2022-2023学年北京市第二中学高二上学期11月学段考试数学试卷带讲解
2023-2024学年北京市第二中学高二上学期10月学段考试数学试卷含详解
北京二中2023—2024学年度第一学段高二年级学段考试试卷数学选择性必修Ⅰ一、选择题（每小题5分，共60分）1.复数z 满足方程()i 14z -=，则z =（）A.2B. C.4D.82.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为A.19B.16C.13D.7183.已知组数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为2,方差为5,则数据21x +1，22x +1，…，2n x +1的平均数x 与方差2s 分别为A.x =4,2s =10B.x =5,2s =11C.x =5,2s =20D.x =5,2s =214.(1,1,3),(1,4,2),(1,5,)=-=--= a b c x ，若,,a b c三向量共面，则实数x =（）A.3B.2C.15D.55.如图，在正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则下列结论错误的是（）A.异面直线AB 与CD 所成的角为90°B.直线AB 与平面BCD 成的角为60°C.直线EF ∥平面ACDD.平面AFD ⊥平面BCD6.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（）A.2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D.2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格7.已知向量(3,4)OA =- ，(6,3)OB =- ，(2,1)OC m m =+ ．若//AB OC，则实数m 的值为（）A.15B.35-C.3-D.17-8.如图，设每个电子元件能正常工作的概率为p ，则电路能正常工作的概率为（）A.2p p + B.23p p p +- C.3p D.23p p +9.已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称B.()f x 的图象向左平移π3个单位后得到cos 2y x =的图象C.()f x 在区间5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D.π6f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数10.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为()A.3B.3C.32D.2211.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.对任意两个非零的平面向量,αβ ，定义αβαβββ⋅=⋅ ，若平面向量,a b 满足0≥> a b ，,a b 的夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b和b a都在集合|Z 2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =（）A.12B.1C.32D.52二、填空题（本大题共6小题，共30分）13.在一次校园歌手大赛中，6位评委对某选手的评分分别为92，93，88，99，89，95．则这组数据的75%分位数是______．14.盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个,若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为_____.15.已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数为0，32i +，24i -+，则点B 所对应的复数为______．16.若1cos 42πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin2θ=__________.17.如图，在四边形ABCD 中，=60B ∠︒，2AB =，6BC =，且AD BC λ=uuu r uu u r ，2AD AB ⋅=-则实数λ的值为__________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN =u u u u r ，则AM DN ⋅的最小值为_______．18.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，给出以下命题：①异面直线1C P 与1B C 所成的角不为定值；②平面1A CP ⊥平面1D B C ；③二面角1P BC D --的大小为定值；④三棱锥1D BPC -的体积为定值．其中真命题的序号为______．三、解答题（本大题共5小题，共60分）19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，N 是PB 中点，过A 、N 、D 三点的平面交PC 于M .求证：（1）//PD 平面ANC ；（2）M 是PC 中点.20.在ABC 中，sin 23sin b A a B =．（1）求A ∠；（2）若ABC 的面积为33ABC 存在且唯一确定，求a 的值．条件①：7sinC 7=；条件②：334b c =；条件③：21cos 7C =．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧面PAD 是正三角形，M 是侧棱PD 的中点，且AM ⊥平面PCD ．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．22.苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的富士苹果，各产地的包装规格相同,它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地ABCD E批发价格150160140155170市场份额15%10%25%20%30%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，求该箱苹果价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱富士苹果进行检验，①从产地,A B 共抽取n 箱,求n 的值；②从这n 箱苹果中随机抽取两箱进行等级检验，求两箱产地不同的概率；（3）由于受种植规模和苹果品质的影响，预计明年产地A 的市场份额将增加5%，产地C 的市场份额将减少5%，其它产地的市场份额不变，苹果销售价格也不变（不考虑其它因素）.设今年苹果的平均批发价为每箱1M 元，明年苹果的平均批发价为每箱2M 元，比较12,M M 的大小.（只需写出结论）23.对于一个非空集合A ，如果集合D 满足如下四个条件：①{(,),}D a b a A b A ⊆∈∈∣；②a A ∀∈，(,)a a D ∈；③,a b A ∀∈，若(,)a b D ∈且(,)b a D ∈，则a b =；④,,a b c A ∀∈，若(,)a b D ∈且(,)b c D ∈，则(,)a c D ∈，则称集合D 为A 的一个偏序关系.（1）设{1,2,3}A =，判断集合{(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)}D =，是不是集合A 的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A 的偏序关系的集合D ；（2）证明：{(,)R,R,}R a b a b a b ≤=∈∈≤∣是实数集R 的一个偏序关系：（3）设E 为集合A 的一个偏序关系，,a b A ∈.若存在c A Î，使得(,)c a E ∈，(,)c b E ∈，且d A ∀∈，若(,)d a E ∈，(,)d b E ∈，一定有(,)d c E ∈，则称c 是a 和b 的交，记为c a b =∧.证明：对A 中的两个给定元素a ，b ，若a b∧存在，则一定唯一.北京二中2023—2024学年度第一学段高二年级学段考试试卷数学选择性必修Ⅰ一、选择题（每小题5分，共60分）1.复数z 满足方程()i 14z -=，则z =（）A.2B.C.4D.8【答案】B【分析】利用复数的运算法则求出复数z ，再利用模的定义即可求出结果.【详解】因为()i 14z -=，所以()44(1i)44i 22i i 11i (1i)2z ----====----+--，所以22i z =--=，故选：B.2.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为A.19B.16C.13D.718【答案】D【详解】试卷分析：本题中汽车在甲、乙、丙三处因遇绿灯通行是相互独立的，遇红灯停车的事件也是相互独立的；遇红灯停车和遇绿灯通行是互斥事件，因此汽车在这三处遇红灯停车的概率分别为：1211211,1,1332233-=-=-=甲：乙：丙：.汽车在这三处遇红灯停车一次有以下三种情况：（1）甲红灯，乙丙绿灯：2122(1)3239P =⨯⨯=；（2）乙红灯，甲丙绿灯：1121(2)3239P =⨯⨯=；（3）丙红灯，甲乙绿灯：1111(3)32318P =⨯⨯=；所以汽车在这三处遇红灯停车一次的概率为2117(1)(2)(3)991818P P P P =++=++=.故选D.考点：互斥事件，对立事件，独立事件.【思路点晴】本题是随机事件中互斥事件、对立事件、独立事件的综合应用．既要知道汽车在甲、乙、丙三处因遇绿灯通行是相互独立的，遇红灯停车的事件也是相互独立的，因此汽车通过三处的概率就等于通过每处的概率之积；又要知道遇红灯停车和遇绿灯通行是互斥事件，因此根据题目中给出的遇绿灯通行的概率可以算出遇红灯停车的概率．汽车在这三处遇红灯停车一次是由几个互斥事件组成，因此这一事件的发生的概率等于这几个互斥事件发生的概率之和．3.已知组数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为2,方差为5,则数据21x +1，22x +1，…，2n x +1的平均数x 与方差2s 分别为A.x =4,2s =10B.x =5,2s =11C.x =5,2s =20D.x =5,2s =21【答案】C【分析】根据题意，利用数据的平均数和方差的性质分析可得答案．【详解】根据题意，数据1x ，2x ，⋯，n x 的平均数为2，方差为5，则数据121x +，221x +，⋯，21n x +的平均数2215x =⨯+=，其方差222520s =⨯=；故选C ．【点睛】本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据的平均数、方差的计算公式，属于基础题．4.(1,1,3),(1,4,2),(1,5,)=-=--=a b c x ，若,,a b c三向量共面，则实数x =（）A.3B.2C.15D.5【答案】D【分析】利用向量共面的坐标运算进行求解即可.【详解】∵(1,1,3),(1,4,2)=-=--a b ，∴a与b不共线，又∵a b c、、三向量共面，则存在实数m ，n 使c ma nb=+即14532m n m n m n x -=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，解得2,3,5===n m x ．故选：D ．5.如图，在正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则下列结论错误的是（）A.异面直线AB 与CD 所成的角为90°B.直线AB 与平面BCD 成的角为60°C.直线EF ∥平面ACDD.平面AFD ⊥平面BCD【答案】B【分析】根据线面垂直的性质判断A ；找到线面角求出正弦值即可判断B ；根据线面平行的判定定理从而判断C ；根据面面垂直的判定定理从而判断D.【详解】如图，在平面ACD 内，过A 作AG CD ⊥，则G 为CD 中点，连接,,,AG AF BG DF ，则,BG CD ⊥DF BC ⊥，因为,AG BG ⊂平面ABG ，AG BG G = ，所以CD ⊥平面ABG ，又因为AB ⊂平面ABG ，所以CD AB ⊥，故A 正确；正四面体ABCD 中，A 在平面BCD 的射影为O ，则O 在BG 上，并且O 为BCD △的中心，则直线AB 与平面BCD 成的角为ABO ∠，又22333323BO BG AB AB ==⨯=，即3cos 3BO ABO AB ==∠，则60ABO ∠≠ ，故B 错误；正四面体ABCD 中，点,E F 分别是,AB BC 的中点，所以//EF AC ，又因为EF ⊄平面,ACD AC ⊂平面ACD ，所以//EF 平面ACD ，故C 正确；因为正四面体ABCD ，A 在底面BCD 的射影为底面的中心，所以AO ⊥平面BCD ，又因为AO ⊂平面AFD ，所以平面AFD ⊥平面BCD ，故D 正确.故选：B6.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（）A.2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D.2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格【答案】D 【分析】先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可【详解】由折线图易知A 、C 正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B 错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为,,a b c ，由题意可知，b a =， 1.9%a cc-=，则有1 1.9%ac a b =<=+，所以D 正确.故选：D【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.7.已知向量(3,4)OA =- ，(6,3)OB =- ，(2,1)OC m m =+ ．若//AB OC，则实数m 的值为（）A.15B.35-C.3-D.17-【答案】C【分析】根据向量共线坐标表示得方程，解得结果.【详解】因为//AB OC，所以()()3,1//2,1m m +,3(1)2 3.m m m ⨯+=∴=-选C.【点睛】本题考查向量共线，考查基本分析与求解能力，属基础题.8.如图，设每个电子元件能正常工作的概率为p ，则电路能正常工作的概率为（）A.2p p + B.23p p p +- C.3p D.23p p +【答案】B【分析】根据电路正常工作的可能情况进行判断即可.【详解】记上端两个电子元件正常工作分别为事件,A B ，下端电子元件正常工作为事件C ，设电路能正常工作为事件M ，根据独立事件的乘法公式，()()()()()()()23,P AB P A P B p P ABC P A P B P C p ====，则()()()()23P M P AB P C P ABC p p p =+-=+-.故选：B9.已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称B.()f x 的图象向左平移π3个单位后得到cos 2y x =的图象C.()f x 在区间5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D.π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数【答案】B【分析】利用图象求出函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断A 选项；利用三角函数图象变换可判断B 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用余弦型函数的奇偶性可判断D 选项.【详解】因为()1sin 20==f φ且π02ϕ<<，则π6ϕ=，所以，()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为点2π,13⎛⎫-⎪⎝⎭为函数()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最低点，则2ππ3π362ω+=，解得2ω=，所以，()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.对于A 选项，因为1π6πsin 2f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象关于直线π6x =对称，A 对；对于B 选项，()f x 的图象向左平移π3个单位后，可得到函数ππ5πsin 2sin 2366y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，且5πsin 2cos 26x x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，B 错；对于C 选项，当5ππ6x -≤≤-时，11ππ3π2662x -≤+≤-，所以，函数()f x 在区间5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；对于D 选项，ππππsin 2sin 2cos 26662f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，D 对.故选：B.10.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为()A.33B.3C.32D.22【答案】A【分析】将三棱锥A BCD -放在正方体内部，建立空间直角坐标系即可利用向量求异面直线BM 与CD 夹角的余弦值．【详解】如图，正方体内三棱锥A -BCD 即为满足题意的鳖臑A BCD -，以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则()0,0,0B ，()0,0,1A ，()0,1,0C ，()1,1,0D ，111,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭，则111,,222BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,0,0CD =，12cos ,3BM CD BM CD BM CD⋅===⋅，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值33．故选：A ．11.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由题知:()()222221142a b c b c b c ≤+<+≤+,结合余弦定理,可推出A 为锐角,反之无法推出,因此“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的充分不必要条件.【详解】①在ABC 中,若()12a b c ≤+,则()2214a b c ≤+,即22224()2()a b c b c ≤+≤+,222a b c ∴<+,222cos 02b c a A bc +-∴=>,A ∴为锐角,即“()12a b c ≤+”⇒“A 为锐角”,②若A 为锐角,则222cos 02b c a A bc+-=>,即222b c a +>,无法推出2222b c a +≥,所以“A 为锐角”⇒“()12a b c ≤+”,综上所述:“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的充分不必要条件,故选:A12.对任意两个非零的平面向量,αβ ，定义αβαβββ⋅=⋅ ，若平面向量,a b 满足0≥> a b ，,a b 的夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b和b a都在集合|Z 2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =（）A.12B.1C.32D.52【答案】C【分析】由题意可可设m ∈Z ，Z t ∈，2m a b = ，2t b a = ，得21cos ,142mt θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，对m ，t 进行赋值即可得出m ，t 的值，进而得出结论．【详解】解：2cos |Z 2a a b n a b n b b θ⋅⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，故cos |Z 2b n b a n a θ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭ ．又由||||0a b >，可设m ∈Z ，Z t ∈，令2m a b = ，2tb a = ，且0m t ≥>又夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以21cos ,142mt θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，对m ，t 进行赋值即可得出3,1m t ==所以322m a b == ．故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，共30分）13.在一次校园歌手大赛中，6位评委对某选手的评分分别为92，93，88，99，89，95．则这组数据的75%分位数是______．【答案】95【分析】从小到大排列这些数据，按照百分位数的定义进行计算即可.【详解】依题意，先将上述6个分数从小到大排列为：88,89,92,93,95,99，675% 4.5⨯=，向上取整为第5个数，即95.故答案为：9514.盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个,若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为_____.【答案】35【详解】从5个球中任选2个，共有2510C =种选法.2个球颜色不同，共有11326C C =种选法.所以所求概率为63105p ==.15.已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数为0，32i +，24i -+，则点B 所对应的复数为______．【答案】16i+【分析】根据复数在复平面对应点的性质，结合平行四边形的性质进行求解即可.【详解】因为平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数为0，32i +，24i -+，所以(0,0),(3,2),(2,4)O A C -，设(,)B x y ，因为平行四边形对角线互相平分，所以对角线OB 的中点就是对角线AC 的中点，所以03(2)024,1,62222x y x y ++-++==⇒==，因此点B 所对应的复数为16i +，故答案为：16i+16.若1cos 42πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2θ=__________.【答案】12-【分析】先化简sin2cos(2)cos 2()24ππθθθ=-=-22cos ()14πθ=--，再代值计算即可【详解】解：因为1cos 42πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin2cos(2)cos 2()24ππθθθ=-=-22cos ()14πθ=--2112122⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，故答案为：12-17.如图，在四边形ABCD 中，=60B ∠︒，2AB =，6BC =，且AD BC λ=uuu r uu u r ，2AD AB ⋅=-则实数λ的值为__________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN =u u u u r ，则AM DN ⋅的最小值为_______．【答案】①.13②.114【分析】求出120BAD ∠=︒，由2AD AB ⋅=-利用数量积公式求解λ的值即可；建立坐标系，设(),0M m ，则()1,0N m +，利用数量积的坐标表示，结合二次函数配方法求解即可.【详解】因为AD BC λ=uuu r uu u r ，所以//AD BC uuu r uu u r，因为=60B ∠︒，所以120BAD ∠=︒，所以12co 0s AD AB AD AB ⋅=⋅︒111622223BC AB λλλ=-⋅=-⨯⨯=-⇒= ；建立如图所示的坐标系xoy ，因为=60B ∠︒，2AB =，6BC =，可得((,A D ，设(),0M m ，因为1MN =u u u u r，则()1,0N m +，所以((,,1,AM m DN m ==-，()2221111113244AM DN m m m m m ⎛⎫⋅=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当12m =时等号成立，所以AM DN ⋅ 的最小值为114，故答案为：13,114.【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．18.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD上运动，给出以下命题：①异面直线1C P 与1B C 所成的角不为定值；②平面1A CP ⊥平面1D B C ；③二面角1P BC D --的大小为定值；④三棱锥1D BPC -的体积为定值．其中真命题的序号为______．【答案】②③④【分析】对于①由题意及图形利用异面直线所成角的概念及求线线角的方法即可求解；对于②利用线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、结合正方体的性质进行证明判断即可；对于③由题意及平面具有延展性可知实质为平面11ABC D 与平面1BDC 所成的二面角；对于④由题意及三棱锥的体积的算法中可以进行顶点可以轮换求解体积，和点P 的位置及直线1AD 与平面1BDC 的位置即可判断正误．【详解】对于①：因为在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，由正方体的性质可知：111C D B C ⊥，由正方形的性质可知：11BC B C ⊥，而1111111,,D C C B C D C C B =⊂ 平面11ABC D ，所以1B C ⊥平面11ABC D ，而1C P ⊂平面11ABC D ，所以11B C C P ⊥，故这两个异面直线所成的角为定值90︒，所以①不正确；对于②：由正方体的性质可知：1AA AC ⊥，由正方形的性质可知：BD AC ⊥，而1AA AC A = ，1AA ⊂平面1AA C ，AC ⊂平面1AA C ，所以DB ⊥平面1AA C ，而1AC ⊂平面1AA C ，所以1DB A C ⊥，同理11C B A C ⊥，而1DB BC B = ，1,DB BC ⊂平面1D B C ，所以1A C ⊥平面1D B C ，而1AC ⊂平面1A CP ，所以有平面1A CP ⊥平面1D B C ，故②正确；对于③：因为二面角1P BC D --的大小，实质为平面11ABC D 与平面1BDC 所成的二面角，而这两的平面为固定的不变的平面所以夹角也为定值，故③正确；对于④：三棱锥1D BPC -的体积还等于三棱锥的体积1P DBC -的体积，而平面1D B C 为固定平面且大小一定，又因为1P AD ∈，而1//AD 平面1BDC ，所以点A 到平面DBC 1的距离即为点P 到该平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，故④正确．故答案为：②③④【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为：（1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线进而求解；（2）坐标法：通过建立恰当的空间直角坐标系，结合空间坐标运算公式求解；（3）基底法：通过向量的基底转化以及向量的运算法则进行求解.三、解答题（本大题共5小题，共60分）19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，N 是PB 中点，过A 、N 、D 三点的平面交PC 于M .求证：（1）//PD 平面ANC ；（2）M 是PC 中点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）作辅助线，构造三角形中位线，利用线面平行的判定定理，由线线平行证明线面平行；（2）先利用线面平行的判定定理证明BC ∥平面ADMN ,再利用线面平行的性质证线线平行，根据平面几何知识可证M 是PC 中点.【详解】证明：（1）连结,BD AC ，设AC BD O = ，连结NO ，ABCD 是平行四边形，O ∴是BD 的中点，在PBD ∆中，N 是PB 的中点，//PD NO ∴，又NO ⊂平面ANC ，PD ⊄平面ANC ，//PD ∴平面ANC ，（2） 底面ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，BC ⊄ 平面ADMN ，AD ⊂平面ADMN ，//BC ∴平面ADMN .平面PBC ⋂平面ADMNMN =，//BC MN ∴，又N 是PB 的中点，M ∴是PC 的中点.【点睛】（1）利用三角形中位线平行于底边证明线线平行，再证线面平行是证明线线平行的常见方法；（2）考查线面平行的性质定理；有一定难度，属于中等题型.20.在ABC 中，sin 2sin b A B =．（1）求A ∠；（2）若ABC 的面积为ABC 存在且唯一确定，求a 的值．条件①：sinC 7=；条件②：334b c =；条件③：21cos 7C =．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π6（2【分析】（1）利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；（2）条件①，由sinC =C 可以是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用条件建立，边b 与c 的方程组，求出b 与c ，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，先把角转边，再结合条件建立，边b 与c 的方程组，求出b 与c ，再利用余弦定理，即可求出结果；【小问1详解】因为sin 2sin b A B =，由正弦定理得，sin sin 2sin B A A B =，又()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，得到sin 2A A =，又sin 22sin cos A A A =，所以2sin cos A A A =，又()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，得到cos 2A =，所以π6A =.【小问2详解】选条件①：sinC 7=由（1）知，π6A =，根据正弦定理知，sin 47711sin 72c C a A ===>，即c a >，所以角C 有锐角或钝角两种情况，ABC 存在，但不唯一，故不选此条件.选条件②：4b c =因为11π1sin sin 2264ABC S bc A bc ====bc =又4b c =，得到4b =，代入bc =24c =，解得4c =，所以b =由余弦定理得，222222cos 42427163672a b c bc A =+-=+-⨯⨯+-=，所以a =选条件③：21cos 7C =因为11π1sin sin 2264ABC S bc A bc ====bc =由21cos 7C =，得到27sin 7C ===，又sin sin(π)sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C =--=+=+，由(1)知π6A =，所以1sin 277214B =⨯+=又由正弦定理得，321sin 14sin 4277b Bc C ===，得到334b c =，代入bc =，得到2334c =，解得4c =，所以b =由余弦定理得，2222232cos 42427163672a b c bc A =+-=+-⨯⨯+-=，所以a =21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧面PAD 是正三角形，M 是侧棱PD 的中点，且AM ⊥平面PCD ．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）77【分析】（1）由AM ⊥平面PCD ，得到AM CD ⊥，易得AD CD ⊥，进而得到CD ⊥平面PAD ，然后利用面面垂直的判定定理证明；（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，先求得平面PBC 的一个法向量(),,n x y z = ，设AM 与平面PBC 所成角θ，由sin AM n AM nθ⋅=⋅求解.【小问1详解】证明：因为AM ⊥平面PCD ，所以AM CD ⊥，又底面ABCD 为正方形，所以AD CD ⊥，又AD AM A = ，所以CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ；【小问2详解】取AD 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，则以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系：设AB =2，则()()()(()131,0,0,1,2,0,1,2,0,0,0,3,1,0,0,,0,22A B C P D M ⎛--- ⎪⎝⎭，所以((33,0,,1,2,3,1,2,322AM PB PC ⎛=-==-- ⎪⎝⎭，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00PB n PC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即230230x y z x y z ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，令3z =，则32y =，x =0，则30,32n ⎛= ⎝ ，设AM 与平面PBC 所成角θ，所以372sin cos ,72132AM nAM n AM n θ⋅====⋅⋅.22.苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的富士苹果，各产地的包装规格相同,它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地A B C D E 批发价格150160140155170市场份额15%10%25%20%30%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，求该箱苹果价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱富士苹果进行检验，①从产地,A B 共抽取n 箱,求n 的值；②从这n 箱苹果中随机抽取两箱进行等级检验，求两箱产地不同的概率；（3）由于受种植规模和苹果品质的影响，预计明年产地A 的市场份额将增加5%，产地C 的市场份额将减少5%，其它产地的市场份额不变，苹果销售价格也不变（不考虑其它因素）.设今年苹果的平均批发价为每箱1M 元，明年苹果的平均批发价为每箱2M 元，比较12,M M 的大小.（只需写出结论）【答案】（1）0.60；（2）35,5n P ==；（3）12M M <【分析】（1）价格低于160元的概率等价于价格低于160元的市场占有率之和；（2）①根据分层抽样的计算公式进行计算，可得出从产地,A B 共抽出的箱数；②将5箱进行编号，列举出选择两箱的所有可能，然后根据古典概型计算公式进行求解；（3）根据平均值计算公式1111n n x x p x p x p =+++ 进行估算．【详解】（1）设事件A ：“从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，该箱苹果价格低于160元”.由题意可得：()P A =0.15+0.25+0.20=0.60.（2）①A 地抽取2015%=3⨯；B 地抽取2010%=2⨯所以325n =+=.②设A 地抽取的3箱苹果分别记为123a ,,a a ；B 地抽取的2箱苹果分别记为12b ,b ，从这5箱中抽取2箱共有10种抽取方法.()()()()()()()()()()1213111223212231321,2a ,a ,a ,a ,a ,a ,a ,b a ,a ,a a b b a b b b b b ，，，，，，，，，,来自不同产地共有6种.所以从这n 箱苹果中随机抽取两箱进行等级检验，两箱产地不同的概率为：63==105P .（3）12M M <【点睛】本题考查了分层抽样、古典概型、平均数等知识，理清题意是解决问题的前提，熟练运用分层抽样、古典概型等公式是关键，属于基础题．23.对于一个非空集合A ，如果集合D 满足如下四个条件：①{(,),}D a b a A b A ⊆∈∈∣；②a A ∀∈，(,)a a D ∈；③,a b A ∀∈，若(,)a b D ∈且(,)b a D ∈，则a b =；④,,a b c A ∀∈，若(,)a b D ∈且(,)b c D ∈，则(,)a c D ∈，则称集合D 为A 的一个偏序关系.（1）设{1,2,3}A =，判断集合{(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)}D =，是不是集合A 的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A 的偏序关系的集合D ；（2）证明：{(,)R,R,}R a b a b a b ≤=∈∈≤∣是实数集R 的一个偏序关系：（3）设E 为集合A 的一个偏序关系，,a b A ∈.若存在c A Î，使得(,)c a E ∈，(,)c b E ∈，且d A ∀∈，若(,)d a E ∈，(,)d b E ∈，一定有(,)d c E ∈，则称c 是a 和b 的交，记为c a b =∧.证明：对A 中的两个给定元素a ，b ，若a b ∧存在，则一定唯一.【答案】（1）集合{(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)}D =，不是集合A 的偏序关系，{(1,1),(1,2)(2,2),(3,3)}，，（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据条件显然(1,2)D ∈，(2,3)D ∈，但(1,3)D ∉所以不满足条件④由此可判断，写出一个满足这四个条件的集合即可.（2）依次证明集合R ≤满足题目中的四个条件即可.（3）设为c a b =∧,则c A Î，则(,)c a E ∈，(,)c b E ∈，假设还存在一个f ，使得f a b =∧，则可以得到(,)f c E ∈，(,)c f E ∈，由条件③可得c f =从而得证.【详解】（1）由{(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)}D =，显然(1,2)D ∈，(2,3)D ∈，但(1,3)D∉所以不满足条件④,,a b c A ∀∈，若(,)a b D ∈且(,)b c D ∈，则(,)a c D∈所以集合{(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)}D =，不是集合A 的偏序关系.集合{(1,1),(1,2)(2,2),(3,3)}，满足条件①②③④,所以集合{(1,1),(1,2)(2,2),(3,3)}，是集合A 的偏序关系.（2）{(,)R,R,}R a b a b a b ≤=∈∈≤∣所以{(,)R,R,}{(,)R,R}R a b a b a b a b a b ≤=∈∈≤⊂∈∈∣∣，则满足①又a b ≤，所以a A ∀∈，(,)a a D ∈，则满足②由于a b ≤，则当,a b A ∀∈，若(,)a b D ∈，则(,)b a D ∉，也满足③由于{(,)R,R,}R a b a b a b ≤=∈∈≤∣，,,a b c A ∀∈，若(,)a b D ∈则a b ≤，若(,)b c D ∈，则b c ≤，所以a c≤所以(,)a c D ∈，所以满足④所以{(,)R,R,}R a b a b a b ≤=∈∈≤∣是实数集R 的一个偏序关系（3）对A 中的两个给定元素a ，b ，若a b ∧存在，设为c a b=∧所以c A Î，(,)c a E ∈，(,)c b E ∈，假设还存在一个f ，使得f a b=∧则f A Î，(,)f a E ∈，(,)f b E ∈，又对于c A Î有(,)c a E ∈，(,)c b E ∈，则(,)f c E∈由c A Î，(,)c a E ∈，(,)c b E ∈，对于f A Î，有(,)f a E ∈，(,)f b E ∈，则(,)c f E∈由条件③,a b A ∀∈，若(,)a b D ∈且(,)b a D ∈，则a b =可得c f=所以对A 中的两个给定元素a ，b ，若a b ∧存在，则一定唯一【点睛】关键点睛：本题考查集合中的新定义问题，解答本题的关键是弄清楚定义的意义，特别是③,a b A ∀∈，若(,)a b D ∈且(,)b a D ∈，则a b =，以及c a b =∧的意义，假设还存在一个f ，使得f a b =∧，则可以得到(,)f c E ∈，(,)c f E ∈，属于难题.。
2022-2023学年北京市第二中学高二上学期11月月考化学试卷含详解
北京二中2022—2023学年度第二学段高二年级学段考试试卷化学选择性必修1常用相对原子质量：N—14，C—12，H—1，O—16一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题2分，共50分)1.下列物质属于弱电解质的是A.CO 2B.H 2OC.HNO 3D.NaOH2.下列反应中，属于吸热反应的是A.Al 与盐酸反应 B.盐酸和NaOH 溶液反应C.乙醇燃烧反应D.Ba(OH)2·8H 2O 晶体与NH 4Cl 固体反应3.下列因素不可能影响化学平衡移动的是A.温度 B.催化剂C.反应物的浓度D.压强4.某原电池总反应为Cu＋2Fe 3＋＝Cu 2＋＋2Fe 2＋，下列能实现该反应的原电池是选项A B C D 电极材料Cu、Zn Cu、C Fe、Zn Cu、Ag 电解液FeCl 3Fe(NO 3)2CuSO 4Fe 2(SO 4)3A.AB.BC.CD.D5.下列物质的溶液在蒸发皿中加热蒸干并灼烧，可以得到该物质的是A.FeSO 4B.MgSO 4C.AlCl 3D.NH 4Cl6.在以下各种情形下，方程式的书写正确的是A.熔融状态下的4NaHSO 电离：244NaHSO Na H SO +-+=++B.23H CO 的电离：2233H CO 2H CO +-+ C.3NaHCO 的水解：3223HCO H O H CO OH--++ D.向硫酸铝溶液中滴加碳酸钠溶液：()3232332Al3CO Al CO +-+=↓7.化学与生产、生活密切相关，下列事实与盐类水解无关的是A.蓝矾可用于饮用水的杀菌消毒B.热纯碱能除去物品表面的油污C.明矾用于净水D.将3FeCl 饱和溶液滴入沸水中制取()3Fe OH 胶体8.在氨水中，存在着电离平衡：NH 3·H 2O NH 4++OH −。
下列说法正确的是A.温度不变时，加水稀释，电离平衡常数K b 增大B.加入NaOH 溶液，平衡一定向逆反应方向移动C.加入NH 4Cl 固体，平衡向逆反应方向移动，c(NH 4+)减小D.加入冰醋酸，平衡向正反应方向移动9.下列说法中，可以证明醋酸是弱电解质的是A.醋酸溶液连接到一电路中，发现灯泡较暗B.某温度下，等浓度的醋酸溶液和盐酸，醋酸溶液中水电离出的H +浓度较大C.100mL 10.1mol L -⋅的醋酸溶液恰好中和10mL 11mol L -⋅的NaOH 溶液D.某温度下，等浓度的醋酸钠溶液和氢氧化钠溶液中，氢氧化钠溶液的pH 较大10.一定条件下，在某2Na S 的稀溶液中，下列说法不正确．．．的是A.加水稀释溶液，()()2HS S c c --增大B.通入少量HCl 气体，水电离的()OH c -减小C.()()()()2OHHS H S H c c c c --+=++D.适当升高温度，溶液中()2Sc -浓度减小11.下列不能用勒夏特列原理解释的是A.FeCl 3溶液配制时需将FeCl 3固体溶于较浓盐酸中，再稀释到指定浓度B.硫酸工业中，SO 2和O 2化合成SO 3(△H<0)过程采用高温、常压C.雪碧拧开瓶盖时看到液体内出现大量气泡并上浮D.NO 2(红棕色)与N 2O 4(无色)转化达到平衡后，压缩体积到一半，颜色加深，但比两倍要浅12.银质器皿日久表面会逐渐变黑，这是生成了Ag 2S 的缘故。
2022-2023学年全国高中高二上数学北师大版月考试卷(含解析)
2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：146 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 如图程序的输出结果为（ ）A.B.C.D.2. 命题“”的否定是（ ）A.B.C.D.3. 已知圆 ，直线：，则圆上到直线距离为的点的个数为( )A.B.C.(4,3)(7,7)(7,10)(7,11)∃∈R,−+1≤0x 0x 30x 20∃∈R,−+1<0x 0x 30x 20∀x ∈R,−+1>0x 3x 2∃∈R,−+≥0x 0x 30x 20∀x ∈R,−+1≤0x 3x 2C :+=16(x −2)2(y +1)2l 3x −4y =0C l 2432D.4. 甲、乙两名同学八次数学测试成绩如茎叶图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为A.，B.，C.，D.，5. 垂直于直线且与圆相切于第三象限的直线方程是（ ）A.B.C.D.6. 若集合，集合 ，则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 如图所示的大正方形的面积为，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为（ ）A.1( )8586858586858686y =x −2+=1x 2y 2x +y +=02–√x +y −=02–√x +y +1=0x +y −1=0A ={x|y =ln(1+x)}B ={y|y =ln(1−x)}A B ()132B. C. D.8. 某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )A.B.C.D.9. 若命题，，命题，，若“”为真命题，则实数的取值范围是( )A.B.或C.D.或10. 其食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度（如表）．年份芳香度由最小二乘法得到回归方程，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为（ ）A.3–√43–√353–√32p :∀x ∈[1,2]−a ≥0x 2q :∃x ∈R +2ax +2−a =0x 2p ∧q a −2≤a ≤1a ≤−21≤a ≤2a ≥1a =1a ≤−2x 014568y 1.31.85.67.49.3=1.03x +1.13y ∧6.28B.C.D.11. 已知函数，若方程＝有两个解，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.12. 在三棱柱中， ，侧棱底面，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球的表面上，且球的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为 A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知命题，，则￢为________．14. 若三条直线，，不能围成三角形，则实数取值范围是________．15. 执行如图所示的程序框图输出的结果是，则空白判断框内应该填入( )6.16.56.8f(x)={ −4x +a,x <1x 2ln x +1,x ≥1f(x)2a (−∞,2)(−∞,2](−∞,5)(−∞,5]ABC −A 1B 1C 1AB =BC =AC A ⊥A 1ABC O O 4π()63–√33–√32–√3p :∀x ∈(2,+∞)>4x 2p 4x +y +4=0mx +y +1=0x −y +1=0m 55A. B. C. D.16. 如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体棱长为，则该二十四等边体的体积为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17. 求经过点且在轴上的截距等于在轴上截距的倍的直线的方程．18.某教练统计了甲、乙两名三级跳远运动员连续次的跳远成绩（单位：米），统计数据如图所示．分别求甲、乙跳远成绩的平均数；通过平均数和方差分析甲、乙两名运动员的平均水平和发挥的稳定性．19. 已知命题：“方程有两个不相等的实根”，命题是真命题．求实数的取值集合；设不等式的解集为，若是的充分条件，求的取值范围． 20. 在庆祝建党周年的文艺汇演中，需要将，，，，，，七个节目进行排序．z <34z <55z ≤21z ≤551A(−5,2)x y 25(1)(2)p −mx +1=0x 2p (1)m M (2)(x −a)(x −a −4)<0N x ∈N x ∈M a 100A B C D E F G A（1）若，两节目中间恰好插有一个节目，则有多少种不同的排法？（2）由于演出时间的调整，从七个节目中抽取五个节目排序演出，且不安排在第一个和最后一个，不排在正中间（第三个），则有多少种不同的排法？21. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，是的中点．证明：平面；证明：平面．22. 已知圆＝，点，．（1）若线段的中垂线与圆相切，求实数的值；（2）过直线上的点引圆的两条切线，切点为，，若＝，则称点为“好点”．若直线上有且只有两个“好点”，求实数的取值范围．A B A B P −ABCD ABCD PD ⊥ABCD PD =DC E PC (1)PA//BDE (2)DE ⊥PBC O :+x 2y 2(a >0)a 2A(0,4)B(2,2)AB O a AB P O M N ∠MPN 60∘P AB a参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】赋值语句【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算，的值并输出．【解答】解：程序在运行过程中各变量的结果如下表示：第一行 第二行 第三行 第四行 故程序的输出结果为．故选：．2.【答案】B【考点】全称命题与特称命题【解析】此题暂无解析【解答】B 3.【答案】X Y (X,Y )X =4Y =3X =X +Y =7Y =X +Y =10(7,10)CB【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】利用点到直线的距离公式，圆的标准方程得解，属于基础题.【解答】解：由题设得圆心，半径为，圆心到直线的距离为，在直线的两侧分别有个点和个点到直线的距离为，故圆上到直线的距离为的点为个.故选.4.【答案】B【考点】众数、中位数、平均数、百分位数茎叶图【解析】根据中位数是一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处在中间位置的一个数（或中间两个数据的平均数），求出即可．【解答】解：由茎叶图知，甲的个得分中，出现频率最多的数是，所以甲的众数为.乙的个得分中，按照从小到大的顺序依次排列，处在中间位置的两个数是和，所以中位数是．故选．5.【答案】A【考点】点到直线的距离公式C (2,−1)43x −4y =0d ==2|3×2−4×(−1)|5212C l 23B 8858588585=8585+852B【解答】解：设所求方程为，圆心到直线的距离为，所以．故选．6.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得，集合，集合 中，则是的充分不必要条件.故选.7.【答案】D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】求得阴影部分正方形的面积，进而可得答案．【解答】设阴影小正方形的边长为，则在直角三角形中，有，解得＝或＝（舍去），∴阴影部分的面积为，∴飞镖落在阴影部分的概率为．8.y =−x +m(m <0)r ==1|m|2–√m =−2–√A A ={x|y =ln(1+x)}={x|x >−1}B ={y|y =ln(1−x)}=R A B A x x 2x −51【考点】由三视图求体积【解析】此题暂无解析【解答】解：几何体的直观图如图所示（四棱锥）,∴其体积.故选.9.【答案】D【考点】复合命题及其真假判断【解析】先根据二次函数的最小值，以及一元二次方程的解的情况和判别式的关系求出，下的的取值范围，然后根据为真命题知，都是真命题，所以求，下的取值范围的交集即可．【解答】解：，，即：在上恒成立，∴在上的最小值为，∴.，，则：方程有解，∴，解得，或.若“”为真命题，则，都是真命题；∴A −BCDE V =×(×2)×=131+223–√3–√A △p q a p ∧q p q p q a p :∀x ∈[1,2]−a ≥0x 2a ≤x 2x ∈[1,2]x 2[1,2]1a ≤1q :∃x ∈R +2ax +2−a =0x 2+2ax +2−a =0x 2Δ=4−4(2−a)≥0a 2a ≤−2a ≥1p ∧q p q {a ≤1,a ≤−2，或a ≥1,∴或.故选．10.【答案】B【考点】求解线性回归方程【解析】由题意求出，代入到回归直线方程，即可求解污损处的数据．【解答】解：由表中数据：，回归方程，∴，∴，解得：？.故选．11.【答案】C【考点】函数与方程的综合运用函数的零点与方程根的关系分段函数的应用【解析】利用分段函数，求出时的零点，然后求解时的零点，推出结果即可．【解答】函数，当时，方程＝，可得＝，解得＝，函数由一个零点，时，函数只有一个零点，即＝，在时只有一个解．因为＝开口向上，对称轴为：＝，时，函数是减函数，所以，可得：，解得．故选：．a ≤−2a =1D x ¯¯¯y¯¯¯=(0+1+4+5+6+8)=4x¯¯¯16=1.03x +1.13y ∧=1.03×4+1.13=5.25y ∧=(1.3+1.8+5.6++7.4+9.3)=5.25y ¯¯¯16=6.1B x ≥1x <1f(x)={ −4x +a,x <1x 2ln x +1,x ≥1x ≥1f(x)2ln x +12x e x <1−4x +a x 22x <1y −4x +a −2x 2x 2x <1f(1)<2−3+a <2a <5C12.【答案】B【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积球内接多面体球的表面积和体积【解析】由 ，且，可知三棱柱为正三棱柱，从而三棱柱外接球的球心在三棱柱上下两个底面中心的连线上，设，，可求出外接球的半径，再由三棱柱外接球的表面积的最小值为，即外接球的半径的最小值为1，可求出，即进一步计算可知三棱柱的侧面积为.【解答】解：由题意，三棱柱中，，且底面，则三棱柱为正三棱柱，从而三棱柱外接球的球心在三棱柱上下两个底面中心的连线上，如图所示：设，，则.∵，∴外接球的半径.又∵三棱柱外接球的表面积的最小值为，即外接球的半径的最小值为，则，即，当且仅当，即，时取等号，∴三棱柱的侧面积为.故选.AB =AC =BC A ⊥ABC A 1ABC −A 1B 1C 1AB =a A =h A 1R =+a 23h 24−−−−−−−√4πR +≥2×=ah =1a 23h 24×a 23h 24−−−−−−−√3–√3ah =3–√S =3×a ×h =3ah =33–√ABC −A 1B 1C 1AB =AC =BC A ⊥A 1ABC ABC −A 1B 1C 1O AB =a A =h A 1A =×a =a O ′233–√23–√3O =A =O ′12A 1h 2R =+a 23h 24−−−−−−−√4πR 1+≥2×=ah =1a 23h 24×a 23h 24−−−−−−−√3–√3ah =3–√=a 23h 24a =6–√2h =2–√S =3ah =33–√B二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】，【考点】命题的否定【解析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．【解答】根据含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，所以命题，，则￢为，．14.【答案】【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】三条直线，，不能围成三角形，可得或或经过直线与的交点，解出即可．【解答】解：由题意，联立，解得，∴直线与的交点为；∵三条直线，，不能围成三角形，∴或或经过直线与的交点，即，或，或，解得，或．故答案为：．15.【答案】∃x ∈(2,+∞)≤4x 2p :∀x ∈(2,+∞)>4x 2p ∃x ∈(2≤8x 2{4,1,−1}:4x +y +4=0l 1:mx +y +1=0l 2:x −y +1=0l 3//l 2l 1//l 2l 3l 2l 1l 3{4x +y +4=0x −y +1=0{x =−1y =0l 1l 3(−1,0):4x +y +4=0l 1:mx +y +1=0l 2:x −y +1=0l 3//l 2l 1//l 2l 3l 2l 1l 3−m =−4−m =1−m +0+1=0m =4m =±1{4,1,−1}B【考点】程序框图【解析】根据程序框图，利用模拟循环的方法，按照条件循环下去即可.【解答】解：根据程序框图知：，，，循环，，，循环，，，循环，，，循环，，，循环，，，循环，，，循环，，停止，输出结果为．故空白判断框内应该填入.故选.16.【答案】【考点】由三视图求体积（组合型）【解析】由题意知二十四等边体是棱长为的正方体，沿着八个顶点过棱的中点截去八个三棱锥，根据二十四等边体的棱长为，可以求出正方体的棱长，利用正方体的体积减去个全等的三棱锥（三条互相垂直的棱长且棱长为）的体积即可求解．【解答】x =1y =1z =2x =1y =2z =3x =2y =3z =5x =3y =5z =8x =5y =8z =13x =8y =13z =21x =13y =21z =34x =21y =34z =55z =55z <55B 52–√32a =a =1+a 2a 2−−−−−−√2–√82–√2=a −−−−−−√–√如图：设原正方体的棱长为，则二十四等边体的棱长为由题意可得，所以所以正方体棱长为，则正方体的体积为又截去的个三棱锥为全等三棱锥，都有三条互相垂直的棱长且棱长为故截去体积为所以等边体的体积为故答案为：三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17.【答案】解：当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入可得，∴，此时，直线方程为．当直线过原点时，直线的方程为，把点代入可得，∴，即，综上可得，满足条件的直线方程为：或．【考点】直线的一般式方程直线的截距式方程【解析】当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入求得的值，即可求得直线方程．当直线过原点时，直线的方程可设为，把点代入求得的值，即可求得直线方程．综合可得答案．【解答】解：当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入可得，∴，此时，直线方程为．当直线过原点时，直线的方程为，把点代入可得，∴，即，综上可得，满足条件的直线方程为：或．18.【答案】解：根据题意可知，2a =a +a 2a 2−−−−−−√2–√a =12–√a =2–√22a =2–√××=22–√2–√2–√2–√82–√28××××=1312()2–√222–√22–√324V =2−=2–√2–√352–√352–√3+=1x 2a y a A(−5,2)a =−1x +2y +1=0y =kx A(−5,2)k =−252x +5y =02x +5y =0x +2y +1=0+=1x 2a y a A(−5,2)a y =kx A(−5,2)k +=1x 2a y a A(−5,2)a =−1x +2y +1=0y =kx A(−5,2)k =−252x +5y =02x +5y =0x +2y +1=0(1)=(8+9+12+12+14)=11x ¯¯¯甲15(7+9+11+13+15)=111．，，∵，，∴甲、乙两名运动员的平均水平相当，甲的发挥更稳定．【考点】众数、中位数、平均数、百分位数极差、方差与标准差【解析】无无【解答】解：根据题意可知，．，，∵，，∴甲、乙两名运动员的平均水平相当，甲的发挥更稳定．19.【答案】解：命题：方程有两个不相等的实根，∴，解得或，∴或．因为是的充分条件，所以，，或，综上，或.【考点】命题的真假判断与应用一元二次不等式的解法根据充分必要条件求参数取值问题【解析】无5=(7+9+11+13+15)=11x ¯¯¯乙15(2)=[(8−11+(9−11+s 2甲15)2)2(12−11+(12−11+(14−11]=4.8)2)2)2=[(7−11+(9−11+s 2乙15)2)2(11−11+(13−11+(15−11]=8)2)2)2=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙<s 2甲s 2乙(1)=(8+9+12+12+14)=11x ¯¯¯甲15=(7+9+11+13+15)=11x ¯¯¯乙15(2)=[(8−11+(9−11+s 2甲15)2)2(12−11+(12−11+(14−11]=4.8)2)2)2=[(7−11+(9−11+s 2乙15)2)2(11−11+(13−11+(15−11]=8)2)2)2=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙<s 2甲s 2乙(1)p −mx +1=0x 2Δ=−4>0m 2m >2m <−2M ={m|m >2m <−2}(2)x ∈N x ∈M N ⊆M N ={x|a <x <a +4}a +4≤−2a ≥2a ≤−6a ≥2无【解答】解：命题：方程有两个不相等的实根，∴，解得或，∴或．因为是的充分条件，所以，，或，综上，或.20.【答案】..【考点】古典概型及其概率计算公式排列、组合及简单计数问题列举法计算基本事件数及事件发生的概率计数原理的应用排列、组合的应用【解析】..【解答】看不清，无法录入.21.【答案】证明：连结，设与交于点，连结，∵底面是正方形，∴为中点，又为的中点，，(1)p −mx +1=0x 2Δ=−4>0m 2m >2m <−2M ={m|m >2m <−2}(2)x ∈N x ∈M N ⊆M N ={x|a <x <a +4}a +4≤−2a ≥2a ≤−6a ≥2(1)AC AC BD O EO ABCD O AC E PC OE//PA OE ⊂PA ⊂∵平面，平面，∴平面．∵，是中点，∴，∵底面，∴，又∵∴平面，又平面，故，又，∴平面．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：连结，设与交于点，连结，∵底面是正方形，∴为中点，又为的中点，，∵平面，平面，∴平面．∵，是中点，∴，∵底面，∴，又∵∴平面，又平面，故，又，∴平面．22.【答案】由，得的中点坐标为，直线的斜率为，…..所以的中垂线方程为＝，即＝，…..又因为的中垂线与圆相切，OE ⊂BDE PA ⊂BDE PA//BDE (2)PD =DC E PC DE ⊥PC PD ⊥ABCD PD ⊥BC BC ⊥CD ，PD ∩CD =D ，BC ⊥PCD DE ⊂PCD BC ⊥DE BC ∩PC =C DE ⊥PBC (1)AC AC BD O EO ABCD O AC E PC OE//PA OE ⊂BDE PA ⊂BDE PA//BDE (2)PD =DC E PC DE ⊥PC PD ⊥ABCD PD ⊥BC BC ⊥CD ，PD ∩CD =D ，BC ⊥PCD DE ⊂PCD BC ⊥DE BC ∩PC =C DE ⊥PBC A(0,4)B(2,2)AB (1,3)AB −1AB y −31×(x −1)x −y +20AB O a2所以圆心到中垂线的距离，即．连接，，在中，＝，＝，所以＝＝，…．所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，记为圆，则圆的方程为＝，…..又因为直线的方程为＝，且直线上有且只有两个“好点”，则直线与圆相交，所以圆心到直线的距离，故实数的取值范围是．…．【考点】直线和圆的方程的应用直线与圆的位置关系【解析】（1）求出的中点坐标为，求出直线的斜率，的中垂线方程＝，利用直线与圆相切，求解即可．（2）连接，，得到圆的方程为＝，直线上有且只有两个“好点”，推出圆心到直线的距离，求解即可．【解答】由，得的中点坐标为，直线的斜率为，…..所以的中垂线方程为＝，即＝，…..又因为的中垂线与圆相切，所以圆心到中垂线的距离，即．连接，，在中，＝，＝，所以＝＝，…．所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，记为圆，则圆的方程为＝，…..又因为直线的方程为＝，且直线上有且只有两个“好点”，则直线与圆相交，所以圆心到直线的距离，O AB =a 22–√a =2–√PO OM Rt △POM ∠OPM 30∘OM a PO 2OM 2a P O 2a O ′O ′+x 2y 24a 2AB x +y −40AB AB O ′O AB <2a 42–√a (,+∞)2–√AB (1,3)AB AB x −y +20a PO OM O ′+x 2y 24a 2AB O AB <2a 42–√A(0,4)B(2,2)AB (1,3)AB −1AB y −31×(x −1)x −y +20AB O O AB =a 22–√a =2–√PO OM Rt △POM ∠OPM 30∘OM a PO 2OM 2a P O 2a O ′O ′+x 2y 24a 2AB x +y −40AB AB O ′O AB <2a 42–√(,+∞)–√故实数的取值范围是．…．a (,+∞)2–√。
2023北京市二中高二分班考试数学试题及详解
2023北京市二中高二分班考试数学试题
及详解
本文档提供了2023年北京市二中高二分班考试的数学试题及详细解析。
试题一
题目：
一辆车从A地出发，匀速行驶到B地，全程120公里，用时2小时。
然后以相同的速度返回A地，此时全程用时3小时。
求此车的速度。
解析：
我们可以使用速度的公式：速度 = 距离 / 时间。
假设车速为v，从A到B的距离为120公里，用时2小时。
那么根据公式，得到：
v = 120 / 2 = 60公里/小时
由于返回A地的全程用时是3小时，所以从B到A的距离也
是120公里。
根据公式，得到：
v = 120 / 3 = 40公里/小时
所以，此车的速度是60公里/小时。
试题二
题目：
已知函数 f(x) = x^2 + 2x + 1，求函数 f(x+1) 的表达式。
解析：
我们需要将 x+1 代入 f(x) 中，并计算得到函数 f(x+1) 的表达式。
将 x+1 代入 f(x) 中：
f(x+1) = (x+1)^2 + 2(x+1) + 1
展开并化简：
f(x+1) = x^2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 1
合并同类项：
f(x+1) = x^2 + 4x + 4
所以，函数 f(x+1) 的表达式为 x^2 + 4x + 4。
以上为2023年北京市二中高二分班考试数学试题及详解的部分内容。
更多试题及详细解析请参考相关教材或咨询相关教师。
北京市第二中学2021-2022学年高二上学期期中考试化学试题 Word版含解析
北京二中2021-2022学年度第一学段高二班级学段考试试卷化学选修Ⅳ命题人：杨晓琳 审核人：况红燕、常宏 得分：__________ 一、选择题（每小题2分，共50分） 1．下列说法不正确的是（ ）A ．煤燃烧是化学能转化为热能的过程B ．化石燃料和植物燃料燃烧时放出的能量均来源于太阳能C ．给电池进行充电是电能转变成化学能的过程D ．植物通过光合作用将CO 2转化为葡萄糖是太阳能转变成热能的过程 【答案】D【解析】A ．煤燃烧是化学变化，变化过程中放热，是化学能转化为热能，故A 正确；B ．植物通过光合作用把太阳能转变成自身的物质而储存在植物体内，所以植物燃料的能量来源于太阳能，化石燃料是由死去的动植物在地下分解转化而形成的，其能量也来源于太阳能，故B 正确；C ．给电池充电是电解池原理，是电能转化为化学能的过程，故C 正确；D ．植物通过光合作用将CO 2转化为葡萄糖，是太阳能转变成化学能的过程，故D 错误。
故选D 。
2．下列物质的水溶液能导电，属于强电解质的是（ ） A ．冰醋酸 B ．明矾 C ．SO 3 D ．C 2H 5OH 【答案】B【解析】强电解质有强酸（HCl 、H 2SO 4、HNO 3、HBr 、HI 、HClO 4），强碱（NaOH 、KOH 、Cl(OH)2、Ba(OH)2）和盐。
A ．冰醋酸是乙酸，是弱酸，其水溶液能导电，故A 不符题意；B ．明矾是KAl(SO 4)2·12H 2O ，易溶于水，且是盐，是强电解质，其水溶液能导电，故B 符合题意；C ．SO 3是非电解质，SO 3与H 2O 反庆成H 2SO 4，H 2SO 4溶于水能导电，故C 不符合题意；D ．C 2H 5OH 是有机物，属于非电解，其水溶液不导电，故D 不符合题意。
故选B 。
3．在 2A B 3C 4D ++反应中，表示该反应速率最快的数据是（ ） A ．v (A)=0.5mol ·L -1·s -1 B ．v (B)=0.3mol ·L -1·s -1 C ．v (C)= 0.8mol ·L -1·s -1 D ．v (D)=1.0mol ·L -1·s -1 【答案】B【解析】在化学反应中，各物质的速率之比等于化学计量系数之比；比较化学反应速率快慢需用同一物质的速率比较，故以物质B 为标准。
北京市第二中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷
北京二中2022—2023学年度第三学段高二年级学段考试试卷数学一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．选出符合题目要求的一项）1. 在等差数列{}n a 中，若1241,10a a a =+=，则20a = （A ） 38 （B ） 39 （C ）40 （D ）412. 已知数列{}n a 的前n 项和22+1n S n n =-，则 3a = （A ）2 （B ） 3 （C ）4 （D ）53.已知数列{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，3212-=b b ，则{b n }的通项公式 （A ）2=n n b （B ） 23=⨯n n b （C ）123-=⨯n n b （D ）126-=⨯n n b4. 已知双曲线2221(0)x y a a-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则a =（A ）3（B （C ）（D ）135. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝ （A ）11- （B ）313 （C ） 31-3（D ）96. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1316,2a S a ==，则当n =_________，n S 有最大值．（A ）3 （B ）4 （C ）3或4 （D ） 4或57. 设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为直线a x 23=上一点，△12PF F 是底角为30°的等腰三角形，则椭圆C 的离心率为（A （B ）12 （C ） （D ）348. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1,2,3，…)，则2n S =（A ）121(1)32+-n （B ） 112-n （C ）21(1)34-n （D ）41(1)34-n9. 如果数列{}n a 满足211n n n na a k a a +++-=（k 为常数），那么数列{}n a 叫做等比差数列，k 叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是 ①若数列{}n a 满足12n na n a +=，则该数列是等比差数列；②数列{2}n n ⋅是等比差数列； ③所有的等比数列都是等比差数列； ④存在等差数列是等比差数列．（A ）①②③ （B ）①③④ （C ）①②④（D ）②③④10. 已知抛物线C 的焦点F 到准线l 的距离为4，点P 是直线l 上的动点．若点A 在抛物线C 上，且||6=AF ，过点A 作直线PF 的垂线，垂足为H ，则||||PH PF ⋅的最小值为（A ）16 （B ）6 （C）（D）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11. 在等差数列{}n a 中，已知473,9==a a ，则3579+++a a a a =________．12. 某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：[30,40)，[40,50)，…，[90,100]，整理得到如下频率分布直方图．这1000名用户满意度的第25百分位数是______. 13. 在数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且21n n S a =+，则数列的通项公式n a = ．14. 已知数列{}n a 中，12=a ,11ln++=+n n n a a n，则数列的通项公式n a = .15.在棱长为 2 的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱111,,BB CC DD 交于点E ,F ,G ，记四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为2S . 给出下面有四个结论：①四边形AEFG 是平行四边形； ②12S S 的最大值为4； ③12S S +的最大值为6；④四边形AEFG 可以是菱形，且菱形面积的最大值为则其中所有正确结论的序号是_____.三、解答题（共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16（本题满分10分）已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-. (Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在[0,]2π上的最大值和最小值.17（本题满分12分）已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且66=-a ，73=-a . （I ）求{n a }通项公式及n S 的最小值；（II ）数列{n b }为等比数列，且19=b a ，211=b a ，求数列{n b }的前n 项和n T ；（III ）数列{n c }满足(1)=-nn n c a ，其前n 项和为n P ，请直接写出2022P 的值（无需计算过程）.18（本题满分14分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，EB //PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF PC ⊥；（Ⅱ）求二面角D PC E --的大小．（III ）在棱PE 上是否存在点M ，使得直线DM 与平面PCE 所若存在，求PM 的长；若不存在，请说明理由.19（本题满分12分）已知直线l ：=+x my n （0≠n ）与抛物线24=y x 交于M ，N 两点，且∠MON =90°. （1）求M ，N 两点的横坐标之积和纵坐标之积； （2）求∆MON 面积的最小值.20（本题满分14分）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的离心率为12，且过点A (－2，0)．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 斜率为k 的直线l 与椭圆交于不同两点M ，N （都不同于点A ），且直线AM ，AN 的斜率之积等于1. 试问直线l 是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．21（本题满分13分）设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a 为(2,3,4,)n n = 阶“Q 数列”：①120n a a a +++=； ②121n a a a +++=.（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“Q 数列”；（Ⅱ）若2018阶“Q 数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式； （Ⅲ）记n 阶“Q 数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =，求证12k S ≤.。
北京市第二中学2022-2023学年高二下学期第六学段(期末)考试数学试题
北京市第二中学2022-2023学年高二下学期第六学段（期末）考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．()f x在区间()2,3-上有2B．()x-处取得极小值f x在=1C．()f x在区间()-上单调递减2,3D．()x=处取得极大值f x在1C．(0,)e D．2e(0,)10．某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标．分值权重表如下：四、填空题七、解答题16．数列{}na 中11a =，11n n a a +=+.等比数列{}nb 的前n 项和为n T .若111b a =+，222b a -=．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求满足300n nT a +>的最小的n 值．17．已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表当m取最小值时M的一个基底A．重复一个”．再讨论当4m =时，集合A 的所有情况均不可能是M 的4元基底，而当5m =时，M 的一个基底{}135916A =，，，，，由此可得m 的最小可能值为5．【详解】（1）①{}1,5A =不是{}1,2,3,4,5M =的一个二元基底.理由是{}()1212315,1,0,1l l l l ¹×+×Î-；②{}2,3A =是{}1,2,3,4,5,6M =的一个二元基底.理由是11213,21203,30213=-´+´=´+´=´+´，41212,51213,61313=´+´=´+´=´+´.（2）不妨设12m a a a <<<L ，则形如10i j a a ×+× ()1i j m £££的正整数共有m 个；形如11i i a a ×+× ()1i m ££的正整数共有m 个；形如11i j a a ×+× (1)i j m £<£的正整数至多有2C m个；形如()11i ja a -×+× (1)i j m £<£的正整数至多有2C m 个.又集合{}1,2,3,,M n =L 含n 个不同的正整数，A 为集合M 的一个m 元基底.故22C C m m m m n +++³，即()1m m n +³.（3）由（2）可知()119m m +³，所以4m ³.当4m =时，()1191m m +-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *假设{}1234,,,A a a a a =为{}1,2,3,,19M =L 的一个4元基底，不妨设1234a a a a <<<，则410a ³.当410a =时，有39a =，这时28a =或7.如果28a =，则由1109,198,1899,18108=-=-=+=+，与结论*矛盾.如果27a =，则16a =或5.易知{}6,7,9,10A =和{}5,7,9,10A =都不是{}1,2,3,,19M =L 的4元基底，矛盾.当411a =时，有38a =，这时27a =，16a =，易知{}6,7,8,11A =不是{}1,2,3,,19M =L 的4元基底，矛盾.当412a =时，有37a =，这时26a =，15a =，易知{}5,6,7,12A =不是{}1,2,3,,19M =L 的4元基底，矛盾.当413a =时，有36a =，25a =，14a =，易知{}4,5,6,13A =不是{}1,2,3,,19M =L 的4元基底，矛盾.当414a =时，有35a =，24a =，13a =，易知{}3,4,5,14A =不是{}1,2,3,,19M =L 的4元基底，矛盾.当415a =时，有34a =，23a =，12a =，易知{}2,3,4,15A =不是{}1,2,3,,19M =L 的4元基底，矛盾.当416a =时，有33a =，22a =，11a =，易知{}1,2,3,16A =不是{}1,2,3,,19M =L 的4元基底，矛盾.当417a ³时，A 均不可能是M 的4元基底.当5m =时，M 的一个基底{}1,3,5,9,16A =；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，m 的最小可能值为5.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
北京市第二中学2023-2024学年高二上学期12月第二学段考试数学试卷
北京市第二中学2023-2024学年高二上学期12月第二学段考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（）A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.8理疏导后至少有一人的心理等级转为B 的概率；（3）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100)22．已知线段AB 的端点B 的坐标是()64，，端点A 的运动轨迹是曲线C ，线段AB 的中点M 的轨迹方程是()()22421x y -+-=．(1)求曲线C 的方程；(2)已知斜率为k 的直线l 与曲线C相交于异于原点O 的两点E F ，，直线OE OF ，的斜率分别为1k ，2k ，且122k k =．证明：直线l 恒过定点．23．设A 是正整数集的一个非空子集，如果对于任意x A Î，都有1x A -Î或1x A +Î，则称A 为自邻集.记集合{1,2,}(2,N)n A n n n =>ÎL 的所有子集中的自邻集的个数为n a .(1)直接写出4A 的所有自邻集；(2)若n 为偶数且6n >，求证：n A 的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；(3)若4n ³，求证：12n n a a -£.MN ÌQ 平面MNQ ，//MN \平面PAB；（2）如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,3,0D ，()0,0,3P ，又N 是BC 中点，则()2,1,0N ，所以()0,3,3PD =-uuu r ，()2,1,0CD =-uuu r ，()2,2,0DN =-uuur，设平面PCD的法向量()1111,,n x y z =ur，则11111133020PD n y z CD n x y ì×=-=ïí×=-+=ïîuuu r ur uuu r ur ，令11x =，则()11,2,2n =ur，设平面PND 的法向量()2222,,n x y z =uu r，即2440m km +-<，所以直线l 的方程为()4y k x =+，即直线l 过定点()4,0P -．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y ，()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算D ；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为1212,x x x x +的形式；（5）代入韦达定理求解.23．(1){}{}{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,2,3,4,1,2,2,3,3,4(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据自邻集的定义及子集的概念一一写出结果即可；（2）取n A 的一个含5个元素的自邻集{}23451,,,,B x x x x x =，判定集合{}543211,1,1,1,1n C n x n x n x n x n x A =+-+-+-+-+-Í，再证明C 也是自邻集且B C ¹，从而得出结论；（3）记自邻集中最大元素为k 的自邻集的个数为k b ，N k *Î，则当4n ³时有1n n n a a b -=+，再分类讨论证明1n n b a -≤即可.【详解】（1）由题意可得，4A 的所有自邻集有：{}{}{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,2,3,4,1,2,2,3,3,4；（2）对于n A 的含5个元素的自邻集{}23451,,,,B x x x x x =，不妨设12345x x x x x <<<<.因为对于i x B "Î，都有1i x B -Î或1i x B +Î，1i =，2，3，4，5，所以211x x =+，451x x =-，321x x =+或341x x =-.对于集合5{1C n x =+-，41n x +-，31n x +-，21n x +-，11}n x +-，因为123451x x x x x n £<<<<£，所以11i n x n £+-£，1i =，2，3，4，5，5432111111n x n x n x n x n x +-<+-<+-<+-<+-，所以n C A Í.因为211x x =+，451x x =-，321x x =+或341x x =-.所以21n x +-=()111n x +--，()45111n x n x +-=+-+，341(1)1n x n x +-=+-+或31(n x +-=21)1n x +--，所以对于任意11i n x C +-+Î或11i n x C +--Î，1i =，2，3，4，5，所以集合C 也是自邻集.因为当n 为偶数时，331x n x ¹+-，所以B C ¹.所以对于集合n A 的含5个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应.所以，n A 的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数.（3）记自邻集中最大元素为k 的自邻集的个数为k b ，N k *Î，当4n ³时，1231n n a b b b --=+++L ，231n n n a b b b b -=++++L ，显然1n n n a a b -=+.下面证明：1n n b a -≤.①自邻集含有2n -，n 1-，n 这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素n 后的集合为D 因为n 1-，2n D -Î，所以D 仍是自邻集，且集合D 中的最大元素是n 1-，所以含有2n -，n 1-，n 这三个元素的自邻集的个数为1n b -.②自邻集含有n 1-，n 这两个元素，不含2n -，且不只有n 1-，n 这两个元素，记自邻集除n 1-，n 之外最大元素为m ，则23m n -≤≤，每个自邻集去掉n 1-，n 这两个元素后，仍为自邻集.此时的自邻集的最大元素为m ，可将此时的自邻集分为4n -个；其中含有最大数为2的集合个数为2b ，含有最大数为3的集合个数为3b ，LL ，含有最大数为3n -的集合个数为3n b -.则这样的集合共有233n b b b -+++L 个.③自邻集只含有n 1-，n 这两个元素，这样的自邻集只有1个.综上可得23312331211n n n n n n n b b b b b b b b b b a ------=+++++£+++++=L L ，所以1n n b a -≤，故4n ³时，12n n a a -£得证.【点睛】思路点睛：第二问取自邻集{}23451,,,,B x x x x x =，和集合5{1C n x =+-，41n x +-，31n x +-，21n x +-，11}n x +-，先由定义判定n C A Í，且集合C 也是自邻集，B C ¹.即可证明结论；第三问记自邻集中最大元素为k 的自邻集的个数为k b ，有1n n n a a b -=+，再分三类①自邻集含有2n -，n 1-，n 这三个元素的自邻集的个数为1n b -，②自邻集含有n 1-，n 这两个元素的集合共有233n b b b -+++L 个，③自邻集只含有n 1-，n 这两个元素，这样的自邻集只有1个来证明：1n n b a -≤即可.答案第241页，共22页。
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以椭圆 的长轴为直径的圆的方程为 ，由直线 过圆心 ，则 ，
联立 ，消去 可得 ，解得 ，设直线 与椭圆 的交点分别为 ，则 ， ，
则 ，
由椭圆 恰好将线段 三等分，则 ，即 ，整理可得 ，代入 ，可得 ，解得 .
故答案为： .
15.数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为 的小圆在一个半径为 的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知 ，起始位置时大圆与小圆的交点为 （ 点为 轴正半轴上的点），滚动过程中 点形成的轨迹记为星形线 .有如下结论：
三､解答题（共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16.已知以点 为圆心的圆与直线 相切，过点 的动直线 与圆 相交于 两点.
（1）求圆 的方程；
（2）当 时，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，又知圆心坐标为 ，从而求解圆的标准方程；（2）先讨论斜率不存在的直线是否合题意，斜率存在时，根据点斜式设出直线方程，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式及勾股定理求直线斜率，进而确定直线方程.
共15种，
其中至少有1名女生的有 ，共9种，
所以至少有1名女生参加座谈的概率为 .
19.如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ， ， ，且点 和 分别为 和 的中点．
而星形线与坐标轴的交点也是这四个点，由两点之间线段最短，可知曲线 的周长小于曲线 的周长，故②错误；
对于③，星形线与直线 的交点为 ，即
它们到原点的距离为 与圆 的半径相等，
所以曲线 与圆相切，即有且仅有 个公共点，故③正确；
故答案为：①③
【点睛】关键点点睛：本题考查两个圆的内切关系求轨迹，解题的关键是理解星形线的定义，求出对应点满足的条件，再分析选项，考查学生的分析审题能力，属于难题.
圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离 ，
圆上到直线的距离为 的点共有 个.
故选：C.
【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.
7.已知 ，双曲线 的左､右焦点分别为 ，点 是双曲线右支上一点，则 的最小值为（）A.5B.7C.9D.11
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理 ，利用三角形三边关系，可得答案.
【详解】
延展平面 ，可得截面 ,其中 分别是所在棱的中点，
直线 与平面 不存在公共点，
所以 平面
由中位线定理可得 , 在平面 内，
在平面 外，
所以 平面 ,
因为 与 在平面 内相交，
所以平面 平面 ,
所以 在 上时，直线 与平面 不存在公共点，
因为 与 垂直，所以 与 重合时 最小，
此时，三角形 的面积最小，
【详解】由双曲线 ，则 ，即 ，且 ，
由题意，作图如下：
，当且仅当 共线时，等号成立.
故选：C.
8.设椭圆 的左右焦点分别为 ， ，点 在椭圆上，且满足 ，则 的值为
A. 8B. 10C. 12D. 15
【答案】D
【解析】
【详解】由已知 ，①
由椭圆定义知，
，②
由余弦定理得 ，③
由①②③得 .
故选：D.
【详解】对于①，垂直于同一平面的两条直线平行，故①正确；
对于②，垂直于同一直线的两个平面平行，故②正确；
对于③，若 ，则 ， 或 ，故③错误；
对于④，若 ，则 ， 或 ，故④错误；
所以错误 命题是③④，故选：C
3.过点 向圆 作切线，则切线长为（）
A. B.5C. D.24
【答案】A
【解析】
【分析】利用两点距离公式与勾股定理即可求得切线长.
【小问1详解】
设圆 的半径为 ，∵圆 与直线 相切，
∴ ，∴圆 的方程为 .
【小问2详解】
设 的中点为 ，则 ，
∴ ，
当直线 与 轴垂直时，易知直线 的方程为 ，
此时 ，符合题意；
当直线 与 轴不垂直时，设直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，即 ，
又 ， ，
∴ ，又 ，∴ ，则 ，则直线 的方程为： ，即 ，
【详解】由已知可知小圆与大圆是内切的关系，设小圆的圆心为 ，
则小圆的圆心轨迹为以 为圆心，半径为3的圆，即
设星形线 任意点 ，则 ， 为参数，其中
可知星形线 任意点 ，满足 ，
对于①，星形线 上左右两个端点 ， 或上下两个端点 ， 的距离最远，等于8，故①正确；
对于②，曲线 为过点 ， ， ， 的正方形，
故答案为： ； .
12.已知实数 和 满足 ，则 的范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据目标函数的几何意义，作图找点边界，利用直线与圆相切的性质，可得答案.
【详解】由 ，即 ，则 可表示 与 连线的斜率，作图如下：
则 与 连线与圆相切时， 取得最值，
设 ，则 代入 ，整理可得 ，
由直线与圆相切，则 ，即 ，解得 ，故 .
【小问1详解】
由题知， ，
解得 ，
设这50名学生数学成绩的中位数为 ，
所以 ，解得 .
所以这50名学生数学成绩的中位数为122.5
【小问2详解】
由频率分布直方图知，成绩在 内的学生有 名，因为成绩在 内的学生中男女比例为 ，
所以6名学生中男生有4名，女生有2名，记男生分别为 ，女生分别为 ，
所以从6名学生中任选2名情况有
【详解】由题意可知， 为双曲线等价于 ，解得 或 ，显然 能推出 或 ，反之不成立，∴应为充分不必要条件，
故选：A．
5.设 为坐标原点，动点 在椭圆C： 上，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 ，则点 的轨迹方程是（）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出点的坐标，根据向量的坐标表示，建立等量关系，代入椭圆方程，整理可得答案.
（1）求 的值及这50名学生数学成绩的中位数；
（2）该学校为制订下阶段的复习计划，现需从成绩在 内的学生中任选2名作为代表进行座谈，若已知成绩在 内的学生中男女比例为 ，求至少有1名女生参加座谈的概率.
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1，设中位数为 计算即可；（2）列举法解决即可.
故答案为： .
13.已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两圆外切可得(a＋b)2＝(2＋1)2并结合基本不等式计算即可.
【详解】由两圆外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，
9.如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 的中点， 是底面 内一动点，若直线 与平面 不存在公共点，则三角形 的面积的最小值为
A. B.1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】延展平面 ，可得截面 ,其中 分别是所在棱的中点，可得 平面 ,再证明平面 平面 ,可知 在 上时，符合题意，从而得到 与 重合时三角形 的面积最小，进而可得结果.
①曲线 上任意两点间距离的最大值为 ；
②曲线 的周长大于曲线 的周长；
③曲线 与圆 有且仅有 个公共点.
其中正确的序号为________________.
【答案】①③
【解析】【分析】由题意知星形线 任意点 满足 ， 为参数，其中 ，即 ， ，从而可判断①；分析曲线 的图像，与星形线图像对比可知②；求出星形线与直线 的交点 ，知曲线 与圆相切，可判断③；
【详解】因为圆 的圆心为 ，半径为 ，
作出图形，连接 ，易知 ，
因为 到 的距离为 ，
所以切线长为 .
故选：A.
4. “ ”是“曲线 为双曲线”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先由双曲线的标准方程求出 的范围，再结合充分必要的定义判断即可.
京二中2022—2023学年度第二学段高二年级学段考试试卷
数学
命题人：燕轶审核人：刘怀颖得分：______
一､选择题（共10小题，每小题5分，共50分.选出符合题目要求的一项）
1.在复平面内，复数 对应的点为 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的几何意义可得复数 ，利用复数的乘法可求得结果.
二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11.已知双曲线 经过点 ，则它的渐近线方程为______，离心率为______.
【答案】①. ②.
【解析】
【分析】根据求双曲线标准方程及几何性质解决即可.【详解】由题知，双曲线 经过点 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线方程为 ，
所以双曲线焦点在 轴上， ，
所以它的渐近线方程为 ，离心率为 ，
【详解】设 ， ， ，则 ， ，
由 ，则 ，解得 ，
由点 在椭圆C： 上，则 ，即 ，
即点 的轨迹方程是 .
故选：C.
6.圆 上到直线 的距离为 的点共有
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】
求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.
【详解】圆 可变为 ，
综上可知直线 的方程为： 或 .
17.在 中， .
（1）求 的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选报两个作为已知，使得 存在，求 的面积.