平面向量的向量表示四种策略
平面向量的基本运算法则
平面向量的基本运算法则平面向量是在平面上具有大小和方向的量，它在数学和物理中都有广泛的应用。
对于平面向量，有一些基本的运算法则需要掌握。
一、平面向量的表示方法表示一个平面向量可以使用坐标表示法或者矢量表示法。
1. 坐标表示法：假设平面上有一个点P，以原点O为起点，连接OP，并将OP表示为一个有向线段，那么OP就是一个平面向量。
通常用大写字母表示向量，比如向量OP可以表示为向量OQ = (x, y)。
2. 矢量表示法：平面向量还可以使用矢量符号表示，比如向量OP 可以表示为向量→OP。
二、平面向量的基本运算包括加法、减法、数乘和数量积。
1. 加法：设有两个平面向量→AB和→CD，它们的和表示为→AB+→CD，即将两个向量的起点对齐，连接终点即可得到它们的和向量→AD。
2. 减法：设有两个平面向量→AB和→CD，它们的差表示为→AB-→CD，即将被减向量→CD取反，然后按照加法法则相加，即→AB+(-→CD)。
3. 数乘：设有一个平面向量→AB，它与一个实数k的乘积表示为k→AB，即将向量→AB的长度乘以实数k，方向不变。
4. 数量积：设有两个平面向量→AB和→CD，它们的数量积表示为→AB·→CD，即将两个向量的模长相乘再乘以它们夹角的余弦值。
如果→AB和→CD垂直，它们的数量积为0；如果夹角为锐角，它们的数量积为正；如果夹角为钝角，它们的数量积为负。
三、平面向量基本运算法则的性质平面向量的基本运算法则满足一些重要的性质。
1. 交换律：对于加法和数量积来说，交换向量的顺序不改变运算结果，即→AB+→CD = →CD+→AB，→AB·→CD = →CD·→AB。
2. 结合律：对于加法来说，可以将多个向量的和分成多个组，然后先对每组中的向量进行加法运算，再将每组的运算结果进行加法运算，结果是相同的。
3. 分配律：对于加法和数乘来说，分配律成立，即k(→AB+→CD)= k→AB+k→CD，(k+m)→AB = k→AB+m→AB。
向量方法在解析几何问题中的运用及其解题策略
向量方法在解析几何问题中的运用及其解题策略
向量方法是解析几何中非常重要的工具。
向量本身是一个有方向和大小的量，可以用来表示空间中的点，直线，平面等等。
在解析几何中，向量一般用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
通过向量的定义和性质，我们可以很方便地解决解析几何中的各种问题。
在解析几何中，向量常常被用来表示空间中的点，直线，平面等等。
例如，在平面直角坐标系中，我们可以用向量表示点A和点B的坐标，然后通过向量的减法，计算出AB的向量，从而求出AB的中点，AB的长度等等。
此外，在解析几
何中，向量还可以表示直线的方向向量和法向量，从而可以求出两条直线的夹角，直线的距离等等。
对于平面与平面之间的相交问题，向量方法也比较简单直观，只需要求出两个平面的法向量，然后计算它们的夹角，就可以得出它们的交线。
在解析几何中，使用向量方法解题，需要注意一些策略。
首先要熟练掌握向量的基本定义和运算规律，理解向量的几何意义。
其次，要注意在选择坐标系的时候，应选择一个合适的坐标系，便于计算。
例如，一些问题可以通过建立三角形的重
心坐标系、中线坐标系等等来简化计算。
还要注意，在使用向量方法解决问题时，要善于联立方程，理清思路，从而得到正确的答案。
总之，向量方法在解析几何中具有重要的应用价值，通过掌握向量的定义和运算规律，以及注意解题策略，可以很方便地解决各种解析几何中的问题。
平面向量解题方法完全归纳与总结
平面向量解题方法完全归纳与总结
平面向量解题方法完全归纳与总结！
1、基底法
在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.
2、平方法
在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律
3、投影法
①我们可以理解成：两向量的数量积等于他们各自的模长，乘以它们夹角的余弦值；
②也可以理解成：两向量的数量积等于其中一个向量的模长，乘以另外一个向量在它上面的投影；
4、坐标法
几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。
只要题目中给出了向量之间的夹角就可以考虑使用坐标来处理向量问题。
5、数形结合法
在处理一些平面向量的问题时，需要利用图形，结合向量的运算法则，综合分析，来处理一些动态变化问题。
这类问题主要包含：圆上动点、直线上动点等。
6、三点共线结论及其推广
7、绝对值不等式
8、极化恒等式
9、等和线
以上就是老师对高中数学向量这一板块的解题方法汇总总结，这
些方法足以应付高中数学中出现的向量题型，当然有同学想要更深入一些关于向量的解题方法的话还需要学习三角形与向量的五心相关知识，更高层次的还有复数与向量结合这种强基计划或者竞赛中的一些知识，这些我们在后期的一些文章当中会涉及。
我们这个自媒体主要服务于高中生数学，高考数学，强基计划、数学竞赛，大家有兴趣可以关注一下我们，我们上的都是一些干货，绝对不会让你失望！。
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是研究平面几何和向量代数的重要概念之一。
平面向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和向量的数量积等。
本文将详细介绍平面向量的运算规则和相关性质。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用字母加上一个带箭头的小写字母来表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
平面向量可以用坐标表示、顶点表示和分解成基本单位向量表示等多种方式。
1. 坐标表示法：平面向量在坐标系中的表示方法为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
2. 顶点表示法：平面向量也可以用顶点表示法表示，即用向量的起点A和终点B表示向量，如AB→。
3. 分解成基本单位向量表示法：平面向量可以分解成基本单位向量i和j的线性组合，即A→ = a·i+ b·j。
二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→+B→=(a1+b1, a2+b2)。
三、平面向量的减法平面向量的减法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→-B→=(a1-b1, a2-b2)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法满足以下规则：设有一个向量A→=(a1, a2)和一个实数k，则kA→=(ka1, ka2)。
五、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为A→·B→或(A, B)。
数量积的计算公式如下：A→·B→=|A→|·|B→|·cosθ其中，|A→|和|B→|分别表示向量A→和B→的模长，θ表示向量A→和B→之间的夹角。
根据数量积的计算公式，可以得到一些重要的性质：1. 若A→·B→=0，则向量A→和B→垂直。
2. 若A→·B→>0，则向量A→和B→的夹角为锐角。
3. 若A→·B→<0，则向量A→和B→的夹角为钝角。
向量的四种写法
向量的四种写法
向量是数学中一个非常重要的概念，它可以用来描述很多物理和几何问题。
在数学中，向量有四种常见的写法，它们分别是：
1.坐标表示法
在坐标表示法中，向量被表示成一组有序数对，也就是 n 元有序组。
这些数对表示了向量在每个坐标轴上的分量。
例如，向量 a = (4, 3) 表示这个向量在 x 轴上有 4 的分量，在 y 轴上有 3 的分量。
2.分量表示法
在分量表示法中，向量被写成一个有序数组，这个数组的每个元素都表示向量在相应坐标轴上的分量。
例如，向量 b = [5, 2] 表示这个向量在 x 轴上有 5 的分量，在 y 轴上有 2 的分量。
3.矩阵表示法
在矩阵表示法中，向量被认为是一个矩阵的一行或一列。
如果我们把一个向量 a = (4, 3) 写成一个行向量，那么它可以表示为 a = [4, 3]。
如果我们把它写成一个列向量，那么它可以表示为 a = [[4], [3]]
4.几何向量表示法
在几何向量表示法中，向量被认为是一个带有箭头的对象。
这个箭头表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
例如，向量 c 可以表示成一条从原点出发的箭头，其长度为 5，方向为 30 度。
以上就是向量的四种常见表示法。
每种表示法都有其独特的优点和用处，在不同的数学问题中，我们可能会用到不同的表示法。
各种表示
法之间可以进行转换，这些转换的公式可以在数学中找到。
对于学习
和掌握向量概念非常重要的同学们，希望这篇文章能起到帮助的作用。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量是二维的有方向和大小的量，通常用箭头表示。
在平面上，我们可以进行平面向量的加法、减法、数乘、点乘和叉乘等运算，下面将详细介绍这些运算法则。
1.平面向量的加法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其加法运算为：⃗A+⃗B=⃗C，其中C是由A和B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
加法满足以下性质：-交换律：⃗A+⃗B=⃗B+⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)+⃗C=⃗A+(⃗B+⃗C)2.平面向量的减法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其减法运算为：⃗A-⃗⃗B=⃗C，其中C是由A的箭头指向B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
3.平面向量的数乘：设有平面向量A和实数k，表示为⃗A和k，其数乘运算为：k⃗A=⃗B，其中B的大小等于A的大小乘以k，方向与A相同（若k>0），或相反（若k<0）。
数乘满足以下性质：- 结合律：k(l⃗A) = (kl)⃗A-分配律：(k+l)⃗A=k⃗A+l⃗A4.平面向量的点乘（数量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其点乘运算为：⃗A · ⃗B = ABcosθ，其中A和B的夹角θ的余弦值等于点乘结果与两个向量大小的乘积的商。
点乘满足以下性质：-交换律：⃗A·⃗B=⃗B·⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)·⃗C=⃗A·⃗C+⃗B·⃗C-数乘结合律：(k⃗A)·⃗B=k(⃗A·⃗B)特殊情况下：-若⃗A与⃗B垂直，即⃗A·⃗B=0，则称⃗A与⃗B是正交的或垂直的。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B>0，则夹角θ为锐角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B=0，则夹角θ为直角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B<0，则夹角θ为钝角。
5.平面向量的叉乘（向量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其叉乘运算为⃗A × ⃗B = nABsinθ⃗n，其中n为垂直于A和B所在平面的单位向量，θ为A和B 的夹角。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则在数学中，平面向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。
平面向量有许多运算法则，包括相加、相减、数量乘法等。
1. 平面向量的表示方法平面向量通常用坐标表示，形式为 (x, y) 或 i*x + j*y，x、y分别表示向量在x轴和y轴上的分量，i和j是单位向量。
2. 平面向量的相加设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
则 A + B 的坐标表示为 (x1 + x2, y1 + y2)。
3. 平面向量的相减设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
则 A - B 的坐标表示为 (x1 - x2, y1 - y2)。
4. 平面向量的数量乘法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为实数。
则 kA 的坐标表示为 (k*x, k*y)。
5. 平面向量的数量除法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为非零实数。
则A/k 的坐标表示为 (x/k, y/k)。
6. 平面向量的数量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
两个向量的数量积为 A·B = x1*x2 + y1*y2，是一个数量。
7. 平面向量的向量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
两个向量的向量积为 A×B = x1*y2 - x2*y1，是一个向量。
8. 平面向量的模长一个平面向量 A 的模长表示为 |A|，计算公式为|A| = √(x^2 + y^2)，其中 x 和 y 分别为向量 A 在 x 轴和 y 轴上的分量。
9. 平面向量的数量积与夹角设有两个非零平面向量 A 和 B，它们之间的夹角θ 满足以下公式：cosθ = (A·B) / (|A|*|B|)。
初二数学平面向量的表示方法
初二数学平面向量的表示方法数学中，平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
平面向量可以通过多种方式进行表示和描述。
本文将介绍初中数学中常用的平面向量表示方法。
1. 位置向量表示法位置向量也称为坐标向量，是用来表示平面上的点的向量。
假设平面上有一点P，其坐标为(x, y)，那么以原点O为起点，P为终点的向量记作OP。
根据向量的性质，我们可以得到OP的坐标向量表示为OP = (x, y)。
2. 等大同向向量表示法等大同向向量是指模大小相等且方向相同的向量。
我们可以使用一个向量的倍数来表示等大同向向量。
例如，向量a = (x, y)，则其倍数2a = (2x, 2y) 也是等大同向量。
3. 相等向量表示法相等向量是指模大小相等且方向相同的向量。
两个向量相等的条件是它们的坐标分量相等。
例如，向量a = (x1, y1) 和向量b = (x2, y2) 如果满足x1 = x2 且y1 = y2，那么向量a等于向量b，记作a = b。
4. 零向量表示法零向量是指模大小为0的向量，方向可以是任意的。
通常用0来表示零向量。
零向量的所有坐标分量均为0，即(0, 0)。
5. 自由向量表示法自由向量是指既不是位置向量也不是位移向量的向量。
自由向量的起点可以是平面上的任意点，终点可以在平面上的任意位置。
自由向量的表示通常用字母表示，例如向量a、向量b等。
6. 共线向量表示法共线向量是指方向相同或相反的向量。
共线向量可以相互表示为倍数关系。
例如，向量a和向量b共线且同向，那么存在一个数k，使得a = kb。
同理，如果a和b共线但方向相反，那么存在一个数k，使得a = -kb。
7. 区位向量表示法区位向量是指以平面上的一个点为起点，另一点为终点的有向线段的向量。
区位向量表示了两点之间的位移，它与起点的选择无关。
例如，向量AB表示了从点A到点B的位移。
总结：初中数学中，平面向量的表示方法有位置向量表示法、等大同向向量表示法、相等向量表示法、零向量表示法、自由向量表示法、共线向量表示法和区位向量表示法。
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平面向量的向量表示四种策略
平面向量基本定理；如果1e →+2e →
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量→
a ，有且只有一对数数λ1，λ2，满足→
a =λ
11e →
+λ
22e →
，称λ
11e →
λ+λ
22e →为1e →
，
2e →
的线性组合。
根据平面向量基本定理，任一向量→
a 与有序数对(λ1,λ2)一一对应，称(λ1,λ2)为→
a 在
基底{1e →，2e →}下的坐标，当取{1e →，2e →
}为单位正交基底{→
i ，→
j }时定义(λ1，λ2)为向量→
a 的平面直角坐标。
下面我们谈谈用基向量表示向量的四种策略. 策略1.构造法
例1、如图，→--OA ，→--OB 为单位向量，→--OA 与→
--OB 夹角为1200
， →--OC 与→
--OA 的夹角为450
，|→--OC |=5，用→--OA ，→--OB 表示→
--OC 。
解析：以→--OA ，→--OB 为邻边，→
--OC 为对角线构造平行四边形
把向量→--OC 在→--OA ，→--OB 方向上进行分解，如图，设→--OE =λ→--OA ，→
--OD =μ→
--OB ，λ>0，μ>0
则→--OC =λ→--OA +μ→
--OB ∵ |→--OA |=|→
--OB |=1 ∴ λ=|→--OE |，μ=|→
--OD | △OEC 中，∠E=600
，∠OCE=750
，由
45
sin |CE |60
sin |OC |75
sin |OE |→
--→
--→
--=
=
得：
6)
623(560sin 75sin |OC ||OE |00
+=
=
→
--→
--
3
6
560sin 45sin |OC ||CE |0
=
=→
--→
-- ∴ 3
6
5,6)623(5=μ+=
λ
∴ →
--→--→
--++=
OB 3
65OA 6)623(5OC
说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常
通过构造平行四边形来处理.
策略2. 数形结合
例2、求与向量→
a =3(，-1）和→
b =（1，3）夹角相等，且模为2的向量→
c 的坐标。
解析：从分析形的特征着手
∵ |→
a |=|→
b |=2, →
a ·→
b =0 ∴ △AOB 为等腰直角三角形，如图 ∵ |→--OC |=2，∠AOC=∠BOC ∴ C 为AB 中点 ∴ C （
2
1
3,213-+） 说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。
策略3. 方程(组)思想
例3、已知△ABC 中，A （2，-1），B （3，2），C （-3，-1），BC 边上的高为AD ，求点D 和向量→
--AD 坐标。
解析：设D （x ，y ），则→
--AD =（x-2，y+1） ∵→--BC =（-6，-3），→--AD ·→
--BC =0
∴ -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0 ① ∵→
--BD =(x-3，y-2)，→--BC ∥→
--BD
∴ -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0 ② 由①②得：⎩
⎨⎧==1y 1
x
∴ D （1，1），→
--AD =（-1，2） 说明：本题运用了解方程组思想. 策略4.运用基本定理
例4、在△OAB 的边OA 、OB 上分别取点M 、N ，使|→
--OM |∶|→--OA |=1∶3，|→--ON |∶|→
--OB |=1∶4，设线段AN 与BM 交于点P ，记→--OA = →a ，→--OB =→b ，用 →a ，→b 表示向量→
--OP 。
解析：∵ B 、P 、M 共线,∴ 记→--BP =s →
--PM
∴ →→→--→--→--→--→
--+++=+++=+++=
a )
s 1(3s b s 11OA )s 1(3s OB s 11OM s 1s OB s 11OP ① 同理，记→
--→--=PN t AP
∴ →
--OP =
→→+++b )
t 1(4t
a t 11 ② ∵ →
a ,→
b 不共线
∴ 由①②得⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧+=++=+)
t 1(4t s 11)s 1(3s t 11解之得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==38t 29s
∴ →
→→
--+=b 11
2a 118OP
说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s ，t ）是常用技巧之一。
平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s ，t 的方程。
练习
1、平面上A （-2，1），B （1，4），D （4，-3），C 点满足2
1AC =→
--→
--CB ，连DC 并延长至
E ，使|→
--CE |=
4
1|→
--ED |，则点E 坐标为： A 、（-8，35-
） B 、（311,38-） C 、（0，1） D 、（0，1）或（2，3
11） 2、△OAB 中，→
--OA =→
a ，→
--OB =→
b ，→
--OP =→
p ，若→
p =)|
b |b
|
a |a
(
t →
→
→
→
+
，t ∈R ，则点P 在
A 、∠AO
B 平分线所在直线上 B 、线段AB 中垂线上
C 、AB 边所在直线上
D 、AB 边的中线上
3、正方形PQRS 对角线交点为M ，坐标原点O 不在正方形内部，且→--OP =（0，3），→
--OS =（4，0），则→
--RM =
A 、（21,27--）
B 、
（21,27） C 、（7，4） D 、（2
7
,27） 答案:
1. B 2、A 3、A。