高中数学必修公式大全
高中数学所有公式大总结
高中数学所有公式大总结高中数学涉及的公式很多，不同的章节和知识点都有对应的公式，掌握这些公式是解题的基础。
下面将对高中数学中常用的各个章节的公式进行总结。
1. 代数基本公式：- 二次方程的根公式：对于二次方程ax^2+bx+c=0，根的公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
- 一次方程求解公式：对于一次方程ax+b=0，解为x=-b/a。
- 直线的斜率公式：对于直线y=kx+b，其斜率为k。
- 等差数列通项公式：对于等差数列an=a1+(n-1)d，其中an表示第n个数，a1表示首项，d表示公差。
- 等比数列通项公式：对于等比数列an=a1*r^(n-1)，其中an表示第n个数，a1表示首项，r表示公比。
2. 平面几何公式：- 长方形面积公式：面积为长乘以宽，即A=lw。
- 正方形面积公式：面积为边长的平方，即A=s^2。
- 三角形面积公式：面积为底乘以高的一半，即A=1/2bh。
- 三角形海伦公式：对于已知三角形三边长a、b、c，其面积可以由海伦公式计算：A=√(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s为半周长(s=(a+b+c)/2)。
- 直角三角形勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2+b^2=c^2。
3. 解析几何公式：- 两点之间的距离公式：对于平面上两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，两点之间的距离为d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。
- 点到直线的距离公式：对于直线Ax+By+C=0和平面上的点P(x0, y0)，点P 到直线的距离为d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)。
- 两直线夹角的余弦公式：对于直线y=k1x+b1和直线y=k2x+b2，两直线夹角的余弦为cosθ=(k1k2+1)/√((k1^2+1)(k2^2+1))。
4. 概率与统计公式：- 事件的概率公式：对于事件A，其概率表示为P(A)。
人教版高中数学必修1至必修5公式
必修二：
直线与方程
1）直线的倾斜角
3
人教版高中数学必修一至必修五公式（必会）
定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾
斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k tan 。斜
log a m n log am b n
n log a m
n m
log a
b
(a、b、m
0，n
R, 且a
1)
,
log a
b
log c log c
b a
(a、b、c
0, 且a、c
1)
(换底公式)
函数图像（必须熟）
表1
y ax a 0, a 1
指数函数
定义域 值域
xR
y 0,
对数数函数 y log a x a 0, a 1
○1 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
d C1 C2 ( A、B都相等）
○2 设直线 l1 Ax By C1 0, l2 Ax By C2 ; 则两点间的距离为
A2 B2
二、圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
(a b c)2 a 2 b2 c 2 2ab 2bc 2ac ; (a b c)2 a 2 b2 c 2 2ab 2bc 2ac (a b c)2 a 2 b2 c 2 2ab 2bc 2ac ; (a b c)2 a 2 b2 c 2 2ab 2bc 2ac
高中数学会考必修公式总结大全
高中数学会考必修公式总结大全作为高中数学的重要组成部分，会考必修公式的掌握对于学生的数学成绩至关重要。
本文将总结高中数学会考必修的公式，帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。
一、有理数运算公式1. 加法交换律：a+b=b+a2. 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)3. 减法法则：a-b-c=a-(b+c)4. 乘法交换律：ab=ba5. 乘法结合律：(ab)c=a(bc)6. 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc二、数列求和公式1. 等差数列求和：Sn=(a1+an)n/2或Sn=n(a1+an)/22. 等比数列求和：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=A1/(1-q)+An/(1-q)三、基本不等式公式1. 平均值不等式：a+b≥2√ab(当且仅当a=b时等号成立)2. 海伦-秦九韶公式：√(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p=(a+b+c)/2四、几何公式1. 两点之间的距离公式：点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB的长度为|AB|=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]2. 向量加法、减法、数乘运算公式：(1)a=(x,y)，b=(x',y')→a+b=(x+x',y+y')；(2)(c,d)+a=(c+x,d+y)；(3)λa=(λx,λy)；(4)(a-b)·i=x-y，(a-b)·j=xj+yj；3. 圆的方程：圆的一般方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中圆心坐标为(a,b)，半径为r；4. 直线与圆的位置关系判断公式：d<r，则直线与圆相交；d=r，则直线与圆相切；d>r，则直线与圆相离。
五、三角函数公式高中数学会考中，三角函数是非常重要的一部分内容。
以下是一些常见的三角函数公式：1. 正弦函数(sin)：y=sinx；余弦函数(cos)：y=cosx；正切函数(tan)：y=tanx。
高中数学公式及知识点总结大全
高中数学公式及知识点总结大全数学是一门基础学科，对于高中学生来说，掌握好数学公式和知识点至关重要。
以下是高中数学公式及知识点的全面总结，希望对学生们有所帮助。
一、代数1.1 一元一次方程（ax+b=0）- 方程求根公式：x=-b/a- 解方程步骤：去括号、合并同类项、移项、化简、求解1.2 二元一次方程组（ax+by=c，dx+ey=f）- 解方程步骤：消元法、代入法、等系数法、加减消法、图解法1.3 一元二次方程（ax^2+bx+c=0）- 二次根公式：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)- 判别式：Δ=b^2-4ac，当Δ>0时有两个不相等实根，当Δ=0时有两个相等实根，当Δ<0时无实根1.4 二次函数- 标准式：y=ax^2+bx+c- 最值判定：当a>0时，函数的最小值为f(x)=-Δ/(4a)，当a<0时，函数的最大值为f(x)=-Δ/(4a)1.5 不等式- 一元一次不等式：大于（<）、小于（>）、大于等于（≤）、小于等于（≥）- 一元二次不等式：大于、小于、大于等于、小于等于二、平面几何2.1 三角形- 三角形内角和定理：三角形内角和为180度- 三角形外角定理：三角形的外角等于相对内角的补角- 等边三角形：三条边相等，每个内角为60度2.2 圆- 弧度制：一周对应的弧度为2π- 弧长公式：L=θr- 扇形面积公式：S=θr^2/2- 圆的面积公式：S=πr^22.3 直线与坐标- 斜率公式：m=(y2-y1)/(x2-x1)- 点斜式：y-y1=m(x-x1)- 两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)三、立体几何3.1 体积与表面积- 立方体：体积V=a^3，表面积S=6a^2- 圆柱体：体积V=πr^2h，侧面积S=2πrh，表面积S=2πrh+2πr^2 - 球体：体积V=4/3πr^3，表面积S=4πr^2- 锥体：体积V=1/3πr^2h，侧面积S=πrl，底面积S=πr^2，表面积S=πr(r+l)3.2 三视图与投影- 正交投影：俯视图、正视图、左视图、右视图、前视图、后视图- 等轴投影：正等轴投影、侧等轴投影、俯等轴投影四、概率与统计4.1 概率- 事件概率：P(A)=n(A)/n(S)- 加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)- 乘法公式：P(A∩B)=P(A)P(B|A)4.2 统计- 平均数：算术平均数、几何平均数、调和平均数- 中位数：数据中间的数值- 众数：出现频率最高的数值五、函数与导数5.1 常见函数- 幂函数：y=x^n- 指数函数：y=a^x，其中a>0且a≠1- 对数函数：y=loga(x)，其中a>0且a≠1- 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数5.2 导数- 导数定义：f'(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h- 导数的性质：和法则、差法则、积法则、商法则、链式法则以上是高中数学公式及知识点的全面总结，包括代数、平面几何、立体几何、概率与统计、函数与导数等内容。
高一数学必修一所有公式归纳
高一数学必修一所有公式归纳高一数学必修一所有公式归纳是如下：1、锐角三角函数公式：sinα=∠α的对边/斜边。
2、三倍角公式：sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)。
3、辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)。
4、降幂公式：sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2。
5、推导公式：tanα+cotα=2/sin2α。
数学必修一数学公式如下：1、2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)。
2、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)。
3、cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a。
4、tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)。
5、-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB。
数学必修一公式归纳：一、指数与指数幂的运算1、根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈*.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
注意：当是奇数时，当是偶数时。
2、分数指数幂。
正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.3、实数指数幂的运算性质。
高中数学必备的289个公式
(2)f(x+a)=-f(x)⇒T=2a;
(3)f(x+a)=±f(x)⇒T=2a
43.对称轴标志:f(x+a)=-f(b-x)⇒对称中心为(a+b,0);
如常见的对称中心有:f(x+a)=-f(a-x)⇒对称中心为(a,0);f(x+1)=-f(1-x)⇒对称 中心为(1,0).
16.不等式相同性:任意x∈D,证明:
f(x)>g(x)⇔h(x)=f(x)-g(x)>0⇔h(x)min>0;
存在x∈D,证明:f(x)≤g(x)⇔h(x)=f(x)-g(x)≤0⇔h(x)min≤0.
17.不等式相异性:任意x1、x2∈D,证明:f(x1)<g(x2)⇔x∈D,f(x)max<g(x)min;存在x1、x2∈D,证明:f(x1)>g(x2)⇔x∈D,f(x)max>g(x)min.
第2章函数
31.几个近似值:2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236,
π≈3.142,e≈2.718,e2≈7.389,
ln3≈1.0986,ln2≈0.693.32.指数公式:(1)am=man;(2)nan={|a|,n为偶数.
33.对数公式:
(1)ax=N⇔x=logaN;(2)alogaN=N;
x1+y1x2+y2≥x1x2+y1y2.
(1+x)n≥xn+nx;n≥1(1+x)n≤1+nx;0≤n≤1
86.洛必达法则:limf(x)=limf'(x)(当f(x)→0或∞时使用).
87.恒成立问题:(1)a≥f(x)⇔a≥f(x)max;(2)a<f(x)⇔a<f(x)min.
高中必修数学知识点总结及公式大全
高中必修数学知识点总结及公式大全1.二次函数的标准形式为y=ax^2+bx+c。
The standard form of a quadratic function is y=ax^2+bx+c.2.一次函数的标准形式为y=kx+b。
The standard form of a linear function is y=kx+b.3.三角函数sin、cos、tan分别表示正弦、余弦、正切。
The trigonometric functions sin, cos, tan represent sine, cosine, tangent respectively.4.三角函数的周期性是它们的重要特征之一。
The periodicity of trigonometric functions is one oftheir important characteristics.5.平行四边形的面积公式为S=底×高。
The formula for the area of a parallelogram isS=base×height.6.直角三角形的勾股定理为a^2 + b^2 = c^2。
The Pythagorean theorem for a right-angled triangle isa^2 + b^2 = c^2.7.两点间距离公式为d=sqrt[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]。
The distance formula between two points is d=sqrt[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2].8.二次方程的解法包括用公式法和配方法。
The methods for solving quadratic equations include using the formula and completing the square.9.函数奇偶性的判定方法是f(-x) = f(x)或f(-x) = -f(x)。
高中数学公式大全(最整理新版)
高中数学公式大全（最整理新版）一、代数1. 一元一次方程：ax + b = 0，其中a ≠ 0。
解为 x = b/a。
2. 一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
解为 x =[b ± sqrt(b^2 4ac)] / 2a。
3. 一元三次方程：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a ≠ 0。
解为x = [b ± sqrt(b^2 3ac)] / 3a。
4. 一元四次方程：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中 a≠ 0。
解为x = [b ± sqrt(b^2 4ac)] / 2a。
5. 分式方程：分子和分母均为多项式。
解法为将方程两边乘以分母的乘积，得到一个等价的整式方程，然后求解。
6. 二元一次方程组：由两个一元一次方程组成的方程组。
解法为消元法或代入法。
7. 二元二次方程组：由两个一元二次方程组成的方程组。
解法为消元法或代入法。
8. 三元一次方程组：由三个一元一次方程组成的方程组。
解法为消元法或代入法。
9. 等差数列：首项为 a1，公差为 d。
第 n 项为 an = a1 + (n 1)d。
前 n 项和为 Sn = n/2(a1 + an)。
10. 等比数列：首项为 a1，公比为 q。
第 n 项为 an = a1q^(n 1)。
前 n 项和为 Sn = a1 (1 q^n) / (1 q)，其中q ≠ 1。
二、几何1. 平面几何（1）直线：两点确定一条直线，直线方程为 y = mx + b，其中m 是斜率，b 是截距。
（2）圆：圆心为 (a, b)，半径为 r。
圆的方程为 (x a)^2 +(y b)^2 = r^2。
（3）椭圆：中心为 (a, b)，长轴为 2a，短轴为 2b。
椭圆的方程为 (x a)^2 / a^2 + (y b)^2 / b^2 = 1。
（4）双曲线：中心为 (a, b)，实轴为 2a，虚轴为 2b。
高中数学公式大全(完整版)
高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==．3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+.5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式 (１)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2）顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠． ７.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+． 9．闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得,具体如下：(1)当a ＞0时，若[]q p a bx ,2∈-=,则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=；[]q p abx ,2∉-=,{}max max ()(),()f x f p f q =,{}min min ()(),()f x f p f q =. （2)当a<0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=,则{}max ()max (),()f x f p f q =,{}min ()min (),()f x f p f q =.1０.一元二次方程的实根分布依据:若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则(1)方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩;(2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩; （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .１1.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1）在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,,(]β,∞-,[)+∞,α不同)上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.（２)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥（t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉．(3）0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩．12.１４．四种命题的相互关系15.充要条件(１)充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件．(2）必要条件:若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 1６.函数的单调性（1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数;[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.1７.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于ｙ轴对称，那么这个函数是偶函数.19.若函数)(x f y =是偶函数,则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数,则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=；两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称． ２1.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.２2．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. ２3.函数()y f x =的图象的对称性(1）函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.2４.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴）对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称． (3）函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y ＝ｘ对称．２５．若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.2６．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1．２7.若函数)(b kx f y +=存在反函数，则其反函数为])([11b x f ky -=-，并不是)([1b kx fy +=-,而函数)([1b kx fy +=-是])([1b x f ky -=的反函数． 28．几个常见的函数方程（1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.（2)指数函数()xf x a =，()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=，'()()(),(1)f xy f x f y f α==．(5)余弦函数()cos f x x =，正弦函数()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==． ２9.几个函数方程的周期(约定ａ>0) (1))()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a; (２）0)()(=+=a x f x f ,或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ,则)(x f 的周期T=３ａ； （4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a;（5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T ＝5a;(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30．分数指数幂 (１)m na=(0,,a m n N *>∈,且1n >). （2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈,且1n >).31．根式的性质（1)na =.(2）当n 为奇数时a =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.３2.有理指数幂的运算性质 (１) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈．（2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. （3)()(0,0,)rrrab a b a b r Q =>>∈．注： 若a ＞0，p 是一个无理数,则a p 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用．３3．指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>．３4.对数的换底公式log log log m a m NN a=（0a >，且1a ≠,0m >，且1m ≠, 0N >）.推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠，1n ≠, 0N >).３5．对数的四则运算法则 若ａ>0，ａ≠1，M>０,N>0,则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(２) log log log aa a MM N N =-； (3)log log ()na a M n M n R =∈.3６.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ，记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ,且0≥∆.对于0=a 的情形，需要单独检验．３7． 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠，则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.， (２)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >,0a >,且1a ≠，则 (1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a a m nm n +<． 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为Ｎ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ,有(1)x y N p =+.39．数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).4０.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-． 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈; 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩．４２.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩;其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩． 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).4４.常见三角不等式 (1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.（2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥．４5.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩4７.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式)； 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ）.48．二倍角公式sin22sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-．22tan tan 21tan ααα=-. 4９. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+．3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+．323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-. 50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，ｘ∈Ｒ及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω，ϕ为常数，且A ≠0,ω＞0)的周期2T πω=;函数tan()y x ωϕ=+,,2x k k Z ππ≠+∈（A,ω,ϕ为常数，且A≠0,ω>０）的周期T πω=.5１.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52．余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-．53.面积定理（１）111222a b c S ah bh ch ===(a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. (2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3）22(||||)()OAB S OA OB OA OB ∆=⋅-⋅.５４.三角形内角和定理在△ABC 中,有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. ５５. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)kx a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈．s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈．tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈．cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈． cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈. tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈．57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律:λ（μa )＝(λμ）ａ;(２)第一分配律：(λ+μ）a =λa +μa; (3)第二分配律:λ（a +b )=λa +λb ． 58．向量的数量积的运算律: (1) a ·b= b ·a (交换律）; (2)(λa )·b=λ(a ·ｂ）=λa ·b = a ·(λｂ）;(３）(ａ＋b)·c ＝ ａ ·ｃ +ｂ·c. 59.平面向量基本定理 如果e 1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ１e 1+λ2e 2.不共线的向量ｅ1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． ６０．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,ｂ=22(,)x y ,且ｂ≠0,则a b(b ≠０)12210x y x y ⇔-=.53． a 与b 的数量积（或内积)ａ·b =|a ||b |co ｓθ．6１. ａ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度｜a ｜与ｂ在ａ的方向上的投影|b ｜cos θ的乘积． 62．平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,ｂ=22(,)x y ，则ａ+ｂ=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,ｂ=22(,)x y ,则a-b=1212(,)x x y y --.(３）设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(５)设a =11(,)x y ,b ＝22(,)x y ,则a ·ｂ＝1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=（ａ=11(,)x y ,ｂ=22(,)x y )．64.平面两点间的距离公式 ,A Bd =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).65．向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b ＝22(,)x y ,且ｂ≠0，则 A |｜b ⇔ｂ=λa 12210x y x y ⇔-=.a ⊥b(a ≠０）⇔a ·ｂ=012120x x y y ⇔+=． 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ,222(,)P x y ,(,)P x y 是线段12P P 的分点，λ是实数,且12PP PP λ=,则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-(11t λ=+)． ６7．三角形的重心坐标公式△AB Ｃ三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ＡBC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. ６8．点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ .注:图形Ｆ上的任意一点P(ｘ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论(1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(２) 函数()y f x =的图象C 按向量a ＝(,)h k 平移后得到图象'C ，则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =，则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.（4)曲线C ：(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m ＝(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为ｍ=(,)x y . ７０. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 (1)O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. (2)O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.(3)O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅． （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=． (５)O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+． 71．常用不等式:(1),a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当ａ=b 时取“=”号).（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a=b 时取“＝”号)． （3)3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>(4)柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈(5）b a b a b a +≤+≤-. 72．极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ,则当y x =时和y x +有最小值p 2; （2）若和y x +是定值s ,则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小.（2)若和||y x +是定值，则当||y x -最大时, ||xy 最小; 当||y x -最小时， ||xy 最大．７3.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->,如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外;如果a 与2ax bx c ++异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.７4．含有绝对值的不等式 当a ＞ 0时,有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式(1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩.（22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. (32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩．7６.指数不等式与对数不等式 （１)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2）当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩７７．斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y )．7８.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k ). （２)斜截式 y kx b =+（ｂ为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)（111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、Ｂ不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直（1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠； ②12121l l k k ⊥⇔=-.(２)若1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，且Ａ1、Ａ2、B 1、B ２都不为零， ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠; ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； ８0.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+．(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-) （2）12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时,直线l １与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+，121k k ≠-) （2）12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠)． 直线12l l ⊥时,直线ｌ1到l 2的角是2π. 8２．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程:经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．（2)共点直线系方程:经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l ),其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程:直线y kx b =+中当斜率k 一定而ｂ变动时,表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=（0λ≠)，λ是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= （Ａ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．8３．点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域;当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上，异号在下.若0B =,当A 与Ax By C ++同号时,表示直线l 的右方的区域;当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左．8５. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分; 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分．86. 圆的四种方程（1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=（224D E F +-＞0）.(3)圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1）过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=，其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C ：220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=，λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.８9.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1,Ｏ2，半径分别为ｒ１，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .9１.圆的切线方程（1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=.①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时， 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程.②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-,再利用相切条件求k ，这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y 轴的切线.③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b,必有两条切线． （2)已知圆222x y r +=.①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=；②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±.92．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩．9３．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b⇔+<．（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>．9５. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.(２)过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+,22|()|a PF e x c=-．97．双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b⇔->.(２)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x ．(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-2222by a x (0>λ，焦点在x 轴上,0<λ，焦点在y 轴上).99． 双曲线的切线方程（1）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=． (3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.１0０. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或或)2,2(2pt pt P Ｐ(,)x y ,其中22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：(1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=．10３.抛物线的内外部（1）点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. （2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->． (3）点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>． （4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>． 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104． 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+．(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.(3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.１０5.两个常见的曲线系方程（１）过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时，表示椭圆； 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||||AB x x y y ==-=-(弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ,0∆>,α为直线AB 的倾斜角,k 为直线的斜率).1０７.圆锥曲线的两类对称问题(1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=． (2)曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++.１０8.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ,用0y y 代2y ,用002x y xy +代xy ,用02x x +代x ,用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线,切点弦,中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1)转化为判定共面二直线无交点; （２)转化为二直线同与第三条直线平行； (３)转化为线面平行； （4）转化为线面垂直; (5）转化为面面平行.110.证明直线与平面的平行的思考途径 （1)转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行; （3)转化为面面平行.111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (２）转化为线面平行; （3）转化为线面垂直.1１2．证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (２）转化为线面垂直；（３）转化为线与另一线的射影垂直； (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. １13.证明直线与平面垂直的思考途径 （1)转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (３）转化为该直线与平面的一条垂线平行； (4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； (2)转化为线面垂直.1１5.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (１）加法交换律：a +ｂ=ｂ+a .(2)加法结合律：（ａ＋b )+c =a ＋(ｂ+c )． (３)数乘分配律：λ（a +ｂ)=λa +λb ．11６.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠０ ）,a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb .P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.１18.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+. 推论 空间一点P 位于平面ＭA Ｂ内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点Ｏ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、Ｂ、C ，满足OP xOA yOB zOC =++(x y z k ++=），则当1k =时,对于空间任一点O ,总有Ｐ、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时,若O ∈平面ＡＢC,则Ｐ、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ＡＢC,则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++(O ∉平面ABC ）.１２0.空间向量基本定理如果三个向量ａ、b 、c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组x,ｙ，z,使p ＝x a +ｙb ＋z c ．推论 设Ｏ、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数ｘ，y,z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，ｅ是l 上与l 同方向的单位向量．作A 点在l 上的射影'A ,作B点在l 上的射影'B ,则''||cos A B AB =〈ａ,e 〉＝ａ·ｅ122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ,b ＝123(,,)b b b 则 (１)a +b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)ａ-b =112233(,,)a b a b a b ---； (３)λａ＝123(,,)a a a λλλ （λ∈R); (4)ａ·b =112233a b a b a b ++;１２3.设A 111(,,)x y z ,B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124.空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则a b ⇔(0)a b b λ=≠⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.125．夹角公式设a ＝123(,,)a a a ,ｂ=123(,,)b b b ，则 cos 〈ａ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++,此即三维柯西不等式.12６. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127.异面直线所成角cos |cos ,|a b θ==21||||||a b a b x ⋅=⋅+（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,所成角,,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量） 128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=（m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ，另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角,则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=．１30.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时，有22212sin sin sin θθθ+=.13１.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-(m ,n 为平面α，β的法向量).1３２．三余弦定理设AC 是α内的任一条直线,且B Ｃ⊥AC ，垂足为Ｃ,又设ＡＯ与AB 所成的角为1θ,AB 与AC 所成的角为2θ,AO 与ＡＣ所成的角为θ.则12cos cos cos θθθ=.1３3. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ,则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立）.134.空间两点间的距离公式 若Ａ111(,,)x y z ,B 222(,,)x y z ,则,A B d =||AB AB AB =⋅=.１３5.点Q 到直线l 距离h =（点P 在直线l 上,直线l 的方向向量a =PA ,向量ｂ=PQ ).1３6.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线,其公垂向量为n ,C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离)．1３7.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=(n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线,A α∈). 13８.异面直线上两点距离公式2cos d mn θ=.',d EA AF =.d =('E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ,其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点Ｅ、F,'A E m =,AF n =，EF d =)． 1３9.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅1４0. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).１4１. 面积射影定理'cos S S θ=.（平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ）．1４２. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧． ②1V S l =斜棱柱． 1４3.作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 1４4.棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.14５.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数Ｆ).(1）E =各面多边形边数和的一半．特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数Ｆ与棱数E 的关系：12E nF =； （2)若每个顶点引出的棱数为m ,则顶点数Ｖ与棱数Ｅ的关系：12E mV =. １４6．球的半径是Ｒ，则其体积343V R π=， 其表面积24S R π=．147.球的组合体(1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (２)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (３) 球与正四面体的组合体:棱长为a 的正四面体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4a . 1４8.柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高).13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.１4９.分类计数原理（加法原理)12n N m m m =+++. 150.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯．1５1.排列数公式m n A ＝)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ,m ∈N *，且m n ≤）.注：规定1!0=． １52.排列恒等式(１）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1mmn n n A A n m-=-； (3)11m m n n A nA --=; （4)11n n nn n n nA A A ++=-; （5)11m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-．15３．组合数公式mnC =m n m mA A ＝m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).15４.组合数的两个性质 （1)mn C =mn nC - ;(2) m n C ＋1-m n C ＝mn C 1+.注:规定10=n C .1５5．组合恒等式(1）11mm n n n m C C m --+=; (２)1m mn n n C C n m -=-；（3）11mm n n n C C m--=；（４）∑=nr r nC=n2;(5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ． (６)nn n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . （7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C .(8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . （9）rn m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10）nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ ．1５6.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅！ .15７.单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种;②某(特)元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A (着眼位置)11111----+=m n m m n A A A (着眼元素）种．（2）紧贴与插空(即相邻与不相邻)①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n kk A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法;③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k )，把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.(3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开,问有多少种排法?当1+>m n 时,无解;当1+≤m n 时，有n m n nnm C A A 11++=种排法.(4）两组相同元素的排列:两组元素有m 个和ｎ个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +. 15８.分配问题(1）(平均分组有归属问题）将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件,其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆,其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--.(3)(非平均分组有归属问题）将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人,物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等,则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m =⋅⋅=-.（4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完,分别得到1n ,2n ,…，m n 件，且1n ,2n ,…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、ｃ、…个相等,则其分配方法数有!...!!!...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =．（5）(非平均分组无归属问题）将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆,且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.（6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ,2n ,…,m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、ｂ、ｃ、…个相等,则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.(7)(限定分组有归属问题)将相异的p (2m p n n n =1+++)个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完,如果指定甲得1n 件，乙得2n 件,丙得3n 件，…时，则无论1n ,2n ,…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!! (212)11m n n n n p n p n n n p C C C N m m =⋅=-．１5９.“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信n 封信与n 个信封全部错位的组合数为1111()![(1)]2!3!4!!nf n n n =-+-+-． 推广: n 个元素与n 个位置,其中至少有m 个元素错位的不同组合总数为1234(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!(1)()!(1)()!m m m m ppmm mmf n m n C n C n C n C n C n p C n m =--+---+--+--++--12341224![1(1)(1)]p m pmm m m mmmp m n n n n nnC C C C C C n A A A A A A =-+-+-+-++-.160．不定方程2n x x x m =1+++的解的个数（1)方程2n x x x m =1+++（,n m N *∈)的正整数解有11m n C --个. （2） 方程2n x x x m =1+++（,n m N *∈)的非负整数解有 11n m n C +--个. （３) 方程2n x x x m =1+++(,n m N *∈）满足条件i x k ≥(k N *∈,21i n ≤≤-）的非负整数解有11(2)(1)m n n k C +----个.（4) 方程2n x x x m =1+++（,n m N *∈）满足条件i x k ≤(k N *∈,21i n ≤≤-）的正整数解有12222321(2)11121221(1)n m n m n k n m n k n m n k n n n n n n C C C C C C C +--+---+---+---------+-+-个． 161.二项式定理nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;。
高中数学公式大全(完整版)
1. 集合与常用逻辑用语
2. 复数
3. 平面向量
4. 算法、推理与证明
5.不等式、线性规划
6. 计数原理与二项式定理
7. 函数、基本初等函数的图像与性质
8. 函数与方程、函数模型及其应用
9.导数及其应用
10.三角函数的图形与性质
11.三角恒等变化与解三角形
12.等差数列、等比数列
13.数列求和及数列的简单应用
14.空间几何体
15.空间点、直线、平面位置关系
16.空间向量与立体几何
17.直线与圆的方程
18.圆锥曲线的定义、方程与性质
19.圆锥曲线的热点问题
20.概率
21.离散型随机变量及其分布
22.统计与统计案例
23.函数与方程思想,数学结合思想
24.分类与整合思想,化归与转化思想
25.几何证明选讲
26.坐标系与参数方程。
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必修4常用公式手册 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin （2kπ＋α）＝sinα cos （2kπ＋α）＝cosα tan （2kπ＋α）＝tanα
公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin （π＋α）＝－sinα cos （π＋α）＝－cosα tan （π＋α）＝tanα
公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin （π－α）＝sinα cos （π－α）＝－cosα tan （π－α）＝－tanα
公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin （2π－α）＝－sinα cos （2π－α）＝cosα tan （2π－α）＝－tanα 公式六：2π±α及32π±α与α的三角函数值之间的关系： sin(2
π+α)＝cosα sin(2π-α)＝cosα sin(32π＋α)＝－cosα sin(32π－α)＝－cosα cos(2π
+α)＝－sinα cos(2π-α)＝sinα cos(32π＋α)＝sinα cos(32π－α)＝－sinα
1.同角三角函数的基本关系式
商的关系： sin tan cos ααα
＝ 平方关系：221sin cos αα＋＝ 2211tan cos αα
=+ ⒉两角和与差的三角函数公式
sin sin cos cos sin αβαβαβ（＋）＝＋ s in sin cos cos sin αβαβαβ（－）＝－
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式
21cos sin ()22αα-= 21cos cos ()22αα+= 21cos tan ()21cos ααα-=+。