第一章 直角三角形知识点及习题

课题1、2直角三角形
知识点1：勾股定理及其逆定理
（1）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）勾股定理的应用：①已知直角三角形的两边求第三边；
②已知直角三角形的一边，求另两边的关系；③用于证明有关线段平方关系的问题。

（3）勾股定理的逆定理：如果三角形两直角边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（4）勾股定理的逆定理的应用：判断一个三角形是否为直角三形。

（5）勾股定理的各种表达式：在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则有a 2=c 2-b 2，b2=c 2-a 2，c 2=a 2+b 2，c=2
2
a
b
+ ，a=22c b -，
b=22c a -。

知识点2：互逆命题与互逆定理
（1）互逆命题：将一个命题的条件与结论互换，就得到这个命题的逆命题。

相对于逆命题来说，原来的命题叫做原命题，原命题与逆命题是互逆关系，因而是相对的，我们将原命题与逆命题称为互逆命题。

原命题正确，逆命题不一定正确，如命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”是正确的，而它的逆命题“如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等”是错误的。

正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，所以一对互逆命题的真假性不一定一致。

（2）互逆命题定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，我们就说这两个定理为互逆定理。

其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

如“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”是一对互逆定理。

知识点3：直角三角形全等的判定定理（HL ）
（1）定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（2）定理的应用：判定两个直角三角形全等。

（3）判定两个直角三角形全等的方法共有五种：SAS 、AAS 、ASA 、SSS 、HL
九年级数学直角三角形 专项训练二 已看
1.如图，在△ABC 中，∠ACB=900
，AB=5，BC=3，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长。

4.如图,CD ⊥AD,CB ⊥AB,AB=AD. 求证:CD=CB.
5.点A 、E 、F 、C 在一条直线上，AE=CF ，过点E 、F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，若AB=CD 。

（1）求证：BD 平分EF
（2）若将△DEC 的；边EC 沿AC 方向平行移动变为如图1-2时，其余条件不变，（1）的结论是否成立？请说明理由。

6.写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假。

（1）等腰三角形的两底角相等； （2）三角形的三内角之比为1：1：2，则三角形为等腰直角三角形；
（3）三内角之比为1：2：3的三角形为直角三角形；
D A B C B A C E
F G D B A C
D F
E G A
B
C D
8.如图，一架2.5m 长的梯子AB ，斜靠在一坚直的墙上AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯足将向外移动多少米？
9.如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交高AD 于点F ，且BF=AC ，FD=CD 。

求证：BE ⊥AC
10.如图，把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB=∠DEC=900
，∠A=450，∠D=300，斜边
AB=6cm ，DC=7cm ，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转150得到△D ′CE ′(如图(2)),这时AB 与CD ’相交于点O,D ′E ′与AB 相交于点F.
（1）求∠OFE ′的度数；
（2）求线段AD ′的长。

（
1）
11.已知a 、b 、C 是△ABC 的三边，并且a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4
，判断△ABC 的形状。

12.（宁夏中考）如图，在Rt △DBC 中，∠C=900，∠A=300，BD 是∠ABC 的平分线，AD=20。

求BC 的长。

A B C
A1 B1 A B C D E
F
B
C D E A A B D C
13.如图（2），Rt △ABC ≌Rt △CDE ，∠B=∠D=900，且B 、C 、D 三点共线，试证明∠ACE=900。

15.（衢州中考）如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的直角边OA 在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限，将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转到△OA ′B ′，使点B 的对应点B ′落在y 轴的正半轴上，已知OB=2，∠BOA=300。

（1）求点B 与点A ′的坐标；
（2）求经过点B 与点B ′的直线所对应的一次函数解析式,并判断断点A ′是否在直线BB ′上.
a b a b
c c A B C D E x
y A
B
O
A ′
B ′
直角三角形 基础强化 已看
1.满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）.
A ．三内角之比为1：2：3 B.三边之比为1:2:3 C.三边长为41,40,9 D.三边长为41,210,1 2.等边三角形的高为2,则它的面积是( ). A.2 B.4 C.
433
D.43
3.下列命题的逆命题是真命题的是( ).
A.对顶角相等
B.若a=b,则a 2=b 2
C.在同一个等腰三角形中,等边对等角
D.如果两个角都是直角,那么这两个角相等 4.如图1-1, Rt △ABC 中,AC=6cm,BC=8cm,将此三角形折叠,使直角边AC 落在斜边AB 上,点C 与点D 重合,折痕为AE,则BE 的长为( ).
A.3cm
B.4cm
C.5cm
D.6cm 5.已知直角三角形斜边长为5,周长为12,则三角形的面积为__________.
6.等腰三角形两腰上的高相等,这个命题的逆命题是_________________________________,这个逆命题是_________命题.
7.如图1-2,直线L 过正方形ABCD 的顶点B,点A 、C 到直线L 的距离分别是1和2，则正方形的边长是 。

8.有一圆柱形油罐，如图1-3，要从A 点绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方B 点，梯子最短要
求 m （已知油罐底面圆周长是12cm ，高AB 是5m ）。

9.若直角三角形的三条边长分别是5，12，a ，则a= 。

图1-1 图1-2 图1-3
10.如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，O 是BD 与CE 的交点。

求证： BO=CO
A
D B C
E A B D L A
C B M N
A B
C
D C
O。