几何与代数历年真题
代数几何综合(含答案)
23．（本小题7分）如图,在平面直角坐标系中,A(-3,0)，点C 在y 轴的正半轴上，BC ∥x 轴，且BC=5,AB 交y 轴于点D ，OD=23． （1）求出点C 的坐标； （2）过A 、C 、B 三点的抛物线与x 轴交于点E ，连接BE ．若动点M 从点A 出发沿x 轴向x 轴正方向运动，同时动点N 从点E 出发，在直线EB 上作匀速运动，两个动点的运动速度均为每秒1个单位长度，请问当运动时间t 为多少秒时，△MON 为直角三角形? 23．解：（1）∵ BC ∥x 轴， ∴ △BCD ∽△AOD ．∴ CD BC OD AO=． ∴ 535322CD =⨯=．∴ 53422CO =+=． ∴ C 点的坐标为 (0，4) ． ……………………… 1分 （2）如图1，作BF ⊥x 轴于点F ，则BF= 4． 由抛物线的对称性知EF=3．∴BE=5，OE=8，AE=11． ………………………… 2分 根据点N 运动方向，分以下两种情况讨论： ① 点N 在射线EB 上．若∠NMO=90°，如图1，则cos ∠BEF=ME FENE BE=, ∴1135t t -=，解得558t =．……………… 3分 若∠NOM=90°，如图2，则点N 与点G 重合．∵ cos ∠BEF=OE FEGE BE=， ∴ 835t =，解得403t =． …………………… 4分∠ONM=90°的情况不存在． ………………………………………………………… 5分 ② 点N 在射线EB 的反向延长线上．若∠NMO=90°，如图3，则cos ∠NEM= cos ∠BEF ，∴ME FENE BE =． ∴ 1135t t -=，解得552t =． …………………… 6分 而∠NOM=90°和∠ONM=90°的情况不存在．…… 7分 综上，当558t =、403t =或552t =时，△MON 为直角三角形．（第23题图2）D(N)（第23题图3）D（第23题）25.（7分）已知，抛物线22y ax bx =+-与x 轴的两个交点分别为A （1,0），B （4，0），与y 轴的交点为C ． （1）求出抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）点P 是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OCB 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（7分）解：（1）据题意，有0164202a b a b =+-⎧⎨=+-⎩， ． 解得 1252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ． ∴抛物线的解析式为：215222y x x =-+-．点C 的坐标为：（0，-2）． ………………………（2）答：存在点P （x ，215222x x -+-），使以A ，P ，M ∵∠COB =∠AMP =90°，∴①当OC OBMP MA =时，△OCB ∽△MAP ． ②当OC OB MA MP=时，△OCB ∽△MP A ． ①OC MP OB MA =，∴215222241x x x -+=-． 解得：x 1=8，x 2=1（舍）． ②OC MA OB MP =，∴221154222x x x -=-+． 解得：x 3=5，x 4=1（舍）．综合①，②知，满足条件的点P 为：P 1（8，-14），P 2（5，-2）． ……………………… 7分24. 在△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB=．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．(1) 当点BB 的横坐标；(2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C ，请你探究：当a =，12b =-，c =A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由。
高等数学试题及答案代数与解析几何
高等代数课程试卷及参考答案代数与解读几何试题<一）一、计算<20分）1）3643141227251531------- 2）ax aaa a x a a a ax ---二、证明：<20分）1）若向量组n αα 1线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。
2）若向量组n αα 1中部分向量线性相关，则向量组n αα 1必线性相关三、<15分）已知A 为n 阶方阵A ~为A 的伴随阵，则|A|=0，A ~的秩为1或0。
四、<10分）设A 为n 阶阵，求证，rank<A+I ）+rank<A-I ）≥n 五、<15分）求基础解系⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--032030432143214321x x x x x x x x x x x x 六、<10分）不含零向量的正交向量组是线性无关的 七、<10分）求证△ABC 的正弦正定理Cc B b A a sin sin sin == 答案(一>一、1）-126 2）1)2]()2([---+n a x a n x 二、证明：1）n αα 1线性无关，r αα 1是其部分向量组，若存在不全为0的数r k k 1使011=++r r k k αα 则取021=++=++n r r k k k ，则000111=++++++n r r r k k αααα ，则可知n αα 1线性相关矛盾，所以r αα 1必线性无关。
2）已知r αα 1是向量组中n αα 1中的部分向量，且线性相关即r k k 1 不全为0，使011=++r r k k αα ，取01===+n r k k ，于是有不全为0的001 r k k ，使000111=++++++n r r r k k αααα 即n αα 1线性相关。
三、证明：I A A A A A A ||||||||~=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=由于|A|=0 ，A 的秩≤n-11）若A 的秩为n-1，则A ~中的各元素为A 的所有n-1阶子式，必有一个子式不为0，又由于A ~的各列都是AX=0齐次线性方程组的解，其基础解系为n-<n-1）=1，由此A ~的秩为1。
代数与几何难题(含解析)
代数与几何难题一、选择题1、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于( )．A .B .C .D .二、解答题2、如图1，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．（1）求k的值；（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．3、已知抛物线y＝a+bx+c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴。
（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。
4、已知抛物线．（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；（2）若A（n-3，n2+2）、B（-n+1，n2+2）是抛物线上的两个不同点，求抛物线的解析式和n的值；，且（3）若反比例函数的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x满足2＜x＜3，求k的取值范围．5、如图，抛物线y=a+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由。
6、如图，第一角限内的点A在反比例函数y=的图象上，第四象限内的点B 在反比例函数y=图象上，且OA⊥OB，∠OAB＝60度，则K值为__________7、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一点，其坐标为（，-），B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）经过A、B、D三点的圆交AC于F，交直线y=x+3于点E．试判断△BEF的形状，并加以证明．代数与几何难题的答案和解析一、选择题1、答案：C试题分析：先过点A向BC引垂线，构造出直角三角形，再利用三角函数的定义解答即可。
中考数学-几何与代数综合专题(含答案)
题型：反比例函数专题题型说明：自从2010年北京中考第23题考查了反比例函数的知识以来，各区县模拟考试题中就开始出现了很多反比例函数的类型题，但是不管如何考查，都基本上会涉及几何变换，数形结合，方程与不等式，整体思想等。
【例1】已知:反比例函数()0ky k x=≠经过点(11)B ，． ⑴求该反比例函数解析式；⑵联结OB ，再把点(20)A ，与点B 连结,将OAB ∆绕点O 按顺时针方向旋转135︒得到''OA B ∆，写出''A B 的中点P 的坐标，试判断点P 是否在此双曲线上，并说明理由；⑶若该反比例函数图象上有一点(1)F m -（其中0m >），在线段OF 上任取一点E ,设E 点的纵坐标为n ,过F 点作FM x ⊥轴于点M ，连结EM ，使OEM ∆的面积是2，求代数式2n +-【答案】⑴反比例函数解析式：1y x=⑵∵已知(11)B ，,(20)A ， ∴OAB ∆是等腰直角三角形∵顺时针方向旋转135°，∴'(0B,'(A - ∴中点P为(2． ∵((1⋅= ∴点P 在此双曲线上． ⑶∵EH n = ,OM m =例题精讲代数综合(二)∴OEM S ∆=EH OM ⋅21=mn 21=2，∴m = 又∵(1)F m -在函数图象上∴)123(-m m =1． 将m21=∴2n =∴2n +-【例2】如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N ． ⑴求直线DE 的解析式和点M 的坐标； ⑵若反比例函数y ＝xm（x ＞0）的图象经过点M ，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上； ⑶若反比例函数y ＝xm（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围． 【答案】⑴设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b∵点D ，E 的坐标为（0，3）、（6，0）， ∴⎩⎨⎧b k b＋＝＝ 603 解得⎪⎩⎪⎨⎧321 ＝＝b k －∴直线DE 的解析式为y ＝－21x ＋3 ∵点M 在AB 边上，B （4，2），而四边形OABC 是矩形，∴点M 的纵坐标为2 又∵点M 在直线y ＝－21x ＋3上，∴2＝－21x ＋3，∴x ＝2,∴M （2，2） ⑵∵y ＝xm （x ＞0）经过点M （2，2），∴m ＝4，∴y ＝x 4又∵点N 在BC 边上，B （4，2），∴点N 的横坐标为4 ∵点N 在直线y ＝－21x ＋3上，∴y ＝1 ∴ N （4，1） ∵当x ＝4时，y ＝x 4＝1，∴点N 在函数y ＝x4的图象上 ⑶48m ≤≤【例3】如图，已知直线y ＝－2x ＋b 与双曲线y ＝xk（k ＞0且2k ≠）相交于第一象限内的两点P （1，k ）、Q （22-b ，y 2） ⑴求点Q 的坐标（用含k 的代数式表示）⑵过P 、Q 分别作坐标轴的垂线，垂足为A 、C ，两垂线相交于点B ．是否存在这样的k 值，使得△OPQ 的面积等于△BPQ 面积的二倍？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由 （P 、Q 两点请自己在图中标明）【答案】⑴∵P （1，k ）在直线y ＝－2x ＋b 上，∴k ＝－2＋b∴b －2＝k ∵Q （22-b ，y 2）在双曲线y ＝x k上，∴y 2＝22-b k ＝2∴22-b ＝2k∴点Q 的坐标为（2k，2）⑵由P （1，k ）、Q （2k，2）可知P 为AB 与双曲线的交点，Q 为BC 与双曲线的交点 S △OPQ＝S 矩形OABC－S △AOP －S △COQ －S △BPQ ＝1×2－21×1×k －21×2k ×2－21×(1－2k )(2－k ) ＝1－41k2 假设存在这样的k 值，使得△OPQ 的面积等于△BPQ 面积的二倍，则有 1－41k2＝2×21×(1－2k)(2－k ) 整理得：3k2－8k ＋4＝0解得：k ＝2（不合题意，舍去）或23k =， 故存在k ＝32，使得△OPQ 的面积等于△BPQ 面积的二倍 【例4】如图，直线y ＝21x ＋b 分别与x 轴、y 轴相交于A 、B ，与双曲线y ＝xk（其中x ＞0）相交于第一象限内的点P （2，y 1），作PC ⊥x 轴于C ，已知△APC 的面积为9． ⑴求双曲线所对应的函数关系式；⑵在⑴中所求的双曲线上是否存在点Q （m ，n ）（其中m ＞0），作QH ⊥x 轴于H ，当QH＞CH时，使得△QCH 与△AOB 相似？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】⑴y ＝0代入y ＝21x ＋b ，得x ＝－2b ∴A （－2b ，0）把x ＝2代入y ＝21x ＋b ，得y 1＝1＋b ，∴P 由题意得：S △APC＝21AC ·PC ＝21(2＋2b )(1＋b )＝9 整理得：(1＋b )2＝9，解得b ＝－4（舍去）或b ＝2 ∴P （2，3），把P （2，3）代入y ＝x k，得k ＝6 ∴双曲线所对应的函数关系式为y ＝x6 ⑵由⑴知AO ＝4，BO ＝2,设Q （m ，m6） 当点Q 在点P 左侧时，CH ＝2－m ，QH ＝m 6若△QCH ∽△ABO ，则有BO CH ＝AO QH ，即22m -＝46m整理得：m2－2m ＋3＝0，此方程无实数解当点Q 在点P 右侧时，CH ＝m －2，QH ＝m6 若△QCH ∽△ABO ，则有BO CH ＝AO QH ，即22-m ＝46mm2－2m －3＝0，解得m ＝－1（负值，舍去）或m ＝3当m ＝3时，CH ＝1，QH ＝2，QH＞CH ，符合题意∴Q （3，2）综上所述，存在点Q （3，2），使得△QCH 与△AOB 相似【例5】如图，直线1y k x b =+与反比例函数y ＝xk 2（x ＞0）的图象交于A （1，6），B （a ，3）两点． （1）求k 1、k 2的值； （2）直接写出k 1x ＋b －xk 2＞0时x 的取值范围；0 （3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC ∥OD ，OB ＝CD ，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于E ，CE 和反比例函数的图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．【答案】（1）由题意知：k 2＝1×6＝6∴反比例函数的解析式为y ＝x6 又B （a ，3）在y ＝x6的图象上，∴a ＝2，∴B （2，3） ∵直线y ＝k 1x ＋b 过A （1，6），B （2，3）两点 ∴⎩⎨⎧32611 ＝＋＝＋b k b k 解得⎩⎨⎧93 1 ＝＝－b k（2）x 的取值范围为1＜x＜2（3）当S 梯形OBCD＝12时，PC ＝PE设点P 的坐标为（m ，n ），∵BC ∥OD ，CE ⊥OD ，OB ＝CD ，B （2，3） ∴C （m ，3），CE ＝3，BC ＝m －2，OD ＝m ＋2 ∴S 梯形OBCD＝21(BC ＋OD )·CE ，即12＝21×(m －2＋m ＋2)×3∴m ＝4，mn ＝6，∴n ＝23，即PE ＝21CE∴PC ＝PE【例6】在平面直角坐标系中，函数y ＝xm（x ＞0，m 是常数）的图象经过点A （1，4）、点B （a ，b ），其中a ＞1．过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，AC 与BD 相交于点M ，连结AD 、DC 、CB 与AB ． ⑴求m 的值； ⑵求证：DC ∥AB ；⑶当AD ＝BC 时，求直线AB 的函数解析式【答案】⑴∵点A （1，4）在函数y ＝xm图像上 ∴4＝1m，∴m ＝4 ⑵∵点B （a ，b ）在函数y ＝x4图像上 ∴B （a ，a 4），∴D （0，a4） 又∵A （1，4），∴C （1，0），M （1，a4） ∴DM ＝1，MB ＝a －1，AM ＝4－a 4，MC ＝a4 ∴MC DM ＝a 4，AM MB ＝aa 441--＝a 4 ∴MC DM ＝AMMB∵∠DMC ＝∠BMA∴△CDM ∽△ABM ∴∠DCA ＝∠BAC ∴DC ∥AB ⑶设直线AB 的函数解析式为y ＝kx ＋b∵DC ∥AB ，AD ＝BC∴四边形ABCD 为平行四边形或等腰梯形 情况①：四边形ABCD 为平行四边形则DM ＝MB ，∴1＝a －1，∴a ＝2 ∴B （2，2）∵点A （1，4）、B （2，2）在直线AB 上∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝42k ＋b ＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝6 ∴直线AB 的函数解析式为y ＝－2x ＋6情况②：四边形ABCD 为等腰梯形则AC ＝BD ，∴a ＝4∴B （4，1）∵点A （1，4）、B （4，1）在直线AB 上∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝44k ＋b ＝1 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝5 ∴直线AB 的函数解析式为y ＝－x ＋5综上所述，直线AB 的函数解析式为y ＝－2x ＋6或y ＝－x ＋5【例7】如图，在平面直角坐标系中，已知A （1，0），B （0，1），E 、F 是线段AB 上的两个动点，且∠EOF＝45°，过点E 、F 分别作x 轴和y 轴的垂线CE 、DF 相交于点P ，垂足分别为C 、D ．设P 点的坐标为（x ，y ），令x y ＝k ． ⑴求证：△AOF ∽△BEO ； ⑵当OC ＝OD 时，求k 的值；⑶在点E 、F 运动过程中，点P 也随之运动，探索：k 是否为定值？请证明你的结论．【答案】⑴证明：由已知得OA ＝OB ＝1，∠AOB ＝90°∴∠OAF ＝∠OBE ＝45°，又∵∠OF A ＝∠ABO ＋∠BOF ＝∠EOF ＋∠BOF ＝∠EOB ∴△AOF ∽△BEO⑵解：如图，过O 作OM ⊥AB 于M ，则OM ＝21AB ＝22∵OA ＝OB ＝1，OC ＝OD ，∴AC ＝BD ，∴CE ＝DF 又∠OCE ＝∠ODF ＝90°，∴△OCE ≌△ODF ∴OE ＝OF ，∴△EOF 是等腰三角形，∠EOM ＝21∠EOF ＝22.5° 而∠COE ＝∠AOM －∠EOM ＝45°－22.5°＝22.5°＝∠EOM ∠OCE ＝∠OME ＝90°，OE ＝OE ，∴△OCE ≌△OME∴OC ＝OM ＝22，∴PC ＝PD ＝OC ＝22 ∴k ＝x y ＝PD ·PC ＝21（3）k 为定值如图，过E 作EH ⊥OB 于H ，过F 作FK ⊥OA 于K 由△AOF ∽△BEO 得OB AF ＝BEOA，∴AF ·BE ＝OA ·OB ＝1 又AF ＝2FK ，BE ＝2HE ，∴2HE ·2FK ＝1 ∴HE ·FK ＝21，∴PD ·PC ＝HE ·FK ＝21，∴k 为定值21【例8】如图，点P （a ，b ）和点Q （c ，d ）是反比例函数y ＝x1在第一象限内图象上的两个动点（a b <，a c ≠），且OP ＝OQ ．P 1是点P 关于y 轴的对称点，Q 1是点Q 关于x 轴的对称点，连接P 1Q 1分别交OP 、OQ 于点M 、N ． ⑴求证：a ＝d ，b ＝c ； ⑵求证：11PQ PQ ∥；⑶设四边形PQNM 的面积为S ．①求S 关于a 的函数关系式； ②是否存在这样的点P ，使得S ＝58？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∵P （a ，b ），Q （c ，d ），OP ＝OQ ，∴a2＋b2＝c2＋d2又∵b ＝a 1，d ＝c 1，∴a2＋(a 1)2＝c2＋(c1)2整理得(ac ＋1)(ac －1)(a ＋c )(a －c )＝0 ∵a ＞0，c ＞0，且a ≠c ，∴ac ＝1 从而可得a ＝d ，b ＝c（2）证明：分别延长P 1P 、Q 1Q 相交于点A ， 过点P 1、Q 1分别作x 轴、y 轴的垂线相交于点B 由（1）知AP ＝AQ ＝b －a ，AP 1＝AQ 1＝b ＋a ∴∠APQ ＝∠AP 1Q 1＝45° ∴PQ ∥P 1Q 1（3）解：①易得P 1、Q 1的坐标分别为（－a ，b ）、（b ，－a ） ∴S 梯形PP 1Q 1Q＝S △AP 1Q 1－S △APQ ＝21(b ＋a )2－21(b －a )2＝2ab ＝2 设直线P 1Q 1的解析式为y ＝kx ＋n则⎩⎪⎨⎪⎧－ak ＋n ＝b bk ＋n ＝－a 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1n ＝b －a ∴直线P 1Q 1的解析式为y ＝－x ＋b －a 由已知可得直线OP 的解析式为y ＝abx 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b －a y ＝abx 得x ＝b a a b a +-)( ，y ＝b a a b b +-)( 即点M 的坐标为（b a a b a +-)( ，ba ab b +-)( ） ∴S △PP 1M＝21×2a ×[b －b a a b b +-)( ]＝b a b a +22＝ba a+2 由对称性可知S △QQ 1M＝S △PP 1M＝ba a +2 ∴S 四边形PQNM＝S 梯形PP 1Q 1Q－2S △PP 1M＝2－2×b a a+2＝12222+-a a②假设存在这样的点P ，则12222+-a a ＝58，解得a ＝±31∵a ＞0，∴a ＝31，∴b ＝3∴存在满足条件的点P ，点P 的坐标为（31，3）【例9】如图，矩形ABCD （点A 在第一象限）与x 轴的正半轴相交于M ，与y 的负半轴相交于N ，AB ∥x轴，反比例函数y ＝xk的图象过A 、C 两点，直线AC 与x 轴相交于点E 、与y 轴相交于点F ． （1）若B （－3，3），直线AC 的解析式为y ＝ax ＋b①求a 的值；②连结OA 、OC ，若△OAC 的面积记为S △OAC，△ABC 的面积记为S △ABC，记S ＝S △ABC－S △OAC，问S 是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由； （2）AE 与CF 是否相等？请证明你的结论．【答案】（1）①方法一：∵四边形ABCD 是矩形，AB ∥x 轴，B （－3，3） ∴A （3k ，3），C （－3，－3k） ∵y ＝ax ＋b 经过A 、C 两点∴⎩⎪⎨⎪⎧3ka ＋b ＝3－3a ＋b ＝－3k ∴(3k ＋3)a ＝3k ＋3∵k ＞0，∴3k＋3≠0，∴a ＝1 方法二：∵四边形ABCD 是矩形，AB ∥x 轴，B （－3，3） ∴A （3k ，3），C （－3，－3k ），D （3k ，－3k） ∴AB ＝3k ＋3，AD ＝3k＋3，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是正方形 ∴∠AEO ＝∠ACD ＝45°，∴OE ＝OF ＝b ∴E （－b ，0），∴－ab ＋b ＝0 ∵b ≠0，∴a ＝1②∵S ＝S △ABC－S △OAC＝S △ACD－S △OAC＝S △AOM＋S △CON＋S 矩形ONDM＝21×3k ×3＋21×3×3k ＋3k ×3k ＝91k2＋k ＝91(k ＋29)2－49∴当k ＞－29时，S 随着k 的增大而增大 又∵k ＞0，k 没有最小值，∴S 没有最小值 （2）答：AE ＝CF ，理由如下： 方法一：如图，连接MN ，设AB 交y 轴于点P ，BC 交x 轴于点Q∵S 矩形APOM＝S 矩形CQON＝3k ×3＝k ，∴DN ·AD ＝DM ·CD ∴CD DN ＝ADDM，又∵∠D ＝∠D ，∴△DNM ∽△DCA ∴∠DNM ＝∠DCA ，∴MN ∥AF又∵AM ∥FN ，∴四边形AFNM 是平行四边形，∴AF ＝MN 同理CE ＝MN ，∴AF ＝CE ∴AE ＝CF 方法二：设A （m ，m k ），C （n ，n k ），则AM ＝m k ，AD ＝m k －nk，CN ＝－n ，CD ＝m －n∵EM ∥CD ，∴△AEM ∽△ACD ，∴AC AE ＝AD AM ＝n k m k mk -＝nk m k mk -＝m n n- ∵FN ∥AD ，∴△CFN ∽△CAD ，∴AC CF ＝CDCN ＝n m n --＝m n n- ∴AC AE ＝ACCF，∴AE ＝CF 方法三：设A （m ，mk ），C （n ，n k ），则M （m ，0）、N （0，n k）从而⎩⎪⎨⎪⎧ma ＋b ＝m kna ＋b ＝nk ∴(m －n )a ＝m k －nk∴a ＝－mn k ，∴b ＝mn k n m )(+，∴直线AC 的解析式为y ＝－mn k x ＋mnkn m )(+ ∴E （m ＋n ，0），∴EM ＝m －(m ＋n )＝－n ，∵CN ＝－n ，∴EM ＝CN ∵EM ∥BA ∥CN ，∴∠AEM ＝∠FCN又∵∠AME ＝∠FNC ＝90°，∴△AEM ≌△FCN ∴AE ＝CF【例10】已知二次函数23(0)2y ax bx a =+-≠的图象经过点(10)，和(30)-，，反比例函数1ky x=（0x >）的图象经过点（1，2）．（1）求这两个函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这两个函数的图象； （2）若反比例函数1k y x =（0x >）的图象与二次函数23(0)2y ax bx a =+-≠的图象在第一象限内交于点00()A x y ，，0x 落在两个相邻的正整数之间．请你观察图象写出这两个相邻的正整数； （3）若反比例函数2k y x=（00k x >>，）的图象与二次函数23(0)2y ax bx a =+-≠的图象在第一初中数学.中考冲刺.第06讲.教师版 Page 11 of 11 象限内的交点为A ，点A 的横坐标0x 满足023x <<，试求实数k 的取值范围．【答案】（1）把(10)，和(30)-，分别代入23(0)2y ax bx a =+-≠解方程组，得 12a =，1b = ∴ 抛物线解析式为23212-+=x x y ∵ 反比例函数1k y x =的图象经过点（1，2），∴ k =2. ∴ 12y x= （2）正确的画出二次函数和反比例函数在第一象限内的图象 由图象可知，这两个相邻的正整数为1与2.（3）由函数图象或函数性质可知：当23x <<时，对23212-+=x x y ，y 随着x 的增大而增大，对2(0)k y k x=>，2y 随着x 的增大而减小.因为00()A x y ，为二次函数图象与反比例函数图象的交点，所以当02x =时，由反比例函数图象在二次函数的图象上方，得2y y > 即2k ＞2322212-+⨯，解得5k >. 同理，当03x =时，由二次函数的图象在反比例函数图象上方的，得2y y >， 即2333212-+⨯＞3k ，解得18k <. 所以k 的取值范围为518k <<.。
高中数学练习题代数与几何
高中数学练习题代数与几何高中数学练习题：代数与几何一、代数题1. 已知多项式函数 f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7，求 f(x) 在 x = 2 处的函数值。
解析：将 x = 2 代入 f(x) 中即可得到函数值。
2. 若 a + b = 8，ab = 15，求 a^2 + b^2 的值。
解析：根据二次方程的求根公式，我们可以得到 a 和 b 的值，然后再计算 a^2 + b^2。
3. 已知集合 A = {1, 2, 3, 4}，集合 B = {3, 4, 5, 6}，求 A 与 B 的交集、并集以及差集。
解析：根据集合的定义和运算规则，可以求得 A 与 B 的交集、并集以及差集。
二、几何题1. 在平面直角坐标系中，过点 A(2, 6) 和点 B(-4, -3) 的直线 k 的方程是什么？解析：使用两点式求得直线 k 的方程。
2. 已知等边三角形 ABC 的边长为 6cm，求三角形的高、面积以及内切圆半径。
解析：根据等边三角形的性质，可以求得三角形的高、面积以及内切圆半径。
3. 已知平面图形 ABCD 是一个正方形，AB 的边长为 5cm。
点 E、F、G 分别是 AB、BC、CD 上的点，且 AE = BF = CG。
求三角形 EFG 的面积。
解析：根据正方形的性质，可以求得三角形 EFG 的面积。
三、综合题已知函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x + 2，考察其在数轴上的特征点。
解析：通过求导、求值等方式，可以确定函数 f(x) 的驻点、拐点以及零点等特征点。
综上所述，本篇文章涵盖了高中数学代数与几何方面的练习题，包括代数题和几何题。
通过解析各题目，我们可以了解到问题的解法和相关概念。
这些题目旨在帮助高中生巩固数学知识，提高解题能力。
数学代数与几何复习题集及答案
数学代数与几何复习题集及答案<数学代数与几何复习题集及答案>一、代数复习题1. 解方程：求解以下方程组(1) 2x + y = 5x - y = 1(2) 3x + 2y = 84x - y = 2(3) x^2 + 4y^2 = 92x + 3y = 6(答案略)2. 因式分解：将下列多项式进行因式分解(1) x^2 + 5x + 6(2) 2x^2 + 3x - 2(3) x^3 - 8(答案略)3. 等比数列：求解等比数列问题(1) 若一个等比数列的首项为2，公比为3，则第6项为多少？(2) 一个等比数列的首项为3，前5项的和为242。
求该等比数列的公比。
(3) 若一个等比数列的前n项和为S_n，其中首项为a，公比为r。
证明：S_n = a * (1 - r^n)/(1 - r)(答案略)二、几何复习题1. 三角函数：计算下列问题(1) 计算 sin(45°) - cos(30°)(2) 已知直角三角形的斜边长为10，其中一个锐角的正弦值为3/5，求该锐角的余弦值。
(3) 已知直角三角形的一条直角边长为6，斜边长为10。
求另一条直角边的长。
(答案略)2. 平面向量：解决平面向量问题(1) 已知平面向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，计算 a + b 和 a - b。
(2) 若平面向量a = (x, y)满足 a · (3, 1) = 4，求a的坐标。
(3) 已知平面向量a = (2, 1)，b = (3, 4)。
计算 a · b 和 |a × b|。
(答案略)3. 三角形：解决三角形问题(1) 在三角形ABC中，∠A = 70°，∠B = 40°，则∠C = ?(2) 若在三角形ABC中，a = 5，b = 7，∠C = 30°，则c = ? （使用余弦定理）(3) 若在三角形ABC中，a = 3，b = 4，c = 5，是否为直角三角形？(答案略)综上所述，本篇文章为数学代数与几何的复习题集及答案，旨在提供读者复习相关知识点，加深对代数与几何的理解。
代数与几何试题
代数与几何 试题A 考试形式：闭卷 答题时间： 120 分钟 本卷面成绩占课程成绩 100%（所有答案必须写在答题纸上、标清题号）一、填空题（6⨯5分）1．设平面π通过点M １(2, 2, -1), M ２(-3, 2, 1), M ３(1, 2, 3), 此平面的方程为__________2. 通过点(２，-１，３)且与平面2x -y +3z =2和x +4y -z =0平行的直线方程为__________ .3．已知α1, α2为2维列向量，矩阵A=(2α1+α2 , α1-α2), B= (α1, α2),若行列式|A|=6，则|B|= ____4. 设α为n 维列向量，T α是α的转置. 若矩阵T αα的主对角线上元素全为1， 则ααT = .5. 设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，则|4A -1-E|=______.6. 设二次型f=x 21+23223x x ++2t 21x x +231x x 是正定二次型，则t 的取值范围是______. 二、选择题（6⨯5分）1. 下列方程表示双叶双曲面方程的是1)(222=++z y x A 1)(222=-+z y x B 1)(222=--z y x C 0)(222=--z y x D2．设对方阵A 施行初等变换得到方阵B ，且|A|≠0，则必有(A) |A|=|B| (B) |B|≠|A| (C) |B|≠0 (D) |B|=0或|B|≠0, 依赖于所作的初等变换3. 设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得 C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101001010)(A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100101010)(B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110001010)(C ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001110)(D4. 设A,B 为满足AB=E 的任意两个非零矩阵，则必有(A) A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关.(B) A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关.(C) A 的行向量组线性无关，B 的行向量组线性无关.(D) A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关.5.设非齐次线性方程组AX=β的导出组为AX=0，则下列结论不成立的是（ ）.(A) 设u 是AX=0的通解，η为AX=β的特解，则η+u 是AX=β的通解(B) 设ηξ,为AX=β的解，则a ξ+b η是AX=0的解(C) 若AX=β有唯一解，则AX=0有唯一解(D) 若AX=β有无穷多解，则AX=0有无穷多解6.设A 为3阶对称矩阵,且A 2+A=0,若A 的秩为2,则A 相似于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000000)(A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000001)(B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000010001)(C ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---100010001)(D三. （10分）求直线 1101zyx ==- 绕z 轴旋转所生成的旋转曲面的方程．四. （10分）设齐次线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=+有公共解，求a 的值及所有公共解。
几何与线性代数习题集册
习题一 几何向量及其运算姓名 学号 班级一、填空题1． 下列等式何时成立：1）βαβα-=+， 当 ；2）βαβα+=+，当 ；3）αβαβ+=-， 当 ；4）ββαα=，（,αβ为非零向量），当 ； 5）βαβα->+， 当 。
2．指出下列向量组是线性相关还是线性无关：1）},{αθ是 ； 2）βα,不平行，},{βα是 ；3）γβα,,共面，},,{γβα是 ；4）γβα,,不共面，},,{γβα是 。
3．在空间直角坐标系中，点(2,3,5)M -关于关于yoz 平面的对称点是 ；关于原点的对称点是 ；关于z 轴的对称点是 ；在xoy 平面上的投影点坐标是 ；在y 轴上的投影点是 ；到yoz 平面的距离是 ；到原点的距离是 ；到x 轴的距离是 。
二、设,,OA OB P αβ==u u u r u u u r 为线段AB 上任一点，证明存在数λ，使得λβαλ+-=)1(OP 。
三、已知向量313221,,e e e e e e +=+=+=γβα，证明αγγββα---,,共面。
四、判断题1．若γαβα⋅=⋅，且αθ≠，则βγ=。
（ ）2．γβα,,共面的充分必要条件是0)(=⨯⋅γβα。
（ ）3．><⋅=⨯βαβαβα,sin 。
（ ） 4．βαβα⋅≤⋅ 。
（ ）五、填空题1．已知向量4,3,32===βαπϕβα的夹角和，则 1）βα⋅= ；2） 2βα+= ；3）(32)(2)αβαβ-⋅+= 。
2．已知βαβα3,2-=-=AD AB ，其中6,,3,5πβαβα>=<==，则三角形ABD 的面积S = 。
六、已知 21,2,,,,3παβαβωλαβγαβ==<>==+=-。
问 1）λ为何值时，ω与γ平行； 2）λ为何值时，ω与γ垂直。
七、已知α与β垂直，且3,4αβ==，计算：(提示: ,.αβααββ⨯⊥⨯⊥)1）αβα⨯⨯)(； 2）)()(βαβα-⨯⨯； 3）)2()3(βαβα-⨯-。
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也线性无关； 1 2, k2 3,3 1
1 1 1 1
4．
矩阵
A
0
0
1 0
1 1
1 1
的伴随矩阵
A*
=
0 0 0 1
；
5．
设矩阵
A
及
A
E
均可逆，则 G
E
(A
，且 E)1
G 1
时，
6． 与向量 (1,0,1) ， (1,1,1) 均正交的单位向量为
；
7． 四 点 共 A(1,1,1), B(1,1, x),C(2,1,1), D(2, y,3) 面 的 充 要 条 件
12．．
求求参一数正交k,l的阵值
；
Q, 使得QT
AQ
B.
八（6%）已知n 阶方阵 A 相似于对角阵，并且， A 的特征
向量均是矩阵 B 的特征向量。证明： AB BA。
-3-
02-03 学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一． 填空题、单选题（每小题３分，共３６分）
1
1． 025
1
2002
3
-1-
所截有界部分在 x y 平面上的投影区域的草图（应标
明区域边界与坐标轴的交点）。
三（8%）求经过直线
x x
2y y
z 2z
2且与 x y 平面垂直的
1
平面方程.
四（12%）求矩阵方程 XA 2X B 的解，其中，
. 3
A
0 0
1 1 0
1 0 3
,
B
1 3
0 2
1 1
6．若４阶方阵 A 的秩为２，则伴随矩阵 A的秩为 ；
7．若可逆矩阵
P
使
AP
PB
，
B
1 0
2 3
，则方阵
A
的特征多
项式为 ；
8．若３阶方阵 A 使 I A,2I A, A 3I 都不可逆，则 A 与对角阵
相似（其中， I 是３阶单位阵）；
0 1 1
9．若
A
x 1
1 2
y 0
与对角阵相合，则
几何与代数历年真题
01-02 学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一（30%）填空题：
1．
设
， (1, 2)
，则 (1, 1)
T
；T =
；
( T )100
；
1 2 0
2 3 4
2．
设矩阵
A
Байду номын сангаас
0
3
， 1
B
0
5
6
，则行列式
AB1
；
1 3 0
0 0 7
3． 若 向 量 组 1,2,3 线 性 无 关 ， 则 当 参 数 k
0
，求
X
99
．
1
三． 计算题、解答题（三小题共３２分）
16．设向量组
1 1 2 2
1
2
1
,
2
1 0
,
3
1 1
,
5
3
0 2 a b
-5-
V 是 L(1,2,3) 生 1,2,3 成 的 空 间 ． 已 知 ， 维(V ) 2 V ． （１） 求 a,b ； （２） 求V 的一个基，并求 在此基下的坐标； （３） 求V 的一个标准正交基． 17．用正交变换化简二次曲面方程
五（12%）设线性方程组
x1 x2 x3
x4
0
x1
3x2 5x3 x2 px3
5x4 2 x4
2 q
3x1 2x2 x3 ( p 3)x4 1
1． 问：当参数 p,q 满足什么条件时，方程组无解、
有唯一解、有无穷多解？
2． 当方程组有无穷多解时，求出其通解。
1 1 1 1
二．计算题（每小题 8 分，共 24 分）
20 1 5
13． 1 1 0 1 1 2 3 1 30 1 2
14．求直线 l : x 2 y 1 z 1 在平面 : x y 2z 1 0 上的垂直投 2 12
影直线方程．
1 0 2
1
15．设
XA
AB
X
，其中
A
0 1
2 0
， 0
1
B
；
2 3 0 1
2．
1 0
1 0
0 2
；
3．若 A 是正交矩阵，则行列式 A3AT ；
4．空间四点 A(1,1,1) ， B(2,3, 4) ， C(1, 2, k) ， D(1, 4,9) 共面的充要
条件是 k ；
5．点 P(2, 1,1) 到直线l : x 1 y 1 z 的距离为 ； 2 2 1
x12 x22 4x1x2 2x1x3 2x2 x3 1
求出正交变换和标准形）并指出曲面类型． 18．设 D 为由 yoz 平面中的直线 z 0，直线 z y,(y 0) 及抛物
线 y z2 2围成的平面区域．将 D 绕 y 轴旋转一周得旋 转体 ．（１）画出平面区域 D 的图形；（２）分别 写出围成 的两块曲面 S1, S2 的方程；（３）求 S1, S2 的 交线 l 在 zox 平面上的投影曲线 C 的方程；（４）画 出 S1, S2 和l ， C 的图形． 四． 证明题、解答题（每小题４分，共８分） 19．设 是线性方程组 Ax b 的一个解， b 0 ，1,2 是导出 组 Ax 0的基础解系．证明：,1 ,2 线性无关． 20．设 是３维非零实列向量， 2 ．又 A T ．（１） 求 A 的秩；（２）求 A 的全部特征值；（３）问 A 是 否与对角阵相似？（４）求 I A3 ．
为
；
8． 设实二次型 ，则当 满足条件 f (x1, x2, x3) x12 kx22 x32 2x2x3
k
时， f (x1, x2, x3) 1是椭球面；当 k 满足条件
时，
是柱面。 f (x1, x2, x3) 1
二
（8%）记
1
为由曲线
z
x
y2 0
3
绕
z
轴旋
转所产
生的旋转
曲面,2 为以1与平面3 : x y z 1的交线为准线，母线平 行于 z -轴的柱面。试给出曲面1及2的方程 ，并画出1被3
六（12%）设矩阵
A
3 1
1 3
2 k
0 2
，已知
秩(
A)
2
。
1． 求参数k 的值；
2． 求一 4 2矩阵B,使得AB O,且秩(B) 2;
3． 问：是否存在秩大于 2 的矩阵 M 使得 AM O ？为什
么？
七（12%）设实对称矩阵
0 0 1
1
A
0 1
k 0
0 0
与B
l
1
相似.
-2-
(x,
y)
；
10 ． 设 ， A A1, A2, A3, A4 其 中 列 向 量 线 A1, A2, A4 性 无 关 ， A3 2A1 A2 A4 ，则齐次线性方程组 Ax 0的一个基础解
-4-
系是 ；
11．设 A, B 都是３阶方阵， AB O ， r(A) r(B) 2 ，则 r(A) r(B)
（ ）
（Ａ）5； （Ｂ）4； （Ｃ）3； （Ｄ）2
12．设 n 阶矩阵 A 满足 A2 2A，则以下结论中未必成立的
是（ ）
（Ａ） A I 可逆，且 (A I)1 A I ；
（Ｂ） A O 或 A 2I ；
（Ｃ）若 2 不是 A的特征值，则 A O； （Ｄ） A 0或 A 2I 。