高中数学选修2-3第一章复习题
高中数学选修2-3第一章练习卷及答案
22. (1)若
的展开式中， 的系数是 的系数的 倍，求 ；
(2)已知 中项，求 ；
的展开式中， 的系数是 的系数与 的系数的等差
(3)已知
的展开式中，二项式系数最大的项的值等于 ，求 .
第一章 计算原理 答案
1.1 分类加法计算原理与分步乘法计算原理
考法突破 【考点训练题】
两个计数原理训练题
一、选择题
丙甲乙丁,丙甲丁乙,丙乙甲丁,丙乙丁甲,丙丁甲乙,丙丁乙甲;
丁甲乙丙,丁甲丙乙,丁乙甲丙,丁乙丙甲,丁丙甲乙,丁丙乙甲.
(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长,共有 是:
种选法,形成的排列
,,,,,, , ,,,,,, ,, ,,,, .
1.3 二项式定理
考法突破 【考点训练题】
二项式定理训练题
B 从 人中选 人组成篮球队
C 从 人中选 人抽样调查
D 从 , , , , 中选 个数组成集合
2. 体操男队共六人参加男团决赛,但在鞍马项目上,根据规定,只需五人出场, 那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有()
A种
B种
C
种
D种
3.
件产品中有 件次品,任意抽取 件,其中至少有 件次品的抽法有()
A
B
掌握
能用计数原理证明二项式定理
掌握
3
二项式定理
会用二项式定理解决与二项展开式有 掌握
关的简单问题
1.1 分类加法计算原理与分步乘法计算原理
考法突破
1.分类加法计数原理 完成一件事有 类不同的方案,在第一类方案中有 种不同的方法,在第二类方案中有 种 不同的方法,……,在第 类方案中有 种不同的方法,则完成这件事情,共有
，则 的值为 ( )
人教版高中数学选修2-3练习：第一章 章末复习课 Word版含解析
章末复习课整合·网络构建]警示·易错提醒]1．正确区分“分类”与“分步”，恰当地进行分类，使分类后不重、不漏．2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”和“有序”区分开来．3．正确区分分堆问题和分配问题．4．二项式定理的通项公式T k＋1＝C a n－k b k是第(k＋1)项，而不是k n第k项，注意其指数规律．5．求二项式展开式中的特殊项(如：系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项……)时，要注意n与k的取值范围．6．注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”，展开式中“二项式系数的和”与“各项系数的和”，“奇(偶)数项系数的和”与“奇(偶)次项系数的和”．专题一 两个计数原理的应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章知识的基础，高考中时有出现，一般是与排列、组合相结合进行考查，难度中等．例1] 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )高中数学A.144种 B．72种C．64种D．84种解析：法一 根据所用颜色的种数分类第一类：用4种颜色涂，方法有A＝4×3×2×1＝24(种)．4第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色，方法有C C12 A＝48(种)．1423第三类：用2种颜色，对角区域各涂一色，方法有A＝12(种)．24根据加法原理，不同的涂色方法共有24＋48＋12＝84(种)．法二 根据“高”“学”是否为同色分类第一类：区域“高”与“学”同色，从4色中选1色，有C种14方法，其余区域“中”“数”各有3种方法，共有4×3×3＝36(种)．第二类：区域“高”与“学”不同色，区域“高”有4种方法，区域“学”有3种方法，区域“中”“数”各有2种方法，共有4×3×2×2＝48(种)．根据加法原理，方法共有36＋48＝84(种)．答案：D归纳升华应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是分步完成，而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完成该事件，能完成便是分类，否则便是分步．对于有些较复杂问题可能既要分类又要分步，此时应注意层次清晰，不重不漏，在分步时，要注意上一步的方法确定后对下一步有无影响(即是否是独立的)．变式训练] 在∠AOB的OA边上取3个点，在OB边上取4个点(均除O点外)，连同O点共8个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )A．48 B．42C．36 D．32解析：分三类：第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB 边上(不包括O)任取两点，可构造一个三角形，有C C个；1324第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与OB边上(不包括O)任取一点，可构造一个三角形，有C C个；2314第三类：从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)任取一点，与O点可构造一个三角形，有C C个．1314由分类加法计数原理，可作的三角形共有N＝C C＋C C＋C C132423141314＝42(个)．答案：B专题二 排列组合应用题排列组合应用题是高考的一个重点内容，常与实际问题相结合进行考查．要认真阅读题干，明确问题本质，利用排列组合的相关公式与方法解题．1．合理分类，准确分步．例2] 5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种(用数字作答)．解析：①只有1名老队员的排法有C C A＝36(种)．②有2名老12233队员的排法有C C C A＝12(种)．所以共有36＋12＝48(种)．213122答案：482．特殊优先，一般在后．例3] 将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：①当C在第一或第六位时，排法有A＝120(种)；5②当C在第二或第五位时，排法有A A＝72(种)；243③当C在第三或第四位时，排法有A A＋A A＝48(种)．23233所以排法共有2×(120＋72＋48)＝480(种)．答案：4803．直接间接，灵活选择．例4] 10件产品中有2件合格品，8件优质品，从中任意取4件，至少有1件是合格品的抽法有________种．解析：法一 抽取的4件产品至少有1件合格品分为有1件合格品、2件合格品2种情况：有1件合格品的抽法有C C种；有2件1238合格品抽法有C C种．根据分类加法计数原理至少有1件合格品的228抽法共有C C＋C C＝140(种)．1238228法二 从10件产品中任意抽取4件，有C种抽法，其中没有410合格品的抽法有C种，因此至少有1件合格品的抽法有C－C＝4841048 210－70＝140(种)．答案：1404．元素相邻，捆绑为一．例5] 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2，3相邻的偶数有________个(用数字作答)．解析：数字2和3相邻的偶数有两种情况．第一种情况，当数字2在个位上时，则3必定在十位上，此时这样的五位数共有6个；第二种情况，当数字4在个位上时，且2，3必须相邻，此时满足要求的五位数有A A ＝12(个)，则一共有6＋12＝18(个)．23答案：185．元素相间，插空解决．例6] 一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有________种不同的坐法．解析：先让4人坐在4个位置上，有A 种排法，再让2个元素4(一个是两个空位作为一个整体，另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个“空挡”之间，有A 种插法，所以所求的坐法数为A A ＝25425480.答案：4806．分组问题，消除顺序．例7] 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为________．解析：把新转来的4名学生平均分两组，每组2人，分法有＝C A3(种)，把这两组人安排到6个班中的某2个班中去，有A 种方法，26故不同的安排种数为3A ＝90. 26答案：90归纳升华解排列组合应用题应遵循三大原则，掌握基本类型，突出转化思想．(1)三大原则是：先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则．(2)基本类型主要包括：排列中的“在与不在”问题，组合中的“有与没有”问题、“相邻与不相邻”问题、“分组问题”等．(3)转化思想：就是把一些排列组合问题与基本类型相联系，从而把这些问题转化为基本类型，然后加以解决．专题三 二项式定理的应用二项式定理是历年高考中的必考内容，解决二项式定理问题，特别是涉及求二项展开式的通项的问题，关键在于抓住通项公式，还要注意区分“二项式系数”与“展开式系数”．例8] (1)已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为(x 2－ix )n －，其中i 2＝－1，则展开式中系数为实数且最大的项为( ) 314A ．第三项B ．第四项C ．第五项D ．第五项或第六项(2)设(3x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝________．解析：(1)T 3＝－C x 2n －5，T 5＝C x 2n －10. 2n 4n 由－＝－，得n 2－5n －50＝0，解得n ＝10(舍去n ＝－5)， C C 314又T r ＋1＝C (－i)r x 20－r ， r 1052据此可知当r 分别取0，2，4，6，8，10时其系数为实数，且当r ＝4时，C ＝210为最大． 410(2)令x＝1，得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝26＝64；令x＝－1，得a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝4 096.两式相加，得2(a6＋a4＋a2＋a0)＝4 160，所以a6＋a4＋a2＋a0＝2 080.答案：(1)C (2)2 080归纳升华(1)区分“项的系数”与“二项式系数”．项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正数．(2)切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念．(3)求展开式中的指定项，要把该项完整写出，不能仅仅说明是第几项．(4)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1等．(x－2x3)5变式训练] (1)展开式中的含x－3的项的系数为( )A．80 B．60C．40 D．－40(2)已知(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11，则a1＋a2＋…＋a11＝________．解析：(1)设展开式的第(r＋1)项为T r＋1＝C x5－r＝(－2)r Cr5(－2x3)r r5 x5－4r，令5－4r＝－3，得r＝2，所以，展开式中含x－3的项为T3＝(－2)2C x－3＝40x－3.25(2)令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－64.所以a1＋a2＋…＋a11＝－65.答案：(1)C (2)－65专题四 分类讨论思想分类讨论思想在解决排列组合问题时经常应用，此类问题一般情况繁多，因此要对各种不同的情况进行合理的分类与准确的分步，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏的现象发生．例4] 从10种不同的作物中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法共有________种．解析：根据选出的6种种子中所含甲、乙种子个数来分类：选出的6种种子中只含甲或只含乙的不同放法都为C A A；选出的6种58155种子中，同时含有甲与乙的不同放法有C A A；选出的6种种子48254中，都不含甲与乙的不同放法有A.故不同的放法共有2C A A＋C A685815548 A＋A＝120 960(种)．25468答案：120 960归纳升华排列组合的综合问题一般比较复杂，分类方法也灵活多变．一般有以下一些分类方式：(1)根据元素分类，又包括根据特殊元素分类，根据元素特征分类，根据特殊元素的个数分类；(2)根据特殊位置分类；(3)根据图形分类，又包括根据图形的特征分类，根据图形的种类分类；(4)根据题设条件分类．变式训练] 由1，2，3，4，5，6六个数字可组成________个无重复且是6的倍数的五位数．解析：若一个整数是偶数且是3的倍数，则这个整数是6的倍数．据此本题分两类求解．第一类：由1，2，4，5，6作数码．首先从2，4，6中任选一个作为个位数字，有A种选法，然后其余四个数字在其他数位上全排13列，有A种选法，所以符合条件的五位数共有N1＝A A＝72(个)．4134第二类：由1，2，3，4，5作数码．依照第一类的方法，符合条件的五位数有N2＝A A＝48(个)．124综上，符合条件的五位数共有N＝N1＋N2＝120(个)．答案：120。
常德市高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(含答案解析)
一、选择题1．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（ ）A ．5050B ．4851C ．4950D ．50002．若13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（ ）A ．1215B ．135C ．18D ．93．把4个不同的小球全部放人3个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法总数为（ ） A ．1333C A B ．3242C AC ．132442C C CD ．2343C A4．设()22201221nn n x x a a x a x a x ++=++++，则022n a a a 的值是（ ）A ．()1312n- B ．1312nC ．3nD ．31n +5．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）A ．48种B ．72种C ．96种D ．144种6．二项式3nx x 的展开式中第13项是常数项，则n =（ ）A ．18B ．21C ．20D ．307．袋中有大小相同的四个白球和三个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（ ）A ．47B ．37C ．27D ．8218．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．10B ．40-C ．200D ．2409．在12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中, 2x 项的系数为( ) A ．10B ．25C ．35D ．6610．已知8290129(3)(23)(1)(1)(1)x x a a x a x a x --=+-+-+⋅⋅⋅+-，则6a =（ ）A ．1792-B ．1792C ．5376-D ．537611．式子22223459C C C C ++++=（ ）A ．83B ．84C ．119D ．12012．若用1,2,3,4,5,6，这六个数字组成没有重复数字且任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数，则这样的六位数共有多少个( ) A ．720B ．36C ．144D ．72二、填空题13．函数()y f x =的定义域D 和值域A 都是集合{12,3}，的非空真子集，如果对于D 内任意的x ，总有()()x f x xf x ++的值是奇数，则满足条件的函数()y f x =的个数是_____；14．在一个正六边形的六个区域涂色(如图)，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色.现有5种不同的颜色可供选择，则有________种涂色方案.15．已知正整数n ，二项式322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有7x 的项，则n 的最小值是________.16．某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有____________种.17．设二项式11323nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数和为t ，其二项式系数之和为h ，若272h t +=，则二项展开式中2x 项的系数为__________.18．,,,,,A B C D E F 六人并排站成一排，,A B 必须站在一起，且,C D 不能相邻，那么不同的排法共有_____种（结果用数字表示）.19．从0，1，2，3，4，5这6个数字中任取3个组成一个无重复数字的三位数，其中奇数的个数是__________.20．若多项式()()()10112110110112111x x a a x a x a x +=+++++++，则10a =______.三、解答题21．男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）队长中至少有1人参加； （3）既要有队长，又要有女运动员.22．已知n二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3（1）求n 的值；（2）求展开式中3x 项的系数（3）计算式子01231010101010102481024C C C C C -+-++的值．23．已知数列{}n a 的首项为1，记()()()()120122123, 111nn n n nn F x n a C x a C x x a C x x --=-+-+-()11111n n n nn n n n a C x x a C x --+++-+.（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求()1, 2020F -的值；（2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(), 2020F x 是关于x 的一次多项式.24．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++ （1）求2a 的值；（2）求2202413()()a a a a a ++-+25．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数． （1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少? （2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少? （3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个?26．（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （2）由0,1,2,3,4,5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？（3）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，其余2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】依据二项展开式系数可知，得到第i 行第j 个数应为11j i C --，即可求得1003a -的值.【详解】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --， 故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B . 【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第i 行第j 个数应为11j i C --是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2．B解析：B 【解析】分析：由二项式系数和求出指数n ，再写出展开式通项后可求得常数项． 详解：由题意264n=，6n =，∴通项为36662166(3)3r r rr r rr T C x C x ---+==， 令3602r -=，4r =，∴常数项为2463135C =， 故选B.．点睛：在()n a bx +展开式中二项式系数为2n ，所有项的系数和为()n a b +．要注意这两个和是不一样的，二项式系数和是固定的，只与指数n 有关，而所有项系数和还与二项式中的系数,a b 有关．3．D解析：D 【分析】利用捆绑法选择两个球看成整体，再全排列得到答案. 【详解】选择两个球看成整体，共有24C 种取法，再把三个球放入三个盒子中，有33A 种放法，故共有2343C A 种放法. 故选：D. 【点睛】本题考查了排列和组合的应用，意在考查学生的应用能力，利用捆绑法是解题的关键.4．B解析：B 【分析】本题可以通过利用二项展开式的系数关系，采用赋值法将x 分别赋值为1、1-，然后通过运算即可得出结果． 【详解】()22201221nn n x x a a x a x a x ++=++++，令1x =，01223n na a a a ①，令1x =-，01221n a a a a ②，（①+②）02212312nna a a ， 故选：B ． 【点睛】本题考查二项展开式的相关运算，可通过赋值法进行计算，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.5．B解析：B 【分析】A 区域与其他区域都相邻，从A 开始分步进行其它区域填涂可解【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为A B C D E 、、、、，分4步分析： ①，对于A 区域，有4种涂法，②，对于B 区域，与A 相邻，有3种涂法， ③，对于C 区域，与A B 、 相邻，有2种涂法，④，对于D 区域，若其与B 区域同色，则E 有2种涂法，若D 区域与B 区域不同色，则E 有1种涂法，则D E 、 区域有2+1＝3种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种； 故选： B ．【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．6．D解析：D 【分析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】二项式3nx x 的展开式中第13项12101212123313()n n n n T C x C x x --⎛== ⎝， 令1003n-=，得30n =. 故选：D. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．B解析：B 【分析】根据题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，利用组合计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为22432737C C P C +==. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.8．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果. 【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=， 所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.9．D解析：D 【分析】分析12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的本质就是考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，每个括号内各取202011,,x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，利用组合知识即可得解.【详解】12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 每个括号内各取202011,,x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，要得到2x 项，就是在12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中，两个括号取x ，10个括号取1， 所以其系数为21266C =. 故选：D 【点睛】此题考查求多项式的展开式指定项的系数，关键在于弄清二项式定理展开式的本质问题，将问题转化为计数原理组合问题.10．D解析：D 【分析】将原式改写成88(3)(23)[2(1)][2(1)1]x x x x --=----，利用二项式定理解决系数问题即可得解.【详解】88(3)(23)[2(1)][2(1)1]x x x x --=----290129(1)(1)(1)a a x a x a x =+-+-+⋅-+⋅⋅，所以26356882C 2C 2358417925376.a =⨯⨯+⨯=+= 故选：D 【点睛】此题考查二项式定理的理解辨析和应用，关键在于熟练掌握定理公式，根据公式处理系数关系.11．C解析：C 【分析】根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，化简运算，即可求解.【详解】由题意，根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，可得22223459C C C C ++++=32222334591C C C C C +++++-322244591C C C C =++++-32235591011119C C C C =+++-==-=.故选：C. 【点睛】本题主要考查了组合数的化简与运算，其中解答中熟记组合数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.12．D解析：D 【分析】第一步先将1，3、5排列，共有336A =种排法；第二步再将2，4、6插空排列，不能空着两个偶数之间的空，先用两个元素排列中间两个空，在把两端的空位选一个放第三个元素，得到结果． 【详解】解：由题意知，本题是一个分步计数问题， 第一步先将1，3、5排列，共有336A =种排法，第二步再将2，4、6插空排列，不能空着两个偶数之间的空， 先用两个元素排列中间两个空，在把两端的空位选一个放第三个元素，共有23212A =种排法， 由分步乘法计数原理得这样的六位数共有：61272⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查分步计数原理，以及排列数的计算和插空法的应用，解题的关键是看出做完一件事需要分成几步，每一步包括几种方法．二、填空题13．【分析】化简得因此中至少一个为奇数再分两种情况讨论得解【详解】因为所以中至少一个为奇数定义域为的都可以有种；定义域为的函数所以有种；所以共种故答案为：29【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是 解析：29【分析】化简得()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++-因此(),f x x 中至少一个为奇数，再分两种情况讨论得解. 【详解】因为()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++- 所以(),f x x 中至少一个为奇数，定义域为{1},{3},{1,3}的都可以，有3333=15++⨯种； 定义域为{}{}{}2,1,2,2,3的函数(2){1,3}f ∈， 所以有23223=14+⨯+⨯种； 所以共29种. 故答案为：29 【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是分析出(),f x x 中至少一个为奇数，其二是合理分类讨论.14．4100【分析】分类讨论：三个区域用同一种颜色用2种颜色用3种颜色由分步计数原理可得结论【详解】考虑三个区域用同一种颜色共有方法数有考虑三个区域用2种颜色共有方法数有考虑三个区域用3种颜色共有方法数解析：4100 【分析】分类讨论：A 、C 、E 三个区域用同一种颜色，用2种颜色，用3种颜色，由分步计数原理可得结论． 【详解】考虑A 、C 、E 三个区域用同一种颜色，共有方法数有354320⨯=，考虑A 、C 、E 三个区域用2种颜色，共有方法数有(543)4332160⨯⨯⨯⨯⨯=， 考虑A 、C 、E 三个区域用3种颜色，共有方法数有33531620A ⨯=， 故总计有方法数320216016204100++=． 故答案为：4100． 【点睛】本题考查分类计数原理和分步计数原理，解题关键是确定完成事件的方法，是分类还是分步？本题完成涂色这个事件，采取的是先分类：按A 、C 、E 三个区域所用颜色数分三类，然后每类再分步，每类里先涂色A 、C 、E 三个区域，然后再涂色其它三个区域．15．【分析】确定展开式的通项令的指数为即可求得结论【详解】二项式的展开式通项为令可得当时取最小值故答案为：【点睛】本题考查二项展开式通项的应用考查学生的计算能力属于中等题 解析：4【分析】确定展开式的通项，令x 的指数为7，即可求得结论． 【详解】二项式322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()3351222kn k k k kn k k n n T C x C x x --+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭. 令357n k -=，可得573k n +=，当1k =时，n 取最小值4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查二项展开式通项的应用，考查学生的计算能力，属于中等题.16．42【分析】根据题意不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数再加上甲值16号且乙值14号的排法进而计算可得答案【详解】解：根据题意不同的安排方法的数目为：所有排法减去甲值1解析：42 【分析】根据题意，不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，进而计算可得答案． 【详解】解：根据题意，不同的安排方法的数目为：所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，即221211645443242C C C C C C -⨯+=， 故答案为：42． 【点睛】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同以及各种排法间的关系，避免重复、遗漏．17．1【分析】给二项式中的赋值1求出展开式的各项系数和利用二项式系数之和公式求出再代入解方程求出的值从而得出二形式的表达式再求出二项式中项的系数即可【详解】令二项式中的为1得到各项系数之和为又二项式系数解析：1 【分析】给二项式中的x 赋值1，求出展开式的各项系数和t ，利用二项式系数之和公式求出h ，再代入272h t +=，解方程求出n 的值，从而得出二形式的表达式，再求出二项式中2x 项的系数即可. 【详解】令二项式中的x 为1得到各项系数之和为4=n t ，又二项式系数之和为2=n h ， 因为272h t +=，，所以42272n n +=，解得4n =，所以41111332233nx x x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以它展开式的通项为443243-+-k kkkC x，要得到2x 项的系数，则需令4232-+=k k， 解得4k =，所以二项展开式中2x 项的系数为444431-=C .故答案为：1. 【点睛】本题主要考查二项式展开式的各项系数之和，二项式系数之和，二项展开式通项的应用，正确运用公式是解题关键.18．144【分析】根据题意分2步进行分析：①将两人看成一个元素与人进行全排列易得排好后有4个空位；②在4个空位中任选2个安排由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意分2步进行分析：①将两人看成一个解析：144 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将AB 两人看成一个元素，与2EF 人进行全排列，易得排好后有4个空位；②在4个空位中任选2个，安排C 、D ，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①将AB 两人看成一个元素，与2EF 人进行全排列， 有232312A A =种排法，排好后有4个空位，②在4个空位中任选2个，安排C 、D ，有2412A =种情况， 则有1212144⨯=种不同的排法. 故答案为：144. 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意常见的相邻和不相邻问题的处理方法有捆绑法和插空法．19．48【分析】根据题意分3步进行分析：①从135三个数中取一个排个位；②0不能在百位则百位的安排方法有4种；③在剩下的4个数中任选1个安排在十位由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意分3步进行解析：48【分析】根据题意，分3步进行分析：①从1、3、5三个数中取一个排个位；②0不能在百位，则百位的安排方法有4种；③在剩下的4个数中任选1个，安排在十位，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①从1、3、5三个数中取一个排个位，有3种安排方法， ②0不能在百位，则百位的安排方法有4种，③在剩下的4个数中任选1个，安排在十位，有4种情况， 则符合题意的奇数的个数是为34448⨯⨯=个. 故答案为：48. 【点睛】本题考查排列组合及简单的计算原理，采用特殊元素特殊位置优先考虑的方法.20．【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得展开式的通项为令解得则得解【详解】由展开式的通项为令解得则故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析：22-【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得111122[(1)1]x x =+-展开式的通项为111112(1)(1)r r r r T C x -+=+-，令1110r -=，解得1r =，则110112(1)22a C =⨯-=-，得解．【详解】由111122[(1)1]x x =+-展开式的通项为111112(1)(1)rr r r T C x -+=+-， 令1110r -=，解得1r =，则110112(1)22a C =⨯-=-， 故答案为：22-． 【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．三、解答题21．（1）120(种)；（2）196(种)；（3）191(种). 【分析】(1）本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，有36C 种选法．再选2名女运动员，有24C 种选法．利用乘法原理得到结果;(2）只有男队长的选法为48C 种，只有女队长的选法为48C 种，男、女队长都入选的选法为38C 种，把所有的结果数相加;(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有49C 种选法．不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法．其中不含女运动员的选法有45C 种，得到结果.【详解】 （1）分两步完成：第一步，选3名男运动员，有36C 种选法；第二步，选2名女运动员，有24C 种选法.由分步乘法计数原理可得，共有3264120C C ⋅=(种)选法.（2）方法一(直接法)可分类求解： “只有男队长”的选法种数为48C ； “只有女队长”的选法种数为48C ； “男､女队长都入选”的选法种数为38C ， 所以共有43882196C C +=(种)选法.方法二(间接法)从10人中任选5人有510C 种选法，其中不选队长的方法有58C 种.所以“至少有1名队长”的选法有55108196C C -=(种).（3）当有女队长时，其他人任意选，共有49C 种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法，其中不含女运动员的选法有45C 种，所以不选女队长时的选法共有4485C C -（）种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有444985191C C C +-=(种).【点睛】本题主要考查了分步乘法计数原理，考查分类加法计数原理，在比较复杂的题目中，会同时出现分类和分步，本题是一个比较综合的题目，属于中档题. 22．（1）10n =；（2）180；（3）1. 【解析】试题分析： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，属于基础题．第一问，直接利用条件可得3283n n C C =，求得n 的值；第二问，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中x 3项的系数．第三问，在10二项展开式中，令x=1，可得式子01231010101010102481024C C C C C -+-++的值．试题（1）由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3，可得3283n n C C =，化简可得2833n -=，求得10n =． （2）由于n 二项展开式的通项公式为5110(2)r r rr T C x -+=-，令53r -=，求得2r，可得展开式中3x 项的系数为2210(2)180C -=． （3）由二项式定理可得105100(2)n r r rr C x -==-∑， 所以令x=1得01231010101010102481024C C C C C -+-++10(12)1=-=.考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．23．（1）1（2）证明见解析； 【分析】（1）根据13-=n n a ，得到()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n n nn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+求解.（2）易得21n a n =-，则(),F x n ()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C xx ，再转化为(),F x n ()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x ()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，利用二项式定理及组合数公式求解.【详解】（1）由题意得：13-=n n a ，∴()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n nnn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+，∴()()20201,2020121F -=-=；（2）证明：若数列{}n a 是公差为2的等差数列，则21n a n =-.()()()()10111121,111---+=-+-++-+nn n n n nn n n n n n F x n a C x a C x x a C x x a C x ，()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C x x ，()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，由二项式定理知，()()()10122211(1)11---+-+-=-+=⎡⎤⎣++⎦nn n n n nn n nnC x C x x C x x x x C x ，因为()()()()111!!!!1!!kk n n n n kC k n C k n k k n n k --⋅-=⋅=⋅=---，所以()1122212(1)---+-++n n n n n nn C x x C x nC x x()112211111(1)------=-+-++n n n n n n nnC x x n x x nC x C()112111111(1)n n n n n n n nx C x C x x C x -------=⎦-+-++⎡⎤⎣()11-=-+=⎡⎤⎣⎦n nx x x nx ，所以(),12F x n nx =+.(),202014040F x x =+.【点睛】本题主要考查二项式定理及其展开式以及组合数公式，等差数列，等比数列的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 24．(1) 72 ；(2) 1 【分析】（1）求2a 时，可通过二项展开式的通项去求解；（2）先观察式子特征，注意到可进行平方差变形；然后根据1x =±时的值来计算最终结果. 【详解】（1）因为222224C (2)a x x =，所以22224C (2)72a ==； （2）22024130123401234()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++-+-+当1x =时，401234(2a a a a a ++++=；当1x =-时，401234(2a a a a a --+-+=；所以2244402413()()2)2)(34)1a a a a a ++-+==-=. 【点睛】对于230123()...nn f x a a x a x a x a x =+++++形式的展开式，奇次项系数和：(1)(1)2f f +-，偶次项系数和：(1)(1)2f f --，所有项系数和：(1)f .25．（1）36个（2）36个（2）49个 【解析】 【分析】（1）先排个位数，方法数有12C 种，然后排万位数，方法数有13C 种，剩下百位、十位和千位任意排，方法数有33A 种，再按分步乘法计数原理即可求得种类数.（2）把数字1和3捆绑在一起，则相当于有4个位置，最高位不为0，其余位置任意排； （3）计算出比30124小的五位数的情况，即可知道30124排第几个. 【详解】（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有113233=236=36C C A ⨯⨯个； （2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有21323323636A C A =⨯⨯=个；（3）要求在组成的五位数中，要求得从小到大排列，30124排第几个，则计算出比30124小的五位数的情况，比30124小的五位数，则万位为1或2，其余位置任意排，即142422448C A=⨯=，故在组成的五位数中比30124小的数有48个，所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第49个.【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，主要是数字的排列.要注意的问题主要是有特殊条件或者特殊要求的，要先排特殊位置或优先考虑特殊要求.如本题中，第一问要求是奇数，那么就先排个位.由于数字的万位不能为零，故第二考虑的是万位，本小题属于基础题. 26．（1）1560；（2）156；（3）92.【解析】【分析】（1）分为3,1,1,1和2,2,1,1两类分别计算，加和得到结果；（2）分为个位是0和个位不是0两类分别计算，加和得到结果；（3）分为只会英语的人中选了3人作英语导游、选了2人作英语导游和选了1人作英语导游三类分别计算，加和得到结果.【详解】（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有3,1,1,1和2,2,1,1两类分配方式为3,1,1,1时，共有：3114632433480C C CAA⋅=种分法分配方式为2,2,1,1时，共有：2214642422221080C C CAA A⋅=种分法由分类加法计数原理可得，共有：48010801560+=种分法（2）若个位是0，共有：3560A=个若个位不是0，共有：11224496C C A=个由分类加法计数原理可得，共有：6096156+=个（3）若只会英语的人中选了3人作英语导游，共有：3620C=种选法若只会英语的人中选了2人作英语导游，共有：12323560C C C=种选法若只会英语的人中选了1人作英语导游，共有：133412C C=种选法由分类加法计数原理可得，共有：20601292++=种选法【点睛】本题考查排列组合的综合应用问题，涉及到分组分配问题、元素位置有限制的排列组合问题等知识，关键是能够根据题目的要求进行合理的分类，最终通过分类加法计数原理得到结果.。
(必考题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(答案解析)(3)
一、选择题1．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P 移动六次后位于点(2,4)的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．44612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．62612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6246612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知离散型随机变量X 的分布列为则D (X )的最大值是（ ） A ．29B ．59C ．89D ．2093．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（ ）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<4．已知随机变量X 服从正态分布()100,4N ，若()1040.1359P m X <<=，则m 等于 （ ）[附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=] A ．100B ．101C ．102D ．D ．1035．在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 发生次数ξ的期望和方差分别为 （ ） A ．94和916 B ．34和316C ．916和364D ．94和9646．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止．每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p ，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p =（ ）A ． 0.4B ．0.6C ．0.1D ．0.27．有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )A ．0.72B ．0.8C ．89D ．0.98．抛掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的概率( ) A ．38B ．12C ．516D ．7169．当σ取三个不同值123,,σσσ时，正态曲线()20,N σ的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A ．123σσσ<<B ．132σσσ<<C ．213σσσ<<D ．321σσσ<<10．口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（ ）． A ．80243B ．100243C ．80729D ．10072911．已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.84P X ≤=，则(02)P X ≤≤=（ ） A ．0.64B ．0.16C ．0.32D ．0.3412．小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件‘‘"A 取到的两个为同一种馅，事件‘‘"B =取到的两个都是豆沙馅，则()P B A =∣ （ ）A ．14B ．34C ．110D ．310二、填空题13．若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量ξ表示取出后都是白球的次数，则()E ξ=______ ．14．数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位，则移动4次后，该质点的坐标为2的概率为________.15．在一个袋中放入四种不同颜色的球，每种颜色的球各两个，这些球除颜色外完全相同．现玩一种游戏：游戏参与者从袋中一次性随机抽取4个球，若抽出的4个球恰含两种颜色，获得2元奖金；若抽出的4个球恰含四种颜色，获得1元奖金；其他情况游戏参与者交费1元．设某人参加一次这种游戏所获得奖金为X ，则()E X =________． 16．小王做某个试验，成功的概率为23，失败的概率为13，成功一次得2分，失败一次得-1分，求100次独立重复试验的总得分的期望______.17．随机变量ξ服从正态分布()240,N σ，若()300.2P ξ<=，则()3050P ξ<<=______．18．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球,2个白球,乙袋装有1个红球,5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个小球,记抽取到红球的个数为X,则随机变量X 的均值EX=_____. 19．甲、乙两人投篮命中的概率分别为p,q,他们各投2次,若p=12,且甲比乙投中次数多的概率为736,则q 的值为____. 20．已知某次数学考试中，学生的成绩X 服从正态分布，即()~N 85,225X ，则这次考试中，学生成绩落在区间[]100,130之内的概率为____________.（注：()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=）三、解答题21．某知名电脑品牌为了解客户对其旗下的三种型号电脑的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如表：满意度是指，回访客户中，满意人数与总人数的比值.用满意度来估计每种型号电脑客户对该型号电脑满意的概率，且假设客户是否满意相互独立.（1）从型号Ⅰ和型号Ⅱ电脑的所有客户中各随机抽取1人，记其中满意的人数为X ，求X 的分布列和期望；（2）用“11ξ=”，“21ξ=”，“31ξ=”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户满意，“10ξ=”，“20ξ=”，“30ξ=”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型号电脑让客户不满意，比较三个方差()1D ξ、()2D ξ、()3D ξ的大小关系.22．某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求乙同学答对2个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m，n，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m，n的概率分布和数学期望.23．某单位选派甲､乙､丙三人组队参加知识竞赛，甲､乙､丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲､丙两人都答错的概率是112，乙､丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．（1）求该单位代表队答对此题的概率；（2）此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．24．某种工业机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金700元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元；方案二：交纳延保金1000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费100元．某工厂准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，工厂选择哪种延保方案更合算？25．数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门科学.在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具.（1）为调查大学生喜欢数学命题是否与性别有关，随机选取50名大学生进行问卷调查，当被调查者问卷评分不低于80分则认为其喜欢数学命题，当评分低于80分则认为其不喜欢数学命题，问卷评分的茎叶图如下：依据上述数据制成如下列联表：请问是否有90%的把握认为大学生是否喜欢数学命题与性别有关？参考公式及数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 20()P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.0010k2.7063.841 6.635 10.828A (01)p p <<，各轮命题相互独立，若该同学在3轮命题中恰有2次成功的概率为49，记该同学在3轮命题中的成功次数为X ，求()E X .26．某选修课的考试按A 级、B 级依次进行，只有当A 级成绩合格时，才可继续参加B 级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A 级考试成绩合格的概率为23，B 级考试合格的概率为12．假设各级考试成绩合格与否均互不影响． （1）求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；（2）在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他一共参加3次考试的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意，质点P 移动六次后位于点(4,2)，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案． 【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P 移动六次后位于点(2,4)，在移动过程中向上移动4次向右移动2次，则其概率为4262466111222C P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==. 故选：C ． 【点睛】本题考查二项分布与n 次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题.2．C解析：C 【分析】根据分布列中概率和为1可得a 的范围和b 的值，再求出,EX DX 的表达式，转化成求二次函数在闭区间的最值问题. 【详解】12133b a a b +-+=⇒=，又110033a a -≥⇒≤≤， 1242()3333EX b a a a b a =+⨯-+⨯=++=+，2221(1)(2)()(3)3DX EX b EX a EX a =-⋅+-⋅-+-⋅2221215()()()()3333a b a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅22212215()()()()33333a a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅27239a a =-++，对称轴为7163a =>，∴max 1728()9999DX =-++=， 故选：C. 【点睛】本题考查标准差的最值求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.3．D解析：D 【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解.【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<. 则随机变量ξ的分布列为:所以,1E p D p p ==- 随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E p ηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):则1121E p p p p p p η=-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p p η=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误. ()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确 故选:D 【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.4．C解析：C 【分析】 由()()0.1322259P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+=，再根据正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由题意，知()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=，则()()220.95440.682620.13592P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+-==，所以要使得()1040.1359P m X <<=，则102m =，故选C. 【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布的对称性，以及概率的计算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5．A解析：A 【分析】根据独立重复试验的概率计算公式，求得34p =，再根据二项分布的期望与方差的公式，即可求解. 【详解】由题意，设事件A 在每次试验中发生的概率为P ， 因为事件A 至少发生一次的概率为6364，即333631(1)64C p --=，解得34p =， 则事件A 发生的次数ξ服从二项分布3(3,)4B ξ~， 所以事件A 发生的次数ξ的期望为39()344E ξ=⨯=，方差为339()3(1)4416D ξ=⨯⨯-=，故选A. 【点睛】本题主要考查了独立重复试验的概率的计算，以及二项分布的期望与方差的计算，其中解答中熟记独立重复试验的概率的计算公式，以及二项分布的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．A解析：A 【解析】 【分析】根据合格的情况列方程：()()2110.784p p p p p +-+-=，解方程求出结果． 【详解】由题意可得：()()2110.784p p p p p +-+-= 整理可得：()()22212330.784p p p p p pp -+-+=-+=解得：0.4p = 本题正确选项：A【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．A解析：A 【分析】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =，出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，根据条件概率公式计算即可，【详解】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =， 出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，∴这粒种子能成长为幼苗的概率()()()|0.90.80.72P P AB P A P B A ===⨯=. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了条件概率的问题，关键是分清是在什么条件下发生的，属于基础题．8．C解析：C 【分析】掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，由此能求出出现正面的次数多于反面的次数的概率． 【详解】掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，∴出现正面的次数多于反面的次数的概率：4433441115()()22216p C C =+⋅=． 故选C ． 【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率计算公式的合理运用．9．A解析：A 【解析】分析：由题意结合正态分布图象的性质可知，σ越小，曲线越“瘦高”，据此即可确定123,,σσσ的大小.详解：由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，所以1230σσσ<<<.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查正态分布图象的性质，系数对正态分布图象的影响等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A解析：A 【解析】每次摸球中奖的概率为114529C C 2059C 36==，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验，所以3次摸球恰有1次中奖的概率2135580C 199243P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭． 故选A ．点睛:判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且()()1n kk kn p X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．11．D解析：D 【解析】∵随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，2μ=，得对称轴是2x =，(4)0.84P ξ=≤， ∴(4)(0)0.16P P ξξ≥=<=，∴(02)0.50.160.34P ξ≤≤=-=，故选D ．12．B解析：B 【详解】由题意，P （A ）=222310C C +=410，P （AB ）=2310C =310， ∴P （B|A ）=()AB A)P P （=34， 故选B ．二、填空题13．【分析】计算出从袋中随机抽取两个球都是白球的概率可知然后利用二项分布的期望公式可计算出的值【详解】从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为由题意可知由二项分布的期望公式得故答案为：【点睛】本题考查二项分5【分析】计算出从袋中随机抽取两个球都是白球的概率p ，可知()3,B p ξ，然后利用二项分布的期望公式可计算出()E ξ的值. 【详解】从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为242625C p C ==，由题意可知，23,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布的期望公式得()26355E ξ=⨯=.故答案为：65. 【点睛】本题考查二项分布期望的计算，解题时要弄清随机变量满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题.14．【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左3次向右根据独立事件的概率公式求解【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置说明4次中有1次向左3次向右并且每次向左或向右的概率都是所以移动4次解析：14【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左，3次向右，根据独立事件的概率公式求解. 【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置，说明4次中有1次向左，3次向右，并且每次向左或向右的概率都是12，所以移动4次后，该质点的坐标为2的概率314111224p C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：14【点睛】本题考查独立事件概率的实际应用问题，属于基础题型，本题的关键是抽象出质点运动方向，以及概率类型.15．【分析】首先根据题意判断出的可取值有并利用概率公式求得对应的概率最后利用离散型随机变量的期望公式求得结果【详解】由已知1又所以故答案为：【点睛】该题考查的是有关离散型随机变量的期望的求解问题涉及到的7【分析】首先根据题意，判断出X 的可取值有2,1,1-，并利用概率公式求得对应的概率，最后利用离散型随机变量的期望公式求得结果. 【详解】由已知2X =，1，1-， 又()22242486(2)70C C P X C ===，()441424816(1)70C C P X C ===，()22114224848(1)70C C C P X C =-==，所以12164827070707EX =+-=-， 故答案为：27-. 【点睛】该题考查的是有关离散型随机变量的期望的求解问题，涉及到的知识点有古典概型概率公式，离散型随机变量的期望公式，属于简单题目.16．100【分析】计算得到答案【详解】设一次实验得分为根据题意：故100次独立重复试验的总得分的期望为故答案为：【点睛】本题考查了数学期望意在考查学生的计算能力和应用能力解析：100 【分析】 计算()2121133E X =⨯-⨯=，得到答案. 【详解】设一次实验得分为X ，根据题意：()2121133E X =⨯-⨯=， 故100次独立重复试验的总得分的期望为()100100E X =. 故答案为：100. 【点睛】本题考查了数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.17．6【解析】【分析】根据随机变量服从正态分布知正态曲线的对称轴是且依据正态分布对称性即可求得答案【详解】解：根据随机变量服从正态分布知正态曲线的对称轴是利用正态分布的对称性可得所以故答案为06【点睛】解析：6 【解析】 【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是40ξ=，且()300.2P ξ<=，依据正态分布对称性，即可求得答案． 【详解】解：根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是40ξ=， 利用正态分布的对称性可得()()50300.2P P ξξ>=<=， 所以()()()30501503010.40.6P P P ξξξ⎡⎤<<=->+<=-=⎣⎦ 故答案为0.6 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18．【分析】结合题意分别计算对应的概率计算期望即可【详解】列表：X 0 1 2 P 所以【点睛】本道题考查了数学期望计算方法结合题意即可属于中等难度的题解析：56【分析】结合题意，分别计算0,1,2x =对应的概率，计算期望，即可． 【详解】()112511665018C C P x C C ===，()111452116611118C C C P x C C +===，()11411166129C C P x C C === 列表：所以012181896EX =⨯+⨯+⨯= 【点睛】本道题考查了数学期望计算方法，结合题意，即可，属于中等难度的题．19．【分析】由题意根据甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次乙投中0次;甲投中2次乙投中1次或0次再由概率的加法公式即可列出方程求解答案【详解】甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次乙投中0次;甲投解析：23【分析】由题意，根据甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次，再由概率的加法公式，即可列出方程，求解答案. 【详解】甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次.由题意得p(1-p)·(1-q)2+p 2[(1-q)2+q(1-q)]=,解得q=或q=(舍). 【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率的计算，其中认真审题，根据甲比乙投中次数多的可能情形:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次，再根据概率的加法公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.20．【解析】【分析】已知X~N （σ2）则正态曲线关于x=85对称根据与所求区间的关系和已知概率求解【详解】：∵学生的成绩服从正态分布X~N （85225）即=85=15∴P(70<X<100)=06826 解析：0.1574【解析】 【分析】已知X~N （μ ，σ2），则正态曲线关于x=85对称.根据[,μσμσ-+],[2,2μσμσ-+][3,3μσμσ-+] 与所求区间的关系，和已知概率求解. 【详解】：∵学生的成绩X 服从正态分布X~N （85，225） 即μ=85，σ=15∴P(70<X<100)=0.6826 ,P(40<X<130)=0.9974 ∴P(100<X<130)=()10.99740.68260.15742-= 【点睛】在实际问题中进行正态分布条件下的概率计算时，关键是确定正态分布的两个重要参数μ和σ，以及三个范围[,μσμσ-+],[2,2μσμσ-+][3,3μσμσ-+]与所求区间的关系，结合已知概率，进行求解。
高中数学选修2-3第一章复习题
高中数学选修2-3计数原理测试题一、选择题1．若m 为正整数，则乘积()()()=+++2021m m m m Λ（ ） A ．20m A B ．21m A C ．2020+m A D ．2120+m A 2．若直线0=+By Ax 的系数B A ,同时从0,1,2,3,5,7六个数字中取不同的值,则这些方程表示不同的直线条数 （ ）A ． 22B ． 30C ． 12D ． 153．四个编号为1，2，3，4的球放入三个不同的盒子里，每个盒子只能放一个球，编号为1的球必须放入，则不同的方法有 （ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．96种2．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有 （ ）A ．81B ．64C ．12D ．144．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第几个数 （ ）A ．6B ．9C ．10D ．85．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 （ ）A.280种B.240种C.180种D.96种6. 若425225+=x x C C ，则x 的值为 （ ）A ．4B ．7C ．4或7D ．不存在7．某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为 （ ）A.42B.36C.30D.128.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（ ）个数.A.6B.9C.10D.89. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）Ａ．1440种 Ｂ．960种Ｃ．720种 Ｄ．480种10．从字母,,,,,a b c d e f 中选出4个数字排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻（a 在b 的前面），共有排列方法（ ）种.A.36 B．7211．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（）A．120 B．240 C．280 D．6012.从6个正方形拼成的12个顶点(如上图)中任取3个顶点作为一组，其中可以构成三角形的组数为( ) A．208 B．204 C．200 D．196二、填空题13. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）.14.4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法. 15．以1239L，，，这几个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有种不同取法.16. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。
(北师大版)大连市高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（ ）A ．5050B ．4851C ．4950D ．50002．10个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法A ．5457A A 种 B ．1010A －7474A A 种 C ．6467A A 种D ．6466A A 种3．下列四个组合数公式:对,n k N ∈，约定0001C ==！,有（1）(0)!kk n nP C k n k =≤≤（2）(0)k n kn n C C k n -=≤≤ （3）11(1)k k n n k C C k n n--=≤≤ （4）111(1)kkk n n n C C C k n ---=+≤≤ 其中正确公式的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，则不同方法共有几种（ ）A ．12B ．16C ．24D ．365．若2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则下列结果不正确的是（ ）A ．01220201a a a a +++⋯+=B ．20201352019132a a a a -++++⋯+=C ．20200242020132a a a a ++++⋯+=D ．202012220201222a a a ++⋯+=- 6．从20名同学中选派3人分别参加数学、物理学科竞赛，要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛．记不同的选派方式有n 种，则n 的计算式可以是（ ） A ．3203CB ．3206CC ．3202AD ．3203A ÷7．5250125(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，则2a =（ ）A ．40B ．40-C ．80D ．80-8．有5位同学参加青少年科技创新大赛的3个不同项目，要求每位同学参加一个项目且每个项目至少有一位同学，则不同的参加方法种数为（ ） A ．80B ．120C ．150D ．3609．甲、乙、丙、丁4人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ） A ．840B ．2226C ．2100D ．235210．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．10B ．40-C ．200D ．24011．已知5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，则512025...222a a a a ++++的值为（ ） A ．32 B ．1 C ．81D ．6412．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ） A ．18B ．24C ．30D ．36二、填空题13．函数()y f x =的定义域D 和值域A 都是集合{12,3}，的非空真子集，如果对于D 内任意的x ，总有()()x f x xf x ++的值是奇数，则满足条件的函数()y f x =的个数是_____；14．A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.A ，B ，C 三人去询问比赛结果，裁判对A 说：“你和B 都不是第一名”；对B 说：“你不是最差的”；对C 说：“你比A ，B 的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有_____________种不同情况.15．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法.16．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_______________. 17．将编号为1，2，3，4，5，6，7的七个小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______.18．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有________种（用数字回答）. 19．若212626xx C C -=，则x ＝__________.20．甲、乙、丙等7人排成一排，甲站最中间，乙丙相邻，且乙、丙与丁均不相邻，共有______种不同排法．（用数字作答）三、解答题21．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问 （1）能够组成多少个五位奇数？ （2）能够组成多少个正整数？（3）能够组成多少个大于40000的正整数？22．若2nx⎛+ ⎝展开式的二项式系数之和是64．（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项．23．一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单． （1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？ （2）2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ （4）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？ （要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示） 24．已知数列{}n a 的首项为1，记()()()()120122123, 111nn n n nn F x n a C x a C x x a C x x --=-+-+-()11111n n n nn n n n a C x x a C x --+++-+.（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求()1, 2020F -的值；（2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(), 2020F x 是关于x 的一次多项式.25．已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数的和比()732a b +展开式的二项式系数的和大128.（1）求n 的值.（2）求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项26．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数.（要求每问要有适当的分析过程，列式并算出答案） （1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人； （3）全体站成一排，男、女各站在一起；（4）全体站成一排，男生不能站在一起； （5）全体站成一排，甲不站排头也不站排尾.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】依据二项展开式系数可知，得到第i 行第j 个数应为11j i C --，即可求得1003a -的值.【详解】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --， 故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B . 【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第i 行第j 个数应为11j i C --是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】不相邻问题采用“插空法”. 【详解】解：∵10个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排， ∴采用插空法来解，另外六人，有66A 种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁， 有47A 种结果，根据分步计数原理知共有66A •47A ， 故选C ． 【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素．3．A解析：A 【分析】分别将组合数和排列数写成阶乘的形式，计算每个等式的两边并判断等式是否成立. 【详解】A ．()0!k kk n n nk k P P C k n P k ==≤≤，等式成立；B ．()()!0!!!k k n nP n C k n k n k k ==≤≤-⨯，()()()()()()!!0!!!!!n k n k n nP n n Ck n n k k n k n n k n k --===≤≤-⨯---⨯-， 所以(0)kn kn n C C k n -=≤≤成立；C ．()()()()1!!(1)!!!!1!k k n n n P k k k n C k n n n k n n k k n k k -=⋅=⋅=≤≤-⨯-⨯-， ()()()()1111(1!1!!1)!1k n k n n P k n k k Ck n -----==-≤-≤⨯-，所以11(1)k k n n k C C k n n --=≤≤成立； D ．()()()()()()1111111!1!!1!1!!!1!k k k k n n n n n n P P k k n k k Cn k k C--------=+=+=---⨯-⨯-+ ()()()()1!(1!!!)!!k n n n n k k C n k k n k k n k ⎡⎤-⎡⎤=-+==⎢⎥⎣⎦-⨯-⨯⎢≤⎥≤⎣⎦，所以111(1)k k k n n n C C C k n ---=+≤≤成立.故选A. 【点睛】本题考查排列数、组合数公式的运算化简，难度一般.注意排列组合中两个计算公式的使用：()()()!!,!!!!!n m mmn n nn P P n n P C n m n m m n m m ====---⨯. 4．D解析：D 【分析】直接利用乘法原理计算得到答案. 【详解】第一颗棋子有339⨯=种排法，第二颗棋子有224⨯=种排法，第三颗棋子有1种排法， 故共有94136⨯⨯=种排法. 故选：D. 【点睛】本题考查了乘法原理，意在考查学生的应用能力.5．B解析：B 【分析】令1x =，得到0120201a a a ++⋯+=，令1x =-，求得202001220203a a a a =-++⋯+，令0x =，求得01a =，进而逐项判定，即可求解.【详解】由题意，二项展开式2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，令1x =，可得01220202020(12)1a a a a +++⋯+-==，①令1x =-，可得2020012202020203(123)a a a a a -=+-++⋯+=，②令0x =，可得20020(10)1a =-=，③由①-②，可得20201352019132a a a a -+++⋯+=， 由①+②，可得2020024*******a a a a ++++⋯+=， 令12x =，可得20202020120220201(12)12222a a a a +++⋯+=-⨯=， 所以202012220201222a a a ++⋯+=-. 综上可得，A 、C 、D 是正确的，B 是错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数问题的求解，其中解答中合理利用二项展开式的形式，合理赋值是解答的关键，着重考查推理与计算能力.6．B解析：B 【分析】先从20名同学中选派3人，再分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，从20名同学中选派3人，共有320C 种不同的选法， 又由要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛， 可分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，共有233C =中不同的选法； 第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，共有133C =中不同的选法， 综上可得，不同的选派方式共有332020(33)6C C +⋅=⋅. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中选出3人后，合理分类求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.7．A解析：A 【分析】易得[]55(21)2(1)1x x --=+，求出展开式通项后可得55152(1)rrr r T C x --+=⋅⋅-，令3r =可得出2a 的值. 【详解】由于[]55(21)2(1)1x x --=+，所以展开式的通项为：[]5551552(1)12(1)rrr r r r r T C x C x ---+=⋅-⋅=⋅⋅-，令3r =可得：322352(1)T C x =⋅⋅-，则3225240a C =⋅=. 故选：A . 【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是得出[]55(21)2(1)1x x --=+进而进行计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.8．C解析：C 【分析】根据题意，分清楚有两种情况，利用公式求得结果. 【详解】根据题意，可知有两种情况，一种是有三位同学去参加同一个项目，一种是有两个项目是两位同学参加，所以不同的参加方法种数为22333535332210310661502C C C A A A ⋅⨯⋅+⋅=⨯+⨯=种， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类计数加法计数原理，排列组合综合题，属于中档题目.9．B解析：B 【分析】分成三类：一类每个台阶站1人；二类一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人；三类一个台阶站2人，一个台阶站2人，分类用加法原理可得. 【详解】每个台阶站1人有47840A =,一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人有23471260C A , 一个台阶站2人，一个台阶站2人有273126A 所以共有840+1260+126=2226故选：B. 【点睛】本题考查使用两个计数原理进行计数的基本思想:对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．10．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果. 【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=， 所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.11．A解析：A 【分析】根据所求与已知的关系，令12x =，即可求得答案. 【详解】5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，∴令12x =，即可得555120251...122322222a a a a ⎛⎫++++=+⨯== ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.12．C解析：C 【分析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案. 【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家 看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和 其余二个看成三个元素的全排列共有：2343C A ⋅种； 又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A 种， 所以不同的分配方法种数有：23343336630C A A ⋅-=-= 故选：C 【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一般题.二、填空题13．【分析】化简得因此中至少一个为奇数再分两种情况讨论得解【详解】因为所以中至少一个为奇数定义域为的都可以有种；定义域为的函数所以有种；所以共种故答案为：29【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是 解析：29【分析】化简得()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++-因此(),f x x 中至少一个为奇数，再分两种情况讨论得解. 【详解】因为()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++- 所以(),f x x 中至少一个为奇数，定义域为{1},{3},{1,3}的都可以，有3333=15++⨯种； 定义域为{}{}{}2,1,2,2,3的函数(2){1,3}f ∈， 所以有23223=14+⨯+⨯种； 所以共29种. 故答案为：29 【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是分析出(),f x x 中至少一个为奇数，其二是合理分类讨论.14．【分析】根据裁判所说对的名次分两类：第一类是获最后一名再考虑且在前面最后排剩下3人；第二类是没有获得最后一名此时可同时考虑获得前5名根据加法原理即可得到答案【详解】根据裁判所说对的名次分两类：第一类 解析：180【分析】根据裁判所说，对A 的名次分两类：第一类是A 获最后一名，再考虑B ，C 且C 在B 前面，最后排剩下3人；第二类是A 没有获得最后一名，此时可同时考虑A ，B ，C 获得前5名，根据加法原理即可得到答案. 【详解】根据裁判所说，对A 的名次分两类：第一类是A 获最后一名，再考虑B ，C ，从前5名中选2两个名次给B ，C 且C 在B 前面有25C 种，最后排D ，E ，F 有33A 种，根据分步计数原理，共有235360C A =种；第二类是A 没有获得最后一名，此时可同时考虑A ，B ，C 获得前5名中的3个名次 且C 名次在A ，B 之前有3252C A 种，最后排D ，E ，F 有33A 种，根据分步计数原理， 共有323523120C A A =种；根据分类计数原理，六人的名次共有60120180+=种不同情况. 故答案为：180 【点睛】本题主要考查分类计数原理和分步计数原理，注意对同学A 进行分类讨论，属于中档题．15．150【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分别计算可得分成113与分成221时的分组情况种数相加可得答案【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分成1解析：150 【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，相加可得答案． 【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有3353C A 种分法，分成2、2、1时，有22353322C C A A 种分法，所以共有223335353322150C C C A A A +=种分法， 故答案为：150． 【点睛】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用．16．60【分析】由题意可得二项展开式的通项要求展开式的常数项只要令可求代入可求【详解】解：由题意可得二项展开式的通项为：令可得：此时即的展开式中的常数项为60故答案为：60【点睛】本题考查了二项展开式项解析：60 【分析】由题意可得，二项展开式的通项26161(2)()(1)2r r r rr T C x x-+=-=-61236rr r C x --，要求展开式的常数项，只要令1230r -=可求r ，代入可求 【详解】解：由题意可得，二项展开式的通项为： 2661231661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C x x---+=-=-，令1230r -=，可得：4r =，此时2456260T C ==，即6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60. 故答案为：60． 【点睛】本题考查了二项展开式项的通项公式的应用，考查解题运算能力．17．315【分析】根据题意有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同再由排列组台及计数原理即可求解【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同共种不同取法；第二步：再将剩下的个小球放入到解析：315 【分析】根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，再由排列组台及计数原理，即可求解. 【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，共3735C =种不同取法； 第二步：再将剩下的4个小球放入到4个盒子中,且小球编号与放入的小球的编号不相同，共()113219C C +=种不同放法；因而有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同的不同放法种数为359315⨯=种. 故答案为：315 【点睛】本题考查了排列组合及计数原理，考查理解辨析能力与运算求解能力，属中档题.18．135【分析】根据题意先确定2个人位置不变共有种选择再确定4个人坐4个位置但是不能坐原来的位置计算得到答案【详解】根据题意先确定2个人位置不变共有种选择再确定4个人坐4个位置但是不能坐原来的位置共有解析：135 【分析】根据题意先确定2个人位置不变，共有2615C =种选择，再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，计算得到答案. 【详解】根据题意先确定2个人位置不变，共有2615C =种选择.再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，共有33119⨯⨯⨯=种选择， 故不同的坐法有159135⨯=. 故答案为：135. 【点睛】本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．1或9【分析】由再根据组合的互补性质可得即可解得的值【详解】解：由可得：解得：又根据组合的互补性质可得可得：解得：故答案为：1或9【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用掌握组合数的性质和组合数公式解析：1或9 【分析】由212626x x C C -=，再根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，即可解得x 的值．【详解】解：由212626x x C C -=，可得：21x x =-，解得：1x =，又根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，可得：26(21)x x =--，解得：9x =． 故答案为：1或9． 【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用，掌握组合数的性质和组合数公式是解题的关键．20．【分析】根据乙丙相邻所以捆在一起有种排法又因为乙丙与丁均不相邻且甲站最中间则剩余3人全排列从产生的4个空中选2个将乙丙与丁排列再用分类乘法计数原理求解【详解】因为乙丙相邻所以捆在一起有种排法又因为乙 解析：144【分析】根据乙丙相邻，所以捆在一起有22A 种排法，又因为乙、丙与丁均不相邻，且甲站最中间，则剩余3人全排列，从产生的4个空中选2个，将乙、丙与丁排列，再用分类乘法计数原理求解. 【详解】因为乙丙相邻，所以捆在一起有22A 种排法，又因为乙、丙与丁均不相邻，因为甲站最中间，则剩余3人全排列有33A 种排法，，从产生的4个空中选2个，将乙、丙与丁排列，有24A 种排法，所以共有232234144A A A ⨯⨯=种排法故答案为：144本题主要考查分类乘法计数原理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）72；（2）325；（3）48； 【分析】（1）首先排个位，从3个奇数中选1个排在个位，再将其余4个数全排列即可； （2）根据题意，按数字的位数分5种情况讨论，求出每种情况下数字的数目，由加法原理计算可得答案；（3）大于40000的正整数，即最高位为4或5，其余数字全排列即可； 【详解】解：（1）首先排最个位数字，从1、3、5中选1个数排在个位有133A =种，其余4个数全排列有4424A =种，按照分步乘法计数原理可得有143472A A =个五位奇数； （2）根据题意，若组成一位数，有5种情况，即可以有5个一位数； 若组成两位数，有2520A =种情况，即可以有20个两位数； 若组成三位数，有3560A =种情况，即可以有60个三位数； 若组成四位数，有45120A =种情况，即可以有120个四位数； 若组成五位数，有55120A =种情况，即可以有120个五位数； 则可以有52060120120325++++=个正整数；（3）根据题意，若组成的数字比40000大的正整数，其首位数字为5或4，有2种情况； 在剩下的4个数，安排在后面四位，共有142448C A =种情况， 则有48个比40000大的正整数； 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 22．（1）6；（2）60 【分析】由二项式系数和求出指数n ，再写出展开式通项后可得常数项. 【详解】（1）由题意得，二项式系数之和为012264n n n n n n C C C C ++++==，6n ∴=；（2）通项公式为366622166(2)2r r rrrr r T C x xC x----+==，令3602r-=，得4r = ∴展开式中的常数项为4464256(2)60T C x x --==．该题主要考查二项式定理，在()na b +展开式中二项式系数为2n ，只与指数n 有关，求特定项时要注意通项的正确应用.23．（1）48；（2）72；（3）36；（4）108. 【分析】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，利用捆绑法可求得排法种数；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的空中，利用插空法可求得排法种数； （3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则3个节目排在中间，利用分步乘法计数原理可求得排法种数；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数，由此可求得结果. 【详解】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，然后进行全排， 所以，排法种数为242448A A =种；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的4个空中，则排法种数为323472A A =种； （3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它3个节目排在中间，进行全排， 由分步乘法计数原理可知，排法种数为233336A A =种；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数， 可得出前3个节目中要有相声节目的排法种数为53253212012108A A A -=-=. 【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法、插空法、分步乘法计数原理以及间接法的应用，考查计算能力，属于中等题. 24．（1）1（2）证明见解析； 【分析】（1）根据13-=n n a ，得到()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n n nn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+求解.（2）易得21n a n =-，则(),F x n ()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C xx ，再转化为(),F x n ()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x ()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，利用二项式定理及组合数公式求解.【详解】（1）由题意得：13-=n n a ，∴()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n nnn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+，∴()()20201,2020121F -=-=；（2）证明：若数列{}n a 是公差为2的等差数列，则21n a n =-.()()()()10111121,111---+=-+-++-+nn n n n nn n n n n n F x n a C x a C x x a C x x a C x ，()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C x x ，()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，由二项式定理知，()()()10122211(1)11---+-+-=-+=⎡⎤⎣++⎦nn n n n nn n nnC x C x x C x x x x C x ，因为()()()()111!!!!1!!kk nn n n kC k n C k n k k n n k --⋅-=⋅=⋅=---，所以()1122212(1)---+-++n n n n n nn C x x C x nC x x ()112211111(1)------=-+-++n n n n n n n nC x x n x x nC x C()1012111111(1)n n n n n n n nx C x C x x C x -------=⎦-+-++⎡⎤⎣()11-=-+=⎡⎤⎣⎦n nx x x nx ，所以(),12F x n nx =+.(),202014040F x x =+.【点睛】本题主要考查二项式定理及其展开式以及组合数公式，等差数列，等比数列的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．（1）8；（2）系数最大项，4570T x =，系数最小项656T x =-和7456T x =-【分析】（1）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数和为2n ，()732a b +展开式的二项式系数和为72，根据条件可得到关于n 的等式求解出n 的值；（2）根据二项式系数的性质求得当r 为何值时，展开式的系数最大或最小，从而求解出对应的系数最大和最小的项. 【详解】（1）由条件可知：722128n -=，所以822n =，所以8n =；（2）因为21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为：()163181r r rr T C x -+=⋅-⋅，由二项式系数的性质可知：当4r =时，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的系数最大，所以系数最大的项为4445870T C x x =⋅=， 当3r =或5时，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的系数最小，所以系数最小的项为3774856T C x x =-⋅=-和56856T C x x =-⋅=-. 【点睛】本题考查二项式定理的综合运用，难度一般.对于二项式系数kn C ，若n 为偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项1122,n n nnC C-+同时取得最大值.26．（1）2520；（2）5040；（3）288；（4）1440；（5）3600.【分析】相邻问题一般看作一个整体处理，利用捆绑法，不相邻问题一般用插空法，特殊位置优先考虑，即可求解． 【详解】解：（1）从7人中选其中5人排成一排，共有55752520C A =种排法； （2）排成前后两排，前排3人，后排4人，共有775040A =种排法； （3）全体站成一排，男、女各站在一起，属于相邻问题， 男生必须站在一起，则男生全排列，有33A 种排法， 女生必须站在一起，则女生全排列，有44A 种排法， 男生女生各看作一个元素，有22A 种排法；由分布乘法的计数原理可知，共有234234288A A A =种方法；（4）全体站成一排，男生不能站在一起，属于不相邻问题，先安排女生，有44A 种排法，把3个男生插在女生隔成的5个空位中，有35A 种排法， 由分布乘法的计数原理可知，共有43451440A A =种方法； （5）全体站成一排，男不站排头也不站排尾，则优先安排甲， 从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有15A 种排法， 再对剩余的6人进行全排列，有66A 种排法， 所以共有16563600A A =种方法． 【点睛】本题考查排列和组合的实际应用，涉及相邻和不相邻问题，利用了捆绑法、插空法和特殊位置优先考虑的方法，考查分析和计算能力．。
(必考题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷(含答案解析)(5)
一、选择题1．已知()~,X B n p ，且()2E X =，()43D X =，则n =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．82．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ） A ．0.05 B ．0.1C ．0.15D ．0.23．甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7．若两人各投2次，则两人投中次数相等的概率为（ ） A ．0.2484B ．0.25C ．0.90D ．0.39244．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P 移动六次后位于点(2,4)的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．44612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．62612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6246612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知ξ的分布列如图所示，设2-5ηξ=，则()=E η（ ）A ．12B ．13C ．23D ．326．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是（ ）A ．至少有1个深度贫困村B ．有1个或2个深度贫困村C ．有2个或3个深度贫困村D ．恰有2个深度贫困村7．某班有18名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出6名学生，其中数学成绩优秀的学生数1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()21E X +=（ ） A ．13B ．12C ．5D ．48．下列命题中真命题是（ ）（1）在183x x 的二项式展开式中，共有4项有理项；（2）若事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =，则事件A 、B 是相互独立事件；（3）根据最近10天某医院新增疑似病例数据，“总体均值为2，总体方差为3”，可以推测“最近10天，该医院每天新增疑似病例不超过7人”. A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）9．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．85B ．65C ．45D ．2510．先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上， 设事件A 为“第一次正面向上”，事件B 为“后两次均反面向上”，则概率(|)P B A =（ ） A ．12B ．13C ．14D ．3811．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X ，则X 的均值为（ ） A ．20B ．25C ．30D ．4012．某学校高三模拟考试中数学成绩X 服从正态分布()75,121N ，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（ ）人．参考数据：()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=） A ．261B ．341C ．477D ．683二、填空题13．甲、乙两人被随机分配到,,A B C 三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位）．记分配到A 岗位的人数为随机变量X ，则随机变量X 的数学期望()E X =_____． 14．3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为12，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率__________.15．《史记·卷六十五·孙子吴起列传第五》中记载了“田忌赛马”的故事.齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现规定每场比赛从双方的马匹中随机各选取一匹进行比试，若有优势的马一定获胜，且每场比赛相互独立，则采取三局两胜制齐王获胜的概率为________. 16．在高三的一个班中，有14的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生人数1(5,)4B ξ～，则()P k ξ=取最大值时k =_______．17．袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是______.18．某同学解答两道试题，他能够解出第一道题的概率为0.8，能够解出第二道题的概率为0.6，两道试题能够解答与否相互独立，记该同学解出题目的个数为随机变量X ，则X 的数学期望()E X =______．19．随机变量X 服从正态分布()2~10,X N σ，()12P X m >=，1(8)0P X n ≤≤=，则21m n+的最小值为_____． 20．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果()100.3P X <=,() 10300.4P X ≤≤=，那么()30P X >等于_________. 三、解答题21．已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个.现从中随机取球，每次只取一球．()1若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；()2若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X 次，求随机变量X 的分布列与期望．22．某校准备从报名的6位教师（其中男教师3人，女教师3人）中选3人去边区支教. （1）设所选3人中女教师的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率.23．复旦大学附属华山医院感染科主任医师张文宏在接受媒体采访时谈到：通过救治研究发现，目前对于新冠肺炎最有用的“特效药”还是免疫力．而人的免疫力与体质息息相关，一般来讲，体质好，免疫力就强．复学已有一段时间，某医院到学校调查高二学生的体质健康情况，随机抽取12名高二学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：65，78，90，86，52，87，72，86，87，98，88，86．根据此年龄段学生体质健康标准，成绩不低于80的为优良．（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该学校全体高二学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记X 表示成绩“优良”的人数，求X 的分布列和期望．24．已知从A 地到B 地有两条道路可以到达，走道路①准点到达的概率为34，不准点到达的概率为14；走道路②准点到达的概率为p ，不准点到达的概率为(1)p -.若甲乙两车走道路①，丙车由于其他原因走道路②，且三辆车是否准点到达相互之间没有影响. （1）若三辆车中恰有一辆车没有准点到达的概率为716，求走道路②准点到达的概率p ； （2）在（1）的条件下，求三辆车中准点到达车辆的辆数的分布列和数学期望.25．某投资公司准备在2020年年初将两千万投资东营经济开发区的“示范区”新型物流，商旅文化两个项目中的一个之中．项目一：新型物流仓是为企业提供仓储、运输、配送、货运信息等综合物流服务的平台．现准备投资建设10个新型物流仓，每个物流仓投资0.2千万元，假设每个物流仓盈利是相互独立的，据市场调研，到2022年底每个物流仓盈利的概率为(01)p p <<，若盈利则盈利为投资额的40%，否则盈利额为0．项目二：购物娱乐广场是一处融商业和娱乐于一体的现代化综合服务广场．据市场调研，投资到该项目上，到2022年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p 和1p -．（1）若投资项目一，记1X 为盈利的物流仓的个数，求()1E X （用p 表示）； （2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为2X 千万元，求()2E X （用p 表示）； （3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．26．某工厂计划建设至少3个，至多5个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品A 的未来需求．经过对先期样本的科学性调查显示，本地区每个月对商品A 的月需求量均在50万件及以上，其中需求量在50~ 100万件的频率为0.5，需求量在100~200万件的频率为0.3，不低于200万件的频率为0.2．用调查样本来估计总体，频率作为相应段的概率，并假设本地区在各个月对本特供商品A 的需求相互独立．（1）求在未来某连续4个月中，本地区至少有2个月对商品A 的月需求量低于100万件的概率．（2）该工厂希望尽可能在生产线车间建成后，车间能正常生产运行，但每月最多可正常生产的车间数受商品A 的需求量x 的限制，并有如下关系：若一个车间正常运行，则该车间月净利润为1500万元，而一个车间未正常生产，则该车间生产线的月维护费（单位：万元）与月需求量有如下关系：试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个？使得商品A 的月利润为最大．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B解析：B 【解析】∵~(,)X B n p ，∴()2E X =，4()3D X =，∴2np =，且4(1)3np p -=，解得613n p =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴6n =，故选B ．2．B解析：B 【解析】1(80120)(80)(120)0.12P X P X P X -<<≤=≥== ,选B.3．D解析：D 【分析】根据题意，两人投中次数相等：两人两次都未投中，两人各投中一次，和两人两次都投中，进而根据相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得到答案． 【详解】由题意，甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，则甲、乙两人各投2次： 两人两次都未投中的概率：()()22010.610.70.0144P =-⨯-=；两人各投中一次的概率：()()111220.610.60.710.70.2016P C C =⨯⨯-⨯⨯⨯-=；两人两次都投中的概率：2220.60.70.1764P =⨯=.所以，两人投中次数相等的概率为：0120.3924P P P P =++=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.4．C解析：C 【分析】根据题意，质点P 移动六次后位于点(4,2)，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案． 【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P 移动六次后位于点(2,4)，在移动过程中向上移动4次向右移动2次，则其概率为4262466111222C P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==.故选：C ． 【点睛】本题考查二项分布与n 次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题.5．C解析：C 【分析】根据分布列的性质，求得13m =，由期望的公式，可得17()6E ξ=，再根据()()5E E ηξ=-，即可求解.【详解】由题意，根据分布列的性质，可得1111663m +++=，解得13m =，所以随机变量ξ的期望为111117()123466336E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， 又由2-5ηξ=，可得172()2563E η=⨯-=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了随机变量的期望的计算，其中解答中熟记分布列的性质和期望的计算公式是解答的关键，着重考查了计算能力.6．B解析：B 【分析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，则X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==，分别求得概率，再验证选项. 【详解】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==， 所以()3043374035C C P X C ===， ()21433718135C C P X C ===，()12433712235C C P X C ===，()0343371335C C P X C ===， ()()6127P X P X =+==. 故选：B 【点睛】本题主要考查超几何分布及其应用，属于基础题.7．C解析：C 【分析】根据1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭得到()2E X =，再根据()()2121E X E X +=+，计算得到答案. 【详解】1~6,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1623E X =⨯=，故()()21215E X E X +=+=.故选：C . 【点睛】本题考查了二项分布的均值，同时也考查了期望性质的应用，意在考查学生的计算能力.8．D解析：D 【分析】对三个命题分别判断真假，即可得出结论. 【详解】对于（1），18的二项展开式的通项为1815163621818rrrr rC x x C x ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0r =、6、12、18时，为有理项，共有4个有理项，故（1）正确； 对于（2），事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =， 所以()()()0.150.600.09P AB P A P B =⨯==，满足A 、B 为相互独立事件，故（2）正确；对于（3），当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近于3， 所以，总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7，故（3）正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查分析法与基本运算能力，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．B解析：B 【分析】由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ．【详解】由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =， 3~(5,)5X B ∴，336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=．故选：B ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．10．C解析：C 【分析】由先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，得出事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，再由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果，即可求解. 【详解】由题意，先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，共有2228⨯⨯=种不同的结果， 其中事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，又由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果， 所以()()1(|)4P AB P B A P A ==，故选C. 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，准确得出事件A 和事件A B 所含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算能力，属于基础题.11．B解析：B 【分析】先求得抛掷一次的得到2枚正面向上，3枚反面向上的概率，再利用二项分布可得结果.【详解】由题，抛掷一次恰好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为：2555216C =因为5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率是一样的，且各次试验是相互独立的，所以X 服从二项分布5(80,)16X B 则5()802516E X =⨯= 故选B 【点睛】本题咔嚓了二项分布，掌握二项分布是解题的关键，属于中档题.12．B解析：B 【解析】分析：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是0.6826，根据概率求出位于6486（，）这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果．详解：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是(75117511)0.682?6P X －＋＝<<，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为110000.682?63412⨯⨯≈人. 故选B .点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关75X =于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．二、填空题13．【分析】由题意得出的可能取值以及相应的概率再计算数学期望即可【详解】由题意可得的可能取值有012则数学期望故答案为：【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的数学期望属于中档题解析：23【分析】由题意得出X 的可能取值以及相应的概率，再计算数学期望即可. 【详解】由题意可得X 的可能取值有0，1，2224(0)339P X ⨯===⨯，122411(1),(2)339339C P X P X ⨯======⨯⨯则数学期望4()09E X =⨯41212993+⨯+⨯=．故答案为：23【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的数学期望，属于中档题.14．【分析】首先对事件进行分类分成女生0分男生6分或女生2分男生4分或女生4分男生2分女生的概率可以按照超几何概率求解男生按照独立重复求解概率【详解】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A 则可分为 解析：43120【分析】首先对事件进行分类，分成女生0分，男生6分，或女生2分，男生4分，或女生4分，男生2分，女生的概率可以按照超几何概率求解，男生按照独立重复求解概率. 【详解】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A ，则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件1A ；女生得2分男生得4分，设为事件2A ；女生得4分男生得2分，设为事件3A ，则：()32321326112120C P A C C ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， ()211224232611241221205C C P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22143326111832212020C P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()12343120P A P A P A P A =++=. 故答案为：43120【点睛】本题考查概率的应用问题，重点考查分类讨论，转化与化归的思想，熟练掌握概率类型，属于中档题型.本题的关键是对事件分类.15．【分析】列出所有情况统计满足条件的情况得到齐王每次胜利的概率再根据独立事件计算得到答案【详解】设齐王的上中下等马为田忌的上中下等马为则共有9种情况其中齐王获胜的有6种情况故故答案为：【点睛】本题考查 解析：2027【分析】列出所有情况，统计满足条件的情况得到齐王每次胜利的概率123p =，再根据独立事件计【详解】设齐王的上中下等马为ABC ，田忌的上中下等马为abc ， 则共有,,,,,,,,Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc 9种情况， 其中齐王获胜的有,,,,,Aa Ab Ac Bb Bc Cc 6种情况，故16293p ==， 32232212033327p C ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：2027. 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.16．1【分析】可得则且计算可得【详解】解：依题意可得则且解得又所以故答案为：1【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式组合数的计算公式考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：1 【分析】1~(5,)4B ξ，可得5511()()(1)44k k k P k C ξ-==⨯-．则()(1)P k P k ξξ=≥=-且()(1)P k P k ξξ=≥=+计算可得．【详解】解：依题意，可得5511()()(1)44kk k P k C ξ-==⨯-则5C k3()45k-1()4k15C k -≥3()45(1)k --1()41k -，且5C k3()45k-1()4k ≥15C k +5(1)3()4k -+11()4k +， 解得12k ≤≤32，又*k N ∈，所以1k =． 故答案为：1 【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【分析】分别分析最大号码为345的情况再根据所对应的概率求解数学期望即可【详解】所有可能的情况一共有种其中最大号码为3的情况一共有种；其中最大号码为4的情况一共有种；其中最大号码为5的情况一共有种；解析：92分别分析最大号码为3,4,5的情况再根据所对应的概率求解数学期望即可.【详解】所有可能的情况一共有3510C=种,其中最大号码为3的情况一共有221C=种；其中最大号码为4的情况一共有233C=种；其中最大号码为5的情况一共有246C=种；故ξ的数学期望是136312309 345101010102++⨯+⨯+⨯==.故答案为：9 2【点睛】本题主要考查了排列组合解决数学期望的问题,根据题意分析所有可能的情况再利用数学期望公式求解即可.属于中等题型.18．4【解析】【分析】由题意求得随机变量的取值利用相互独立事件的概率公式求得相应的概率再由期望的计算公式即可求解数学期望【详解】由题意该同学解出题目的个数为随机变量的取值为则所以【点睛】本题主要考查了随解析：4【解析】【分析】由题意求得随机变量X的取值，利用相互独立事件的概率公式，求得相应的概率，再由期望的计算公式，即可求解数学期望．【详解】由题意，该同学解出题目的个数为随机变量X的取值为0,1,2X=，则P(X0)0.20.40.08==⨯=，P(X1)0.80.40.20.60.44==⨯+⨯=，P(X2)0.80.60.48==⨯=.所以E(X)00.0810.4420.48 1.4=⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查了随机变量的分布列与数学期望的计算，其中解答中正确理解题意，利用相互独立事件的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19．【分析】根据正态分布的对称性得到再利用均值不等式计算的最小值【详解】随机变量服从正态分布∴由得又∴且则当且仅当即时等号成立∴的最小值为故答案为【点睛】本题考查了正态分布的计算均值不等式的运用综合性较解析：6+根据正态分布的对称性，得到12m n +=，再利用均值不等式计算21m n+的最小值. 【详解】随机变量X 服从正态分布210(),X N σ～，∴1(10)2P X ≥=， 由1(8)0P X n ≤≤=，得1(10)2P X n ≤≤=， 又()12P X m >=， ∴12m n +=，且0m >，0n >， 则2121(22)m n m n m n ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭42662642n m m n+⋅=+=+． 当且仅当42n m m n =，即222m -=，212n -=时等号成立． ∴21m n+的最小值为642+． 故答案为642+． 【点睛】本题考查了正态分布的计算，均值不等式的运用，综合性较强，需要同学们熟练掌握各个知识点.20．3【分析】根据随机变量的概率之和为1即可求出【详解】根据随机变量的概率分布的性质可知故【点睛】本题主要考查了随机变量的概率分布的性质属于中档题解析：3 【分析】根据随机变量的概率之和为1，即可求出()30P X >. 【详解】根据随机变量的概率分布的性质,可知()()()101030301P X P X P X <+≤≤+>=, 故(30)10.30.40.3P X >=--=. 【点睛】本题主要考查了随机变量的概率分布的性质，属于中档题.三、解答题21．（1）；（2）随机变量X 的分布列见解析，期望为133. 【分析】（1）可从正面计算取得两次、三次、四次白球的概率和，也可以用1减去取得一次、两次白球的概率，而四次取球中每次是否取得白球相互独立，只需用组合数即可得到相应概率；（2）注意取出的球不放回，因此最多取5次白球就会被取完，故X ＝2，3，4，5，分别计算对应的概率，写出分布列，进而可求出期望. 【详解】（1）记随机变量ξ表示连续取球四次，取得白球的次数，则ξ～B （4，13） 则P （ξ＞1）＝1－P （ξ＝0）－P （ξ＝1）＝1－00411344121211()()()()333327C C -=（2）随机变量X 的取值分别为2，3，4，5∴P （X ＝2）＝2226115C C =，P （X ＝3）＝11242612415C C C ⨯= P （X ＝4）＝1224361135C C C ⨯=，P （X ＝5）＝134244446635C C C C C += ∴随机变量X 的分布列为∴随机变量X 的期望为：1313()23451515553E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 考点：古典概型，相互独立事件，随机变量的分布列与期望 22．（1）分布列见解析，期望为32；（2）35． 【分析】（1）X 的值依次为0,1,2,3，分别计算出概率得概率分布列，再由期望公式计算出期望； （2）设事件A 为“甲地是男教师”,事件B 为“乙地是女教师”,利用条件概率公式,即可求出概率. 【详解】（1）X 的所有可能取值为0,1,2,3,33361(0)20C P X C ===，1233369(1)20C C P X C ===，2133369(2)20C C P X C ===，33361(3)20C P X C ===，所以X 的分布列为:故()1232020202E X =⨯+⨯+⨯=； （2）设事件A 为“甲地是男教师”,事件B 为“乙地是女教师”,则1236361()2C A P A A ==，111334363()10C C C P AB A ==， 所以3()310(|)1()52P AB P B A P A ===． 【点睛】本题考查随机变量的概率分布列和数学期望，考查条件概率，解题时确定出随机变量的所有可能取值，然后计算出概率后可得概率分布列，由期望公式可计算出期望．掌握条件概率公式即可计算条件概率． 23．（1）2627（2）见解析，2 【分析】（1）从该社区中任选1人，成绩是“优良”的概率为23，由此能求出在该社区老人中任选三人，至少有1人成绩是‘优良’的概率．（2）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望． 【详解】解：（1）抽取的12人中成绩是优良的频率为23， 故从该校全体高二学生中任选1人，成绩是“优良”的概率是23， 设“在该校全体高二学生中任选3人，至少有1人成绩优良”为事件A ，则()33212611132727P A C ⎛⎫=-⨯-=-= ⎪⎝⎭． （2）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，()3431241022055C P X C ====，()12843124812122055C C P X C ====，()218431211228222055C C P X C ====，()383125614122055C P X C ====，所以X 的分布列为0123255555555EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，属于中档题． 24．（1）716（2）见解析，136【分析】（1）三辆车中恰有一辆车没有准点到达包含两种情况：甲乙中有一辆没有准点到达或丙没有准点到达，由相互独立事件同时发生的概率公式列出关于p 的方程，解方程即可得结果；（2）设三辆车中准点到达车辆的辆数为ξ，则ξ可能的取值为0，1，2，3，由题写出变量的分布列，算出数学期望. 【详解】解：（1）由已知条件得2123137(1)44416C p p ⎛⎫⨯⨯+-= ⎪⎝⎭，解得23p =； （2）ξ可能的取值为0，1，2，3，()1111044348P ξ==⨯⨯=，123111121(1)4434436P C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯=，123123317(2)44344316P C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯=，3323(3)4438P ξ==⨯⨯=，ξ的分布列为所以01234861686E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了学生的运算求解能力.25．（1）()110E X p =；（2）()2 1.60.6E X p =-；（3）分类讨论，见解析. 【分析】（1）由题意结合二项分布的期望公式即可得解；（2）由题意列出分布列，利用离散型随机变量期望公式即可得解；（3）由题意分别计算出项目一、项目二的利润的期望与方差，分类比较即可得解. 【详解】（1）由题意1~(10,)X B p ，则盈利的物流仓数的期望()110E X p =；（2）若投资项目二，盈利的金额为20.51⨯=（千万元），亏损的金额为20.30.6⨯=（千万元）， 则2X 的分布列为所以盈利的期望)20.6(1) 1.60.6E X p p p =--=-； （3）若盈利，则每个物流仓盈利0.240%0.08⨯=（千万元），若选择项目一，盈利的期望为()()110.080.080.08100.8E X E X p p ==⨯=（千万元），方差为()()22110.080.080.0810(1)0.064(1)D X D X p p p p ==⨯-=-，若选择项目二，盈利的方差为：()222(1 1.60.6)(0.6 1.60.6)(1) 2.56(1)D X p p p p p p =-++--+-=-，①当()()120.08E X E X =时，0.8 1.60.6p p =-，解得34p =， 而()()120.08D X D X <，故选择项目一；②当()()120.08E X E X >时，0.8 1.60.6p p >-，解得304p <<，此时选择项目一；③当()()120.08E X E X <时，0.8 1.60.6p p <-，解得34p >，此时选择项目二． 【点睛】本题考查了离散型随机变量期望与方差的求解和应用，考查了二项分布的应用与分类讨论思想，属于中档题. 26．（1）1116（2）4个 【分析】（1）由独立重复实验的概率公式结合题意计算即可得解；（2）按照建设3个车间、4个车间、5个车间讨论，分别求出对应的分布列和期望，比较期望大小即可得解. 【详解】（1）由题意每月需求量在50~ 100万件的概率为0.5，则由独立重复实验概率公式可得所求概率223142344441111111112222216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）（i ）当建设3个车间时，由于需求量在50万件以上，此时的净利润Y 的分布列为：则（万元）；（ii ）当建设4个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有1个车间闲置，此时的净利润150035004000Y =⨯-=；需求量100x ≥时，则4个车间正常运行，此时的净利润150046000Y =⨯=； 则Y 的分布列为：则（万元）（iii ）当建设5个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有2个车间闲置，此时的净利润1500350023500Y =⨯-⨯=； 需求量100200x ≤<时，则4个车间正常运行，会有1个车间闲置， 此时1500460015400Y =⨯-⨯=；需求量200x ≥时，则5个车间正常运行，此时的净利润150057500Y =⨯=； 则Y 的分布列为：则4870=（万元）综上所述，要使该工厂商品A的月利润为最大，应建设4个生产线车间．【点睛】本题考查了独立重复实验概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望的求解与应用，属于中档题.。
高二数学选修2-3第一章测试题(含答案)
高中数学选修2-3第一章测试题一．选择题（每题5分，满分60分）1．四个同学，争夺三项冠军，冠军获得者可能有的种类是( ) A ．4 B ．24 C ．43D ．34[答案] C[解析] 依分步乘法计数原理，冠军获得者可能有的种数是4×4×4＝43.故选C.2．210所有正约数的个数共有( ) A ．12个 B ．14个 C ．16个 D ．20个[答案] C[解析] 由210＝2·3·5·7知正约数的个数为2·2·2·2＝16.∴选C. 3．设m ∈N *，且m ＜15，则(15－m )(16－m )…(20－m )等于( ) A ．A 615－m B ．A 15－m20－mC ．A 620－mD ．A 520－m[答案] C[解析] 解法1：(15－m )(16－m )…(20－m )＝(20－m )(19－m )……[(20－m )－6＋1]＝A 620－m .解法2：特值法．令m ＝14得1×2×3×4×5×6＝A 66.∴选C.4．A 、B 、C 、D 、E 五人站成一排，如果A 必须站在B 的左边(A 、B 可以不相邻)，则不同排法有( )A ．24种B ．60种C ．90种D ．120种[答案] B[解析] 5个人全排列有5！＝120种、A 在B 左边和A 在B 右边的情形一样多，∴不同排法有12×120＝60种．5．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( ) A ．－27C 610B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 410[答案] D[解析] ∵T r ＋1＝C r 10x 10－r(－3)r .令10－r ＝6， 解得r ＝4.∴系数为(－3)4C 410＝9C 410.6．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A ．36B ．30C ．40D ．60[答案] A[解析] 奇数的个位数字为1、3或5，偶数的个位数字为2、4.故奇数有35A 35＝36个．7．6人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为( ) A ．A 66B ．3A 33C ．A 33·A 33D ．4！·3! [答案] D[解析] 甲、乙、丙三人站在一起有A 33种站法，把3人作为一个元素与其他3人排列有A 44种，∴共有A 33·A 44种．故选D. 8．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为( ) A ．720 B ．144 C ．576D ．684[答案] C[解析] “不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得A 66－A 33A 44＝576.[点评] 不能都站在一起，与都不相邻应区分．9．C 9798＋2C 9698＋C 9598等于( )A ．C 9799B ．C 97100C ．C 9899D ．C 98100[答案] B[解析] 原式＝C 9798＋C 9698＋C 9698＋C 9598＝C 9799＋C 9699＝C 97100，故选B.10．已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{1,2}，若集合M 满足B M A ，则不同集合M的个数为( )A ．12B ．13C ．14D ．15[答案] C[解析] ∵B M ，∴M 中必含有1、2且至少含有3、4、5、6中的一个元素，又M A ，∴M ≠A ，∴M 的个数为C 14＋C 24＋C 34＝14个．11．某年级有6个班，分别派3名语文教师任教，每个教师教2个班，则不同的任课方法种数为( )A ．C 26·C 24·C 22 B ．A 26·A 24·A 22 C ．C 26·C 24·C 22·C 33 D.A 26·C 24·C 22A 33[答案] A12．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数之和为( ) A ．2n －1B ．2n －1C ．2n ＋1－1 D ．2n [答案] C[解析] 解法一：令x ＝1得，1＋2＋22＋…＋2n ＝1×(2n ＋1－1)2－1＝2n ＋1－1.解法二：令n ＝1，知各项系数和为3，排除A 、B 、D ，选C.二．填空题（每小题5分，满分20分）13．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．[答案] 24[解析] “每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空档中即可．∴有A 34＝24种不同坐法．14．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是________．[答案] {5}[解析] 因为C x 17＝C x 16＋C x －116，所以C x －116＝C 2x ＋216，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5.15．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，y 2＋z 2＝4，z 2＋x 2＝5.有________组解．[答案] 8[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，y 2＋z 2＝4，z 2＋x 2＝5.可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝1，z 2＝3.因此在{2，－2}，{1，－1}，{3，－3}中各取一个即可构成方程组的一组解，由分步乘法计数原理共有2×2×2＝8组解．16．(2010·湖北文，11)在(1－x 2)10的展开式中，x 4的系数为________． [答案] 45[解析] 本题主要考查二项式定理．(1－x 2)10的展开式中，只有两个括号含x 2的项，则x 4的系数为C 210(－1)2＝45三、解答题17．（满分12分）求和：12！＋23！＋34！＋…＋n(n ＋1)！.[解析] ∵k (k ＋1)！＝k ＋1－1(k ＋1)！＝k ＋1(k ＋1)！－1(k ＋1)！＝1k ！－1(k ＋1)！，∴原式＝⎝⎛⎭⎫11－12！＋⎝⎛⎭⎫12！－13！＋⎝⎛⎭⎫13！－14！＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ！－1(n ＋1)！＝1－1(n ＋1)！.18．（满分10分）用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数． (1)这些四位数中偶数有多少个？能被5整除的有多少个？ (2)这些四位数中大于6500的有多少个？[解析] (1)偶数的个位数只能是2、4、6有A 13种排法，其它位上有A 36种排法，由分步乘法计数原理知共有四位偶数A 13·A 36＝360个；能被5整除的数个位必须是5，故有A 36＝120个．(2)最高位上是7时大于6500，有A 36种，最高位上是6时，百位上只能是7或5，故有2×A 25种．∴由分类加法计数原理知，这些四位数中大于6500的共有A 36＋2A 25＝160个．19．（满分12分）一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单． (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？(以上两个题只列出算式)[解析](1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有A25A66种排法．(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A88－A45A44)种．20．（满分12分）六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站右端，也不站左端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端．[解析](1)解法一：因甲不站左右两端，故第一步先从甲以外的5个人中任选二人站在左右两端，有A25种不同的站法；第二步再让剩下的4个人站在中间的四个位置上，有A44种不同的站法，由分步乘法计数原理共有A25·A44＝480种不同的站法．解法二：因甲不站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A14种不同的站法；第二步再让余下的5个人站在其他5个位置上，有A55种不同的站法，故共有A14·A55＝480种不同的站法．解法三：我们对6个人，不考虑甲站位的要求，做全排列，有A66种不同的站法；但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数2A55，于是共有A66－2A55＝480种不同的站法．(2)解法一：首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有A22种不同的站法；再让其他4个人在中间4个位置做全排列，有A44种不同的站法，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44＝48种不同的站法．解法二：“位置分析法”，首先考虑两端2个位置，由甲、乙去站，有A22种站法，再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去站，有A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44＝48种不同的站法．(3)解法一：“间接法”，甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A55种，而甲在左端且乙在右端的站法有A44种，故共有A66－2A55＋A44＝504种不同的站法．解法二：“直接法”，以元素甲的位置进行考虑，可分两类：a.甲站右端有A55种不同的站法；b.甲在中间4个位置之一，而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个，有A14·A14·A44种不同的站法，故共有A55＋A14·A14·A44＝504种不同的站法．21．（满分12分）有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本； (2)一人得4本，一人得3本，一人得2本； (3)甲、乙、丙各得3本．[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①9本不同的课外书分给甲、乙丙三名同学； ②题目中的3个问题的条件不同．解答本题先判断是否与顺序有关，然后利用相关的知识去解答． [解析] (1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C 49种方法； 第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C 35种方法； 第三步：把剩下的书给丙有C 22种方法，∴共有不同的分法有C 49·C 35·C 22＝1260(种)．(2)分两步完成：第一步：将4本、3本、2本分成三组有C 49·C 35·C 22种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A 33种方法，∴共有C 49·C 35·C 22·A 33＝7560(种)．(3)用与(1)相同的方法求解，得C 39·C 36·C 33＝1680(种)．22．（满分12分）已知在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． [解析] (1)T r ＋1＝C r n ·(3x )n －r ·(－123x )r ＝C r n ·(x 13)n －r ·(－12·x －13)r ＝(－12)r ·C r n ·x n －2r 3. ∵第6项为常数项，∴r ＝5时有n －2r3＝0，∴n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2，∴所求的系数为C 210(－12)2＝454. (3)根据通项公式，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z0≤r ≤10r ∈Z令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ， 即r ＝10－3k 2＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，∴k 可取2,0，－2， ∴r ＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项． 它们分别为C 210·(－12)2·x 2，C 510(－12)5， C 810·(－12)8·x －2.。
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高中数学选修2-3计数原理测试题
一、选择题
1．若m 为正整数，则乘积()()()=+++2021m m m m Λ
（ ） A ．20m A B ．21m A C ．20
20+m A D ．2120+m A 2．若直线0=+By Ax 的系数B A ,同时从0,1,2,3,5,7六个数字中取不同的值,则这些方程表
示不同的直线条数 （ ）
A ． 22
B ． 30
C ． 12
D ． 15
3．四个编号为1，2，3，4的球放入三个不同的盒子里，每个盒子只能放一个球，编号为1
的球必须放入，则不同的方法有 （ ）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．96种
2．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有 （ ）
A ．81
B ．64
C ．12
D ．14
4．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数
字12340应是第几个数 （ ）
A ．6
B ．9
C ．10
D ．8
5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、
乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 （ ）
A.280种
B.240种
C.180种
D.96种
6. 若425225+=x x C C ，则x 的值为 （ ）
A ．4
B ．7
C ．4或7
D ．不存在
7．某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两
个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为 （ ）
A.42
B.36
C.30
D.12
8.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字
12340应是第（ ）个数.
A.6
B.9
C.10
D.8
9. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在
两端，不同的排法共有（ ）
Ａ．1440种 Ｂ．960种
Ｃ．720种 Ｄ．480种
10．从字母,,,,,a b c d e f 中选出4个数字排成一列，其中一定要选出a 和b ，
并且必须相邻（a 在b 的前面），共有排列方法（ ）种.
A.36B．72
C．90D．144
11．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（）
A．120B．240C．280D．60
12.从6个正方形拼成的12个顶点(如上图)中任取3个顶点作为一组，其中可以构成三角形的组数为( ) A．208 B．204 C．200 D．196
二、填空题
13. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列
有种不同的方法（用数字作答）.
14.4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法. 15．以1239
L
，，，这几个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有种不同取法.
16. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。
（用数字作答）
17．在50件产品n中有4件是次品，从中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共有______________种（用数字作答）.
18．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有________________个？
三、解答题
19．7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
（1）甲排头，
（2）甲不排头，也不排尾
（3）甲、乙、丙三人必须在一起，
（4）甲、乙之间有且只有两人，
（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，
（6）甲在乙的左边（不一定相邻），
（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，
（8）甲不排头，乙不排当中。
20. 方程x 2m ＋y 2n
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，其中m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？
21．证明：11m m m n n n A mA A -++=.
22. 从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？
(1)A ，B 必须当选；
(2)A ，B 必不当选；
(3)A ，B 不全当选；
(4)至少有2名女生当选；
(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．
23.从4名男生,3名女生中选出三名代表,
(1)不同的选法共有多少种?
(2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种?
(3)代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种?
24.用0，1，2，3，4，5这六个数字：
(1)可组成多少个无重复数字的自然数？
(2)可组成多少个无重复数字的四位偶数？
(3)组成无重复数字的四位数中比4023大的数有多少?
25．6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；
（2）甲得一本，乙得二本，丙得三本；
（2）一人得一本，一人得二本，一人得三本；
（3）平均分给甲、乙、丙三人；
（4）平均分成三堆．
26．从{}3,2,1,0,1,2,3,4---中任选三个不同元素作为二次函数2y ax bx c =++的系数,问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?。