2019-2020学年高中数学第三章《概率》测试题(一)新人教B版必修2.doc

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2023-2024学年山东省高中数学人教B版必修二统计与概率同步测试-3-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年山东省高中数学人教B 版必修二统计与概率同步测试(3)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1616.3216.3415.961. 矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为（）A. B. C. D.2. 甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A. B. C. D.6306156005703. 某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生（）A. B. C. D. 1个2个3个4个4. 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，甲表示事件“第一枚骰子掷出的点数是1”，乙表示事件“第二枚骰子掷出的点数是2”，丙表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是8”，丁表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是7”，则下列说法正确的有（）①甲与乙相互独立②乙与丁相互独立③乙与丙不互斥但相互独立④甲与丙互斥但不相互独立A. B. C. D.5. 盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为（）A.B.C.D.6805854671596. 某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001，002，003……899，900.若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.则样本编号的75%分位数为（）05 26 93 70 60 22 35 85 58 51 51 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48A. B. C. D. 100万元10万元7.5万元 6.25万元7. 一商场在某日促销活动中，对9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售为（）A. B. C. D. 0.800.750.600.488. 周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估计做对第二道题的概率为（）A. B. C. D. 9. 如图，点是正方形两条对角线的交点.从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么这两个点关于点对称的概率为（）A. B. C. D.1210.右图实线是函数y=f （x ）（0≤x≤2a ）的图象，它关于点A （a ，a ）对称．如果它是一条总体密度曲线，则正数a 的值为（）A. B. C. D.11. 容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：（10，20]，2；（20，30]，3；（30，40]，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，2．则样本在区间（10，50]上的频率为（）0.50.70.250.05A. B. C. D. 2436464712. 从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，，50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（）（注：表为随机数表的第1行与第2行）0347437386369647366146986371629774246792428114572042533237321676A. B. C. D. 13. 《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（" "表示一根阳线，" "表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为.14. 某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人，为了了解普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层随机抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是．15. 利用简单抽样法抽查某校150名男学生，其中身高为1.65米的有32人，若在此校随机抽查一名男学生，则他身高为1.65米的概率大约为．(保留两位小数)16. 设随机变量ξ只可能取5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P （ξ≥9）= ；P （6＜ξ≤14）= ．17. 某风景区对，两个旅游景点一周内的日游客数量（单位：千人）进行了一次调查，统计数据如下茎叶图所示.(1) 以各组平均数为依据，试比较哪个景点更加吸引游客；(2) 若，两个旅游景点的门票价格分别为20元/人和30元/人，以各景点平均日游客数量估计每日游客数量，预计该风景区在这两景点一个月（30天）的门票收入.18. 某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：周跑量（周）人数100120130180220150603010(1) 在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图：(2) 根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）.(3) 根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表：周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？19. 顺义某商场举行有奖促销活动，顾客购买满一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有8个红球、4个黑球的甲箱和装有6个红球、6个黑球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖，若没有红球，则不获奖.（Ⅰ）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（Ⅱ）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X的分布列和数学期望.20. 现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1) 求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2) 求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3) 用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．21. 随着如今人们生活水平的不断提高，旅游成了一种生活时尚，尤其是老年人的旅游市场在不断扩大.为了了解老年人每年旅游消费支出（单位：元）的情况，相关部门抽取了某地区名老年人进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：组别频数1202603402502010(1) 求所得样本平均数（精确到元）；(2) 根据样本数据，可近似地认为老年人的旅游费用支出X服从正态分布，若该地区共有老年人95000人，试估计有多少位老年人旅游费用支出在5000元以上；(3) 已知样本数据中旅游费用支出在范围内的10名老人中有7名女性，3名男性.现想选其中3名老人回访，记选出的男生人数为，求的分布列.附：若，，， .答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)(3)19.20.(1)(2)(3)21.(1)(2)(3)。

2020-2021学年高中数学人教B版必修第三册课后习题：6.2.2导数与函数的极值、最值

第六章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.2导数与函数的极值、最值课后篇巩固提升基础达标练1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数f'(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有()A.1个B.2个C.3个D.4个,记函数y=f'(x)的图像与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1,x2,x3,x4,当a<x<x1时,f'(x)>0;当x1<x<x2时,f'(x)<0;当x2<x<x4时,f'(x)≥0;当x4<x<b时,f'(x)<0.因此,函数f(x)分别在x=x1,x=x4处取得极大值,选B.2.(2020江西南昌高二期末)函数f(x)=a e x-sin x在x=0处有极值,则a的值为()A.-1B.0C.1D.e,得f'(x)=a e x-cos x.∵f(x)在x=0处有极值,∴f'(0)=a-cos0=a-1=0,解得a=1.经检验,满足题意,故选C.3.函数f(x)=x2·e x+1,x∈[-2,1]的最大值为()A.4e-1B.1C.e2D.3e2f'(x)=(x2+2x)e x+1=x(x+2)e x+1,∴令f'(x)=0,解得x=-2或x=0.又当x∈[-2,1]时,e x+1>0,∴当-2<x<0时,f'(x)<0;当0<x<1时,f'(x)>0.∴f(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增.又f(-2)=4e-1,f(1)=e2,∴f(x)的最大值为e2.4.当x=1时,三次函数有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数过原点,则此函数是()A.y=x 3+6x 2+9xB.y=x 3-6x 2+9xC.y=x 3-6x 2-9xD.y=x 3+6x 2-9x三次函数过原点,故可设为y=x 3+bx 2+cx ,∴y'=3x 2+2bx+c.又x=1,3是y'=0的两个根,∴{1+3=-2b3,1×3=c 3,解得{b =-6,c =9.∴y=x 3-6x 2+9x. 又y'=3x 2-12x+9=3(x-1)(x-3),∴当x=1时,f (x )极大值=4,当x=3时,f (x )极小值=0,满足条件,故选B .5.(2020山东省山东师范大学附中高三月考)函数f (x )=x+2cos x 在区间[0,π]上的最大值为( ) A.2B.√3+π6C.√3+5π6D.π-2(x )=1-2sin x ,x ∈[0,π].令f'(x )>0,解得x<π6或x>5π6, 令f'(x )<0,解得π6<x<5π6,∴函数f (x )在0,π6和5π6,π上单调递增,在π6,5π6上单调递减,∴f (x )的极大值为fπ6=√3+π6,f (x )的极小值为f 5π6=5π6−√3,又f (0)=2,f (π)=π-2,故所求最大值为√3+π6.6.已知曲线f (x )=x 3+ax 2+bx+1在点(1,f (1))处的切线斜率为3,且x=23是y=f (x )的极值点,则a+b= .f'(x )=3x 2+2ax+b ,∴{f '(1)=3,f '(23)=0,即{3+2a +b =3,43+43a +b =0.解得a=2,b=-4,∴a+b=2-4=-2.27.设a ∈R ,若函数y=e x +ax (x ∈R )有大于零的极值点,则a 的取值范围为 .y=e x +ax ,∴y'=e x +a.令y'=e x +a=0,则e x =-a ,即x=ln(-a ),又∵x>0,∴-a>1,即a<-1.-∞,-1)8.函数f (x )=x 3-3x 2-9x+k 在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为 .(x )=3x 2-6x-9=3(x-3)(x+1).由f'(x )=0,得x=3或x=-1.又f (-4)=k-76,f (3)=k-27,f (-1)=k+5,f (4)=k-20,则f (x )max =k+5=10,得k=5,∴f (x )min =k-76=-71.719.已知f (x )=ax 3+bx 2+cx (a ≠0)在x=±1处取得极值,且f (1)=-1. (1)试求常数a ,b ,c 的值;(2)试判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由.(x )=3ax 2+2bx+c ,(1)(方法一)∵x=±1是函数的极值点,∴x=±1是方程3ax 2+2bx+c=0的两根.由根与系数的关系,得{-2b=0,①c 3a =-1,②又f (1)=-1,∴a+b+c=-1,③ 由①②③解得a=12,b=0,c=-32.(方法二)由f'(1)=f'(-1)=0,得3a+2b+c=0,① 3a-2b+c=0,②又f (1)=-1,∴a+b+c=-1,③ 由①②③解得a=12,b=0,c=-32. (2)由(1),知f (x )=12x 3-32x ,∴f'(x )=32x 2-32=32(x-1)(x+1).当x<-1或x>1时,f'(x )>0, 当-1<x<1时,f'(x )<0.∴函数f (x )在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上是减函数.∴当x=-1时,函数取得极大值,x=-1为极大值点;当x=1时,函数取得极小值,x=1为极小值点. 10.设函数f (x )=ln(2x+3)+x 2. (1)讨论f (x )的单调性;(2)求f (x )在区间[-34,14]上的最大值和最小值.f (x )的定义域为(-32,+∞).(1)f'(x )=22x+3+2x=4x 2+6x+22x+3=2(2x+1)(x+1)2x+3.当-32<x<-1时,f'(x )>0; 当-1<x<-12时,f'(x )<0; 当x>-12时,f'(x )>0,从而f (x )在区间(-32,-1),(-12,+∞)上单调递增,在区间(-1,-12)上单调递减. (2)由(1)知,f (x )在区间[-34,14]上的最小值为f (-12)=ln2+14.又因为f (-34)-f (14)=ln 32+916-ln 72−116=ln 37+12=12(1-ln 499)<0,所以f (x )在区间[-34,14]上的最大值为f (14)=116+ln 72.能力提升练1.(多选)(2020建湖第二中学高二开学考试)关于函数f (x )=e x -2,下列结论不正确的是( ) A.f (x )没有零点 B.f (x )没有极值点 C.f (x )有极大值点D.f (x )有极小值点f (x )=0,解得x=ln2,所以f (x )有零点,所以A 选项不正确.f'(x )=e x >0,所以f (x )在R 上递增,没有极值点,所以B 选项正确,CD 选项不正确.故选ACD .2.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx-a 2-7a 在x=1处取得极大值10,则a的值为( ) A.-23B.-2C.-2或-23D.不存在f'(x )=3x 2+2ax+b ,且f (x )在x=1处取得极大值10,∴f'(1)=3+2a+b=0,f (1)=1+a+b-a 2-7a=10, ∴a 2+8a+12=0,∴a=-2,b=1或a=-6,b=9.当a=-2,b=1时,f'(x )=3x 2-4x+1=(3x-1)(x-1). 当13<x<1时,f'(x )<0,当x>1时,f'(x )>0,∴f (x )在x=1处取得极小值,与题意不符.当a=-6,b=9时,f'(x )=3x 2-12x+9=3(x-1)(x-3); 当x<1时,f'(x )>0,当1<x<3时,f'(x )<0,∴f (x )在x=1处取得极大值,符合题意; ∴ab =-69=-23.3.(2020旬邑中学高二月考)函数f (x )=4x-ln x 的最小值为( ) A.1+2ln 2 B.1-2ln 2 C.1+ln 2D.1-ln 2(x )=4-1x =4x -1x ,x>0.令f'(x )>0,得x>14;令f'(x )<0,得0<x<14.所以当x=14时,函数有最小值为f 14=4×14-ln 14=1+ln4=1+2ln2.故选A .4.(2019江苏南京高三期中)定义在0,π2的函数f (x )=8sin x-tan x 的最大值为 .f (x )=8sin x-tan x ,那么f'(x )=8cos x-1cos 2x=8cos 3x -1cos 2x, 令f'(x )=0,得cos x=12.∵x ∈0,π2,∴x=π3.当x ∈0,π3时,f'(x )>0,函数f (x )在区间0,π3上是增函数; 当x ∈π3,π2时,f'(x )<0,函数f (x )在区间π3,π2上是减函数.∴当x=π3时,函数f (x )取得最大值为3√3.√35.若函数f (x )=x 3+x 2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a 的取值范围为 .f'(x )=3x 2+2x-a ,函数f (x )在区间(-1,1)上恰有一个极值点, 即f'(x )=0在(-1,1)内恰有一个根. 又函数f'(x )=3x 2+2x-a 的对称轴为x=-13,∴应满足{f '(-1)≤0,f '(1)>0,∴{3-2-a ≤0,3+2-a >0, ∴1≤a<5.6.已知函数f (x )=a2+2ln x ,若当a>0时,f (x )≥2恒成立,则实数a 的取值范围是 .f (x )=a2+2ln x ,得f'(x )=2(x 2-a )3,又函数f (x )的定义域为(0,+∞),且a>0,令f'(x )=0,得x=-√a (舍去)或x=√a .当0<x<√a 时,f'(x )<0;当x>√a 时,f'(x )>0.故x=√a 是函数f (x )的极小值点,也是最小值点,且f (√a )=ln a+1. 要使f (x )≥2恒成立,需ln a+1≥2恒成立,则a ≥e .+∞)7.设f (x )=a ln x+12x +32x+1,其中a ∈R ,曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于y 轴. (1)求a 的值; (2)求函数f (x )的极值.因为f (x )=a ln x+12x +32x+1,故f'(x )=a x−12x 2+32.由于曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于y 轴,故该切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-12+32=0,解得a=-1.(2)由(1),知f (x )=-ln x+12x +32x+1(x>0),f'(x )=-1x −12x 2+32=3x 2-2x -12x 2=(3x+1)(x -1)2x 2.令f'(x )=0,解得x 1=1,x 2=-13.因为x 2=-13不在定义域内,舍去.当x ∈(0,1)时,f'(x )<0,故f (x )在(0,1)上为减函数;当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,故f (x )在(1,+∞)上为增函数.故f (x )在x=1处取得极小值,且f (1)=3. 8.(2020天津)已知函数f (x )=x 3+k ln x (k ∈R ),f'(x )为f (x )的导函数. (1)当k=6时,①求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; ②求函数g (x )=f (x )-f'(x )+9x 的单调区间和极值;(2)当k ≥-3时,求证:对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,有f '(x 1)+f '(x 2)2>f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2.当k=6时,f (x )=x 3+6ln x ,故f'(x )=3x 2+6x .可得f (1)=1,f'(1)=9,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-1=9(x-1),即y=9x-8.②依题意,g (x )=x 3-3x 2+6ln x+3x ,x ∈(0,+∞).从而可得g'(x )=3x 2-6x+6x −3x 2,整理可得g'(x )=3(x -1)3(x+1)x 2.令g'(x )=0,解得x=1.当x 变化时,g'(x ),g (x )的变化情况如下表:所以,函数g (x )的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);g (x )的极小值为g (1)=1,无极大值.f (x )=x 3+k ln x ,得f'(x )=3x 2+kx.对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,令x 1x 2=t (t>1),则(x 1-x 2)[f'(x 1)+f'(x 2)]-2[f (x 1)-f (x 2)]=(x 1-x 2)3x 12+k x 1+3x 22+kx2-2x 13−x 23+k ln x1x 2=x 13−x 23-3x 12x 2+3x 1x 22+kx 1x 2−x 2x 1-2k lnx 1x 2=x 23(t 3-3t 2+3t-1)+k t-1t-2ln t .①令h (x )=x-1x-2ln x ,x ∈[1,+∞).当x>1时,h'(x )=1+1x 2−2x =(1-1x )2>0, 由此可得h (x )在[1,+∞)单调递增, 所以当t>1时,h (t )>h (1),即t-1t-2ln t>0. 因为x 2≥1,t 3-3t 2+3t-1=(t-1)3>0,k ≥-3,所以,x 23(t 3-3t 2+3t-1)+k t-1t -2ln t ≥(t 3-3t 2+3t-1)-3t-1t -2ln t =t 3-3t 2+6ln t+3t -1.② 由(1)②可知,当t>1时,g (t )>g (1),即t 3-3t 2+6ln t+3t >1,故t 3-3t 2+6ln t+3t-1>0. ③由①②③可得(x 1-x 2)[f'(x 1)+f'(x 2)]-2[f (x 1)-f (x 2)]>0. 所以,当k ≥-3时,对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,有f '(x 1)+f '(x 2)2>f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2. 素养培优练1.(2020全国Ⅰ)已知函数f (x )=e x +ax 2-x. (1)当a=1时,讨论f (x )的单调性;(2)当x ≥0时,f (x )≥12x 3+1,求a 的取值范围.当a=1时,f (x )=e x +x 2-x ,f'(x )=e x +2x-1.故当x ∈(-∞,0)时,f'(x )<0;当x ∈(0,+∞)时,f'(x )>0. 所以f (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)f (x )≥12x 3+1等价于(12x 3-ax 2+x +1)e -x ≤1.设函数g (x )=(12x 3-ax 2+x +1)e -x (x ≥0), 则g'(x )=-12x 3-ax 2+x+1-32x 2+2ax-1e -x =-12x [x 2-(2a+3)x+4a+2]e -x =-12x (x-2a-1)(x-2)e -x .①若2a+1≤0,即a ≤-12,则当x ∈(0,2)时,g'(x )>0.所以g (x )在(0,2)上单调递增,而g (0)=1, 故当x ∈(0,2)时,g (x )>1,不合题意.②若0<2a+1<2,即-12<a<12,则当x ∈(0,2a+1)∪(2,+∞)时,g'(x )<0;当x ∈(2a+1,2)时,g'(x )>0.所以g (x )在(0,2a+1),(2,+∞)上单调递减,在(2a+1,2)上单调递增.由于g (0)=1,所以g (x )≤1当且仅当g (2)=(7-4a )e -2≤1,即a ≥7-e 24.所以当7-e 24≤a<12时,g (x )≤1.③若2a+1≥2,即a ≥12,则g (x )≤12x 3+x+1e -x .由于0∈7-e 24,12,故由②可得12x 3+x+1e -x ≤1.故当a ≥12时,g (x )≤1. 综上,a 的取值范围是[7-e 24,+∞). 2.(2020云南保山高二月考)已知函数g (x )=x,f (x )=g (x )-ax. (1)若函数f (x )在(1,+∞)上是减函数,求实数a 的最小值;(2)若存在x 1,x 2∈[e,e 2],使f (x 1)≤f'(x 2)+a (a>0)成立,求实数a 的取值范围.g (x ),f (x )的定义域均为(0,1)∪(1,+∞),且f (x )=x-ax (a>0).(1)函数g'(x )=lnx -x ·1x (lnx )2=lnx -1(lnx )2,因为f (x )在(1,+∞)上为减函数,故f'(x )=lnx -1(lnx )2-a ≤0在(1,+∞)上恒成立.所以当x ∈(1,+∞)时,f'(x )max ≤0. 又f'(x )=lnx -1(lnx )2-a=-1lnx 2+1lnx -a=-1lnx −122+14-a ,故当1lnx =12,即x=e 2时,f'(x )max =14-a.所以14-a ≤0,于是a ≥14,故a 的最小值为14.(2)命题“若存在x 1,x 2∈[e,e 2],使f (x 1)≤f'(x 2)+a 成立”等价于“当x ∈[e,e 2]时,有f (x )min ≤f'(x )max +a ”.由(1),知当x ∈[e,e 2]时,f'(x )max =14-a ,∴f'(x )max +a=14.问题等价于“当x ∈[e,e 2]时,有f (x )min ≤14”.①当a ≥14时,由(1),f (x )在[e,e 2]上为减函数,则f (x )min =f (e 2)=e22-a e 2≤14,故a ≥12−14e 2. ②当0<a<14时,由于f'(x )=-1lnx −122+14-a 在[e,e 2]上为增函数, 故f'(x )的值域为[f'(e),f'(e 2)],即[-a ,14-a].由f'(x )的单调性和值域知,存在唯一x 0∈(e,e 2),使f'(x 0)=0,且满足: 当x ∈(e,x 0)时,f'(x )<0,f (x )为减函数; 当x ∈(x 0,e 2)时,f'(x )>0,f (x )为增函数;所以,f (x )min =f (x 0)=x 0lnx 0-ax 0≤14,x 0∈(e,e 2).所以,a ≥1lnx 0−14x 0>1lne 2−14e >12−14=14,与0<a<14矛盾,不合题意.综上,得a ≥12−14e 2. 莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

2022年秋高中数学第三章排列组合与二项式定理测评试题一新人教B版选择性必修第二册

第三章测评(一)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.排列数A 42=( ) A.6 B.8C.12D.242.5人站成一排,甲乙之间恰有一个人的站法有 ( )A.18种B.24种C.36种D.48种3.(2021安徽合肥肥东期中)x+1√x38的展开式中的常数项为( )A.8B.28C.56D.704.(2021北京西城校级期中)从2,4中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位奇数的个数为( ) A.36 B.24C.18D.125.若将4个学生录取到某大学的3个不同专业,且每个专业至少要录取1个学生,则不同的录取方法共有( ) A.12种 B.24种C.36种D.72种6.(2021河南郑州一模)x-y 2x (x+y )5的展开式中,x 3y 3的系数为( )A.3B.5C.15D.207.(2021湖南娄底模拟)某市高中生健美操代表队运动员由2名男生和3名女生共5名同学组成,这5名同学站成一排合影留念,则3名女生中有且只有两位女生相邻的排列数共有( )A.36种B.54种C.72种D.144种8.(2021浙江期中)若二项式3x 2-12x 3n(n ∈N +)的展开式中含有常数项,则n 的最小值为( )A.4B.5C.6D.8二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.关于排列组合数,下列结论正确的是( )A.C n m =C n n -mB.C n+1m =C n m -1+C n mC.A n m =m A n -1m -1D.A n m +m A n m -1=A n+1m10.已知2x+1√xn的展开式中二项式系数之和为64,则下列结论正确的是( )A.展开式中各项系数之和为36B.展开式中二项式系数最大的项为160x 32C.展开式中无常数项D.展开式中系数最大的项为90x 311.(2021江苏张家港期中)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛,则下列说法正确的有( )A.如果4人中男生女生各有2人,那么有30种不同的选法B.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,那么有28种不同的选法C.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,那么有140种不同的选法D.如果4人中既有男生又有女生,那么有184种不同的选法12.若x-1xn的展开式中存在常数项,则n的取值可以是()A.3B.4C.5D.6三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.C40+C42+C44=.14.(x-2)5的展开式中x的系数是.15.设(1+x)n=a0+a1x+…+a n x n,若a1+a2+…+a n=63,则展开式中系数最大的项是.16.(2021江苏润州校级期中)某省农业厅派出6名农业技术专家(4男2女)并分成两组,到该省两个贫困县参加扶贫工作,若要求女专家不单独成组,且每组至多4人,则不同的安排方案共有种.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021山东枣庄薛城校级月考)(1)解方程:A m3=6C m4;(2)解不等式:C8x-1>3C8x.18.(12分)求x2+1x+√25的展开式中的常数项.19.(12分)(2021江苏扬州邗江校级期中)(1)已知函数f(x)=(1+x)n,n∈N+,当n=8时,求展开式中系数最大的项;(2)化简:C n02n-1+C n12n-2+C n22n-3+…+C n n2-1.20.(12分)(2021安徽合肥庐阳校级期中)某晚会上有4个歌舞类节目和3个语言类节目,分别求满足以下各条件的不同表演顺序种数.(1)前两个节目中既有歌舞类节目也有语言类节目;(2)3个语言类节目都不相邻;(3)3个语言类节目相邻,且指定的某个歌舞类节目不排在最后.12的展开式中,21.(12分)(2021上海虹口校级期中)在二项式2x3+1x(1)求该展开式中的常数项;(2)求该展开式中x4的系数;(3)求该展开式中二项式系数最大的项.22.(12分)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数.(1)在组成的三位数中,求所有偶数的个数;(2)在组成的三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如213,301,423等都是“凹数”,试求“凹数”的个数.参考答案第三章测评(一)1.C A 42=4×3=12.2.C 首先从除甲乙之外的三人中随机抽出一人放在甲乙之间,有3种可能,甲乙之间的人选出后,甲乙的位置可以互换,故甲乙的位置有2种可能,最后,把甲乙及其中间的那个人看作一个整体,与剩下的两个人全排列有A 33=6(种)可能,所以共有3×2×6=36(种)可能,故选C .3.Bx+1√x38的展开式的项T k+1=C 8k x 8-k·1√x3k=C 8k x 8-43k,令8-43k=0,解得k=6,所以T 7=C 86=C 82=8×72=28,故x+1√x38的展开式中的常数项为28.4.B 从1,3,5中选两个数字,其中一个排在个位,另一个再和从2,4中选出的一个排在十位和百位,故符合条件的奇数有C 32C 21C 21A 22=24(个).5.C 根据题意,分两步进行分析:①将4名大学生分为3组,有C 42=6(种)分组方法;②将分好的三组全排列,安排到三个专业,有A 33=6(种)情况. 则共有6×6=36(种)录取方法. 6.B (x+y )5的展开式的项T k+1=C 5k x 5-k y k,令k=3,可得x 2y 3的系数为C 53,令k=1,可得x 4y 的系数为C 51.用x 乘含x 2y 3的项,可得含x 3y 3的项;用-y 2x 乘含x 4y 的项,也能得含x 3y 3的项,故x-y 2x(x+y )5的展开式中,x 3y 3的系数为C 53−C 51=10-5=5.7.C 根据题意,分两步进行分析:①先将2名男生排好,有A 22=2(种)排法,排好后有3个空位;②将3名女生分为两组,有C 31=3(种)分组方法,安排到3个空位中,共有C 31A 22A 32=36(种)排法.一组的2名女生再排有A 22=2(种)排法,则共有2×36=72(种)不同排法.8.B3x 2-12x 3n(n ∈N +)的展开式的项T k+1=C n k ·-12k·3n-k ·x2n-5k,由于展开式中含有常数项, 所以2n-5k=0能成立, 故当k=2时,n 取得最小值5.9.ABD 根据组合数的性质可得C n m =C n n -m ,C n+1m =C n m -1+C n m,故A,B 正确;由排列数公式可得A n m =n (n-1)(n-2)…(n-m+1),而m A n -1m -1=m (n-1)(n-2)…(n-m+1),显然,n (n-1)(n-2)…(n-m+1)≠m (n-1)(n-2)…(n-m+1), 故C 不正确;A n m +m A n m -1=n (n-1)(n-2)…(n-m+1)+mn (n-1)(n-2)…(n-m+2)=n (n-1)(n-2)…(n-m+2)[(n-m+1)+m ]=(n+1)n (n-1)(n-2)…(n-m+2)=A n+1m ,故D 正确.故选ABD.10.AB2x+1√xn的展开式中二项式系数之和为2n=64,所以n=6.令x=1,可得展开式中各项系数之和为36,故A 正确; 展开式的项T k+1=C 6k ·26-k·x6-3k 2,第4项(k=3)的二项式系数最大,该项为160x 32,故B 正确; 令6-3k2=0,求得k=4,可得展开式第5项为常数项,故C 错误;由于T k+1=C 6k ·26-k·x 6-32k,检验可得,当k=2时,该项的系数取得最大值,该项为240x 3,故D 错误.11.BC 对于A,如果4人中男生女生各有2人,男生的选法有C 62=15(种),女生的选法有C 42=6(种),则4人中男生女生各有2人选法有15×6=90(种),A 错误;对于B,如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,从剩下的8人中再选2人即可,有C 82=28(种)选法,B 正确;对于C,从10人中任选4人,有C 104=210(种)选法,甲乙都不在其中的选法有C 84=70(种),故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有210-70=140(种),C 正确;对于D,从10人中任选4人,有C104=210(种)选法,只有男生的选法有C64=15(种),只有女生的选法有C44=1(种),则4人中既有男生又有女生的选法有210-15-1=194(种),D错误.12.BD因为x-1x n的展开式的第(k+1)项为Tk+1=C nk x n-k-1xk=C n k(-1)k x n-2k,若x-1xn的展开式中存在常数项,则只需n-2k=0,即n=2k,又n∈N+,k∈N,所以n只需为正偶数即可,故选BD.13.8根据题意,C40+C42+C44=1+6+1=8.14.80(x-2)5的展开式的通项为T k+1=(-2)k·C5k x5-k,令5-k=1,可得k=4,所以展开式中x的系数是(-2)4C54=80.15.20x3令x=0,得a0=1,再令x=1,得2n=64,所以n=6,故展开式中系数最大的项是T4=C63x3=20x3.16.48根据题意,分两种情况讨论:①6人分为3,3两组时,不会出现两名女专家单独成组情况,有12C63种分组方法,再对应到两个贫困县参加扶贫工作,有A22种情况,此时共有12C63A22=20(种)安排方案;②6人分为2,4两组时,有C64C22=15(种)分组方法,除去其中有1种两名女专家单独成组情况,则有14种符合条件的分组方法,再对应到两个贫困县参加扶贫工作,有A22种情况,此时共有14×A22=28(种)安排方案.故共有20+28=48(种)安排方案.17.解(1)A m 3=6C m 4可化为m (m-1)(m-2)=6×m(m -1)(m -2)(m -3)4×3×2×1,解得m=7.(2)不等式C 8x -1>3C 8x 可化为8!(8-x+1)!·(x -1)!>3×8!(8-x)!·x!,即18-x+1>3x , 又8-x+1>0且x ≥1, 不等式进一步化为x>3(9-x ), 解得x>274.所以274<x<9,且x ∈N +, 即x=7或8,故该不等式的解集为{7,8}. 18.解原式=x 2+2√2x+22x5=132x 5·[(x+√2)2]5=132x 5(x+√2)10.求原式的展开式中的常数项,转化为求(x+√2)10的展开式中含x 5的项的系数,即C 105(√2)5,所以所求的常数项为C 105(√2)532=63√22.19.解(1)由于函数f (x )=(1+x )n,n ∈N *,则当n=8时,展开式的通项为T k+1=C 8k ·x k,根据二项式系数的性质可得,当k=4时,展开式中系数最大的项为T 5=C 84·x 4=70x 4.(2)C n 02n-1+C n 12n-2+C n 22n-3+…+C n n 2-1=12×(C n 02n+C n 12n-1+C n 22n-2+…+C n n )=12×(2+1)n=3n2.20.解(1)先从歌舞类节目和语言类节目中各选1个,排在前两个节目,其他的任意排,故有C 41C 31A 22A 55=2880种;(2)4个歌舞类节目先进行全排列,再将3个语言类节目插入到4个歌舞类节目所形成的空中,有A 44A 53=1440种;(3)将3个语言类节目相邻捆绑在一起看作一个复合元素,再和除指定的某个歌舞类节目的3个歌舞类节目全排列,最后将指定的某个歌舞类节目插入到所形成的空(不包含最后一个空)中,故有A33A44A41=576(种).21.解二项式2x3+1x 12的展开式的项Tk+1=C12k(2x3)12-k1xk=212-k C12k x36-4k,(1)令36-4k=0,得k=9,故常数项为T10=C12923=1760;(2)令36-4k=4,得k=8,故T9=C12824x4=7920x4,故该展开式中x4的系数为7920.(3)二项式2x3+1x 12的展开式中二项式系数最大的项为T7=C12626x12=59136x12.22.解(1)当个位是0时,十位和百位从四个元素中选两个进行排列有A42=12(种)结果,当个位不是0时,只能从2和4中选一个,百位从三个元素中选一个,十位从三个元素中选一个有A21A31A31=18(种)结果,根据分类加法计数原理可得,共有12+18=30(种)结果.(2)十位上的数为0时,“凹数”有4×3=12(个),十位上的数为1时,“凹数”有3×2=6(个),十位上的数为2时,“凹数”有2×1=2(个),根据分类加法计数原理可得,共有12+6+2=20(个)“凹数”.。

2019-2020学年高中数学人教B版必修3：阶段质量检测(三) 概率 Word版含解析

阶段质量检测（三）概率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中随机事件的个数为( )①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，两次都出现2点； ②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉； ③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，第二次生男孩； ⑤在标准大气压下，水加热到90 °C 会沸腾． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①③④都有可能发生，也可能不发生，故是随机事件；对于②，在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下，水加热到90 °C 会沸腾，是不可能事件．故选C.2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有一个黑球与都是红球 B ．至少有一个黑球与都是黑球 C ．至少有一个黑球与至少有一个红球 D ．恰有1个黑球与恰有2个黑球解析：选D A 中的两个事件是对立事件，不符合要求；B 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D 中是互斥而不对立的两个事件．故选D.3．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )A.15B.25C.310 D.710解析：选B 试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A ，B )，(B ，C )，(C ，D )，(D ，E )4种，故P ＝410＝25.4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中随机取一点，则点落在四棱锥O -ABCD 内(O 为正方体的对角线的交点)的概率是( )A.13B.16解析：选B 设正方体的体积为V ，则四棱锥O -ABCD 的体积为V6，所求概率为V6V ＝16.5．在两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：选B 该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2 m ，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m ，故灯与两端距离都大于2 m 的概率为26＝13.6．从{}a ，b ，c ，d ，e 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{}a ，b ，c 的子集的概率是( ) A.35 B.25 C.14D.18解析：选C 符合要求的是∅，{}a ，{}b ，{}c ，{}a ，b ，{}a ，c ，{}b ，c ，{}a ，b ，c 共8个，而集合{}a ，b ，c ，d ，e 共有子集25＝32个，∴P ＝14.7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P (m ，n )的坐标，那么点P 在圆x 2＋y 2＝17内部的概率是( )A.19B.29C.13D.49解析：选B 点P (m ，n )的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P 在圆x 2＋y 2＝17内部只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，故概率为29.8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( ) A.110 B.18解析：选D 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，列举可得，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为315＝15.故选D.9．甲、乙、丙三人在3天节目中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( ) A.16 B.14 C.13D.12解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为13.10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为：甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有：甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3，共3个基本事件．因此P (A )＝39＝13.11．在2,0,1,6这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34B.58C.12D.14解析：选C 分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,6)，(1,2,6)，(0,1,6)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.12．设一元二次方程x 2＋Bx ＋C ＝0，若B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为( )A.112 B.736 C.1336 D.1936 解析：选D 因为B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝B 2－4C ≥0，显然B ≠1.当B ＝2时，C ＝1(1种)；当B ＝3时，C ＝1,2(2种)；当B ＝4时，C ＝1,2,3,4(4种)；当B ＝5时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)；当B ＝6时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)．故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是1936.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在边长为2的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1 000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，那么这次模拟中π的估计值是________．解析：由于芝麻落在正方形内任意位置的可能性相等，由几何概型的概率计算公式知S 内切圆S 正方形≈7761 000，即π×1222≈7761 000，解得π≈3.104.答案：3.10414．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．解析：由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1, 知该校共有教师120÷410＝300(人)．采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P ＝30300＝110. 答案：11015．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是________．解析：连接AC 交弧DE 于点F ，∠BAC ＝30°，P ＝弧EF 的长弧DE 的长＝13.答案：1316．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：如图所示，圆周上使的长度等于1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧长为2，点B 落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，所以劣弧的长度小于1的概率为23.答案：23三、解答题(本大题共6题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：(1)(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A ，求P (A )；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？解：(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.(2)当n 充分大时，出现次品的频率mn在0.05附近摆动，故P (A )≈0.05.(3)设进货衬衣x 件，为保证1 000件衬衣为正品，则(1－0.05)x ≥1 000，得x ≥1 053. ∴至少需进货1 053件衬衣．18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．解：将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．(1)用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝615＝25.(2)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝8 15.19．(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．解：(1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝320＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c＝220＝0.1.从而a＝1－0.2－0.45－0.1－0.15＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(2)从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个．设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．故所求的概率P(A)＝410＝0.4.20．(本小题满分12分)投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9种，其中落在区域C：x2＋y2≤10上的点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)共4种，故点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率为4 9 .(2)区域M 为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C 的面积为10π，则豆子落在区域M 上的概率为25π.21．(本小题满分12分)从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．解：(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A ＝错误!.因为事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，b )，共9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝错误!.事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49.22.(本小题满分12此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样本中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个数数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2. 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2. 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记“抽取的这2件商品来自相同地区”为事件D ，则事件D 包含的基本事件有 {B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P(D)＝4 15，即这2件商品来自相同地区的概率为415.。

人教版高中数学必修二第三章单元测试(一)及参考答案

2018-2019学年必修二第三章训练卷直线与方程(一)注意事项：1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则必有( )A.k 1<k 3<k 2B.k 3<k 1<k 2C.k 1<k 2<k 3D.k 3<k 2<k 12.直线x ＋2y －5＝0与2x ＋4y ＋a ＝0之间的距离为5,则a 等于( ) A.0B.－20C.0或－20D.0或－103.若直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0与l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行,则a 的值是( ) A.－3B.2C.－3或2D.3或－24.下列说法正确的是( )A.经过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B.经过定点A (0,b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C.不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示 D.经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示5.点M (4,m )关于点N (n ,－3)的对称点为P (6,－9),则( ) A.m ＝－3,n ＝10 B.m ＝3,n ＝10 C.m ＝－3,n ＝5D.m ＝3,n ＝56.以A (1,3),B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A.3x －y －8＝0 B.3x ＋y ＋4＝0 C.3x －y ＋6＝0D.3x ＋y ＋2＝07.过点M (2,1)的直线与x 轴,y 轴分别交于P ,Q 两点,且|MP |＝|MQ |,则l 的方程是( ) A.x －2y ＋3＝0 B.2x －y －3＝0 C.2x ＋y －5＝0D.x ＋2y －4＝08.直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点,则该点的坐标是( ) A.(－2,1)B.(2,1)C.(1,－2)D.(1,2)9.如果AC <0且BC <0,那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.直线2x ＋3y －6＝0关于点(1,－1)对称的直线方程是( ) A.3x －2y ＋2＝0 B.2x ＋3y ＋7＝0 C.3x －2y －12＝0D.2x ＋3y ＋8＝011.已知点P (a ,b )和Q (b －1,a ＋1)是关于直线l 对称的两点,则直线l 的方程是( ) A.x ＋y ＝0 B.x －y ＝0C.x ＋y －1＝0D.x －y ＋1＝012.设x ＋2y ＝1,x ≥0,y ≥0,则x 2＋y 2的最小值和最大值分别为( ) A.15,1 B.0,1C.0,15D.15,2二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.不论a 为何实数,直线(a ＋3)x ＋(2a －1)y ＋7＝0恒过第________象限. 14.原点O 在直线l 上的射影为点H (－2,1),则直线l 的方程为______________. 15.经过点(－5,2)且横、纵截距相等的直线方程是____________________. 16.与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且在两坐标轴上截距之和为73的直线l 的方程为______________. 三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号17.(10分)已知直线2x＋(t－2)y＋3－2t＝0,分别根据下列条件,求t的值：(1)过点(1,1)；(2)直线在y轴上的截距为－3.19.(12分)光线从A(－3,4)点出发,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的C点, 18.(12分)直线l过点(1,4),且在两坐标轴上的截距的积是18,求此直线的方程.又被y轴反射,这时反射光线恰好过D(－1,6)点,求直线BC的方程.20.(12分)如图所示,某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2),B(4,0),一条河所在的直线方程为l：x＋2y－10＝0,若在河边l上建一座供水站P,使之到A,B两镇的管道最省,那么供水站P应建在什么地方？21.(12分)已知△ABC的顶点A为(3,－1),AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y－59＝0,∠B的平分线所在直线方程为x－4y＋10＝0,求BC边所在直线的方程.22.(12分)已知直线l过点P(3,1),且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长度为5,求直线l的方程.2018-2019学年必修二第三章训练卷直线与方程(一)答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.【答案】A【解析】由于直线1l 向左倾斜,故10k <,直线2l 与直线3l 均向右倾斜,且2l 更接近y 轴,所以：1320k k k <<<,故选A. 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】D【解析】斜率有可能不存在,截距也有可能不存在.故选D. 5.【答案】D【解析】由对称关系462n =+,239m -=-,可得m ＝3,n ＝5.故选D. 6.【答案】B【解析】所求直线过线段AB 的中点(－2,2),且斜率k ＝－3, 可得直线方程为3x ＋y ＋4＝0.故选B. 7.【答案】D【解析】由题意可知M 为线段PQ 的中点,Q (0,2),P (4,0), 可求得直线l 的方程x ＋2y －4＝0.故选D. 8.【答案】A【解析】将原直线化为点斜式方程为y －1＝m (x ＋2), 可知不论m 取何值直线必过定点(－2,1).故选A. 9.【答案】C【解析】将原直线方程化为斜截式为A Cy x B B=--,由AC <0且BC <0,可知AB >0,直线斜率为负,截距为正,故不过第三象限.故选C. 10.【答案】D【解析】所求直线与已知直线平行,且和点(1,－1)等距,不难求得直线为2x ＋3y ＋8＝0.故选D. 11.【答案】D 【解析】∵k PQ ＝11a bb a+---＝－1,∴k l ＝1.显然x －y ＝0错误,故选D.12.【答案】A【解析】x 2＋y 2为线段AB 上的点与原点的距离的平方,由数形结合知, O 到线段AB 的距离的平方为最小值,即d 2＝15,|OB |2＝1为最大值.故选A.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.【答案】二【解析】直线方程可变形为：(3x －y ＋7)＋a (x ＋2y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＋7＝0x ＋2y ＝0得,⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1. ∴直线过定点(－2,1).因此直线必定过第二象限. 14.【答案】2x －y ＋5＝0【解析】所求直线应过点(－2,1)且斜率为2,故可求直线为2x －y ＋5＝0. 15.【答案】y ＝－25x 或x ＋y ＋3＝0【解析】不能忽略直线过原点的情况. 16.【答案】3x ＋4y －4＝0【解析】所求直线可设为3x ＋4y ＋m ＝0,再由－3m －4m ＝73,可得m ＝－4.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.【答案】(1)3；(2)95.【解析】(1)代入点(1,1), 得2＋(t －2)＋3－2t ＝0,则t ＝3.(2)令x ＝0,得y ＝232t t --＝－3,解得t ＝95.18.【答案】2x ＋y －6＝0或8x ＋y －12＝0. 【解析】设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1,则18141ab a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得36a b =⎧⎨=⎩或3212a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 则直线l 的方程2x ＋y －6＝0或8x ＋y －12＝0. 19.【答案】5x －2y ＋7＝0. 【解析】如图所示,由题设,点B 在原点O 的左侧,根据物理学知识,直线BC 一定过(－1,6)关于y 轴的对称点(1,6),直线AB 一定过(1,6)关于x 轴的对称点(1,－6)且k AB ＝k CD , ∴k AB ＝k CD ＝4631+--＝－52.∴AB 方程为y －4＝－52(x ＋3). 令y ＝0,得x ＝－75,∴B 7,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.CD 方程为y －6＝－52(x ＋1). 令x ＝0,得y ＝72,∴C 70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴BC 的方程为75x -＋72y＝1,即5x －2y ＋7＝0.20.【答案】见解析. 【解析】如图所示,过A 作直线l 的对称点A ′,连接A ′B 交l 于P , 若P ′(异于P )在直线上,则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |. 因此,供水站只有在P 点处,才能取得最小值,设A ′(a ,b ), 则AA ′的中点在l 上,且AA ′⊥l ,即1221002221112a b a a ++⎧+⨯-=⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⋅-=- ⎪⎪-⎝⎭⎩解得36a b =⎧⎨=⎩即A ′(3,6).所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得38113611x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫3811，3611.故供水站应建在点P ⎝⎛⎭⎫3811，3611处. 21.【答案】2x ＋9y －65＝0. 【解析】设B (4y 1－10,y 1),由AB 中点在6x ＋10y －59＝0上,可得：114716+1059=22y y --⋅⋅-0,y 1＝5, 所以B (10,5).设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′,y ′), 则有3141002211134x y y x ''''⎧+--⋅+=⎪⎪⎨+⎪⋅=-⎪-⎩⇒A ′(1,7),∵点A ′(1,7),B (10,5)在直线BC 上,∴51075110y x --=--,故BC ：2x ＋9y －65＝0. 22.【答案】x ＝3或y ＝1.【解析】若直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为x ＝3,此时与直线l 1,l 2的交点分别为A (3,－4),B (3,－9).截得的线段AB 的长为|AB |＝|－4＋9|＝5,符合题意. 若直线l 的斜率存在,则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1.解方程组()311y k x x y ⎧=-+⎪⎨++=0⎪⎩得321411k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩所以点A 的坐标为3241,11k k k k --⎛⎫- ⎪++⎝⎭.解方程组()316y k x x y ⎧=-+⎪⎨++=0⎪⎩得371911k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩,所以点B 的坐标为3791,11k k k k --⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因为|AB |＝5,所以2232374191=251111k k k k k k k k --⎡--⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 解得k ＝0,即所求直线为y ＝1.综上所述,所求直线方程为x ＝3或y ＝1.。

2019-2020学年人教B版数学必修3课时跟踪检测：第2章 2.1 2.1.2系统抽样 Word版含解析

第二章统计2.1随机抽样2.1.2系统抽样课时跟踪检测[A组基础过关]1．系统抽样适用的总体应是()A．容量较少的总体B．总体容量较多，个体差异不大C．个体数较多但均衡的总体D．任何总体解析：与简单随机抽样相比，系统抽样的适用范围应是总体中的个体数目较多且含有的个体均衡．答案：C2．用系统抽样的方法从个体数为1 003的总体中抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性是()A．11 000B．11 003C．501 003D．120解析：系统抽样中，每个个体被抽到的可能性为nN，即501 003.答案：C3．为了了解参加一次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体应随机剔除的个体数目为()A．2 B．4C．5 D．6解析：∵1 252＝50×25＋2，∴应从总体中随机剔除2个个体．答案：A4．为了了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为()A．24 B．25C ．26D ．28解析：每组的容量为5 000200＝25. 答案：B 5．(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( )A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生解析：由系统抽样可知，第一组学生的编号为1～10，第二组学生的编号为11～20，…，最后一组学生的编号为991～1 000.设第一组取到的学生编号为x ，则第二组取到的学生编号为x ＋10，以此类推，所取得的学生编号为10的倍数加x .因为46号学生被抽到，所以x ＝6，所以616号学生被抽到，故选C ．答案：C6．某学校有学生4 022人，为调查学生对2017年国际乒乓球比赛的了解状况，现用系统抽样方法抽取一个容量为30的样本，则分段间隔为________．解析：∵4 02230不是整数，故应从4 022名学生中随机剔除2名，再确定分段间隔4 02030＝134.答案：1347．一个总体的60个个体的编号为0,1,2，…，59，现从中抽取一个容量为10的样本，请根据号按被6除余3的方法取足样本，则抽取的样本号码是______________．解析：起始号码为3，将3加上6的整数倍得样本号码，故填3,9,15,21,27,33,39,45,51,57. 答案：3,9,15,21,27,33,39,45,51,578．为了调查某路口一个月的车流量情况，交警采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为交警这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？解：交警所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可．如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.[B 组技能提升]1．总体容量为524，若采用系统抽样法抽样，当抽样间隔为多少时不需要剔除个体( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：∵524＝4×131，∴抽样间隔为4时，不需要剔除个体．答案：B2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽取的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15解析：由系统抽样规则可知，抽到的32人的编号为9,39,69，….落在[451,750]内的有459,489，…，729共10个，故选C ．答案：C3．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽取10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．解析：由题可知，分段间隔为5010＝5，又第三组中抽得的号码为12，∴抽取的号码依次为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47，∴第八组中抽得的学生号码为37.答案：374．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 号码的个位数字相同，若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是________．解析：根据题目中的规定，若m ＝6，第7组中抽取的号码个位数字与m ＋k ＝6＋7＝13的个位数字相同为3，又第7组的号码是60,61,62,63,64，…，69，其号码个位数字是3的仅有63，所以在第7组中抽取的号码是63.答案：635．要从1 002个学生中选取一个容量为20的样本．试用系统抽样的方法给出抽样过程．解：第一步：将1 002名学生用随机方式编号；第二步：从总体中剔除2人(剔除方法可用随机数表法)，将剩下的1 000名学生重新编号(编号分别为000,001,002，…，999)，并分成20段；第三步：在第一段000,001,002，…，049这五十个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如003)作为起始号码；第四步：将编号为003,053,103，…，953的个体抽出，组成样本．6．下面给出某村委调查本村各户收入情况所作的抽样，阅读并回答问题：本村人口：1 200人，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30户；抽样间隔：1 20030＝40；确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为12；确定第一样本户：编号的后两位数为12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52,52号为第二样本户；…(1)该村委采用了何种抽样方法？(2)抽样过程中存在哪些问题，并修改；(3)何处是用简单随机抽样？解：(1)系统抽样．(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样，抽样间隔为30030＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为12，确定第一样本户：编号为12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋10＝22,22号为第二样本户．(3)确定随机数字用的是简单随机抽样．取一张人民币，编码的后两位数为12.。

2020版高中数学第三章概率3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式(选学)课件新人教B版必修3 (1)

解 (1)用树状图表示所有的结果为：
所以所有不同的结果是 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de. (2)记“恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件为 ac，ad，ae，bc，bd，be，共 6 个基本事件，所以 P(A)＝160＝0.6，即恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率为 0.6.
(1)记事件 A 为“三次颜色恰有两次同色”. ∵A 中含有基本事件个数为 m＝6， ∴P(A)＝mn ＝68＝0.75.
(2)记事件 B 为“三次颜色全相同”. ∵B 中含基本事件个数为 m＝2， ∴P(B)＝mn ＝28＝0.25. (3)记事件 C 为“三次摸到的红球多于白球”. ∵C 中含有基本事件个数为 m＝4， ∴P(C)＝48＝0.5.
教材整理 2 概率的一般加法公式(选学) 阅读教材，完成下列问题. 1.事件 A 与 B 的交(或积)：由事件 A 和 B 同时发生所构成的事件 D，称为事件 A 与 B 的交(或积)，记作 D＝A∩B(或D＝AB) . 2.设 A，B 是 Ω 的两个事件，则有 P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B) ，这就是概率的一般加法公式.
率的古典定义.
随手练 1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型.( ) (2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件.( ) (3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型.( ) (4)一个古典概型的基本事件数为 n，则每一个基本事件出现的概率都是 1 n.( )
3.2.1 古典概型 3.2.2 概率的一般加法公式(选学)
1.理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型.(难点) 2.会用列举法求古典概型的概率.(重点)

人教版高中数学必修三第三章概率选修2-3概率-高考题(3)

选修2-3概率-高考题 (3)一、选择题1.下列说法中，正确的是A ．不可能事件发生的概率为B ．随机事件发生的概率为21C ．概率很小的事件不可能发生D ．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次【答案】A【逐步提示】本题考查了概率的意义和事件发生的概率，根据概率的意义和事件发生的概率，依次判断各个选项是否正确．【详细解答】解： A.不可能事件发生的概率为0，所以A 选项正确；B.随机事件发生的概率在0与1之间，所以B 选项错误；C.概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C 选项错误；D.投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D 选项错误，故选择 A. 【解后反思】概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A 发生的频率会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率，记为P （A ）=p ；概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P （A ）=1；不可能发生事件的概率P （A ）=0．【关键词】不可能事件；随机事件；概率的意义；2.（2016甘肃省天水市，3，4分）下列事件中，必然事件是（）A ．抛掷1枚骰子，出现6点向上B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．366人中至少有2个人的生日相同D ．实数的绝对值是非负数【答案】D【逐步提示】本题考查事件的分类，解题的关键是认识到在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，只有分清各种事件才能做出正确的判断.【详细解答】解：抛掷1枚骰子，可能出现6点向上，也可能出现其它点数向上，所以A 中事件是随机事件．只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才一定相等，所以B 中事件是随机事件．由于闰年有366天，有可能出现这366人的生日一人占一天的情况，所以C 中事件不是必然事件．对于D ，由于正实数的绝对值是正数，0的绝对值是0，负实数的绝对值是正数，所以实数的绝对值一定是非负数，属于必然事件．故选择D ．【解后反思】对于B 中事件，由于阅读不细致、认真，易受思维定势的影响误认为是两条平行直线被第三条直线所截，从而认定同位角必定相等而错误地判断为必然事件．另外，本题难点在于对C 中事件的认识，可以按照“一个萝卜一个坑”的现实原理加强理解．【关键词】必然事件；随机事件．3.（2016广东省广州市，4，3分）某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0－9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码锁的概率是（）A ．101B ．91C ．31D ．21【答案】A【逐步提示】所设密码最后那个数字是0－9这十个数字中的一个，即共有10种可能，密码数字只有1种，据此可根据概率的计算公式求解结果．【详细解答】解：根据题意可知，密码锁所设密码的最后那个数字是0－9这十个数字中的一个，因此，一次就能打开该密码锁的概率是101，故选择A ．【解后反思】（1）一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率nm A P )(．（2）求较复杂随机事件的概率时，常用画树状图或列表法不重不漏地列出所有等可能结果．【关键词】概率的计算公式4.（2016广东茂名，4，3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．两条线段可以组成一个三角形B．400人中有两个人的生日在同一天C．早上的太阳从西方升起D．打开电视机，它正在播放动画片【答案】B【逐步提示】本题考查了必然事件的概念，解题的关键是正确区分必然事件与不可能事件、随机事件．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件.事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．而不确定事件（即随机事件）是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【详细解答】解：三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的，两条线段不能组成一个三角形，选项A中的事件属于不可能事件；一年有365天或366天，由于400>365，400＞366，因此400人中必有两个人的生日在同一天，选项B中的事件属于必然事件；根据自然规律，早上的太阳从东方升起，选项C中的事件属于不可能事件；打开电视机，它不一定正在播放动画片，选项D中的事件属于随机事件. 故选择 B .【解后反思】事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．【关键词】不可能事件；必然事件；随机事件5.（2016湖北宜昌，6，3分）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法来估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次，50次，100次，200次，其中实验相对科学的是（）A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组【答案】D【逐步提示】本题考查了用频率估计概率，解题的关键是根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详细解答】解：甲组实验了10次，乙组实验了50次，丙组实验了100次，丁组实验了200次，实验次数多的频率往往接近事件发生的概率，故选择 D .【解后反思】在一次试验中，若共有n次等可能的结果，其中事件A包含m个等可能的结果，则事件A的概率为P(A)=mn．随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，当试验次数很多时，它具有一定的稳定性，即稳定在某一常数附近，而偏离的它可能性很小．为了说明这种规律，我们把这个常数称为这个随机事件的概率．它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率．【关键词】概率公式；用频率估计概率6（2016湖南常德，5，3分）下列说法正确的是A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机取出一个球，一定是红球．B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨．C．某地发行一种福利彩票，中奖概率是千分之一．那么，买这种彩票1000张，一定会中奖．D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上．【答案】D【逐步提示】本题考查的是概率的含义．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能．【详细解答】解：选项A、“取到红球”是随机事件，且可能性较大，但不是必然事件，所以从中随机取出一个球，不一定是红球，所以A选项错误；选项B、“明天降水概率10%”，是指下雨的可能性为10%，而不是10%的时间会下雨，所以B选项错误；选项C、“中奖概率是千分之一”是指这批彩票总体平均每1000张有一张中奖，而不是买这种彩票1000张，一定会中奖，所以C选项错误；选项D、“投掷一枚质地均匀的硬币正面朝上”是随机事件，所以第六次仍然可能正面朝上，所以D选项正确．故选D．【解后反思】事件分为确定事件和不确定事件，确定事件分为必然事件和不可能事件；也就是说一定发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件；可能发生，也可能不发生的事件是不确定事件；必然事件发生的概率是1，不可能发生的事件发生的概率是0，不确定事件发生的概率大于零小于1，偶然事件0到1之间【关键词】概率的含义；随机事件；7.（2016湖南湘西，15，4分）在一个不透明的口袋中装有6个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其它差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为A ．43B ．41C ．21D ．1【答案】A【逐步提示】本题考查了概率的定义，熟悉定义是解题的关键.口袋中共8个球，其中有6个红球，根据概率定义解题即可．【详细解答】解：P(摸到红球)=86=43，故答案为43.故选择 A .【解后反思】一般地，在试验中，如果各种结果发生的可能性都相同，那么一个事件A 发生的概率计算公式为P(A)=A 事件可能发生的结果数所有等可能结果的总数．【关键词】摸球；简单事件的概率二、填空题1.（2016福建福州，15，4分）已知四个点的坐标分别是（－1，1），（2，2），（32，23），（－5，－51），从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝x1图象上的概率是．【答案】12【逐步提示】本题考查了概率的计算和反比例函数的性质，解题的关键是掌握等可能事件概率的计算公式．先判断四个点的坐标是否在反比例函数y ＝x1图象上，再用在反比例函数y ＝x1图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数y ＝x1图象上的概率．【详细解答】解：∵﹣1×1=﹣1，2×2=4，×=1，（﹣5）×（﹣）=1，∴2个点的坐标在反比例函数y ＝x1图象上，∴在反比例函数y ＝x1图象上的概率是2÷4=12，故答案为12.【解后反思】此类问题容易出错的地方是不能正确判断所关注事件可能出现的结果数，以及所有等可能出现的结果数．等可能性事件的概率的计算公式：P(A)＝n m，其中m 是总的结果数，n 是该事件成立包含的结果数．【关键词】反比函数的图像；概率的计算公式；2.（2016贵州省毕节市，18，5分）掷两枚质地均匀的骰子，其点数之和大于10的概率为_________．【答案】112【逐步提示】本题考查了求简单随机事件的概率，解题的关键掌握用列表法或画树状图的方法进行计算．本题用列表法更方便，表中也可只用两种符号来表示点数之和大于10和不大于10，这样能一目了然，不易出错．【详细解答】解：设点数之和小于或等于10用○表示，大于10用√表示不，列表如下：1 2 3 4 5 6 1 ○○○○○○2 ○○○○○○3 ○○○○○○4 ○○○○○○5 ○○○○○√6○○○○√√由表可知，掷两枚骰子，共有36种等可能的情况出现，其中点数之和大于10的结果共有3种，所以P （点数之和大于10）＝336＝112，故答案为112.【解后反思】此类问题的易错点是没有列表或画树状图，只凭想象列举出所有可能的结果，造成丢掉一些情况，如把（1，2）和（2，1）当作一种情况，从而致错．【关键词】求概率的方法；3.（2016河南省，12，3分）在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，则该班小明和小亮被分在同一组的概率是_________.【答案】41【逐步提示】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是合理选择方法求概率．思路：选择树状图或列表法解题，通过分析看出，小明和小亮任意分在各组的可能情况为16种，两次抽出卡片所标数字不同占4种，则利用公式可求出事件的概率．【详细解答】解：列表得：设分A 、B 、C 、D 四个组AB C D A （A ，A ）（A ，B ）（A ，C ）（A ，D ）B （B ，A ）（B ，B ）（B ，C ）（B ，D ）C （C ，A ）（C ，B ）（C ，C ）（C ，D ）D（D ，A ）（D ，B ）（D ，C ）（D ，D ）所有等可能的情况有16种，其中小明和小亮分在同一组的情况有4种，则P=41164，故答案为41.【解后反思】此类问题容易出错的地方是抽象不出基本概型，事件发生的可能情况列举不出来．一般方法规律是用数值来刻画事件发生的可能性大小，这个数值就是概率．一般地，如果一个实验有n 个等可能的结果，而事件A 包含其中m 个结果，我们可计算概率P(A)=m n=A 事件包含的可能结果数所有可能结果数．运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率的能力，有利于提高学生的数学意识、应用数学的能力和数学素养．【关键词】求概率方法——树状图法和列表法4.（2016湖南省郴州市，13，3分）同时掷两枚均匀的硬币，则两枚都出现反面朝上的概率是．【答案】14【逐步提示】本题考查的是概率问题，解题的关键是弄清事件发生的所有可能的情况，然后看事件发生的概率．抛两枚硬币有四种情况：即（正正）（正反）（反反）（反正），然后判断两个反面朝上的概率就可以了．【详细解答】解：设两枚硬币分别为甲、乙：共有四种结果：（正正）（正反）（反正）（反反）∴14P 两个反面朝上＝．反面硬币甲硬币乙开始正面反面正面正面反面【解后反思】此类问题容易出错的地方是列举所有可能性事件时重复或遗漏．(1)运用公式P(A)=nm 求简单事件发生的概率，在确定各种事件等可能性的基础上，关键是求事件所有可能的结果种数n 和使事件A 发生的结果种数m.(2)求简单随机事件的概率有两种方法．①在做了大量试验的基础上，可以用频率的近似地估计概率；②可以用列表或画树状图，列举出所有可能事件，再求概率．(3)列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．【关键词】概率；树状图；.6（2016湖南省怀化市，14，4分）一个不透明的袋子，装了除颜色不同，其它没有任何区别的红色球3个，绿色球4个，黑色球7个，黄色球2个，从袋子中随机摸出一个球，摸到黑色球的概率是______________.【答案】716【逐步提示】在等可能的条件下，袋共有球3＋4＋7＋2＝16个，其中黑色球7个，从袋子中随机摸出一个球，摸到黑色球的概率是黑色球数：总球数.【详细解答】解：P黑色球＝73472＝716，故答案为716.【解后反思】此题考查概率，难度不大，解题的关键是掌握概率的计算公式.【关键词】概率的计算公式7.（2016湖南省湘潭市，12，3分）从2015年12月26日起，一艘载满湘潭历史和文化的“航船——湘潭市规划展示馆、博物馆和党史馆（以下简称‘三馆’）”正式起航，市民可以免费到三馆参观.听说这个好消息，小张同学准备星期天去参观其中一个馆，假设参观者选择每一个馆参观的机会均等，则小张同学选择参观博物馆的概率为.【答案】13【逐步提示】本题考查了概率的计算，解题的关键是知道某事件发生的概率等于该事件出现的可能次数与所有可能次数之间的比．因此先确定参观博物馆的可能次数和参观三个馆总数，再根据概率公式计算即可．【详细解答】解：∵共有3个馆，参观博物馆的可能性为1，∴小张同学选择参观博物馆的概率为13，故答案为13.【解后反思】掌握此类问题，需熟练掌握以下知识：（1）公式法：P(A)=nm，其中n 为所有事件的总数，m 为事件A 发生的总次数；（2）列举（列表或画树状图）法的一般步骤为：①判断使用列表或画树状图方法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适合于两步及两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n 及所求事件A 出现的结果m ；④用公式P(A)=nm ，求事件A 发生的概率．【关键词】概率初步8.（2016年湖南省湘潭市，12，3分）从2015年12月26日起，一艘载满湘潭历史和文化的“航船——湘潭市规划展示馆、博物馆和党史馆（以下简称‘三馆’）”正式起航，市民可以免费到三馆参观。

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2019-2020学年高中数学第三章《概率》测试题（一）新人教B版必修2
一、选择题
1.下列说法正确的是( ).
A.任何一个事件的概率总在(0，1)内
B.不可能事件的概率不一定为0
C.必然事件的概率一定为1
D.以上均不对
考查目的：考查事件的有关概念及其概率取值的范围.
答案：C.
解析：任何一个事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．
2.若是互斥事件，则( ) ．
A. B. C. D.
考查目的：考查互斥事件的概念及性质.
答案：D.
解析：在同一试验中不可能同时发生的两个事件叫互斥事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生.如果事件A与事件B互斥，则P(A)+P(B)=P(A∪B)≤1，如果事件A与事件B对立，则P(A)+P(B)=1.
3.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于的概率为0.3，质量不小于的概率为0.32，
那么质量在(g)范围内的概率是( ).
A.0.62
B.0.38
C.0.02
D.0.68
考查目的：考查事件的并(或称事件的和)、互斥事件的概念，以及概率加法公式.
答案：B.
解析：1-0.3-0.32=0.38.
4.(2009·辽宁文)ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查几何概型及其概率计算公式.
答案: B.
解析：已知的长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为，因此取到的点到O的距离小于1的概率为，取到的点到O的距离大于1的概率为.
5.(2011·陕西)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查古典概型的概念及古典概型概率的计算.
答案：D.
解析：若用{1，2，3，4，5，6}代表6处景点，显然甲、乙两人选择结果为{1，1}、{1，2}、{1，3}、…、{6，6}共36种，其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1，1}、{2，2}、{3，3}、…、{6，6}共6个基
本事件，所以所求的概率值为，答案选D.
6.已知，，则的概率是( ).
A. B. C. D.
考查目的：古典概型概率问题，一元二次方程根的判别式，集合的运算，分类讨论思想等数学知识的综合运用.
答案：C.
解析:有序实数对的取值情形共有种，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，满足的情形有三种：第一种，，
此时；第二种，，此时；第三种，，此时，∴的概率为.
二、填空题
7.如图，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，则小杯水中含有这个细菌的概率是 .
考查目的：理解与体积有关的几何概型概率问题.
答案：0.05.
解析：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.
而升，升，故由几何概型求概率的公式，得.
8.在区间中随机地取出一个数，则这个数小于的概率是___ ，等于1的概率是 .
考查目的：考查几何概型的概念及几何概型概率的计算.
答案：0.5，0.
解析：区间(0，2)的两端点间距离是2，中点是1，在区间(0，1)内任取一点，该点表示的数都小于1，故在区间中随机地取出一个数，这个数小于的概率为；由于在数轴上点1的距离为0，所以数等于1的概率是.
9.(2009·安徽文)从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.
考查目的：考查古典概型问题的概率计算，及转化化归和分类讨论思想等.
答案：0.75.
解析：从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，有四种情况：2、3、4或2、3、5或3、4、5或2、4、5，依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4、5，故
所求概率为.
10.(2012·浙江文)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间
的距离为的概率是 .
考查目的：考查几何图形为背景的古典概型概率计算问题.
答案：.
解析：5个点中任取2个共有10种可能，若使两点间的距离为，则应为对角线的一半，选择的点必含中心，4个顶点中任取一个点，共有4种可能，则概率为P=.
11.(2010·安徽文)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 .
考查目的：考查几何图形为背景的古典概型概率计算问题.
答案：.
解析：对于几何中的概率问题，关键是正确作出几何图形，列举出试验结果所包含的基本事件数，然后求随机事件包含的基本事件数，进而利用概率公式求概率.正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件.两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)包括10个基本事件，所以
概率等于.。