等腰三角形三线合一性质应用
等腰三角形的三线合一”定理应用
等腰三角形的三线合一”定理应用全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：等腰三角形是一种特殊的三角形，其中两条边长度相等。
在等腰三角形中，存在一个重要的定理，即“等腰三角形的三线合一”定理。
这个定理指出，在一个等腰三角形中，等腰线、中位线和高线三条线段会共点于一个点，这个点被称为三角形的垂心。
等腰三角形的三线合一定理在几何学中有着重要的应用。
通过这个定理，我们可以推导出很多三角形的性质，并且可以帮助我们解决一些几何问题。
下面我们将通过几个具体的例子来展示等腰三角形的三线合一定理的应用。
我们来看一个简单的例子。
设等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是边AC的中位线，E是边BC的中点，连接DE。
我们要证明线段BD 与CE相交于垂心H。
根据等腰三角形的性质，我们知道角B和角C是等的，所以三角形ABC是等腰的。
根据等腰三角形的三线合一定理，我们知道线段BD、CE和AH相交于一个点H，即三角形ABC的垂心。
接下来，我们可以利用这个性质来解决几何问题。
我们可以通过这个定理来证明等腰三角形的顶角相等，或者计算等腰三角形的面积等等。
第二篇示例：等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，其特点是具有对称性和稳定性，是几何学中常见的形状之一。
在等腰三角形中，有一定的定理和性质可以应用，在解决几何问题时起到重要作用。
本文将重点介绍等腰三角形的三线合一定理及其应用。
一、三线合一定理的概念在等腰三角形中，连接等腰三角形顶点与底边中点的直线被称为等腰三角形的三线合一。
三线合一定理指的是在等腰三角形中，三条线段的端点在同一直线上。
这是等腰三角形的一个重要性质，可以通过几何推理和证明加以验证。
假设在等腰三角形ABC中，AB=AC。
连接顶点A与底边BC的中点D，并将直线AD延长至E点。
因为AD是BC的中线，根据中线定理可知AD=DC。
又因为ABC 为等腰三角形，所以AB=AC，由此可得BD=DC。
考虑△ADE和△ACD，根据两边相等、夹角相等、以及对应边角对应相等的条件可以得出△ADE≌△ACD。
等腰三角形性质三线合一”专题
等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
这就是 著名的等腰三角形“三线台一”性质。
“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。
反之， 如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合， 那么这个三角形就是等腰三角形。
【例题讲解】例二：如图△ ABC 中，AB = AC, / A = 36°, BD 平分/ ABQ DE 丄 AB 于 E ,若 CD= 4，且△ BDC 周长为 24，求 AE 的长度。
变式练习1-2 已知，如图所示, 求证：AD 垂直平分EF 。
AD >△ ABC ，DE DF 分另U >△ ABDA ACD 的高。
求证：AD 垂直平分BG例三•等腰三角形顶角为 ，一腰上的高与底边所夹的角是 ，则 与 的关系式为图2分析：欲证/ ACE=/ B,由于AC=AB 因此只需构造一个与 Rt △ ACE 全等的三角形，即做底边 BC 上的高即可。
证明：作ADL BC 于D, •/ AB=AC1••• BD BC2 1又••• CE BC ,2• - BD=CE在 Rt △ ABD 和 Rt △ ACE 中，AB = AC, BD=CE• Rt △ ABD^ Rt △ ACE( HL )。
• / ACE 玄 B例五•已知：如图3,等边三角形 ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线一点，CE=CD DM L BC 于M,求证: M 是BE 的中点。
分析：如图1，AB=ACEAC 90° / C ，/BD 丄AC 于D,作底边BC 上的高 AE, E 为垂足，则可知/ EAC=/ EAB - 又/2 ，90° / C ，所以例四•已知：如图2, △ ABC 中，AB=AC CE!AE 于E , CE1— 。
21 BC , E 在厶 ABC 外,求证：/ ACE / B 。
等腰三角形三线合一的应用——原创两线合一补等腰
3
2
E
AC=AB=9
6 Ｂ
Ｆ D3
C
过关条件
两线合一三角形的应用
两线合一补等腰
过关条件
两线合一补 等腰
两线合一现等腰的内容 巧补等腰三角形的应用
A
B
D
C
等腰三角形
底边的高 顶角的角平分线 底边的中线
三线合一 二线
底边的高
1
3
底边的中线
2
顶角的角平分线
1
已知：AD⊥BC，D为BC的中点 求证：ΔABC为等腰三角形
A
中垂线定理： 中垂线上的点，到线段两端点的距离相等
CD——中线 两线合一 CD——垂线 翻折ΔADC
ＡＣ＝ＣＢ
C E
EB——中线 两线合一
O
EB——垂线
ＡＢ＝ＣＢ
A
D
B
ＡＣ＝ＡＢ
练2
两线合一现等腰 翻折含两线合一的三角形补等腰
如图，在△AEC中，∠1=∠2，AD⊥CD，F为 CE中点，DF=AE=3，则AC的长为多少？
A
二线合一的线——ＡＤ
翻折ΔADC补全等腰
C
D
底边的中线与顶角的角平分线重合——现等腰
底边的高与底边的中线重合————现等腰 底边的高与顶角的角平分线重合——现等腰 底边的中线与顶角的角平分线重合——现等腰
两线合一现等腰
过关条件
两线合一补 等腰
两线合一现等腰的内容 巧补等腰三角形的应用
例1
两线合一现等腰
如图， ΔABC中，AD平分∠BAC，AD⊥CD， D为垂足，AB>AC，求证∠2=∠1+∠B
B
C
D
底边的高与底边的中线重合——现等腰
人教版数学八年级初二上册 等腰三角形“三线合一”的妙用 名师教学教案 教学设计反思
13.3.1 等腰三角形1问题1:如图所示,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的△ABC 有什么特点？探究作准备.二、探究性质问题2:仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片,你能发现这个等腰三角形有什么特征吗？等腰三角形的特征:（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．追问1:同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同,形状各异,是否都具有上述所概括的特征？追问2:在练习本上任意画一个等腰三角形,把它剪下来,折一折,上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质吗？学生观察后独立思考,并同伴交流,最后互动、交流得出性质1、2.通过感性材料,让学生在动手操作的过程中发现等腰三角形的共同的、本质的特征,进一步培养学生的概括能力,体会“三线合一”的含义.问题3:利用实验操作的方法,我们发现并概括出等腰三角形的性质1和性质2．对于性质1,你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？（1）你能根据结论画出图形,写出已知、求证吗？（2）结合所画的图形,你认为证明两学生根据结论画出图形,写出已知、求证,并在教师的启发下进行小组讨论,得出证明方法,并在全班内交流.师根据学生所述,板书过程.让学生有、逐步实现由实验几何到论证几何的过渡.2个底角相等的思路是什么？（3）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形呢？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？已知:如图,△ABC 中,AB =AC．求证:∠B =∠C．追问:你还有其他方法证明性质1吗？问题4:性质2可以分解为三个命题,本节课证明“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．已知:如图,△ABC 中,AB =AC,AD 是底边BC的中线．求证:∠BAD =∠CAD,AD ⊥BC．性质1、2的符号语言表达方式问题5:在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中,“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用,由此,你能发现等腰三角形具有什么特征？结论:等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．师引导学一根据结论画出图形,写出已知、求证并证明.学生回答.让学经历完整的的命题证明过程中,理解等腰三角形的性质,会进行符号语言、图形语言、文字语言的转换.重新回顾等腰三角形的轴对称性,让学生对等腰三角形的知识与轴对称的知识进行整合.3三、应用提高练习1:（1）如图,△ABC 中, AB =AC, ∠A=36°, 则∠B = °；学生独立完成练习1、2,并组内交流、班内汇报.对等腰三角形的性质进行简单应用.（2）如图,△ABC 中, AB =AC, ∠B=36°, 则∠A = °；（3）已知等腰三角形的一个内角为70°,则它的另外两个内角的度数分别是 .练习2:如图,△ABC 是等腰直角三角形（AB =AC,∠BAC =90°）,AD 是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC 的度数,并写出图中所有相等的线段.例1:如图,△ABC 中,AB =AC,点D 在AC 上,且BD =BC =AD．求△ABC 各角的度数．练习3:课本P77页练习第3题.学生回答,师板演.学生板演.运用所学知识解决实际问题,对学生的书写进行规范.五、体验谈谈你的收获和体会（1）本节课学习了哪些主要内容？师引导学生归纳总结.旨在让学生学会归纳总结,梳理知识,45收获 （2）我们是怎么探究等腰三角形的性质的？（3）本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法？提高认识.六、 实践 延伸 课后作业: 课本P81-82页习题13.3第1、2、4、6题 检测学生对本节知识的掌握情况.附:板书设计敎學反思:本节课主要学习等腰三角形的性质,通过师生双方的互动,学生接受新知较快,探究、归纳能力不断地得到提高,在敎學过程中体现了“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”的敎學思想。
等腰三角形三线合一(一)2024
等腰三角形三线合一（一）引言概述：等腰三角形是一种特殊的三角形，其两条边长度相等。
在等腰三角形中，有一条特殊的线称为三角形的三线合一。
本文将详细介绍等腰三角形三线合一的相关概念和性质，为读者提供更深入的了解。
正文：一、三线的定义1. 等腰三角形的三线包括：高线、中线和角平分线。
2. 高线：等腰三角形的高线是由顶点垂直于底边所构成的线段。
3. 中线：等腰三角形的中线是由底边上一点连结对边中点所构成的线段。
4. 角平分线：等腰三角形的角平分线是由顶点连结底边上一点与等边边长的一半所构成的线段。
二、性质及关系1. 高线和底边是垂直的，即高线与底边成直角。
2. 中线和底边是平行的，且中线长度为底边长度的一半。
3. 角平分线将顶角平分为两个相等角。
4. 三线合一的交点称为三角形的垂心，垂心在等腰三角形的内部。
5. 垂心到三角形三个顶点的距离相等。
三、应用案例1. 在构造等腰三角形时，可以利用三线合一的性质来确定高线、中线和角平分线。
2. 利用三线合一，可以求解等腰三角形的各个角度和边长。
3. 在三角形几何问题中，三线合一也为解题提供了重要的线索。
四、证明和推论1. 可以通过垂心和三角形顶点构造直角三角形，进而证明三线合一的性质。
2. 利用三线合一的性质，可以推论等腰三角形的其他性质，如内角和、内切圆等。
五、简化计算和简便构造1. 三线合一为等腰三角形的计算和构造提供了简化的方法。
2. 利用三线合一的性质，可以简化解题过程，减少复杂的计算。
总结：等腰三角形的三线合一是三角形几何中重要的概念之一。
通过了解三线的定义、性质和关系，我们可以更好地理解等腰三角形的特性，并应用于计算和构造问题中。
通过证明和推论，我们可以进一步深入了解三线合一的原理和应用。
最后，三线合一为解题提供了简化的方法，方便我们在求解问题时进行计算和构造。
等腰三角形的性质与判断及应用
等腰三角形的性质与判定知识梳理:1．等腰三角形的概念：有相等的三角形，叫做等腰三角形，叫做腰，另一条边叫做．两腰所夹的角叫做，底边与腰所夹的角叫做．2．等腰三角形性质定理：(1)等腰三角形的两个相等，也可以说成．这一性质是今后论证两角相等的常用依据之一。
(2) 三线合一: 即．这一性质是今后论证两条线段相等，两角相等及两直线垂直的重要依据。
(3)等腰三角形是图形．除此外，根据等腰三角形的对称性还应有如下重要的性质，虽在证明中不能直接引用，但对于填空、选择则可直接运用，并且这些性质对今后的推理证明都有非常重要的作用。
①等腰三角形两腰上的中线相等②等腰三角形两腰上的高相等③等腰三角形两底角的平分线相等3．等腰三角形的判定：(1)有相等的三角形是等腰三角形．(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等．简写成．4、有关等腰三角形周长的计算给出三角形中两边的数据求周长时，一定要考虑对某一边有两种可能情况：一它可能是腰，二它可能是底。
最后确定具体是腰还是底，就要看得出的三边关系是否符合：任两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
如：已知等腰三角形的两边分别是3cm，5cm，则周长此时有两种情况：11cm或13cm。
当腰长为3cm时，周长为：3cm+3cm+5cm=11cm；当腰长为5cm时，周长为：3cm+5cm+5cm=13cm。
若两边分别是4cm，8cm，则周长只有一种结果，长为20cm（8cm做腰，4cm做底）。
另一种可能是以4cm做腰，8cm做底，此时，4cm+4cm=8cm，不符合任两边之和大于第三边的三角形三边关系，故不能考虑在内。
【例题讲解】例1：已知：如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证：CE＝CB。
例2：如图，已知点D，E在BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE。
例3：如图，点D ，E 在AC 上，∠ABD ＝∠CBE ，∠A ＝∠C ，求证：BD ＝BE 。
专题三 等腰三角形“三线合一”的妙用
——“与中考零距离”
本课程源于教材、高于教材、瞄准中考、走向名校。
初二是整个初中数学的一个分水岭，中考常考的重点、难点、易 错点开始逐渐展现在学生面前。
本课程以专题形式呈现，逐一击破，偏向于基础知识掌握，主要 解决基础题和中档题，意在巩固提高。
通过专题训练，归纳解题技巧，让学生寻找被命题人“藏”起来 的解题之门，让学生从初二年级开始逐渐明确中考的考察方向，使学 生做到：看到题目有思路、拿到题目有方法。
温故而知新
“三线合一”：在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线， 底
边的高线，三条线互相重合。 （前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）。
逆命题成立！
解决以下问题：
1.求线段最值； 2.证明线段垂直； 3.处理角于角之间的关系；
…………
命题点：
等腰三角形的“三线合一” 与三角形全等、线段垂直平 分线、平行线定理、勾股定 理等知识综合命题。
经典例题
——求线段最值
B
A P C
经典例题
——证明直线垂直
经典例题
——处理角与角之间的关系
经典例题
——处理角与角之间的关系
经典例题
——处理角与角之间的关系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
经典例题
——处理线段问题
经典例题
——处理线段问题
精品题演练
精品题演练
精品题演练
“三线合一”的性质在等腰三角形中的八种应用
∴∠ABE＝∠AFE＝90°，即EB⊥AB.
返回
应用
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利用“三线合一”证明角的倍分关系
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.
求证∠DBC＝
1 ∠BAC. 2
证明：过点A作AF⊥BC于点F.
∵AB＝AC，AF⊥BC，
1 ∠BAC. 2
∴∠CAF＝∠BAF＝
证明：如图，延长BA，CD交于点E.
∵BF平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD.
∵CD⊥BD，
∴∠BDC＝∠BDE＝90°.
又∵BD＝BD，
∴△BDC≌△BDE(ASA)．
∴CD＝ED，即CE＝2CD.
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC， ∴∠ABF＝∠DCF. 又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°， ∴△ABF≌△ACE(ASA)． ∴BF＝CE.∴BF＝2CD.
返回
应用
2
利用“三线合一”求线段长度
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝ DB，DE⊥AB于点E.若BC＝12，且
△BDC的周长为36，求AE的长．
解：∵△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝36，BC＝12，
∴BD＋DC＝24.
∵AD＝BD，
∴AD＋DC＝24，即AC＝24.
∵AB＝AC，∴AB＝24.
第13章 轴对称
双休作业(六)
2
“三线合一”的性质在等腰三角形中
的八种应用
1
2
3
4
5
6
7
8
应用
1
利用“三线合一”求角
1．如图，已知屋架的顶角∠BAC＝100°， 立柱AD垂直于横梁BC，斜梁AB＝AC.
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等腰三角形专题
基本知识总结：
1、基本概念：有两条边相等的三角形才是等腰三角形，所有的证明需证明至此（如：若知
道三角形的两个底角相当，则需要使用等角对等边，证明边相等才可）
2、性质：①等边对等角
②三线合一
3、判定：等角对等边
常见题型：
1、等腰三角形的构造型问题：
（1）①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角
（2）找点问题
例1：如图，有直线m,n ，m,n 之间的间距为2cm ，在n上取AB 3cm ，在m上取点p ，
使得PAB 为等腰三角形，则满足条件的点p 有几个？
m
n
A B
变式1：若取AB 2cm ，则点p 有几个？
变式2：如图，在Rt ABC 中，ABC 90 ，BAC 30 ，在直线BC或AC上取一点P ，使得PAB 为等腰三角形，则符合条件的点p 有几个？
2、三线合一的性质应用（知二即知三）
应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系
例1：已知：如图，在ABC 中，AB AC ，BD AD 于D ，求证：BAC 2 DBC .
例2：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，若 D 为BC的中点，过 D 作DM ⊥DN 分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN.
变式1：若DM⊥DN 分别和BA、AC延长线交于M、N。
问DM 和DN 有何数量关系。
变式2：如图，在ABC 中， A 90 ，AB AC ，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ，PF AC ，垂足分别为E、F ，求证：（1）DE DF ；（2）DE DF
应用二：证垂直平分
例3：已知，如图，AD 是ABC 的角平分线，DE、DF 分别是ABD 和ACD 的高。
求证：AD 垂直平分EF .
例4：已知四边形ABCD 中，ACB ADB 90 ，M、N 分别为AB、CD 的中点，求证：MN 垂直平分CD .
应用三：逆命题：知二即知等腰
①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质）
②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．
③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.
例5：如图，D、E 分别是AB、AC的中点，CD⊥AB 于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB.
例6：已知，在△ABC中，AD 平分∠BAC，CD⊥AD,D 为垂足，AB>AC。
求证：∠2=∠1+∠B
例7：已知，△ABC中，AD 是它的角平分线，且BD=CD，DE∥AC、DF∥AB 分别与AB、AC 相交于点E，F。
求证：DE=DF。