最新三角函数与解三角形高考试题精选
三角函数与解三角形-新高考数学新情景、新文化问题(新高考地区专用)(解析版)
三角函数与解三角形一、单选题1．（2021·云南昆明市·高三（文））东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A 点测得：塔在北偏东30°的点D 处，塔顶C 的仰角为30°，且B 点在北偏东60°．AB 相距80（单位：m ），在B 点测得塔在北偏西60°，则塔的高度CD 约为（ ）mA ．69B ．40C ．35D ．23【答案】B 【分析】根据题意构造四面体C -ABD ,再运用线面位置关系及三角形相关知识求解出相应的线段长即可. 【详解】如图，根据题意，图中CD ⊥平面ABD ,30CAD ∠=︒,30,60,80BAD ABD AB ∠=︒∠=︒=ABD 中，30,60BAD ABD ∠=︒∠=︒， 90ADB ∴∠=︒cos 80?cos30AD AB BAD ∴=∠=︒=又CD ⊥平面ABD ，ACD ∴是直角三角形Rt ACD中，30,90,CAD ADC AD ∠=︒∠=︒=·tan 3040CD AD ∴=︒==，选项B 正确，选项ACD 错误 故选：B.2．（2021·山东枣庄八中高一期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S =现在有周长为10+ABC满足sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得ABC 的面积为（ ） A．B．C．D ．12【答案】A 【分析】利用正弦定理结合三角形的周长可求得ABC 的三边边长，利用题中公式可求得ABC 的面积. 【详解】由题意结合正弦定理可得：::sin :sin :sin 2:a b c A B C ==ABC周长为10+10a b c ++=+4a ∴=，6b =，c =所以S == 故选：A.3．（2021·安徽淮北一中高一月考）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大的锐角为θ，则cos2θ等于（ ）A ．725B ．725-C ．925D ．925-【答案】B 【分析】根据题意可得出1sin cos 5θθ-=，平方可得24sin 225θ=，即可求出.【详解】因为大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以大正方形的边长为5，小正方形的边长为1， 所以5sin 5cos 1θθ-=，即1sin cos 5θθ-=，两边平方得11sin 225θ-=，即24sin 225θ=. 因为θ是直角三角形中较大的锐角，所以42ππθ<<，所以22πθπ<<，所以7cos 225θ==-. 故选：B.4．（2021·蚌埠铁路中学高三开学考试（文））勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC 内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC 内的概率为（ ）AB C D 【答案】A 【分析】由题意可得曲边三角形的面积为一个扇形加两个拱形的面积，或者3个扇形面积减去2个三角形的面积，然后由几何概型的概率公式求出概率． 【详解】解：由题意可得正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形的面积S 曲＝S 扇形CAB +2S 拱＝123π⋅⋅22+2（S 扇形﹣S △ABC ）＝23π⋅3﹣2⋅22＝2π﹣三角形ABC 的面积S △ABC 22所以由几何概型的概率公式可得：所求概率＝ABCS S ∆曲 故选：A ．5．（2021·江苏高一期中）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，0.618≈，这一比值也可以表示为2sin18m =︒，若228m n +=，=（ ） A．2 B ．4 C ．D ．【答案】C 【分析】由题知28cos 18n =,再根据二倍角公式化简整理即可得答案. 【详解】解:因为2sin18m =︒，228m n +=, 所以2228288sin 188cos 18n m =-=-=,2sin1822cos1822sin 3622cos54cos54⨯===故选:C6．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））水车（如图1），又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，主要利用水流的动力灌溉农作物，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，有1700余年历史．下图2是一个水车的示意图，它的直径为3m ，其中心（即圆心）O 距水面0.75m ．如果水车每4min 逆时针转3圈，在水车轮边缘上取一点P ，我们知道在水车匀速转动时，P 点距水面的高度h（单位：m ）是一个变量，它是时间t （单位：s ）的函数．为了方便，不妨从P 点位于水车与水面交点Q 时开始记时()0t =，则我们可以建立函数关系式()()sin h t A t k ωϕ=++（其中0A >，0>ω，2πϕ<）来反映h 随t 变化的周期规律．下面关于函数()h t 的描述，正确的是（ ）A ．最小正周期为80πB ．一个单调递减区间为[]30,70C ．()y h t =的最小正周期为40D ．图像的一条对称轴方程为403t =- 【答案】D 【分析】首先求得()33sin 24064h t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞，然后结合选项由三角函数的图象和性质判断即可.【详解】依题意可知，水车转动的角速度32(rad /s)46040ππω⨯==⨯， 3324A k +=+，3324A k -+=-+，解得32A =，34k =，由()330sin sin 024h A k ϕϕ=+=+=得1sin 2ϕ=-，又2πϕ<，则6πϕ=-，所以()33sin 24064h t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞.对于选项A ：函数()h t 的最小正周期为2=8040ππ，故A 错误；对于选项B ：当[]30,70t ∈时，719,4061212t ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因为3719,21212πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以函数()h t 在[]30,70上不具有单调性，故B 错误； 对于选项C ：()()353340sin 02642h h π=+=≠，所以C 错误；对于选项D ：40333sin 32244h π⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（最小值），所以D 正确.故选：D.7．（2021·江苏南京市·高一期中）托勒密（C .Ptolemy ，约90-168），古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表（部分如下图所示），该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（ ）A ．0.0017B ．0.0454C ．0.5678D ．0.5736【答案】C 【分析】先看左边列找34︒，再往右找对第一行的36'即可. 【详解】由题意查表可得3436︒'的正弦值为0.5678. 故选:C .8．（2021·江苏镇江·高一期中）今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年．“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知C ，D 为AB 的两个黄金分割点，即AC BD AB AB =．则cos DEC ∠=（ ）ABCD【答案】A 【分析】根据图形和已知条件表示出,,CE DE CD ，然后用余弦定理求解即可 【详解】由正五角星的对称性知：BC CE DE AD ===， 不妨设BC CE DE AD x ====，则CD AC AD =-， 又AC BC AC AD AB +=+=，AB AC ==则AC AD AC +=，所以AD =，AC AD AD ==，CD AC AD x x =-=-=22222224cos 122x DE CE CDDEC DE CEx +-∠===⨯ 故选：A二、多选题9．（2021·河北唐山·高三开学考试）声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+，则（ ）A ．()f x 的最大值为32B ．2π为()f x 的最小正周期C ．π2x =为()y f x =曲线的对称轴 D ．()π,0为曲线()y f x =的对称中心【答案】BD 【分析】分析函数sin y x =与1sin 22y x =不能同时取得最大值可判断A ；由sin y x =的最小正周期是2π，1sin 22y x=的最小正周期是2ππ2=可判断B ；计算ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是否成立可判断C ；计算()()2π0f x f x +-=是否成立可判断D ；进而可得正确选项. 【详解】对于A ：若()f x 的最大值为32，则sin y x =与1sin 22y x =同时取得最大值，当sin y x =取得最大值1时，cos 0x =，可得1sin 2sin cos 02y x x x ===取不到12，若1sin 22y x =取得最大值12时，sin 21x =，此时()ππZ 4x k k =+∈，而πsin sin π4y x k ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭1，所以sin y x =与1sin 22y x =不可能同时取得最大值，故选项A 不正确；对于B ：因为sin y x =的最小正周期是2π，1sin 22y x =的最小正周期是2ππ2=， 且()()()()112πsin 2πsin 22πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=+=，()()()()11πsin πsin 2πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=-+≠所以2π为()f x 的最小正周期，故选项B 正确；对于C ：ππ1π1sin sin 2cos sin 222222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππ1π1sin sin 2cos sin 222222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不恒成立，即ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2x =不是曲线()y f x =的对称轴，故选项C 不正确；对于D ：()()()112πsin 2πsin 22πsin sin 222f x x x x x -=-+-=--，所以()()2π0f x f x +-=对于任意的x 恒成立，所以()π,0为曲线()y f x =的对称中心，故选项D 正确； 故选：BD.10．（2021·江苏）由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n （n *∈N ）次多项式()12012n n n n n P t a t a ta t a --=+++⋅⋅⋅+（012,,,n a a a a ⋅⋅⋅∈R ），使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff )多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）A ．()3343P t t t =-+ B ．()424881P t t t =-+C ．sin18︒=D ．cos18︒=【答案】BC 【分析】通过求cos3,cos 4,cos5x x x ，来判断出正确选项. 【详解】()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()222cos 1cos 2sin cos x x x x =-- ()()222cos 1cos 21cos cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-，所以()3343P t t t =-，A 错误.()()222222cos 4cos 22cos 2sin 22cos 14sin cos x x x x x x x =⋅=-=--()42224cos 4cos 141cos cos x x x x =-+--428cos 8cos 1x x =-+，所以()424881P t t t =-+，B 正确.()cos5cos 4cos4cos sin 4sin x x x x x x x =+=- ()428cos 8cos 1cos 2sin 2cos2sin x x x x x x =-+- ()53228cos 8cos cos 4sin 2cos 1cos x x x x x x =-+--()()53228cos 8cos cos 41cos 2cos 1cos x x x x x x =-+--- 5316cos 20cos 5cos x x x =-+.所以()53cos90cos 51816cos 1820cos 185cos180︒=⨯︒=︒-︒+︒=，由于cos180︒≠，所以4216cos 1820cos 1850︒-︒+=，由于cos18cos30︒>︒，所以223cos 18cos 304︒>︒=，所以由4216cos 1820cos 1850︒-︒+=解得2cos 18︒=，所以sin18︒=，C正确. 2=≠⎝⎭，所以D 错误. 故选：BC 【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简.11．（2021·全国）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m 的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.若选用一个三角函数()f x 来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（ ） A ．() 2.5cos 56x x f π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．() 2.5sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．该货船在2：00至4：00期间可以进港D ．该货船在13：00至17：00期间可以进港 【答案】BCD 【分析】依据题中所给表格，写出()f x 的表达式而判断选项A ，B ；再根据船进港的条件列出不等式，求解即可判断选项C ，D. 【详解】依据表格中数据知，可设函数为()sin f x A x k ω=+，由已知数据求得 2.5A =，5k =，周期12T =，所以26T ππω==﹐ 所以有() 2.5sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，选项A 错误；选项B 正确； 由于船进港水深至少要6.25，所以 2. 5sin 5 6.256x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，得1sin 62x π⎛⎫⎪⎝⎭≥， 又024046x x ππ≤≤⇒≤≤，则有5666x πππ≤≤或1317666x πππ≤≤，从而有1 5 x ≤≤或1317x ≤≤，选项C ，D 都正确. 故选：BCD 【点睛】解三角不等式sin()(||1)x m m ωϕ+≥<关键在于：找准不等式中的函数值m 所对角； 长为一个周期的区间内相位x ωϕ+所在范围.12．（2020·全国高三月考）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD AB BC ⎛= ⎝⎭中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作弧BE ；然后在黄金矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作弧EG ；；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线.记弧BE ，EG ，GI 的长度分别为l ，m ，n ，则下列结论正确的是（ ）A ．l m n =+B ．2m l n =⋅C ．2m l n =+D ．111m l n=+ 【答案】AB 【分析】设1AB =，则2BC =，再由14圆弧分别求得l ，m ，n ，然后再逐项判断.【详解】不妨设1AB =，则2BC =，所以121)4l π=⨯⨯=.因为3ED =所以12(34m π=⨯⨯=.同理可得124)4n π=⨯⨯=所以l m n =+，2m l n =⋅，2m l n ≠+，111m l n≠+，所以A ，B 正确，C ，D 错误. 故选：AB三、填空题13．（2021·安徽高三开学考试（理））正割（secant ）及余割（cosecant ）这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=．已知0t >，且22sec csc 16x t x +≥对任意的实数,2k x x k Z π⎛⎫≠∈ ⎪⎝⎭均成立，则t 的最小值为__________． 【答案】9 【分析】根据正余割的定义，得到和为1，结合基本不等式1的代入即可求解 【详解】 由题得：22111sec csc x x+=， 所以()22222211sec csc sec csc 16sec csc x t x x t x x x ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭即：2222csc sec 11sec csc t x xt x x t ≥+++++116t ++5-3，所以9t ≥故答案为：914．（2021·江苏仪征中学高一月考）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》，作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DF FA =，若AB =ABD △的面积为____________.【答案】【分析】设BD x =，可得出3AD x =，23ADB π∠=，利用余弦定理求出x 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABD △的面积. 【详解】设BD x =，则3AD x =，因为DEF 为等边三角形，则3ADE π∠=，故23ADB π∠=， 在ABD △中，由余弦定理得()222252323cos3AB x x x x π==+-⨯⨯⨯，解得2x =，故6AD =，2BD =，因此，ABD △的面积为1226sin23ABD S π=⨯⨯⨯=△故答案为：15．（2021·安徽阜阳·高一期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为O ，筒车的半径为r ，筒车转动的周期为24s ，如图2所示，盛水桶M在0P 处距水面的距离为0h ．4s 后盛水桶M 在1P 处距水面的距离为1h ，若10h h -=，则直线0OP 与水面的夹角为______．【答案】π12【分析】根据题意构建平面几何模型，在借助三角函数求解答案. 【详解】如图，过O 作直线l 与水面平行，过0P 作0P A l ⊥于A ，过1P 作1PB l ⊥于B ． 设0AOP α∠=，1BOP β∠=，则，4π2π243βα-=⨯=，π3βα∴=+由图知，0sin P A r α=，1sin PB r β=，0101sin sin P A h h PB r r r βα--=-==，所以πsin sin 3αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ34α-=-，即π12α=．故答案为：π12. 16．（2021·广东深圳·高三）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC 的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC 的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为_________．【答案】2 【分析】根据题意120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，不妨设PCB α∠=，故,,326CBP ACP CAP πππααα∠=-∠=-∠=-，进而得,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以在BCP 和ACP △中，由正弦定理得sin sin 3BP PC απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，故sin sin 2sin sin 36πααλππαα⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在结合三角恒等变换化简整理求函数最值即可.【详解】根据题意, 点P 为ABC 的费马点，ABC 的三个内角均小于120︒, 所以120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，设PCB α∠=，所以在BCP 和ACP △中，,,3236CBP ACP CAP ACP ππππααα∠=-∠=-∠=-∠=-，且均为锐角，所以,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以由正弦定理得：sin sin 3BPPC παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin sin 26PA PCππαα=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin sin 3BP PC απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为||||||PA PB PC λ+=所以sin cos sin sin cos sin 2sin sin 36πααααααλππαα⎛⎛⎫- - ⎪⎝⎭=+==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11==，因为,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(2sin 20,2α，)12,⎡∈+∞⎣故实数λ的最小值为2.故答案为：2【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设PCB α∠=，进而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可.四、解答题17．（2021·海安市南莫中学高一期中）下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i ）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra 做出来的图片，其中四边形ABCD ，AEFG ，PQBE 都是正方形.如果改变图（i ）中EAB ∠的大小会得到更多不同的“树形”.（1）在图（i ）中，21AB ,AE ==，且AE AB ⊥，求AQ ；（2）在图（ii ）中，21AB ,AE ==，设(0)EAB θθπ∠=<<，求AQ 的最大值.【答案】（1（2）9. 【分析】（1）由已知条件结合诱导公式求得cos ABQ ∠，在ABQ △中，利用余弦定理，即可求解；（2）由已知条件结合余弦定理，求得BE ，再利用正弦定理、余弦定理及三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）当AE AB ⊥时，BE BQ ==则()cos cos2ABQ ABE π∠=+∠sin AE ABE BE =-∠=-=在ABQ △中，由余弦定理可得2222cos 45413AQ AB BQ AB BQ ABQ =+-⋅∠=++=，所以AQ =（2）在ABE △中，由余弦定理知，2222cos 54cos BE AB AE AB AE θθ⋅=-⋅=+-，所以BE BQ ==在ABE △中，由正弦定理知sin sin AE BEABE θ=∠，可得sin ABE ∠=在ABQ △中，由余弦定理可得2222cos()2AQ AB BQ AB BQ ABE π=+-⋅⋅+∠454cos 4θ=+-+4(sin cos )994πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当3(0,)4πθπ=∈时，AQ 的取最大值9.答：（1）AQ =（2）AQ 的最大值为9.18．（2021·昆明·云南师大附中高一期中）仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，O 为地球的球心，AB 为地平线，有两个观测者在地球上的A ，B 两地同时观测到一颗流星S ，观测的仰角分别为SAD α∠=，SBD β∠=，其中，90DAO DBO ∠=∠=︒，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的A ，B 两点测得30α=︒，15β=︒，地球半径为R 公里，两个观测者的距离3RAB π=． 1.73 1.5≈）（1）求流星S 发射点近似高度ES ；（2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径6370R ≈公里，请你据此判断该流星S 是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由．【答案】（1）0.5ES R =公里；（2）该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”，理由见解析. 【分析】（1）由已知条件在ASB △中利用正弦定理求出1)AS R =，在SAC 中再利用余弦定理求出OS ，从而可得ES OS R =-；（2）由（1）求出的值可得流星S 发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，从而可得结论 【详解】 （1）因为3AB R π=，则60AOB ∠=︒，所以AOB 为等边角形，所以AB R =．又因为90DAO DBO ∠=∠=︒，所以30∠=∠=︒DAB DBA ，所以30∠=∠=︒DAB DBA ，所以60SAB ∠=︒，45SBA ∠=︒，75ASB ∠=︒．在ASB △中，由正弦定理：sin 75sin 45AB AS =︒︒，得()sin 4530sin 45R AS ︒=︒+︒， 解得1)AS R =，在SAC 中，由余弦定理：2222222212cos 1)1)(42OS SA OA SA OA SAO R R R R ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭．所以 1.5OS R =≈≈，所以0.5ES OS R R =-=公里．（2）0.53185ES R ≈≈公里，所以流星S 发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，所以该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”．（言之有理即可）．19．（2021·奉新县第一中学高一月考）重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O 为吸引游客，准备在门前两条小路OA 和OB 之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知π6AOB ∠=，弓形花园的弦长AB =M ，π6MAB MBA ∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA 、OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA 、OB 的长度，才使得喷泉M 与山庄O 的距离的值最大？【答案】（1）OA θ=，6OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）当OA OB =OM 取最大值4+ 【分析】（1）本题可通过正弦定理得出OA θ=、6OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）本题首先可根据题意得出2AM BM ==，然后通过余弦定理得出2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，通过转化得出222283OM πθ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，最后通过50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以及正弦函数的性质即可求出最值.【详解】（1）因为sin sin sin OA OB AB OAB AOBθ==∠∠，π6AOB ∠=，AB =所以56OAB πθ∠=-，OA θ=，566OB ππθθ⎛⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为AB =π6MAB MBA ∠=∠=，所以2AM BM ==， 在OMB △中，由余弦定理易知2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即2248sin 4cos 666OM πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭248sin 2428224cos 22286333ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+=-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122sin 2282283233πππθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=-++⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦，因为50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2272,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 23πθ⎡⎛⎫+∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎭， 当2sin 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即512πθ=时， 2OM 取最大值28+OM 取最大值4+此时51264OA πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭ 512643OB ππππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当OA OB =时，OM 取最大值4+ 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查根据正弦函数的性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.20．（2021·江苏省镇江中学）古希腊数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”，对称美是数学美的一个重要组成部分，比如圆，正多边形……，请解决以下问题：（1）魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，求sin3︒的近似值(结果保留π).（2）正n 边形的边长为a ，内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，求证：2tan2a R r nπ+=.【答案】（1）60π；（2）详见解析.【分析】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为3︒，再根据120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积求解；（2）设O 为内切圆的圆心，OA ，OB 分别为外接圆和内切圆的半径R ，r ，易知 1,2AB a nπθ==，然后在Rt OAB 中，利用三角函数的定义求得R ，r ，利用三角恒等变换证明.【详解】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为3︒， 因为这120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积， 所以11211sin 32π⨯⨯⨯⨯≈ sin 360π≈；（2）设O 为内切圆的圆心，OA ，OB 分别为外接圆和内切圆的半径R ，r ，则,OA R OB r ==， 如图所示：所以1,2AB a nπθ==， 在Rt OAB 中，sin AB OAθ=，即12sin an Rπ=，所以2sin a R n π=， cos OB OA θ=，即cos r n Rπ=，所以coscos 2sin a n r R n nπππ==， 所以1cos cos2sin 2sin 2sina a a n n R r n n nπππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=+=， 22cos 24sincos2tan222a a nnnnππππ==.21．（2021·上海徐汇·高一期末）主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线f(x)=Asin (2π3x +φ)(A >0,0≤φ<π)，其中的振幅为2，且经过点（1，－2）（1）求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)； （2）证明：g(x)+g(x +1)+g(x +2)为定值． 【答案】（1）f(x)=2sin (2π3x +5π6), g(x)=−2sin (2π3x +5π6)；（2）证明见解析.【分析】（1）首先根据振幅为2求出A ，将点（1，-2）代入解析式即可解得； （2）由（1），结合诱导公式和两角和差的余弦公式化简即可证明.【详解】（1）∵振幅为2，A >0，∴A =2，f(x)=2sin (2π3x +φ)，将点（1，-2）代入得：−2=2sin (2π3+φ)⇒sin (2π3+φ)=−1，∵0≤φ<π，∴2π3+φ∈[2π3,5π3)，∴2π3+φ=3π2⇒φ=5π6，∴f(x)=2sin (2π3x +5π6)，易知g(x)与f(x)关于x 轴对称，所以g(x)=−2sin (2π3x +5π6).（2）由（1）g(x)=−2sin (2π3x +5π6)=−2sin (2π3x +π3+π2)=−2cos (2π3x +π3)g(x)+g(x +1)+g(x +2)=−2cos (2π3x +π3)−2cos (2π3x +π)−2cos (2π3x +2π3+π)=−2cos (2π3x +π3)+2cos2π3x +2cos (2π3x +2π3)=−2(cos2π3x ⋅12−sin2π3x ⋅√32)+2cos2π3x +2[cos2π3x ⋅(−12)−sin2π3x ⋅√32]=0.即定值为0.22．（2021·合肥市第六中学高一期末）合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形ABCD 的区域进行改造，如图所示，其中4DC a =米，2DA a =米，ABC 为正三角形.改造后BCD △将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，ABD △将作为对三国历史文化的介绍区域.（1）当3ADC π∠=时，求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积；（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积的最大值.【答案】（1）()22m ；（2）(()224m a +.【分析】（1）由余弦定理求得AC ，再由正弦定理求得ACD ∠，求出BC BC ⊥，易得面积；（2）不妨设ADC θ∠=，ACD α∠=，用余弦定理表示出2AC ，用正弦定理表示出sin α，再用余弦定理表示出cos α，然后表示出BCD △的面积，利用两角和的正弦公式展开代入2sin ,cos ,AC αα，再利用两角差的正弦公式化简，然后利用正弦函数性质得最大值． 【详解】解析：（1）2222cos3AC AD DC AD DC π=+-⋅⋅，∴AC =，又sin sin3ACADACD π=∠，∴1sin 2ACD ∠=，易知ACD ∠是锐角，所以6π∠=ACD ，∴2BCD π∠=，()2214m 2BCD S a =⨯⨯=△，（2）不妨设ADC θ∠=，ACD α∠=，于是由余弦定理得()222016cos AC a θ=-①，22sin sin sin sin AC a a ACθαθα=⇒=②， 22222124168cos cos 8AC a a AC a aAC a a aAC+=+-⋅⇒=③， ∴14sin 23BCDS a AC πα⎛⎫=⨯⨯⋅+ ⎪⎝⎭△2(sin cos cos sin )33a AC ππαα=⋅+2222sin 128a AC a AC AC AC θ⎡⎤+=⋅⎢⎥⎣⎦((2222sin 4sin 43a a a πθθθ⎛⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎝⎝≤⎭，当且仅当5 326πππθθ-=⇒=时取等号，∴BCD S △最大值为(()224m a +.【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是选用一个角为参数，然后把其他量表示为参数的三角函数，这里注意正弦定理和余弦定理的应用，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形，最后利用正弦函数性质求得最值．。
高考数学压轴专题最新备战高考《三角函数与解三角形》经典测试题含答案
新高中数学《三角函数与解三角形》专题解析一、选择题1．已知πππsin()cos()0,322ααα++-=-<<则2πcos()3α+等于（ ）A B ．35-C ．45D ．35【答案】C 【解析】 【分析】首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析：∵ππsin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13sin sin sin 22225ααααα++=+=-65πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35)α+=. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=，变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，AB BC ⋅>u ur u u r u u，a =b c +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．32⎫⎪⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，可得3A π=，由|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r，可得B为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解【详解】由余弦定理有：222cos 2b c a A bc+-=，又222b c a bc +-=故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又A 为三角形的内角，故3A π=又2a=sin sin sin(120)2ob c c B C B ==- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r故cos 0B B <∴为钝角3sin sin(120)sin 30)22o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+(90,120)o o B ∈Q ，可得1330(120150)sin(30)(,)22o o o o B B +∈∴+∈，333sin(30)(,)22o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题4．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 【答案】D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.5．已知函数()sin()R,0,0,||2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的图象（部分）如图所示，则ω，ϕ分别为（ ）A ．,3πωπϕ==B ．2,3πωπϕ==C ．,6πωπϕ==D ．2,6πωπϕ==【答案】C 【解析】 【分析】由最大值可确定振幅A ，由周期确定ω，由1()23f =确定ϕ. 【详解】 由图可得，2A =，5114632T =-=，所以22T πω==，ωπ=，又1()23f =，所以12sin()23πϕ⨯+=，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6k k Z πϕπ=+∈， 又2πϕ<，故6π=ϕ. 故选：C 【点睛】本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.6．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．102x << B ．112x << C ．12x << D ．01x <<【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ，设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则cos 0A '∠<，所以()()()()()2222342340x x x x x x x ⎧+++<+⎪+++>+⎨⎪>⎩，解得01x <<.故选：D. 【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.7．将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由12f πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出φ，再根据所得图象关于y 轴对称求出ω，可得()f x 的解析式．【详解】解：将函数()()sin (0,)2f x x πωφωφ=+><的图象向右平移6π个单位长度后，可得sin 6y x ωπωφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象；∵所得图象关于y 轴对称，∴62k ωππφπ-+=+，k Z ∈．∵()1sin sin 2f ππφφω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 2φ=，26ππφφ<=，. ∴63k ωπππ-=+，620k ω=-->, 则当ω取最小值时，取1k =-，可得4ω=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选C ． 【点睛】本题主要考查函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC ≠0， ∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1，∵π2＜A ＜π， ∴A= 3π4，由正弦定理可得c sin sin aC A=， ∵a=2，，∴sinC=sin c A a=12=22， ∵a ＞c ， ∴C=π6， 故选B ．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.9．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2cos2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．78-B ．78C ．18-D ．18【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin 4αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭所以()222cos sin sincos cossin 44ππαααα-=-所以()())2cos sin cos sin cos sin αααααα-+=- ,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭Q ，所以cos sin 4αα+=所以()21cos sin 8αα+=，即221cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28α+= 所以7sin 28α=- 故选：A 【点睛】本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；10．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．23C ．43D ．83【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭Q ，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>Q ，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.11．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ） A．13+ B．3C．23+ D．3【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >.故()min 3f x f π⎛⎫==⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.12．若函数()y f x =同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()y f x =的解析式可以是（ ） A ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】A 【解析】 【分析】利用性质①可排除B ,利用性质②可排除C ,利用性质③可排除D ,通过验证选项A 同时满足三个性质. 【详解】逐一验证，由函数()f x 的最小正周期为π，而B 中函数最小正周期为2412ππ=,故排除B ；又cos 2cos 0362πππ⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，所以cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不关于直线3x π=对称，故排除C ； 若63x ππ-≤≤，则023x ππ≤+≤，故函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故排除D ； 令2262x πππ-≤-≤，得63x ππ-≤≤，所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．由周期公式可得22T ππ==,当3x π=时,sin(2)sin 1362πππ⨯-==, 所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭同时满足三个性质.故选A ． 【点睛】本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题.13．函数()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．25,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式 详解：当[,]66x ππ∈-，2[,]33x ππϕϕϕ+∈-++，又∵(0,)ϕπ∈，则[,][0,]33ππϕϕπ-++⊆，即033πϕπϕπ⎧-≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，233ππϕ≤≤，由cos(2)0x ϕ+=得2,2x k k Z πϕπ+=+∈，242k x ππϕ=+-， ∴0642ππϕ-<-<，解得526ππϕ<<， 综上223ππϕ<≤. 故选C.点睛：余弦函数的单调减区间：[2,2]k k ππ+π，增区间：[2,22]k k ππππ++，零点：2x k ππ=+，对称轴：x k π=，对称中心：,2)0(k ππ+，k Z ∈.14．在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于D，BD =，1cos 4BAC ∠=，则AD =（ ） A ．2 BCD【答案】A 【解析】 【分析】先求出sin BAD ∠=，再利用正弦定理求AD. 【详解】∵21cos 12sin 4BAC BAD ∠=-∠=，∴sin 4BAD ∠=.在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD =∠，∴sin 2sin 4B AD BD BAD =⋅==∠. 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =c =( )A．B ．2 CD ．1【答案】B【解析】1sin A ===cos A =,所以22212c c =+-2320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，0030,60A C B ===不满足内角和定理，排除.【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出cos 2A =后，要及时判断出0030,60AB ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.16．已知函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是( )A ．2(23k -，42)3k +，k Z ∈B ．2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C ．2(43k -，44)3k +，k Z ∈D ．2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈ 【答案】C【解析】【分析】由三角函数图像的性质可求得：2πω=，6πϕ=-，即()sin()26f x x ππ=-，再令222262k x k ππππππ--+剟，求出函数的单调增区间即可. 【详解】解：函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<， 因为1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点， 又4BC =，∴222()42T +=，即221216πω+=，求得2πω=． 再根据123k πϕπ+=g ，k Z ∈，可得6πϕ=-，()3sin()26f x x ππ∴=-， 令222262k x k ππππππ--+剟，求得244433k x k -+剟， 故()f x 的单调递增区间为2(43k -，44)3k +，k Z ∈， 故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.17．40cos2d cos sin x x x xπ=+⎰（ ） A．1)B1 C1 D．2【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分.【详解】 因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0x x x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ． 【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.18．在ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（ ）A ．15B ．315C ．1D ．3【答案】A 【解析】【分析】 先根据正弦定理求得DC ，再结合余弦定理求得cos B ，进而求出ABD S V ，即可求得结论．【详解】如图：()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，同理可得sin sin CD AC CAD ADC=∠∠， 因为ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD AB CD AC =， 4AB =Q ，8AC =，2BD =，8244AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=. 2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，2115sin 144B ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 1sin 152ABD S AB BD B ∴=⋅⋅=V 故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积的求法以及角平分线的性质应用，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用，考查计算能力，属于中等题.19．设2α是第一象限角，且cos cos αα=-，则α是第（ ）象限角 A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B【解析】【分析】计算得到720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，再根据cos 0α<得到答案.【详解】 ∵2α是第一象限角，∴360903602k k α︒<<︒+︒，k Z ∈， ∴720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角， ∵cos cos αα=-，∴cos 0α<，∴α是第二象限角.故选：B .【点睛】本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.20．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π,43BAC AP ∠==，AB AC ==P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．32πB ．48πC ．64πD ．72π 【答案】C【解析】【分析】先求出ABC V 的外接圆的半径，然后取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可.【详解】 在ABC V中，AB AC ==23BAC π∠=，可得6ACB π∠=， 则ABC V的外接圆的半径π2sin 2sin 6AB r ACB ===ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==， 因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，则222OA OG AG =+，即外接球半径4R ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=.故选C.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.。
三角函数及解三角形测试题(含答案)
三角函数及解三角形测试题(含答案)三角函数及解三角形1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。
根据正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。
根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。
根据余切的定义，$\cotA=\frac{b}{a}$。
根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。
根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。
2.选择题：1.设$\alpha$是锐角，$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。
2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。
4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。
5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。
6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。
高考数学三角函数与解三角形多选题练习题含答案
高考数学三角函数与解三角形多选题练习题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（ ）A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形 C ．若4,5,6a b c ===，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2A π=，由此确定选项正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453cos 0256604A +-===>⨯⨯，16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，cos2cos A C =.0,022A C ππ<<<<，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由于0,0A B ππ<<<<，所以2A π=，故B 选项正确.对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<，sin C ==， 设三角形ABC 外接圆半径为R，则2sin 2sin c cR R C C=⇒===，故C 选项错误.对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤， 要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=， 则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是2sin aR A=，而不是sin aR A =.2．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ） A ．22S a bc +的最大值为12B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形 C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB的面积为13- 【答案】ACD 【分析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A ；利用勾股定理的逆定理即可判断选项B ；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C ；由已知条件可得ABC 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得AOB 的面积即可判断选项D. 【详解】 对于选项A ：2221sin 1sin 222cos 2222cos bc AS A b c a bc b c bc A bc Ac b==⨯++-+++- 1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.令sin A y =，cos A x =，故21242S ya bc x ≤-⨯+-， 因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-上，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点13,22H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即60A =时，取得最小值3- 故可得32yz x ⎡⎫=∈⎪⎢⎪-⎣⎭， 又21242S yx bc x ≤-⨯+-，故可得213324312S a bc ⎛≤-⨯-= +⎝⎭， 当且仅当60A =，b c =，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A 正确； 对于选项B ：因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得33c =，故选项B 错误； 对于选项C ，由2A C =，可得π3B C =-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b c B C=，即()2sin π3sin c c C C =-， 所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =， 因为2b c =，所以B C >，所以3cos 2C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以π2B =，π6C =，π3A =，因为2a =，所以23c =，33b =，所以ABC 的周长为223+，故选项C 正确； 对于选项D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且π2B =，π6C =，π3A =，33c =，33b =，所以ABC 的内切圆半径为123433212r ⎛=+= ⎝⎭，所以ABC的面积为11122cr ⎛== ⎝⎭所以选项D 正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A 利用面积公式和余弦定理，结合不等式得21sin 1sin 224cos 222cos S A Ab c a bc A A c b=⨯≤-⨯+-++-，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.3．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC满足sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC的面积ABC S =△，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC的周长为10+B ．ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列C ．ABCD ．ABC 的中线CD的长为【答案】AB 【分析】本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =ABCS =△以及S =A 正确，然后根据余弦定理求出1cos 2C =，则π3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据2sin c R C =即可判断出C错误，最后根据余弦定理求出cos 14B =，再根据cos 14B =求出CD 长，D 错误. 【详解】A 项：设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =设2a t =，3b t =，()70c t t =>， 因为63ABCS =△，所以2222221749637442t t t t t ⎡⎤⎛⎫+-=⨯-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得2t =，则4a =，6b =，27c =， 故ABC 的周长为1027+，A 正确；B 项：因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以π3C =，π2ππ233A B C +=-==， 故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确； C 项：因为π3C =，所以3sin 2C =， 由正弦定理得274212sin 33c R C ===，2213R =，C 错误； D 项：由余弦定理得2227cos 22427a c b B ac +-===⨯⨯， 在BCD △中4BC =，7BD =，由余弦定理得27cos 247B ==⨯⨯，解得19CD =，D 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222cos 2a c b B ac+-=，考查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.4．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且()3cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（ ）A ．ABC 是等边三角形B ．若AC =A ，B ，C ，D 四点共圆C ．四边形ABCD 面积最大值为32+D ．四边形ABCD 3 【答案】AC 【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sin B ，再利用a b =，可知ABC 为等边三角形，从而判断A ；利用四点A ，B ，C ，D 共圆，四边形对角互补，从而判断B ；设AC x =，0x >，在ADC 中，由余弦定理可得2106cos x D =-，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求ABCD S 四边形，利用正弦函数的性质，求出最值，判断CD ．【详解】由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，2sin ,sin 2B B =∴=， a b =，B 是等腰ABC 的底角，(0,)2B π∴∈，,3B ABC π∴=∴△是等边三角形，A 正确；B 不正确：若,,,A BCD 四点共圆，则四边形对角互补， 由A 正确知21,cos 32D D π∠==-，但由于1,3,DC DA AC ===2222221311cos 221332DC DA AC D DA DC +-+-===-≠-⋅⋅⨯⨯，∴B 不正确． C 正确，D 不正确：设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-，(106cos )cos 422ABC S θθ∴=⋅-=-△， 3sin 2ADC S θ=△，3sin 2ABCADCABCD S SSθθ∴=+=-+四边形13(sin cos 2θθ=⋅-+，3sin()3πθ=-+(0,),sin()(32πθπθ∈∴-∈-，3ABCD S <≤+四边形，∴C 正确，D 不正确； 故选：AC.． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC外接圆半径为7【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==， 由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得2sin 7c R C===，ABC ，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.6．函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位得到 B ．函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称C ．函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．函数2()y x f x =+在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数 【答案】BCD 【分析】对四个选项，一一验证：对于选项A ，利用三角函数相位变化即可；对于选项B ，利用正弦函数的对称轴经过最高（低）点判断； 对于选项C ，利用正弦函数的对称中心直接判断； 对于选项D ，利用复合函数的单调性“同增异减”判断； 【详解】由题意，对于选项A ，函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位可得到()sin 2sin 2cos 242f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项A 错误；对于选项B ，sin 21884f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取到了最大值，所以函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称，所以选项B 正确；对于选项C ，08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，所以选项C 正确；对于选项D ，函数2yx 在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，08x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，单调递增，所以函数2()y x f x =+在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，所以选项D 正确. 故选：BCD. 【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．7．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】BCD 【分析】利用图象，把(3代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心. 【详解】由图可知2sin 3ϕ=3sin ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误；因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确；将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.8．已知函数()()tan (0)6ωωπ=->f x x ，则下列说法正确的是（ ） A ．若()f x 的最小正周期是2π，则12ω=B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()π0()6π+∈Z k k ， C ．当2ω=时，π2π()()125-<f f D ．若()f x 在区间()π3π，上单调递增，则203ω<≤ 【答案】AD 【分析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则12ω=，故A 选项正确；对于B 选项，当1ω=时，()()tan 6f x x π=-，所以令,62k x k Z ππ-=∈，解得：,62k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心的坐标为()0()62k k ππ+∈Z ，，故B 选项错误； 对于C 选项，当2ω=时，()()tan 26f x x π=-，()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦，()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125f f ->，故C 选项错误；对于D 选项，令,262k x k k Z ππππωπ-+<-<+∈，解得：233k k x ππππωωωω-+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间()π3π，上单调递增，所以33,23k k Z k πππωωπππωω⎧-+≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故203ω<≤，故D 选项正确. 故选：AD【点睛】 本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，再结合233T ππππω=≥-=和0>ω得0k =，进而得答案.二、数列多选题9．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数()2k k ≥，使得对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是“间隔递增数列”，k 是{}n a 的“间隔数”，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列”B ．若()21nn a n =+-，则{}n a 是“间隔递增数列” C ．若(),2n r a n r r n*=+∈≥N ，则{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D ．已知22021n a n tn =++，若{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则54t -<≤-【答案】BCD【分析】利用新定义，逐项验证是否存在正整数()2k k ≥，使得0n k n a a +->，即可判断正误.【详解】选项A 中，设等比数列{}n a 的公比是()1q q >，则()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，其中1k q >，即()110n k q q -->，若10a <，则0n k n a a +-<，即n k n a a +<，不符合定义，故A 错误；选项B 中，()()()()()21212111n kn n k n k n a a n k n k ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤++--+-=+---⎣⎦-=⎣⎦⎣⎦， 当n 是奇数时，()211k n k n a a k +=---+，则存在1k 时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义；当n 是偶数时，()211k n k n a a k +-=+--，则存在2k ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义.综上，存在2k ≥时，对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，故B 正确；选项C 中，()()1n k n r r kr r a a n k n k k n k n n k n n k n +⎡⎤-⎛⎫⎛⎫++-+=+=-⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎣-⎦=⎥()2n kn r k n k n +-=⋅+，令2()f n n kn r =+-，开口向上，对称轴02k -<，故2()f n n kn r =+-在n *∈N 时单调递增，令最小值(1)10f k r =+->，得1k r >-，又k *∈N ，2k ≥，,2r r *∈≥N ，故存在k r ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，“间隔数”的最小值为r ，故C 正确；选项D 中，因为22021n a n tn =++，是“间隔递增数列”，则()()()2222021202012n k n a a n k t n k kn k t n n k t +⎡⎤-=-=++>⎣++++⎦++，即20k n t ++>，对任意n *∈N 成立，设()2g n k n t =++，显然在n *∈N 上()g n 递增，故要使()20g n k n t =++>，只需(1)20g k t =++>成立，即2t k --<.又“间隔数”的最小值为3，故存在3k ≥，使2t k --<成立，且存在k 2≤，使2t k --≥成立，故23t --<且22t --≥，故54t -<≤-，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数()2k k ≥，使0n k n a a +->对于任意的n *∈N 恒成立，逐项突破难点即可.10．（多选）设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ）A ．0d >B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >【答案】BC【分析】根据69S S =得到80a =，再根据10a >得到0d <，可得数列{}n a 是单调递减的等差数列，所以7S 或8S 为n S 的最大值，根据6560S S a -=>得65S S >，故BC 正确.【详解】由69S S =得，960S S -=，即7890a a a ++=，又7982a a a +=， 830a ∴=，80a ∴=，∴B 正确； 由8170a a d =+=，得17a d =-，又10a >，0d ∴<， ∴数列{}n a 是单调递减的等差数列， ()()0,70,9n n a n N n a n N n **⎧>∈≤⎪∴⎨<∈≥⎪⎩， 7S ∴或8S 为n S 的最大值，∴A 错误，C 正确； 6560S S a -=>，65S S ∴>，所以D 错误. 故选：BC ．【点睛】关键点点睛：根据等差中项推出80a =，进而推出0d <是解题关键.。
专题20 三角函数及解三角形解答题丨十年高考数学真题分项汇编(解析版)(共62页)
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—三角函数解答题目录题型一：三角恒等变换...........................................................................1题型二：三角函数与向量综合...............................................................4题型三：三角函数的图像与性质...........................................................8题型四：正余弦定理的应用.................................................................20题型五：与三角形周长、面积有关问题..............................................38题型六：三角函数的建模应用.............................................................50题型七：结构不良型试题 (56)(1)求sin B 的值；(2)求c 的值；(3)求()sin B C -．【答案】(1)1313(2)5(3)26-解析：(1)由正弦定理可得，sin sin a b A B =，即2sin120sin B = ，解得：sin 13B =；(2)由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即21394222c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得：5c =或7c =-(舍去)．(3)由正弦定理可得，sin sin a c A C =，即5sin120sin C = ，解得：sin 26C =，而120A =o ，所以,B C 都为锐角，因此cos 26C ==，cos 13B ==，故()sin sin cos cos sin 1326132626B C B C B C -=-=⨯-⨯=-．2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第17题)已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．(1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．【答案】(1)31010(2)6解析：(1)3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，sin 10A ∴=．(2)由(1)知，10cos 10A ==，由sin sin()B A C =+23101025sin cos cos sin (210105A C A C =+=+=，由正弦定理，sin sin c bC B=，可得255522b ⨯==，11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅，310sin 610h b A ∴=⋅==．3．(2018年高考数学江苏卷·第16题)(本小题满分14分)已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．(1)求cos 2α的值；(2)求tan()αβ-的值．【答案】解析：(1)因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，29cos 25α=，因此27cos 22cos 125αα=-=-．(2)因为,αβ为锐角，所以(0,)αβπ+∈．又因为5cos()5αβ+=，所以25sin()5αβ+=，因此，tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-++．4．(2018年高考数学浙江卷·第18题)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．(1)求sin(π)α+的值;(2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β值．【答案】(1)45；(2)5665-或1665．【解析】(1)由角α终边过点34(,55P --得4sin =5α-，所以4sin =sin =5απα+-（）．(2)由角α终边过点34(,55P --得3cos =5α-，由5sin()13αβ+=得12cos +=13αβ±（）．由()βαβα=+-得cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++当12cos()13αβ+=时，1235456cos 13513565β⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当12cos()13αβ+=-时，1235416cos 13513565β⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以56cos =65β-或1665．5．(2014高考数学广东理科·第16题)已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且53122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)求A 的值；(2)若23)()(=-+θθf f ，2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．【答案】解：(1)依题意有55233sin sin 12124322f A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A =(2)由(1)得()),4f x x x Rπ=+∈，()()3sin sin 442f f ππθθθθθ⎤⎛⎫⎛⎫∴+-=++-+==⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦cos 4θ∴=，(0,)sin 24πθθ∈∴=== 33304444f πππθθθ⎛⎫⎛⎫∴-=-+==⎪ ⎝⎭⎝⎭6．(2014高考数学江苏·第15题)已知),2(ππα∈，55sin =α．(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值．【答案】(1)1010-；(2)43310+-解析：(1)因为α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，sin α＝55，所以cos α＝255=-．故sin π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝252510⎛⎫⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．(2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝42555⎛⨯⨯-=- ⎝⎭，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2325⨯=⎝⎭，所以cos 5π5π5π2cos cos 2sin sin 2666ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＝314525⎛⎛⎫⨯+⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭题型二：三角函数与向量综合1．(2014高考数学山东理科·第16题)已知向量(,cos 2)a m x = ，(sin 2,)b x n = ，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-．(Ⅰ)求,m n 的值；(Ⅱ)将()y f x =的图象向左平移ϕ(0ϕπ<<)个单位后得到函数()y g x =的图象．若()y g x =图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间．【答案】(Ⅰ)⎩⎨⎧==13n m (Ⅱ)z k k k ∈+-],,2[πππ解析：(Ⅰ)已知x n x m b a x f 2cos 2sin )(+=⋅=，)(x f 过点)2,32(),3,12(-ππ36cos 6sin 12(=+=∴πππn m f 234cos 34sin )32(-=+=πππn mf 1221222m n m n ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪--=-⎪⎩解得⎩⎨⎧==13n m ．(Ⅱ))62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f )(x f 左移ϕ后得到622sin(2)(πϕ++=x x g 设)(x g 的对称轴为0x x =，1120=+=x d 解得00=x 2)0(=∴g ，解得6πϕ=x x x x g 2cos 222sin(2)632sin(2)(=+=++=∴πππ222,k x k k Zπππ∴-+≤≤∈,2k x k k Z πππ∴-+≤≤∈)(x f ∴的单调增区间为[,],2k k k Zπππ-+∈2．(2017年高考数学江苏文理科·第16题)已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b (1)若a b ,求x 的值;(2)记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】(1)5π6x =(2)0x =时,()f x 取得最大值,为3;5π6x =时,()f x取得最小值,为-．解析:解:(1)因为 cos ,s n )i (x x = a,(3,= b ,a b ,所以3sin x x =．若cos 0x =,则sin 0x =,与22sin cos 1x x +=矛盾,故cos 0x ≠．于是3tan 3x =．又[0,]x π∈,所以5π6x =．(2)π(cos ,sin )(3,3cos s ()o (6f x x x x x x =⋅=⋅==+ a b ．因为[0,]x π∈,所以ππ7π[,666x +∈,从而π1cos()62x -≤+≤．于是,当ππ66x +=,即0x =时,()f x 取到最大值3;当π6x +=π,即5π6x =时,()f x取到最小值-．3．(2014高考数学辽宁理科·第17题)(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙= ，1cos 3B =，3b =，求：(1)a 和c 的值；(2)cos()B C -的值．【答案】(1)a =3，c =2；(2)2327解析：(1)2BA BC ∙= ，1cos 3B =，cos 2BA BC B ∴∙= ，即6a c ⋅=①，由余弦定理可得2221cos 23a c b B ac +-==，化简整理得2213a c +=②，①②联立，解得，a =3，c =2；(2)12cos ,sin 33B B =∴== ，因为a =3，3b =，c =2，由余弦定理可得2227cos29a cb Cab -+==，42sin 9C ∴==，7123cos()cos cos sin sin 939327B C B C B C ∴-=+=⋅+⋅=．解析2：(2)在△ABC 中，1cos ,sin 33B B =∴==，根据正弦定理sin sin b cB C=可得sin 42sin 9c B C b ==，a b c => ，C ∴为锐角，7cos 9C ∴==，7142223cos()cos cos sin sin 939327B C B C B C ∴-=+=⋅+⋅=．4．(2015高考数学陕西理科·第17题)(本小题满分12分)C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()m a =与()cos ,sin n =A B平行．(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2b =求C ∆AB 的面积．【答案】(Ⅰ)3π；(Ⅱ)2．分析：(Ⅰ)先利用//m n可得sin sin 0a B -A =，再利用正弦定理可得tan A 的值，进而可得A 的值；(Ⅱ)由余弦定理可得c 的值，进而利用三角形的面积公式可得C ∆AB 的面积．解析：(Ⅰ)因为//m n，所以sin cos 0a B A =，由正弦定理，得sinA sinB A 0-=又sin 0B ≠，从而tan A =，由于0A π<<，所以3A π=(Ⅱ)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A=+-而2,a ==3πA =得2742c c =+-，即2230c c --=因为0c >，所以3c =．故C ∆AB的面积为1bcsinA 22=．解法二：由正弦定理，得72sin sin 3π=B，从而21sin 7B =，又由a b >，知A B >，所以cos 7B =．故()321sinC sin A B sin sin cos cos sin 33314B B πππ⎛⎫=+=B +=+=⎪⎝⎭所以C ∆AB的面积为133bcsinA22=．5．(2015高考数学广东理科·第16题)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈．(1)若m n ⊥，求tan x的值;(2)若m与n 的夹角为3π，求x 的值．【答案】解析：(1) ,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(sin,cos )n x x =，且m n ⊥ ，sin sin cos 0,sin cos ,tan 122cos x m nx x x x xx∴⋅=-=∴===(2)11sin cos ||||cos ,sin()223242m n x x m n x ππ⋅=-=⋅=∴-=5(0,,,,24444612x x x x πππππππ⎛⎫∈∴-∈-∴-== ⎪⎝⎭题型三：三角函数的图像与性质1．(2014高考数学江西理科·第17题)已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++,其中,(,22a R ππθ∈∈-(1)当4a πθ==时,求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值;(2)若()0,()12f f ππ==,求,a θ的值．【答案】(1最小值为-1．(2)1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩分析:(1)求三角函数最值,首先将其化为基本三角函数形式:当4a πθ==时,22()sin(sin cos sin()42224f x x x x x x x πππ=+++=+=-,再结合基本三角函数性质求最值:因为[0,]x π∈,从而3[,]444x πππ-∈-,故()f x 在[0,]π上的最大值为2,2最小值为-1．(2)两个独立条件求两个未知数,联立方程组求解即可．由(02()1f f ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩,又(,22ππθ∈-知cos 0,θ≠解得1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩解析:解(1)当4a πθ==时,22()sin())sin cos sin()42224f x x x x x x x πππ=+++=+-=-因为[0,]x π∈,从而3[,444x πππ-∈-故()f x 在[0,]π上的最大值为2,2最小值为-1．(2)由()02()1f f ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩,又(,)22ππθ∈-知cos 0,θ≠解得1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩2．(2019·浙江·第18题)设函数()sin f x x =，x ∈R ．(Ⅰ)已知[0,2)θπ∈，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；(Ⅱ)求函数22[([(124y f x f x ππ=+++的值域．【答案】【意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。
三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)
2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。
高考中三角函数和解三角形的真题（常见的题型）汇总
三角函数类型一：角度的概念、弧长和三角函数的概念1已知角q 的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若),4(y P 是角q 终边上的一点，且552sin -=q ，则y的值的值2已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所对的弧长是 3若0cos sin <q q ，则角q 在第在第___________________________象限角。
象限角。
象限角。
4 4 已知已知q 为第二象限角；则2q可能为第可能为第_____________________象限角。
象限角。
象限角。
5已知q 为第二象限角；则24a p +所在的象限是所在的象限是_____________________。
6已知角a 的终边过点)60cos 6,8(--m P ，且54cos -=a ，则m 的值为的值为7在平面直角坐标系中，若角a 的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终点经过点)4,3(a a P -)0(<a ，则a a cos sin +的值为的值为8 8 已知角已知角a 的终边经过点)3,4(-，则a cos 等于等于答案：1 -8-8；；21sin 2；3 二或四；4 一或三；5 一或三；6 21；7 51；8 54-。
类型二：同角三角函数的求值与化解（a a a a a cos tan sin ,1cos sin 22×==+）1求300sin =_______=_______。
2已知3cos sin cos sin =-+xx x x ，则x tan 的值是的值是________________________。
3若点)9,(a 在函数xy 3=的图像上，则6tanpa 的值为的值为 4已知a 是第二象限角，135sin =a ，则a cos 的值的值5已知51)25sin(=+a p ，那么a cos 的值的值6已知21tan -=a ，则1cos 22sin 2--a a 等于等于7)1410tan(-的值的值8 8 记记cos(80)k -°=,那么tan100°= 9已知11-tan tan -=a a，则2cos sin sin 2++a a a = 10 已知角)2,0(p Îx ，21cos 22££-x 的解集是_____。
三角函数及解三角形高考模拟考试题精选含详细答案
三角函数与解三角形高考试题精选一．解答题（共31小题）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．3．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．8．△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．9．设△ABC的角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．14．△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．15．△ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．16．四边形ABCD的角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．17．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．19．设△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值围．20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．21．设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．23．已知a，b，c分别是△ABC角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．25．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．三角函数与解三角形高考试题精选参考答案与试题解析一．解答题（共31小题）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；∴，带入（1）得：；∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．3．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵A为三角形的角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，则tanC=；（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，则S△ABC=acsinB=×××=．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．8．△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB ≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．9．设△ABC的角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B=A﹣B，∴A=2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=，∴bcsinA=，∴2bcsinA=a2，∴2sinBsinC=sinA=sin2B，∴sinC=cosB，∴B+C=90°，或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．或由A=，b2﹣a2=c2．可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，∴sin2B﹣=sin2C，∴﹣cos2B=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴sin2C=sin2C，∴tanC=2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．14．△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为．15．△ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），则sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===．16．四边形ABCD的角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．17．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，∵S△ABC=ac•sinB=2，∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．∴A=2B．（II）解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．19．设△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值围．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值围为（，]20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=①，结合平方关系sin2A+cos2A=1②，由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2，所以c=1．21．设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．23．已知a，b，c分别是△ABC角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．∴S△ABC==1．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．25．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．【解答】解：（1）因为，所以sinA=，所以tanA=，所以A=60°（2）由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．【解答】解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；代入3acosA=ccosB+bcosC；得cosA=；（2）∵cosA=∴sinA=cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③又已知cosB+cosC=代入③cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立解得sinC=已知a=1正弦定理：c===29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a=3，，∠B=2∠A，利用正弦定理可得，即=．解得cosA=．（Ⅱ）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即9=+c2﹣2×2×c×，即c2﹣8c+15=0．解方程求得c=5，或c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得B=90°，A=C=45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．当c=5时，求得cosB==，cosA==，∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB，∴B=2A，满足条件．综上，c=5．。
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三角函数与解三角形高考试题精选一．解答题（共31小题）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA 与a的值．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．14．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．21．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC（1）求cosA的值（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．三角函数与解三角形高考试题精选参考答案与试题解析一．解答题（共31小题）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；∴，带入（1）得：；∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，则tanC=；（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，则S=acsinB=×××=．△ABC5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA 与a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B=A﹣B，∴A=2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=，∴bcsinA=，∴2bcsinA=a2，∴2sinBsinC=sinA=sin2B，∴sinC=cosB，∴B+C=90°，或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．或由A=，b2﹣a2=c2．可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，∴sin2B﹣=sin2C，∴﹣cos2B=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴sin2C=sin2C，∴tanC=2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．14．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为．15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），则sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===．16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，∵S=ac•sinB=2，△ABC∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．∴A=2B．（II）解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=①，结合平方关系sin2A+cos2A=1②，由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2，所以c=1．21．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．==1．∴S△ABC24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．【解答】解：（1）因为，所以sinA=，所以tanA=，所以A=60°（2）由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．【解答】解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；代入3acosA=ccosB+bcosC；得cosA=；（2）∵cosA=∴sinA=cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③又已知cosB+cosC=代入③cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立解得sinC=已知a=1正弦定理：c===29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a=3，，∠B=2∠A，利用正弦定理可得，即=．解得cosA=．（Ⅱ）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即9=+c2﹣2×2×c×，即c2﹣8c+15=0．解方程求得c=5，或c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得B=90°，A=C=45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．当c=5时，求得cosB==，cosA==，∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB，∴B=2A，满足条件．综上，c=5．。