4除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（）
【详解】
解：因为 ， ，所以 ， ，
由 ， ，得 ， ．
反之，若 ，取 ， ，则 ，但是 ．
故选：A．
7．B
【分析】
列举出该数列的前几项，可知该数列 为等差数列，求出等差数列的首项和公差，进而可得出数列 的通项公式，然后求解满足不等式 的正整数 的个数，即可得解.
【详解】
设所求数列为 ，
由题意可得该数列为5､17､29､41､…，
12．AD
【分析】
对于A：分m=0和 讨论，判断 与 是否垂直；
对于B：在Rt△PMN中，设∠PMN= ，利用直角三角形边长关系表示出 ，利用三角函数求最值；
对于C：用定义法求出轨迹方程；
对于D：把 转化为 ，求 的最小值即可.
【详解】
对于A：m=0时，直线 ： 与 ： 垂直；
时直线 ： 的斜率 ， ： 的斜率为 ，因为 ，所以 与 垂直，综上， 一定垂直 .故A正确；
三湘名校教育联盟2020-2021学年高三上学期第二次大联数学试题
2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N=≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B解出22x a ≤,分别代入选项中a 的值进行验证. 解：解：22x a ≤Q ，a x a ∴-≤≤.当1a = 时,{}1,0,1B =-，此时A B ⊆不成立. 当2a = 时,{}2,1,0,1,2B =--，此时A B ⊆成立，符合题意. 故选:B. 点评：本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系. 2．设i 是虚数单位，a R ∈，532aii a i+=-+，则a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2答案：C 由532aii a i+=-+，可得()()()5323232ai a i i a a i +=+-=++-，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出a 的值. 解： 解：532aii a i+=-+Q，()()()5323232ai a i i a a i ∴+=+-=++- 53232a a a=+⎧∴⎨-=⎩ ，解得：1a =. 故选:C. 点评：本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把2i 当成1进行运算.3．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） AB ．12C ．3log 2-D ．3log 2答案：A根据分段函数解析式，先求得3f ⎛ ⎝⎭的值，再求得3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 解：依题意12331log log 32f -===-⎝⎭，1212322f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A 点评：本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.4．已知向量()3,2AB =u u u r ，()5,1AC =-u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒答案：C求出()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r，进而可求()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r ,即能求出向量夹角. 解：解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r. 则()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r所以AB BC ⊥u u u r u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为90︒.故选:C. 点评：本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos ,a ba b a b⋅=r rr r r r 进行计算.5．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选A．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k的值为（）A．45 B．60 C．75 D．100答案：B根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．解：由题意12315234S⨯⨯⨯=，60S=．点评：本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．7．要得到函数2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 22y x x =的图像（ ） A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位 答案：A运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得2sin 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭以及2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,按四个选项分别对2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形，整理后与2sin 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭对比，从而可选出正确答案.解： 解：1sin 22sin 22sin 22sin 22233y x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 222sin 222sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭=-==-. 对于A ：可得2sin 22sin 22sin 22333y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选:A. 点评：本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.8．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果. 解：将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：2115323310C C C A =种分组方法； 将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4424A =种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种 本题正确选项：B 点评：本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.9．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为32，则c =（ ）A ．B ．4C ．5D ．答案：D由正弦定理可知4sin 4sin 3cos c A a C C ==,从而可求出34sin ,cos 55C C ==.通过13sin 22ABC S ab C ∆==可求出5b =，结合余弦定理即可求出c 的值.解：解：4sin 3cos c A C =Q ，即4sin 3cos c A a C =4sin sin 3sin cos A C A C ∴=，即4sin 3cos C C =.22sin cos 1C C +=Q ，则34sin ,cos 55C C ==.1133sin 12252ABC S ab C b ∆∴==⨯⨯⨯=，解得5b =.222242cos 15215185c a b ab C ∴=+-=+-⨯⨯⨯=，c ∴=故选:D. 点评：本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角C 的正弦值余弦值. 10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=L （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2答案：C首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 解：由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-， 而()()330f x f x --+-=， 所以()()33f x f x -=+， 所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =， 所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-， ()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=， 又202063364=⨯+，所以()()()()1232020f f f f ++++=L ()()()()12341f f f f +++=. 故选：C 点评：本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.11．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B CD答案：D作出图象，取AB 中点E ，连接EF 2，设F 1A ＝x ，根据双曲线定义可得x ＝2a ，再由勾股定理可得到c 2＝7a 2，进而得到e 的值解：解：取AB 中点E ，连接EF 2，则由已知可得BF 1⊥EF 2，F 1A ＝AE ＝EB ， 设F 1A ＝x ，则由双曲线定义可得AF 2＝2a +x ，BF 1﹣BF 2＝3x ﹣2a ﹣x ＝2a ， 所以x ＝2a ，则EF 2＝23a ，由勾股定理可得（4a ）2+（23a ）2＝（2c ）2， 所以c 2＝7a 2， 则e 7ca== 故选：D ．点评：本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有,,a b c 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率.12．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1答案：B先根据导数的几何意义写出()f x 在,A B 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出()122112x a x e =-，令函数()()()22102xg x x e x =-≤ ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案. 解：解：当0x ≤ 时，()2f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =-则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点， 当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x <<. 则()f x 在A 处的切线方程为()()()2111121y x x a x x x -++=+-；()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-.由两切线重合可知 21221ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤.不妨设()()()22102xg x x e x =-≤ 则()()22',''12xxg x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22x = 则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-. 故选:B. 点评：本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出a 和x 的函数关系式.本题的易错点是计算.二、填空题13．已知x ，y 满足约束条件0122x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则32z x y =+的最小值为______．答案：2作出可行域，平移基准直线320x y +=到()0,1处，求得z 的最小值. 解：画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线320x y +=到()0,1处时，z 取得最小值为2. 故答案为：2。
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湖南省三湘名校2020届高三第二次大联考数学理试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已经集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，先求出集合，，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，则，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.复数的共轭复数为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】∵＝=∴复数的共轭复数＝1+i．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数概念和复数模的求法．3.下列有关命题的说法正确的是A. 若为假命题，则均为假命题B. 是的必要不充分条件C. 命题若则的逆否命题为真命题D. 命题使得的否定是：均有【答案】C【解析】【分析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】A. 若为假命题，则中至少有一个假命题，所以该选项是错误的；B. 是的充分不必要条件，因为由得到“x=-1或x=6”，所以该选项是错误的；C. 命题若则的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；D. 命题使得的否定是：均有，所以该选项是错误的.故答案为：C【点睛】本题主要考查复合命题的真假和充要条件的判断，考查逆否命题及其真假，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2018项和为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a4=4，S5=15，可得a1=d=1，可得a n，利用裂项相消法求解数列的和即可．【详解】设等差数列{a n}的公差为d,a4=4，∴d=1，a4=a1+3d=4，解得a1=d=1，∴a n=1+（n-1）=n．∴=，则数列的前2018项和为故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式、主要考查分式“裂项相消求和”方法，考查了推理能力与计算能力．5.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案A. 81种B. 256种C. 24种D. 36种【答案】D【解析】【分析】分配的方法分为两步求解，先将四位老师分为三组，再分到三个班，由乘法原理求解即可计算出答案. 【详解】第一步，将4名老师分成三组，不同的分法种数是C42=6种第二步，分到三个班的不同分法有A33=6种故不同的分配方案为6×6=36种故选：D．【点睛】排列组合的应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．6.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（素数即质数，，计算结果取整数）A. 1089B. 1086C. 434D. 145【答案】B【解析】【分析】由题意可知10000以内的素数的个数为，计算即可得到答案.【详解】由题可知小于数字的素数个数大约可以表示为，则10000以内的素数的个数为===2500，故选：B.【点睛】本题考查对数运算性质的简单应用，考查学生的审题能力.7.已知满足，且，则的最小值为（）A. B. C. D. 10【答案】C【解析】满足，即，∴.则，令,则,在上单调递减;在上单调递增..∴n=6时,f(x)取得最小值,因此的最小值为.故选C.8.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，则组合体的体积：.本题选择B选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．9.已知直线，，点P为抛物线上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为A. 2B.C. 1D.【答案】B【解析】【分析】是抛物线的准线，利用抛物线的定义可把到准线的距离转化为到焦点的距离，故可得到两条直线的距离之和的最小值就是焦点到直线的距离.【详解】抛物线，其焦点坐标，准线为也就是直线，故到直线的距离就是到的距离.如图所示，设到直线的距离为，则，当且仅当三点共线时等号成立，故选B.【点睛】抛物线上的动点满足到焦点的距离等于它到准线的距离，我们常常利用这个性质实现两类距离的转换.10.已知，满足约束条件，若的取值集合为，且，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，求出最优解，然后推出m的范围．【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中，，，的最值一定在顶点处取到，所以，解得：【点睛】简单的线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值．11.已知函数，若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是A. -1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出图像, 由已知得，令t=,用t表示出两个实数根，，然后令g(t)，对函数g(t)求导即可得到所求最大值.【详解】作出的函数图像如图所示：由可得，∴，即.不防设，则，令，则，，∴，令，则，∴当时，，当时，，∴当时，取得最大值.【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查了数形结合的思想方法应用，属于中档题．12.已知函数，，对任意的恒有，且在区间上有且只有一个使得，则的最大值为A. B. 8 C. D.【答案】C【解析】【分析】由知为函数对称中心，为函数对称轴，从而得到，要使f（x）在区间上有且只有一个最大值，且要求ω最大，则包含的周期应该最多，所以得到0＜ω≤8，从而可得k≤4，然后分别取k=4，k=3进行检验即可得ω最大值．【详解】由题意知，，，则，，，其中，，故与同为奇数或同为偶数.在上有且只有一个最大值，且要求最大，则区间包含的周期应该最多，所以，得，即，所以当时，，为偶数，，此时，当或或时，都成立，舍去；当时，，为奇数，，此时，当且仅当时，成立. 【点睛】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，考查分类讨论的数学思想方法．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知倾斜角为的直线的斜率等于双曲线的离心率，则__________．【答案】【解析】【分析】求出双曲线的离心率e，由已知得，再由诱导公式和同角三角函数关系式即可得到答案.【详解】由知双曲线的离心率e=2,即=2，且倾斜角，所以，则= .故答案为：.【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式的应用，同时考查了双曲线离心率的求法，属于基础题.14.在区间内任取一个实数，在区间内任取一个实数，则点位于曲线的图像上方的概率为__________．【答案】【解析】【分析】由已知点，利用定积分求出长方形内位于y=e x上方的面积，根据几何概型的概率公式可求出答案.【详解】由题意在区间[0，1]内任取一个实数x，在区间[0，3]内任取一个实数y，则（x，y）满足的区域是一个长方形且面积为3，在此范围内位于y=e x上方部分的面积为，则所求概率为．故答案为：．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据积分的知识求出对应的面积是解决本题的关键．15.如图，在同一平面内，点位于两平行直线，同侧，且到，的距离分别为1，2.点，分别在，上，，则的最大值为__________．【答案】6【解析】【分析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量，，根据求出的解析式，再利用基本不等式即可求出最大值．【详解】解：过点作的垂线为轴，以为轴，建立平面直角坐标系，，，，设，，所以，，，由，可知，∴或，【点睛】本题主要考查平面向量的数量积公式以及向量坐标形式的运算问题，同时考查了利用基本不等式求函数的最值.16.如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，是线段上的点，且，若、分别为线段、上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】连接B1D1交EF于G，通过证明 EF⊥平面B1D1DB可知EF⊥PG，从而PM的最小值为PG，连接BD，设其中点为H，通过△D1DB≌△D1C1B，得到PN=PH，由GH交BD1于K，则当P为K时，PM+PN取得最小值，所求最小值为GH，即可得出结论．【详解】解：首先的最小值就是到的距离.连接交于，连接，则平面，故，从而的最小值，可知为的中点，为的四分之一.其次，连接，在线段上取点，使，连接，则，从而，最后，连接交于，则当为时，取得最小值，所求最小值为.∵正方体的棱长为2，∴.【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查学生分析解决问题的能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.在中，角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）若为边上的点，且，求的长.【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)CD = 13．【解析】试题分析:（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简可得，最后根据两角和余弦公式求的值；（2）先根据正弦定理求得BD，再根据余弦定理求的长.试题解析：(Ⅰ)解：由得：即∵A、B、C是△ABC的内角，∴因此，，又，故由得：∴(Ⅱ)解：由得：由正弦定理得：，∴在△BCD中，∴CD = 13．18.如图，菱形与正所在平面互相垂直，平面，，.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明过程详见解析（2）【解析】【分析】（1）过点作于，由面面垂直的性质可知平面，又平面，可得，即四边形为平行四边形，得到线线平行，从而得到线面平行；（2）分别以，，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案.【详解】解：（1）如图，过点作于，连接EH，∴.∵平面平面，平面，平面平面于∴ 平面.又∵平面，.∴，∴四边形为平行四边形. ∴，∵平面，平面，∴平面.（2）连接.由（1）得为中点，又，为等边三角形，∴.分别以，，为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，.，，，设平面的法向量为.由，得令，得.，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的判定定理和利用空间向量求线面角，利用空间向量解题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，当时，产品为一等品；当时，产品为二等品；当时，产品为三等品.现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果.（以下均视频率为概率）甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：乙生产线产生的产品的质量指标值的频数分布表：（1）若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率；（2）若该产品的利润率与质量指标值满足关系：，其中，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由.【答案】（1）（2）甲【解析】【分析】（1）先求出随机抽取一次抽中三等品的概率，然后利用互斥事件的概率公式计算所求概率值；（2）分别计算甲、乙生产线生产产品的利润分布列，作差比较大小即可得到结论.【详解】解：（1）由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为，所以.（2）甲生产线生产的产品的利润分布列为所以，乙生产线生产的产品的利润分布列为所以，因为，所以所以从长期来看，甲生产线生产的产品平均利润率较大．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法.20.已知椭圆的离心率为，其上焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点.试探究以线段为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】（1）由椭圆离心率结合得到a,b,c之间的关系，计算焦点到直线的距离得到a,b的值，从而得到椭圆方程;（2）当直线l斜率不存在时，得到为直径的圆的方程，当直线l斜率为0时，得到为直径的圆的方程，从而得到两圆的交点Q，然后只需证明当直线的斜率存在且不为0时为直径的圆恒过点Q即可.【详解】解：（1）由题意，，，所以，.又，，所以，，故椭圆的方程为（2）当轴时，以为直径的圆的方程为当轴时，以为直径的圆的方程为.可得两圆交点为．由此可知，若以为直径的圆恒过定点，则该定点必为．下证符合题意．设直线的斜率存在，且不为0，则方程为，代入并整理得，设，，则，，所以故，即在以为直径的圆上．综上，以为直径的圆恒过定点．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.已知函数.（1）求函数在区间上的最大值；（2）证明：，.【答案】（1）（2）证明过程详见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，判断单调性，由单调性即可得到函数的最值;（2）由题意可知只需证明结合（1）的单调性和最值即可得到证明.【详解】解：（1），，知：在和上递减，在上递增，当时，；当时，，故（2）由（1）知在和上递减，在上递增，①当时，，而，故在上递增，∴，∴，即；②当时，，令，则，故在上递增，上递减，∴∴，即，综上，，.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值和证明不等式问题,考查学生的综合分析能力.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出|AB|．【详解】（1）∵，∴，∴曲线C的直角坐标方程为．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴．∴直线l的极坐标方程为．（2）将代入曲线C的极坐标方程得，∴A点的极坐标为．将代入直线l的极坐标方程得，解得．∴B点的极坐标为，∴．【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】(1)去掉绝对值得到分段函数形式，分段求解即可；（2），根据绝对值三角不等式求得最值.【详解】（1） ,或或，解得：或或无解，综上，不等式的解集是（2），当时等号成立，不等式有解，，或，即或，实数的取值范围是或【点睛】这个题目考查了绝对值不等式的解法，通常是去掉绝对值分段解决；考查到了绝对值三角不等式求最值的应用，不等式求最值常见的做法有绝对值三角不等式的应用，均值不等式的应用.。