北京一零一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题
北京一零一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学1试题
北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文）（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，那么（ ）A. 命题p ，q 均为真命题B. 命题p ，q 均为假命题C. 命题p ，q 有且只有一个为真命题D. 命题p 为真命题，q 为假命题 2. 已知函数y=f （x ）的图象在点（1，f （1））处的切线方程为x-2y+1=0，则f （1）+2f'（1）的值是（ ） A. 21 B. 1 C. 23 D. 2 3. 已知AB 是抛物线y 2=2x 的一条焦点弦，|AB|=4，则AB 的中点M 的横坐标是（ ） A. 2 B. 21 C. 23 D. 25 4. 函数f （x ）=x ·e x 的最小值是（ ）A. -1B. -eC. -e 1D. 不存在5. “a>1”是“函数f （x ）=ax+cosx 在（-∞，+∞）上单调递增”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知双曲线的一个焦点为F ，点P 在双曲线的一条渐近线上，点O 为双曲线的对称中心。
若△OFP 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 6 B. 2 C. 2 D. 37. 函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A. a>0，b<0，c>0，d>0B. a>0，b<0，c<0，d>0C. a<0，b<0，c>0，d>0D. d>0，b >0，c>0，d<0 8. 如图，抛物线W ：y 2=4x 与圆C ：（x-1）2+y 2=25交于A ，B 两点，点P 为劣弧⋂AB 上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则△PQC 的周长的取值范围是（ ）A. （10，14）B. （12，14）C. （10，12）D. （9，11）二、填空题共6小题。
北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试题(解析版)
30 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 40 秒，
则这五个接收器不能同时接收到信号的概率是
故选： B 【点睛】本题考查等可能事件的概率，对立事件概率，注意本题中分组为平均分组，其次要结合电学知识分析电路．
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11.编号为 1， 2，3， 4， 5 的五个人，分别坐在编号为 1， 2， 3，4， 5 的座位上，则恰有两个人的编号与其座位号分 别相同的坐法种数为 __________。（用数字作答） 【答案】 20 【解析】
）
A. 24 种 B. 48 种 【答案】 B
C. 96 种
D. 120 种
【解析】
【分析】
5 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，对于相邻的问题，一般用捆绑法，首先把甲和乙看做一个元素， 与另外 3 个元素全排列，再者甲和乙之间还有一个排列，根据分步计数原理得到结果．
【详解】 解：∵ 5 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，
∴首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外
3 个元素排列，
再者甲和乙之间还有一个排列， 共有 A44A22＝ 48， 故选： B．
【点睛】 本题考查排列、组合及简单计数问题，考查相邻问题，是一个比较简单的题目，这种题目一般有限制条件，
首先排列有限制条件的元素．
5.某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，
成的长度即为线段 CD，构成事件 M 的长度为线段 CD 的 ，
设 AB＝ 3x， AD＝ y，则
根据对称性，当 PD CD 时， AB＝ PB，
由勾股定理可得（ 3x）2＝y2+（2x） 2，
∴
，
∴
北京一零一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题
北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 双曲线的左、右焦点坐标分别是F 1（-3，0），F 2（3，0），虚轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ） A. 14y 5x 22=- B. 14x 5y 22=- C. 14y 13x 22=- D. 116y 9x 22=- 2. 命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0-1”的否定是（ ） A. ∀x ∈（0，+∞），lnx ≠x-1 B. ∀x ∉（0，+∞），lnx=x-1C. ∃x 0∈（0，+∞），lnx 0≠x 0-1D. ∃x 0∉（0，+∞），lnx 0=x 0-l 3. 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ）A. （0，1）B. （0，161） C . （1，0） D. （161，0） 4. 有下列三个命题：①“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x>y ，则x 2>y 2”的逆否命题；③“若x<-3，则x 2+x-6>0”的否命题。
则真命题的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 05. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种6. 已知圆M ：x 2+y 2-2ay=0截直线x+y=0所得的线段长是22，则a 的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 2± D. ±27. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）A. 24B. 18C. 12D. 68. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. （332，2] B. [332，2） C. （332，+∞） D. [332，+∞）二、填空题共6小越。
2017-2018学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(文科)
2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．12．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．405．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120°D．150°6．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面说法正确的是（）A．B．C．D．8．（4分）在正方体的ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是BC的中点，点Q为线段AD1（与AD1不重合）上一动点．给出如下四个推断：①对任意的点Q，A1Q∥平面B1BCC1；②存在点Q，使得A1Q∥B1P；③对任意的点Q，B1Q⊥A1C则上面推断中所有正确的为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为．10．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为，点（4，4）到其准线的距离为．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是．（只需写出一组）12．（4分）直线x+y﹣1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为．13．（4分）已知椭圆C1和双曲线C2的中心均在原点，且焦点均在x轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．14．（4分）曲线W的方程为①请写出曲线W的一条对称轴方程；②请写出曲线W上的两个点的坐标；③曲线W上的点的纵坐标的取值范围是．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：BC⊥PA．17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）求证：OG⊥平面FCDE；（Ⅱ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．18．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同两点P，Q．（ⅰ）当m=1时，求线段PQ的长度；（ⅱ）是否存在m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线2x+y﹣1=0在y轴上的截距为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．1【分析】把直线方程化为斜截式即可得出．【解答】解：直线2x+y﹣1=0化为：y=﹣2x+1，则在y轴上的截距为1．故选：D．【点评】本题考查了斜截式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（4分）双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线方程直接求解双曲线的渐近线方程即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为：y=±x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．3．（4分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，则实数m等于（）A．B．﹣1 C．1 D．【分析】把原点的坐标代入圆的方程，即可求得实数m的值．【解答】解：∵圆x2+y2﹣3x+m+1=0经过原点，∴0+0﹣0+m+1=0，则实数m=﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题．4．（4分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A．32 B．34 C．36 D．40【分析】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为10，宽为2，高为2的长方体的上面的中间部分去掉一个长为2，宽为2，高为2的小长体的一个几何体，由此能求出该零件的体积．【解答】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为10，宽为2，高为2的长方体的上面的中间部分去掉一个长为2，宽为2，高为2的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V=10×2×2﹣2×2×1=36．故选：C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．5．（4分）椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，则△F1MF2中最大角为（）A．90°B．105°C．120°D．150°【分析】利用椭圆的定义列出方程，求出|MF1|，|MF2|，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：椭圆的焦点为F1，F2，若点M在C上且满足|MF1|﹣|MF2|=2，|MF1|+|MF2|=8，所以|MF1|=5，|MF2|=3，|F1F2|=4，则△F1MF2中最大角为：∠F1F2M=90°．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．6．（4分）“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】方程x2+my2=m表示双曲线，+y2=1⇔m＜0．即可判断出结论．【解答】解：方程x2+my2=m表示双曲线，+y2=1⇔m＜0．∴“m＜0”是“方程x2+my2=m表示双曲线”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了双曲线的标准方程、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（4分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面说法正确的是（）A．B．C．D．【分析】在A中，m，n相交、平行或异面；在B中，m，n相交、平行或异面；在C中，m与β相交、平行或m⊂β；在D中，由面面平行的性质定理得m∥β．【解答】解：由两条直线m，n，两个平面α，β，知：在A中，相交、平行或异面，故A错误；在B中，相交、平行或异面，故B错误；在C中，相交、平行或m⊂β，故C错误；在D中，，由面面平行的性质定理得D正确．故选：D．【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的判断，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，属于中档题．8．（4分）在正方体的ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是BC的中点，点Q为线段AD1（与AD1不重合）上一动点．给出如下四个推断：①对任意的点Q，A1Q∥平面B1BCC1；②存在点Q，使得A1Q∥B1P；③对任意的点Q，B1Q⊥A1C则上面推断中所有正确的为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】①根据平面A1ADD1∥B1BCC1，判断A1Q∥平面B1BCC1；②根据平面A1ADD1∥B1BCC1，利用面面平行的性质得出A1Q∥B1P；③由题意得出A1C⊥平面AB1D1，即可得出B1Q⊥A1C．【解答】解：对于①，平面A1ADD1∥B1BCC1，A1Q⊂平面A1ADD1，∴对任意的点Q，A1Q∥平面B1BCC1，①正确；对于②，平面A1ADD1∥B1BCC1，过点A1、B1、B作平面A1B1B，交直线AD1于Q，则交线A1Q∥B1P，如图1所示，∴②正确；对于③，由正方体的性质知，B1D1⊥A1C，AD1⊥A1C，且B1D1∩AD1=D1，∴A1C⊥平面AB1D1，如图（2）所示；∴对任意的点Q，B1Q⊥A1C，③正确；综上，上面推断中正确的是①②③．故选：D．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是中档题．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）直线l：x+y﹣1=0的倾斜角为135°，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为x+y﹣2=0．【分析】先求出直线l：x+y﹣1=0的斜率为k=﹣1，由此能求出倾斜角，利用点斜式方程能求出经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程．【解答】解：直线l：x+y﹣1=0的斜率为k=﹣1，倾斜角为α=135°，经过点（1，1）且与直线l平行的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：135°，x+y﹣2=0．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线方程的求法，考查直线方程、直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），点（4，4）到其准线的距离为5．【分析】利用抛物线方程求出焦点坐标，准线方程，然后求解点（4，4）到其准线的距离．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=﹣1，点（4，4）到其准线的距离为：5．故答案为：（1，0）；5．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．11．（4分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是A1、A、C、D．（只需写出一组）【分析】正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由CD⊥平面ADD1A1，AA1⊥平面ABCD，得到从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点A1、A、C、D，构成一个三棱锥A1﹣ACD，这个三棱锥的4个面都是直角三角形．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面ADD1A1，∴A1D⊥CD，AD⊥CD，AA1⊥CD，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥AD，AA1⊥AC，∴从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中，找出4个点A1、A、C、D，构成一个三棱锥A1﹣ACD，这个三棱锥的4个面都是直角三角形．故答案为：A1、A、C、D．【点评】本题正方体的八个顶点中能构成4个面都是直角三角形的三棱锥的顶点的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、函数与方程思想，是中档题．12．（4分）直线x+y﹣1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为．【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y﹣1=0的距离d，即可求出弦长．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y﹣1=0的距离d=，故直线x +y ﹣1=0被圆x 2+y 2=1所截得的弦长为2=．故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，正确运用圆的性质是关键，是基础题．13．（4分）已知椭圆C 1和双曲线C 2的中心均在原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为．【分析】由题意可知图标中点（4，﹣2），（，﹣）是双曲线上的两点，设双曲线方程为（a ＞0，b ＞0），把点的坐标代入双曲线方程，求得a ，b 的值，结合隐含条件求得c ，则双曲线的离心率可求． 【解答】解：∵双曲线的焦点在x 轴上，∴图标中点（0，）是椭圆上的点，则（4，﹣2），（，﹣）是双曲线上的两点． 设双曲线方程为（a ＞0，b ＞0），则，解得．∴，．则e=． 故答案为：．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．14．（4分）曲线W 的方程为①请写出曲线W的一条对称轴方程x=0；②请写出曲线W上的两个点的坐标（0，2），（0，﹣2）；③曲线W上的点的纵坐标的取值范围是[﹣2，2] ．【分析】将原方程两边平方，借助平方差公式，化简整理，再由x换为﹣x，y 不变，可得曲线的一条对称轴；可令x=0，可得曲线上的两点坐标；再由x2≥0，解不等式即可得到所求纵坐标的取值范围．【解答】解：曲线W的方程为即为[x2+（y+1）2][x2+（y﹣1）2]=9，即有[（x2+y2+1）+2y][（x2+y2+1）﹣2y]=9，可得（x2+y2+1）2﹣4y2=9，即有x2+y2+1=，①将x换为﹣x，y不变，方程不变，可得曲线的一条对称轴为x=0；②令x=0，可得y=2或﹣2，可得曲线上两点的坐标为（0，﹣2），（0，2）；③由x2=﹣（y2+1）≥0，即为≥y2+1，平方可得9+4y2≥y4+2y2+1，即为y4﹣2y2﹣8≤0，解得﹣2≤y2≤4，解得﹣2≤y≤2，则曲线上点的纵坐标的范围是[﹣2，2]．故答案为：x=0；（0，2），（0，﹣2）；[﹣2，2]．【点评】本题考查曲线与方程的关系，考查化简整理的运算能力，以及曲线的性质，考查分析问题的能力，属于中档题．三、解答题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x ≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）设出C的坐标，根据线段长度求出C的坐标，即可求圆C的方程；（Ⅱ）讨论直线斜率是否存在，利用直线和圆相切的位置关系建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设C（a，a），a≥0，∵．∴=a，则a=2，即圆心C（2，2），．则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1．（Ⅱ）若直线斜率不存在，则直线方程为x=1，圆心到直线x=1的距离d=2﹣1=1=r，此时满足直线和圆相切，若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离d===1，即|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时直线方程为x﹣y﹣=0，即3x﹣4y﹣3=0，则对应的切线方程为x=1或3x﹣4y﹣3=0．【点评】本题主要考查圆的标准方程以及直线和圆相切的位置关系的应用，利用点到直线的距离等于半径是解决本题的关键．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB=PC，AB=AC，且点D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：BC⊥PA．【分析】（Ⅰ）由点D，E分别是BC，PB的中点，得DE∥PC，由此能证明DE∥平面PAC．（Ⅱ）推导出PD⊥BC，AD⊥BC，从而BC⊥平面PAD，由此能证明BC⊥PA．【解答】证明：（Ⅰ）∵点D，E分别是BC，PB的中点．∴DE∥PC，∵DE⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC．（Ⅱ）∵PB=PC，AB=AC，且点D是BC的中点，∴PD⊥BC，AD⊥BC，∵PD∩AD=D，∴BC⊥平面PAD，∵PA⊂平面PCD，∴BC⊥PA．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，考查空间中空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．17．（12分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且，点O为FC的中点，点G是AB的中点．（Ⅰ）求证：OG⊥平面FCDE；（Ⅱ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）推导出OG⊥FC，由此利用平面ABCF⊥平面FCDE，能证明OG⊥平面FCDE．（Ⅱ）F、D点为所求的点，推导出OG⊥FD，FD⊥EO，由此能证明FD⊥平面EGO．（Ⅲ）假设存在点H，使得BH∥平面EOG，推导出EO∥DC，从而DC∥平面EOG，进而平面EOG∥平面BCD，推导出GBCO是平行四边形，从而GB=CO，矛盾，由此得到不存在点H，使得BH∥平面EOG．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCF是等腰梯形，点O 为FC的中点，点G是AB的中点，∴OG⊥FC，又平面ABCF⊥平面FCDE，平面ABCF∩平面FCDE=FC，∴OG⊥平面FCDE．解：（Ⅱ）F、D点为所求的点．∵FD⊂平面FCDE，∴OG⊥FD，又ED FO，且EF=ED，∴EFOD为菱形，∴FD⊥EO，∵EO∩OG=O，∴FD⊥平面EGO．（Ⅲ）假设存在点H，使得BH∥平面EOG，由ED OC，得EOCD是平行四边形，∴EO∥DC，∵EO⊂平面EOG，∴DC∥平面EOG，又BH∩DC=H，∴平面EOG∥平面BCD，∴BC∥平面EOG，∴BC∥OG，∴GBCO是平行四边形，∴GB=CO，矛盾，∴不存在点H，使得BH∥平面EOG．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足线面垂直的两点的判断与证明，考查满足线面平行的点是否存在的与求法，考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．18．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同两点P，Q．（ⅰ）当m=1时，求线段PQ的长度；（ⅱ）是否存在m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形，可得a=2，b=c=，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）分别设为P（x1，y1），Q（x2，y2），将y=x+m代入椭圆+=1中，消y 可得3x2+4mx+2m2﹣4=0，根据韦达定理和弦长公式可得|PQ|=•，（i）代值计算即可，（ii）根据点到直线的距离公式求出d，再根据三角形的面积公式和三角形的面积可得S=|PQ|•d=ו×=，求出m的值即可．△POQ【解答】解：（Ⅰ）∵△AF1F2是斜边长为的等腰直角三角形，∴a=2，b=c=，∴椭圆标准方程为+=1．（Ⅱ）分别设为P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=x+m代入椭圆+=1中，消y可得3x2+4mx+2m2﹣4=0，∵△=16m2﹣12（2m2﹣4）＞0，解得m2＜6，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴|PQ|=•=•=•，（i）当m=1时，|PQ|=，（ii）原点到直线y=x+m的距离d=，∴S=|PQ|•d=ו×=，△POQ整理可得m4﹣6m2+8=0，解得m2=4，或m2=2，解得m=±2，或m=±故m的值存在，为±，±2【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．。
北京市101中学2017_2018学年高二数学上学期期中试题理
A. 4 3
B. 2
C. 4
D. 6
5. 在下列命题中：
①若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行；
②若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不共面；
③若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面；
④已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向量 p，总存在实数 x，y，z，
7
因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是正三棱柱， 所以四边形 AA1B1B 是矩形， 所以 M 为 AB1 的中点。 因为 D 是 AC 的中点， 所以 MD 是三角形 AB1C 的中位线， 所以 MD∥B1C。 因为 MD 平面 A1BD，B1C 平面 A1BD， 所以 B1C∥平面 A1BD。 （2）作 CO⊥AB 于 O，所以 CO⊥平面 ABB1A1，
m 2 12
所以 x1+x2=m+1，x1x2=
。
2
代入（*）式，得 m2-12-m·（m+1）+m2=0，
所以 m=4 或 m=-3，经检验都满足判别式 >0，
所以直线 l 的方程为 x+y-4=0 或 x+y+3=0。
16. （1）因为 PA⊥AB，PA⊥BC，所以 PA⊥平面 ABC。 又因为 BD 平面 ABC，所以 PA⊥BD。
A. k1>k2>k3
B. k1> k3> k2
C. k3> k2> k1
D. k2> k3> k1
2. 如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点。若 AB =a，AD =b，AA1 =c，
2017-2018北京海淀101高二上期末【文】数学真题卷
北京一零一中2017-2018学年度第一学期期末考试高二数学（文）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答题纸上．1．如果命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，那么（）．A ．命题p ，q 均为真命题B ．命题p ，q 均为假命题C ．命题p ，q 有且只有一个为真命题D ．命题p 为真命题，q 为假命题【答案】C【解析】p q ∨为真命题，即至少有1个为真，p q ∧为假命题，即至少有1个为假，∴p ，q 一真一假．故选C ．2．已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程210x x -+=，则(1)2(1)f f '+的值是（）．A ．12B ．1C ．32D ．2 【答案】D 【解析】12k =，即1(1)2f '=，11(1)12f +==， ∴(1)2(1)2f f '+=．故选D ．3．已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，||4AB =，则AB 的中点M 的横坐标是（）． A ．2B ．12C ．32D ．52【答案】C【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y 由抛物线定义可知，1212||14AB x x P x x =++=++=，123x x +=， ∴M 横坐标为12322x x +=． 故选C ．4．函数()e x f x x =⋅的最小值是（）．A ．1-B ．e -C ．1e -D ．不存在【答案】C【解析】()e x f x x =⋅，()e e e (1)x x x f x x x '=+=+，∴当1x <-时，()0f x '<，()f x 单减，当1x >-时，()0f x '>，()f x 单增， ∴min 1()(1)ef x f =-=-． 故选C ．5．“1a >”是“函数()cos f x ax x =+在(,)-∞+∞上单调递增”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】()cos f x ax x =+，()sin f x a x '=-，∵sin [1,1]x ∈-，当1a ≥时，()0f x '≥恒成立，∴当1a >时，()f x 恒增，当()f x 恒增时，a 可以为1．故选A ．6．已知双曲线的一个焦点为F ，点P 在双曲线的一条渐近线上，点O 为双曲线的对称中心，若OFP △为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）．ABC ．2 D【答案】B 【解析】设双曲线方程为22221x y a b-=，(,0)F c ， P 在渐近线b y x a=上，OFP △为等腰直角三角形， 只能90OPF =︒△或90OFP =︒∠，均有45POF =︒∠， 即1b a=，∴e = 故选B ．7．函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是（）．A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a <，0b <，0c >，0d >D ．0a >，0b >，0c >，0d <【答案】A 【解析】2()32f x ax bx c '=++，由图可知，()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上为增函数，12(,)x x 为减函数，∴0a >，12203b x x a +=->， ∴0b <，12.03c x x a=>，∴0c >，0d >．故选A ．8．如图，抛物线2:4W y x =与圆22:(1)25C x y -+=交于A ，B 两点，点P 为劣弧 AB 上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则PQC △的周长的取值范围是（）．A ．(10,14)B ．(12,14)C ．(10,12)D ．(9,11) 【答案】C【解析】由图可知，PC PQ QC PQC ++=△周长，Q 为抛物线上点，准线方程1x =-，延长PQ 交准线方程于M ，∴QC QM =，∴PQC △周长为5PM PC PM +=+，2224(1)25y xx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，∴2(1)25x +=，4x =，当P 在A 上，PM 最短，当P 为圆x 轴交点时PM 最长，∴周长(10,12)∈．故选C ．二、填空题共6小题．9．命题0x ∃>，20x x +≤的否定是__________．【答案】0x ∀>，20x x +>【解析】否定为：0x ∀>，20x x +>．10．若椭圆221(4)4x y m m +=<的离心率为12，则m =__________．【答案】3【解析】∵4m <，∴24a =，2b m =，1e 2=， ∴22222241e 44c a b m a a --====，∴3m =．11．函数3()31f x x x =-+在闭区间[3,0]-上的最大值是__________最小值是__________．【答案】3；17-【解析】22()333(1)f x x x '=-=+，∴当[3,1)x ∈--时，()0f x '>，()f x 为增函数，当[1,0]x ∈-时，()0f x '<，()f x 为减函数，∴max ()(1)1313f x f =-=-++=，{}{}min ()min (3),(0)min 17,117f x f f =-=-=-．12．若命题“x ∃∈R ，使得2(1)10x a x +-+<”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1a <-或3a >【解析】若命题为真，则0∆>，2(1)40a -->，∴1a <-或3a >．13．抛物线28y x =的准线与双曲线22:184x y C -=的两条渐近线所围成的三角形面积为__________．【答案】【解析】28y x =，准线方程为2x =-，双曲线渐近线方程为y =，∴交点分别为(2,A -，(B -，∴||AB =∴122OAB S =⨯⨯=△．14．设函数33,,()2,.x x x a f x x x a ⎧-=⎨->⎩≤ （1）若0a =，则()f x 的最大值__________．（2）若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是__________．【答案】（1）2；（2）(,1)-∞．【解析】（1）若0a =，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-=⎨->⎩≤， 当0x >时，()0f x <，当0x ≤时，2()33f x x '=-，∴()f x 在(,1)f -∞-上为增，在(1,0)-为减，∴max ()(1)2f x f =-=，∴max ()2f x =．（2）由①可知，33x x -在(,1)-∞-，(1,)+∞上为增函数，在(1,1)-上为减函数，如图所示：①当12a -<≤时，最大值为(1)2f -=，②当2a ≥时，3max ()()3f x f a a a ==-，③当1a <-时，没有最大值．综上，当1a <-时，函数没有最大值．三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．设函数32()f x x ax bx c =+++满足(0)4f '=，(2)0f '-=．（1）求a ，b 的值及曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．（2）若函数()f x 有三个不同的零点，求c 的取值范围．【答案】（1）4y x c =+．（2）32027c <<． 【解析】（1）∵2()32f x x ax b '=++，依题意(0)4(2)1240f b f a b ⎧'==⎪⎨'⎪-=-+=⎩， ∴4b =，4a =，2()384f x x x '=++，32()44f x x x x c =+++，∴(0)4k f '==，(0)f c =，∴切点坐标为(0,)c ，∴切线方程4y x c =+．（2）∵()(2)(32)f x x x '=++且x ∈R ，令()0f x '=，∴12x =-，223x =-，∴(2)f c -=，2327f c ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 若()f x 有2个不同零点，则(2)0f c -=>，2320327f c ⎛⎫-=-+< ⎪⎝⎭， ∴32027c <<． 16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，右焦点为((1,0)F ． （1）求椭圆E 的方程．（2）设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ON ⊥，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=．（2）1x y =+． 【解析】（1）2221c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，得a =1b =， ∴椭圆方程为2212x y +=． （2）依题意，直线l 斜率不为0，设l 方程为1x my =+， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立：221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，消22:(2)210x m y my ++-=， ∵相交，∴2244(2)0m m ∆=++>，m ∈R ，1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， ∵OM ON ⊥， ∴12120OM ON x x y y ⋅=+= ，∴1212(1)(1)0my my y y +++=，21212(1)()10m y y m y y ++++=， ∴212m =，直线l方程为1x y =+．17．已知函数()ln f x x =．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（2）求证：当0x >时，1()1f x x-≥． （3）若1ln x a x ->对任意1x >恒成立，求实数a 的最大值． 【答案】（1）10x y --=．（2）见解析．（3）max 1a =．【解析】（1）∵1()(0)f x x x'=>， ∴(1)1k f '==，(1)0f =，∴切线方程为1y x =-，10x y --=．（2）证明：设1()()1g x f x x=--+，(0,)x ∈+∞， 1ln 1x x=+-， 则22111()x g x x x x-'=-=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 减函数， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 增函数， ∴min ()(1)0g x g ==，∴()(1)0g x g =≥， ∴1()1f x x-≥． （3）设()1ln h x x a x =--，(0,)x ∈+∞， 则()1a x a h x x x-'=-=， ①当1a ≤时，()0h x '>对(1,)x ∀∈+∞恒成立， ∴()h x 在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0h x h >=，∴1ln 0x a x -->在(1,)+∞上成立， ∴1a ≤成立．②当1a >时，令()0h x '=，∴x a =且(1,)a ∈+∞，当(1,)x a ∈时，()0h x '<，∴()h x 单减， 当(,)x a ∈+∞时，()0h x '>，∴()h x 单增， ∴min ()()(1)0h x h a h =<=，∴不成立， 故1a ≤，max 1a =．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点到它的两个焦的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点． （1）求圆O 和椭圆C 的方程． （2）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ．求证：MQN ∠为定值．【答案】（1）222x y +=；22142x y +=；（2）见解析． 【解析】（1）依题意22224a b c a b c⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，得2a =，b c =， ∴圆方程222x y +=，椭圆C 方程22142x y +=． （2）设00(,)P x y ，10(,)Q x y ， ∴2200142x y +=，22102x y +=，00y ≠， ∵AP 方程00(2)2y y x x =++，令0x =时，0020,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，BP 方程为00(2)2y y x x =--，令0x =得02020,y N x -⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴01002,2y QM x y x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭ ，01002,2y QN x y x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭， ∴2222220000102200(42)2042x y y y QM ON x y x y -⋅=+=-+=-- ， ∴90MON =︒∠．。
北京101中学2018-2019学年高二数学上册期末测试题
北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、 选择题：本大题共8小题，共40分。
1. 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）A. 123p p p ==B. 123p p p =<C. 132p p p =<D. 321p p p =<2. 某公司10位员工的月工资（单位:元）为10321,,,,x x x x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）A. x ，22100+sB. 100+x ，22100+sC. x ， 2sD. 100+x ，2s3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出i 的值是（ ）A. 27B. 31C. 63D. 154. 某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人。
则这三个社团共有（ ）A. 130人 B . 140人 C . 150人 D. 160人 5. 下列结论中正确的个数是（ ）①命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ”； ②若p ⌝是q 的必要条件，则p 是q ⌝的充分条件； ③命题“若22,am bm a b <<则”的逆命题是真命题； ④,R x ∈∀不等式2243x x x +>-均成立.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 若区间)1,0(上任取一实数b ，则方程20x x b ++=有实根的概率为（ ） A.14 B. 13C.12 D. 347. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） A.34B.38 C. 2D. 48. 已知点M （－3，2）是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是（ ）A. 72B. 52C. 3D. 2二、填空题：本大题共6小题，共30分。
北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷及答案
北京101中学2018－2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知z 轴上一点N 到点A （1，0，3）与点B （－l ，1，－2）的距离相等，则点N 的坐标为（ ）A. （0，0，21-） B. （0，0，52-） C. （0，0，21）D. （0，0，21） 2. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ）A. BD 与CF 成60°角B. BD 与EF 成60°角C. AB 与CD 成60°角D. AB 与EF 成60°角3. 若椭圆22a x +22b y =1（a >b >0）的焦距为2c=2，且其离心率为22，则椭圆的方程为（ ）A. 42x +22y =1B. 22x +12y =1C. 42x +32y =1D. 82x +42y =14. 5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 120种5. 某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图。
如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有（ ）A. 6人B. 7人C. 8人D. 9人6. 某中学从4名男生和4名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A. 68种B. 70种C. 240种D. 280种7. 在（xx 12-）5的展开式中，第4项的二项式系数为（ ） A. 10B. －10C. 5D. －58. 某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是21，构造数列{n a }，使得 ⎩⎨⎧-=次抛掷时出现反面，第次抛掷时出现正面，第n n a n ,1,1记1a S n =+a 2+…a n （n ∈N +），则24=S 的概率为（ ） A.161B.81C.41D.21 9. 已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为31，则=ABAD（ ）A.21B.23C. 32D.3510. 下图中有一个信号源和五个接收器，接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。
北京市一零一中学高二上学期期末考试(数学理)
北京一零一中－第一学期期末考试高 二 数 学（理科）一、选择题：本大题共8小题，共40分.1. 已知,αβ是两个不同平面，直线m α⊂，那么“m β⊥”是“αβ⊥”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件 2．如图所示是一个几何体的三视图，则在此几何体中，直角三角形的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．椭圆221x my +=m 的值为（ ）A ．2B ．14C ．2或12D ．14或4 4．设抛物线28y x =上一点M 到y 轴的距离为4，则点M 到该抛物线焦点的距离是（ ） A ．12B ．8C ．6D ．45．已知3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是单调增函数，则a 的最大值为 ( ) A ．3 B ．2C ．1D ．06.已知()f x 的导函数'()(1)()f x a x x a =+-，若()f x 在x a =处取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,0)-C ．(,1)-∞-D ．(,0)-∞7．如图，E 为正方体1111ABCD A BC D -的棱1AA 的中点，F 为棱AB 上一点，190C EF ∠=，则:AF FB = （ ）A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:48．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率为（ ）D.3二、填空题：每小题5分，共30分.9．函数()ln f x x x =-的单调减区间是 .10.已知1F 、2F 是椭圆22:1259x y C +=的两个焦点，P 为椭圆上一点，且1290F PF ∠=，则12PF F ∆的面积.主视图侧视图俯视图22111C 1A 1CA BB 1DD 1FE11．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，1A D 与1BC 所成角为90，则直线1BC 与平面11BB D D 所成角的大小为_________.12．函数()y f x =的图象在点(3,(3))f 处的切线方程是4y x =-+，则(3)'(3)f f +等于___________.13．已知直线l 过点(0,2)，且与抛物线24y x =交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则1211y y +=________．14．如图，正四面体ABCD 的顶点A 、B 、C 分别在两两垂直的三条射线Ox 、Oy 、Oz 上，给出下列四个命题：①多面体O ABC -是正三棱锥； ②直线//OB 平面ACD ；③直线AD 与OB 所成的角为45；④二面角D OB A --为45.其中真命题有_______________（写出所有真命题的序号）.参考答案一、选择题：本大题共8小题，共40分。
北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷
北京101中学2018－2019学年上学期高二年级期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知z 轴上一点N 到点A （1，0，3）与点B （－l ，1，－2）的距离相等，则点N 的坐标为（ ）A. （0，0，21-） B. （0，0，52-） C. （0，0，21）D. （0，0，21） 2. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ）A. BD 与CF 成60°角B. BD 与EF 成60°角C. AB 与CD 成60°角D. AB 与EF 成60°角3. 若椭圆22a x +22b y =1（a >b >0）的焦距为2c=2，且其离心率为22，则椭圆的方程为（ ）A. 42x +22y =1B. 22x +12y =1C. 42x +32y =1D. 82x +42y =14. 5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）A. 24种B. 48种C. 96种D. 120种5. 某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图。
如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有（ ）A. 6人B. 7人C. 8人D. 9人6. 某中学从4名男生和4名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A. 68种B. 70种C. 240种D. 280种7. 在（xx 12-）5的展开式中，第4项的二项式系数为（ ） A. 10B. －10C. 5D. －58. 某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是21，构造数列{n a }，使得 ⎩⎨⎧-=次抛掷时出现反面，第次抛掷时出现正面，第n n a n ,1,1记1a S n =+a 2+…a n （n ∈N +），则24=S 的概率为（ ）A.161B.81C.41D.21 9. 已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为31，则=ABAD（ ） A.21B.23C. 32D.3510. 下图中有一个信号源和五个接收器，接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。
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北京101中学2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理）（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 双曲线的左、右焦点坐标分别是F 1（-3，0），F 2（3，0），虚轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ） A. 14y 5x 22=- B. 14x 5y 22=- C. 14y 13x 22=- D. 116y 9x 22=- 2. 命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0-1”的否定是（ ） A. ∀x ∈（0，+∞），lnx ≠x-1 B. ∀x ∉（0，+∞），lnx=x-1C. ∃x 0∈（0，+∞），lnx 0≠x 0-1D. ∃x 0∉（0，+∞），lnx 0=x 0-l 3. 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ）A. （0，1）B. （0，161） C . （1，0） D. （161，0） 4. 有下列三个命题：①“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x>y ，则x 2>y 2”的逆否命题；③“若x<-3，则x 2+x-6>0”的否命题。
则真命题的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 05. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种6. 已知圆M ：x 2+y 2-2ay=0截直线x+y=0所得的线段长是22，则a 的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 2± D. ±27. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）A. 24B. 18C. 12D. 68. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. （332，2] B. [332，2） C. （332，+∞） D. [332，+∞）二、填空题共6小越。
9. 双曲线3x 2-y 2=-3的渐近线方程为________。
10. 设常数a ∈R 。
若（x 2+xa ）5的二项展开式中x 7项的系数为-10，则a=________。
11. 设F 1，F 2分别是椭圆7y 16x 22+=1的左、右焦点，若点P 在椭圆上，且21PF PF ⋅=0，则|1PF +2PF |=_________。
12. 若双曲线4y 9x 22-=1与直线y=kx-l 有且仅有一个公共点，则这样的直线有________条。
13. 已知点P 在抛物线y 2=4x 上，那么当点P 到点Q （3，4）的距离与点P 到抛物线准线的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为_______。
14. 下列三个命题中：①“k=l ”是“函数y=cos 2kx-sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件；②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要条件； ③函数y=3x 4x 22++的最小值为2。
其中是假命题的有_______。
（将你认为是假命题的序号都填上）三、解答题共5小题，每小题10分，共50分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15. 命题p ：关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f （x ）=log a x （a>0且a ≠1）在（0，+∞）上单调递增。
若p ∨q 为真，而p ∧q 为假，求实数a 的取值范围。
16. 已知P 是椭圆1y 4x 22=+上的一点，F 1,F 2是椭圆的两个焦点。
（1）当∠F 1PF 2=60°时，求△F 1PF 2的面积；（2）当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围。
17. 如图所示，在Rt △ABC 中，已知点A （-2，0），直角顶点B （0，-22），点C 在x 轴上。
（1）求Rt △ABC 外接圆的方程；（2）求过点（-4，0）且与Rt △ABC 外接圆相切的直线的方程。
18. 定长为2的线段AB 的两个端点在以点（0，81）为焦点的抛物线x 2=2py 上移动，记线段AB的中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。
19. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，23）在椭圆C 上。
（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为7212，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。
参考答案1. A2. A3. B4. C5. D6. D7. B8. A9. 3x ±y=0 10. -2 11. 6 12. 4 13. （253+，5+1） 14. ①②③. 15. 若p 为真，则△=（2a ）2-42<0，即-2<a<2。
若q 为真，则a>1。
因为p ∨q 为真，而p ∧q 为假，所以p ，q 一真一假。
当p 真q 假时，⎩⎨⎧<<<<-,,1a 02a 2所以0<a<1。
当p 假q 真时，⎩⎨⎧>≥-≤,,1a 2a 2a 或所以a ≥2。
综上，a 的取值范围为（0，1） [2，+∞）。
16. （1）由椭圆的定义，得|PF 1|+|PF 2|=4且F 1（-3，0），F 2（3，0）。
① 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2| cos60°。
②由①②得|PF 1|·|PF 2|=34。
所以21F PF S ∆=|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2=33。
（2）设点P （x ，y ），由已知∠F 1PF 2为钝角， 得21PF PF ⋅<0，即（x+3，y ）·（x-3，y ）<0。
又y 2=1-4x 2，所以43x 2<2，解得-362<x<362。
所以点P 横坐标的取值范围是（-362，362）。
17. （1）设点C （a ，0），由AB ⊥BC 可得k AB ·k BC =-1，即222-·a 22=-1，解得a=4。
则所求的圆的圆心为AC 的中点（1，0），半径为3，所求圆的方程为（x-1）2+y 2=9。
（2）由题意知直线的斜率存在，设所求直线的方程为y=k （x+4），即kx-y+4k=0。
当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以1k k 52+||=3，解得k=±43， 所求直线的方程为y=43（x+4）或y=-43（x+4），即3x-4y+12=0或3x+4y+12=0。
18. 依题意可得抛物线的方程为x 2=21y 。
设直线AB 的方程为y=kx+b （k ∈R ）， 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==bkx y y 21x 2,得2x 2-kx-b=0。
设A （x 1,y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-2b ,y 1+y 2=b 22k 2+。
因为|AB|=2,所以（1+k 2）[（x 1+x 2）2-4x 1x 2]=4，所以b=8k 1k 222-+， 所以y M =8k 1k 24k b 4k 2y y 222221-++=+=+ =87811k 281k 2811k 281k 2222=-+⋅+≥-+++。
当且仅当81k 2+=1k 22+即k=±3时取等号， 所以点M 到x 轴的最短距离为87，此时点M 的坐标为（43±，87）。
19. （1）设椭圆的方程为2222by a x +=1（a>b>0），由题意可得： 椭圆C 两焦点坐标分别为F 1（-1；0），F 2（1，0）。
所以2a=42325231123112222=+=+-+++）（）（）（）（所以a=2，又c=1，b 2=4-1=3， 故椭圆的方程为13y 4x 22=+。
（2）当直线l ⊥x 轴，计算得到：A （-l ，-23），B （-1，23）， 32321F F AB 21S 21B AF 2=⨯⨯=⋅⋅=∆||||，不符合题意。
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：y=k （x+1），由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13y 4x )1k(x y 22,消去y 得（3+4k 2）x 2+8k 2x+4k 2-12=0, 显然△>0成立，设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则x 1+x 2=22k 43k 8+-，x 1·x 2=22k 4312k 4+-， 又|AB|=222242212212k 43)12k 4(4)k 43(k 64k 1x x 4)x (x k 1+--+⋅+=⋅-+⋅+, 即|AB|=22222k 43)1(k 12k 431k 12k 1++=++⋅+， 又圆F 2的半径r=22k 1k 2k 1k 01k +=++-⨯||||， 所以7212k 43k 1k 12k 1k 2k 43)1(k 1221r AB 21S 22222B AF 2=++=+⋅++⨯==∆||||||， 化简，得17k 4+k 2-18=0，即（k 2-1）（17k 2+18）=0，解得k=±1， 所以，r=2k 1k 22=+||，故圆F 2的方程为：（x-1）2+y 2=2。