人教版数学一道教材习题的探解,变式与思考
一道习题变式教学的思考
一道习题变式教学的反思习题课教学是以指导学生进行解题为主的一种课堂教学，它是数学教学的重要组成部分。
解题在数学教学中是一个重要的组成环节，是运用所学的知识解决实际问题的初步实战。
它对于深入理解基本知识，培养分析问题解决问题的能力以及从中涉取广博的实际知识、技能等具有不可替代的作用。
因此对习题课教学进行研究，改革习题课教学有实际的意义。
对于学生，想要学好数学，除了认真听课，更重要的是对所学的内容能够通过做习题而达到对知识点的深刻理解和灵活应用。
对于教师如何调动学生主动参与和提高学生的学习兴趣，习题课的组织形式和内容就显得极为重要。
一、教学片断实录本片断是选自本人在上人教版实验教科书《数学》选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》第二节《椭圆》的习题(教材P48练习第6题)时的部分课堂实录 。
这是我们昨天的作业题：求直线023=+-y x 与椭圆141622=+y x 的交点坐标。
大部分学生准确地解答了此题,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-141602322y x y x ⇒()⎪⎭⎫ ⎝⎛--3770,1348,2,0B A 变式一：求直线03=+-m y x 与椭圆141622=+y x 有交点时m 的范围。
学生对此题思路比较明确。
请一位学生说一下思路：学生1:两式联立：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-14160322y x m y x 消去y 得到x 的一元二次方程0164243722=-++m mx x ,要使有交点其判别式0≥∆ 即 ()()01643742422≥-⨯⨯-m m 。
解之得 372372≤≤-m 。
变二：已知O 为坐标原点，直线03=+-m y x 与椭圆141622=+y x 相交于B A ,两点，问是否存在常数m ，是以线段AB 为直径的圆恰好过原点？学生发挥想象，构建本题的解法。
学生2：我认为解决此问题的关键是求出B A ,的坐标，再求出OA 和OB 的斜率，使得1-=⋅OB OA k k ，可得常数m 的值。
对一道例题的变式思考
专数学爱好者业精心策划Ｓ高一人教大纲名师点金ＭｉｎｇＳｈｉＤｉａｎＪｉｎ（原题人教版第１１２页例４）：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ａ!"Ｂ＝ａ，Ａ!"Ｄ＝ｂ，你能用ａ，ｂ表示向量Ａ!"Ｃ，Ｄ!"Ｂ吗？ＣＡＢＤ解析由作向量和的平行四边形法则得Ａ!"Ｃ＝ａ＋ｂ，由作向量差的方法知Ｄ!"Ｂ＝Ａ!"Ｂ－Ａ!"Ｄ＝ａ－ｂ．（１）几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）和三角形法则（“首尾相接，首尾连”）．设Ａ!"Ｂ＝ａ，Ｂ!"Ｃ＝ｂ，那么向量Ａ!"Ｃ叫做ａ与ｂ的和，即ａ＋ｂ＝Ａ!"Ｂ＋Ｂ!"Ｃ＝Ａ!"Ｃ；（２）几何中向量减法用“三角形法则”：设Ａ!"Ｂ＝ａ，Ａ!"Ｃ＝ｂ，那么ａ－ｂ＝Ａ!"Ｂ－Ａ!"Ｃ＝Ｃ!"Ｂ，由减向量的终点指向被减向量的终点（此处减向量与被减向量的起点相同）．思考一对于三个以上的首尾相连的向量的和，如何求？例１如图，在五边形ＡＢＣＤＥ中，Ａ!"Ｂ＝ａ，Ｂ!"Ｃ＝ｂ，Ｃ!"Ｄ＝ｃ，Ｅ!"Ａ＝ｄ，试用ａ，ｂ，ｃ，ｄ表示向量Ｃ!"Ｅ和Ｄ!"Ｅ．ＤＡＢＣＥ分析根据向量加法的三角形法则可知Ｃ!"Ｅ＝Ｂ!"Ｅ＋Ｃ!"Ｂ且Ｂ!"Ｅ＝Ｂ!"Ａ＋Ａ!"Ｅ，从而用可用ａ，ｂ，ｃ，ｄ表示向量Ｃ!"Ｅ，又Ｄ!"Ｅ＝Ｄ!"Ｃ＋Ｃ!"Ｅ，由此可得Ｄ!"Ｅ的表达式．解Ｃ!"Ｅ＝Ｂ!"Ｅ＋Ｃ!"Ｂ＝Ｂ!"Ａ＋Ａ!"Ｅ＋Ｃ!"Ｂ＝－（ａ＋ｂ＋ｄ），Ｄ!"Ｅ＝Ｄ!"Ｃ＋Ｃ!"Ｅ＝－（Ｅ!"Ａ＋Ａ!"Ｂ＋Ｂ!"Ｃ＋Ｃ!"Ｄ）＝－（ｄ＋ａ＋ｂ＋ｃ）．点评三角形法则可推导出向量加法的多边形法则，即Ａ１Ａ２!"＋Ａ２Ａ３!"＋…＋Ａｎ－１Ａｎ!"＝Ａ１Ａｎ!"，也就是对于首尾相连的几个向量的和，等于以第一个向量的起点为起点、第ｎ个向量的终点为终点的向量．变式练习１化简Ｏ!"Ｐ－Ｑ!"Ｐ＋Ｐ!"Ｓ＋Ｓ!"Ｐ的结果等于（）Ａ．Ｑ!"ＰＢ．Ｏ!"ＱＣ．Ｓ!"ＰＤ．Ｓ!"Ｑ思考二设Ａ!"Ｂ＝ａ，Ｂ!"Ｃ＝ｂ，根据三角形法则有：ａ＋ｂ＝Ａ!"Ｂ＋Ｂ!"Ｃ＝Ａ!"Ｃ，那么ａ－ｂ、ａ±ｂ、ａ＋ｂ这三者的大小关系是怎样的？ＡＢＣ例２已知ａ＝８，ｂ＝１２，求ａ＋ｂ的最大值和最小值．分析根据三角形的一边小于其它两边的和，大于其他两边的差，在△ＡＢＣ中，有ａ－ｂ≤ａ±ｂ≤ａ＋ｂ．习题转化◇湖南唐道国对一道例题的变式思考!"#数学爱好者专ＭｉｎｇＳｈｉＤｉａｎＪｉｎ名师点金业精心策划Ｓ高一人教大纲解因为ａ－ｂ≤ａ±ｂ≤ａ＋ｂ，当向量ａ，ｂ同向时，ａ＋ｂ的方向与ａ，ｂ同向，且ａ＋ｂ＝ａ＋ｂ，故ａ＋ｂｍａｘ＝ａ＋ｂ＝２０．当向量ａ，ｂ反向时，若ａ＜ｂ，则ａ＋ｂ的方向与ａ反向，且ａ＋ｂ＝ｂ－ａ．故ａ＋ｂｍｉｎ＝ｂ－ａ＝４．点评ａ－ｂ≤ａ±ｂ≤ａ＋ｂ，这个不等式的几何意义大家一定要理解，并熟悉等号成立的条件．变式练习２下列命题中正确的是（）Ａ．ａ＋ｂ≥ａ且ａ＋ｂ≥ｂＢ．ａ＋ｂ≥ａ或ａ＋ｂ≥ｂＣ．若ａ＞ｂ＞ｃ，则ａ＋ｂ＞ｂ＋ｃＤ．若ａ与ｂ不平行，则ａ＋ｂ＞ａ＋ｂ思考三如何将平行四边形法则（或三角形法则）运用到特殊图形中？例３已知ａ、ｂ是不共线向量，则ａ＝ｂ是（ａ＋ｂ）与（ａ－ｂ）垂直的（）Ａ．充分但不必要条件Ｂ．必要但不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件分析把（ａ＋ｂ）与（ａ－ｂ）分别看作一个平行四边形的两条对角线所对应的向量，从而把问题转化到平行四边形中解决．ａＡＢＣＤｂ解如上图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，若设Ａ#$Ｂ＝ａ，Ａ#$Ｄ＝ｂ由平行四边形法则和三角形法则知：Ａ#$Ｃ＝ａ＋ｂ，Ｄ#$Ｂ＝ａ－ｂ．若ａ＋ｂ与ａ－ｂ垂直，即使平行四边形ＡＢＣＤ的两条对角线相互垂直，则%ＡＢＣＤ为菱形，故ａ＝ｂ；若ａ＝ｂ，则%ＡＢＣＤ为菱形，因而ａ＋ｂ与ａ－ｂ垂直．所以对于两个不共线向量ａ，ｂ，ａ＝ｂ是（ａ＋ｂ）与（ａ－ｂ）垂直的充要条件，选Ｃ．点评如果条件中出现向量的和与差，则可构造平行四边形或三角形，再利用向量的垂直、平行或夹角判断平行四边形或三角形的形状（如矩形，正方形，菱形，等腰三角形，直角三角形等），从而使问题获解．变式练习３已知ａ、ｂ是非零向量，则ａ⊥ｂ是ａ＋ｂ＝ａ－ｂ的（）Ａ．充分但不必要条件Ｂ．必要但不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件思考四平行四边形法则（或三角形法则）有着广泛的应用，它们是否可运用到平面几何命题中？例４已知平行四边形ＡＢＣＤ的两条对角线ＡＣ与ＢＤ交于Ｅ，Ｏ是任意一点，求证Ｏ#$Ａ＋Ｏ#$Ｂ＋Ｏ#$Ｃ＋Ｏ#$Ｄ＝４Ｏ#$Ｅ．ＡＢＣＤＥＯ证明因为Ｅ是对角线ＡＣ与ＢＤ的交点，所以Ａ#$Ｅ＝Ｅ#$Ｃ＝－Ｃ#$Ｅ，Ｂ#$Ｅ＝Ｅ#$Ｄ＝－Ｄ#$Ｅ．在△ＯＡＥ中，Ｏ#$Ａ＋Ａ#$Ｅ＝Ｏ#$Ｅ，同理有Ｏ#$Ｂ＋Ｂ#$Ｅ＝Ｏ#$Ｅ，Ｏ#$Ｃ＋Ｃ#$Ｅ＝Ｏ#$Ｅ，Ｏ#$Ｄ＋Ｄ#$Ｅ＝Ｏ#$Ｅ．四式相加可得Ｏ#$Ａ＋Ｏ#$Ｂ＋Ｏ#$Ｃ＋Ｏ#$Ｄ＝４Ｏ#$Ｅ．点评向量是一个有“形”的几何量，在研究与平面几何相关的问题时，常借助平行四边形法则和三角形法则，结合图形进行分析、判断和求解，这是研究平面向量问题的重要方法和技巧．变式练习４四边形ＡＢＣＤ的边ＡＤ和ＢＣ的!"#专数学爱好者业精心策划Ｓ高一人教大纲名师点金ＭｉｎｇＳｈｉＤｉａｎＪｉｎ中点分别为Ｅ、Ｆ，求证：Ｅ!"Ｆ＝１２（Ａ!"Ｂ＋Ｄ!"Ｃ）．变式练习参考答案１．Ｂ２．Ｄ３．Ｃ４．证法一因为Ｅ，Ｆ分别为ＤＡ，ＢＣ的中点．ＥＡＢＣＤＦ所以Ｄ!"Ｅ＝Ｅ!"Ａ，Ｆ!"Ｃ＝Ｂ!"Ｆ，又因为Ｅ!"Ｆ＋Ｆ!"Ｃ＋Ｃ!"Ｄ＋Ｄ!"Ｅ＝０，①Ｅ!"Ｆ＋Ｆ!"Ｂ＋Ｂ!"Ａ＋Ａ!"Ｅ＝０，②①＋②，得２Ｅ!"Ｆ＋（Ｆ!"Ｃ＋Ｆ!"Ｂ）＋（Ｃ!"Ｄ＋Ｂ!"Ａ）＋（Ｄ!"Ｅ＋Ａ!"Ｅ）＝０，所以２Ｅ!"Ｆ＝－Ｃ!"Ｄ＋（－Ｂ!"Ａ）＝Ｄ!"Ｃ＋Ａ!"Ｂ，所以Ｅ!"Ｆ＝１２（Ａ!"Ｂ＋Ｄ!"Ｃ）．证法二连结ＥＣ，ＥＢ．ＥＡＢＣＤＦ因为Ｅ!"Ｆ＋Ｆ!"Ｃ＝Ｅ!"Ｃ，①Ｅ!"Ｆ＋Ｆ!"Ｂ＝Ｅ!"Ｂ．②①＋②，得２Ｅ!"Ｆ＋０＝Ｅ!"Ｃ＋Ｅ!"Ｂ，所以Ｅ!"Ｆ＝１２（Ｅ!"Ｃ＋Ｅ!"Ｂ）．又因为Ｅ!"Ｃ＝Ｅ!"Ｄ＋Ｄ!"Ｃ，③Ｅ!"Ｂ＝Ｅ!"Ａ＋Ａ!"Ｂ．④③＋④，得Ｅ!"Ｆ＝１２（Ｅ!"Ｄ＋Ｄ!"Ｃ＋Ｅ!"Ａ＋Ａ!"Ｂ）．又因为Ｅ!"Ｄ＋Ｅ!"Ａ＝０，所以Ｅ!"Ｆ＝１２（Ａ!"Ｂ＋Ｄ!"Ｃ）．英语课刚上中学第一堂英语课，老师让同学们用英语作自我介绍．班上一同学叫刘洪涛，他自我介绍说：“ＭｙｎａｍｅｉｓＨｏｎｇｔａｏＬｉｕ”这时有同学在底下小声说道：“我还叫方片儿七呢！”点名有一个刚毕业的师范老师到一所小学教一年级的新生，她第一件事就是要求学生把自己的名字写在作业簿上．之后她收回作业簿再一个一个叫名字发回去，同时借此认识学生．可是有一本，她喊了十次都没人来领，“……黄肚皮、黄肚皮……怎麽搞得，人跑哪去了……”最后全部发完后，还是剩下那一本，于是就让还没拿到的人举手，这时有个个子小小的女生举了手，老师问：“你叫什麽名字？”“黄月坡，老师”那个女生说．开心一刻%&’。
浅谈例题的变式教学与数学思维的培养
通过引导学生多种形式充分朗读，让学生读懂“鞋”与“船”，“家”与“港湾”的联系，进而明确家是什么？家是一轮太阳，爸爸妈妈欢乐的笑容，合成一缕温和暖心的阳光。
从小孩子的视角去看待家的含义，跟随作者的文思，从孩子对家的比喻，分析其真情，从而导出爱家之理，让学生的眼和心回归家庭，感悟家的美好及亲情的温暖可贵，从而培养其爱家庭爱父母亲人的真性情。
阅读赏析之后，让学生熟读成诵，内化为自己的语言，最后让学生写出自己的家，学生落笔有内容可写，也在描写中渗入真情。
再如夏辇生写的《童年的泥巴》，优美的语言在学生心中掀起涟漪。
“天蓝蓝，水蓝蓝，风儿轻轻，我们这些无忧无虑的乡下孩子终于盼来了放秋假的日子，三五成群撒欢儿奔向那片白亮亮的西河滩。
我们光着脚丫，在滑腻舒适的泥里踩呀踩，踩出积在底下更黏的泥巴，一捧又一捧运到河滩上，这一堆儿，那一堆儿，我们这些乡下孩子展开想象的翅膀，不长时间，一头水牛捏了出来，没多久，活灵活现的泥人，泥物就摆满了一大片河滩。
”导读赏析后，让学生去联想去体会，既给今天学生乏味的课余生活中注入情趣，又给他们的写作积累了素材。
教学中我体会到了诗中有情，写中有真，读写结合，真情教学，真情育人的快乐。
路还长学无止境，愿上下求索不倦。
让我们的学生阅读中见真情，写作中流真情，让真情贯穿在学生的学习和生活中。
（作者单位：肇源县第二小学）编辑/赵卓然数学思维就是数学地思考问题和解决实际问题的思维形式。
这种思维形式是在学生学习数学的过程中逐渐形成的一种思维品质。
数学思维能力是数学课堂教学中需要落实的核心素养之一。
培养学生数学思维能力可以从教材入手，充分发挥教材的功能，因为数学教材不仅仅是承载着知识的工具,更是培养学生思维的最好素材。
基于例题教学，教师要充分挖掘例题资源，采用变式教学的方法，培养学生的思维能力，从而落实数学核心素养。
一、利用“一题多问”策略，培养学生求异思维“问题是思维的心脏”，如果教师在教学中能有意识地对例题做适当地补充和拓展，鼓励学生针对例题资源“一题多问”，引导学生从不同角度、不同方位、不同层次思考，不仅可激发学生的问题意识，还可以培养学生求异思维和创新意识。
数学变式教学与反思-教育文档
数学变式教学与反思新课程的教学理念要求实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式以及教学过程中师生互动方式的变革，让学生获得自主学习的能力、与人合作的能力、信息收集与处理能力。
通过我的教学实践发现，变式教学是实现这一目标的有效方法之一。
变式教学就是教师有目的、有计划地对命题进行合理转化，使学生掌握数学的本质特征，即教师可不断更换命题的非本质特征、变换问题的题设和结论、转化问题的内容和形式，保留问题的本质特征的一种教学方式。
结合我的教学实践，谈几点体会：1 数学概念、定理的教学离不开变式数学概念、定理的教学是数学教学中的重点之一，学生对数学概念和定理理解的深度如何，关系到数学学习的成败。
教师通过改变概念中的题设或结论，让学生辨析，可以加深对数学概念和定理的理解，形成正确、完整的数学概念定理体系，对学生学好数学，提高课堂效率十分重要。
例如：在最简二次根式时，引出概念后，教师可给出如下式子让学生辨析：0.5、8、a-1、a+4是最简二次根式吗？通过师生互动，使学生深入理解最简二次根式两个条件的含义。
2 交换题设和结论，掌握数学问题的本质特征例1：如图1：△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC 延长线上一点，且BE=CF，连结EF交BC于D，求证：ED=DF证明：作EM∥AC交BC于M，∴∠ACB=∠EMB ∠MED=∠F∵AB=AC ∴∠ACB=∠B∴∠EMB=∠B ∴BE=M E又∵BE=CF ∴ ME=CF在△DEM和△DFC中，∠MED=∠F MDE=∠FDC ME=CF ∴△DEM≌△DFC ∴ED=DF提问：此题还有其他添加辅助线的方法吗？师生探讨后，再给出如下变式题：变式1：如图1，△ABC中，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，BE=CF，连结EF交BC于D，且ED=DF，试判断△ABC的形状。
变式2：如图1，△ABC中，AB=AC ，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连结EF交BC于D，且ED=DF，求证：BE=CF 变式3：如图1，△ABC中，AB=AC ，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连结EF交BC于D，且BE=nCF，则线段ED、DF的长度有何关系？变式1、变式2由学生独立或合作方式完成，通过变式探究发现， AB=AC、BE=CF、ED=DF三个条件中，具备其中的两个条件，可以推出第三个条件。
人教版数学九年级上册一道教材习题探解与变式
一道教材习题探解与变式习题再现：如图1，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.(人教版九年级数学P88页练习第3题)题意剖析：这是在学习了圆周角定理后出现的一道巩固性习题，问题的条件特点如下：1.同圆的三条半径构成的一个四边形，且满足了OA=OB=OC；2.半径OB分半径OA,OC构成的圆心角成两个圆心角且较大角是较小角的2倍；3.所求结论中的两个角恰好是较大圆心角，较小圆心角同弧上的圆周角；4.知识选择明确的指向性：指向了圆周角定理.5.借助应用从定理的使用条件，结论的等量关系两个方面强化巩固定理.解法直播：因为OA,OB,OC是同圆的半径，∠AOB与∠ACB同对AB, ∠BOC与∠BAC同对BC,所以∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC.因为∠AOB=2∠BOC，所以2∠ACB=2×2∠BAC，所以∠ACB=2∠BAC.题目的条件，结论都非常有趣味，有深刻思考的空间，值得从多个角度进行变式思索.变式思考：变式1：如图2，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=∠BOC.求证：∠ACB=∠BAC.此种变式可以是等腰三角形性质、线段垂直平分线性质、三角形全等知识的强化巩固，也可看成是圆周角定理的复习与加深，因此解答的方法就多样化。
这恰恰符合《数学课程标准》所倡导的“引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维”，“体验解决问题方法的多样性”的基本目标要求.解法1：设OB与AC的交点为D，因为OA=OC，∠AOB=∠BOC，所以OD⊥AC，AD=DC，所以OB 是线段AC的垂直平分线，所以BA=BC，所以∠ACB=∠BAC.解法2：设OB与AC的交点为D，因为OA=OC，∠AOB=∠BOC，所以OD⊥AC，AD=DC，因为BD=BD，所以△BAD≌△BCD，所以∠ACB=∠BAC.解法3：因为OA,OB,OC是同圆的半径，∠AOB与∠ACB同对AB, ∠BOC与∠BAC同对BC,所以∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC.因为∠AOB=∠BOC，所以2∠ACB=2∠BAC，所以∠ACB=∠BAC.变式2：如图1，OA,OB,OC都是⊙O的半径.（1）若∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC；（2）试猜想，当∠AOB=3∠BOC，∠AOB=4∠BOC，…，∠AOB=n∠BOC，则∠ACB与∠BAC的关系.分析：《2011版初中课程标准》明确指出“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”，这种变式思考，恰好实现了《课标》的目标要求. 相信有前面知识作铺垫，变式2的猜想与证明是容易做到的.解：（1）略；（2）当∠AOB=3∠BOC时，∠ACB=3∠BAC；当∠AOB=4∠BOC时，∠ACB=4∠BAC；…，当∠AOB=n∠BOC时，∠ACB=n∠BAC.这种猜想以整数系数为基础，能否变整数系数为分数系数呢？于是得到变式3.变式3：如图1，OA,OB,OC都是⊙O的半径.若∠AOB：∠BOC=m:n.则∠ACB：∠BAC=m:n.以上变式都基于一个相同的条件：圆为问题的主背景，且OA,OB,OC是圆O的半径.若是将这个条件适当变化，就会得到新的视角，新背景，解决问题的新的办法，恰好实现《课标》“要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。
对一个教材问题的变式多解及类比探究
对一个教材问题的变式多解及类比探究魏珂;胡典顺【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2017(000)014【总页数】3页(P92-94)【作者】魏珂;胡典顺【作者单位】华中师范大学数学与统计学学院;华中师范大学数学与统计学学院【正文语种】中文在初中数学教学中，类比思想方法是最通俗易懂和便于运用的数学思想方法之一.若教师能合理有效地将这一思想方法应用于数学解题教学，不仅能减少学生对解题的陌生感，也能有效培养学生的类比思想和逻辑推理能力.笔者将人教版初中数学八年级下册第十八章复习题中的第14题进行变式探究，通过对其中一道变式题多种解法的分析，体会类比思想和逻辑推理的过程，并对另外几道变式题进行类比探究，最后总结出对初中数学教学的几点启示.如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF.本题是人教版初中数学八年级下册第十八章复习题中的第14题，这道题是一道经典几何题，图中包含了特殊的四边形（正方形）和外角平分线，容易得出相关线段长度关系和相关角度的大小.由“∠AEF=90°”可利用初中经典几何模型——“八字形”的性质得出相关角度的大小关系，从而利于解题.这个问题的辅助线作法不唯一，解题方法多种多样.在解题过程中可以发现，题中条件“点E是BC的中点”似乎并没有起到决定性的作用，那么我们不妨将这一条件弱化，再来探究结论是否依旧成立.【变式Ⅰ】如图2，若点E不是BC的中点，其他条件不变，AE=EF是否还成立？思路1：巧妙截取，利用全等.分析：如图3，在AB上截取AG=CE.由正方形ABCD易得△GBE为等腰直角三角形，再由外角平分线CF可得∠ECF=∠AGE=135°.因为∠AEF=90°，可由“八字形”几何模型的性质知∠GAE=∠CEF.由以上分析可得△AGE≅△ECF（ASA），所以AE=EF.该方法是大部分学生较容易想到的一种证明方法.一般地，想要证明两条线段长度相等，会想到把这两条线段放入两个三角形中，通过证明两三角形全等证明这两条线段相等.想要证明两三角形全等，就要构造边或角相等的条件，因此这里截取AG=CE，就构造出了边相等的一个条件，再通过已知条件找出另外两角相等的条件即可证明结论.思路2：连接对角线，构造全等（Ⅰ）.分析：如图4，连接AC，过点E作EG⊥BC交AC于G.由正方形ABCD可知GE∥AB，所以∠AGE=135°且△GEC是等腰直角三角形，可得EG=EC.由外角平分线CF可得∠FCE=135°，所以∠AGE=∠FCE.因为∠AEF= 90°，由“八字型”几何模型性质易得∠BAE=∠CEF.又因为∠EAG=∠BAC-∠BAE=45°-∠BAE，∠EFC=180°-∠ECF-∠CEF=45°-∠CEF，所以∠EAG=∠EFC.从而可证明△AGE≅△FCE（AAS），所以AE=EF.一般地，在正方形中，通常会通过连接对角线构造辅助线，因此这种方法的第一步就是连接对角线AC.而后发现，可以通过常用几何模型“八字形”找到相关角度关系（∠BAE=∠CEF），而想要证明AE=EF，还是要通过构造两三角形并证明其全等.因此，通过分析证明全等的缺失条件可知需要过点E作垂线，通过平行线的性质即可证明出两三角形全等的另一个条件.思路3：连接对角线，构造全等（Ⅱ）.分析：如图5，连接AC，过点E作EG⊥BC交FC的延长线于点G.易证明∠AEC=∠FEG.因为CF为外角平分线，所以∠ECG=45°，所以△CEG为等腰直角三角形.所以EC=EG.再由“八字形”几何模型的性质可知∠EAC=∠EFG.从而△AEC≅△FEG（AAS），所以AE=EF.首先，构造正方形常用辅助线（对角线AC）.为证明AE=EF，可想办法构造一个以EF为边的三角形与△AEC全等.再由已知条件∠AEF=90°，可作辅助线EG⊥BC 交FC的延长线于点G，通过证明这两个三角形全等即可证明结论.思路4：利用旋转，巧构四边形.分析：如图6，将△ABE绕点B顺时针旋转90°，点E对应点为G，连接GE.由旋转图形的性质可知△ABE≅△CBG，由此可得∠BAE=∠BCG，AE= CG.由“八字形”几何模型的性质可知∠BAE=∠CEF，所以∠BCG=∠CEF，所以EF∥CG.由等腰直角三角形BEG和外角平分线CF易得∠GEC=∠FCE，所以GE∥FC.因此四边形EGCF 是平行四边形，所以EF=CG=AE.该方法首先利用旋转的性质并作出辅助线，从而易知旋转前后的两三角形全等，由此可知AE=CG.因此，要想证明AE=EF，只需证明EF=CG，那么需要证明四边形EGCF为平行四边形，再利用平行四边形对边相等的性质，即可得到EF=CG，由此得出结论.思路5：利用对角线，再造正方形.分析：如图7，连接AC，过点E作EG⊥AC于G点，EH⊥FC的延长线于H.易证得△EGC和△EHC都是等腰直角三角形，从而可以得出四边形EGCH为正方形，所以EG=EH.由“八字形”几何模型的性质易得∠EAG=∠EFH.从而△AEG≅△FEH （AAS），所以AE=EF.该方法首先利用常用辅助线（正方形的对角线），过点E向AC作垂线后发现可构造出一个直角三角形AEG.因此，为证明AE=EF，需要再构造一个以EF为斜边的直角三角形，通过证明两直角三角形全等即可证明结论.从而想到过点E作EH⊥FC的延长线于H.思路6：巧用对称，构造等腰.分析：如图8，作点F关于BC的对称点F′，连接FF′、AC、CF′、EF′.由对称的性质及“八字形”几何模型的性质，易得EF=EF′，∠EFC=∠EF′C=∠EAC.又因为∠ACF=∠ACD+∠DCF=90°，∠FCF′=45°×2=90°，所以∠ACF′= 180°，从而A、C、F′三点共线，所以△AEF′是等腰三角形，所以AE=EF′=EF.该方法的巧妙之处在于构造对称点.将△ECF对称变换到△ECF′，由等角对等边得出相关结论，再证明A、C、F′三点共线，最后由△AEF′是等腰三角形得出结论.思路7：巧用条件，寻根溯“圆”.分析：如图9，连接AC、AF，取AF的中点O，连接OE、OC.由已知条件易知∠AEF=∠ACF= 90°.在Rt△AEF和Rt△ACF中，因为点O是AF的中点，所以OE= OA=OF=OC=1AF，所以A、E、2 C、F四点共圆且圆心为O.易知△AEF是等腰直角三角形，所以AE=EF.该方法的重点是证明四点共圆，并利用圆的相关性质证明结论.不过圆的相关性质是九年级的数学知识，但是鉴于四点共圆的证明方法在初中几何证明题中也会经常用到，读者可以体会此种方法的巧妙、便捷之处.欣赏了上面这道变式题的七种证法，想必对这个几何模型有了更深入的认识，下面通过类比探究，将教材问题中的相关条件再次进行变式，又可得到以下三道变式题. 【变式Ⅱ】如图10，若点E在BC的延长线上，其他条件不变，试探究AE与EF 之间的数量关系.探究：参照变式Ⅰ的思路一（巧妙截取，利用全等），我们试着探究这道题中AE=EF是否依旧成立.如图11，延长BA至点G，使AG=EC，连接GE.由条件易得∠GAE=∠CEF，且∠AGE=∠ECF=45°，从而△AGE≅△ECF（ASA），所以AE=EF依旧成立.【变式Ⅲ】如图12，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，点E是BC边上一点，∠AEF=60°，且EF交直线CD于点F，求证：AE=EF.探究：参照变式Ⅰ的思路一（巧妙截取，利用全等），我们试着探究这道题的结论是否依旧成立.同样地，如图13，在AB边上截取AG=EC，连接GE.由菱形ABCD的条件及性质，可知，△BGE是一个等边三角形，容易得出∠AGE=∠ECF=120°.因为∠B=∠AEF=60°，所以∠GAE+∠BEA=180°-∠B=120°，∠CEF+∠BEA= 180°-∠AEF=120°，可以得出∠GAE=∠CEF，从而证明出△AGE≅△ECF（ASA），所以AE=EF成立.【变式Ⅳ】如图14，在上题中，若点E在BC的延长线上，其他条件不变，试探究AE与EF的数量关系.探究：根据变式Ⅱ的探究方法，变式Ⅳ的证明思路与之类似.如图15，延长BA至点G，使AG=EC，连接GE.由条件易得∠GAE=∠CEF，且∠AGE=∠ECF=60°，从而△AGE≅△ECF（ASA），所以AE=EF.通过对以上三道变式题“截取法”的探究，变式Ⅰ的另外六种方法是不是也适用呢？有兴趣的读者可以继续探究.首先，变式教学是我国的一种传统教学方式，它从不同角度，或不同情境，或不同层次，对数学中的某些例题或习题进行条件的弱化或变化，使其暴露问题的本质特征，从而揭示不同知识点之间的内在联系，通过解决原问题促进新问题的诞生和解决.数学变式教学不仅仅是一种数学教学方式，而且是一种数学教学思想，通过一题多法、一法多用、一题多变等训练，激发学生的求知欲，调动学生的学习积极性，促进学生逻辑思维能力的发展.其次，一题多解有助于学生对数学知识和数学思想方法的理解和运用，有助于学生迁移能力的形成，还有助于学生发散思维能力的提高.学生通过多角度思考问题，深入探究问题本质，从而找到解决问题的途径.通过把同一问题的不同方法放在一起探究，不仅对解题方法作了归纳总结，而且对解题思想进行了梳理.这样的教学方式，一方面能够使学生避免“题海”战术，减轻学生的课业负担；另一方面对知识的掌握、思维和能力的培养也起着至关重要的作用.再次，类比是数学学习中一种很具有思维创新价值的思想方法.在研究问题时，有了类比，我们可以根据其中的思想方法、表现形式等去利用其他的知识和方法大胆提出设想，找到具有创新性的解题方法.运用类比思想方法可以使知识得到迁移，思维得到升华.俗话说“授人以鱼，不如授人以渔”，放在数学教学中，这句话的意思就是说，教会学生正确的数学思想方法，比灌输给他们一大堆知识使他们受益更多.通过类比思想方法的教学，能够很好地锻炼学生的数学抽象能力、直观想象能力、逻辑推理能力等数学核心素养，增强课堂教学的有效性，有助于学生“温故而知新”.【相关文献】1.孙春阳.类比思想在数学教学中的渗透［J］.初中数学教与学，2014（2）.2.濮安山.例谈“一题多解”的数学教育价值［J］.现代中小学教育，2016，32（7）.。
一道教材练习题的再思考
一道教材练习题的再思考杨伟达（花都区第二中学 广东广州市 510820）内容摘要： 三角形是中小学教材中最常见、最简单的图形。
就是这样一个图形，它却成了不少高考命题者的第一视觉，成了学生每年高考的必考题。
在翻阅高中数学教材时笔者找到了一道不起眼的练习题，引起笔者的注意，激发笔者的深思，品味着三角形带来的乐趣。
关键词： 教材 习题 思考俗话说：高考试题源于教材，又高于教材。
纵观近几年高考数学题，许多高考试题在教材中都有呈现，进而找到了试题的“活化石”。
因此，回归教材就是在高考题中找到教材中的“活化石”，感悟着“活化石”带来的数学味道。
一、题目再现题目 （高中人教版必修5 P18练习第2题） 一块四边形土地的形状如图所示，它的三条边的长度分别是50m ，60m ，70m ，两个内角是127°和132°，求四边形的面积（精确到0.01）。
分析 这是一道生活中的数学题。
笔者在翻阅教材时引起了笔者的注意，于是捡回了此题，查阅教师教学用书，可在教参里只提供了答案，没有详细的解答过程，或许该题运算繁杂、方法复杂，或许是练习题的缘故，没有引起师生重视。
对此笔者感到在生活中数学无处不在，加上解决此题的思想、方法来自生活实践，笔者觉得很值得探讨。
二、解法探究思路一 （分割+正、余弦定理）分析 对于这样的不规则的四边形，没有直接计算面积方法，采用分割法把四边形分成两个三角形，分别求出两个三角形的面积，以和的形式求得四边形的面积。
解法1 如图1，连结AC在△ADC 中 根据余弦定理得： ADC DC AC DC AD AC ∠⋅⋅-+=cos 2222127c o s 60502605022⨯⨯⨯-+= 89.9710=所以54.98=AC m再根据正弦定理得： D AC ACD AD ∠=∠sin sin 即：︒=∠127sin 54.98sin 50ACD 求得：4052.0sin =∠ACD所以 ︒=∠9.23ACD (锐角) A BC图1 D因为︒⋅=︒⋅-︒=∠-=∠1108923132132DCA ACB所以ACB ACD A S S ∆∆+=S BCD 四边形 ACB CD AC ADC CD AD ∠⨯⨯⨯+∠⨯⨯⨯=sin 21sin 21 ︒⋅⨯⨯⋅⨯+︒⨯⨯⨯=1108sin 70549821127sin 605021 =4476.19 m 2思路二 （补形+正弦定理）分析 对于这样的不规则的四边形，没有直接计算面积方法，采用补形法把四边形补角还原成一个大三角形，分别求出两个三角形的面积，以差的形式求得四边形的面积。
“一道课本习题的变式及解法探究”教学设计
“一道课本习题的变式及解法探究”教学设计教学内容:人教版义务教育课程标准实验教程八年级数学第十二章复习题，第12题证明及拓展变式题解法探究。
教学目标:1.知识与技能:经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，证明与等腰三角形相关的问题。
2.过程与方法:（ 1）．通过对一道题的解法及变式的探究，培养学生的猜想、证明和合作交流水平。
（2）．通过对本节课的探究，培养学生的审题水平、分析水平，激发学生学习数学的兴趣。
3.情感与态度:（1）.在探究过程中，培养学生善于观察，勤于思考，获得严谨认真的思维习惯和解决问题的方法。
（2）.在合作与交流活动中发展学生的思维意识和团队精神，在探究活动中感受成功的喜悦。
教学重点:怎样据题目条件构建全等三角形，证明线段之间的关系。
教学难点:怎样从基本图形中找到解决问题的途径和根据证明的需要添加辅助线。
教学过程:出示原题:如图1，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，求证:DB=DE师:结合平时学习，证明线段相等常常有哪些方法?生:常常构造全等三角形或构造等腰三角形.师:此题如何证明呢?生:如图1，根据等边三角形ABC及D为AC的中点，可知:∠DBC=300，∠ACB=600，又由于DC=CE，可知∠E=300,那么，∠DBE=∠DEB,故DB=DE.师:若在本题条件中，增加点F 点与点B 重合，BE+BF 与BC 有何数量关系? 生:BE+BF=32BC 师:很好！今天我们把以上问题作为原题并将这个问题实行拓展变形，得到如下问题。
变式1:将图1中的∠FDE 绕D 点顺时针旋转一定的角度（如图2），DF 交AB 与F 点，DE 交BC 的延长线于E 点，其中，“等边△ABC 中，D 为AC 的中点”这个条件不变，将“CD=CE 换成∠FDE=1200”则DE 与DF 有怎样的数量关系? BE+BF 与BC 有何数量关系?师:仔细读题，画出满足条件的图形，明确已知和求证，通过量一量、猜一猜，它们有什么数量关系?（学生动手画图，教师用投影仪展示学生的作图）生:我通过度量发现DE=DF ，猜想BE+BF=32BC 仍然成立。
新课程理念下数学问题的变式探究与反思
新课程理念下数学问题的变式探究与反思数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，新课程的基本理念又倡导积极主动、勇于探索的学习方式。
毋庸置疑，课堂是教学改革的主阵地，课本的探究和例题、习题给我们提供了丰富的素材，如何用新课程的理念来改造，挖掘教材内容中适合学生探究的素材，研究什么？怎么研究？何时研究？是摆在我们广大教师面前的一大问题，以下是笔者在执教人教A 版选修2-1第二章《圆锥曲线和方程》过程中在讲完椭圆和双曲线以后，针对书本探究材料，进行变式探究和反思的案例。
探究 ：点A,B 的坐标分别是(5,0)-,(5,0)，直线,AM BM 相交与点M ，且它们的斜率之积是49，试求点M 的轨迹方程，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状。
与2.2例3比较，你有什么发现？（附2.2例3点A,B 的坐标分别是(5,0)-,(5,0)，直线,AM BM 相交与点M ，且它们的斜率之积是49-，试求点M 的轨迹方程） 这是人教版选修2-1中 2.3.1，第55页中的一个探究。
探究问题的解决很容易，M 的轨迹方程为221100259x y -=≠± (x 5)，且例三的轨迹方程是221100259x y +=≠± (x 5) 。
思考：探究与例3的区别在于条件中49与49-的区别，所以很自然想到两直线斜率乘积的正负区别即当斜率乘积为正的时候轨迹是双曲线方程，当斜率乘积为负且1≠-x 时轨迹是椭圆方程。
但它们应该属于同一种类型的题，我们不妨先来探究其中一种，另一种由类比应该可得。
从所求的轨迹方程可以看到两直线斜率的乘积恰好是所求双曲线中的2a2b ，而,A B 两点恰好是双曲线的左右顶点，想到是否具有一般化呢？于是有如下变式：变式一：点A,B 的坐标分别是(,0)a -,(,0)a ，直线,AM BM 相交与点M ，且它们的斜率之积是22b a ，则点M 的轨迹方程是22221x y a b-=≠± (x a)类比可得若点A,B 的坐标分别是(,0)a -,(,0)a ，直线,AM BM 相交与点M ，且它们的斜率之积是22b a - (0)a b >>，则点M 的轨迹方程是22221x y a b+=≠± (x a) 思考：若斜率乘积为一个普通的常数(0)k k ≠呢？则有如下变式变式二：点A,B 的坐标分别是(,0)a -,(,0)a ，直线,AM BM 相交与点M ，且它们的斜率之积是(0)k k ≠，则点M 的轨迹方程是22221x y a ka-=≠± (x a)可以看到变式二高度概括了变式一的两种情形，甚至包括当1k =-时轨迹为圆方程的情形。
研学例题 变式思考 提高数学素养
研学例题变式思考提高数学素养例题、习题是教材的重要组成部分，是数学学习的重要知识载体，也是学习数学解题方法，解题技巧的知识源头，更是提升数学素养，形成数学智慧的根本途径.如何学习，掌握例题、习题呢？今天就谈谈这个话题.一、课本母题溯源例题再现：例3 如图12.2-9,点 D在AB 上，点E在AC上，AB=AC,∠B=∠C.求证：AD=AE.(人教版数学半年及上册P40页例3）题意剖析：证明线段相等，目前途径有两条，一条是线段的中点把线段分成相等的两条较短线段，特点：相等的线段必须在同一条直线上；一条是全等三角形的对应边相等，特点：所求相等线段，可以在同一条直线上，也可以不在同一直线上.回头看题目，所求相等线段不共线，且分布于两个不同三角形中，看来证明两个三角形全等是解决问题的根本途径，确定解决问题的办法后，接下来就是准备解决问题的所需知识，三角形全等的判定定理：ASA,SAS，AAS，SSS,适合所有的三角形；HL法值适合两个直角三角形.解题思路就可以确定了，思维导图具体如下：解后反思：题目特点有三：一是两个三角形有一组完全重合的公共角，公共角一定相等，为三角形全等间接提供了一个“角”元素即一个“A”，从而把知识的选择范围直接确定为三种ASA 和AAS,SAS，极大提高了思维效率，知识的确定性高；二是三角形一组对应边的相交点恰好位于公共角的内部；三是交点处生成一对较小三角形，它们是否全等？还有其他的线段相等吗？为开启探索之路提供了广阔的思维空间.二、母题变式思索变式思考方向一：图形不变，变换已知与结论，深入思考变式1：如图1，点 D在AB 上，点E在AC上，AB=AC,AD=AE.求证：∠B=∠C.分析：已知与结论的适当调换，解题方法不变-----三角形全等法，但是解决问题所需要的知识却发生了改变，变ASA为SAS，从而实现深挖问题内涵，巩固不同知识的例题教学功效.证明：变式2：如图1，点 D在AB 上，点E在AC上，AD=AE，∠B=∠C.求证：AB=AC.分析：轮流调换已知与结论，解题方法不变----三角形全等法，但是解决问题所需要的知识却发生了改变，变ASA为AAS，从而实现深挖问题内涵，巩固不同知识的例题教学功效.变式思考方向二：图形不变，变换已知与结论叙述方式，深入思考变式3：如图2，从C地看A,B两地的视角∠C是锐角，从C地到A,B两地的距离相等.A地到路段BC的距离与B地到路段BC的距离相等吗？为什么？分析：变换问题叙述方式也是数学变式思维的一种变化方向，也是检验同学们对知识掌握准确度的有效方式，只有理解题意，把握内涵，才能确定方法，选择知识，规范推理，高效解决.变式后，出现了两个相近度极高的概念，一个是点对点的距离，意义为连接两点构成的线段长度；一个是点对线的距离，意义为点到直线的垂线段长度.理解准这两个距离，才能有效解题.解答时，分两步思维探解：1.变式问题叙述，叙述数学化，使得问题思考常态化如图2，从C地看A,B两地的视角∠C是锐角，CA=CB，AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E.求证：AD=BE.2.选用知识，规范推理证明：因为AD⊥BC,BE⊥AC,所以∠ADC=∠BEC.变式思考方向三：图形不变，引入新字母，深入思考新结论变式4：如图3，点 D在AB 上，点E在AC上，AB=AC,∠B=∠C，CD与BE交于点F.图中有多少对相等的线段？（已知除外）并选择其中你最喜欢的一对给出证明.分析：添加一个字母，赢得深度思考的机会，使得题目的性质发生了质的变化，由一般性常态问题变身提升为猜想型创新问题，变单一型问题解决为综合型问题解决，让创新这个抽象的概念变得与同学们零距离了，原来只要选择恰当的方法，抓住一个合适的思考方向，创新思维就成为你的“战利品”，成功的创新会不断激励你走上更高层次的创新方式，不断形成自我数学智慧，提高数学问题解决的质量.解：图中相等的线段有：①AD=AE；②BD=CE；③CD=BE；④DF=EF；⑤BF=CF.以BF=CF为例，给出证明.所以BF=CF.变式5：如图3，点 D在AB 上，点E在AC上，AB=AC,∠B=∠C，CD与BE交于点F.图中有多少对相等的角？（已知除外）并选择其中你最喜欢的一对给出证明.猜想与证明，请读者自己完成.变式思考方向四：图形不变，引入新线段，思考新结论变式6：如图6，点 D在AB 上，点E在AC上，AB=AC,∠B=∠C，CD与BE交于点F，连接AF.求证：AF平分∠BAC.你还有新发现吗？分析：三角形全等后对应边相等，对应角相等，这就为角的平分线证明提供解题思路，这是全等三角形解题应用的另一个应用层面，证明的方法也是多样的，为一题多解的解题思维训练提供锻炼平台.此题最大的特点是有一条完全重合的公共边AF.证明：易证AD=AE,BF=CF，AF=AF(公共边），所以△ABF≌△ACF（SSS），所以∠BAF=∠CAF,所以AF平分∠BAC.AF还平分∠DFE.变式思考方向五：图形改变，变公共角完全重合为部分重合，思考新结论变式7：如图5，AB=AC,∠B=∠C，∠BAD=∠CAE.求证：AD=AE.分析：将例题中的完全重合角改为部分角的重合，导致公共角相等这个隐含条件不能成立，从而为问题解决增加了难度，设置了障碍，为确保问题顺利求解，必须增加已知条件，于是就出现了∠BAD=∠CAE这个新增条件，从而确保了问题依然能顺利求解.解：因为∠BAD=∠CAE，所以∠BAD+∠BAC =∠CAE+∠BAC，所以∠DAC =∠EAB.在△ADC和△AEB中，，所以△ADC≌△AEB（ASA）.所以AD=AE.此题可以从等角的角度继续探索新结论，感兴趣的读者可以尝试探究.三、母题、变式题走进中考舞台3.1变母题为填空题例1(2019年邵阳)如图6，已知AD=AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是．（不添加任何字母和辅助线）分析：因为∠A=∠A，AD=AE，所以可添加AB=AC，此时满足SAS；添加条件∠ADC=∠AEB，此时满足ASA；添加条件∠ABE=∠ACD，此时满足AAS.解：可以添加的条件：AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ABE=∠ACD.点评：这是一道条件添加开放题，是数学创新题型的代表之一，牢记全等三角形的判定方法是解题的关键．3.2变式题变形选择题例2（2019?滨州）如图7，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1所以MO平分∠BMC，所以④正确；正确的个数有3个.解B．点评：变式条件，探索结论将是数学学习与探究的重要内容，是数学创新精神的熠光体现.3.3变式题进中考例3（2019年淄博）已知，在如图8所示的“风筝”图案中，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠E=∠C．分析：这是变式7的再次变式的一种，是展示数学创新和数学智慧的有效手段.证明：因为∠BAE=∠DAC，所以∠BAE+∠EAC =∠DAC+∠EAC，所以∠BAC =∠DAE.在△ABC和△ADE中，，所以△ABC≌△ADE（SAS）.所以∠E=∠C．点评：探究线段之间的关系，角之间的关系是数学学习中两种重要组成部分，不仅要掌握探究的方法，探究的技巧，更要掌握探究的智慧和遵循的基本策略.3.4将角特殊化例4（2019?贵州省铜仁市）如图9，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE．求证：BD=CE．分析：将一般性条件特殊化也是数学创新的有效方式之一.证明：因为AB⊥AC，AD⊥AE，所以∠BAE+∠CAE=90°，∠BAE+∠BAD=90°，所以∠CAE=∠BAD．因为AB=AC，∠ABD=∠ACE，所以△ABD≌△ACE（ASA）．所以BD=CE．点评：将一般角变式直角，利用互余关系提供三角形全等需要的角元素是解题的关键.这种一般与特殊的解题思想也是数学学习的重要思想之一.3.5变式图形，寻找新全等三角形例5（2019?江苏无锡）如图10，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，BD=CE， BE、CD相交于点O．（1）求证：△DBC≌△ECB；（2）求证：OB=OC．分析：由AB=AC,BD=CE可得AD=AE，从而将问题化归为母题，变式4，问题自然得解.证明：（2）因为AB=AC,BD=CE，所以AB-AD=AC-CE即AD=AE，点评：正确寻找适当的全等三角形是解题的关键.。
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人教版数学七年级一道教材习题的探解、变式与思考
教材是学习的“航母”，认真研究教材，研究习题，学习的“航母”才能有强有力地续航能力，高效的学习效率和高效的解题技能.今天我们就一起走进教材，走进习题. 七年级数学下册第102页上有如下拓广探索题：
习题再现：
打折前，买60件A 商品和30件B 商品用了1080元，买50件A 商品和10件B 商品用了840元，打折后，买500件A 商品和500件B 商品用了9600元，比不打折少花多少钱？ 解法直播：
设A 商品的单价为x 元，B 商品的单价为y 元，根据题意，得：
⎩⎨⎧=+=+840105010803060y x y x ，化简，得⎩⎨⎧−−=+=+②
①845---362y x y x ， ②-①得3x=48,解得x=16,把x=16代入①，得y=4，所以原方程组的解为⎩
⎨⎧==416y x ， 所以打折前的费用：500×16+500×4=500×（16+4）=10000（元），
打折后的费用为9600元，所以本次交易少花：10000-9600=400（元）.
答：购买500件A 商品和500件B 商品，比不打折少花了400元.
变式思考：
变式1：条件保持不变变换结论
例1 某专卖店有A ，B 两种商品，已知在打折前，买60件A 商品和30件B 商品用了1080元，买50件A 商品和10件B 商品用了840元，A ，B 两种商品打相同折以后，某人买500件A 商品和450件B 商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？
解析：设打折前A 商品的单价为x 元/件、B 商品的单价为y 元/件，
根据题意得：⎩⎨⎧=+=+840105010803060y x y x ，化简，得⎩⎨⎧−−=+=+②
①845---362y x y x ， ②-①得3x=48,解得x=16,把x=16代入①，得y=4，所以原方程组的解为⎩⎨
⎧==416y x ，
所以500×16+450×4=9800（元），所以9800
19609800−=0.8．答：打了八折．
点评：变换结论体现思维的发散性是数学学习的一个重要方向，也是创新思维的一个新视角，希望同学们能大胆地用好这个思维模式，思维工具，来锻炼自己的创新能力，提高创新水平. 变式2：将A,B 两种商品变换为跳绳和毽子
例2（2019年广西河池市）在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．
（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？
（2）该店在“五•四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？ 解析：（1）设跳绳的单价为x 元/条，毽子的单件为y 元/个，可得：⎩⎨⎧=+=+360
50107206030y x y x ，
化简，得⎩⎨⎧−−=+=+②①
365---242y x y x ，②-①得3y=12,解得y=4,把y=4代入①，得x=16，所以原方程组的解为⎩⎨⎧==4
16y x .答：跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为4元/个；
（2）设该店的商品按原价的x 折销售，可得：（100×16+100×4）×
10x =1800， 解得：x ＝9.答：该店的商品按原价的9折销售．
点评：理解题意，确定数学知识点的对接点，明确等量关系，正确布列方程，构造好方程组是解题关键．其次，学会一种新的表示打折的方法也是解题的一个重要环节. 解后收获：
通过学习，学会了三种求打折数的方法：
1.打折数，打折后的费用构造方程求解：
数量×单价×折数=折后费用 特点：折数是小数，需要扩大10倍，得到答案.
2.打折数，打折后的费用构造方程求解： 数量×单价×10
折数=折后费用 特点：求得数就是答案. 3.打折前购物费用，打折后购物费用构造方程求解：
打折数=10⨯打折前的费用
打折后的费用.求得单价，继而确定打折前的总费用是解题的关键.。