2022-2023学年北京市顺义区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年北京市丰台区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷1. 已知经过A(0,2)，B(1,0)两点的直线的一个方向向量为(1,k)，那么k=( )D. 2A. −2B. −1C. −122. 圆C：(x−2)2+(y−2)2=4的圆心坐标和半径分别为( )A. (−2,−2)，2B. (2,2)，2C. (−2,−2)，4D. (2,2)，43. 有一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.1，则数据x1+2，x2+2，⋯，x n+2的方差为( )A. 0.1B. 0.2C. 1.1D. 2.14. 已知m，n是实数，若a⃗=(2,2m−3,2)，b⃗ =(4,2,3n−2)，且a⃗//b⃗ ，则m+n=( )A. −4B. 0C. 2D. 45. 记录并整理某车间10名工人一天生产的产品数量(单位：个)如表所示：工人赵甲钱乙孙丙李丁周戊吴己郑庚王辛冯壬陈癸产品数46485153535656565871量/个那么这10名工人一天生产的产品数量的第30百分位数为( )A. 49.5B. 51C. 52D. 536. 某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[6,26]，样本数据分组为[6,10),[10,14),[14,18),[18,22),[22,26],已知样本中产品净重小于14克的个数是36，则样本中净重大于或等于10克并且小于22克的产品的个数是( )A. 90B. 75C. 60D. 457. 已知生产某种产品需要两道工序，设事件A=“第一道工序加工合格”，事件B=“第二道工序加工合格”，只有第一道工序加工合格才进行第二道工序加工，那么事件“产品不合格”可以表示为( )A. A −B. ABC. AB −D. A −∪AB −8. 已知圆M ：x 2+y 2=1和N:(x −2√2)2+(y −2√2)2=m 2(m >0)存在公共点，则m 的值不可能为( )A. 3B. 3√2C. 5D. 4√29. 已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右支与圆x 2+y 2=a 2+b 2交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若△OAB 为正三角形，则该双曲线的离心率为( )A. 23B. √63C. √2D. 210. 在平面直角坐标系xOy 中，方程√(x +3)2+y 2⋅√(x −3)2+y 2=13对应的曲线记为C ，给出下列结论：①(0,0)是曲线C 上的点； ②曲线C 是中心对称图形；③记A(−3,0)，B(3,0)，P 为曲线C 上任意一点，则△PAB 面积的最大值为6. 其中正确结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 双曲线x 2−y 2=4的渐近线方程为______.12. 甲、乙两人独立地破译某个密码，若两人独立译出密码的概率都是0.5，则密码被破译的概率为______.13. 写出过点A(2,3)且与圆(x −1)2+y 2=1相切的一条直线的方程______.14. 在空间直角坐标系O −xyz 中，已知过坐标原点O 的平面α的一个法向量是n ⃗ =(0,0,−1)，点P(3,−4,5)到平面α的距离为______.15. 棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +z BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中x ，y ，z ∈[0,1]，给出下列四个结论：①当x =0，z =1时，△BPD 1可能是等腰三角形； ②当x =0，y =1时，三棱锥P −BDD 1的体积恒为43； ③当z =1，且x +y =1时，△BPD 1的面积的最小值为√2； ④当z =1，且x +y =12时，∠BPD 1可能为直角． 其中所有正确结论的序号是______.16. 已知△OAB 的三个顶点分别是0(0,0)，A(2,0)，B(4,2).(Ⅰ)求△OAB 的外接圆C 的方程；(Ⅰ)求直线l ：4x +3y −8=0被圆C 截得的弦的长．17. 如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC=2，M是棱CC1上任意一点．(Ⅰ)求证：AM⊥BD；(Ⅰ)若M是棱CC1的中点，求异面直线AM与BC所成角的余弦值．18. 某公司为了了解A，B两个地区用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取400名用户，从B地区随机抽取100名用户，通过问卷的形式对公司产品评分．该公司将收集的数据按照[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组，绘制成评分分布表如下：分组A地区B地区[20,40)4030[40,60)12020[60,80)16040[80,100]8010合计400100(Ⅰ)采取按组分层随机抽样的方法，从A地区抽取的400名用户中抽取10名用户参加座谈活动．求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有多少名？(Ⅰ)从(Ⅰ)中参加座谈的且评分不低于60分的用户中随机选取2名用户，求这2名用户的评分恰有1名低于80分的概率；(Ⅰ)若A地区用户对该公司产品的评分的平均值为μ1，B地区用户对该公司产品的评分的平均值为μ2，两个地区的所有用户对该公司产品的评分的平均值为μ0，试比较μ0和μ1+μ22的大小，并说明理由．19. 已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1,2).(Ⅰ)求抛物线C的方程及其焦点坐标；(Ⅰ)过点A的直线l与抛物线C的另一个交点为B，若△OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求点B的坐标．20. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//CD，∠ADC=90∘，且AD=CD= PD=2AB.(Ⅰ)求证：AB⊥平面PAD；(Ⅰ)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；(Ⅰ)在棱PB上是否存在点G(G与P，B不重合)，使得DG与平面PBC所成角的正弦值为23若存在，求PGPB的值，若不存在，说明理由．21. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，B(0,1)两点．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅰ)过点P的直线l与椭圆E交于C，D两点．(i)若点P坐标为(2,1)，直线BC，BD分别与x轴交于M，N两点．求证：|AM|=|AN|；(ii)若点P坐标为(2,√33)，直线g的方程为√3x−6y−2√3=0，椭圆E上存在定点Q，使直线QC，QD分别与直线g交于M，N两点，且|AM|=|AN|.请直接写出点Q的坐标，结论不需证明．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由已知可得直线AB 的斜率为k =2−00−1=−2， 则k =−2， 故选：A.求出直线的斜率，由此即可求解．本题考查了直线的斜率以及方向向量的应用，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：圆C ：(x −2)2+(y −2)2=4的圆心坐标为(2,2)， 半径为：2. 故选：B.利用圆的定义和性质直接求解．本题考查圆的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x −， 则数据x 1+2，x 2+2，⋯，x n +2的平均数为x −+2，数据x 1，x 2，…，x n 的方差为S 2=1n [(x 1−x −)2+(x 2−x −)2+...+(x n −x −)2]=0.1，又数据x 1+2，x 2+2，⋯，x n +2的方差为1n [(x 1+2−x −−2)2+(x 2+2−x −−2)2+...+(x n +2−x −−2)2]=1n [(x 1−x −)2+(x 2−x −)2+...+(x n −x −)2]=0.1. 故选：A.设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x −，即可求出该数据的方差关系式，然后再求出数据x 1+2，x 2+2，⋯，x n +2的平均数以及方差关系式，化简即可求解．本题考查了数据的方差的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，若a ⃗ =(2,2m −3,2)，b ⃗ =(4,2,3n −2)，且a ⃗ //b ⃗ ， 设b ⃗ =k a ⃗ ，则有{4=2k 2=k(2m −3)3n −2=2k ，解可得m =2、n =2，则m +n =4；故选：D.根据题意，设b ⃗ =k a ⃗ ，则有{4=2k2=k(2m −3)3n −2=2k ，解可得m 、n 的值，计算可得答案．本题考查空间向量的平行，涉及向量的坐标计算，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：将10个数据按照从小到大的顺序排列为： 46，48，51，53，53，56，56，56，58，71， ∵10×30%=3，∴所给数据的第30百分位数为第3个数据与第4个数据的平均数，等于51+532=52.故选：C.将数据按照从小到大的顺序排列，然后由百分位数的定义求解即可．本题考查了百分位数的求解，解题的关键是掌握百分位数的定义，考查了运算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由频率分布直方图可知样本中产品净重小于14克的频率为(0.025+0.05)×4=0.30， 设样本总体个数为n ，则36n =0.3，解得n =120，又样本中净重大于或等于10克并且小于22克的频率为(0.05+0.075+0.0625)×4=0.75， 所以样本中净重大于或等于10克并且小于22克的产品个数为120×0.75=90， 故选：A.根据频率分布直方图求出样本中产品净重小于14克的频率，然后设样本总体个数为n ，则即可建立方程求出n 的值，进而可以求解．本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生的识图能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由题意可知要使产品不合格，需第一道工序不合格或者第一道工序合格且第二道工序不合格， 则“产品不合格”可以表示为A −∪AB −， 故选：D.根据和事件以及积事件的性质即可求解． 本题考查了事件的关系与运算，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：圆M ：x 2+y 2=1的圆心M(0,0)，半径r 1=1，圆N:(x −2√2)2+(y −2√2)2=m 2(m >0)的圆心N(2√2,2√2)，半径r 2=m ， 若圆M 与圆N 存在公共点，则|m −1|≤|MN|≤m +1， 即{ |m −1|≤√(2√2)2+(2√2)2m +1≥√(2√2)2+(2√2)2，解得3≤m ≤5.结合选项可得，m 的值不可能为4√2. 故选：D.由两圆的方程可得圆心坐标与半径，再由圆心距与半径的关系列式求得m 的范围，结合选项得答案．本题考查圆与圆位置关系的判定及应用，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】C【解析】解：如图所示，设a 2+b 2=c 2，c >0，联立{x 2+y 2=c 2x 2a2−y 2b2=1，解得x =a √b 2+c 2c，∵△OAB 为正三角形， ∴a √b 2+c 2c=c ⋅cos π6，a 2+b 2=c 2，化为3e 4−8e 2+4=0，e >1， 解得e 2=2，即e =√2， 故选：C.如图所示，设a 2+b 2=c 2，c >0，联立{x 2+y 2=c 2x 2a 2−y 2b2=1，解得x ，根据△OAB 为正三角形，利用边角关系可得关于a ，b ，c 的方程，进而得出离心率．本题考查了双曲线的标准方程及其性质、圆的方程、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：对于①，把(0,0)代入√(x +3)2+y 2⋅√(x −3)2+y 2=13不成立，得(0,0)不是曲线C 上的点，故①错误；对于②，以−x 替换x ，以−y 替换y ，方程√(x +3)2+y 2⋅√(x −3)2+y 2=13不变，可知曲线C 是中心对称图形，故②正确；对于③，在方程√(x +3)2+y 2⋅√(x −3)2+y 2=13中，取x =0，可得9+y 2=13，即y =±2，∴△PAB面积的最大值为S=12×6×2=6，故③正确．∴正确结论的个数为2.故选：C.把原点的坐标代入切线方程判断①；由中心对称的概念判断②；取x=0求得y的最值，再由三角形面积公式求面积判断③．本题考查切线方程，考查推理论证能力与运算求解能力，是基础题．11.【答案】y=±x【解析】解：把双曲线x2−y2=4转化为标准方程：x 24−y24=1，∴双曲线x2−y2=4的渐近线方程为x2 4−y24=0，整理，得y=±x.故答案为：y=±x.把双曲线x2−y2=4转化为标准方程：x 24−y24=1，得到双曲线x2−y2=4的渐近线方程为x24−y24=0，由此能求出结果．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意把双曲线方程转化为标准方程．12.【答案】0.75【解析】解：密码被破译的概率为1−(1−0.5)(1−0.5)=0.75.故答案为：0.75.求得密码没有被破译的概率，用1减去没有被破译的概率，即为密码被破译的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．13.【答案】x=2或4x−3y+1=0【解析】解：根据题意，A(2,3)在圆(x−1)2+y2=1外，∴过点A(2,3)与圆(x−1)2+(y−2)2=1相切的直线有两条．当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y−3=k(x−2)，即kx−y+3−2k=0，∴√k+1=1，∴k=43，∴切线方程为4x−3y+1=0，当斜率不存在时，切线方程为x=2.综上，所求的切线方程为x =2或4x −3y +1=0. 故答案为；x =2或4x −3y +1=0.根据题意，A(2,3)在圆(x −1)2+y 2=1外，过点A(2,3)与圆(x −1)2+y 2=1相切的直线有两条，考虑斜率存在和斜率不存在，分情况讨论即可．本题考查直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键，属于基础题．14.【答案】5【解析】解：根据题意，点P(3,−4,5)，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4,5)， 平面α的一个法向量是n ⃗ =(0,0,−1)， 则点P(3,−4,5)到平面α的距离d =|OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n⃗ |=|−5|1=5，故答案为：5.根据题意，求出向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由点到平面的距离公式计算可得答案． 本题考查空间向量的应用，涉及点到平面的距离计算，属于基础题．15.【答案】①②③【解析】解：对于①：当x =0，z =1时，点P 是线段B 1C 1上的动点，显然当P 是线段B 1C 1的中点时，BP =D 1P ，故①正确；对于②：当x =0，y =1时，点P 是线段CC 1上的动点，∵BB 1//CC 1，又BB 1⊂平面BDD 1，∴CC 1//平面BDD 1，∴P 到平面BDD 1的距离为定值12AC =√2，∴三棱锥P −BDD 1的体积V =13×12×2×2√2×√2=43，故②正确；对于③：当z =1，且x +y =1时，点P 在线段A 1C 1上的动点， 显然P 为A 1C 1与B 1D 1的交点时，△BPD 1的面积的最小，最小值为S △BB 1P −S △BB 1P =12×2×2√2−12×2×√2=√2，故③正确；对于④：当z =1，且x +y =12时，M ，N 为A 1B 1，B 1C 1的中点，点P 为直线MN 上的动点， 以B 为原点，BA ，BC ，BB 1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(x,y,1)，B(0,0,0)，D 1(1,1,1)， ∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,1)，D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y −1,0)，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,1)⋅(x −1,y −1,0)=x 2−x +y 2−y =x 2−x +y 2−y =(x +y)2−2xy −(x +y)=14−12−2xy =−14−2xy <0， 故∠BPD 1不可能为直角，故④错误． 故答案为：①②③．利用空间几何的性质，逐项判断即可．本题考查空间几何体的体积问题，考查三角形形状的判断，考查空间角问题，属中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)设△OAB 的外接圆C 的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，D 2+E 2−4F >0，把0(0,0)，A(2,0)，B(4,2)代入可得{F =022+2D +F =042+22+4D +2E +F =0，解得D =−2，E =−6，F =0，∴△OAB 的外接圆C 的一般方程为x 2+y 2−2x −6y =0. (Ⅰ)由(I)可得：(x −1)2+(y −3)2=10， 圆心C(1,3)，半径r =√10，圆心C 到直线l 的距离d =|4+9−8|√42+32=1，∴直线l ：4x +3y −8=0被圆C 截得的弦的长=2×√10−1=6.【解析】(Ⅰ)设△OAB 的外接圆C 的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，D 2+E 2−4F >0，把0(0,0)，A(2,0)，B(4,2)代入可得关于D ，E ，F 方程组，解得D ，E ，F ，即可得出△OAB 的外接圆C 的一般方程．(Ⅰ)由(I)可得：(x −1)2+(y −3)2=10，可得圆心C(1,3)，半径r =√10，利用点到直线的距离公式可得圆心C 到直线l 的距离d ，即可得出直线l ：4x +3y −8=0被圆C 截得的弦的长=2√r 2−d 2.本题考查了圆的方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)证明：在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB =2BC =2，M 是棱CC 1上任意一点，∴AC ⊥BD ，AA 1⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥AA 1，∵AC ∩AA 1=A ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∵AM ⊂平面ACC 1A 1，∴AM ⊥BD ；(Ⅰ)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，∵M 是棱CC 1的中点，∴A(0,0,0)，M(1,1,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，设异面直线AM 与BC 所成角为θ，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为：cosθ=|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3=√33.【解析】(Ⅰ)AC ⊥BD ，AA 1⊥平面ABCD ，从而BD ⊥AA 1，进而BD ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明AM ⊥BD ；(Ⅰ)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM 与BC 所成角的余弦值．本题考查线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成角的定义及其余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)设从A 地区抽取的用户中抽取的10名用户参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有m 名，则m 10=240400，解得m =6；(Ⅰ)将从(Ⅰ)中参加座谈的且评分不低于60分的6名用户中，评分为[60,80)的4名编号为1，2，3，4，评分为[80,100)的两名用户编号为a ，b ，则从6人中随机选取2名用户的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b)}， 设M =“这两名用户的评分恰有一名低于80分“，则M ={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)}，则P(M)=n(M)n(Ω)=815；(Ⅰ)无法判断μ0和μ1+μ22的大小， 理由：因为样本的抽样具有随机性，样本不一定能完全代表总体，所以无法比较．【解析】(Ⅰ)按照分层抽样的规律，即抽样比相等，列出方程求解；(Ⅰ)利用列举法表示出所有的样本点，再求出要求事件包含的样本点的个数，套用公式求出结论； (Ⅰ)根据抽样具有随机性的特点，可得总体的μ0和μ1+μ22的大小关系无法确定．本题考查分层抽样的性质，古典概型的概率计算公式，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)把点A(1,2)代入抛物线C ：y 2=2px(p >0)方程，则4=2p ，解得p =2.∴抛物线C 的方程为y 2=4x ，焦点坐标为(1,0).(Ⅰ)设过点A 的直线l 方程为m(y −2)=x −1，B(x 0,y 0)，直线l 与x 轴相交于M(1−2m,0)，联立{m(y −2)=x −1y 2=4x，化为y 2−4my +8m −4=0， 则2+y 0=4m ，可得2m =2+y02，则△OAB 的面积2=12|1−2m|⋅|2−y 0|，∴|1−2+y 02|⋅|2−y 0|=4，化为：y 02−2y 0±8=0，y 02−2y 0+8=0，Δ=4−32=−28<0，无解，舍去．y 02−2y 0−8=0，解得y 0=−2，4，由y 0=−2，可得4=4x 0，解得x 0=1，∴B(1,−2)；由y 0=4，可得16=4x 0，解得x 0=4，∴B(4,4).综上可得：点B 的坐标为(1,−2)，(4,4).【解析】(Ⅰ)把点A(1,2)代入抛物线C ：y 2=2px(p >0)方程，解得p ，进而得出抛物线C 的方程及其焦点坐标．(Ⅰ)设过点A 的直线l 方程为m(y −2)=x −1，B(x 0,y 0)，直线l 与x 轴相交于M(1−2m,0)，把直线l 的方程代入抛物线方程化为y 2−4my +8m −4=0，利用根与系数的关系可得m 与y 0的关系，代入△OAB 的面积2=12|1−2m|⋅|2−y 0|，解得y 0，可得点B 的坐标．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵AB//CD ，∠ADC =90∘，∴AB ⊥AD ，∵PD ⊥平面ABCD.AB ⊂面ABCD ，∴PD ⊥AB ，∵PD ⊂面PAD ，AD ⊂面PAD ，AD ∩PD =D ，∴AB ⊥平面PAD ；(Ⅰ)以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD =CD =PD =2AB =2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，P(0,0,2)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，由AB ⊥平面PAD ，可得平面PAD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，设平面PBC 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x +y −2c =0−2x +y =0，则可取n ⃗ =(1,2,2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=21×√1+4+4=23，∴平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值为23；(Ⅰ)设G(x,y,z)，设GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0<λ<1)，∴(2−x,1−y,−z)=λ(2,1,−2)，可得x =2−2λ，y =1−λ，z =2λ，∴G(2−2λ,1−λ.2λ)，∴DG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2λ,1−λ.2λ)， ∴cos <DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√1+4+4⋅√(2−2λ)+(1−λ)+4λ=23， 解得λ=19，∴PGPB =1−λ=89. 【解析】(Ⅰ)证明PD ⊥AB ，说明AD ⊥CD ，AD ⊥AB.即可证明AB ⊥平面PAD ；(Ⅰ)以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz.求出平面PBC 的法向量，平面PAD 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可；(Ⅰ)设G(x,y,z)，设GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据DG 与平面PBC 所成角的正弦值为23，即可求出λ的值，可得答案．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由题意得a =2，b =1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；证明：(Ⅰ)(i)设过点P(2,1)的直线l 的方程为y −1=k(x −2)，设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，不妨令−2≤x 1<x 2<2，由{y −1=k(x −2)x 2+4y 2−4=0， 整理得(1+4k 2)x 2+(8k −16k 2)x +16k 2−16k =0，所以Δ=(8k −16k 2)2−4(1+4k 2)(16k 2−16k)>0，解得k >0， 所以x 1+x 2=16k 2−8k1+4k 2,x 1x 2=16k 2−16k1+4k 2；①当x 1x 2≠0时，直线BC 的方程为y −1=y 1−1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11−y 1， 直线BD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ，令y =0，解得x N =x21−y 2， 所以x N +x M =x 21−y 2+x 11−y 1=x 21−[k(x 2−2)+1]+x 11−[k(x 1−2)+1]=x 2−k(x 2−2)+x 1−k(x 1−2)=−2x 1x 2−2(x 1+x 2)k(x 1x 2−2(x 1+x 2)+4) =−2×16k 2−16k 1+4k 2−2×(16k 2−8k 1+4k 2)k(16k 2−16k 1+4k 2−2×(16k 2−8k 1+4k 2)+4)=4，所以|AM|=|AN|；②当x 1x 2=0时，得C(0,−1),D(85,35)，此时直线BC 的方程为x =0，直线BD 的方程为y =−x 4+1，所以M(0,0)，N(4,0)，符合题意；综上，|AM|=|AN|；(ii)由题意可得Q(1,√32).【解析】(Ⅰ)由题意得a =2，b =1，即可求解椭圆E 的方程；(Ⅰ)(i)设过点P(2,1)的直线l 的方程为y −1=k(x −2)，设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，令−2≤x 1<x 2<2，由{y −1=k(x −2)x 2+4y 2−4=0，利用韦达定理得到x 1+x 2=16k 2−8k 1+4k 2,x 1x 2=16k 2−16k 1+4k 2，再分x 1x 2≠0和x 1x 2=0两种情况即可得证；(ii)根据题意直接写出Q 点坐标即可．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
北京市顺义区2023-2024学年高二上学期10月考试数学试题含解析
顺义2023-2024学年度第一学期高二年级10月考试数学试卷（答案在最后）本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.一.单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知向量()1,2,1a = ，()1,0,4b =- ，则2a b +=（）A.()1,2,9- B.()1,4,5- C.()1,2,7- D.()1,4,9【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示求解.【详解】∵()1,2,1a =，()1,0,4b =- ∴()21,2,9a b +=-故选：A.2.空间四边形ABCD 中，AB a = ，BC b =，AD c =uuu r r，则CD等于（）A.a b c +-B.c a b--C.a b c-- D.b a c-+【答案】B 【解析】【分析】根据向量的三角形法则，即可求解.【详解】如图所示，根据向量的运算，可得()CD BD BC AD AB BC a b c =-=--=--+.故选：B.3.已知空间向量(,1,2),(,1,1)a b λλ=-= ，则“1λ=”是“a b ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当1λ=时，(1,1,2),(1,1,1)a b =-= ，所以0a b ⋅= ，即a b ⊥，故充分；当a b ⊥时，0a b ⋅= ，即2120λ+-=解得1λ=±，故不必要；故选：A【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及空间向量的数量积运算，属于基础题.4.已知向量(1,2,1),(3,,)a b x y =-=，且//a b，那么||b =（）A. B.6C.9D.18【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设b ka =，即(3，x ，)(1y k =-，2，1)，分析可得x 、y 的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．【详解】根据题意，向量(1a =- ，2，1)，(3b = ，x ，)y ，且//a b ，则设b ka =，即(3，x ，)(1y k =-，2，1)，则有3k =-，则6x =-，3y =-，则(3b = ，6-，3)-，故||b =故选：A ．5.已知{},,a b c 是空间的一个基底，在下列向量中，与向量a b + ，a b -一定可以构成空间的另一个基底的是（）A.aB.bC.cD.23a b- 【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可.【详解】解：对于A 选项，()()1122a ab a b =++-，故不能构成空间的另一个基底；对于B 选项，()()1122b a b a b =+--，故不能构成空间的另一个基底；对于C 选项，不存在,R x y ∈使得()()c x a b y a b =++-成立，故能构成空间的另一个基底；对于D 选项，假设存在,R x y ∈使得()()23a b x a b y a b -=++- ，则23x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得1252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()()152322a b a b a b -=-++-，故不能构成空间的另一个基底；故选：C6.在空间直角坐标系中，点(2,1,3)A -关于平面xOz 的对称点为B ，则OA OB ⋅=A.10-B.10C.12- D.12【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据点 (2,1,3)A -关于平面xOz 的对称点(2,1,3)B ，求得,OA OB的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解.【详解】由题意，空间直角坐标系中，点(2,1,3)A -关于平面xOz 的对称点(2,1,3)B ，所以 =(2,1,3),(2,1,3)OA OB -= ,则22(1)13312OA OB ⋅=⨯+-⨯+⨯=，故选D.【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是()A.()1,1- B.()(),11,∞∞--⋃+C.[]1,1- D.][(),11,∞∞--⋃+【答案】D 【解析】【详解】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点，∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031---=﹣1，PB 的斜率为2031--=1，∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，故选D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.8.正方体不在同一表面上的两顶点()1,2,1A --，()3,2,3B -，则正方体的体积是（）A.4B.C.64D.【答案】C 【解析】【分析】先根据题意可知AB 是正方体的体对角线，利用空间两点的距离公式求出AB ，再根据正方体的棱长求出体积．【详解】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点()1,2,1A --，()3,2,3B -，∴AB 是正方体的体对角线，AB ==，∴正方体的棱长为4，正方体的体积为64．故选：C ．9.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，已知PA a = ，PB b = ，PC c = ，12PE PD =，则BE = （）A.131222a b c -+ B.111222a b c ++C.131222a b c--+ D.113222a b c--+ 【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA a = ，PB b = ，PC c = ，12PE PD =，所以()()111222BE BP BD PB BA BC =+=-++()()111111222222PB BA BC PB PA PB PC PB=-++=-+-+-131131222222PA PB PC a b c =-+=-+．故选：A ．10.在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为线段AC 的中点，点E 在线段11A C 上，则直线OE 与平面11A BC 所成角的正弦值的范围是（）A.33,43⎣⎦B.23,33⎣⎦C.11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.11,32⎡⎤⎢⎣⎦【答案】B【解析】【分析】设正方体边长为2，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，后由空间向量知识可得OE 与平面11A BC 所成角的正弦值的表达式，即可得答案.【详解】设正方体边长为2，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系.则()()()()()110,0,0,2,0,2,0,2,2,2,2,0,1,1,0D A C B O .因点E 在线段11A C 上，设111A E A C λ=，[]0,1λ∈.则()()()()11112,0,2,2,2,0,0,2,2,1,1,0DA A C A B DO ==-=-=，()1111122,2,2DE DA A E DA A C λλλ=+=+=- ，()12,21,2OE λλ=--.设平面11A BC 法向量为(),,n x y z =，则111220220n A C x y n A B y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取()1,1,1n = .设OE 与平面11A BC 所成角为θ，则sin cos ,OE n θ===.注意到()221443422f λλλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，则()()(){}1max 0,12f f f f λ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭()[]2,3sin ,33f λθ⇒∈⇒∈⎣⎦.故选：B二.填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.与向量()1,2,2a =-方向相同的单位向量是______．【答案】122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由与a方向相同的单位向量是a a可计算求得结果.【详解】3a ==，122,,333a a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，即与向量()1,2,2a =-方向相同的单位向量是122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭.12.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC的坐标为________【答案】(4,3,2)-【解析】【详解】如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为1DB的坐标为(4,3,2)，所以()()14,0,0,0,3,2A C ,所以1(4,3,2)AC =-.13.若过点P (1－a,1＋a )与点Q (3,2a )的直线的倾斜角是钝角，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－2,1)【解析】【详解】试题分析：由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a 的取值范围．解：∵过点P （1-a ，1+a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角α为钝角，∴直线的斜率小于0，210(1)(2)02131a a a a a a--∴<⇔-+<⇔-<<-+，故答案为21a -<<考点：直线的斜率公式点评：本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系．14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点B 到直线1AC 的距离为_________．【答案】3【解析】【分析】连接1AC ，过B 作1BH AC ⊥，则BH 即为所求，由三角形等面积计算求解.【详解】解：如图，连接1AC ，过B 作1BH AC ⊥，则BH 即为点B 到直线1AC 的距离，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面1BC ，1AB BC ∴⊥，在直角1ABC 中，11⨯=⨯AB BC AC BH ，且11=1,AB BC AC ，所以=3BH ，点B 到直线1AC 的距离为3.故答案为：63.15.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 和N 分别是正方形ABCD 和11BB C C 的中心，点P 为正方体表面上及内部的点，若点P 满足DP mDA nDM k DN =++，其中m 、n 、k ∈R ，且1m n k ++=，则满足条件的所有点P 构成的图形的面积是______．【答案】2【解析】【分析】因为点P 满足DP mDA nDM k DN =++，其中m 、n 、k ∈R ，且1m n k ++=，所以点A ，M ，N 三点共面，只需要找到平面AMN 与正方体表面的交线即可．【详解】因为点P 满足DP mDA nDM k DN =++，其中m 、n 、k ∈R ，且1m n k ++=，所以点A ，M ，N 三点共面，又因为M 和N 分别是矩形ABCD 和11BB C C 的中心，所以1CN B N =，AM MC =，连接MN ，1AB ，则1//MN AB ，所以1AB C V 即为经过A ，M ，N 三点的平面与正方体的截面，故P 点可以是正方体表面上线段1AB ，1B C ，AC 上的点．所以所有点P 构成的图形的面积为1sin 6022︒=．故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知直线l 1过点A (1，1)，B (3，a )，直线l 2过点M (2，2)，N (3+a ，4).（1）若l 1//l 2，求a 的值；（2）若l 1⊥l 2，求a 的值.【答案】（1）（2）0a =.【解析】【分析】（1）由直线平行知斜率相等，建立等量关系得解.（2）由直线垂直知斜率积为-1，建立等量关系得解.【详解】解：设直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2.（1）因为111312a a k --==-，所以2k 存在且2422321k a a -==+-+.因为12l l //，所以12k k =，即1221a a -=+，解得5a =±.当5a =±时，AM BM k k =，所以A，B ，M 不共线，则5a =±符合题意.（2）112a k -=，①当1a =时，12120,1,0k k k k ===，不符合题意；②当1a ≠时，10k ≠，因为12l l ⊥，所以2k 存在且()2211k a a =≠-+，则121k k =-，即12121a a -⋅=-+，解得0a =.17.如图，在平行六面体.1111,ABCD A B C D -中11,AB AD AA ===1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，设向量1,,.AB a AD b AA c === （1）用a b c、、表示向量1,;DB A C （2）求1.A C 【答案】（1）DB a b =- ，1AC a b c =+-（2）12A C =【解析】【分析】（1）利用空间向量的基本定理与空间向量的线性运算可得出1AC 关于a b c、、的表达式；（2）由（1）知1AC a b c =+- ，利用空间向量数量积的运算可求得.【小问1详解】DB AB AD a b =-=- ，111A C AC AA AB AD AA a b c =-=+-=+- ；【小问2详解】由（1）知1AC a b c =+- ，由已知可得1a b c === ，211cos 602a b b c c a ︒⋅=⋅=⋅=⨯=所以1A C == 18.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，1PD AB ==，E 是PB 的中点.（1）求直线BD 与直线PC 所成角的余弦值；（2）求证：PC ⊥平面ADE（3）求点B 到平面ADE 的距离.【答案】（1）12（2）证明见解析（3）2【解析】【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值；（2）利用数量积坐标运算得线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直；（3）利用点到平面距离向量公式直接计算即可.【小问1详解】以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系.由题意()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1P ，111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线BD 与直线PC 所成的角为θ，因为(1,1,0)BD =-- ，(0,1,1)PC =- ，所以1cos 222BD PC BD PCθ⋅==⨯⋅ ，所以直线BD 与直线PC 所成角的余弦值为12；【小问2详解】因为(1,0,0)DA = ，(0,1,1)PC =- ，111(,,)222DE = ，所以10010(1)0DA PC ⋅=⨯+⨯+⨯-= ，11101(1)0222DE PC ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，所以,PC DA PC DE ⊥⊥，又,,DA DE D DA DE ⋂=⊂平面ADE ，所以PC ⊥平面ADE ；【小问3详解】由（2）知，(0,1,1)PC =- 为平面ADE 的一个法向量，设点B 到平面ADE 的距离为d ，则d 为向量DB 在向量(0,1,1)PC =- 上的投影的绝对值，由(1,1,0)DB = ，得1222DB PC d PC⋅=== ，所以点B 到平面ADE 的距离为22.19.在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为矩形，AC ⊥平面11BCC B ，D ，E 分别是棱11,AA BB 的中点.（1）求证：//AE 平面11B C D ；（2）若12AC BC AA ===，求直线AB 与平面11B C D 所成角的正弦值.【答案】（1）答案见详解（2）1010【解析】【分析】（1）由棱柱的性质证得四边形1AEB D 是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求直线AB 与平面11B C D 所成角的正弦值.【小问1详解】在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，且11AA BB =，因为D ，E 分别是棱11,AA BB 的中点，所以1//AD B E ，且1AD B E =,所以四边形1AEB D 是平行四边形，所以1//AE DB ,又AE ⊄平面11B C D ，1DB ⊂平面11B C D ，所以//AE 平面11B C D .【小问2详解】分别以1,,CA CB CC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，由题意得()()()12,0,0,0,2,0,0,2,2A B B ，()()10,0,2,2,0,1C D ，所以()2,2,0AB =- ，()110,2,0C B = ，()12,0,1C D =- ，设平面11B C D 的法向量为(,,)n x y z =，则11100n C B n C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020y x z =⎧⎨-=⎩，令1x =，则0y =，2z =，于是(1,0,2)n =，所以()cos ,10n AB n AB n AB ⋅==- ，所以直线AB 与平面11B C D所成角的正弦值10.20.如图1，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E 分别是AC，AB 上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD，如图2．(1)求证：A 1C⊥平面BCDE；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．【答案】（1）略（2）4π(3)见解析【考点定位】此题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答．第三问的创新式问法，难度非常大【解析】【详解】试题分析：（1）证明A 1C ⊥平面BCDE ，因为A 1C ⊥CD ，只需证明A 1C ⊥DE ，即证明DE ⊥平面A 1CD ；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量，=（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE又A1C⊥CD，CD∩DE=D∴A1C⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0）∴，设平面A1BE法向量为则∴∴∴又∵M（﹣1，0，），∴=（﹣1，0，）∴∴CM与平面A1BE所成角的大小45°（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]∴，设平面A1DP法向量为则∴∴假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则，∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2∵0≤a≤3∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，,,60AC AD AB BC BCA ∠⊥⊥=︒，2AP AD AC ===，E 为CD 的中点，M 在AB 上，且2AM MB = ，（1）求证：//EM 平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；（3）点F 是线段PD 上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF 与AC 所成角为45︒，求AF 的长．【答案】（1）证明见解析（2）7（3【解析】【分析】（1）由已知可得,,AD AC AP 两两垂直，所以以A 为坐标原点，以,,AD AC AP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，通过向量证明线线平行，再证明线面平行即可；（2）分别求出相关平面的法向量后，再运用夹角公式计算即可；（3）根据已知条件求出点F 的坐标，再计算长度即可．【小问1详解】证明：因为PA ⊥平面ABCD ，,AD AC ⊂平面ABCD ，所以,PA AD PA AC ⊥⊥，因为AC AD ⊥，所以,,AD AC AP 两两垂直，所以以A 为坐标原点，以,,AD AC AP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为,,60AC AD AB BC BCA ∠⊥⊥=︒，2AP AD AC ===，E 为CD 的中点，M 在AB 上，且2AM MB = ，所以3(0,0,0),(0,2,0),(,0),(,1,0),223A CB M --(0,0,2),(1,1,0),(2,0,0)P E D ．所以(1,0,0),(0,2,0),EM AC == 所以0EM AC ⋅= ，所以AC EM ⊥，又AC AD ⊥，所以//EM AD ，又EM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//EM 平面PAD ．【小问2详解】3(0,2,2),(,2)2PC PB =-=-- ．设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则有2200320022y z PC n x y z PB n -=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+-=⋅=⎪⎪⎩⎩，可取(n = ，由题意，平面PAD 的一个法向量可取(0,1,0)m = ，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ，则cos |cos ,|7m n θ=〈〉= ，所以平面PAD 与平面PBC所成锐二面角的余弦值为7．【小问3详解】设000(,,)F x y z ，PF PD λ= (01)λ<<，即000(,,2)(2,0,2)x y z λ-=-，可得(2,0,22)F λλ-，所以(21,1,22)EF λλ=--- ，又(0,2,0)AC = ，由题意有2cos ,2EF AC == ，化简得22310λλ-+=，解得12λ=或1λ=（舍），所以(1,0,1)F ，所以||AF =.。
2023-2024学年北京市顺义区九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣3B．a＜﹣4C．a＞﹣b D．a＜﹣b2．（2分）在△ABC中，∠C＝90°，则cos A等于（）A．B．C．D．3．（2分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则所得表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣4B．y＝﹣（x﹣1）2+4C．y＝﹣（x+1）2+2D．y＝﹣（x﹣1）2+24．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝30°，∠ABD＝40°，则∠APD的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．70°5．（2分）如图，D是△ABC的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使△ACD ∽△ABC，则这个条件不可以是（）A．∠ADC＝∠ACB B．∠ACD＝∠B C．D．6．（2分）对于反比例函数，下列说法正确的是（）A．它的图象分布在第二、第四象限B．点（﹣1，4）在它的图象上C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＜0时，y随x的增大而增大7．（2分）已知．如图，（1）连接AB；（2）作弦AB的垂直平分线l1，分别交，弦AB于C，D两点；（3）作线段AD，DB的垂直平分线l2，l3，分别交于E，F两点，交弦AB于G，H 两点；（4）连接EF．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．AG＝GD＝DH＝HB B．C．l1∥l2∥l3D．EF＝GH8．（2分）学习解直角三角形时，小明编了这样一道题：已知：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，解这个直角三角形．从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤：①由∠B的度数，根据直角三角形的性质得到∠A的度数；②由AC，BC的值，根据∠B的正切值得到∠B的度数；③由AC，BC的值，根据勾股定理得到AB的值；④由BC，AB的值，根据∠B的余弦值得到∠B的度数．请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误的是（）A．③④①B．④①③C．②①③D．③②①二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）若将抛物线y＝2x2向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为．11．（2分）如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF．若OA＝1，AC＝2，CE＝4．则的值为．12．（2分）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为15cm，蜡烛AB 与凸透镜的距离BE为32cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为8cm，则像CD的高为_______cm．13．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P＝76°，则∠ACB＝°．14．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，写出一个满足不等式ax2+bx+c ＜﹣1的x的值，这个值可以是．15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）在双曲线上，点B（﹣b，a）在双曲线上，则m+n的值为．16．（2分）已知A（3，2），B（﹣1，﹣2）是抛物线上两点，下面有四个推断：①该抛物线与x轴有两个交点；②若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点一定在y轴的负半轴上；③若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线x＝1右侧；④若该抛物线开口向上，则在A，B两点中，点B到它的对称轴距离较小．所有正确推断的序号是．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-21题，每题5分，第22题6分,第23-4题,每题5分,第25-26题,每题6分,第27-28题,每7分)17．（5分）解不等式组：．18．（5分）计算：|﹣2|﹣2tan60°．19．（6分）已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式（2x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2的值．20．（5分）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AB＝6，AC＝4，求AD的长．21．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）直接写出y＞0时，x的取值范围．22．（6分）在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为22.5°，向山的方向前进20m，在点C处测得山顶E 的仰角为45°，已知观测点A，C到地面的距离AB＝1.7m，CD＝1.7m．求小山EG的高度（精确到0.1m）．（参考数据：，sin22.5°≈0.384，cos22.5°≈0.925，tan22.5°≈0.414）23．（5分）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，．（1）求证：∠COB＝∠DOB；（2）若⊙O的半径为2，求OE，的长．24．（5分）正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一，实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．小明进行了三次训练．（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m0123456789竖直高度y/m2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 3.72 1.1根据上述数据，求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），并求出实心球着地点的水平距离d1；（2）第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图所示，其中A，B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点．记小明第二、三次训练时实心球着地点的水平距离分别为d2，d3，则d1，d2，d3的大小关系为．25．（6分）如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，CO的延长线交⊙O于点D，连接AD，BD，过点D作⊙O的切线交AO的延长线于点E．（1）求证：DE∥AB；（2）若⊙O的半径为3，tan∠ADC＝，求DE的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）若a＝1，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标；（2）已知点（3﹣a，y1），（a+1，y2），（﹣a，y3）在该抛物线上，若y1，y2，y3中有且仅有一个大于0，求a的取值范围．27．（7分）在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P是对角线AC上一点（不与点A重合），点E，F分别是边AB，AD上的点，且∠EPF＝60°，射线PE，PF分别与DA，BA的延长线交于点M，N．（1）如图1，若点P与C重合，且PA平分∠EPF，求证：AM＝AN；（2）连接BP，若∠ABP＝45°，BP＝3，且PA不平分∠EPF．①依题意补全图2；②用等式表示线段AM，AN的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：对于图形G1、G2，若存在常数d，使得图形G1上的任意一点P，在图形G2上至少能找到一个点Q，满足PQ＝d，则称图形G2是图形G1的“映图”，d是G1关于G2的“映距”．（1）如图，点A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（﹣1，0），D（0，﹣1），E（4，0），F（0，4），G（5，0），H（0，5）．在线段CD，EF，GH中，线段AB的映图是．（2）⊙O的半径为1．①求⊙O关于直线的映距d的最小值；②若直线y＝﹣x+m（m≠0）被坐标轴所截的线段是⊙O的映图，直接写出m的取值范围．2023-2024学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣3B．a＜﹣4C．a＞﹣b D．a＜﹣b【分析】由点在数轴上的位置分析选项可得答案．【解答】解：A选项：由数轴的定义得左大右小，即a＜﹣3，该选项错误．B选项：a点在﹣4的左侧，即a＞﹣4，该选项错误．C选项：2＜b＜3，﹣3＜﹣b＜﹣2，故a在﹣b的左侧，即a＜﹣b，该选项错误．D选项：正确．故答案选D．【点评】该题考查对数轴的理解，实数的相关概念及分类．2．（2分）在△ABC中，∠C＝90°，则cos A等于（）A．B．C．D．【分析】根据余弦等于邻边比斜边列式即可得解．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，则cos A＝．故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是关键．3．（2分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则所得表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣4B．y＝﹣（x﹣1）2+4C．y＝﹣（x+1）2+2D．y＝﹣（x﹣1）2+2【分析】将所给二次函数表达式转化为顶点式即可．【解答】解：由题知，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x2﹣2x+1）+1+3＝﹣（x﹣1）2+4．即二次函数的表达式可写成：y＝﹣（x﹣1）2+4．故选：B．【点评】本题考查二次函数的三种形式，熟知二次函数解析式中的顶点式是解题的关键．4．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝30°，∠ABD＝40°，则∠APD的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．70°【分析】利用圆周角定理以及三角形的外角的性质解决问题．【解答】解：∵∠ABD＝40°，∴∠ACD＝∠ABD＝40°，∵∠CAB＝30°，∴∠APD＝∠ACD+∠CAB＝70°，故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．5．（2分）如图，D是△ABC的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使△ACD ∽△ABC，则这个条件不可以是（）A．∠ADC＝∠ACB B．∠ACD＝∠B C．D．【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．【解答】解：若∠ADC＝∠ACB，且∠A＝∠A，则△ACD∽△ABC，故选项A不符合题意；若∠ACD＝∠B，且∠A＝∠A，则△ACD∽△ABC，故选项B不符合题意；若，且∠A＝∠A，则△ACD∽△ABC，故选项D不符合题意；若，且∠A＝∠A，则无法证明△ACD∽△ABC，故选项C符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．6．（2分）对于反比例函数，下列说法正确的是（）A．它的图象分布在第二、第四象限B．点（﹣1，4）在它的图象上C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＜0时，y随x的增大而增大【分析】根据反比例函数的性质即可逐一分析即可．【解答】解：A、k＝4＞0，则图象位于第一、三象限，故不符合题意；B、当x＝﹣1时，y＝﹣4，所以图象经过点（﹣1，﹣4），故不符合题意；C、当x＞0时，y随x的增大而减小，故符合题意；D、当x＜0时，y随x的增大而减小，故不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，属于基础题．7．（2分）已知．如图，（1）连接AB；（2）作弦AB的垂直平分线l1，分别交，弦AB于C，D两点；（3）作线段AD，DB的垂直平分线l2，l3，分别交于E，F两点，交弦AB于G，H 两点；（4）连接EF．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．AG＝GD＝DH＝HB B．C．l1∥l2∥l3D．EF＝GH【分析】理由图象信息判断即可．【解答】解：由作图可知，AG＝DG＝DH＝BH，l1∥l2∥l3，四边形EFGH是矩形，∴EF＝GH，故选项A，C，D正确，故选：B．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图象信息．8．（2分）学习解直角三角形时，小明编了这样一道题：已知：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，解这个直角三角形．从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤：①由∠B的度数，根据直角三角形的性质得到∠A的度数；②由AC，BC的值，根据∠B的正切值得到∠B的度数；③由AC，BC的值，根据勾股定理得到AB的值；④由BC，AB的值，根据∠B的余弦值得到∠B的度数．请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误的是（）A．③④①B．④①③C．②①③D．③②①【分析】根据题中所给的条件，得出可求出未知量的步骤即可解决问题．【解答】解：因为题中给出AC和BC的长，所以可先用勾股定理求出AB的长，或求出∠A（∠B）的正切值，进而得出∠A（∠B）的度数．B选项将④放在第一步，此时还未求出AB的值，所以B选项的排序错误．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，熟知解直角三角形的一般步骤是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥2．【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，解之即可求出x的取值范围．【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．故答案为：x≥2．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数．10．（2分）若将抛物线y＝2x2向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为y＝2（x﹣2）2．【分析】根据函数图象平移的法则解答即可．【解答】解：将抛物线y＝2x2向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为y＝2（x ﹣2）2．故答案为：y＝2（x﹣2）2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的法则是解题的关键．11．（2分）如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF．若OA＝1，AC＝2，CE＝4．则的值为．【分析】由CD∥EF，利用平行线分线段成比例，可得出＝，结合OC＝OA+AC ＝3，CE＝4，即可求出结论．【解答】解：∵CD∥EF，∴＝，又∵OA＝1，AC＝2，CE＝4，∴OC＝OA+AC＝1+2＝3，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．12．（2分）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为15cm，蜡烛AB 与凸透镜的距离BE为32cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为8cm，则像CD的高为cm．【分析】根据相似三角形的判定与性质求解即可．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝，∵AB的高为15cm，BE为32cm，DE为8cm，∴＝，∴CD＝（cm），故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．13．（2分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P＝76°，则∠ACB＝52°．【分析】连接OA，OB，由切线的性质推出∠PAO＝∠PBO＝90°，又∠P＝76°，即可求出∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣76°＝104°由圆周角定理得到∠ACB＝∠AOB＝52°．【解答】解：连接OA，OB，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝76°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣76°＝104°∴∠ACB＝∠AOB＝52°．故答案为：52．【点评】本题考查圆周角定理，切线的性质，关键是由切线的性质推出∠PAO＝∠PBO ＝90°，由圆周角定理得到∠ACB＝∠AOB．14．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，写出一个满足不等式ax2+bx+c ＜﹣1的x的值，这个值可以是1．【分析】先求出y＝﹣1时的x的值，然后结合图象求解即可．【解答】解：由图象可知，当y＝﹣1时，x1＝0，x2＝2.8，∴当0＜x＜2.8时，y＜﹣1．∴不等式ax2+bx+c＜﹣1的解为0＜x＜2.8，∴满足不等式ax2+bx+c＜﹣1的x的值可以是1，故答案为：1．【点评】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）在双曲线上，点B（﹣b，a）在双曲线上，则m+n的值为0．【分析】由点A（a，b）在双曲线上，可得m＝ab，由点B（﹣b，a）在双曲线上，可得n＝﹣ab，然后得出答案．【解答】解：∵点A（a，b）在双曲线上，点B（﹣b，a）在双曲线上，∴m＝ab，n＝﹣ab，∴m+n＝ab+（﹣ab）＝0；故答案为：0．【点评】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，熟知反比例函数y＝（k≠0）的系数k＝xy是解题的关键．16．（2分）已知A（3，2），B（﹣1，﹣2）是抛物线上两点，下面有四个推断：①该抛物线与x轴有两个交点；②若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点一定在y轴的负半轴上；③若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线x＝1右侧；④若该抛物线开口向上，则在A，B两点中，点B到它的对称轴距离较小．所有正确推断的序号是①③④．【分析】依据题意，设抛物线为y＝ax2+bx+c，从而．解得b＝1﹣2a，c＝﹣1﹣3a，再求出Δ＝b2﹣4ac＝1+16a2，进而可以判断①；依据题意，a＜0，从而c＝﹣1﹣3a＞﹣1，则它与y轴的交点可能在y轴下方或y轴上方，故可判断②；又b＝1﹣2a，从而＝﹣1，进而﹣＝﹣+1，再结合a＜0，可以判断③；若a＞0，从而对称轴直线x＝﹣＝﹣+1＜1，再分B（﹣1，﹣2）在对称轴右侧或左侧，结合增减性可以判断④．【解答】解：由题意，设抛物线为y＝ax2+bx+c，∴．∴b＝1﹣2a，c＝﹣1﹣3a．∴Δ＝b2﹣4ac＝（1﹣2a）2﹣4a（﹣1﹣3a）＝1﹣4a+4a2+4a+12a2＝1+16a2．∵对于任意a都有a2≥0，∴Δ＝1+16a2≥1＞0．∴该抛物线与x轴有两个交点，故①正确．∵a＜0，∴3a＜0．∴﹣3a＞0．∴﹣1﹣3a＞﹣1．∴c＝﹣1﹣3a＞﹣1．∴它与y轴的交点可能在y轴下方或y轴上方．∴②错误．∵b＝1﹣2a，∴＝﹣1．∴﹣＝﹣+1．∵a＜0，∴对称轴直线x＝﹣＝﹣+1＞1．∴它的对称轴在直线x＝1右侧，故③正确．若a＞0，∴对称轴直线x＝﹣＝﹣+1＜1．∴当A（3，2），B（﹣1，﹣2）在对称轴右侧，y随x的增大而增大，显然B到它的对称轴距离较小；当A（3，2），B（﹣1，﹣2）在对称轴两侧，又B关于直线x＝﹣对称的点﹣+1＜3，故B到它的对称轴距离较小．∴④正确．故答案为：①③④．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-21题，每题5分，第22题6分,第23-4题,每题5分,第25-26题,每题6分,第27-28题,每7分)17．（5分）解不等式组：．【分析】分别解两个不等式得到x＞﹣1和x＜1，然后根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①得x＞﹣1，解不等式②得x＜1，所以不等式组的解集为﹣1＜x＜1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．18．（5分）计算：|﹣2|﹣2tan60°．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：|﹣2|﹣2tan60°＝4×+1+2﹣2＝2+1+2﹣2＝3．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．19．（6分）已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式（2x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2的值．【分析】先根据完全平方公式和多项式乘多项式进行计算，合并同类项，求出x2﹣3x＝1，最后代入求出答案即可．【解答】解：（2x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2＝2x2﹣2x+x﹣1﹣x2﹣2x﹣1＝x2﹣3x﹣2，∵x2﹣3x﹣1＝0，∴x2﹣3x＝1，∴原式＝1﹣2＝﹣1．【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．20．（5分）如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AB＝6，AC＝4，求AD的长．【分析】（1）利用两角法证得结论；（2）根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，代入相关数值计算．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD．∵∠B＝∠ACD，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴＝．∵AB＝6，AC＝4，∴AD＝．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．21．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）直接写出y＞0时，x的取值范围．【分析】（1）依据题意，由二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0），进而代入求出a，b即可得解；（2）依据题意，由抛物线y＝x2﹣x﹣2开口向上，与x轴交点为A（﹣1，0），B（2，0），从而y＞0时，x的取值范围是图象在x轴上方部分对应的自变量的范围，进而可以判断得解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（2，0），∴．∴a＝1，b＝﹣1．∴二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2．（2）∵抛物线y＝x2﹣x﹣2开口向上，与x轴交点为A（﹣1，0），B（2，0），∴y＞0时，x的取值范围是图象在x轴上方部分对应的自变量的范围．∴x＜﹣1或x＞2．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．22．（6分）在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为22.5°，向山的方向前进20m，在点C处测得山顶E 的仰角为45°，已知观测点A，C到地面的距离AB＝1.7m，CD＝1.7m．求小山EG的高度（精确到0.1m）．（参考数据：，sin22.5°≈0.384，cos22.5°≈0.925，tan22.5°≈0.414）【分析】延长AC交EG于点H，根据三角形的外角性质得到∠CEA＝22.5°，得到∠CEA ＝∠EAH，根据等腰三角形的判定求出EC，再根据中正弦的定义求出EH，进而求出EG．【解答】解：如图，延长AC交EG于点H，由题意得：AH⊥EG，∵EG⊥BG，CD⊥BG，∴四边形FGDC为矩形，∴HG＝CD＝1.7m，HC＝GD，∵∠ECH＝45°，∠EAH＝22.5°，∴∠CEA＝∠ECH﹣∠EAH＝22.5°，∴∠CEA＝∠EAH，∴EC＝AC＝20m，∵∠ECH＝45°，∴EH＝EC•sin∠ECH＝20×＝10（m），∴EG＝EH+HG＝10+1.7≈15.8（m），答：小山EG的高度约为15.8m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．（5分）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，．（1）求证：∠COB＝∠DOB；（2）若⊙O的半径为2，求OE，的长．【分析】（1）由垂径定理推出＝，由圆心角、弧、弦的关系推出∠COB＝∠DOB；（2）由垂径定理推出＝，而＝，得到∠COD＝120°，由等腰三角形的性质求出∠C＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得到OE＝OC＝1，由弧长公式即可求出的长．【解答】（1）证明：∵直径AB⊥CD，∴＝，∴∠COB＝∠DOB；（2）解：∵直径AB⊥CD，∴＝，∵＝，∴的度数＝×360°＝120°，∴∠COD＝120°，∵OC＝OD，∴∠C＝∠D＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠OEC＝90°，∴OE＝OC＝×2＝1，∵⊙O的半径为2，∠COD＝120°，∴的长＝＝π．【点评】本题考查垂径定理，弧长的计算，圆心角、弧、弦的关系，关键是由垂径定理推出＝，＝，掌握弧长公式．24．（5分）正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一，实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．小明进行了三次训练．（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m0123456789竖直高度y/m2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 3.72 1.1根据上述数据，求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），并求出实心球着地点的水平距离d1；（2）第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图所示，其中A，B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点．记小明第二、三次训练时实心球着地点的水平距离分别为d2，d3，则d1，d2，d3的大小关系为d2＜d1＜d3．【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值；选出表格中的数据，利用待定系数法即可求出函数解析式；再令y＝0求出x的值即可；（2）根据三次投掷实心球所得抛物线的对称轴和抛物线都过点（0，2），由函数的对称性得出结论．【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为（4，3.6），∴抛物线的解析式可表示为：y＝a（x﹣4）2+3.6，∵当x＝0时，y＝2，∴2＝a（0﹣4）2+3.6，解得a＝﹣，∴函数解析式为y＝﹣（x﹣4）2+3.6；令y＝0，则﹣（x﹣4）2+3.6＝0，解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），∴d1＝10，∴实心球着地点的水平距离d1为10米；（2）根据图象知，第二次、第三次抛物线的对称轴分别为直线x＝3.83和直线x＝4.07，∵三次抛物线都过点（0，2），3.83＜4＜4.07，∴小明第一、第二、三次训练时实心球着地点的水平距离d2＜d1＜d3，故答案为：d2＜d1＜d3．【点评】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，实数大小比较，解题的关键是读懂题意，能够从表格中获取有用信息列出函数关系式．25．（6分）如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，CO的延长线交⊙O于点D，连接AD，BD，过点D作⊙O的切线交AO的延长线于点E．（1）求证：DE∥AB；（2）若⊙O的半径为3，tan∠ADC＝，求DE的长．【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质推出OC⊥AB，由切线的性质得到OD⊥DE，即可证明DE∥AB；（2）由tan∠ADC＝＝，令AC＝x，CD＝2x，得到OC＝2x﹣3，由勾股定理得到（2x﹣3）2+x2＝32，求出x＝，得到AC＝，OC＝2x﹣3＝，由锐角的正切定义得到＝，代入有关数据即可求出DE长．【解答】（1）证明：连接OB，∵OB＝OA，点C为AB的中点，∴OC⊥AB，∵DE切圆于D，∴OD⊥DE，∴DE∥AB；（2）解：∵tan∠ADC＝＝，∴令AC＝x，CD＝2x，∵⊙O的半径为3，∴OA＝OD＝3，∴OC＝2x﹣3，∵OA2＝OC2+AC2，∴（2x﹣3）2+x2＝32，∴x＝，∴AC＝，OC＝2x﹣3＝，∵∠DOE＝∠AOC，∴tan∠DOE＝tan∠AOC，∴＝，∴＝＝，∴DE＝4．【点评】本题考查切线是性质，勾股定理，解直角三角形，关键是由勾股定理得到（2x ﹣3）2+x2＝32，求出AC，OC的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）若a＝1，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标；（2）已知点（3﹣a，y1），（a+1，y2），（﹣a，y3）在该抛物线上，若y1，y2，y3中有且仅有一个大于0，求a的取值范围．【分析】利用对称轴的公式x＝﹣求出对称轴，再令y＝0，求出A、B坐标；把x的值代入y中，得到y1大于0，从而求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵a＝1，∴y＝x2﹣2x﹣3，∴抛物线的对称轴是：直线x＝﹣＝1，当x2﹣2x﹣3＝0时，∴（x﹣3）（x+1）＝0，∴x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），故答案为：对称轴是：直线x＝1，A（﹣1，0），B（3，0）．（2）当x＝3﹣a时，y1＝4a2﹣12a+5；当x＝a+1时，y2＝﹣3＜0；当x＝﹣a时，y3＝4a2﹣4；∵y1，y2，y3中有且仅有一个大于0，∴分两种情况：①当y1＝4a2﹣12a+5＞0，而y3＝4a2﹣4＜0时，∵y1＝4a2﹣12a+5＞0，令4a2﹣12a+5＝0，∴（2a﹣5）（2a﹣1）＝0，∴a1＝，a2＝，∴a的取值范围是：a＜或a＞．∵y3＝4a2﹣4＜0，令4a2﹣4＝0，∴a1＝1，a2＝﹣1，∴a的取值范围是：﹣1＜a＜1，故﹣1＜a＜；②当y1＝4a2﹣12a+5＜0，而y3＝4a2﹣4＞0时，∵y1＝4a2﹣12a+5＜0，令4a2﹣12a+5＝0，∴（2a﹣5）（2a﹣1）＝0，∴a1＝，a2＝，∴a的取值范围是：＜a＜．∵y3＝4a2﹣4＞0，令4a2﹣4＝0，∴a1＝1，a2＝﹣1，∴a的取值范围是：a＜﹣1或a＞1，故1＜a＜．综上所述，a的取值范围是：﹣1＜a＜或1＜a＜．故答案为：﹣1＜a＜或1＜a＜．【点评】本题考查了抛物线的对称轴的求法，抛物线与坐标轴交点的坐标，以及抛物线大于0的求法，掌握解题方法是解题关键．27．（7分）在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P是对角线AC上一点（不与点A重合），点E，F分别是边AB，AD上的点，且∠EPF＝60°，射线PE，PF分别与DA，BA的延长线交于点M，N．（1）如图1，若点P与C重合，且PA平分∠EPF，求证：AM＝AN；（2）连接BP，若∠ABP＝45°，BP＝3，且PA不平分∠EPF．①依题意补全图2；②用等式表示线段AM，AN的数量关系，并证明．【分析】（1）由点P与C重合，且PA平分∠EPF，得∠ACE＝∠ACF，由菱形的性质得AB＝CB＝AD＝CD，∠D＝∠B＝60°，所以△ABC和△ADC都是等边三角形，则∠BAC ＝∠DAC＝60°，所以∠CAM＝∠CAN＝120°，而AC＝AC，即可根据“ASA”证明△ACM≌△ACN，得AM＝AN；（2）①按题中所给条件补全图形即可；②作PH∠AB于点H，由∠BAC＝∠DAC＝60°，得∠PAM＝∠NAP＝120°，∠N+∠APF＝∠BAC＝60°，而∠APM+∠APF＝∠EPF＝60°，可证明∠APM＝∠N，所以△PAM ∽△NAP，则＝，所以AM•AN＝AP2，因为∠ABP＝45°，BP＝3，所以＝sin45°＝，则HP＝BP，因为＝sin60°＝，所以AP＝＝BP＝，即可证明AM•AN＝6．【解答】（1）证明：如图1，∵点P与C重合，且PA平分∠EPF，∴∠ACE＝∠ACF，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝CB＝AD＝CD，∠D＝∠B＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，∴∠CAM＝180°﹣∠DAC＝120°，∠CAN＝180°﹣∠BAC＝120°，∴∠CAM＝∠CAN，在△ACM和△ACN中，，∴△ACM≌△ACN（ASA），∴AM＝AN．（2）解：①补全图形，如图2所示.②AM•AN＝6，证明：如图2，作PH∠AB于点H，则∠AHP＝∠BHP＝90°，∵∠BAC＝∠DAC＝60°，∴∠PAM＝∠NAP＝180°﹣60°＝120°，∠N+∠APF＝∠BAC＝60°，∵∠APM+∠APF＝∠EPF＝60°，∴∠APM+∠APF＝∠N+∠APF，∴∠APM＝∠N，∴△PAM∽△NAP，∴＝，∴AM•AN＝AP2，∵∠ABP＝45°，BP＝3，∴＝sin∠ABP＝sin45°＝，∴HP＝BP，∵＝sin∠BAC＝sin60°＝，∴AP＝＝＝BP＝×3＝，∴AP2＝（）2＝6，∴AM•AN＝6．【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：对于图形G1、G2，若存在常数d，使得图形G1上的任意一点P，在图形G2上至少能找到一个点Q，满足PQ＝d，则称图形G2是图形G1的“映图”，d是G1关于G2的“映距”．（1）如图，点A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（﹣1，0），D（0，﹣1），E（4，0），F（0，4），G（5，0），H（0，5）．在线段CD，EF，GH中，线段AB的映图是EF，GH．（2）⊙O的半径为1．②若直线y＝﹣x+m（m≠0）被坐标轴所截的线段是⊙O的映图，直接写出m的取值范围．【分析】（1）利用“映图”的定义解答即可；（2）①由题意画出图形，利用映距d的定义和圆的有关性质解答即可；②利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：Ⅰ．当m＞0时，过点O作直线l⊥直线y＝﹣x+m，垂足为K，分别交⊙O与点M，N，设⊙O与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，利用①的方法求得⊙O关于直线y＝﹣x+m的映距d的最小值，再利用⊙O上的点到端点A，B的最小距离不小于d的最小值列式解答即可；Ⅱ．当m＜0时，同理解答即可．【解答】解：（1）由题意：AB∥CD∥EF∥GH，平行线之间的距离相等，∵若存在常数d，使得图形G1上的任意一点P，在图形G2上至少能找到一个点Q，满足PQ＝d，则称图形G2是图形G1的“映图”，∴线段AB的映图大于或等于AB，且映距d的最小值为两条平行线段的距离，∴线段AB的映图是：EF，GH．故答案为：EF，GH；（2）①过点O作直线l⊥直线，垂足为K，分别交⊙O与点M，N，如图，设直线与坐标轴交于点A，B，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝3，∴A（3，0），B（0，3），∴OA＝OB＝3，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝45°．∵OK⊥AB，∴△OAK为等腰直角三角形，∴OK＝OA＝3，∴NK＝ON+OK＝1+3＝4，∴⊙O关于直线的映距d的最小值为4．②Ⅰ．当m＞0时，过点O作直线l⊥直线y＝﹣x+m，垂足为K，分别交⊙O与点M，N，设⊙O与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，如图，则⊙O关于直线y＝﹣x+m的映距d的最小值为NK，设直线与坐标轴交于点A，B，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝m，∴A（m，0），B（0，m），∴OA＝OB＝m，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝45°．∵OK⊥AB，∴△OAK为等腰直角三角形，∴OK＝OA＝m．∴NK＝ON+OK＝m+1．∵直线y＝﹣x+m（m≠0）被坐标轴所截的线段是⊙O的映图，⊙O上的点到端点A，B 的最小距离为CA＝EB＝m﹣1，∴m﹣1≥m+1，∴m≥4+2．Ⅱ．当m＞0时，过点O作直线l⊥直线y＝﹣x+m，垂足为K，分别交⊙O与点M，N，设⊙O与x轴交于点C，D，与y轴交于点E，F，如图，用同样的方法计算可得：m≤﹣4﹣2．综上，若直线y＝﹣x+m（m≠0）被坐标轴所截的线段是⊙O的映图，m的取值范围m≥4+2或m≤﹣4﹣2．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键。
2022-2023学年北京市第十二中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年北京市第十二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件A =“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件A 互斥而不互为对立的是（ ） A ．都是黑球 B ．恰好有1个黑球 C ．恰好有1个红球 D ．至少有2个红球【答案】B【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解即可．【详解】解：从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球， 在A 中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故A 错误，在B 中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故B 正确， 在C 中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故C 错误， 在D 中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，是对立事件，故D 错误． 故选：B ．2．若向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a b c λ=-=-=，满足条件()1c a b -⋅=-，则λ=（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B【分析】首先通过向量的减法的坐标运算可得()(0,2,1)c a λ-=-，再通过数量积运算即可得解. 【详解】根据向量的运算可得： ()(0,2,1)c a λ-=-，所以()012(2)(1)1c a b λ-⋅=⨯+⨯-+-⨯4131λλ=-+-=--=-，所以2λ=-， 故选：B3．椭圆2221x y +=的焦点坐标为（ ） A ．12(1,0),(1,0)F F - B ．12(0,1),(0,1)F F -C ．12,F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．120,,F F ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】根据题意可得22112x y +=，故该椭圆焦点在y 轴上，2211,2a b ==，求得22212c a b =-=即可得解.【详解】由2221x y +=可得22112x y +=，故该椭圆焦点在y 轴上，2211,2a b ==， 所以22212c a b =-=，22c =， 故焦点坐标为12220,,0,22F F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D4．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确； 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误. 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距. 5．已知12,F F 是双曲线22146x y-=的两个焦点，点P 在双曲线上，若15PF =，则2PF =（ ）A ．1或9B ．3或7C ．9D ．7【答案】C【分析】由题知点P 在双曲线左支上，进而根据双曲线的定义求解即可；【详解】解：由题知，2,a b c ===因为P 在双曲线上，且152PF a c =<+=所以，点P 在双曲线左支上，由双曲线定义知2124PF PF a -==，故29PF =； 所以，29PF = 故选：C6．在空间直角坐标系中，已知三点(0,0,0),(1,2,1),(1,1,0)O A B -，若点C 在平面OAB 内，则点C 的坐标可能是（ ） A ．(1,1,3)-- B ．(3,0,1)C ．(1,1,2)D ．(1,1,2)-【答案】B【分析】根据向量的运算可得(1,2,1)OA =，(1,1,0)OB =-，由OA ，OB 不共线，结合向量基本定理可得(,2,)OC OA OB λμλμλμλ=+=+-，求得C 点坐标为(,2,)λμλμλ+-，代入验算即可得解. 【详解】由(1,2,1)OA =，(1,1,0)OB =-，显然OA ，OB 不共线，根据向量基本定理可得(,2,)OC OA OB λμλμλμλ=+=+-， 故C 点坐标为(,2,)λμλμλ+-， 经验算只有B 选项符合条件， 此时1,2λμ==， 故选：B7．2||12x y y -=-表示的曲线为（ ） A ．两个半圆 B ．一个圆 C ．半个圆 D ．两个圆【答案】A【分析】去方程中的绝对值符号，平方整理，再分类讨论方程表示的曲线即可得解. 【详解】依题意，||10x -≥，则有1x ≤-或1x ≥，当1x ≤-时，2222||1211(1)(1)(1)1x y y x y x y -=-⇔--=--⇔++-=， 此时方程表示以点O 2(-1，1)为圆心，1为半径的圆在直线x =-1及左侧的半圆， 当1x ≥时，2222||1211(1)(1)(1)1x y y x y x y -=-⇔-=--⇔-+-=， 此时方程表示以点O 1(1，1)为圆心，1为半径的圆在直线x =1及右侧的半圆， 如图，2||12x y y -=-.故选：A8．已知点A ，B 是椭圆2222:1(0)x y W a b a b+=>>长轴上的两个顶点，点P 在椭圆上（异于A ，B 两点），若直线,PA PB 斜率之积为43a ca -，则椭圆的离心率为（ ） A ．13B ．14C ．23D ．34【答案】C【分析】根据题意可设P 点坐标为(,)m n ，则22221m n a b +=，即22222a n m a b-=-，由(,0),(,0)A a B a -，则2222243PA PBn n n b a ck k m a m a m a a a-⋅=⋅==-=+--，整理解方程即可. 【详解】设P 点坐标为(,)m n ，则22221m n a b +=，22222a n m a b-=-，不妨设(,0),(,0)A a B a -， 则22222222243PA PBn n n n b a ck k a n m a m a m a a a b-⋅=⋅===-=+---， 整理可得223440c ac a +-=，即23e 4e 40+-=，23e =或2e =-（舍）， 故选：C9．已知圆22:(7)(1)2C x y -+-=和两点(0,),(0,)(0)A a B a a ->，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则a 的最大值为（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，进而根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：因为圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=， 所以，以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，因为以AB 为直径的圆的方程为222:O x y a +=，圆心为()0,0O ，r a = 因为圆C 的圆心为()7,1C，半径为R =所以r R OC r R -≤=+，即r R r R -≤+，所以，R r R ≤≤，即a ≤≤所以，a的最大值为故选：C10．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是11D C 的中点，F 是侧面11ADD A 的中心，则F 到平面1EB C 的距离为（ ）A 26B 10C ．32D 3【答案】A【分析】连接1A D ，证明1//A D 平面1CEB ，进而将其转化为D 到平面1EB C 的距离，再根据等体积法求解即可.【详解】解：连接1A D ，因为F 是侧面11ADD A 的中心， 所以1F A D ∈，因为，由正方体的性质知1111//,A B CD A B CD =， 所以，11A B CD 是平行四边形， 所以11//A D CB ，因为1A D ⊄平面1CEB ，1CB ⊂平面1CEB 所以1//A D 平面1CEB ，所以，F 到平面1EB C 的距离与D 到平面1EB C 的距离相等， 设D 到平面1EB C 的距离为h1CEB 中，115,22EB CE BC ==11225262CEB S =⨯-△ 因为111111133D EB C B E CEB C CED D V V S h S B C --==⋅⋅=△△，1136111423323CED S B C ⨯⨯===⋅△，解得266h =所以，F 到平面1EB C 26故选：A11．已知椭圆22:14x E y +=，直线l 与两个坐标轴分别交于点M ，N ．且与椭圆E 有且只有个公共点，O 是坐标原点，则OMN 面积的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．2D ．2【答案】D【分析】根据题意首先设直线l 方程为y kx b =+，和椭圆方程联立结合韦达定理求得参数k 和b 之间的关系，利用面积公式结合基本不等式求最值即可得解. 【详解】若要直线l 与两个坐标轴分别交于点M ，N ， 则直线l 的斜率存在，故设直线l 方程为y kx b =+， 代入到椭圆方程2214x y +=可得222(41)8440k x kbx b +++-=，根据提意可得222222644(41)(44)6416160k b k b k b ∆=-+-=-+=， 所以2241k b +=，根据题意对方程y kx b =+，0,0k b ≠≠， 所以令0x =得y b =，令0y =得bx k=-，所以2211114111422222OMNb b k SOM ON b k k k k k+=⋅=⋅-===+ 111(4)422k k k k=+⋅=， 当且仅当14k k=时取等，所以OMN 面积的最小值是2. 故选：D12．设圆22:2O x y +=，直线:40l x y +-=，P 为l 上的动点．过点P 作圆O 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，给出下列四个结论：①当四边形OAPB 为正方形时，点P 的坐标为(2,2)②||PA 的取值范围为)+∞③当PAB 为等边三角形时，点P 坐标为(1,3) ④直线AB 恒过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】对于①，当四边形OAPB 为正方形时，利用||||||||OA OB AP BP ===，求出||2PO =，再设00(,)P x y ，利用004y x =-，解方程||2PO =，可知①不正确；对于②，设00(,)P x y ，利用004y x =-， ||AP ==||AP ≥②正确对于③，根据PAB 为等边三角形，可得30APO BPO ∠=∠=，||OP =P 的坐标，利用||OP =对于④，设出点P 的坐标，求出以||PO 为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦AB 的方程，将12x y ==代入直线AB 的方程恒成立，可得答案. 【详解】对于①，当四边形OAPB 为正方形时，||||||||OA OB AP BP ===，又圆22:2O x y +=的圆心(0,0)O ，半径r =所以||2PO ==， 设点00(,)P x y ，则004y x =-，所以||PO ===2=，化简得200460x x -+=，该方程的判别式16240∆=-<，该方程无解，所以不存在点P 使得四边形OAPB 为正方形，故①不正确；对于②，由①可知，||AP ==≥PA 的取值范围为)+∞，故②正确； 对于③，设点00(,)P x y ，则004y x =-， 当PAB 为等边三角形时，可知60APB ∠=，又OP 平分APB ∠，所以30APO BPO ∠=∠=，在直角三角形PAO 中，由于||OA =所以||sin ||OA APO OP ∠=，即2sin30||OP =，所以||OP =又点00(,4)P x x -=化简得20(2)0x -=，解得02x =，所以0042y x =-=，则(2,2)P ，故③不正确；对于④，设点00(,)P x y ，则004y x =-，00(,4)P x x -，以||PO 为直径的圆的圆心为004(,)22x x -，半径为||2PO =所以以||PO 为直径的圆的方程为222200004(4)()()224x x x x x y -+--+-=， 化简得2200(4)0x y x x x y +---=，联立220022(4)02x y x x x y x y ⎧+---=⎨+=⎩，得00(4)2x x x y +-=， 所以直线AB 的方程为：00(4)2x x x y +-=，将12x y ==代入直线AB 的方程恒成立， 故直线AB 恒过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭，故④正确.所以正确的答案有2个， 故选：B.二、填空题13．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x ，7，8（其中7x ≠），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的第60百分位数是__________.【答案】6【分析】先求出众数，进而求得中位数，解出6x =，再由百分位数的求法求解即可. 【详解】由题意知，众数是4，则中位数为5454⨯=，则452x+=，解得6x =，又660% 3.6⨯=，则第60百分位数是6. 故答案为：6.14．过椭圆22143x y +=的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为________．【答案】3【分析】根据题意即求通径大小，先求1c =，令1x =代入椭圆方程求得32y =±即可得解.【详解】由2221c a b =-=，故1c =， 不妨令1x =，代入22143x y +=可得294y =， 所以32y =±，故弦长为3.故答案为：315．已知直线12:210,:(1)10l x my l m x y --=--+=，若12l l //，则m =________． 【答案】2【分析】由题知()210m m -+-=，进而解方程并检验即可得答案. 【详解】解：因为直线12:210,:(1)10l x my l m x y --=--+=平行， 所以，()210m m -+-=，即220m m --=，解得：1m =-或2m = 当1m =-时，12:210,:210l x y l x y +-=--+=，显然重合，舍； 当2m =时，121:0,:102l x y l x y --=-+=，满足12l l //. 所以，2m = 故答案为：2 16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点P ⎫⎪⎝⎭，双曲线C 的离心率为53，则双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为_______． 【答案】4【分析】利用已知条件先求出双曲线的标准方程，找出一个焦点和一条渐近线， 利用点到直线距离公式求解即可.【详解】由双曲线经过点P ⎫⎪⎝⎭，则222221a b ⎝⎭-=，① 双曲线离心率为：53c e a ==，②又222+=a b c ，③联立①②③解得：2229,16,25a b c ===， 所以双曲线标准方程为：221916x y -= 所以双曲线的一个焦点为()5,0， 一条渐近线为430x y -=，所以双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为：4d ==，故答案为：4.17．已知椭圆22195x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上的一点，且1260F PF ︒∠=，则21PF F 的面积是________． 【解析】根据椭圆的定义，得到12PF PF +的值，再由1260F PF ︒∠=，在21PF F 中，用余弦定理，求出12PF PF ，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】根据椭圆定义，可得1226PF PF a +==，且椭圆的焦距为124F F ==，又1260F PF ︒∠=，在21PF F 中，由余弦定理，可得222121212121cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==， 所以()22221121212122PF PF PF PF F F PF PF +--=， 即211236162122PF PF PF PF --=，所以21203PF PF =， 因此21PFF的面积是1221211120sin 223PF F S PF PF F PF =∠=⨯=. . 18．如图，在直三棱柱111ABC A BC 中，11AB BB ==，BC =90ABC ∠=︒，CH xCB =，1(01,01)CP yCB x y =<≤≤≤．记(,)f x y AH HP =+，给出下列四个结论：①对于任意点H ，都存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ； ②(,)f x y 的最小值为3；③满足(,)3f x y =的点P 有无数个；④当(,)f x y 取最小时，过点A ，H ，P 作三棱柱的截面，则截面面积为154．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②③④【分析】过点H 作01HP B C ⊥，根据线面垂直判定定理，面面垂直判定定理证明平面0AHP ⊥平面110A B P ，由此判断①；作展开图，利用平面几何结论判断②，③；确定过点A ，H ，P 作三棱柱的截面，解三角形计算截面面积，判断命题④.【详解】因为三棱锥111ABC A B C 为直三棱锥，所以1BB ⊥平面111A B C ，又11A B ⊂平面111A B C ，所以111BB A B ⊥，又90ABC ∠=︒，所以11190A B C ∠=︒，所以1111A B B C ⊥， 1111BB B C B =，111,BB B C ⊂平面11BB C C ，所以11A B ⊥平面11BB C C ，对于任意点H ，过点H 作01HP B C ⊥，垂足为0P ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，0HP ⊂平面11BB C C ，所以110A B HP ⊥，又1111B CA B B =，111,B C A B ⊂平面110A B P ，所以0HP ⊥平面110A B P ，又0HP ⊂平面0AHP ，所以平面0AHP ⊥平面110A B P ； 所以对于任意点H ，都存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ；命题①正确；将ABC 绕BC 翻折到平面1BB C 内，则AH HP +的最小值为点A 到直线1B C 的距离，又11AB BB ==，3BC =，90ABC ∠=︒，190B BC ∠=，所以112AC CB AB ===，所以点A 到直线1B C 的距离为3，所以(,)f x y 的最小值为3；②正确；当(,)f x y 取最小时，P 为1B C 的中点，因为1AB C 为等边三角形，点B 为线段1AB 的中点，所以H 为1AB C 的重心，故13BH BC =，在平面11BCC B 中，延长HP 交11B C 于点M ，因为1PC PB =，11,PB M PCH B PM HPC ∠=∠∠=∠，所以1PB M PCH ≅，故123B M CH ==，取1B M 的中点Q ，N 为11A C 的中点，则1//MN AQ ，因为1//BH B Q ，1=BH B Q ，所以四边形1BB QH 为平行四边形，所以11//,HQ BB HQ BB =，又1111,//AA BB AA BB =，所以1//A Q AH ，所以//MN AH ，故过点A ，H ，P 的三棱柱的截面为梯形AHMN ，又2323133AH ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，11323MN A Q ==， 22233MH MQ HQ =+=， 22112AN AA A N =+=，在下图中过点M 作MG AH ⊥，设,HG x AG y ==， 因为222MH HG AG =+，()222AN AG MN NG =-+， 所以22243x y MH +==，22323x y ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以36x =，52y =， 所以四边形AHNM 的面积35152224MN AH S AG +=⋅=⨯=， 故过点A ，H ，P 的截面面积为154．命题④正确；当52HB ≥时，32AH ≥，则12AH HP AH HB AH +≤+≤，在下图中过点H 作HR BC ⊥，垂足为R ，则AH HP AH HR +≥+， 又2AH HR AH HC +<+<，23AH ≥，故对于任意的点H ，当52HB ≥时，都存在对应的点P ，满足3AH HP +=，故满足(,)3f x y =的点P 有无数个；命题③正确；故答案为：①②③④.【点睛】对于求空间中的线段和的距离最小值的问题，一般通过转化为平面图形中的线段和问题加以解决.三、解答题19．为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来检测培育的某种植物的生长情况，现分别从,,A B C 三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：假设所有植株的生产情况相互独立．从,,A B C 三组各随机选1株，A 组选出的植株记为甲，B 组选出的植株记为乙，C 组选出的植株记为丙． (1)求丙的高度小于15厘米的概率； (2)求甲的高度大于乙的高度的概率；(3)表格中所有数据的平均数记0μ．从,,A B C 三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次14，16，15（单位：厘米）．这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为1μ，试比较0μ和1μ的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1)27(2)1049(3)01μμ<【分析】（1）设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”， 事件i C 为“甲是C 组的第i 株植物”，其中1,2,3,,7i =，设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，利用互斥事件求出概率即可；（2）由（1）中的事件分析直接求出“甲的高度大于乙的高度” 的概率， （3）依题意分别计算出0μ和1μ比较即可.【详解】（1）设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“甲是C 组的第i 株植物”，其中1,2,3,,7i =，由题意得：1()()(),1,2,3,,77i i i P A P B P C i ====，设事件D 为“丙的高度小于15厘米”， 由题知12D C C =⋃，且12,C C 互斥， 所以丙的高度小于15厘米的概率为： ()()()()1212112777P D P C C P C P C ==+=+=. （2）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”， 所以甲的高度大于乙的高度的概率为：()()()()()()()415161115262P E P A B P A B P A B P A B P A B P A B =+++++ ()()()()72637374P A B P A B P A B P A B ++++11111111117777777777=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 11111111117777777777+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1110107749=⨯⨯=.（3）由题意得：01(1011121314151612131421μ=⨯+++++++++ 1516171813141516171819)14.67+++++++++++≈，11(1011121314151612131421μ=⨯+++++++++ 1516171813141516171819141615)14.71++++++++++++++≈，所以01μμ<.20．已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，且经过点(1,3),(1,5)A B -． (1)求圆C 的标准方程；(2)过点(2,1)P 的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且||MN =l 的方程． 【答案】(1)()()22134x y -+-= (2)34100x y +-=或2x =【分析】（1）由已知设出圆心的坐标(),3a a ，再求出AB 的中点M ，利用AB CM ⊥求出a的值，进而可以求出圆心和半径，即可解决问题；（2）先判断直线的斜率是否存在，存在的话根据点斜式方程设出直线方程，求出圆心到直线的距离，然后利用2222MN R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出直线的斜率即可解决问题.【详解】（1）因为圆C 的圆心在直线30x y -=上， 所以设圆C 的圆心为：(),3a a ， 由(1,3),(1,5)A B -， 所以AB 的中点()0,4M ， 由题知：AB CM ⊥， 所以1AB CM k k ⋅=-， 即()53341110a a --⋅=----，解得1a =，所以圆心为()1,3C ，半径2R AC ===所以圆C 的标准方程为：()()22134x y -+-=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 过点(2,1)P ， 所以方程为：2x =，代入()()22134x y -+-=中解得：3y =±(()||33MN =-=满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为：1(2)210y k x kx y k -=-⇔--+=， 由圆心()1,3C 到直线l 的距离为：d ==由2222MN R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2222=+⎝⎭，解得：34k =-，所以直线l 的方程为：34100x y +-=， 综上，直线l 的方程为：34100x y +-=或2x =.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，60BCD ∠=︒，2PA PD ==，E 为BC 的中点，点Q 在侧棱PC 上.（1）求证：AD PB ⊥；.（2）若Q 是PC 的中点，求二面角E DQ C --的余弦值； （3）若PQPCλ=，当//PA 平面DEQ 时，求λ的值.【答案】（1）见解析；（221；（3）23λ=.【详解】分析：（1）先利用等腰三角形的“三线合一”和面面垂直的性质得到线面垂直，再利用菱形的对角线垂直得到线线垂直，进而建立空间直角坐标系，利用两直线的方向向量数量积为0进行求解；（2）先求出两平面的法向量，再利用法向量的夹角公式进行证明；（3）利用三点共线设出Q 的坐标，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，利用两向量数量积为0进行求解. 详解：（1）取AD 的中点O ，连结OP ，OB ，BD ， ∵ PA PD =， ∴ PO AD ⊥，∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ， 平面PAD ⋂平面ABCD AD =， ∴ PO ⊥底面ABCD ，∵ 底面ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒， ∴ BA BD =，BO AD ⊥，以O 为原点，分别以OA ，OB ，OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -， 由题意可得()0,0,0O ，()1,0,0A ，()3,0B ，()3,0C -，()1,0,0D -，()3,0E -，()0,0,1P ，()2,0,0AD =-，()0,3,1PB -，∵ ·0AD PB =，∴ AD PB ⊥.（2）由题意，12Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面DQC 的一个法向量()1,,n x y z =，()DC =-，12DQ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由11·0·0n DC n DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0102x z ⎧-=+=，令x =1y =，z =(13,1,n =，又平面EDQ 的一个法向量()21,0,0n =， 由121212·21cos ,7n n n n nn ==⋅， 右图可知，二面角E DQ C --. （3）∵ PQ PC λ=，01λ<<， 易得()2,1Q λλ--，设平面DEQ 的一个法向量()3,,n xy z =， ()0,DE =，()2,1DQ λλ=-+-，由33·0·0n DE n DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()02110x y z λλ⎧=⎪⎨-++-=⎪⎩，取21z λ=-，得()31,0,21n λλ=--， 又()1,0,1PA =-，∵ //PA 平面DEQ ，∴ 3·0PAn =， 即()()()11210λλ-+--=，得23λ=， 所以当23λ=时，//PA 平面DEQ . 点睛：本题考查空间中垂直的转化、空间向量在立体几何中的应用等知识，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力.22．已知椭圆W 以坐标轴为对称轴，且经过两点3(2,0),1,2A B ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求椭圆W 的方程；(2)设过点(2,1)P 的直线l 交椭圆W 于C D 、两点，过点D 作垂直于x 轴的直线，与线段AB 交于点M ，与AC 交于点E ，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知．求||||MD ME 的值． 条件①：直线l 的斜率为1；条件②：直线l 过点B 关于y 轴的对称点； 条件③：直线l 过坐标原点O ． 【答案】(1)22143x y += (2)1【分析】（1）由题设()221,0,mx ny m o n m n +=>>≠，进而待定系数求解即可；（2）条件①：由题知直线l 的方程为1y x =-，进而联立方程221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，设()()1122,,,C x y D x y 得121288,77x x x x +==-，再根据AB 方程为()322y x =--，AC 方程为()1122y y x x =--得()223,22M x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()12212,2y x E x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，再计算2852x MD -=，()()()12158222x x ME x --=-，再结合韦达定理求比值即可；条件②：由题知，点B 关于y 轴的对称点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 的方程为1463y x =-+，进而结合①的方法求解即可；条件③：由题知直线l 的方程为12y x =，进而联立方程2212143y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得,D C ⎛⎭⎝⎭，再求得3M ⎫⎪⎭，E ，再求距离，比值即可. 【详解】（1）解：因为椭圆W 以坐标轴为对称轴，且经过两点3(2,0),1,2A B ⎛⎫⎪⎝⎭所以，设椭圆W 的方程为()2210,0,mx ny m n m n +=>>≠，所以41914m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得11,43m n == 所以，椭圆W 的方程为22143x y += （2）解：条件①：直线l 的斜率为1；因为过点(2,1)P 的直线l 交椭圆W 于C D 、两点，所以，直线l 的方程为12y x -=-，即1y x =-， 联立方程221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得27880x x --=，设()()1122,,,C x y D x y 所以121288,77x x x x +==-， 因为AB 方程为()322y x =--，AC 方程为()1122y y x x =-- 所以()223,22M x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()12212,2y x E x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭所以()2222853524222x MD x y x -=---=-+=， ()()()()()12122112582322222y x x x ME x x x ---=+-=--， 所以()()()()()()()221112212121212185852816510258251081658222x x x MD x x x x ME x x x x x x x x x -----+===----+---()()221212212122228888165228165277718885102162510162777x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⨯--⨯-+-+ ⎪+--+⎝⎭====-+++⎛⎫-+⨯--⨯++ ⎪⎝⎭所以1MDME =条件②：直线l 过点B 关于y 轴的对称点；由题知，点B 关于y 轴的对称点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以直线l 的方程为()11421663y x x =--+=-+， 所以联立方程221463143y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得274110x x --=，设()()1122,,,C x y D x y 所以1212411,77x x x x +==-， 因为AB 方程为()322y x =--，AC 方程为()1122y y x x =-- 所以()223,22M x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()12212,2y x E x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭所以()()2222233144522226333MD x y x x x =---=--+-=-+， ()()()()()()()1212212211114222810336322222262x x y x x x ME x x x x x ⎛⎫-+- ⎪---⎝⎭=+-=+-=---， 所以()()()212121221211451016820338101620281062x MD x x x x ME x x x x x x x -++--==--+---()()221221212122224111210682061068207771121148166206816610777x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⨯+-⨯--- ⎪++--⎝⎭====-+++⎛⎫-⨯--⨯++ ⎪⎝⎭所以1MDME =条件③：直线l 过坐标原点O ．由题知直线l 的方程为12y x =， 所以联立方程2212143y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得23x =，解得x=所以，交点坐标为,⎛ ⎭⎝⎭因为过点D 作垂直于x 轴的直线，与线段AB 交于点M ，与AC交于点E ，所以,D C ⎛ ⎭⎝⎭因为AB 方程为()322y x =--，AC方程为))22y x x -=-所以3M ⎫⎪⎭，)2E ⎫=⎪⎪⎭所以33MD ==-，633ME ==-，所以1MDME =23．对于集合A ，定义函数1,()1,A x A f x x A ∉⎧=⎨-∈⎩，对于两个集合A ，B ，定义运算A *B ＝{x |fA (x )fB (x )＝﹣1}．(1)若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4,5}，写出fA (1)与fB (1)的值，并求出A *B ；(2)证明：*运算具有交换律和结合律，即A *B ＝B *A ，(A *B )*C ＝A *(B *C )．【答案】(1)fA (1)＝﹣1，fB (1)＝1，A *B ＝{1,4,5}；(2)证明见详解.【分析】（1）由新定义的元素即可求出fA (1)与fB (1)的值，再分情况求出A *B ；（2）先证明fA *B (x )＝fA (x )fB (x )即可证明出*运算具有交换律和结合律．【详解】（1）∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4,5}，∴fA (1)＝﹣1，fB (1)＝1，由运算定义知：只需保证元素属于集合A ∪B ，不属于集合A ∩B ，即有A *B ＝{1,4,5}；（2）先证明fA *B (x )＝fA (x )fB (x )：①当x ∈A 且x ∈B 时，fA (x )＝fB (x )＝﹣1，所以x ∉A *B ．所以fA *B (x )＝1，所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )，②当x ∈A 且x ∉B 时，fA (x )＝﹣1，fB (x )＝1，所以x ∈A *B ．所以fA *B (x )＝﹣1，所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )，③当x ∉A 且x ∈B 时，fA (x )＝1，fB (x )＝﹣1．所以x ∈A *B ．所以fA *B (x )＝﹣1．所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )．④当x ∉A 且x ∉B 时，fA (x )＝fB (x )＝1．所以x ∉A *B ．所以fA *B (x )＝1．所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )．从而可得fA *B (x )＝fA (x )fB (x )；因为A *B ＝{x |fA (x )fB (x )＝﹣1}，B *A ＝{x |fB (x )fA (x )＝﹣1}＝{x |fA (x )fB (x )＝﹣1}，所以A*B＝B*A．因为(A*B)*C＝{x|fA*B(x)fC(x)＝﹣1}＝{x|fA(x)fB(x)fC(x)＝﹣1}，A*(B*C)＝{x|fA(x)fB*C(x)＝﹣1}＝{x|fA(x)fB(x)fC(x)＝﹣1}，所以(A*B)*C＝A*(B*C)．。
11北京市顺义区2022-2023学年八年级上学期数学期末试卷(解析版)
【点睛】此题考查了随机事件，关键是理解必然事件是一定会发生的事件，解决此类的问题，要熟知知识．
5.甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式，有时候也被认为是汉字的书体之一，也是现存中国王朝时期最古老的一种成熟文字．下图为甲骨文对照表中的四个字，若把这四个甲骨文的文字抽象为几何图形，其中最接近轴对称图形的是（）
故答案是：x≥3.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题关键．
11.计算： ______.
【答案】
【解析】
【分析】先计算乘方运算，然后再计算除法即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查乘方运算及整式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键．
4.下列事件中，属于随机事件的是（）
A.太阳从西边升起来了
B.张叔叔申请了北京市小客车购买指标，在申请后的第一次“摇号”时就中签
C.任意投掷一枚骰子，面朝上的点数是7
D.用长度分别是 ， ， 的三条线段首尾顺次相接可组成一个三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
7.解方程 ，去分母后正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方程两边同乘以 即可得．
【详解】解： ，
方程两边同乘以 ，得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．
8.如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且 是等腰三角形，那么点C的个数为（）．
【详解】解：由三角形的高线的定义可知：
2022-2023学年北京市通州区高二上学期期末数学质量检测试卷(含解析)
2022-2023学年北京市通州区高二上册期末数学质量检测试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知椭圆22142x y +=的焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上一点，则12PF PF +=（）A.2B.4C.6D.8【正确答案】B【分析】利用椭圆的定义求解.【详解】解：因为椭圆方程为22142x y +=，所以2a =4，又因为椭圆22142x y +=的焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上一点，所以由椭圆的定义得12PF PF +=2a =4，故选：B2.已知双曲线2212y x -=，则其渐近线方程为（）A.12y x =±B.2y x =±C.y =D.2y x=±【正确答案】C【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可．【详解】由于双曲线为2212y x -=，所以其渐近线方程为y =.故选：C.3.已知数列{}n a 的前5项为1，12，13，14，15，则数列{}n a 的一个通项公式为（）A.1n a n = B.11n a n =+C.121n a n =- D.12n a n=【正确答案】A【分析】观察数列的规律，找出合适的通项公式即可；或可将数列的各项代入选项中的通项公式进行验证排除.【详解】观察数列的各项，容易发现，分子均为1，分母均与项数相同，则数列{}n a 的一个通项公式可以为1n a n=.经验证，其他选项均不能满足.故选：A.4.已知等差数列{}n a 的通项公式21n a n =-，则数列{}n a 的首项1a 和公差d 分别为（）A.11a =-，2d =- B.11a =-，2d =C.11a =，2d =- D.11a =，2d =【正确答案】D【分析】直接计算首项1a ，根据等差数列的定义计算公差d.【详解】因为等差数列{}n a 的通项公式21n a n =-，所以首项12111a =⨯-=，公差121[2(1)1]2n n d a a n n -=-=----=.故选：D.5.在等比数列{}n a 中，23a =，13n n a a +=，则数列{}n a 的前5项和为（）A.40B.80C.121D.242【正确答案】C【分析】先计算等比数列的首项和公比，再代入前n 项和公式计算即可.【详解】因为23a =，13n n a a +=所以公比13n na q a +==，首项21313a a q ===.则前n 项和1(1)1(13)311132n n n n a q S q -⋅--===--,所以数列{}n a 的前5项和为55311212S =-=.故选：C.6.已知圆()()222(0)23x y r r -+>+=与y 轴相切，则r =（）A.B.C.2D.3【正确答案】C【分析】利用圆心23-（，）到直线0x =的距离等于半径求解即可.【详解】因为圆()()22223x y r -++=与y 轴相切，所以圆心23-（，）到直线0x =的距离等于半径,r 即2r =，故选：C.7.如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M的轨迹方程为（）A.2214x y += B.22142x y +=C.22143x y += D.2212x y +=【正确答案】A【分析】设(,)M x y ，(P P x ,)P y ，利用M 为线段PD 的中点，得到P 点坐标与动点M 坐标之间的关系，将P 点坐标用M 点坐标表示，然后代入圆的方程即可得到动点M 的轨迹方程；【详解】设(,)M x y ，(P P x ,)P y ，则(P D x ,0)．M 为线段PD 的中点，∴02P P x x y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即P x x =，2P y y =．又点P 在圆22:4O x y +=上，22(2)4x y ∴+=，即2214x y +=．故点M 的轨迹方程为2214x y +=．故选：A8.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2AB AP ==，点E ，F 分别是PC ，PD 的中点，则点C 到平面AEF 的距离为（）A.22B.2C.32D.2【正确答案】B【分析】易证PD ⊥平面AEF ，得到PF 为点P 到平面AEF 的距离，再根据E 是PC 的中点，得到点C 与点P 到平面AEF 的距离相等求解.【详解】解：在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，所以CD AD ⊥，CD PA ⊥，又AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥，因为点E ，F 分别是PC ，PD 的中点，所以//CD EF ，所以PD EF ⊥，又PA AD =，则AF PD ⊥，且EF AF F = ，所以PD ⊥平面AEF ，所以PF 为点P 到平面AEF 的距离，又因为E 是PC 的中点，所以点C 与点P 到平面AEF 的距离相等，即2PF =，所以点C 到平面AEF 2，故选：B9.已知抛物线24y x =与直线22y x =-相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为（）A5B.10 C.25D.5【正确答案】D【分析】将直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式即可求解.【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程组2422y xy x ⎧=⎨=-⎩整理可得：2310x x -+=，则有12123,1x x x x +==，由弦长公式可得：125AB x =-==，故选.D10.已知数列{}n a 满足()121n a n n =+，数列{}n a 的前n 项和为n T ，若()2419n n T n n λλ>∈++R 对任意*n ∈N 恒成立，则λ的取值范围是（）A.(),4-∞B.(,-∞C.(),5-∞ D.(),6-∞【正确答案】C【分析】利用裂项相消法求出2(1)n nT n =+，将不等式进行等价转化，然后利用基本不等式即可求解.【详解】因为1111()2(1)21n a n n n n ==-++，所以1231n n nT a a a a a -=+++++ 1111111111(1)22233411n n n n =-+-+-++-+--+ 2(1)nn =+，因为()2419n n T n n λλ>∈++R 对任意*n ∈N 恒成立，也即24192(1)n n n λ++<+对任意*n ∈N 恒成立，因为24191161[(1)2]2)52(1)212n n n n n ++=+++≥+=++（当且仅当16(1)1n n +=+，也即3n =时等号成立）所以5λ<，故选.C第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.点()1,2-到直线3450x y +-=的距离为___________．【正确答案】2【分析】代入点到直线的距离公式即可求解.【详解】设点()1,2-到直线3450x y +-=的距离为d ，由点到直线的距离公式可得：2d ==，故答案为.212.已知抛物线()220x py p =>经过点()2,2，则该抛物线的方程为___________；准线方程为___________．【正确答案】①.22x y=②.12y =-【分析】根据抛物线()220x py p =>经过点()2,2，代入求得p 即可.【详解】解：因为抛物线()220x py p =>经过点()2,2，所以2222p =⨯，解得1p =，所以该抛物线的方程为22x y =；准线方程为12y =-，故22x y =，12y =-13.如图，点M 为四面体OABC 的棱BC 的中点，用OA ，OB ，OC 表示AM，则AM =___________．【正确答案】1122OA OB OC-++【分析】由向量的减法可得：AM OM OA =-，再利用OM 为OBC △的中线即可求解.【详解】连接OM ，所以AM OM OA =-，又因为M 为BC的中点，所以1()2OM OB OC =+，所以1122AM OA OB OC =-++ ，故答案为.1122OA OB OC-++14.已知有穷数列{}n a 的各项均不相等，将数列{}n a 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{}n p ，称数列{}n p 为数列{}n a 的“序数列”．例如，数列1a ，2a ，3a 满足132a a a >>，则其“序数列”为1，3，2．设各项均不相等的数列2，3t -，1t +，5（t ∈R ）为数列Ω．①若0=t ，则数列Ω的“序数列”为___________；②若数列Ω的“序数列”为3，4，1，2，则t 的取值范围为___________．【正确答案】①.4，2，1，3.②.(4,)+∞【分析】根据“序数列”定义直接求解即可.【详解】①因为0=t ，所以数列Ω为：2,3,1,5，由“序数列”定义可得：0=t 时，数列Ω的“序数列”为4，2，1，3.②因为数列Ω的“序数列”为3，4，1，2，而数列Ω为2，3t -，1t +，5，由“序数列”定义可得：1523t t +>>>-，解得：4t >，所以t 的取值范围为(4,)+∞，故4，2，1，3；(4,)+∞.15.已知曲线E 的方程为214x xy +=，给出下列四个结论：①若点(),M x y 是曲线E 上的点，则2x ≤，y ∈R ；②曲线E 关于x 轴对称，且关于原点对称；③曲线E 与x 轴，y 轴共有4个交点；④曲线E 与直线12y x =只有1个交点．其中所有正确结论的序号是___________．【正确答案】①④【分析】①由214x x y +=，分别得到214x x y =-，214x xy =-求解判断；②设点(),M x y 是曲线E 上的点，分别得到点(),M x y 关于x 轴对称和原点对称的对称点，代入方程验证判断；③由214x xy +=，分别令0x =，0y =求解判断；④分0x ≥和0x <，曲线方程与直线方程联立求解判断.【详解】①若点(),M x y 是曲线E 上的点，由214x x y +=，得2104x xy =-≥，即4x x ≤，当0x ≥时，02x ≤≤，当0x <时，成立，综上2x ≤，而21R 4x xy =-∈，则R y ∈，故正确；②设点(),M x y 是曲线E 上的点，点(),M x y 关于x 轴对称的对称点为(),M x y '-，因为()214x x y +-=，所以曲线E 关于x 轴对称，点(),M x y 关于原点对称的对称点为(),M x y '--，因为()214x x y -+-≠，所以曲线E 不关于原点对称，故错误；③由214x xy +=，令0x =，得21y =，解得1y =±，曲线E 与y 轴的交点为()()0,1,0,1-，令0y =，得4x x =，解得2x =，曲线E 与x 轴的交点为()2,0，所以曲线E 与x 轴，y 轴共有3个交点，故错误；④当0x ≥时，由221412x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以曲线E 与直线曲线E 与直线12y x =的交点为2⎫⎪⎪⎭；当0x <时，方程组221412x y y x⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解，则曲线E 与直线12y x =无交点，所以曲线E 与直线12y x =只有1个交点，故正确，故①④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知两点()1,1A -，()1,1B ，直线l ：10x y ++=．（1）若直线1l 经过点A ，且1l l ∥，求直线1l 的方程；（2）若圆心为C 的圆经过A ，B 两点，且圆心C 在直线l 上，求该圆的标准方程．【正确答案】（1）0x y +=（2）22(1)5x y ++=【分析】(1)根据直线1l l ∥，设直线1l 的方程为：0x y m ++=，再利用直线过点，将点的坐标代入即可求出结果；(2)根据圆的性质可知：圆心必在弦的垂直平分线上，又因为圆心C 在直线l 上，联立两直线方程求出圆心坐标，再利用圆心到圆上一点的距离等于半径即可求出半径长，进而求得圆的标准方程.【小问1详解】因为直线1l l ∥，直线l ：10x y ++=，设直线1l 的方程为：0x y m ++=，因为直线1l 经过点(1,1)A -，所以110-++=m ，解得：0m =，所以直线1l 的方程为.0x y +=【小问2详解】因为()1,1A -，()1,1B ，所以AB 的中点(0,1)D ，则AB 的中垂线方程为：0x =，由圆的性质可得：圆心C 在AB 的中垂线上，又因为圆心C 在直线l 上，所以联立方程组：010x x y =⎧⎨++=⎩，解得：(0,1)C -，圆的半径r CA ===，所以所求圆的标准方程为.22(1)5x y ++=17.已知双曲线的顶点在x 轴上，两顶点间的距离是2，离心率2e =．（1）求双曲线的标准方程；（2）若抛物线()220y px p =>的焦点F 与该双曲线的一个焦点相同，点M 为抛物线上一点，且3MF =，求点M 的坐标．【正确答案】（1）2213y x -=（2）或(1,-【分析】(1)根据题意可知：1a =，结合离心率得到2c =，进而求出b 即可求解；(2)结合（1）的结论，求出抛物线方程，利用抛物线的定义即可求解点M 的坐标.【小问1详解】由题意可知：22a =，则1a =，又离心率2e =，所以2c =，则b ==因为双曲线的顶点在x 轴上，也即焦点在x 轴上，所以双曲线方程为2213y x -=.【小问2详解】因为抛物线()220y px p =>的焦点(,0)2pF ，且抛物线()220y px p =>的焦点F 与该双曲线的一个焦点相同，所以22pc ==，则4p =，所以抛物线方程为28y x =，设点00(,)M x y ，由抛物线的定义可知：00232pMF x x =+=+=，所以01x =，又因为2008y x =，所以0y =±，故点M 的坐标为或(1,-.18.在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，设32n n b n a =-+．（1）求3a 的值；（2）若m 是3a 和4b 的等差中项，求m 的值；（3）求数列{}n b 的前n 项和n S ．【正确答案】（1）4（2）11（3）23222n n n --+【分析】（1）先求通项公式，再求3a 的值；（2）先求n b 的通项公式，可得3a 和4b 的值，从而可求m 的值；（3）利用分租求和的方法，结合等差数列等比数列的求和公式求解即可.【小问1详解】因为等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，所以1113312224n n n a a ---=⨯=⇒==；【小问2详解】因为132322n n n b n a n -==-+-+，所以414234128b -⨯-==+，又因为34a =，所以3a 和4b 的等差中项418112m +==；【小问3详解】因为1322n n b n -=-+，所以()()1147321224n n S n -=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+()()2211132332222212122n n nn n n n n n ⨯-+----=++==+--19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AA ==，2AD =，点E 为11B C 的中点．（1）求证：AE ⊥平面1CD E ；（2）求平面1CD E 与平面1111D C B A 的夹角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）33【分析】（1）证明一条直线垂直于平面只需证明该直线垂直于平面内两条相交的直线即可；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积计算夹角的余弦值.【小问1详解】在AEC △中，22222221111113,2,AE AA A B B E CE CC C E =++==+=2222225,,AC AB BC AC AE CE AE CE =+=∴=+⊥；同理可证1AE ED ⊥，CE ⊂平面1CED ，1ED ⊂平面1CED ，1CE ED E =I ，AE ∴⊥平面1CED ；【小问2详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系如下图：则有()1,1,1E ，由（1）的结论可知n AE =是平面1CED 的一个法向量，()1,1,1n ∴= ，显然()0,0,1m = 是平面1111D C B A 的一个法向量，设平面1CED 与平面1111D C B A 的夹角为θ，则3cos 3n m n mθ== ；综上，平面1CED 与平面1111D C B A的夹角的余弦值为3.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的焦距为1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，点B 的坐标为()1,0-，点O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过()4,0A -的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()()2212,N x y x x <两点，判断ABM ∠和OBN ∠的大小，并说明理由．【正确答案】（1）2214x y +=（2）ABM OBN ∠=∠，证明过程见详解【分析】（1）根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程组求解，即可得到椭圆的方程；（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程，再联立椭圆C 的方程，即可得到关于x 的一元二次方程，再根据韦达定理求得12x x +，12x x ⋅，再根据题意将比较ABM ∠和OBN ∠的大小转化为比较1k -和2k 的大小(1k 为直线BM 的斜率，2k 为直线BN 的斜率)，再用作差法得出21+k k 与0的符号关系即可得出结论．【小问1详解】依题意有2222221314c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得222341c a b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；【小问2详解】如图，显然直线l 的斜率存在，则可设直线l 的方程为()4y k x =+，联立()22414y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理得()222214326440k x k x k +++-=，则21223214k x x k +=-+，212264414k x x k-⋅=+，设直线BM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，则比较ABM ∠和OBN ∠的大小，⇔比较直线BM 的倾斜角的补角和直线BN 的倾斜角的大小，⇔比较1k -和2k 的大小，则()()()()()()()()2121142121212121444141+=111111k x k x k x x k x x y y k k x x x x x x +++⋅+++⋅++=+=+++++⋅+()()222222212122222212122264432258258128816083214140644321644321411414k k x x x x k k k k k k k k k k x x x x k k k k k--+⋅+++--++++====-⋅+++--++-+++，所以12k k -=，即ABM OBN ∠=∠．解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：①设出直线方程，设交点为()11,A x y ，()22,B x y ；②联立直线与曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；③写出韦达定理；④将所求问题转化为12x x +，12x x ⋅（或12y y +，12y y ⋅）的形式；⑤代入韦达定理求解．21.已知等差数列{}n a 的第2项为4，前6项的和为42，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且23n n n T b a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：数列{}1n b +是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；（3）设1,141,21n n n n c n b a ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥+-⎪⎩，求证：12512n c c c +++< ．【正确答案】（1）2n a n=（2）证明见解析，=31nn b -（3）见解析【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差进行求解，（2）根据前n 项和为n T 与n b 的关系即可得()1131n n b b -+=+，进而可证其为等比数列，即可求解通项，（3）2n ≥时，11322=3n n n c n <+-，根据等比求和公式即可证明.【小问1详解】设{}n a 的首项和公差分别为1,a d ，由题意可知114,61542a d a d +=+=，解得12,2a d ==，故()2122n a n n=+-⨯=【小问2详解】由23n n n T b a =-得：当2n ≥时，11123n n n T b a ---=-，故得()()1111223323n n n n n n n n T T b a b a b b ------⇒=-+=，因此()1131n n b b -+=+故1131n n b b -+=+，因此{}1n b +是等比数列，且公比为3，在23n n n T b a =-取1n =，则12b =，所以{}1n b +的首项为113b +=，因此11=33=3n n n b -+⨯，进而=31nn b -，【小问3详解】由1,141,21n n nn c n b a ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥+-⎪⎩得1,141,2322n n n c n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+-⎩，当2n ≥时，11322=3n n n c n <+-，所以当1n =时，115412c =<显然成立，当2n ≥时，2112321111511514334122312311311133n n n n c c c -⎛⎫- ⎪+++<+++=+⎭-<-⎝=⨯，故得证.。
2022-2023学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角等于( )A. B. C. D.2.抛物线的准线方程为( )A. B. C. D.3.在空间直角坐标系中，点，，则( )A. 直线坐标平面xOyB. 直线坐标平面xOyC. 直线坐标平面xOzD. 直线坐标平面xOz4.在的展开式中，的系数为( )A. 6B. 12C. 24D. 365.在长方体中，，，，则二面角的余弦值为( )A. B. C. D.6.若直线与圆相离，则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.7.2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有( )A. 种B. 种C. 种D. 种8.设，则“”是“直线：与直线：平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.如图是一个椭圆形拱桥，当水面在l处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆．此时拱顶离水面2m，水面宽6m，那么当水位上升1m时，水面宽度为( )A. B. C. D.10.设点，，直线l：，于点M，则的最大值为( )A. B. 6 C. 4 D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设，，则过线段AB的中点，且与AB垂直的直线方程为__________.12.在的展开式中，常数项等于__________.13.设F为抛物线C：的焦点，点A在抛物线C上，点，且，则__________.14.记双曲线C：的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值__________.15.如图，在正方体中，，E为棱的中点，F是正方形内部含边界的一个动点，且平面给出下列四个结论：①动点F的轨迹是一段圆弧；②存在符合条件的点F，使得；③三棱锥的体积的最大值为；④设直线与平面所成角为，则的取值范围是其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共85分。
2022-2023学年北京市顺义区高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市顺义区高二（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合A ＝{x |1≤x ＜4}，B ＝{x |﹣2≤x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣2，1）B ．[﹣2，4）C ．[1，2）D ．[﹣2，1]2．命题“∀x ∈R ，x +|x |≥0”的否定是（ ） A ．∃x ∈R ，x +|x |≥0 B ．∃x ∈R ，x +|x |＜0 C ．∀x ∈R ，x +|x |≥0D ．∀x ∈R ，x +|x |＜03．“x ＞1”是“x 2＞1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．数列{a n }是等差数列，若a 3=3，1a 1+1a 5=65，则a 1•a 5＝（ ） A ．52B ．5C ．9D ．155．某班一天上午有4节课，下午有2节课．现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数有（ ） A ．48种B ．96种C ．144种D ．192种6．下列给出四个求导的运算：①(x −1x )′=1+x 2x 2；②(ln(2x −1))′=22x−1；③（x 2e x ）′＝2xe x ；④(log 2x)′=1xln2．其中运算结果正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率是（ ） A ．12B ．35C ．310D ．348．已知{a n }为等比数列，下面结论中正确的是（ ） A ．若a 2＝a 4，则a 2＝a 3 B ．若a 3＞a 1，则a 4＞a 2 C ．a 2+a 42≥a 3D ．a 22+a 422≥a 329．设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f ′（x ），且函数y ＝（x +2）f ′（x ）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．当x ＝﹣2时，函数f （x ）取得极大值B ．当x ＝﹣2时，函数f （x ）取得极小值C ．当x ＝1时，函数f （x ）取得极大值D ．当x ＝1时，函数f （x ）取得极小值10．某银行在1998年给出的大额存款的年利率为5%，某人存入a 0元（大额存款），按照复利，10年后得到的本利和为a 10，下列各数中与a 10a 0最接近的是（ ）A ．1.5B ．1.6C ．1.7D ．1.8二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）计算：log 21+log 39＝ ．（用数字作答） 12．（5分）函数f （x ）=lg(x−1)x−2的定义域是 ． 13．（5分）二项式(x +1x )6的展开式中常数项的值为 ．14．（5分）若幂函数f （x ）＝x m 在（0，+∞）上单调递减，g （x ）＝x n 在（0，+∞）上单调递增，则使y ＝f （x ）+g （x ）是奇函数的一组整数m ，n 的值依次是 ．15．（5分）已知k ∈R ，函数f(x)={e x −kx ，x ≥0，kx 2−x +1，x ＜0．．给出下列四个结论：①当k ＝1，函数f （x ）无零点；②当k ＜0时，函数f （x ）恰有一个零点； ③存在实数k ，使得函数f （x ）有两个零点； ④存在实数k ，使得函数f （x ）有三个零点． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（13分）已知（1+2x ）5＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5． （1）求a 0的值； （2）求a 1+a 3+a 5的值．17．（14分）已知函数f(x)=13x 3−4x +4．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）求函数f （x ）在区间[0，3]上的最大值与最小值．18．（15分）A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，14，15，16，17，20假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．（1）求甲的康复时间不多于14天的概率；（2）若康复时间大于14天，则认为康复效果不佳．设X 表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数，求X 的分布列及数学期望；（3）A 组病人康复时间的方差为D （A ），B 组病人康复时间的方差为D （B ），试判断D （A ）与D （B ）的大小．（结论不要求证明）19．（13分）已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1=12，S 2=a 3，设b n =4a n ． （1）求证：数列{b n }是等比数列；（2）设c n ＝a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ． 20．（15分）已知函数f(x)=lnx +1x，g(x)=x −lnx ．（1）若对任意x ∈（0，+∞）时，f （x ）≥a 成立，求实数a 的最大值； （2）若x ∈（1，+∞），求证：f （x ）＜g （x ）；（3）若存在x 1＞x 2，使得g （x 1）＝g （x 2）成立，求证：x 1•x 2＜1．21．（15分）已知整数数列{a n }满足：①a 1≥3；②a n +1={a n +1，a n 为奇数a n 2，a n 为偶数，n =1，2，3，⋯．（Ⅰ）若a 4＝1，求a 1；（Ⅱ）求证：数列{a n }中总包含无穷多等于1的项；（Ⅲ）若a m 为{a n }中第一个等于1的项，求证：1+log 2a 1≤m ＜2+2log 2a 1．2022-2023学年北京市顺义区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合A ＝{x |1≤x ＜4}，B ＝{x |﹣2≤x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣2，1）B ．[﹣2，4）C ．[1，2）D ．[﹣2，1]解：因为A ＝{x |1≤x ＜4}，B ＝{x |﹣2≤x ＜2}， 所以A ∩B ＝{x |1≤x ＜2}＝[1，2）． 故选：C ．2．命题“∀x ∈R ，x +|x |≥0”的否定是（ ） A ．∃x ∈R ，x +|x |≥0 B ．∃x ∈R ，x +|x |＜0 C ．∀x ∈R ，x +|x |≥0D ．∀x ∈R ，x +|x |＜0解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x ∈R ，x +|x |＜0． 故选：B ．3．“x ＞1”是“x 2＞1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为“x ＞1”⇒“x 2＞1”，而“x 2＞1”推不出“x ＞1”，所以“x ＞1”是“x 2＞1”充分不必要条件． 故选：A ．4．数列{a n }是等差数列，若a 3=3，1a 1+1a 5=65，则a 1•a 5＝（ ）A ．52B ．5C ．9D ．15解：因为数列{a n }为等差数列，且a 3＝3，所以a 1+a 5＝2a 3＝6， 因为1a 1+1a 5=65，所以a 1+a 5a 1a 5=65，所以6a 1a 5=65，所以a 1•a 5＝5．故选：B ．5．某班一天上午有4节课，下午有2节课．现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数有（ ） A ．48种B ．96种C ．144种D ．192种解：由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有C 41C 21=8种，再排其余4节，有A 44=24种，根据乘法原理，共有8×24＝192种方法．故选：D ．6．下列给出四个求导的运算：①(x −1x )′=1+x 2x2；②(ln(2x −1))′=22x−1；③（x 2e x ）′＝2xe x ；④(log 2x)′=1xln2．其中运算结果正确的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：①(x −1x)′=1+1x 2=1+x 2x 2，故正确； ②(ln(2x −1))′=2×12x−1=22x−1，故正确； ③（x 2e x ）′＝2xe x +x 2e x ，故错误； ④(log 2x)′=1xln2，故正确． 故选：C ．7．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率是（ ） A ．12B ．35C ．310D ．34解：设事件A ＝“第1次抽到代数题”，事件B ＝“第2次抽到几何题”，所以P(A)=35，P(AB)=35×24=310，则P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12． 故选：A ．8．已知{a n }为等比数列，下面结论中正确的是（ ） A ．若a 2＝a 4，则a 2＝a 3 B ．若a 3＞a 1，则a 4＞a 2 C ．a 2+a 42≥a 3D ．a 22+a 422≥a 32解：设等比数列的公式为q ，对于A ，若a 2＝a 4，则a 1q =a 1q 3，得q 2＝1，所以q ＝1或q ＝﹣1， 所以a 2＝a 3或a 2＝﹣a 3，所以A 错误；对于B ，若a 3＞a 1，则a 1q 2＞a 1，即a 1(q 2−1)＞0，所以a 4−a 2=a 1q 3−a 1q =a 1q(q 2−1)，则其正负由q 的正负确定，所以B 错误；对于C ，a 2+a 42=a 3q+a 3q 2，当a 3，q 同正时，a 2+a 42=a 3q+a 3q 2≥2√a3q⋅a 3q2=a 3，当且仅当q ＝1时取等号，当a 3＞0，q ＜0时a 2+a 42＜a 3，所以C 错误；对于D ，因为a 22+a 422=(a3q)2+(a 3q)22≥2√(a3q)2⋅(a 3q)22=a 32，当且仅当q 2＝1时取等号，所以D 正确． 故选：D ．9．设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f ′（x ），且函数y ＝（x +2）f ′（x ）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．当x ＝﹣2时，函数f （x ）取得极大值B ．当x ＝﹣2时，函数f （x ）取得极小值C ．当x ＝1时，函数f （x ）取得极大值D ．当x ＝1时，函数f （x ）取得极小值解：由图可得，x ＜﹣2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， ﹣2＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， x ＞1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 故当x ＝1时，函数f （x ）取得极小值． 故选：D ．10．某银行在1998年给出的大额存款的年利率为5%，某人存入a 0元（大额存款），按照复利，10年后得到的本利和为a 10，下列各数中与a 10a 0最接近的是（ ）A ．1.5B ．1.6C ．1.7D ．1.8解：存入a 0元（大额存款），按照复利，可得每年末本利和是以a 0为首项，1+5%为公比的等比数列， 所以a 0(1+5%)10=a 10，可得a 10a 0=(1+5%)10=C 100+C 101×0.05+C 102×0.052+⋯+C 1010×0.0510≈1.6． 故选：B ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．（5分）计算：log 21+log 39＝ 2 ．（用数字作答） 解：原式＝0+2＝2． 故答案为：2．12．（5分）函数f （x ）=lg(x−1)x−2的定义域是 （1，2）∪（2，+∞） ． 解：由题意得：{x −1＞0x −2≠0，解得：x ＞1且x ≠2，故答案为：（1，2）∪（2，+∞）．13．（5分）二项式(x +1x )6的展开式中常数项的值为 20 ． 解：(x +1x)6展开式的通项为T r +1＝C 6r x 6﹣2r令6﹣2r ＝0得r ＝3故展开式的常数项为T 4＝C 63＝20 故答案为2014．（5分）若幂函数f （x ）＝x m 在（0，+∞）上单调递减，g （x ）＝x n 在（0，+∞）上单调递增，则使y ＝f （x ）+g （x ）是奇函数的一组整数m ，n 的值依次是 ﹣3、3（答案不唯一） ． 解：因为幂函数f （x ）＝x m 在（0，+∞）上单调递减，g （x ）＝x n 在（0，+∞）上单调递增， 所以m ＜0，n ＞0，又因为y ＝f （x ）+g （x ）是奇函数， 所以m ，n 需要满足m 为小于0的奇数，n 为大于0的奇数． 故答案为：﹣3、3（答案不唯一）．15．（5分）已知k ∈R ，函数f(x)={e x −kx ，x ≥0，kx 2−x +1，x ＜0．．给出下列四个结论：①当k ＝1，函数f （x ）无零点；②当k ＜0时，函数f （x ）恰有一个零点； ③存在实数k ，使得函数f （x ）有两个零点； ④存在实数k ，使得函数f （x ）有三个零点． 其中所有正确结论的序号是 ①②③ ．解：对于①，当k ＝1，当x ＜0，f （x ）＝x 2﹣x +1，f ′（x ）＝2x ﹣1＜0，f （x ）单调递减， 当x ≥0，f （x ）＝e x ﹣x ，f ′（x ）＝e x ﹣1≥0，f （x ）单调递增，又f （0）＝1，且当x →0﹣，f （x ）→1﹣1+1＝1，所以此时函数f （x ）无零点，①正确； 对于②，当k ＜0，当x ＜0，f （x ）＝kx 2﹣x +1，f ′（x ）＝2kx ﹣1，令f ′（x ）＝2kx ﹣1＝0，得x =12k ，当x ≤12k ，f ′（x ）≥0，f （x ）单调递增， 当12k＜x ＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ≥0，f （x ）＝e x ﹣kx ，f ′（x ）＝e x ﹣k ＞0，f （x ）单调递增，由于f（0）＝1，且当x→0﹣，f（x）→1﹣1+1＝1，当x→﹣∞，f（x）→﹣∞，所以此时函数f（x）只有一个零点，②正确；对于③，不妨令k＝2e，当x＜0，f（x）＝e2x2﹣x+1，f′（x）＝2e2x﹣1＜0，f（x）单调递减，由于当x→0﹣，f（x）→1﹣1+1＝1，所以当x＜0，函数f（x）无零点，当x≥0，f（x）＝e x﹣e2x，f′（x）＝e x﹣e2，令f′（x）＝e x﹣e2＝0，得x＝2，当0≤x≤2，f′（x）＝e x﹣e2≤0，f（x）单调递减，当x＞2，f′（x）＝e x﹣e2＞0，f（x）单调递增，又f（2）＝e2﹣2e2＝﹣e2＜0，f（0）＝1，所以当x≥0，函数f（x）有2个零点，③正确；对于④，当k＝0，显然函数f（x）没有零点，结合前面分析可知，只有当k＞0，函数f（x）可能有3个零点，当k＞0，当x＜0，f（x）＝kx2﹣x+1，f′（x）＝2kx﹣1＜0，f（x）单调递减，由于当x→0﹣，f（x）→1﹣1+1＝1，所以当x＜0，函数f（x）无零点，当x≥0，f（x）＝e x﹣kx，f′（x）＝e x﹣k，令f′（x）＝e x﹣k＝0，得x＝lnk，若k≤1，f′（x）＝e x﹣k≥0，f（x）单调递增，若k＞1，令f′（x）＝e x﹣k＝0，得x＝lnk，当0≤x≤lnk，f′（x）＝e x﹣k≤0，f（x）单调递减，当x＞lnk，f′（x）＝e x﹣k＞0，f（x）单调递增，可见此时函数f（x）至多2个零点，④错误．故答案为：①②③．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．16．（13分）已知（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5．（1）求a0的值；（2）求a1+a3+a5的值．解：（1）∵（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，令x＝0，可得a0＝1．（2）由二项式定理，得(1+2x)5=C50+C51(2x)+C52(2x)2+C53(2x)3+C54(2x)4+C55(2x)5＝1+10x+40x2+80x3+80x4+32x5．①因为(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，②由①②可得a1＝10，a3＝80，a5＝32．所以a1+a3+a5＝122．17．（14分）已知函数f(x)=13x3−4x+4．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值与最小值．解：（1）∵函数f(x)=13x3−4x+4，∴f(1)=1 3，又f′（x）＝x2﹣4，∴f′（1）＝﹣3，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y−13=−3(x−1)，即3x+y−103=0；（2）∵f′（x）＝x2﹣4，∴令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜﹣2，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表所示：又∵x＝0时，f（0）＝4，x＝3时，f（3）＝1，∴当x＝0时，f（x）在[0，3]上的最大值为f（0）＝4，当x＝2时，f（x）在[0，3]上的最小值为f(2)=−4 3．18．（15分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，14，15，16，17，20假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（1）求甲的康复时间不多于14天的概率；（2）若康复时间大于14天，则认为康复效果不佳．设X表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数，求X的分布列及数学期望；（3）A组病人康复时间的方差为D（A），B组病人康复时间的方差为D（B），试判断D（A）与D（B）的大小．（结论不要求证明）解：（1）设甲的康复时间不多于14天为事件C，∵A组中的数据共有7个，∴基本事件共有7种，且相互独立，又∵A组中的数据不多于14天的有5个，即事件C中包含的基本事件有5个，∴甲的康复时间不多于14天的概率P(C)=5 7，（2）甲康复效果不佳的概率P1=2 7，乙康复效果不佳的概率P2=4 7，∵X表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数，∴X的可能取值是0，1，2，X＝0表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为0，∴P(x=0)=(1−P1)(1−P2)=15 49，X＝1表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为1，∴P(x=1)=(1−P1)P2+P1(1−P2)=26 49，X＝2表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为2，∴P(x=2)=P1P2=8 49，∴X的分布列为：∴X的数学期望为EX=0×1549+1×2649+2×849=67．（3）D（A）＜D（B）．根据A组：10，11，12，13，14，15，16，B组：12，13，14，15，16，17，20，B组数据波动性较大，所以D（A）＜D（B）．19．（13分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1=12，S2=a3，设b n=4a n．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）设c n＝a n+b n，求数列{c n}的前n项和T n．解：（1）证明：设等差数列{a n}的公差为d，则通项公式为a n＝a1+（n﹣1）d，∵S2＝a3，∴2a1+d＝a1+2d，∵a 1=12，∴d =12，∴a n =12+(n −1)12=n 2， 又b n =4a n ，则b n+1=4a n+1，∴b n+1b n =4a n+14a n =4a n+1−a n =2，即数列{b n }是等比数列，公比为2，首项b 1=4a 1=2．（2）由（1）知数列{b n }是等比数列，公比为2，首项b 1＝2，∴b n =2n ，∵c n =a n +b n =n 2+2n ，n ∈N ∗， ∴数列{c n }的前n 项和T n =12+22+⋯+n 2+2+22+⋯+2n =n(n+1)4+2n+1−2，n ∈N ∗． 20．（15分）已知函数f(x)=lnx +1x ，g(x)=x −lnx ．（1）若对任意x ∈（0，+∞）时，f （x ）≥a 成立，求实数a 的最大值；（2）若x ∈（1，+∞），求证：f （x ）＜g （x ）；（3）若存在x 1＞x 2，使得g （x 1）＝g （x 2）成立，求证：x 1•x 2＜1．解：（1）f(x)=lnx +1x，x ∈(0，+∞)，∴f ′(x)=1x −1x 2=x−1x 2， ∴令f ′（x ）＞0，解得x ＞1，∴f （x ）在（0，1）单减，在（1，+∞）上单增，∴f （x ）在x ＝1取得极小值，也是最小值f （1）＝1，∵x ∈（0，+∞）时，f （x ）≥a 成立．∴只需a ≤1即可，∴实数a 的最大值为1．（2）证明：设ℎ(x)=f(x)−g(x)=2lnx +1x −x ，x ∈(1，+∞)，∴ℎ′(x)=2x −1x 2−1=2x−1−x 2x 2=−(x−1)2x 2＜0，∴ℎ(x)=2lnx +1x −x 在x ∈（1，+∞）上单调递减，∴ℎ(x)=2lnx +1x −x ＜ℎ(1)=0，∴ℎ(x)=lnx +1x −g(x)＜0，即f （x ）＜g （x ）．（3）法一：证明：∵存在x 1＞x 2时，便得g （x 1）＝g （x 2）成立，∴x 1﹣lnx 1＝x 2﹣lnx 2，∴x 1−x 2=lnx 1−lnx 2=lnx 1x 2， 令t =√x1x 2，由x 1＞x 2＞0可知t ＞1，由（2）知ℎ(x)=2lnx +1x −x 在x ∈（1，+∞）上单调递减，∴h （t ）＜h （1）即2ln √x 1x 2+√x 2x 1−√x 1x 2＜0， ∴2ln √x 1x 2＜√x 1x 2−√x 2x 1，即ln x 1x 212√x x ， ∴x 1−x 2=ln x 1x 212x x ， 由x 1＞x 2＞0，知x 1﹣x 2＞0，∴1√x 1x 2＞1，即√x 1⋅x 2＜1，∴x 1•x 2＜1．法二：∵g （x ）＝x ﹣lnx ，x ∈（0，+∞），∴g ′(x)=1−1x =x−1x，g′(x)＞0⇒x ＞1， ∴g （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∵存在x 1＞x 2时，使得g （x 1）＝g （x 2）成立，∴x 1﹣lnx 1＝x 2﹣lnx 2，且x 1＞1＞x 2＞0，1x 2＞1， ∴g(x 1)−g(1x 2)=x 1−lnx 1−(1x 2−ln 1x 2)=x 2−lnx 2−(1x 2−ln 1x 2)=x 2−1x 2−2lnx 2， 令φ(x)=x −1x −2lnx ，x ∈(0，+∞)，∴φ′(x)=1+1x 2−2x =x 2−2x+1x 2=(x−1)2x 2≥0， ∴φ(x)=x −1x −2lnx 在x ∈（0，+∞）上单调递增，又∵0＜x 2＜1，∴φ(x 2)=x 2−1x 2−2lnx 2＜φ(1)=0，即g(x 1)−g(1x 2)＜0，即g(x 1)＜g(1x 2)， ∵x 1，1x 2∈(1，+∞)，g(x)在（1，+∞）上单调递增， ∴x 1＜1x 2，即x 1•x 2＜1． 21．（15分）已知整数数列{a n }满足：①a 1≥3；②a n +1={a n +1，a n 为奇数a n 2，a n 为偶数，n =1，2，3，⋯． （Ⅰ）若a 4＝1，求a 1；（Ⅱ）求证：数列{a n }中总包含无穷多等于1的项；（Ⅲ）若a m 为{a n }中第一个等于1的项，求证：1+log 2a 1≤m ＜2+2log 2a 1．解：（Ⅰ）由题意可知若a 4＝1，则a 3＝2，a 2∈{1，4}，若a 2＝1，则a 1＝2，不符合题意，所以a 2＝4，此时有a 1＝3或a 1＝8；（Ⅱ）证明：由于数列{a n }为整数数列，且a n ≥3，根据数列{a n }的递推规律可知a n 为正整数，设t 为数列{a n }的最小值，则t 为奇数，由于t+12∈{a n }，所以有t ≤t+12，即t ≤1， 又a n 的取值为正整数，所以t ＝1，当出现第一个a k ＝1，则a k +2＝1，a k +4＝1，…，以此类推数列{a n }中总包含无穷多等于1的项；（Ⅲ）证明：若a 1＝3，不等式显然成立，若a 1＞3，不妨设2a ≤a 1≤2a +1，a ≥2，a ∈N *，令m ＝f （a 1），若a 1为奇数，则a 2为偶数，由于2a ﹣1＜a 3≤2a ，所以接下来不管a n 是奇是偶， 都有f （a 1）≥f （2a +1）+1，当a 3＝2a 时，等号成立，若a 1为偶数，则接下来a n 中至少出现一个奇数，所以f （a 1）≥f （2a +1）+1， 所以当a 1不为左右端点时，f （a 1）＞f （2a +1）＝1+log 22a +1＞1+log 2a 1，当a 1为左右端点时，f （a 1）＝1+log 2a 1，即f （a 1）≥1+log 2a 1，若a 1＝2a +1，则a 2＝2a +2，a 3＝2a ﹣1+1，a 4＝2a ﹣1+2，…，a m +3＝3，a m +2＝4，a m +1＝2，a m ＝1， a 1，a 2位于区间[2a ，2a +1]，a 3，a 4位于区间[2a ﹣1，2a ]，…，a m +1，a m 位于区间[1，2]， 以此类推可知此时f （a 1）＝2f （2a ），若a1≠2a+1，则a n不会总是在一个区间内出现一奇一偶，所以此时f（a1）＜2f（2a），所以f（a1）≤2f（2a）＝2+2log22a＜2+2log2a1，综上可知，1+log2a1≤m＜2+2log2a1．。
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2022-2023学年北京市顺义区高二（上）期末数学试卷1. 下列直线中，斜率为1的是( )A. x+y−2=0B. x−1=0C. x−y+1=0D. x−√2y−1=02. 已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为( )A. 0.56B. 0.14C. 0.24D. 0.943. 若直线x−ay=0与直线2x+y−1=0的交点为(1,y0)，则实数a的值为( )A. −1B. −12C. 1D. 24. 已知圆C：x2+y2−4y+3=0，则圆C的圆心和半径为( )A. 圆心(0,2)，半径r=1B. 圆心(2,0)，半径r=1C. 圆心(0,2)，半径r=2D. 圆心(2,0)，半径r=25. 农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中各抽取6株麦苗测量株高，得到的数据如下(单位：cm)：甲：9，10，10，11，12，20；乙：8，10，12，13，14，21.根据上述数据，下面四个结论中，正确的结论是( )A. 甲种麦苗样本株高的极差大于乙种麦苗样本株高的极差B. 甲种麦苗样本株高的平均值大于乙种麦苗样本株高的平均值C. 甲种麦苗样本株高的中位数大于乙种麦苗样本株高的中位数D. 甲种麦苗样本株高的方差小于乙种麦苗样本株高的方差6. 抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数．设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，则事件A∪B的概率是( )A. 118B. 29C. 718D. 497. 若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=√3x，则双曲线的离心率为( )A. √62B. 2√33C. √3D. 28. 在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,2,3)关于yOz平面对称的点的坐标为( )A. (−1,2,3)B. (1,−2,3)C. (1,2,−3)D. (−1,−2,−3)9. 已知椭圆C的焦点为F1(0,−2)，F2(0,2).过点F2的直线与C交于A，B两点．若△ABF1的周长为12，则椭圆C的标准方程为( )A. x29+y25=1 B. y29+x25=1 C. x236+y232=1 D. y236+x232=110. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点，P 是底面A 1B 1C 1D 1上一点．若AP//平面BEF ，下列说法正确的是( )A. 线段AP 长度最大值为√5，无最小值B. 线段AP 长度最小值为3√22，无最大值 C. 线段AP 长度最大值为√5，最小值为3√22 D. 线段AP 长度无最大值，无最小值11. 某校高中三个年级共有学生2400人，其中高一年级有学生800人，高二年级有学生700人．为了了解学生参加整本书阅读活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为240的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取的人数为______.12. 已知圆x 2+y 2=1与圆(x −3)2+(y −4)2=r 2(r >0)相外切，则r =______.13. 如图，在四面体O −ABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ +y b ⃗ +z c ⃗ ，其中x ，y ，z ∈R ，则x =______，y =______，z =______.14. 已知点M 在抛物线x 2=4y 上，F 是抛物线的焦点，直线FM 交x 轴于点N ，若M 为线段FN 的中点，则焦点F 坐标是______，|FN|=______.15. 现代几何学用曲率概念描述几何体的弯曲程度．约定：多面体在每个顶点处的曲率等于2π减去该点处所有面角之和(多面体每个侧面的内角叫做多面体的面角)，一个多面体的总曲率等于该多面体各顶点处的曲率之和．例如：正方体在每个顶点处有3个面角，每个面角的大小是π2，所以正方体在各顶点处的曲率为2π−π2×3=π2.按照以上约定，四棱锥的总曲率为______；若正十二面体(图1)和正二十面体(图2)的总曲率分别为θ1和θ2，则θ1−θ2______0(填“>”，“<”或者“=”).16. 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图． 组号分组 频数 1[0,2) c 2[2,4) 8 3[4,6) 17 4[6,8) 22 5[8,10) 25 6[10,12) 12 7[12,14) 6 8[14,16) 2 9[16,18) 2合计 100a ，b 的值；(Ⅰ)从一周阅读时间不低于14小时的学生中抽出2人做访谈，求2人恰好在同一个数据分组的概率．17. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=CC1=CB=2，且AC⊥CB，AA1⊥㡳面ABC，E为AB中点．(Ⅰ)求证：BC⊥A1C；(Ⅰ)求证：BC1//平面A1CE.18. 已知直线l：2x−y+4=0与x轴的交点为A，圆O：x2+y2=r2(r>0)经过点A. (Ⅰ)求r的值；(Ⅰ)若点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，求弦长|AB|.19. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1，AB=3，AD=AA1=2，点E在AB上，且AE=1. (Ⅰ)求直线A1E与直线BC1所成角的余弦值；(Ⅰ)求直线BC1与平面A1EC所成角的正弦值；(Ⅰ)求点A到平面A1EC的距离．20. 已知椭圆C：x2a2+y24=1(a>0)的焦点在x轴上，且经过点E(2,√2)，左顶点为D，右焦点为F.(Ⅰ)求椭圆C的离心率和△DEF的面积；(Ⅰ)已知直线y=kx+1与椭圆C交于A，B两点．过点B作直线y=4的垂线，垂足为G.判断直线AG是否于y轴交于定点？请说明理由．21. 对于正整数集合A={a1,a2,⋯,a n}(n∈N∗,n≥3)，如果去掉其中任意一个元素a i(i= 1,2,⋯,n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为平衡集．(Ⅰ)判断集合B={1,3,5,7,9}是否为平衡集，并说明理由；(Ⅰ)若集合A是平衡集，并且a1为奇数，求证：集合A中元素个数n为奇数；(Ⅰ)若集合A是平衡集，并且a1为奇数，求证：集合A中元素个数n≥7.答案和解析1.【答案】C【解析】解：直线x +y −2=0即y =−x +2，其斜率为−1；直线x −1=0即x =1，其斜率不存在；直线x −y +1=0即y =x +1，其斜率为1；直线x −√2y −1=0即y =√22x +√22，其斜率为√22.∴斜率为1的是x −y +1=0.故选：C.把直线方程变形，求得直线的斜率得答案．本题考查直线的方程，考查直线斜率的求法，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，所以甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为0.8×0.7=0.56.故选：A.根据相互独立事件的乘法公式求解即可．本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵直线x −ay =0与直线2x +y −1=0的交点为(1,y 0)，∴{1−ay 0=02+y 0−1=0，解得：a =−1. 故选：A.把两直线的交点坐标分别代入两直线方程，求解得答案．本题考查两直线交点的求法，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，圆C ：x 2+y 2−4y +3=0，即x 2+(y −2)2=1，即圆心为(0,2)，半径r =1；故选：A.根据题意，将圆的方程变为标准方程，分析可得答案．本题考查圆的一般方程，注意一般方程的形式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：对于A ，甲种麦苗样本株高的极差为11，乙种麦苗样本株高的极差为13， 则甲种麦苗样本株高的极差小于乙种麦苗样本株高的极差，故A 错误；对于B ，x −甲=16×(9+10+10+11+12+20)=12，x −乙=16×(8+10+12+13+14+21)=13，故甲种麦苗样本株高的平均值小于乙种麦苗样本株高的平均值，故B 错误；对于C ，甲种麦苗样本株高的中位数为10+112=10.5，乙种麦苗样本株高的中位数为13+142=13.5， 则甲种麦苗样本株高的中位数小于乙种麦苗样本株高的中位数，故C 错误； 对于D ，甲种麦苗株高的方差S 12=16[(9−12)2+(10−12)2+(10−12)2+(11−12)2+(12−12)2+(20−12)2]=413， 乙种麦苗株高的方差S 22=16[(8−13)2+(10−13)2+(12−13)2+(13−13)2+(14−13)2+(21−13)2]=503， 所以甲种麦苗样本株高的方差小于乙种麦苗样本株高的方差，故D 正确．故选：D.根据已知条件，结合平均数，中位数，极差，方差公式，即可求解．本题主要考查中位数，平均数，极差和方差的求解，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，事件A ∪B 表示“两个点数之和等于8或至少有一颗骰子的点数为5”， 又抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数，则基本事件总数为36种，事件A ∪B 包含的基本事件为：(2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(1,5)，(2,5)，(4,5)，(6,5)(5,5)共14种，则事件A ∪B 的概率为1436=718， 故选：C.根据和事件的概率的求法可解．本题考查和事件的概率的求法，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为y =√3x ，∴ba =√3， ∴e =√c 2a 2=√a 2+b 2a 2=√1+b 2a2=2. 故选：D.根据双曲线的几何性质，化归转化思想，即可求解．本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属基础题．8.【答案】A【解析】解：在空间直角坐标系Oxyz 中，点A(1,2,3)关于yOz 平面对称的点的坐标为(−1,2,3).故选：A.根据关于yOz 平面对称，x 值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可．本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：因为椭圆C 的焦点为F 1(0,−2)，F 2(0,2)，设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，依题意{c =24a =12a 2=b 2+c2，解得a =3,b =√5，所以椭圆C 的标准方程为y 29+x 25=1，故选：B.根据已知条件求得a ，b ，由此求得椭圆C 的标准方程．本题考查了椭圆的方程，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：分别取A 1D 1，A 1B 1的中点M ，N ，∵MN//B 1D 1//EF ，MN ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，∴AMN//平面BEF ，同理可得AM//平面BEF ，∵MN ∩AM =M ，MN ，AM ⊂平面BEF ，∴点P 的轨迹为线段MN ，∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，∴MN =√12+12=√2，AN =AM =√22+12=√5， 当P 与点M 或N 重合时，AP max =√5，当P 为线段NM 的中点时，AP min =(√5)−(√22)=3√22，∴线段AP 长度最大值为√5，最小值为3√22. 故选：C.分别取A 1D 1，A 1B 1的中点M ，N ，根据面面平的判定定理可得平面AMN//平面BEF ，故点P 的轨迹为线段MN ，当P 与点M 或N 重合时，线段AP 最长，当P 为线段NM 的中点时，线段AP 长度最小，求解即可．本题考查线段长的最值问题，属中档题．11.【答案】90【解析】解：某校高中三个年级共有学生2400人，其中高一年级有学生800人，高二年级有学生700人，则高三年级有2400−800−700=900，采用分层抽样的方法从中抽取容量为240的样本进行调查，则240×9002400=90.故答案为：90.根据已知条件，先求出高三年级的人数，再结合分层抽样的定义，即可求解．本题主要考查分层抽样方法，属于基础题．12.【答案】4【解析】解：圆x 2+y 2=1的圆心O(0,0)，半径R =1；圆(x −3)2+(y −4)2=r 2(r >0)的圆心C(3,4)，半径r.|OC|=√32+42=5，∵圆x 2+y 2=1与圆(x −3)2+(y −4)2=r 2(r >0)相外切，∴|OC|=R +r ，∴r =5−1=4，故答案为：4.根据两圆外切的性质：圆心距与半径的和的关系即可得出结论．本题考查了两圆外切的性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】12 14 14【解析】解：∵D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ +14b ⃗ +14c ⃗ ， ∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ +y b ⃗ +z c ⃗ ，∴x =12，y =14，z =14，故答案为：12，14，14.利用空间向量的线性运算求解即可．本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．14.【答案】(0,1)3【解析】解：∵抛物线方程为x 2=4y ，∴抛物线的焦点F(0,1)，焦点到准线的距离p =2，又直线FM 交x 轴于点N ，且M 为线段FN 的中点，∴y M =12y F =12，∴|MF|=p 2+y M =1+12=32，又M 为线段FN 的中点，∴|FN|=2|MF|=3.故答案为：(0,1)；3.根据抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式，即可分别求解．本题考抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式的应用，属基础题．15.【答案】4π=【解析】解：四棱锥有4个三角形、一个四边形，5个顶点，四棱锥的总曲率为：2π×5−(π×4+2π)=4π；正十二面体有12个正5边形，20个顶点，每个面的内角和为(5−2)π=3π，所以θ1=(2π−3π5×3)×20=4π，正二十面体有20个正三角形，12个顶点，每个面的内角和为π，所以θ2=(2π−π3×5)×12=4π.所以θ1−θ2=0，故答案为：4π；=.根据曲率、总曲率的知识求得正确答案．本题主要考查几何体的体积，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得c =100−8−17−22−25−12−6−2−2=6，a =17100×2=0.085，b =25100×2=0.125；(Ⅰ)由题意可得：从一周阅读时间不低于14小时的学生中抽出2人做访谈，2人恰好在同一个数据分组的概率为1−12C 21CC 42=1−23=13. 【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图，结合频数分布表求解即可；(Ⅰ)由频数分布表，结合古典概型及概率计算公式求解即可．本题考查了频率分布直方图，重点考查了古典概型及概率计算公式，属基础题．17.【答案】证明：(Ⅰ)由AC ⊥CB ，AA 1⊥底面ABC ，建立如图所示空间直角坐标系：则A 1(2,0,2)，B(0,2,0)，C(0,0,0)，E(1,1,0)，C 1(0,0,2)，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,−2)，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+0+0=0，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即BC ⊥A 1C ；(Ⅰ)BC 1→=(0,−2,2)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,−2)，CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，设平面A 1CE 的一个法向量n ⃗ =(x,y,z)，则{n →⋅A 1C →=0n →⋅CE →=0,即{−2x −2z =0x +y =0， 令x =1，则n ⃗ =(1,−1,−1)，因为n ⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+2−2=0，所以n ⃗ ⊥BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又BC 1⊄平面A 1CE ，所以BC 1//平面A 1CE.【解析】(Ⅰ)由题意建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，计算数量积即可；(Ⅰ)求出平面A 1CE 的一个法向量，利用法向量与BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，即可证明BC 1//平面A 1CE.本题主要考查了线线、线面平行的证明问题，也考查了空间向量及其应用问题，是中等题．18.【答案】解：(I)直线l ：2x −y +4=0与x 轴的交点为A(−2,0)，∵圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)经过点A ，∴r =√(−2)2+0=2. (Ⅰ)∵点B 为圆O 上一点，且直线AB 垂直于直线l ，∴k l =−12，直线l 的方程为：y =−12(x +2)，即x +2y +2=0，圆心O 到直线l 的距离d =2√5， ∴弦长|AB|=2√r 2−d 2=2√22−(2√5)2=8√55. 【解析】(I)直线l ：2x −y +4=0与x 轴的交点为A(−2,0)，代入圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)，即可得出r.(Ⅰ)由点B 为圆O 上一点，且直线AB 垂直于直线l ，可得k l =−12，可得直线l 的方程，利用点到直线的距离公式可得圆心O 到直线l 的距离d ，即可得出弦长|AB|=2√r 2−d 2.本题考查了直线与圆相交的性质、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(2,0,2)，C(0,3,0)，B(2,3,0)，C 1(0,3,2)，E(2,1,0)，所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−2)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)，所以cos <A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×2√2=−√105， 故直线A 1E 与直线BC 1所成角的余弦值为√105.(Ⅰ)因为EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−2)，设平面A 1EC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y −2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅EC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0， 令y =2，则x =2，z =1，于是m ⃗⃗⃗ =(2,2,1)，设BC 1与平面A 1EC 所成角为θ，则sinθ=|cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ ||=2√2×3=√26， 所以BC 1与平面A 1EC 所成角的正弦值为√26. (Ⅰ)又A(2,0,0)，∴EA⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,0)， ∴点A 到平面A 1EC 的距离d =|EA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√4+4+1=23. 【解析】(Ⅰ)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用空间向量的数量积求解直线A 1E 与BC 1所成角的余弦值即可；(Ⅰ)求出平面A 1EC 的法向量，利用平面法向量与直线方向向量的夹角即可求解线面角．(Ⅰ)利用向量法可求点A 到平面A 1EC 的距离．本题主要考查直线与直线所成的角，考查直线与平面所成的角，考查点到面和距离的求法，属中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)因为x 2a 2+y 24=1(a >0)经过点E(2,√2)， 所以4a 2+24=1(a >0)，解得a =2√2.所以椭圆C:x 28+y 24=1,c =√8−4=2， 所以e =c a =2√2=√22； 因为左顶点为D ，右焦点为F ，所以D(−2√2,0),F(2,0)，所以S △DEF =12(2√2+2)×√2=2+√2.(Ⅰ)已知直线y =kx +1与椭圆C 交于A ，B 两点．过点B 作直线y =4的垂线，垂足为G ， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则G(x 2,4)，则AG 的方程为y y −4=4−y 1x 2−x 1(x −x 2)， 令x =0，则y =−x 2[4−(kx 1+1)]x 2−x 1+4x 2−4x 1x 2−x 1=kx 1x 2+x 2−4x 1x 2−x 1，① 联立{x 28+y 24=1y =kx +1，可得(1+2k 2)x 2+4kx −6=0， 因为y =kx +1过定点(0,1)，(0,1)在椭圆内，所以y =kx +1与椭圆恒有两个交点，故Δ>0,{x 1+x 2=−4k 1+2k 2x 1x 2=−61+2k2， 所以kx 1x 2=−6k1+2k 2=32(x 1+x 2). 代入①，可得y =32(x 1+x 2)+x 2−4x 1x 2−x 1=−52x 1+52x 2x 2−x 1=52， 故直线AG 与y 轴交于定点(0,52).【解析】(Ⅰ)根据椭圆经过点E(2,√2)可求出a =2√2，从而可求离心率，求出D ，F 的坐标，从而可求△DEF 的面积；(Ⅰ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则G(x 2,4)，联立{x 28+y 24=1y =kx +1，可得kx 1x 2=32(x 1+x 2),AG 的方程为y −4=4−y 1x 2−x 1(x −x 2)，令x =0，得y =kx 1x 2+x 2−4x 1x 2−x 1，代入kx 1x 2=32(x 1+x 2)化简即可求解． 本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.【答案】(Ⅰ)解：对于正整数集合A ={a 1,a 2,⋯,a n }(n ∈N ∗,n ≥3)，如果去掉其中任意一个元素a i (i =1,2,⋯,n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为平衡集．根据“平衡集”的定义知，当集合为{1,3,5,7,9}时：去掉元素3，则不可拆分成符合题意的平衡集，所以集合B={1,3,5,7,9}不是平衡集．(Ⅰ)证明：设集合A={a1,a2,…，a n}(n∈N∗,n≥3)，所有元素之和为M.由题意可知，M−a i(i=1,2,3...,n)均为偶数，因此a i(i=1,2,3...,n)同为奇数或同为偶数．(1)当M为奇数时，则a i(i=1,2,3...,n)也均为奇数，由于M=a1+a2+...+a n，所以n为奇数．(2)当M为偶数时，则a i(i=1,2,3...,n)也均为偶数，此时可设a1=2b1，因为{a1,a2,...,a n}(n∈N∗,n≥3)为“平衡集”，所以{b1,b2,...,b n}(n∈N∗,n≥3)也为“平衡集”．重复上述有限次操作后，便可得到一个各元素均为奇数的“平衡集”，且对应新集合之和也为奇数，由(Ⅰ)可知此时n也为奇数．综上所述，集合A中元素个数为奇数．(Ⅰ)证明：由(Ⅰ)知集合A={a1,a2,…，a n}(n∈N∗,n≥3)中元素个数为奇数，不妨假设：当n=3时，显然任意集合{a1,a2,a3}都不是“平衡集”；当n=5时，设集合{a1,a2,a3,a4,a5}，其中a1<a2<a3<a4<a5}，将集合{a1,a2,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5=a3+a4①或a5=a1+a3+a4②；将集合{a2,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5=a3+a4③或a5=a2+a3+a4④，由①，③可得a1=a2，矛盾；由①，④可得a1=a2，矛盾；由②，③可得a1=a2，矛盾；由②，④可得a1=a2，矛盾．因此当n=5时，不存在“平衡集”；当n=7时，设集合A={1,3,5,7,9,11,13}，去掉元素1，3+5+7+9=11+13；去掉元素3，1+9+13=5+7+11，去掉元素5，9+13=1+3+7+11；去掉元素7，1+9+11=3+5+13，去掉元素9，1+3+5+11=7+13；去掉元素11，3+7+9=1+5+13，去掉元素13，1+3+5+9=7+11，所以集合A={1,3,5,7,9,11,13}是“平衡集”．因此集合A中元素个数n的最小值是7.故集合A中元素个数n≥7.【解析】(Ⅰ)利用平衡集的定义直接判断求解．(Ⅰ)设集合A={a1,a2,…，a n}(n∈N∗,n≥3)，所有元素之和为M，推导出a i(i=1,2,3...,n)同为奇数或同为偶数．当M为奇数时，则a i(i=1,2,3...,n)也均为奇数，从而n为奇数；当M为偶数时，则a i(i=1,2,3...,n)也均为偶数，设a1=2b1，推导出{b1,b2,...,b n}(n∈N∗,n≥3)为“平衡集”，由此能证明集合A中元素个数为奇数．(Ⅰ)集合A={a1,a2,…，a n}(n∈N∗,n≥3)中元素个数为奇数，当n=3时，任意集合{a1,a2,a3}都不是“平衡集”；当n=5时，推导出不存在“平衡集”；当n=7时，推导出集合A={1,3,5,7,9,11,13}是“平衡集”，由此能证明集合A中元素个数n≥7.本题考查平衡集的定义、元素与集合的关系、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。