代数与几何综合题 (时间90分钟).
专题九几何综合体、代数和几何综合题(含答案)
2012年中考第二轮专题复习九：几何综合体、代数和几何综合题1（2011河北省）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA 的延长线上，且CE=BK=AG．（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图。
分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；（4）由已知表示出的值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°．又∵CE=AG，∴△DCE≌△GDA，∴DE=DG，∠EDC=∠GDA，又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°，∴DE⊥DG．（2）如图．（3）四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK、DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，∵BK=AG，∴KG=AB=CD，∴四边形CKGD是平行四边形，∴CK=DG=EF，CK∥DG，∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，∴∠KME+∠DEF=180°，∴CK∥EF，∴四边形CEFK为平行四边形．（4）=．点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂2（2011新疆建设兵团）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求AB的长；（2）设BP=x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形。
代数几何综合(含答案)
23．（本小题7分）如图,在平面直角坐标系中,A(-3,0)，点C 在y 轴的正半轴上，BC ∥x 轴，且BC=5,AB 交y 轴于点D ，OD=23． （1）求出点C 的坐标； （2）过A 、C 、B 三点的抛物线与x 轴交于点E ，连接BE ．若动点M 从点A 出发沿x 轴向x 轴正方向运动，同时动点N 从点E 出发，在直线EB 上作匀速运动，两个动点的运动速度均为每秒1个单位长度，请问当运动时间t 为多少秒时，△MON 为直角三角形? 23．解：（1）∵ BC ∥x 轴， ∴ △BCD ∽△AOD ．∴ CD BC OD AO=． ∴ 535322CD =⨯=．∴ 53422CO =+=． ∴ C 点的坐标为 (0，4) ． ……………………… 1分 （2）如图1，作BF ⊥x 轴于点F ，则BF= 4． 由抛物线的对称性知EF=3．∴BE=5，OE=8，AE=11． ………………………… 2分 根据点N 运动方向，分以下两种情况讨论： ① 点N 在射线EB 上．若∠NMO=90°，如图1，则cos ∠BEF=ME FENE BE=, ∴1135t t -=，解得558t =．……………… 3分 若∠NOM=90°，如图2，则点N 与点G 重合．∵ cos ∠BEF=OE FEGE BE=， ∴ 835t =，解得403t =． …………………… 4分∠ONM=90°的情况不存在． ………………………………………………………… 5分 ② 点N 在射线EB 的反向延长线上．若∠NMO=90°，如图3，则cos ∠NEM= cos ∠BEF ，∴ME FENE BE =． ∴ 1135t t -=，解得552t =． …………………… 6分 而∠NOM=90°和∠ONM=90°的情况不存在．…… 7分 综上，当558t =、403t =或552t =时，△MON 为直角三角形．（第23题图2）D(N)（第23题图3）D（第23题）25.（7分）已知，抛物线22y ax bx =+-与x 轴的两个交点分别为A （1,0），B （4，0），与y 轴的交点为C ． （1）求出抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）点P 是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OCB 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（7分）解：（1）据题意，有0164202a b a b =+-⎧⎨=+-⎩， ． 解得 1252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ． ∴抛物线的解析式为：215222y x x =-+-．点C 的坐标为：（0，-2）． ………………………（2）答：存在点P （x ，215222x x -+-），使以A ，P ，M ∵∠COB =∠AMP =90°，∴①当OC OBMP MA =时，△OCB ∽△MAP ． ②当OC OB MA MP=时，△OCB ∽△MP A ． ①OC MP OB MA =，∴215222241x x x -+=-． 解得：x 1=8，x 2=1（舍）． ②OC MA OB MP =，∴221154222x x x -=-+． 解得：x 3=5，x 4=1（舍）．综合①，②知，满足条件的点P 为：P 1（8，-14），P 2（5，-2）． ……………………… 7分24. 在△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB=．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．(1) 当点BB 的横坐标；(2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C ，请你探究：当a =，12b =-，c =A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由。
人教版数学中考专题：代数几合综合问题含答案
人教版数学中考专题：代数几合综合问题含答案 Revised by BETTY on December 25,2020中考数学专题：代数几何综合问题一、填空题1. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的 C点的坐标为______________．2.如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An（n为正整数）点时，则An的坐标是______．二，选择题3.如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A． B．B． D．C．D． 4. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）E．F．G．三、解答题H． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作I．PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．J．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗请说明理由；K．（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么L．（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．M．N．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）O．（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？P．（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值若有最小值，最小值是多少Q．R．7. 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．S．T．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．U．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．V．模型应用：W．（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；X．（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；Y．（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值．Z．8.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x 轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．9.（1）求N点、M点的坐标；10.（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；11.（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；12.②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S 是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．13.14.9. 如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10. （2018成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a ＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y 轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．11. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系点F 是否在直线NE上请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．【答案与解析】一、填空题1.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）2.【答案】（2×3n﹣1，0）.【解析】∵点B1、B2、B3、…、Bn在直线y=2x的图象上，∴A1B1=4，A2B2=2×（2+4）=12，A3B3=2×（2+4+12）=36，A4B4=2×（2+4+12+36）=108，…，∴An Bn=4×3n﹣1（n为正整数）．∵OAn =AnBn，∴点An的坐标为（2×3n﹣1，0）．故答案为：（2×3n﹣1，0）．二、选择题3.【答案】A.【解析】分两种情况：①当0≤t＜4时，作OG⊥AB于G，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，∵O是正方形ABCD的中心，∴AG=BG=OG=AB=2cm，∴S=APOG=×t×2=t（cm2），②当t≥4时，作OG⊥AB于G，如图2所示：S=△OAG的面积+梯形OGBP的面积=×2×2+（2+t﹣4）×2=t（cm2）；综上所述：面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，故选A．4.【答案】A.三、解答题5.【答案与解析】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒∴AP=1，BQ=，∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD==，∵PE∥BC，解得PE=，∵PE∥BC，PE=QD，∴四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=，∴∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴，∵BC=5，CD=3，∴BD=2，∴DQ=，∴解得t=（秒）；②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t，在 Rt△ACD中，∵AC=4，CD=3，∴AD=，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴ t=（秒）．综上所述，当 t=秒或t=秒时，△EDQ为直角三角形．6.【答案与解析】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3在Rt△ABD中，．当时，，，．∵，，∴，即（秒）．（2）过点作轴于点，交的延长线于点，∵，∴，．即，．，．，∴．即（）．由，得．∴当时，S有最小值，且7.【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．8.【答案与解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，设AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36则（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36 解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴；∴S=∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S=﹣．最大9.【答案与解析】解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为:；把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．10.【答案与解析】解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴=，∵CD=4AC，∴==4，∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE =k1x+b1，则，解得：，∴yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），∴S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a=，∴a=﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a），∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知xD ﹣xP=xA﹣xQ，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m=yD +yQ=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立．证明：连结DE，DF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．（3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．。
几何与代数知识的融合应用的综合题
几何与代数基础知识
第一章
几何与代数的概念
几何：研究空间结构及性质的一门 学科，包括点、线、面、体等基本 元素和形状、大小、位置关系等基 本概念。
几何与代数的融合：在数学中，几 何与代数是相互联系、相互渗透的， 代数的方法可以用来研究几何问题， 而几何的直观性也可以帮助理解代 数问题。
添加标题
添加标题
题目：已知双曲线 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为 √3，且过点 (√3,1/2)。
题目：已知圆 C：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，直线 l：mx - y + n = 0，若直线 l 与圆 C 相切，则 m、n、a、b、r 间满足的关系式为 _______．
添加 标题
验证物理理论：几何与代数在验证物理理论 方面也发挥了重要作用，如通过实验数据绘 制图表、计算相关物理量等。
几何与代数在计算机科学中的应用
添加项标题
计算机图形学：几何与代数在计算机图形学中广泛应用，用于 描述三维物体的形状、位置和运动。
添加项标题
计算机视觉：通过几何与代数的方法，可以对图像和视频进行 预处理、特征提取和识别。
实例：在研究经济增长时，可以通过解析几何与代数的方法来建立经济增长模型，从 而更好地预测未来的经济走势。
实例：在研究国际贸易时，可以通过解析几何与代数的方法来建立贸易模型，从而更 好地分析国际贸易的利弊。
实例：在研究投资组合时，可以通过解析几何与代数的方法来建立投资组合模型，从 而更好地优化投资组合。
检查结果：最后检查结果是否符合题目的要求。
几何与代数知识的融合应用 实例
代数几何综合题含答案
争分夺秒 分秒必争 我的人生 我做主 只要认真做事 一切皆有可能 东升求实学校2015届初三数学培优资料专题三 代数几何综合题1、（2014•广东）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC=10cm ，AD=8cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）当t=2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF 的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析： （1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF 的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解． 解（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H 为AD 的中点，如答图1所示．答： 又∵EF ⊥AD ，∴EF 为AD 的垂直平分线，∴AE=DE ，AF=DF ．∵AB=AC ，AD ⊥AB 于点D ，∴AD ⊥BC ，∠B=∠C ． ∴EF ∥BC ，∴∠AEF=∠B ，∠AFE=∠C ， ∴∠AEF=∠AFE ，∴AE=AF ，∴AE=AF=DE=DF ，即四边形AEDF 为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴，即，解得：EF=10﹣t ．S △PEF =EF •DH=（10﹣t ）•2t=﹣t 2+10t=﹣（t ﹣2）2+10 ∴当t=2秒时，S △PEF 存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．（3）解：存在．理由如下：①若点E 为直角顶点，如答图3①所示， 此时PE ∥AD ，PE=DH=2t ，BP=3t ． ∵PE ∥AD ，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F 为直角顶点，如答图3②所示，争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F 作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t ．在Rt △EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t ）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t ，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN 2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF 2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．25．（9分）（2013•汕头）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=_________度；（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料考点：相似形综合题．专题：压轴题．分析：（1）如题图2所示，由三角形的外角性质可得；（2）如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况：（I ）当0≤x≤2时，如答图1所示；（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示；（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示．解答：解：（1）如题图2所示，∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=，∴tan∠DFE==，∴∠DFE=60°，∴∠EMC=∠FMB=∠DFE﹣∠ABC=60°﹣45°=15°；（2）如题图3所示，当EF经过点C时，FC====；（3）在三角板DEF运动过程中，（I）当0≤x≤2时，如答图1所示：设DE交BC于点G．过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB 为等腰直角三角形，MN=BN．又∵NF==MN，BN=NF+BF，∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．y=S△BDG﹣S△BFM=BD•DG﹣BF•MN=（x+4）2﹣x •x=x2+4x+8；（II）当2＜x≤6﹣时，如答图2所示：争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．又∵NF==MN，BN=NF+BF，∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．y=S △ABC﹣S △BFM=AB•AC﹣BF•MN=×62﹣x•x=x 2+18；（III）当6﹣＜x≤6时，如答图3所示：由BF=x，则AF=AB ﹣BF=6﹣x，设AC与EF 交于点M，则AM=AF•tan60°=（6﹣x）．y=S△AFM =AF•AM=（6﹣x）•（6﹣x）=x2﹣x+．综上所述，y与x的函数解析式为：y=．点评：本题是运动型综合题，解题关键是认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形形状的变化情况．在解题计算过程中，除利用三角函数进行计算外，也可以利用三角形相似，殊途同归．25．（2014年广东汕尾）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M 的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料分析：（1）令y=0，解方程x2﹣x﹣3=0可得到A点和D点坐标；令x=0，求出y=﹣3，可确定C点坐标；（2）根据抛物线的对称性，可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x轴上方，存在两个点，这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离；（3）根据梯形定义确定点P，如图所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P 1与D点重合，即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP 2，确定梯形ABCP2．先求出直线CP2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标．解：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴当y=0时，x2﹣x﹣3=0，解得x1=﹣2，x2=4．当x=0，y=﹣3．∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴对称轴为直线x==1．∵AD在x轴上，点M在抛物线上，∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，∵C 点坐标为（0，﹣3），∴M点坐标为（2，﹣3）；②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x 轴的距离等于点C到x轴的距离3．当y=4时，x2﹣x﹣3=3，解得x1=1+，x2=1﹣，∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；（3）结论：存在．如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1．由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P1与D点重合，∴P1（﹣2，0）．∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC ，∴四边形ABCP1为梯形；②若AB∥CP 2，此时梯形为ABCP2．∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），∴直线AB的解析式为y=x ﹣6，∴可设直线CP2的解析式为y=x+n，将C点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3，∴直线CP2的解析式为y=x﹣3．∵点P2在抛物线y=x2﹣x﹣3上，∴x2﹣x﹣3=x﹣3，化简得：x2﹣6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，∴点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，∴P2（6，6）．∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四边形ABCP2为梯形．综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，三角形的面积，梯形的判定．综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．22．(2014年广东深圳)如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC 并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙M的半径；（2）证明：BD为⊙M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DP ﹣AP|最大．考点：圆的综合题．分析：（1）利用A，B点坐标得出AO，BO的长，进而得出AB的长，即可得出圆的半径；（2）根据A，B 两点求出直线AB表达式为：y=﹣x+3，根据B，D 两点求出BD 表达式为y=x+3，进而得出BD⊥AB，求出BD为⊙M的切线；（3）根据D，O两点求出直线DO表达式为y=x 又在直线DO 上的点P的横坐标为2，所以p（2，），此时|DP﹣AP|=DO=．解答：（1）解：∵由题意可得出：OA2+OB2=AB2，AO=4，BO=3，∴AB=5，∴圆的半径为；（2）证明：由题意可得出：M（2，）又∵C为劣弧AO的中点，由垂径定理且MC=，故C（2，﹣1）过D 作DH⊥x 轴于H，设MC 与x 轴交于K，则△ACK∽△ADH，又∵DC=4AC，故DH=5KC=5，HA=5KA=10，∴D（﹣6，﹣5）设直线AB表达式为：y=ax+b，，解得：故直线AB表达式为：y=﹣x+3，同理可得：根据B，D两点求出BD的表达式为y=x+3，∵K AB×K BD=﹣1，争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴BD⊥AB ，BD为⊙M的切线；（3）解：取点A 关于直线MC 的对称点O，连接DO并延长交直线MC于P，此P点为所求，且线段DO的长为|DP﹣AP|的最大值；设直线DO表达式为y=kx，∴﹣5=﹣6k，解得：k=，∴直线DO表达式为y=x又∵在直线DO上的点P的横坐标为2，y=，∴P（2，），此时|DP﹣AP|=DO==．点评：此题主要考查了勾股定理以及待定系数法求一次函数解析式以及两直线垂直系数的关系等知识，得出直线DO，AB，BD的解析式是解题关键．23．(2014年广东深圳)如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）求出点A的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式；（2）①首先确定点E为Rt△BEF的直角顶点，相似关系为：△BAO∽△BFE；如答图2﹣1，作辅助线，利用相似关系得到关系式：BH=4FH，利用此关系式求出点E的坐标；②首先求出△ACD的面积：S△ACD=8；若S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，则S△EFG=64或S△EFG=1；如答图2﹣2所示，求出S△EFG的表达式，进而求出点F的坐标．解答：解：（1）直线AB的解析式为y=2x+4，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣2．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴A（﹣2，0）、B（0，4）．∵抛物线的顶点为点A（﹣2，0），∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2，点C（0，﹣4）在抛物线上，代入上式得：﹣4=4a，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2．（2）平移过程中，设点E的坐标为（m，2m+4），则平移后抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣m）2+2m+4，∴F（0，﹣m2+2m+4）．①∵点E为顶点，∴∠BEF≥90°，∴若△BEF与△BAO相似，只能是点E作为直角顶点，∴△BAO∽△BFE ，∴，即，可得：BE=2EF．如答图2﹣1，过点E作EH⊥y轴于点H，则点H坐标为：H（0，2m+4）．∵B（0，4），H（0，2m+4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BH=|2m|，FH=|﹣m2|．在Rt△BEF中，由射影定理得：BE2=BH•BF，EF2=FH•BF，又∵BE=2EF，∴BH=4FH，即：4|﹣m2|=|2m|．若﹣4m2=2m，解得m=﹣或m=0（与点B重合，舍去）；若﹣4m2=﹣2m，解得m=或m=0（与点B重合，舍去），此时点E位于第一象限，∠BEF为钝角，故此情形不成立．∴m=﹣，∴E（﹣，3）．②假设存在．联立抛物线：y=﹣（x+2）2与直线AB：y=2x+4，可求得：D（﹣4，﹣4），∴S△ACD=×4×4=8．∵S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，∴S△EFG=64或S△EFG=1．联立平移抛物线：y=﹣（x﹣m）2+2m+4与直线AB：y=2x+4，可求得：G（m ﹣2，2m）．∴点E与点M横坐标相差2，即：|x G|﹣|x E|=2．争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料如答图2﹣2，S△EFG=S△BFG﹣S△BEF=BF•|xG|﹣BF|xE|=BF•（|x G|﹣|x E|）=BF．∵B（0，4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BF=|﹣m2+2m|．∴|﹣m2+2m|=64或|﹣m2+2m|=1，∴﹣m2+2m可取值为：64、﹣64、1、﹣1．当取值为64时，一元二次方程﹣m2+2m=64无解，故﹣m2+2m≠64．∴﹣m2+2m可取值为：﹣64、1、﹣1．∵F（0，﹣m2+2m+4），∴F坐标为：（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．综上所述，S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．点评：本题是二次函数压轴题，涉及运动型与存在型问题，难度较大．第（2）①问中，解题关键是确定点E为直角顶点，且BE=2EF；第（2）②问中，注意将代数式表示图形面积的方法、注意求坐标过程中方程思想与整体思想的应用．22．（9分）（2014•珠海）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=x2﹣x；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．考点：二次函数综合题分析：（1）求解析式一般采用待定系数法，通过函数上的点满足方程求出．（2）平行四边形对边平行且相等，恰得MN为OF，即为中位线，进而横坐标易得，D为x轴上的点，所以纵坐标为0．（3）已知S范围求横坐标的范围，那么表示S是关键．由PH不为平行于x轴或y轴的线段，所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题，此法底为两点纵坐标得差，高为横坐标的差，进而可表示出S，但要注意，当Q在O点右边时，所求争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料三角形为两三角形的差．得关系式再代入，求解不等式即可．另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R、E之间的限制．解答：解：（1）如图1，过G作GI⊥CO于I，过E作EJ ⊥CO于J，∵A（2，0）、C（0，2），∴OE=OA=2，OG=OC=2，∵∠GOI=30°，∠JOE=90°﹣∠GOI=90°﹣30°=60°，∴GI=sin30°•GO==，IO=cos30°•GO==3，JO=cos30°•OE==，JE=sin30°•OE==1，∴G（﹣，3），E（，1），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵经过G、O、E三点，∴，解得，∴y=x2﹣x．（2）∵四边形OHMN为平行四边形，∴MN∥OH，MN=OH，∵OH=OF，∴MN为△OGF 的中位线，∴x D=x N=•x G=﹣，∴D（﹣，0）．（3）设直线GE的解析式为y=kx+b，∵G（﹣，3），E（，1），争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴，解得，∴y=﹣x+2．∵Q 在抛物线y=x2﹣x上，∴设Q的坐标为（x，x 2﹣x），∵Q在R、E两点之间运动，∴﹣＜x＜．①当﹣＜x＜0时，如图2，连接PQ，HQ ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），∵S△PKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P），S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x H﹣x Q），∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P）+•（y K﹣y Q）•（x H﹣x Q）=•（y K﹣y Q）•（x H﹣x P）=•[﹣x+2﹣（x2﹣x）]•[0﹣（﹣）]=﹣x2+．②当0≤x＜时，如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料同理S△PQH=S△PKQ﹣S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P ）﹣•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x H）=•（y K ﹣y Q）•（x H ﹣x P）=﹣x 2+．综上所述，S△PQH=﹣x2+．∵，∴＜﹣x2+≤，解得﹣＜x ＜，∵﹣＜x＜，∴﹣＜x＜．点评：本题考查了一次函数、二次函数性质与图象，直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点．注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点，需要加强理解运用．24．（本小题满分14分）已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，顶点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式与顶点C 的坐标．（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．（3）若，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （）个单位，点P、C移动后对应的点分别记为、，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．【考点】动点问题.(1)二次函数待定系数法;(2)存在性问题,相似三角形;(3)最终问题,轴对称,两点之间线段最短【答案】(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得:争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料抛物线解析式为顶点横坐标,将代入抛物线得(2)如图,当时,设,则过作直线轴,(注意用整体代入法)解得,当在之间时，或时，为钝角.(3)依题意，且设移动（向右，向左）连接则又的长度不变四边形周长最小，只需最小即可将沿轴向右平移5各单位到处沿轴对称为∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时，设过的直线为，代入争分夺秒分秒必争我的人生我做主只要认真做事一切皆有可能东升求实学校2015届初三数学培优资料∴即将代入，得：，解得：∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。
几何代数综合大题
几何代数综合大题一、介绍本文将从几何和代数两个方面综合讨论一道关于几何代数的大题。
我们将深入探讨几何代数这一主题，并提供详细和全面的解答。
二、几何2.1 定义几何是研究空间、形状和位置关系的数学学科。
在几何中，我们使用点、线、面和体来描述和研究物体的几何特征。
2.2 几何大题的解答方法在解答几何大题时，一般会使用几何定理和公式，通过推理和证明得出最终的结论。
几何问题常常需要画图进行可视化，并利用图形的性质进行分析。
同时，常常需要使用一些特定的几何分析方法，如相似三角形、平行线和垂直线等。
2.3 解答例题2.3.1 题目描述已知一个三角形的三个顶点分别为A(2, 3), B(4, 1), C(1, -2)，求这个三角形的周长和面积。
2.3.2 解答步骤1.根据三点坐标求线段长度：–AB的长度= √[(4-2)² + (1-3)²] = √[4 + 4] = 2√2–BC的长度= √[(1-4)² + (-2-1)²] = √[9 + 9] = 3√2–AC的长度= √[(2-1)² + (3+2)²] = √[1 + 25] = √262.根据三边长度计算周长：周长 = AB + B C + AC = 2√2 + 3√2 + √263.根据海伦公式计算面积：–p = (AB + BC + AC) / 2 = (2√2 + 3√2 + √26) / 2–面积= √[p(p-AB)(p-BC)(p-AC)] = √[(√2 + 3√2 + √26)(√2 + √26)(√2)(3√2 - √26)]2.4 其他几何问题除了计算周长和面积，几何问题还包括求解角度、判断相似性、证明定理等。
三、代数3.1 定义代数是研究抽象代数结构及其上的运算符和过程的数学学科。
在代数中，我们使用符号和字母表示未知数，通过运算和方程式来探索数学规律。
3.2 代数大题的解答方法在解答代数大题时，一般会使用代数运算的基本法则，如加减乘除、指数和根号运算等。
数学代数与几何综合题
数学代数与几何综合题一、简答题1. 请解释什么是代数与几何的综合题？代数与几何综合题是一类需要同时运用代数和几何概念与方法来解答的数学题目。
通常这类题目会结合代数方程、函数关系以及几何图形等知识点，要求考生既能够理解代数概念的本质，又能够将其与几何图形进行有效地联结，从而得出正确的解答。
2. 举例说明一个代数与几何综合题。
考虑一个代数与几何综合题的例子：已知一个矩形的长为x，宽为y，其面积为100，求出矩形的周长。
解答思路如下：首先，根据面积定义，我们可以列出代数方程xy = 100。
接着，我们考虑矩形的周长等于两倍的长加上两倍的宽，即2(x+y)。
由于我们已知面积为100，所以可以将该条件带入代数方程中，得到2(x+y) = 2(10) = 20。
因此，矩形的周长为20。
二、综合题已知平面上有一条弧线AB，其中A(2,1)和B(5,4)。
求以下问题：1. 弧线AB的长度。
解答思路如下：首先，我们可以计算出弧线AB的斜率。
斜率的计算公式为k = (y2-y1)/(x2-x1)。
代入A(2,1)和B(5,4)的坐标，得到k = (4-1)/(5-2) = 1。
由于斜率为1，说明弧线AB与x轴的夹角为45度。
然后，根据两点间的距离公式d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)，我们可以计算出弧线AB的长度为√((5-2)^2 + (4-1)^2) = √18。
2. 弧线AB所在的直线方程。
解答思路如下：由于已知A(2,1)和B(5,4)在弧线上，我们可以利用这两个点的坐标来确定所求直线方程。
首先，我们可以计算出直线的斜率，使用斜率公式k = (y2-y1)/(x2-x1)，代入A(2,1)和B(5,4)的坐标，得到k = (4-1)/(5-2) = 1。
接着，我们可以利用其中一点的坐标(x1,y1)和斜率k来得到直线的方程。
选择点A(2,1)和斜率k = 1，代入直线方程的一般公式y-y1 = k(x-x1)，得到y-1 = 1(x-2)。
九年级数学基础与综合(人教版下)--第二十四讲代数与几何综合题
第二十四讲代数与几何综合题一、选择题1.如图24- 1，抛物线y = x 2 + bx + c 与x 轴交于点 A 、点B ，与y 轴交于点 6若厶AOC 为等腰三角形，则下列各式成立的是（ ）.图 24 - 1A . c + b + 1 = 0B . c + b - 1 = 0C . c -b - 1 = 0D . c - b + 1 = 0 2 .如图24- 2，在平面直角坐标系中，二次函数y = ax 2 + c （a ^ 0）的图象经过正方形 ABOC 的三个顶点 A 、B 、C ,则ac 的值是（）. A . 1 B . - 1 C . 2 D . - 2 （2009兰州）如图24- 3,点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点 P 从圆心O 出发，沿 0宀C T D T O 的路线做匀速运动.设运动时间为 图象中，表示y 与t 之间函数关系最恰当的是二、填空题16（x > 0）图象上五个整 x数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形 （阴影部分），则 这个五个橄榄形的面积总和是 _______ （用含兀的代数式表示）.3. t （秒），/ APB 的度数为y （度），则下列）. 4. （2009福州）如图24- 4,已知A 、B 、C 、D 、E 是反比例函数(图 24 - 39045图24 - 45 .如图24- 5①，矩形ABCD 中，AB= 12cm , BC = 24cm;直线PQ 从AB 出发，以1cm/s 的速度向DC作匀速运动，PQ与AD、BC分别交于P、Q;点M从点C出发，沿C宀D T A T B T C方向逆时针运动，点M与PQ同时出发，当点M运动到D后改变速度；当点M与Q相遇后，点M与直线PQ均停止运动.图24- 5②是点M运动的路线长y(cm) 与运动时间t(s)的函数关系图象.图24 - 5(1) 点M在CD上运动的速度为_______ c m/s, M点改变速度后的速度为 _______ cm/s；(2) y关于运动时间t的函数关系式为________ , P、M的相遇时间是________ (s), M、Q相遇的时间是______ (s);(3) 当O W t v8时，△ PQM的面积S关于运动时间t的函数关系式为______________ ，当S=60cm1 2时，t的值为_______ ;(4) 当PM = QM时，此时的时间为 ______ s.二、解答题6 .如图24- 6,在平面直角坐标系中，Rt△ AOB也Rt△ CDA，且A( —1, 0)、B(0, 2)，抛物线y= ax2+ ax—2经过点C.1 27.已知：二次函数y x2bx c的图象经过点A(—3, 6)，并与x轴交于点B( —1, 0)2和点C,顶点为P.1 求抛物线的解析式；2 在抛物线(对称轴右侧)上是否存在两点P, Q,使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P, Q的坐标，若不存在，请说明理由.(1)求这个二次函数的解析式；⑵设D为线段0C上的点，满足/ DPC = Z BAC,求点D的坐标.&已知：抛物线y = x2+ (2n—1)x+ n2—1(n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求它所对应的函数关系式；⑵设A是(1)所确定的抛物线上，位于x轴下方且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB丄x轴于B, DC丄x轴于C.①当BC = 1时，求矩形ABCD的周长；②矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.9. 如图24 —7,对称轴为直线X=7的抛物线经过点A(6, 0)和B(0, 4).2⑵设点E(x, y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以0A为对角线的平行四边形•求口OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并求变量x的取值范围；①当口OEAF的面积为24时，请判断D OEAF是否为菱形？并说明理由；②是否存在点E,使口OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在请说明理由.10. 如图24 —8,直线AB交x轴于点A(2 , 0)，交抛物线y= ax2于点B(1，-、3)，点C到△ OAB各顶点的距离相等，直线AC交y轴于点D .（1）求直线0C 及抛物线的解析式；⑵当x >0时，在直线0C 和抛物线 尸ax 2上是否分别存在点 P 和点Q,使四边形DOPQ 为特殊的梯形？若存在，求点P 、Q 的坐标；若不存在，说明理由.②图 24 - 9⑴当AD = 2，且点Q 与点B 重合时（如图24 — 9②所示），求线段PC 的长；3⑵在图24 — 9①中，连结AP ，当AD = 2，且点Q 在线段AB 上时，设点B ,的距离为x ,字^ =y ，其中S SPQ 、S MBC 分别表示厶APQ 和厶PBC 的面积，求y关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； ⑶当AD V AB ,且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图24 - 9③所示），求/ QPC 的大小. 12. （2009哈尔滨）如图24 — 10①，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形11. （2009 上海）已知：如图，24- 9①/ ABC = 90°, AB = 2, BC = 3, AD // BC , PAD为线段BD 上的动点，点 Q 在射线AB 上，且满足 PQPC ABA 1 ! D! D A 1 rxKA £C c QQ 之间 ①DABCO是菱形，点A的坐标为（一3, 4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M , AB 边交y轴于点H .（1）求直线AC的解析式;⑵连结BM,如图24- 10②，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△ PMB的面积为S(S M 0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；(3) 在(2)的条件下，当t为何值时，/ MPB与/ BCO互为余角？并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.13. (2009温州)如图24- 11,在平面直角坐标系中，点AC，3,0), B(^3, 2),C(0, 2).动点D以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿AB向终点B运动.过点E作EF丄AB，交BC 于点F，连结DA、DF •设运动时间为t秒.(1) 求/ ABC的度数；⑵当t为何值时，AB// DF?(3)设四边形AEFD的面积为S,求S关于t的函数关系式及自变量x的取值范围.14. 把一张宽AD = 2的矩形纸片ABCD，如图24- 12①那样折叠，折叠后的点A落在CD 边上.现将矩形纸片放在如图24- 12②所示的平面直角坐标系中，设折叠后A的落点A',与AD、AB的交点分别为E、F , EF交x轴于点G ,过点A作x轴的垂线，交x轴于点H，交EF于点T.设DA = x,点T的纵坐标为y,求y与x之间的函数关系式.图24 - 1215. (2007福州)如图24- 13①，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB 所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 点D的坐标为(8, 0)，点B的标为(0, 6).点F在对角线AC 上运动(点F不与点A、C重合)，过点F分别作x轴、y轴的垂线，垂足为G、E.设四边形BCFE 的面积为◎,四边形CDGF的面积为S2,^ AFG的面积为S3.图24 - 13⑴试判断Si、S2的关系，并加以证明；⑵当S3 : S2= 1 : 3时，求点F的坐标；⑶如图24- 13②，在⑵的条件下，把△ AEF沿对角线AC所在的直线平移，得到△ A' E' F '且A '、F '两点始终在直线AC上.是否存在这样的点 E '，使点E ' 到x轴的距离与到y轴的距离比是5 ：4?若存在，请求出点E'的坐标；若不存在，请说明理由.216. (2008 武汉)如图24- 14①，抛物线y= ax - 3ax+ b 经过A( —1, 0), C(3, 2)两点，与y 轴交于点D，与x轴交于另一点B.图24 - 14(1)求此抛物线的解析式；⑵若直线y= kx- 1(k z 0)将四边形ABCD面积二等分，求k的值；⑶如图24- 14②，过点E(1 , - 1)作EF丄x轴于点F-将厶AEF绕平面内某点旋转180°后得①②△ MNQ(点M、N、Q分别与点A、E、F对应)，使点M、N在抛物线上，求点M、N的坐标.17. (2009重庆)已知：如图24 —15,在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y 轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA= 2, OC = 3.过原点O作/ AOC的平分线交AB于点D，连结DC ,过点D作DE丄DC ,交OA于点E .⑴求过点E、D、C的抛物线的解析式；⑵将/ EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段0C交于点G.如果DF与⑴中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为-,5那么EF = 2G0是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△ PCG是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案第二十四讲代数与几何综合题D . 2. D . 3. C .S 圆 T HC 2 1 S 4 S OHC 4 OH HC = 4 n — 8,所以S 大橄榄形=2S = 8n -16同理，D 处橄榄形所在正方形边长为2, 所以 S D 橄榄形=2( — ：: 22 一丄：：2 ：： 2) = 2 n —4.4 2n .S E 橄榄形=——1.2而同图可知S B 橄榄形= S D 橄榄形, S A 橄榄形=S E 橄榄形,n所以 S 总面积=8“一 16+ 2(2 二一4) + 2(— 1) = 13J — 26.2① 当 P 、M 相遇时，AP = t , DM = y —12= 4t — 16, 由 AP + DM = 24 可得 t + (4t — 16) = 24.解得 t = &② 当M 、Q 相遇时，BQ = t , BM = y — 2AB — AD = 4t — 52.52 由 BM = BQ 得 4t — 52= t .解得 t 工52 - 3<-6t +144(0 兰t 兰4), 厂30t +240(4<t V8).当 S = 60 时，若—6t + 144= 60，解得 t = 14,因为 此时0w t w 4,所以t = 14(舍去).若—30t + 240= 60,解得t = 6(符合题意).所以当S = 60时，t 的值为6.(4) 2或11.5.提示：当 M 点运动到CD 或AB 中点时，有PM = QM .分别计算时间就可4. 13二-26 .提示：观察图象结合16), B(2, 8), C(4, 4), D(8, 个橄榄形 16 A 、B 、C 、D 、E 为y 的五个整数点可推断： A(1 ,x 5. (1)3, 4.(2)y =』 航―)8,52.卑―4(4ctW6) . 3 ⑶SR G答图24 - 1以了.6 .解： ⑴由 Rt △ AOB 也 Rt A CDA ，得 0D = 2+ 1 = 3, CD = 1 ,••• C 点坐标为（一3, 1）.可得抛物线的解析式为 y =J x 2」X_2.2 2（2）在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P 、Q ,使四边形 ABPQ 是正方形.以 AB 为 边在 AB 的右侧作正方形 ABPQ .过P 作PE 丄0B 于E , QG 丄x 轴于G （见答图24 -2）, i A\ 0 /"討p< 1 答图24 - 2 可证△ PBE ◎△ AQG ◎△ BAO .• PE = AG = B0= 2, BE = QG = A0= 1 .• P 点坐标为(2, 1), Q 点坐标为(1 , - 1).由(1)抛物线y =」x 2 •丄X -2 ,2 2当x = 2时，y = 1，当x = 1时，y =— 1 .• P 、Q 在抛物线上.故在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P(2, 1)、Q(1,— 1),使四边形 ABPQ 是正 方形. 1 2 37. (1) y x - x -22 (2)C(3, 0).可证/ ACB =Z PCD = 45°.(见答图 24 — 3)易求得 AC = 6 .2 , PC = 2 .2 , BC = 4,4 45 5• DC = -, OD = 3— = - .• D(Y , 0).3 3 3 32 c8. (1)y = x — 3x .•••/ DPC = Z BAC ,• △ DPC BAC .(2)抛物线与x轴的另一个交点为(3, 0), 顶点为(3, —9),对称轴为直线x = 3,2 4 2其大致位置如答图24—4所示.竹答图24 — 4①••• BC = 1,由抛物线和矩形的对称性可知OB = - X (3 —1) = 1 ,••• B(1 , 0), A(1 , —2) , AB = 2.2矩形ABCD的周长为6.②可设A点的坐标为(x , x2—3x),3• B 点的坐标为(x , 0)(0v x v -) , BC = 3—2x.2••• A在x轴下方，•- x?—3x v 0 , AB = |x?—3x|= 3x — / ,•矩形ABCD 的周长P= 2[(3x—x2)+ (3 —2x)] = —2(x—- )2+ 13.2 2•/ 0 v -v 3, •当x=-时，矩形ABCD的周长P有最大值为13.2 2 2 2此时点A的坐标为A(-,—-).2 49. 解：(1)由抛物线的对称轴是x=7,及抛物线经过点A(6 , 0)可知抛物线还经过(1 , 0)2占八、、♦设抛物线的解析式为y= a(x—1)(x—6).2 2 o 14由抛物线经过点B(0 , 4)可得a二？.故抛物线解析式为y上x2 - 14x • 4 ,顶点3 3 3为昇25、为(二)•2 62 7 25(2)•••点E(x , y)在抛物线上，位于第四象限，• y v0且坐标适合y=—(x-7)2-—-3 2 6•/ OA是口OEAF的对角线，1 7 2--S= 2S A OAE= 2 X X OA • |y|=—6y =—4(x—) + 25.2 2•••抛物线与x轴的两个交点是(1, 0)和(6 , 0)，•自变量x的取值范围是1 v x v 6.①根据题意，当S= 24时，即—4(x —7)2+ 25= 24.2化简，得(x - 7) 2 = 1 .解之，得 X 1 = 3 , x 2= 4 •2 4 此时点E 坐标分别为E I (3, - 4), E 2(4,— 4).点 E I (3, — 4)满足 0E = AE ,点 E 2(4,— 4)不满足 0E = AE ,•••当口 OEAF 的面积为24,且点E 坐标为(3, — 4)时，口 OEAF 是菱形. ②当0A 丄EF ，且0A = EF 时，D OEAF 是正方形， 此时点E 的坐标只能是(3,— 3).而坐标为(3, — 3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E ,使口OEAF 为正方形.10. 简解：(1)见答图24 — 5 — 1，可得直线 AB 的解析式为y - -.、3x • 2、、3..抛物线的解析式为 y = .. 3x 2.又•••点C 到厶OAB 各顶点距离相等，可得△ OAB 为等边三角形， 即点C 是厶OAB 三边的垂直平分线的交点.连结 BC ,并延长交OA 于E ,则 BE 丄 OA , OE = AE . •••点E 的坐标为(1 , 0). 可得点C 的坐标为C(1,-).3•直线OC 的解析式为y =x ,直线AC 的解析式为y =— x +-. 333⑵可得点D 的坐标为D(0,今卫),OD =仝卫.33① OD // PQ .(i )当DQ 1 = OP 1时，四边形DOPg 为等腰梯形.(如答图24 — 5①)由题意得,△ OCD 为等边三角形，/ CDO = / COD ,• Q 1是直线AC 与抛物线的交点，(ii )当/ ODQ 2= 90°时，四边形 DOP 2Q 2为直角梯形(如答图24 — 5②).£，2®3答图24 - 5②设过点D （0,竽）且平行于x 轴的直线交抛物线 y 二,3x 2于点Q 2,则Q 2的纵3 坐标为2、3，可得点Q 2的坐标为（学,23），点P 2的坐标为（学,：；2）.3 3^3 3 ' 3 ② DQ // OP .过点D （O ,^^）且平行于oc 的直线为y •為3 ,交抛物线 y = ..3X 2 于点 Q .「. ^x 233 r3x 2,2解得禺=1或x 2（舍）.3把 x = 1 代入 y = 3x 2 中，得 y = 3,•••点Q 的坐标为（1, 3）（与点B 重合）.（i ）当 OD = P 3Q 3时，四边形DOP 3Q 3是等腰梯形，如答图 24- 5 — 1.•••△ OCD 为等边三角形，/ DOC = / Q 3P 3O = 60°,「. Q 3P 3/ AC . 可得Q 3P 3的解析式为，433 •33点P 3为直线Q 3P 3与直线OC 的交点，.••点P 3的坐标为 Q 4（1,、3）（与点B 重合）时，四边形DOPQ 为直角梯形.思路分析： ⑴考虑到 AB = AD = 2，贝U PQ : PC = 1，即PQ = PC ; （2）先分别表示出S^ APQ 和PBC ，然后再去表示两三角形面积之比，列出函数关系式；⑶（2等（ii ）Z OP 4Q 4= 90°时，四OC 与直线AB 的交点.,2 4、32.3Q 1 （-^9 ）和卩3（2,卞），合）时，四边形DOPQ 为等腰梯形；当P2^36^32） ^Q 2^36,2233）和卩4（? 迈）、3 3 3 3 2 2Q 3（1,，3）（与点 B 重y利用三角形相似与等量代换.简解：⑴当AD = 2时可得/ PBC = 45°.PQ AD,AD = AB ，点 Q 与点 B 重合，• PB = PQ = PC . PC AB•••/ PCB =Z PBC = 45°.「./ BPC = 90°. 在 Rt △ BPC 中，PC = BC • cosC = 3 X cos45°=⑵如答图24- 6①，过点P 作PE 丄BC , PF 丄AB ,垂足分别为 可得四边形FBEP 是矩形.••• PF // BC , PE = BF .3•- CG = — ,PG = AB =2, PC2AD 可得 PQ =15 ABE、•/ AD // BC ,「. PF // AD .BF•/ AQ = AB - QB = 2 — x , BC = 3,PF.AD 又 AD 旦AB =2,. 2AB PF PEPF BF1S.APQ 2 SPBC 1BCPF PE••• y 与x 的函数关系是为 yrB G C当点Q 与点B 重合时,x = 0; 答图24 - 6 当点P运动到与点D 重合时，x 取得最大值.作 PG 丄BC 于G .AD =3 , BC =23可得PB = PC , G 为BC 中点.在 Rt △ FAQ 中, PA 2 + AQ 2= PQ 2, （扩（2—t ）2 =（舟）2.整理，得t 2_4t晋"解得t1计,t225 8QA DQPN •/ AD // BC,「. PN // AD . -BN ADABPNPMADAB由0v t v 2 得t =78•自变量x的取值范围是0^t _7 -8(3) 如答图24- 6③，过点P作PM丄BC,PN丄AB,垂足分别为M、N，可得四边形PNBM 为矩形，PN // BC, PM = BN，/MFN = 90°._ PQ AD . PN PQ"AB " P M "PC又•••/ PMC = Z PNQ = 90 °,「. Rt △ PCM s Rt △ PQN .•••/ CPM = Z QPN .•••/ MPN = 90°,「./ QPC = Z CPM + Z QPM = Z MPN = 90°.12 .思路分析：由 A( — 3, 4)可知AO = 5,贝U OC = 5，所以点C 坐标(5, 0)，可求出直线 AC1的解析式；当点 P 在AB 上时，S 二丄BPMH ，当点P 在BC 上时，由菱形性质可知2 △ MOCMBC ，从而/ MBC = 90°，所以 S =丄 BR MB. 2解：⑴过点A 作AE 丄x 轴，垂足为E （如答图24 — 7①）.答图24 — 7①由A （— 3，4）及四边形ABCO 为菱形，可得 OC = CB = BA = OA = 5，C 点的坐标为 C （5，0）. 可得直线AC 的解析式为y = _丄x • 5 •2 2 1 S = BP •2 2 2 2②当P 点在BC 边上运动时，记为 P i .•••/ OCM = Z BCM ，CO = CB ，CM = CM ，5• △ OMC ◎△ BMC . • BM = OM = -，Z MBC = Z MOC = 90°5 5⑵由⑴得M 点坐标为（0，- ），• OM =2 2①如答图24 — 7②，当P 点在AB 边上运动时,2ci 1 5 5 25 5•- S= P1B • BM = (2t —5) •= t—( v t w 5).2 2 2 2 4 2⑶设OP与AC相交于点Q，连结OB交AC与K.3可得 tan / BCO = tan / AOE =里，由/ MPB 与/ BCO 互余可得 tan / MPB =•44①当P 点在AB 边上运动时，如答图 24- 7②.MH MH =OH -OM , PH 2.2 tan ZMPB1 由 PH = AH — AP 得 3- 2t = 2. t 2AQ AP 1由 AB//OC 可得△ AQPCQO .…CQ CO 5 在 Rt △ AEC 中，AC =:：：AE 2 EC 2〉』42 82 =4.5,25 10 ..5 ^,QC3-在 Rt △ OHB 中，OB h 』HB 2 HO 2 =：；22 42 =2、、5. 由菱形性质可得OK 」O B = . 5,AK 二匹=2 .5,. QK =AK — AQ 二爲^, 2 2 3 ••• tan. OQC =巴=3QK 4②当P 点在BC 边上运动时，如答图 24 - 7③..QK =KC —CQ 二 5.—OKOK", tan OQK =OKMtan._ MPB 3 10由PB =2t -5 解得325由 PC // OA 可得△ PQC s^ OQA . CQ AQCP CQ」,CQ 」AC-5.4AO AQ 3综上所述，当t =1或t =竺时，/ MPB与/ BOC互为余角，直线OP与直线AC所 2 63夹锐角的正切值为3或1.413•思路分析：第(1)(2)题，通过解直角三角形解决，第⑶题求四边形AEFD的面积时，要把它转化为规则图形的面积的和或•/ C(0, 2), B(3.3 , 2),••• BC // OA.差来解答.解：•••/ ABC = Z BAM .•/ BM = 2, AM = 2 3 , • tan/BAM =圧3•••/ ABC = Z BAM = 30°.(2)若AB / DF，则/ CFD = Z ABC = 30°.在Rt△ DCF 中，CD = 2-t，/ CFD = 30 °，/3•- S= S 梯形OABC —S A OAD —S A CDF —S A FEB=4 . 3 一J『- ](2 7)(4t 1) - 6(4 -2t)2二-3t -3.(0 :: t =2)14•简解：连结AA',由折叠的对称性知，EF垂直平分AA '于点G.在Rt A A' GT中，2 GH 丄A' T, AA'丄EF，所以△ A' GH GTH，所以HG : HT = A' H : GH，即HG•/ AB = 4 ,• BE = 4- 2t ,/ FBE = 30°.. BF"厂2—.E( 3・3t,t) ,• DE // x 轴.11S = S ^DEF + S A DEA = DE CD DE22CF = , 3 (2 -1). = 2(4_2t) _ 3⑶方法一：过点 E 作EG 丄x 轴于点G ,则 EG = t , OG 3 •.3t.OD =丄 DE OC 二2方法二：BF’D, CF 43-2(4切/ 1=H「A' H•而A' H= 1，HG持，所以HT Jx2.又因为点T在第四象限，所以T 的纵坐标为_】x4 5，故所求的函数关系式为415. 解:(1)S i= S2-证明：如答图24- 9①,4 15口，叫).答图24 - 9①•/ FE 丄y 轴，FG 丄 x 轴，/ ABD = 90°, •••四边形AEFG 是矩形. ••• AE = GF , EF = AG .• S ^AEF = S A A FG .冋理 S A ABC = S A A CD .• S ^ABC — S ^AEF = S X ACD — S A AFG ，即 S 1 = S 2 .=3— 5a ,同理可得②如答图24 — 9③，若点 E'在第二象限，•设 E '—4a , 5a), a > 0, 得 AN = 4a , A N(2) •/ FG // CD ,•••△ AFG ACD .S SFG 2 AG 21 1K=(CD )=(AD )二门=4CD = BA = 6, AD = BC = 8,「. FG = 3, ⑶假设存在符合条件的点 E '.V A A ' E 'E ' A '= EA = 3, E 'F ' = EF = 4. ①如答图24 — 9②，若点1 __2 'AG = 4, • F(4, 3).F '是由△ AEF 沿直线AC 平移得到的, 设 E ' (4, 5a), a > 0.延长 E'A'交 x 轴于 M ，得 AM = 5a — 3, AM = 4a . 由 tan. A AM =列AM5a - 34a答图24 — 9③3③ 如答图24- 9④，若点E '在第三象限,答图24 - 9④ 设 E ' （— 4a , — 5a ）, a >0,延长 E ' F'交 y 轴于点 P ,得 AP = 5a , PF '= 4a -4.同 理可得0 = 5a ■3 4a —43 a （a v 0，舍去）. 2 在第三象限不存在点 E '. ④点E '不可能在第四象限. •••存在满足条件的 E '坐标分别是（6兰）或（_3'2 2' 81 2 316. 解：⑴抛物线解析式为 y-- — x —x 2.2 2（2）方法一：（见答图24 - 10①）, 1 2 3由 yx 2 x 2，得 B(4, 0), D(0, 2). 2 2• CD // AB . 1…S 梯形 ABCD =(5 + 3) X 2 = 8.2设直线y = kx - 1分别交AB 、CD 于点H 、T , 小 1 3 则 H( , 0), T( , 2).kk•••直线y = kx - 1平分四边形 ABCD 的面积，131( 1) 2=4.2 k k方法二：过点 C 作CH 丄AB 于点H .(见答图24- 10②)13「5a4a3 15 E (S ，R.• • S 梯形=—S 梯形 ABCD =4. 23答图24 - 10①. 12 3由y x2x 2 得B(4 , 0), C(0, 2).2 2••• CD // AB.由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形.• S^AOD = S A BHC .3设矩形ODCH的对称中心为P,贝y P(—,1).2由矩形的中心对称性知：过P点任一直线将它的面积平分.•••过P点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD的面积平分. 当直线y= kx- 1经过点P时，得1 = 3k -1..2 34 4•••当k =—时，直线y =—x -1将四边形ABCD面积二等分.3 3⑶见答图24- 10③.假设△ AEF绕点G旋转180°后得到△ MNQ，由中心对称性可知△ AEF MNQ .MQ = AF = 2, NQ = EF = 1，/ MQN = Z AFE = 90°. 设M(m, n)，则N(m-2, n+ 1).T M、N在抛物线上，.n = -丄m2—m 2,2 21 23且n 1 (m —2) (m —2) 2.2 2"，口 m = 3, 解得』• M(3, 2), N(1 , 3).“ =1.17 .分析(1)设抛物线的解析式为y= ax2+ bx+ c(a^ 0)，由已知先求出C、D、E的坐标后再代入求出a、b、c的值即可；(2)先假设EF = 2GO成立，再根据题设条件给予证明；(3)方法同⑵.简解：(1)由已知，得C(3, 0), D(2, 2).•••/ ADE = 90°—/ CDB = Z BCD ,1 AE = AD • tan / ADE = 2x tan /BCD =2 x = 1. 2 .E(0, 1).可得过点E 、D 、C 的抛物线的解析式为 y =_£x 21.6 6(2)EF = 2GO 成立.6 12 •••点M 在该抛物线上，且它的横坐标为 一，.点M 的纵坐标为 一 •55可得直线DM 的解析式为y• 3.2答图24 — 11①•••/ ADK =/ FDG = 90 °，•/ FDA = / GDK . 又•••/ FAD = / GKD = 90° ,•△ DAF ◎△ DKG .KG = AF = 1.. GO = 1 .• EF = 2GO .⑶如答图24 — 11②.点P 在AB 上，G(1 , 0), C(3,A 4-r6 H C\?答图24 — 11②则设 P(t , 2). • PG 2= (t — 1)2+ 22, PC 2= (3 — t)2 + 22, GC = 2. ① 若 PG = PC ,贝U (t — 1)2 + 22 = (3 — t)2+ 22. 解得t = 2 ,• P 1(2, 2),此时点Q 1与点P 1重合. • Q 1 (2, 2).② 若 PG = GC ,贝U (t — 1)2 + 22= 22,得t = 1, • P 2(1 , 2).此时GP 2丄x 轴，GP 2与该抛物线在第一象限内的交点 Q 2的横坐标为1,•••点Q 2的纵坐标为-■ Q 2(1,-)••• F(0, 3), EF = 2.K ，则 DA = DK .0),3 3③若PC = GC,贝y （3 —1）2+ 22= 22,解得t = 3,「. P3（3, 2），此时P3C= GC = 2,△ P3CG为等腰直角三角形.过点Q3作Q3H 丄x 轴于点H，贝y Q3H = GH，设Q3H = h,••• Q3（h+ 1, h）. ••• Q3 在抛物线上，_§（h 1）2 12（h 1）+ 1 = h.6 67 12 7解得h1= , h2=—2（舍去）..Q3（12,7）5 5 57 12 7综上所述，存在三个满足条件的点Q.即Q1(2, 2)或Q2(1,-)或Q3(—，—厂3 5 54 4•••当y时，直线yxT将四边形ABCD面积二等分.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
代数与几何综合题 （时间：90分钟）一、选择题：1．如图2－5－8所示，在直角坐标系中，△ABC 各顶点坐标分别为A （0， 3 ），B （－1，0）、C （1，0）中，若△DEF 各顶点坐标分别为D （ 3 ，0）、E （0，1）、F （0，－1），则下列判断正确的是（ ）A ．△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转90○得到;B ．△DEF 由△ABC 绕O 点逆时针旋转90○得到;C ．△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转60○得到;D ．△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转120○得到2．如图（4）△OAP 、△ABQ 均是等腰直角三角形，点P 、Q 在函数4(0)y x x=>的图象上，直角顶点A 、B 均在x 轴上，则点B 的坐标为（ ）A 、21，0）B 、51，0)C 、（3，0）D 、51，0）３．已知点)31A，，()00B ，，)3C ，，AE 平分BAC ∠，交BC于点E ，则直线AE 对应的函数表达式是（ ）Ａ．23y x =Ｂ．2y x =- Ｃ．31y x =- Ｄ．32y x =-４.在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C 的 坐标是（ ）A .（3，7）B .（5，3）C .（7，3）D .（8，2）5．.等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）A.8B.10C.8或10D.不能确定６．如图，O 为矩形ABCD 的中心，将直角三角板的直角顶点与O 点重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交，交点分别为M 、N ．如果AB =4，AD =6，O M =x ,ON=y 则 y 与x 的关系是A ．23y x =B ．6y x= C ．y x = D ．32y x =N O A B DC M第６题图 图(4)yxBA QPO７．如图，反比例函数4y x =-的图象与直线13y x =-的交点为A ，B ，过点A 作y 轴的平行线与过点B 作x 轴的平行线相交于点C ，则ABC △的面积为（ ） Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．4 Ｄ．28．如图4（单位：m ），直角梯形ABCD 以2m/s 的速度沿直线l 向正方形CEFG 方向移动，直到AB 与FE 重合，直角梯形ABCD 与正方形CEFG 重叠部分的面积S 关于移动时间t 的函数图象可能是（ ）9．如图，在Rt ABC △中，904cm 6cm C AC BC ===o，，∠，动点P 从点C 沿CA ，以1cm/s 的速度向点A 运动，同时动点Q 从点C 沿CB ，以2cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的CPQ △的面积2(cm )y 与运动时间(s)x 之间的函数图象大致是（ ）10、如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦AC 、BD 相交于E ，则ABCD等于（ ） A 、AED ∠tan Ｂ、AED ∠cotAO BC x y（７题图） ＡG Fl10 10D BC E5 图4A ．B ．C ．D ．10C P Q9 O (s)2(cm )y3 A.9 O (s)x2(cm )y3 B.9 O (s)2(cm )y3 C.9 O (s)x2(cm )y3 D.CDEＣ、AED ∠sin Ｄ、AED ∠cos二、填空题１．如图所示，在等腰梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AC ⊥BC ，AC ＞BC ，△ABC 的面积为32，且AC ＋BC ＝()132+，那么此梯形中位线长为_________２．如图，ABC △中，45AB AC A ==o，∠，AC 的垂直平分线分别交AB AC ，于D E ，两点，连接CD ．如果1AD =，那么tan BCD ∠= ．３．当k 取不同整数时，经过第一、二、四象限的所有直线()212++-=k x k y 与坐标轴在第一象限围成一个多边形，这个多边形的面积等于_________4.如图，已知A l (1，0)、A 2(1，1)、A 3(-1，1)、A 4(-1，-1)、 A 5(2，-1)、…。
则点A 2007，的坐标为________．三、解答下列各题1.如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ）（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
2．矩形OABC 在直角坐标系中位置如图所示，A 、C两点AECBD yBaO Q AP xC的坐标分别为A （6，0），C （0，3），直线y=34x 与BC 边相交于点D ． （1）求点D 的坐标；（2）若抛物线y=ax 2+bx 经过D 、A 两点，试确定此抛物线的表达式； （3）P 为x 轴上方，（2）中抛物线上一点，求△POA 面积的最大值；（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点Q 为对称轴上一动点，以Q 、O 、M 为顶点的三角形与△OCD 相似，求符合条件的Q 点的坐标．3、一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。
①求直线AC 的解析式；②若M 为AC 与BO 的交点，点M 在抛物线285y x kx =-+上，求k 的值； ③将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，试判断点D 是否在②的抛物线上，并说明理由。
4、如图，在正方形ABCD 中，AB=2，E 是AD 边上一点(点E 与点A ，D 不重合)．BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 于N ．(1)设AE=x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式； (2)当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大?最大值是多少?5. 如图2－5-16，在矩形ABCD中，AB=10。
cm，BC=8cm．点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→A路线运动，到A停止，若点P、点Q同时出发，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，a s时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/s，点Q的速度变为d cm/s，图2－5－17是点P出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（s）的函数关系图象；图2－5－18是点Q出发xs后面AQD的面积S2（cm2）与x（s）的函数关系图象．⑴参照图2－5－17，求a、b及图中c的值；⑵求d的值；⑶设点P离开点A的路程为y1(cm)，点Q到点A还需走的路程为y2(cm)，请分别写出动点P、Q改变速度后，y1、y2与出发后的运动时间x（s）的函数解析式，并求出P、Q相遇时x的值．⑷当点Q出发_______s时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm．6. 在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。
（1）如图，过点A作⊙O1的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为12535，sin∠=ABC，求直线AC的解析式；（2）若⊙O1经过点M（2，2），设∆BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。
x选做题1．设边长为2a 的正方形的中心A 在直线l 上，它的一组对边垂直于直线l ，半径为r 的⊙O 的圆心O 在直线l 上运动．．，点A 、O 间距离为d ．与a 、r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填入下表：所以，当r ＜a 时，⊙O 与正方形的公共点的个数可能有 个；与a 、r 之间关系，将⊙O 与正方形的公共点个数填入下表：所以，当r ＝a 时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有 个；（3）如图③，当⊙O 与正方形有5个公共点时，试说明r ＝54a ；（4）就r ＞a 的情形，请你仿照“当……时，⊙O 与正方形的公共点个数可能有个”的形式，至少给出一个关于“⊙O 与正方形的公共点个数”的正确结论．（注：第（4）小题若多给出一个正确结论，则可多得2分，但本大题得分总和不得超过12分）l（第1题图①） l（第1题图②）（第1题图③）2. 如图，直角坐标系中，已知点A(2，4)，B(5，0)，动点P 从B 点出发沿BO 向终点O 运动，动点O 从A 点出发沿AB 向终点B 运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了x s ． (1)Q 点的坐标为(＿＿＿，＿＿＿)（用含x 的代数式表示） (2)当x 为何值时，△APQ 是一个以AP 为腰的等腰三角形?(3)记PQ 的中点为G ．请你探求点G 随点P ，Q 运动所形成的图形，并说明理由.代数与几何综合题答案 一、ABDCB DAACD二、1、 3 2、2-1 3、611 4、（-502，502） 三、1、（1）y=-21x 2+x（2）x 取最大整数为-1，∴ y=-21×(-1)2-1=–23 ∴AC=23由△BOQ ∽△CAQ,可得AC BO =AQOQ∴232=OQ OQ-2 解得OQ=78 ∴Q （78，0）2、（1）由题意知：y=43x 与BC 交于D （x ，3） 把y=3代入y=43x 得x=4 ∴D(4,3)（2）把D （4，3）A （6，0）代入y=ax 2+bx 中得 16a+4b=3 解得 a=-8336a+6b=0 b=49∴y=ax 2+bx=-83x 2+49x（3）因△POA 的底边OA=6 ∴当S △POA 有最大值时，点P 必须位于抛物线的最高点∵a=-83﹤0 ∴抛物线的顶点恰为最高点∴abac 442-=827 ∴S 最大=21×6×827=881（4）抛物线的对称轴与X 轴的交点Q 1符合条件∵CB ∥OA ∴∠Q 1OM=∠CDO∴Rt △Q 1OM ∽Rt △CDO ∴x=-a b 2=3 ∴Q 1(3,0) 过O 作OQ 2⊥OD 交对称轴于Q 2 ∵对称轴∥y 轴 ∴∠Q 2MO=∠DOC ∴Rt △Q 2Q 1O 和Rt △DOC 中 Q 1O=CO=3 ∠Q 2=∠ODC ∴Rt △Q 2Q 1O ≌Rt △DOC∴CD= Q 1 Q 2=4 ∴点Q 2位于第四象限 ∴Q 2（3,-4）故符合条件的点有两个分别为∴Q 1(3,0) Q 2(3,-4）3、①y=-54x+4 ②k=524 ③D 在②的抛物线上4、（1）连接ME ，设MN 交BE 于P ，根据题意得MB=ME ，MN ⊥BE ，过N 作NF ⊥AB 于F ，在Rt △MBP 和Rt △MNF 中，∠MBP+∠900，∠MNF+∠BMN=900.所以∠MBP=∠MNF ，又AB=FN ，所以Rt △EBA ≌Rt △MNF ，所以FM=AE=x,在Rt △AME 中，由勾股定理得：ME 2=AE 2+AM 2，所以MB 2=x 2+AM 2.即（2-AM ）2= x 2+AM 2,解得AM=1-41x 2.所以四边形ADNM 的面积 S=2DNAM +×AD=2AFAM +×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1-41x 2）+X=-21x 2+x+2即所求关系式为S=-21x 2+x+2（2）S=-21x 2+x+2=-21(x 2+x+1)+25,所以当AE=X=1时，四边形ADNM 的面积S 的值最大，此时最大值是25.5、（1）a=6s , b=2cm/s, c=17（2）当x=6s 改变速度时，Q 点恰好在线段BC 上，且CQ=2，则6+d 28-+d 10=22得d=1.（3）y 1=2x-6(6≤x ≤17) y 2=22-x(6≤x ≤22)相遇时x=328(s) （4）当Q 运动1s 或19s 时，P ，Q 在运动线上相距路程为25cm.6、（1）y=-43x+49 （2）不变，d+AB=4。