代数与几何综合题(时间90分钟).
专题九几何综合体、代数和几何综合题(含答案)
2012年中考第二轮专题复习九：几何综合体、代数和几何综合题1（2011河北省）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA 的延长线上，且CE=BK=AG．（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图。
分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；（4）由已知表示出的值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°．又∵CE=AG，∴△DCE≌△GDA，∴DE=DG，∠EDC=∠GDA，又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°，∴DE⊥DG．（2）如图．（3）四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK、DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，∵BK=AG，∴KG=AB=CD，∴四边形CKGD是平行四边形，∴CK=DG=EF，CK∥DG，∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，∴∠KME+∠DEF=180°，∴CK∥EF，∴四边形CEFK为平行四边形．（4）=．点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂2（2011新疆建设兵团）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求AB的长；（2）设BP=x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形。
代数几何综合(含答案)
23．（本小题7分）如图,在平面直角坐标系中,A(-3,0)，点C 在y 轴的正半轴上，BC ∥x 轴，且BC=5,AB 交y 轴于点D ，OD=23． （1）求出点C 的坐标； （2）过A 、C 、B 三点的抛物线与x 轴交于点E ，连接BE ．若动点M 从点A 出发沿x 轴向x 轴正方向运动，同时动点N 从点E 出发，在直线EB 上作匀速运动，两个动点的运动速度均为每秒1个单位长度，请问当运动时间t 为多少秒时，△MON 为直角三角形? 23．解：（1）∵ BC ∥x 轴， ∴ △BCD ∽△AOD ．∴ CD BC OD AO=． ∴ 535322CD =⨯=．∴ 53422CO =+=． ∴ C 点的坐标为 (0，4) ． ……………………… 1分 （2）如图1，作BF ⊥x 轴于点F ，则BF= 4． 由抛物线的对称性知EF=3．∴BE=5，OE=8，AE=11． ………………………… 2分 根据点N 运动方向，分以下两种情况讨论： ① 点N 在射线EB 上．若∠NMO=90°，如图1，则cos ∠BEF=ME FENE BE=, ∴1135t t -=，解得558t =．……………… 3分 若∠NOM=90°，如图2，则点N 与点G 重合．∵ cos ∠BEF=OE FEGE BE=， ∴ 835t =，解得403t =． …………………… 4分∠ONM=90°的情况不存在． ………………………………………………………… 5分 ② 点N 在射线EB 的反向延长线上．若∠NMO=90°，如图3，则cos ∠NEM= cos ∠BEF ，∴ME FENE BE =． ∴ 1135t t -=，解得552t =． …………………… 6分 而∠NOM=90°和∠ONM=90°的情况不存在．…… 7分 综上，当558t =、403t =或552t =时，△MON 为直角三角形．（第23题图2）D(N)（第23题图3）D（第23题）25.（7分）已知，抛物线22y ax bx =+-与x 轴的两个交点分别为A （1,0），B （4，0），与y 轴的交点为C ． （1）求出抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）点P 是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OCB 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（7分）解：（1）据题意，有0164202a b a b =+-⎧⎨=+-⎩， ． 解得 1252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ． ∴抛物线的解析式为：215222y x x =-+-．点C 的坐标为：（0，-2）． ………………………（2）答：存在点P （x ，215222x x -+-），使以A ，P ，M ∵∠COB =∠AMP =90°，∴①当OC OBMP MA =时，△OCB ∽△MAP ． ②当OC OB MA MP=时，△OCB ∽△MP A ． ①OC MP OB MA =，∴215222241x x x -+=-． 解得：x 1=8，x 2=1（舍）． ②OC MA OB MP =，∴221154222x x x -=-+． 解得：x 3=5，x 4=1（舍）．综合①，②知，满足条件的点P 为：P 1（8，-14），P 2（5，-2）． ……………………… 7分24. 在△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB=．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．(1) 当点BB 的横坐标；(2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C ，请你探究：当a =，12b =-，c =A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由。
初中数学代数几何综合问题
代数几何综合问题一、选择题1．如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P与点A重合时，y=0．其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为【】A．0 B．1 C．2 D．32．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为【】A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=13．若a，b为实数，且a1b10++-=，则（ab）2013的值是【】A、0B、1C、﹣1D、±14．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是【】A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确5．若平行四边形的一边长为2，面积为46】A ．3与4之间B ．4与5之间C ．5与6之间D ．6与7之间6．已知()2x y 32x y 0-+++=，则x +y 的值为【 】A ．0B ．﹣1C ．1D ．57．一条直线y =kx +b ，其中k +b =﹣5、kb =6，那么该直线经过【 】A ．第二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、三象限D ．第二、三、四象限 8．已知实数x ，y ，m 满足x 2|3x y m |0++++=，且y 为负数，则m 的取值范围是【 】A ．m ＞6B ．m ＜6C ．m ＞﹣6D ．m ＜﹣6二、填空题9．若a 2b 30-+-=，则a b = ▲ ．10．如图，正方形ODBC 中，OC =1，OA =OB ，则数轴上点A 表示的数是 ▲ ．11．若实数a 、b 满足a 2b 40++-=，则2a b= ▲ ． 12．无论x 2x 6x m -+都有意义，则m 的取值范围为 ▲ ．13a 1a b 10-+++＝，则a b = ▲ ．14．已知点P （3，﹣1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a +b ，1﹣b ），则a b 的值为 ▲ ．15．函数3x y -=x 的取值范围是 ▲ ． 16．函数y x 3=-x 的取值范围是 ▲ ；若分式2x 3x 1-+的值为0，则x = ▲ ． 17．若直角三角形的两直角边长为a 、b 2a 6a 9b 40-+-=，则该直角三角形的斜边长为 ▲ ．1822a 3a 1b 2b 10-+++=，则221a b a +-= ▲ 。
几何与代数知识的融合应用的综合题
几何与代数基础知识
第一章
几何与代数的概念
几何：研究空间结构及性质的一门 学科，包括点、线、面、体等基本 元素和形状、大小、位置关系等基 本概念。
几何与代数的融合：在数学中，几 何与代数是相互联系、相互渗透的， 代数的方法可以用来研究几何问题， 而几何的直观性也可以帮助理解代 数问题。
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题目：已知双曲线 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为 √3，且过点 (√3,1/2)。
题目：已知圆 C：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，直线 l：mx - y + n = 0，若直线 l 与圆 C 相切，则 m、n、a、b、r 间满足的关系式为 _______．
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验证物理理论：几何与代数在验证物理理论 方面也发挥了重要作用，如通过实验数据绘 制图表、计算相关物理量等。
几何与代数在计算机科学中的应用
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计算机图形学：几何与代数在计算机图形学中广泛应用，用于 描述三维物体的形状、位置和运动。
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计算机视觉：通过几何与代数的方法，可以对图像和视频进行 预处理、特征提取和识别。
实例：在研究经济增长时，可以通过解析几何与代数的方法来建立经济增长模型，从 而更好地预测未来的经济走势。
实例：在研究国际贸易时，可以通过解析几何与代数的方法来建立贸易模型，从而更 好地分析国际贸易的利弊。
实例：在研究投资组合时，可以通过解析几何与代数的方法来建立投资组合模型，从 而更好地优化投资组合。
检查结果：最后检查结果是否符合题目的要求。
几何与代数知识的融合应用 实例
代数几何综合题含答案
争分夺秒 分秒必争 我的人生 我做主 只要认真做事 一切皆有可能 东升求实学校2015届初三数学培优资料专题三 代数几何综合题1、（2014•广东）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC=10cm ，AD=8cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）当t=2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF 的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析： （1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF 的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解． 解（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H 为AD 的中点，如答图1所示．答： 又∵EF ⊥AD ，∴EF 为AD 的垂直平分线，∴AE=DE ，AF=DF ．∵AB=AC ，AD ⊥AB 于点D ，∴AD ⊥BC ，∠B=∠C ． ∴EF ∥BC ，∴∠AEF=∠B ，∠AFE=∠C ， ∴∠AEF=∠AFE ，∴AE=AF ，∴AE=AF=DE=DF ，即四边形AEDF 为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴，即，解得：EF=10﹣t ．S △PEF =EF •DH=（10﹣t ）•2t=﹣t 2+10t=﹣（t ﹣2）2+10 ∴当t=2秒时，S △PEF 存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．（3）解：存在．理由如下：①若点E 为直角顶点，如答图3①所示， 此时PE ∥AD ，PE=DH=2t ，BP=3t ． ∵PE ∥AD ，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F 为直角顶点，如答图3②所示，争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F 作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t ．在Rt △EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t ）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t ，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN 2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF 2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．25．（9分）（2013•汕头）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=_________度；（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料考点：相似形综合题．专题：压轴题．分析：（1）如题图2所示，由三角形的外角性质可得；（2）如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况：（I ）当0≤x≤2时，如答图1所示；（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示；（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示．解答：解：（1）如题图2所示，∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=，∴tan∠DFE==，∴∠DFE=60°，∴∠EMC=∠FMB=∠DFE﹣∠ABC=60°﹣45°=15°；（2）如题图3所示，当EF经过点C时，FC====；（3）在三角板DEF运动过程中，（I）当0≤x≤2时，如答图1所示：设DE交BC于点G．过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB 为等腰直角三角形，MN=BN．又∵NF==MN，BN=NF+BF，∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．y=S△BDG﹣S△BFM=BD•DG﹣BF•MN=（x+4）2﹣x •x=x2+4x+8；（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示：争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．又∵NF==MN，BN=NF+BF，∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．y=S △ABC﹣S △BFM=AB•AC﹣BF•MN=×62﹣x•x=x 2+18；（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示：由BF=x，则AF=AB ﹣BF=6﹣x，设AC与EF 交于点M，则AM=AF•tan60°=（6﹣x）．y=S△AFM =AF•AM=（6﹣x）•（6﹣x）=x2﹣x+．综上所述，y与x的函数解析式为：y=．点评：本题是运动型综合题，解题关键是认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形形状的变化情况．在解题计算过程中，除利用三角函数进行计算外，也可以利用三角形相似，殊途同归．25．（2014年广东汕尾）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M 的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料分析：（1）令y=0，解方程x2﹣x﹣3=0可得到A点和D点坐标；令x=0，求出y=﹣3，可确定C点坐标；（2）根据抛物线的对称性，可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x轴上方，存在两个点，这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离；（3）根据梯形定义确定点P，如图所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P 1与D点重合，即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP 2，确定梯形ABCP2．先求出直线CP2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标．解：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴当y=0时，x2﹣x﹣3=0，解得x1=﹣2，x2=4．当x=0，y=﹣3．∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴对称轴为直线x==1．∵AD在x轴上，点M在抛物线上，∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，∵C 点坐标为（0，﹣3），∴M点坐标为（2，﹣3）；②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x 轴的距离等于点C到x轴的距离3．当y=4时，x2﹣x﹣3=3，解得x1=1+，x2=1﹣，∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；（3）结论：存在．如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1．由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P1与D点重合，∴P1（﹣2，0）．∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC ，∴四边形ABCP1为梯形；②若AB∥CP 2，此时梯形为ABCP2．∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），∴直线AB的解析式为y=x ﹣6，∴可设直线CP2的解析式为y=x+n，将C点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3，∴直线CP2的解析式为y=x﹣3．∵点P2在抛物线y=x2﹣x﹣3上，∴x2﹣x﹣3=x﹣3，化简得：x2﹣6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，∴点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，∴P2（6，6）．∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四边形ABCP2为梯形．综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，三角形的面积，梯形的判定．综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．22．(2014年广东深圳)如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC 并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙M的半径；（2）证明：BD为⊙M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DP ﹣AP|最大．考点：圆的综合题．分析：（1）利用A，B点坐标得出AO，BO的长，进而得出AB的长，即可得出圆的半径；（2）根据A，B 两点求出直线AB表达式为：y=﹣x+3，根据B，D 两点求出BD 表达式为y=x+3，进而得出BD⊥AB，求出BD为⊙M的切线；（3）根据D，O两点求出直线DO表达式为y=x 又在直线DO 上的点P的横坐标为2，所以p（2，），此时|DP﹣AP|=DO=．解答：（1）解：∵由题意可得出：OA2+OB2=AB2，AO=4，BO=3，∴AB=5，∴圆的半径为；（2）证明：由题意可得出：M（2，）又∵C为劣弧AO的中点，由垂径定理且MC=，故C（2，﹣1）过D 作DH⊥x 轴于H，设MC 与x 轴交于K，则△ACK∽△ADH，又∵DC=4AC，故DH=5KC=5，HA=5KA=10，∴D（﹣6，﹣5）设直线AB表达式为：y=ax+b，，解得：故直线AB表达式为：y=﹣x+3，同理可得：根据B，D两点求出BD的表达式为y=x+3，∵K AB×K BD=﹣1，争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴BD⊥AB ，BD为⊙M的切线；（3）解：取点A 关于直线MC 的对称点O，连接DO并延长交直线MC于P，此P点为所求，且线段DO的长为|DP﹣AP|的最大值；设直线DO表达式为y=kx，∴﹣5=﹣6k，解得：k=，∴直线DO表达式为y=x又∵在直线DO上的点P的横坐标为2，y=，∴P（2，），此时|DP﹣AP|=DO==．点评：此题主要考查了勾股定理以及待定系数法求一次函数解析式以及两直线垂直系数的关系等知识，得出直线DO，AB，BD的解析式是解题关键．23．(2014年广东深圳)如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）求出点A的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式；（2）①首先确定点E为Rt△BEF的直角顶点，相似关系为：△BAO∽△BFE；如答图2﹣1，作辅助线，利用相似关系得到关系式：BH=4FH，利用此关系式求出点E的坐标；②首先求出△ACD的面积：S△ACD=8；若S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，则S△EFG=64或S△EFG=1；如答图2﹣2所示，求出S△EFG的表达式，进而求出点F的坐标．解答：解：（1）直线AB的解析式为y=2x+4，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣2．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴A（﹣2，0）、B（0，4）．∵抛物线的顶点为点A（﹣2，0），∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2，点C（0，﹣4）在抛物线上，代入上式得：﹣4=4a，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2．（2）平移过程中，设点E的坐标为（m，2m+4），则平移后抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣m）2+2m+4，∴F（0，﹣m2+2m+4）．①∵点E为顶点，∴∠BEF≥90°，∴若△BEF与△BAO相似，只能是点E作为直角顶点，∴△BAO∽△BFE ，∴，即，可得：BE=2EF．如答图2﹣1，过点E作EH⊥y轴于点H，则点H坐标为：H（0，2m+4）．∵B（0，4），H（0，2m+4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BH=|2m|，FH=|﹣m2|．在Rt△BEF中，由射影定理得：BE2=BH•BF，EF2=FH•BF，又∵BE=2EF，∴BH=4FH，即：4|﹣m2|=|2m|．若﹣4m2=2m，解得m=﹣或m=0（与点B重合，舍去）；若﹣4m2=﹣2m，解得m=或m=0（与点B重合，舍去），此时点E位于第一象限，∠BEF为钝角，故此情形不成立．∴m=﹣，∴E（﹣，3）．②假设存在．联立抛物线：y=﹣（x+2）2与直线AB：y=2x+4，可求得：D（﹣4，﹣4），∴S△ACD=×4×4=8．∵S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，∴S△EFG=64或S△EFG=1．联立平移抛物线：y=﹣（x﹣m）2+2m+4与直线AB：y=2x+4，可求得：G（m ﹣2，2m）．∴点E与点M横坐标相差2，即：|x G|﹣|x E|=2．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料如答图2﹣2，S△EFG=S△BFG﹣S△BEF=BF•|xG|﹣BF|xE|=BF•（|x G|﹣|x E|）=BF．∵B（0，4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BF=|﹣m2+2m|．∴|﹣m2+2m|=64或|﹣m2+2m|=1，∴﹣m2+2m可取值为：64、﹣64、1、﹣1．当取值为64时，一元二次方程﹣m2+2m=64无解，故﹣m2+2m≠64．∴﹣m2+2m可取值为：﹣64、1、﹣1．∵F（0，﹣m2+2m+4），∴F坐标为：（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．综上所述，S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．点评：本题是二次函数压轴题，涉及运动型与存在型问题，难度较大．第（2）①问中，解题关键是确定点E为直角顶点，且BE=2EF；第（2）②问中，注意将代数式表示图形面积的方法、注意求坐标过程中方程思想与整体思想的应用．22．（9分）（2014•珠海）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=x2﹣x；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．考点：二次函数综合题分析：（1）求解析式一般采用待定系数法，通过函数上的点满足方程求出．（2）平行四边形对边平行且相等，恰得MN为OF，即为中位线，进而横坐标易得，D为x轴上的点，所以纵坐标为0．（3）已知S范围求横坐标的范围，那么表示S是关键．由PH不为平行于x轴或y轴的线段，所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题，此法底为两点纵坐标得差，高为横坐标的差，进而可表示出S，但要注意，当Q在O点右边时，所求争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料三角形为两三角形的差．得关系式再代入，求解不等式即可．另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R、E之间的限制．解答：解：（1）如图1，过G作GI⊥CO于I，过E作EJ ⊥CO于J，∵A（2，0）、C（0，2），∴OE=OA=2，OG=OC=2，∵∠GOI=30°，∠JOE=90°﹣∠GOI=90°﹣30°=60°，∴GI=sin30°•GO==，IO=cos30°•GO==3，JO=cos30°•OE==，JE=sin30°•OE==1，∴G（﹣，3），E（，1），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵经过G、O、E三点，∴，解得，∴y=x2﹣x．（2）∵四边形OHMN为平行四边形，∴MN∥OH，MN=OH，∵OH=OF，∴MN为△OGF 的中位线，∴x D=x N=•x G=﹣，∴D（﹣，0）．（3）设直线GE的解析式为y=kx+b，∵G（﹣，3），E（，1），争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴，解得，∴y=﹣x+2．∵Q 在抛物线y=x2﹣x上，∴设Q的坐标为（x，x 2﹣x），∵Q在R、E两点之间运动，∴﹣＜x＜．①当﹣＜x＜0时，如图2，连接PQ，HQ ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），∵S△PKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P），S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x H﹣x Q），∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P）+•（y K﹣y Q）•（x H﹣x Q）=•（y K﹣y Q）•（x H﹣x P）=•[﹣x+2﹣（x2﹣x）]•[0﹣（﹣）]=﹣x2+．②当0≤x＜时，如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料同理S△PQH=S△PKQ﹣S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P ）﹣•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x H）=•（y K ﹣y Q）•（x H ﹣x P）=﹣x 2+．综上所述，S△PQH=﹣x2+．∵，∴＜﹣x2+≤，解得﹣＜x ＜，∵﹣＜x＜，∴﹣＜x＜．点评：本题考查了一次函数、二次函数性质与图象，直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点．注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点，需要加强理解运用．24．（本小题满分14分）已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，顶点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式与顶点C 的坐标．（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．（3）若，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （）个单位，点P、C移动后对应的点分别记为、，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．【考点】动点问题.(1)二次函数待定系数法;(2)存在性问题,相似三角形;(3)最终问题,轴对称,两点之间线段最短【答案】(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得:争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料抛物线解析式为顶点横坐标,将代入抛物线得(2)如图,当时,设,则过作直线轴,(注意用整体代入法)解得,当在之间时，或时，为钝角.(3)依题意，且设移动（向右，向左）连接则又的长度不变四边形周长最小，只需最小即可将沿轴向右平移5各单位到处沿轴对称为∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时，设过的直线为，代入争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴即将代入，得：，解得：∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。
九年级数学练习题之代数几何综合题
九年级数学练习题之代数几何综合题Ⅰ、综合问题精讲：代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题要点点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵便运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题 . Ⅱ、典型例题剖析【例 1】 ( 温州， 12 分 ) 如图，已知四边形ABCD内接于⊙ O，A 是的中点， AEAC于 A，与⊙O及 CB的延长线分别交于点F、E，且， EM切⊙O于 M。
⑴ △ADC∽△ EBA;⑵ AC2=BC⑶若是 AB=2，EM=3，求 cotCAD 的值。
解: ⑴∵四边形 ABCD内接于⊙ O， CDA=ABE，∵， DCA=BAE，△CAD∽△ AEB⑵过 A 作 AHBC于 H(如图 )∵A是中点， HC=HB=BC，∵CAE=900， AC2=CHCE=BCCE⑶∵A是中点， AB=2，AC=AB=2，∵EM是⊙O的切线， EBEC=EM2①∵AC2=BCCE，BCCE=8②①+②得： EC(EB+BC)=17，EC2=17∵EC2=AC2+AE2， AE=∵△ CAD∽△ ABE， CAD=AEC，cotCAD=cotAEC=点拨：此题的要点是成立转变思想，将未知的转变为已知的 . 此题表现的特别突出 . 如，将 CAD转变为 AEC就特别要点 . 【例 2】( 自贡 ) 如图 2-5-2 所示，已知直线 y=2x+2 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A、 B，以线段 AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，BAC=90○。
过 C 作 CDx轴， D 为垂足 .(1)求点 A 、 B 的坐标和 AD的长 ;(2)求过B、A、C 三点的抛物线的剖析式。
解： (1) 在 y=2x+2 中分别令 x=0，y=0.得 A(l ，0) ， B(0， 2).易得△ ACD≌△ BAO，所以AD=OB=2.(2) 因为 A(1 ，0) ， B(0， 2) ，且由 (1) ，得 C(3,l).设过过 B、 A、C 三点的抛物线为所以所以点拨：此题的要点是证明△ACD≌△ BAO.【例 3】( 重庆， 10 分 ) 如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0 ， 6) 、点 B(8 ， 0) ，动点 P 从点 A 开始在线段 AO上以每秒 1 个单位长度的速度向点O搬动，同时动点Q从点 B 开始在线段 BA上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 搬动 , 设点 P、Q搬动的时间为t 秒 .(1)求直线 AB的剖析式 ;(2) 当 t 为何值时，△APQ与△ AOB 相似 ?(3)当 t 为何值时，△ APQ 的面积为个平方单位 ?解： (1) 设直线 AB的剖析式为y=kx+b由题意，得解得所以，直线AB的剖析式为y=-x+6.(2) 由 AO=6， BO=8 得 AB=10所以 AP=t ，AQ=10-2t1 当 APQ=AOB时，△ APQ∽△ AOB.所以 =解得t=(秒)2 当 AQP=AOB时，△ AQP∽△ AOB.所以 =解得t=(秒)(3)过点 Q作 QE垂直 AO于点 E.在 Rt△AOB中， SinBAO==在 Rt△AEQ中， QE=AQSinBAO=(10-2t)=8 -t 所以，S△APQ=APQE=t(8-t)=-+4t=解得t=2(秒)或t=3(秒).( 注：过点P 作 PE垂直 AB于点 E 也可，并相应给分)点拨：此题的要点是随着动点P 的运动，△ APQ 的形状也在发生着变化，所以应分情况：①APQ=AOB=90○② APQ=ABO这.样，就获取了两个时间限制. 同时第 (3) 问也可以过P 作PEAB.【例 4】( 南充，10 分 ) 如图 2-5-7 ，矩形 ABCD中，AB=8，BC=6，对角线 AC上有一个动点 P( 不包括点 A 和点 C). 设 AP=x，四边形 PBCD的面积为 y.(1)写出 y 与 x 的函数关系，并确定自变量x 的范围 .(2)有人提出一个判断：关于动点P，⊿ PBC面积与⊿ PAD 面积之和为常数 . 请你说明此判断可否正确，并说明原由.解： (1) 过动点 P 作 PEBC于点 E.在 Rt⊿ABC中， AC=10， PC=AC-AP=10-x.∵PEBC， ABBC，⊿ PEC∽⊿ ABC.故，即⊿PBC面积 =又⊿ PCD面积 =⊿PBC 面积 =即 y ， x 的取值范围是 0(2) 这个判断是正确的 .原由：由 (1) 可得，⊿ PAD 面积 =⊿PBC面积与⊿ PAD 面积之和 =24.点拨：由矩形的两边长6,8. 可得它的对角线是10，这样PC=10-x，而面积y 是一个不规则的四边形，所以可以把它看作规则的两个三角形：△PBC、△ PCD.这样问题就特别容易解决了 .Ⅲ、综合牢固练习(100 分 90 分钟 )1、如图 2-5-8 所示，在直角坐标系中，△ABC 各极点坐标分别为 A (0 ，) ， B(-1 ，0) 、 C(0， 1) 中，若△ DEF 各极点坐标分别为 D(，0) 、E(0 ，1) 、F(0 ，-1) ，则以下判断正确的选项是( ) A.△DEF 由△ ABC绕 O点顺时针旋转 90○获取 ;B.△DEF 由△ ABC绕 O点逆时针旋转 90○获取 ;C.△DEF 由△ ABC绕 O点顺时针旋转 60○获取 ;D.△DEF 由△ ABC绕 O点顺时针旋转120○获取2.如图 2-5-9, 已知直线 y=2x+1 与 x 轴交于 A 点，与 y 轴交于 B 点，直线 y=2x1 与 x 轴交于 C 点，与 y 轴交于 D 点，试判断四边形 ABCD的形状 .3.如图 2-5-10 所示，在矩形 ABCD中，BD=20，ADAB，设ABD=，已知 sin 是方程 25z2-35z+ 12=0 的一个实根 . 点 E、 F 分别是 BC、 DC上的点， EC+CF=8，设 BE=x，△ AEF面积等于 y.⑴求出 y 与 x 之间的函数关系式;⑵当 E、 F 两点在什么地址时y 有最小值 ?并求出这个最小值 .4.(10分)如图2-5-11所示，直线y=-x+ 4与x轴、y轴分别交于点M、N.(1)求 M、 N 两点的坐标 ;(2)若是点 P 在坐标轴上，以点 P 为圆心，为半径的圆与直线y=-x+ 4 相切，求点 P 的坐标 .5.(10 分 ) 如图 2-5-12 所示，已知等边三角形 ABC中，AB=2，点 P 是 AB边上的任意一点 ( 点 P 可以与点 A 重合，但不与点B 重合 ) ，过点 P 作 PEBC.垂足为 E; 过点 E 作 EFAC，垂足为F; 过点 F 作 FQAB，垂足为 Q.设 BP=x， AQ=y.⑴写出 y 与 x 之间的函数关系式;⑵当 BP的长等于多少时，点P 与点 Q重合 ;⑶当线段 PE、 FQ订交时，写出线段PE、 EF、 FQ所围成三角形的周长的取值范围( 不用写出解题过程)6.(12分)如图2-5-13所示，已知A 由两点坐标分另为(28 ，0)和 (0 ，28) ，动点 P 从 A 点开始在线段 AO上以每秒 3 个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF 从 x 轴开始以每秒1 个长度单位的速度向上平行搬动( 即 EF∥x轴 ) 并且分别交y 轴，线段 AB交于 E、 F 点 . 连接 FP，设动点P 与动直线EF 同时出发，运动时间为t 秒.⑴当 t=1 秒时，求梯形 OPFE的面积， t 为何值时，梯形 OPFE 的面积最大，最大面积是多少?⑵当梯形OPFE的面积等于△ APF 的面积时，求线段PF 的长 .⑶设 t 的值分别取t1 ，t2 时 (t1t2)，所对应的三角形分别为△ AF1P1 和△ AF2P2 ，试判断这两个三角形可否相似，请证明你的判断 .7.(12 分 ) 如图 2-5-14 所示，在直角坐标系中，矩形 ABCD的极点， A 的坐标为 (1 ，0) ，对角线的交点 P 的坐标为 ( ， 1)⑴写出 B、 C、 D 三点的坐标 ;⑵若在 AB上有一点 E 作，入过 E 点的直线将矩形ABCD的面积分为相等的两部分，求直线l 的剖析式 ;⑶若过 C 点的直线将矩形 ABCD的面积分为 4： 3 两部分，并与y 轴交于点 M，求过点 C、D、M三点的抛物线的剖析式 . 8.(10分 ) 已知矩形 ABCD在平面直角坐标系中，极点 A、 B、D 的坐标分别为A(0， 0) ，B(m， 0) ，D(0， 4) 其中 m0.⑴写出极点 C 的坐标和矩形ABCD的中心 P 点的坐标 ( 用含 m 的代数式表示 )⑵若一次函数y=kx-1 的图象把矩形ABCD分成面积相等的两部分，求此一次函数的剖析式( 用含 m的代数式表示 )⑶在⑵的前提下，又与半径为 1 的⊙M相切，且点 M(0 ，1) ，求此矩形 ABCD的中心 P 点的坐标 .9.(10分)如图2-5-15所示，等边三角形ABC的边长为 6，点 D、 E 分别在边 AB，AC上，且 AD=AE=2，若点 F 从点 B 开始以每秒二个单位长度的速度沿射线BC方向运动，设点F 运动的时间为 t 秒，当 t0 时，直线 FD 与过点 A 且平行于 BC 的直线订交于点G，GE的延长线与BC的延长线订交于点H，AB与GH订交于点 O.⑴设△ EGA 的面积为 S，写出 S 与 t的函数剖析式;⑵当 t 为何值时， AB⑶请你证明△ GFH 的面积为定值 .10. (10 分 ) 如图 2-5-16 ，在矩形 ABCD中，AB=10。
几何代数综合大题
几何代数综合大题一、介绍本文将从几何和代数两个方面综合讨论一道关于几何代数的大题。
我们将深入探讨几何代数这一主题，并提供详细和全面的解答。
二、几何2.1 定义几何是研究空间、形状和位置关系的数学学科。
在几何中，我们使用点、线、面和体来描述和研究物体的几何特征。
2.2 几何大题的解答方法在解答几何大题时，一般会使用几何定理和公式，通过推理和证明得出最终的结论。
几何问题常常需要画图进行可视化，并利用图形的性质进行分析。
同时，常常需要使用一些特定的几何分析方法，如相似三角形、平行线和垂直线等。
2.3 解答例题2.3.1 题目描述已知一个三角形的三个顶点分别为A(2, 3), B(4, 1), C(1, -2)，求这个三角形的周长和面积。
2.3.2 解答步骤1.根据三点坐标求线段长度：–AB的长度= √[(4-2)² + (1-3)²] = √[4 + 4] = 2√2–BC的长度= √[(1-4)² + (-2-1)²] = √[9 + 9] = 3√2–AC的长度= √[(2-1)² + (3+2)²] = √[1 + 25] = √262.根据三边长度计算周长：周长 = AB + B C + AC = 2√2 + 3√2 + √263.根据海伦公式计算面积：–p = (AB + BC + AC) / 2 = (2√2 + 3√2 + √26) / 2–面积= √[p(p-AB)(p-BC)(p-AC)] = √[(√2 + 3√2 + √26)(√2 + √26)(√2)(3√2 - √26)]2.4 其他几何问题除了计算周长和面积，几何问题还包括求解角度、判断相似性、证明定理等。
三、代数3.1 定义代数是研究抽象代数结构及其上的运算符和过程的数学学科。
在代数中，我们使用符号和字母表示未知数，通过运算和方程式来探索数学规律。
3.2 代数大题的解答方法在解答代数大题时，一般会使用代数运算的基本法则，如加减乘除、指数和根号运算等。
数学代数与几何综合题
数学代数与几何综合题一、简答题1. 请解释什么是代数与几何的综合题？代数与几何综合题是一类需要同时运用代数和几何概念与方法来解答的数学题目。
通常这类题目会结合代数方程、函数关系以及几何图形等知识点，要求考生既能够理解代数概念的本质，又能够将其与几何图形进行有效地联结，从而得出正确的解答。
2. 举例说明一个代数与几何综合题。
考虑一个代数与几何综合题的例子：已知一个矩形的长为x，宽为y，其面积为100，求出矩形的周长。
解答思路如下：首先，根据面积定义，我们可以列出代数方程xy = 100。
接着，我们考虑矩形的周长等于两倍的长加上两倍的宽，即2(x+y)。
由于我们已知面积为100，所以可以将该条件带入代数方程中，得到2(x+y) = 2(10) = 20。
因此，矩形的周长为20。
二、综合题已知平面上有一条弧线AB，其中A(2,1)和B(5,4)。
求以下问题：1. 弧线AB的长度。
解答思路如下：首先，我们可以计算出弧线AB的斜率。
斜率的计算公式为k = (y2-y1)/(x2-x1)。
代入A(2,1)和B(5,4)的坐标，得到k = (4-1)/(5-2) = 1。
由于斜率为1，说明弧线AB与x轴的夹角为45度。
然后，根据两点间的距离公式d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)，我们可以计算出弧线AB的长度为√((5-2)^2 + (4-1)^2) = √18。
2. 弧线AB所在的直线方程。
解答思路如下：由于已知A(2,1)和B(5,4)在弧线上，我们可以利用这两个点的坐标来确定所求直线方程。
首先，我们可以计算出直线的斜率，使用斜率公式k = (y2-y1)/(x2-x1)，代入A(2,1)和B(5,4)的坐标，得到k = (4-1)/(5-2) = 1。
接着，我们可以利用其中一点的坐标(x1,y1)和斜率k来得到直线的方程。
选择点A(2,1)和斜率k = 1，代入直线方程的一般公式y-y1 = k(x-x1)，得到y-1 = 1(x-2)。
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、选择题:代数与几何综合题(时间：90分钟)1.如图2- 5-8所示,在直角坐标系中，△ ABC 各顶点坐标分别为 A (0 , ,3 ) , B (- 1 , 0 )、C (1, 0)中，若厶DEF 各顶点坐标分别为 D( 3 , 0)、E ( 0 , 1)、F (0, — 1),则下列判断正确的是( A . B . C . D .△。
丘卩由厶ABC 绕O 点顺时针旋转 △。
丘卩由厶ABC 绕O 点逆时针旋转 △。
丘卩由厶ABC 绕O 点顺时针旋转 △。
丘卩由厶ABC 绕O 点顺时针旋转 90°得到; 90°得到; 60°得到; 120°得到 2. 如图( 4(X X4)^ OAR △ ABQ 均是等腰直角三角形，点 P 、 0)的图象上，直角顶点 A B 均在X 轴上，则点 B 的坐 VjB Q y 齡圈 2-1^Q 在函1，0) B 、(. 5 1 ，0) C 、 (3, 0) D 、 1, 0) xA B图(4)P Q3. 已知点 A .3,1 , B 0,0 ,,AE 平分/ BAC ,交 BC 占八、、E ,则直线AE 对应的函数表达式是 B . yC. y ,3x 1D.4 .在平面直角坐标系中,□ ABCD 的坐标分别是(0,0),(5,0) 坐标是( ) A. ( 3 , 7) B. C. (7, 3) D. 5..等腰三角形的底和腰是方程 A.8 B.10 的顶点 A 、B 、D ,(2,3) (5 , 3) (8, 2) C.8 或 10 D.不能确定 2 6 3 A . yx3B . y —xC . y xD . yx 26 .如图，O 为矩形ABCD 的中心，将直角三角板的直角顶点与 O 点重合，转动三角板使两直角边始终与 BC 、AB 相交，交点分别为 M 、N .如果 AB =4, AD =6, O M=X ,ON= y 贝U y 与X 的关系是 DCAOxCB)FA1010D 57575PQO '10出5A B）则运动过程中所构 99日x(s)x(s)OO3 3 3 3 CABD)AEDDEBAOBD 相交于EA 、tan AEDE l致E 、 COtcm 2cm 210、如图所示，AB 是O O 的直径，弦 ACx(s)-O（cm 2）与运动时间x （s ）之间的函AC 4cm ， BC 6cm ，动点 P 从点 C 沿 CA ， C . D .Q 从点C 沿CB ，以2cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达x(s)O则CB 等于9)（7题图）8如图4 （单位：m ）,直角梯形ABCD 以2 m/s 的速度沿直线l 向正方形CEFG 方向移动，直到AB 与FE 重合，直角梯形 ABCD 与正方形CEFG 重叠部分的面积 S 关于移动时间t 的函数图象可能是9.如图，在 Rt A ABC 中，/ C 90°, A . B . 以1cm/s 的速度向点 A 运动，同时动点 B10 C 图-f7541 7.如图，反比例函数 y—的图象与直线y —X 的交点为A , B ，过点A 作y 轴的平行线与过点 Bx3作x 轴的平行线相交于点 C ，贝U △ABC 的面积为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2 A y、填空题BC , △ ABC 1 .如图所示，在等腰梯形ABCD中，DC // AB , AC丄BC , AC > 的面积为2.3，且AC + BC = 2 , 3 1 ,那么此梯形中位线长为2•如图，△ ABC中，AB AC,/ A 45o, AC的垂直平分线分别交AB, AC于D, E两点，连接CD •如果AD 1, 那么tan/ BCD= __________ .3 •当k取不同整数时，经过第一、二、四象限的所有直线y 2k 1 x k 2与坐标轴在第一象限围成一个多边形，这个多边形的面积等于____________4. 如图，已知A(1 , 0)、A2(1 , 1)、A s(-1 , 1)、A4(-1 , -1)、A 5(2 , -1)、…。
则点A2007，的坐标为三、解答下列各题1. 如图，已知平面直角坐标系中三点 A (2, 0), B ( 0, 2), P (x,0) (X 0)，连结BP,过P点作PC PB交过点A的直线a于点C( 2, y)(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。
2•矩形OABC在直角坐标系中位置如图所示，A C 两点2•矩形OABC在直角坐标系中位置如图所示，A C 两点3的坐标分别为 A (6, 0), C (0, 3)，直线y=—x与BC边相交于点D.4(1)求点D的坐标；(2)若抛物线y=ax2+bx经过D A两点，试确定此抛物线的表达式；(3)P为x轴上方，(2)中抛物线上一点，求△ POA面积的最大值；(4)设(2)中抛物线的对称轴与直线0D交于点M点Q为对称轴上一动点，以Q O M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的Q点的坐标.3、一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，0为原点，点A在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上,0A= 5, 0C= 4。
①求直线AC的解析式；8 2②若M为AC与B0的交点，点M在抛物线y - x kx上，求k的值；5③将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，试判断点D是否在②的抛物线上，并说明理由。
4、如图，在正方形ABCD中, AB=2, E是AD边上一点(点E与点A, D不重合).BE的垂直平分线交AB于M交DC于N⑴设AE=x,四边形ADNM勺面积为S,写出S关于x的函数关系式；(2) 当AE为何值时，四边形ADNM勺面积最大？最大值是多少？5.如图2 — 5-16，在矩形 ABCD 中，AB=10。
cm , BC=8cm .点P 从A 出发，沿SD 路线运动，至U D 停止；点Q 从D 出发，沿D^C ^B ^A路线运动，到 A 停止，若点P 、点Q 同时出发，点P 的速度为1cm/s ,点Q 的速度为2cm/s , a s 时点P 、点Q 同时改变速度，点 P 的速度变为bcm/s ，点Q 的 速度变为d cm/s ，图2 — 5— 17是点P 出发x 秒后△ APD 的面积0( cm 2)与x ( s )的函数关系图象； 图2— 5 — 18是点Q 出发xs 后面AQD 的面积S 2 (cm 2)与x (s )的函数关系图象. ⑴ 参照图2— 5— 17,求a 、b 及图中c 的值；求d 的值；设点P 离开点A 的路程为y#cm)，点Q 到点A 还需走的路程为y 2(cm)，请分别写出动点 度后，y 1、y 2与出发后的运动时间 x (s )的函数解析式，并求出 当点Q 出发 s 时，点P 、点Q 在运动路线上相距的路程为6. 在直角坐标系中，O O 1经过坐标原点 0,分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点 A 、B 。
123(1)如图，过点 A 作O O 1的切线与y 轴交于点C ,点O 到直线AB 的距离为 ，sin ABC -, 5 5求直线AC 的解析式；(2) 若O O 1经过点M (2, 2)，设 BOA 的内切圆的直径为 d ,试判断d+AB 的值是否会发生变化， 如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。
P 、Q 改变速P 、Q 相遇时x 的值. 25cm .选做题1设边长为2a的正方形的中心A在直线I上，它的一组对边垂直于直线I，半径为r的O O的圆心0在直线I上运动，点A、0间距离为d.(1)如图①，当r v a时，根据d与a、r之间关系，将O O与正方形的公共点个数填入下表:d、a、r之间关系公共点的个数d> a+ rd= a+ ra—r v d v a + rd= a—rd v a—r所以，当r v a时，O O与正方形的公共点的个数可能有 _______________________ 个；a、r之间关系，将O O与正方形的公共点个数填入下表:d、a、r之间关系公共点的个数d> a+ rd= a+ ra w d v a + rd v a所以，当r = a时O与正方形的公共点个数可能有个;(3)如图③，当O O与正方形有5个公共点时，试说明(4)___ 就r>a的情形，请你仿照“当……时，O O与正方形的公共点个数可能有个”的形式，至少给出一个关于“O _____ O与正方形的公共点个数”的正确结论.(注：第(4)小题若多给出一个正确结论，则可多得2分，但本大题得分总和不得超过12分)2. 如图，直角坐标系中，已知点A(2 , 4) , B(5 , 0)，动点P从B点出发沿B0向终点0运动，动点0从A 点出发沿AB向终点B运动•两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs.(1) Q点的坐标为(_____ , _____ )(用含x的代数式表示)(2) 当x为何值时，△ APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？(3) 记PQ的中点为G请你探求点G随点P, Q运动所形成的图形，并说明理由•代数与几何综合题答案 一、 ABDCB DAACD 二、 1、 32、，2-1 3 、辛 4 、(-502 , 502)三、 1、( 1) y=- 2 x 2+x(2) x 取最大整数为-1 ,••• y=- 2 x (-1) 2-仁-3 ■■- AC=|由厶 BOQ^ CAQ 可得 ％ =需• ^ = 20Q Q解得 OQ=8•-Q ( 8 , 0)2、( 1)由题意知：y=3x 与BC 交于D (x , 3)把 y=3 代入 y= 4 x 得 x=4 • D(4,3)(2)把 D(4, 3) A (6, 0)代入 y=ax 2+bx 中得 16a+4b=3 解得 一 a=- 8 36a+6b=0 b= 1 l 讣2 ■32 Q• y=ax +bx=- + 9 x(3) 因厶POA 的底边OA=6 •••当POA 有最大值时，点 P 必须位于抛物线的最高点••• a=- 3 < 0•抛物线的顶点恰为最高点24ac b 2 = 27 4a 8最大=1x 6x27=81(4) 抛物线的对称轴与 X 轴的交点Q 1符合条件•/ CB// OA •••/ Q1OM=/ CDO ••• Rt△Q1OM h Rt△CDO • x=-鸟=3 • Q1 (3,0)过O作OQ丄OD交对称轴于Q2•••对称轴// y 轴Q2 MO=/ DOC•Rt △ Q2 Q1O 和Rt △ DOC中Q 1 O=CO=3 / Q2 =Z ODC•Rt △ Q2 Q1O 也Rt △ DOC• CD= Q1 Q2=4 •••点Q位于第四象限•- Q2( 3,-4 )故符合条件的点有两个分别为•Q (3,0) Q 2(3,-4 )3、①y=- 5 x+4 ②k=-24 ③D在②的抛物线上4、( 1)连接ME设MN交BE于P,根据题意得MB=ME MN丄BE 过N作NF丄AB于F,在Rt △ MBP和Rt△ MNF中，/ MBP丄90°,Z MNF# BMN=9°)所以/ MBP2 MNF 又AB=FN 所以Rt△ EBdRt△ MNF 所以FM=AE=^ Rt △ AME中，由勾股定理得：ME=AE+AM,所以M B=X2+A M.即(2-AM) 2= x2+AM,解得AM=1-4 x2.所以四边形ADNM勺面积S= AM2DN X AD=AM2AF X 2=AM+AM+MF=2AM+AE=1-寸X2) +X=-吉X2+X+2即所求关系式为S二弓X2+X+2(2) S=-1X2+X+2=-4(X2+X+1)+| ,所以当AE=X=1时，四边形ADNM勺面积S的值最大，此时最大值是5 .5、 ( 1) a=6s , b=2cm/s, c=17(2)当x=6s改变速度时，Q点恰好在线段BC上,且CQ=2则6+罟+畔=22得d=1.(3)y1=2x-6(6 < X< 17) y 2=22-X(6 < X< 22)相遇时x=^ (s)(4)当Q运动1s或19s时，P, Q在运动线上相距路程为25cm.6、 ( 1) y=- |X+|(2)不变，d+AB=4。