3.2独立性检验的基本思想及其初步应用(2课时选修2-3)

P(k≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
解：假设H 0 : 吸烟与患肺癌没有关系 K 的观测值为 9965(7775 49 42 2099) 2 k 56.632 7817 2148 9874 91 根据临界值表可知P( K 2 10.828) 0.001 56.631远大于10.828，所以有理由判断H 0不成立， 所以吸烟与患癌症有关系。
这一结论只适用于被调查的学校





练习： 1 ．调查男女学生购买食品时是否看出厂 日期与性别有无关系时，最有说服力的是 ( ) A．期望 B．方差 C．正态分布 D．独立性检验 [答案] D

2．10名学生在一次数学考试中的成绩如 下表：
分数 人数 100 2 115 4 120 3 125 1
男生 女生 合计 关心 182 176 358 不关心 18 24 42 合计 200 200 400
[解析]
假设 H0：学生对国家大事关心与否与性别无
400×(182×24－18×176)2 关，则由公式及数据得 k＝ 358×42×200×200 ≈0.9577，因为 k≈0.9577<2.706，所以不能拒绝 H0，因此 我们没有充分理由说学生是否关心国家大事与性别有关．
不吸烟 吸烟 总计 不患肺癌 7775 2099 9874 患肺癌 42 49 91 总计 7817 2148 9965
等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。
从上面数据和图形可以看出吸烟和患肺癌有关
我们能够有多大的把握认为“吸烟与患 肺癌有关”？
吸烟
患肺癌
假设
H0：吸烟与患肺癌没有关系 A：不吸烟 B：不患肺癌
4、独立性检验的步骤
第一步：H0： 吸烟和患病之间没有关系 第二步：列出2×2列联表
患病
吸烟 不吸烟 总计 a c a+c
2
不患病
b d b+d
2
总计
a+b c+d a+b+c+d
第三步：计算
n(ad bc) K (a c)(b d )( a b)(c d )
第四步：查对临界值表，作出判断。

[点评] 根据随机变量K2的值判断两分类 变量是否有关的步骤：第一，假设两分类 变量无关，第二，由数据及公式计算K2的 观测值k，第三，将k的值与临界值比较得 出结论．
1、能够通过等高条形图估计两个分类变量
之间是否有关系
2 K 2、利用 判断处两个分类变量之间是否有
关系
3、了解独立性检验的思想
作业P97
（ 2）
那么这个值到底能告诉我们什么呢？
在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率
即在H0成立的情况下， K2的值大于 6.635的概率非常小，近似 于0.01。 也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量 K2进行多次观 测，观测值超过6.635的频率约为0.01。
P( K 6.635) 0.01.


要研究这10名学生成绩的平均情况，则最 能说明问题的是( ) A．概率 B．期望 C．方差 D．独立性检验 [答案] B

练习：3.下面是一个2×2列联表 y1 y2 合计 x1 a 21 73
x2

7
20
27
( )

41 100 合计 b 则表中a、b处的值分别为 A．94、96 B．52、50 C．52、59 D．54、52 [答案] C
系，是指有5%的可能性使得推理出现错误
D、以上三种说法都不对
反证法原理与假设检验原理 反证法原理：
在一个已知假设 下，如果推出一 个矛盾，就证明 了这个假设不成 立。
假设检验原理：
在一个已知假设 下，如果一个与 该假设矛盾的小 概率事件发生， 就推断这个假设 不成立。
例1:在某医院,因为患心脏病而住院的665名男 性病人中,有214人秃顶,而另外772名不是因为 患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶.分 别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心 脏病是否有关系?能否在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为秃顶与患心脏病有关系?
这种判断可能有错误，但是犯错误的不会超过 0.001，这是个小概率时间，我们有99.9%的把 握认为“吸烟与患癌症有关系”
2
在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确
的是（
c
）
A、若K的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患 肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99个患肺病 B、从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关 系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病 C、若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关
两种变量：
定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。 变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、 宗教信仰、国籍等等。
.
在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系： 这种变量的不同" 值" 表示个体所属的不同 例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 类 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。 别 , 像这类变量称为分类变量 .
课本习题3.2 题1,2
3、独立性检验
2 n ( ad bc ) 随机变量-----卡方统计量 K 2 , (a b)(c d )(a c)(b d )
临界值表
P(K2 k0 ) 0.50
0.40 0.708
其中n a b c d为样本容量。
0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828
吸烟与肺癌列联表
不患肺癌 患肺癌 总计
列联表 .
不吸烟
吸烟 总计
7775
2099 9874
42
49 91
7817
2148 9965
Hale Waihona Puke 在不吸烟者中患肺癌的比重是 0.54% 在吸烟者中患肺癌的比重是 2.28%
说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患 肺癌的可能性大。
通过图形直观判断两个分类变量是否相关： 1、列联表 2、等高条形图
2 2
其中n a b c d为样本容量。
根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值为：
若 H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小。
9965(7775 49 42 2099） k 56.632 7817 2148 9874 91
2
(n=a+b+c+d)
(a+b+c+d)a≈(a+b)(a+c) ad－bc≈0
|ad-bc|越小
|ad-bc|越大
吸烟与患肺癌之间的关系越弱 吸烟与患肺癌之间的关系越强
独立性检验
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分 析，我们构造一个随机变量-----卡方统计量
n(ad bc) K , （1） (a b)(c d )(a c)(b d )
解 根据数据得到如下列联表 秃顶与患心脏病列联表
秃顶 不秃顶 总计 患心脏病 214 451 665 患其他病 175 597 772 总计 389 1048 1437
等高条形图如图3.2.2所示，起其中两个深色条的高分别表示 秃顶和不秃顶样本中患心脏病的频率。比较图中两个深色条 的高可以发现，秃顶样本中患心脏病的频率明显高于不秃顶 样本中患心脏病的频率，因此认为秃顶与患心脏病有关系。
k0
0.455
K 2 10.828
0.1%把握认为A与B无关
1%把握认为A与B无关
99.9%把握认A与B有关 99%把握认为A与B有关 90%把握认为A与B有关
K 2 6.635
K 2 2.706
K 2 2.706
10%把握认为A与B无关
没有充分的依据显示A与B有关，但也不能显示A与B无关
H0 等价于A，B独立等价于P(AB)=P(A) P(B)
吸烟与患肺癌列联表
不吸烟 吸烟 总计 不患肺癌 a c a+c 患肺癌 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d
a:事件AB发生的频数 a+b:事件A发生的频数 a+c:事件B发生的频数
H0成立时
a ab ac n n n
等高条形图
1437 214 597 175 451 2 K 16.373 6.635 3891048 665 772
2
有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”， 因此，在犯错误不超过0.01的前提下认为 秃顶与患心脏病有关。 这组数据来自住院的病人,因此所 得到的结论适合住院的病人群体.
研究两个变量的相关关系：
定量变量——回归分析（画散点图、相关系数r、 变量 相关指数R 2、残差分析） 分类变量—— 独立性检验
本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。
探究
像 这 样列出的两个分类变量的 频数表 , 称为
为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机 地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）
温馨提示
研究人员表示，掉头发在很 大程度上是由日渐增大的工 作压力、不能充分休息、不 正确饮食和睡眠不足等因素 引起的。在接受调查的人群 中，有41%的受秃头威胁的 人表示，他们一日睡觉时间 不足4小时.