(完整版)2011年辽宁高考数学文科试卷带详解

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1．已知集合A ={x 1|>x }，B ={x 21|<<-x }，则A I B = ( )

A. {x 21|<<-x }

B. {x 1|->x }

C. {x 11|<<-x }

D. {x 21|<

【测量目标】集合的基本运算（交集）.

【考查方式】集合的表示（描述法），求集合的交集. 【参考答案】D

【试题解析】利用数轴可以得到A I B ={x 1|>x }I {x 21|<<-x }={x 21|<

571111

i i i i

+

++= ( ) A. 0

B. 2i

C. 2i -

D. 4i

【测量目标】复数代数形式的四则运算.

【考查方式】结合复数代数形式和方幂来考查四则运算. 【参考答案】A 【试题解析】357

1111

i i i i 0i i i i +

++=-+-+=. 3．已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，(2)0-=g a a b ，则=k ( )

A. 12-

B. 6-

C. 6

D. 12

【测量目标】平面向量的数量积的综合应用.

【考查方式】给出两向量数量积为零的条件，求待定参数. 【参考答案】D

【试题解析】因为(2,1),(1,)k ==-a b ，所以2(5,2)k -=-a b ．（步骤1） 又(2)0?-=a a b ，所以0)2(152=-?+?k ，得12=k ．（步骤2）

4．已知命题P ：?n ∈N ，2n ＞1000，则P ?为 ( )

A. ?n ∈N ，2n ≤1000

B. ?n ∈N ，2n ＞1000

C. ?n ∈N ，2n ≤1000

D. ?n ∈N ，2n ＜1000

【测量目标】全称命题和特称命题的否定. 【考查方式】结合不等式考查特称命题的否定. 【参考答案】A

【试题解析】特称命题的否定是全称命题，“＞”的否定是“≤”，故正确答案是A 5．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 ( )

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16 【测量目标】等比数列的性质.

【考查方式】给出相邻两项数列积的规律，化简得出数列的公比. 【参考答案】B

【试题解析】设等比数列{a n }的公比为q ，116n

n n a a +=Q ,11216n n n a a +++∴=，（步骤1）

∴2

16,4q q ==（步骤2） 6．若函数)

)(12()(a x x x

x f -+=

为奇函数，则a = ( )

A.

21 B. 32 C. 4

3

D. 1 【测量目标】函数奇偶性的综合应用.

【考查方式】利用奇函数的原点对称性，代入特殊点求出函数中的未知数. 【参考答案】A

【试题解析】∵ 函数)

)(12()(a x x x

x f -+=

为奇函数,

∴(2)(2),f f -=2(41)(2)a --+--即

2=(41)(2)a +-，解得1

2

a =.

7．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )

A.

3

4

B. 1

C.

54

D.

74

【测量目标】抛物线的简单几何性质.

【考查方式】给出焦点弦的线段关系，间接求解点到坐标轴的距离. 【参考答案】C

【试题解析】设 A ，B 两点的横坐标分别为,m n 则由=3AF BF +及抛物线的定义可

知1

32

m n ++

=, (步骤1) ∴1,2m n +=5

.24

m n +=（步骤2）

即线段AB 的中点到y 轴的距离为5

.4

（步骤3）

8．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ( )

A. 4

B.32

C. 2

D.3

【测量目标】由三视图求几何体的表面积与体积.

【考查方式】给出正三棱柱的体积和线段的长度，转化为求对应平面的面积. 【参考答案】B

【试题解析】设棱长为a ，由体积为32可列等式

=?a a 2

4

332，2=a ，（步骤1） 所求矩形的底边长为

32

3

=a ，这个矩形的面积是3223=?．（步骤2） 9．执行下面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是 ( )

A. 8

B. 5

C. 3

D. 2

【测量目标】选择结构的程序框图.

【考查方式】考查循环结构的流程图， 注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的k 的值． 【参考答案】C

【试题解析】若输入n =4，则执行s =0，t =1，k =1，p =1，判断1<4成立，进行第一次循环；（步骤1）

p =2，s =1，t =2，k =2，判断2<4成立，进行第二次循环；（步骤2） p =3，s =2，t =2，k =3，判断3<4成立，进行第三次循环；（步骤3） p =4，s =2，t =4，k =4，判断4<4不成立，故输出p =4（步骤4）.

10．已知球的直径4SC A B =，，是该球球面上的两点，2AB =，

45ASC BSC ∠=∠=o ，则棱锥S ABC -的体积为

( )

A.

33 B. 23

3 C.

433 D.53

3

【测量目标】球体和三棱锥的体积.

【考查方式】给出球体内部三棱锥的线段关系，利用线面垂直的关系求出对应三棱锥的体积.

【参考答案】C

【试题解析】设球心为O ，则BO AO ,是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边

,4=SO 故2==BO AO ，(步骤1)

且有SC AO ⊥，SC BO ⊥． ∴1

()3

S ABC S AOB C AOB AOB V V V S SO OC ---=+=

+△=3344243312=???．（步骤2） 11．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 ( )

A.（1-，1）

B.（1-，+∞）

C.（∞-，1-）

D.（∞-，+∞）

【测量目标】函数的单调性、导函数的性质和不等式的应用.

【考查方式】给出函数值和导函数满足的条件，将不等式转化为函数的值域，进而求出对应的解集. 【参考答案】B

【试题解析】设()()(24)g x f x x =-+ , ()()2g x f x ''-=. （步骤1）

因为对任意x ∈R ，2)(>'x f ，所以对任意x ∈R ，()0g x '>，则函数g (x )在R 上单调递增. （步骤2）

又因为g (-1)=(1)(24)0f ---+=，故()0g x >,即()24f x x >+的解集为(1,)

-+∞

（步骤3）

12．已知函数)(x f =A tan （ωx +?）（π

0,||2

ω?><

），y =)(x f 的部分图像如下图，则π

(

)24

f = ( )

A. 2+3

B.3

C.

3

3

D.23- 【测量目标】)(x f =A tan （ωx +?）的图象及性质.

【考查方式】结合正切函数的图象，在给定范围内求出周期，进而得出解析式和函数值. 【参考答案】B 【试题解析】如图可知

3ππ288T =-，即ππ

24

ω=，所以2=ω，

（步骤1） 再结合图像可得ππ2π,82k k ??

+=+∈Z ，即πππ42k ?=+<，所以4

143<<-k ，

（步骤2）

只有0=k ，所以π4?=，又图像过点（0，1），代入得A tan π

4

=1，所以A =1，函数的解析式为π()tan(2)4f x x =+，则ππ

()tan 3246

f ==. （步骤3）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知圆C 经过A （5，1），B （1，3）两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为___________． 【测量目标】圆的方程，直线方程，直线与圆的位置关系.

【考查方式】由圆上的两点坐标确定出过圆心的直线，进而求出圆的方程. 【参考答案】2

2

(2)10x y -+= 【试题解析】直线AB 的斜率是311

152

AB k -=

=--，中点坐标是(3,2).故直线AB 的中垂

线方程()223y x -=-，（步骤1）

由()223,

0,

y x y -=-???

=??得圆心坐标(2,0)C ，||r AC =

==故圆的方程为

22(2)10x y -+=.（步骤2）

14．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），

调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x

的回归直线方程：321.0254.0?+=x y

.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元． 【测量目标】回归直线方程的实际应用.

【考查方式】由回归直线方程中系数的意义可直接求解． 【参考答案】0.254

【试题解析】由于321.0254.0?+=x y

，当x 增加1万元时，年饮食支出y 增加0.254万元．

15．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1，则a 5=____________． 【测量目标】等差数列的综合应用.

【考查方式】给出等差数列的某几项和之间的关系，通过待定系数法求出等差数列通项公式和某一项. 【参考答案】1-

【试题解析】设等差数列的公差为d ，解方程组1116526,2

31,

a d a d a d ??

+=+

???+=?得2d =-， (步骤1)

541.a a d =+=-（步骤2）

16．已知函数()e 2x

f x x a =-+有零点，则a 的取值范围是___________．

【测量目标】函数的零点，单调性，极值，导数的性质，函数的零点与方程根的联系.. 【考查方式】通过函数有零点转化为方程有根，将里面的参数提取出来作为函数值来处理，应用导数和极值求出其参数的取值范围. 【参考答案】(],2ln 22-∞-

【试题解析】函数()e 2x

f x x a =-+有零点等价于()0,f x =

即e 2x

x a -+有解. 等价于2e x

a x =-有解. (步骤1） 令()2e x g x x =-，

∴()2e x g x '=-.当ln 2x >时，()0g x '<；当ln 2x <时，()0g x '>.（步骤2） ∴当ln 2x =时，()2e x g x x =-取到最大值2ln 22-，∴a 的取值范围是

(],2ln 22-∞-.（步骤3）

三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =2a ． （I ）求

b

a

； （II ）若c 2=b 2+3a 2，求B ． 【测量目标】正弦定理和余弦定理.

【考查方式】给出三角形中边和角满足的等式关系，由正弦定理和余弦定理求出相应的边和角.

【试题解析】（I ）由正弦定理得，2

2

sin sin sin cos 2sin B A B A A +=

，即

22sin (sin cos )2sin B A A A += (步骤1）

故sin 2sin ,B A =

所以

2.b

a

=(步骤2）………………6分 （II ）由余弦定理和2

2

2

(13)3,cos .2a

c b a B c

+=+=

得(步骤1） 由（I ）知22

2,b a =故22(23).c a =+(步骤2）

可得2

1

cos ,2

B =

又cos 0,B >故2cos ,2B =所以45B =o . (步骤3） …………12分 18．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD 为正方形, QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =1

2

PD ． （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；

（II ）求棱锥Q ABCD -的的体积与棱锥P DCQ -的体积

的比值．

【测量目标】空间点、线、面之间的位置关系，线线、线面、面面垂直的性质与判定，三棱锥的体积.

【考查方式】线线垂直?线面垂直, 给定线段间比例关系由此求出三棱锥体积. 【试题解析】

（I ）由条件知四边形PDAQ 为直角梯形

因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD .

又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . (步骤1）

在直角梯形PDAQ 中可得DQ =PQ

=

2

PD ，则PQ ⊥QD (步骤2） 所以PQ ⊥平面DCQ . (步骤3） ………………6分 （II ）设AB =a .

由题设知AQ 为棱锥Q ABCD -的高，所以棱锥Q ABCD -的体积3

11.3

V a = (步骤1）

由（I ）知PQ 为棱锥P DCQ -的高，而PQ

，△DCQ

的面积为2

2

a ， 所以棱锥P DCQ -的体积为3

21.3

V a =

(步骤2） 故棱锥Q ABCD -的体积与棱锥P DCQ -的体积的比值为1 (步骤3）.……12分 19．（本小题满分12分）

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．

（I ）假设n =2，求第一大块地都种植品种甲的概率；

（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据n x x x ,,,21???的的样本方差])()()[(1

222212x x x x x x n

s n -+???+-+-=

，

其中x 为样本平均数．

【测量目标】简单随机抽样，随机事件的概率，用平均数和方差估计总体的数字特征. 【考查方式】列出基本事件数，从而得出概率; 根据两类个体的平均数和方差来相互比较作出优化选择. 【试题解析】

（I ）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，

令事件A =“第一大块地都种品种甲”.

从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个； （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.（步骤1） 而事件A 包含1个基本事件：（1，2）. 所以1

().6

P A =

（步骤2）………………6分 （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

1

(403397390404388400412406)400,

8x =+++++++=甲

2

222222221(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8

S =+-+-++-+++=甲

（步骤1） ………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

1

(419403412418408423400413)412,8x =+++++++=乙

2

222222221[7(9)06(4)11(12)1]56.8

S =+-+++-++-+=乙

（步骤2） ………………10分 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. （步骤3） 20．（本小题满分12分）

设函数)(x f =x +ax 2+b ln x ，曲线y =)(x f 过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2.

（I ）求a ，b 的值； （II ）证明：()22f x x -….

【测量目标】函数的单调性和导数的关系，极值，不等式的证明.

【考查方式】给出点坐标和切点斜率代入解析式中求出各参数，利用函数的单调性和导数来证明不等式. 【试题解析】 （I ）()12.b

f x ax x

'=++

0x ≠（步骤1） …………2分 由已知条件得(1)0,(1) 2.f f =??'=?即10,

12 2.a a b +=??++=?

解得1, 3.a b =-=

（步骤2） ………………5分

（II ）()(0,)f x +∞的定义域为，由（I ）知2

()3ln .f x x x x =-+（步骤1）

设2

()()(22)23ln ,g x f x x x x x =--=--+则

3(1)(23)()12.x x g x x x x

-+'=--+

=-（步骤2） 01,()0;1,()0.x g x x g x ''<<>><当时当时所以()g x 在(0,1)单调增加，在

(1,)+∞单调减少.

而(1)0,0,()0,()2 2.g x g x f x x =>-剟故当时即（步骤3） …………12分

21．（本小题满分12分）

如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l MN ⊥，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．

（I ）设1

2

e =

，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．

【测量目标】椭圆方程，直线斜率，直线与椭圆的位置关系，直线与直线的平行，不等式的应用.

【考查方式】给出两椭圆之间的线段关系，进而设出椭圆和直线方程，求出对应线段的比例关系；将平行直线转化为斜率相等的条件，代入式后求出离心率的范围.

【试题解析】

（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设

22222

122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a

+=+=>>

设直线:(||)l x t

t a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得

2222

(,

),(,).a b A t a t B t a t b a

-- （步骤1）………………4分 当13,,,22

A B e b a y y =

=时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4

B A y b B

C A

D y a === （步骤2）………………6分

（II ）t =0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO //AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率

k AN 相等，即

2222

,b a a t a t a b t t a

--=-

解得22

2

221.ab e t a a b e

-=-=--g (步骤1) 因为2212

||,01,1, 1.2e t a e e e

-<<<<<<又所以解得 所以当2

02

e <…

时，不存在直线l ，使得BO //AN ； 当

2

12

e <<时，存在直线l 使得BO //AN . （步骤2） ………………12分 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ．

（I ）证明：CD //AB ；

（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，

G ，F 四点共圆．

【测量目标】直线与圆的位置关系，直线的平行.

【考查方式】根据圆的性质和直线的位置关系证明出线段的平行；结合圆和三角形中的角度关系证明圆上各点对应关系. 【试题解析】

（I ）因为EC =ED ，所以∠EDC =∠ECD .（步骤1）

因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC =∠EBA .（步骤2） 故∠ECD =∠EBA ，

所以CD //AB . （步骤3）…………5分

（II ）由（I ）知，AE =BE ，因为EF =EG ，故∠EFD =∠EGC

从而∠FED =∠GEC . (步骤1)

连结AF ，BG ，则△EF A ≌△EGB ，故∠F AE =∠GBE ，（步骤2） 又CD //AB ，∠EDC =∠ECD ，所以∠F AB =∠GBA . 所以∠AFG +∠GBA =180°.

故A ，B ，G ，F 四点共圆 （步骤3）…………10分 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为???==??sin cos y x （?为参数），曲线C 2

的参数方程为?

??==??

sin cos b y a x （0>>b a ，?为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极

轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=

π

2

时，这两个交点重合． （I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； （II ）设当α=

π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=π

4

-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积． 【测量目标】圆和椭圆的参数方程，梯形的面积.

【考查方式】根据射线与圆和椭圆的位置关系求出参数方程中各参数，进而求出交点横坐标由此得出梯形的面积.

【试题解析】

（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.（步骤1）

当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两

点间的距离为2，所以a =3. 当π

2

α=

时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1.（步骤2）

（II ）C 1，C 2的普通方程分别为2

2

2

21 1.9

x x y y +=+=和（步骤1） 当π

4

α=

时，射线l 与C 1交点A 1

的横坐标为2x =，与C 2交点B 1的横坐标为

x '=

当π

4

α=-

时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，（步骤2）

因此，四边形A 1A 2B 2B 1为梯形. 故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为

(22)()2

.25

x x x x ''+-= （步骤3）…………10分

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数)(x f =|2x -||-5x -|． （I ）证明： 3()

3f x -剟；

（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．

【测量目标】不等式的证明，分段函数和集合的基本运算. 【考查方式】对绝对值函数的分段讨论，进而得出不等式的解集. 【试题解析】

（I ）3,

2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -??

=---=-<

?…(步骤1)

当25,327 3.x x <<-<-<时

所以3() 3.f x -剟 （步骤2）………………5分

（II ）由（I ）可知， 当22,()

815x f x x x -+时剠的解集为空集；

当2

25,()815{|5x f x x x x x <<-+-时的解集为≤厔；

当25,()

815{|26}x f x x x x x

-+时的解集为厖剟.（步骤1）

综上，不等式2

()815{|56}.f x x x x x -+的解集为厔?

（步骤2）…………10分