等腰三角形三线合一
等腰三角形的三线合一”定理应用
等腰三角形的三线合一”定理应用全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：等腰三角形是一种特殊的三角形，其中两条边长度相等。
在等腰三角形中，存在一个重要的定理，即“等腰三角形的三线合一”定理。
这个定理指出，在一个等腰三角形中，等腰线、中位线和高线三条线段会共点于一个点，这个点被称为三角形的垂心。
等腰三角形的三线合一定理在几何学中有着重要的应用。
通过这个定理，我们可以推导出很多三角形的性质，并且可以帮助我们解决一些几何问题。
下面我们将通过几个具体的例子来展示等腰三角形的三线合一定理的应用。
我们来看一个简单的例子。
设等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是边AC的中位线，E是边BC的中点，连接DE。
我们要证明线段BD 与CE相交于垂心H。
根据等腰三角形的性质，我们知道角B和角C是等的，所以三角形ABC是等腰的。
根据等腰三角形的三线合一定理，我们知道线段BD、CE和AH相交于一个点H，即三角形ABC的垂心。
接下来，我们可以利用这个性质来解决几何问题。
我们可以通过这个定理来证明等腰三角形的顶角相等，或者计算等腰三角形的面积等等。
第二篇示例：等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，其特点是具有对称性和稳定性，是几何学中常见的形状之一。
在等腰三角形中，有一定的定理和性质可以应用，在解决几何问题时起到重要作用。
本文将重点介绍等腰三角形的三线合一定理及其应用。
一、三线合一定理的概念在等腰三角形中，连接等腰三角形顶点与底边中点的直线被称为等腰三角形的三线合一。
三线合一定理指的是在等腰三角形中，三条线段的端点在同一直线上。
这是等腰三角形的一个重要性质，可以通过几何推理和证明加以验证。
假设在等腰三角形ABC中，AB=AC。
连接顶点A与底边BC的中点D，并将直线AD延长至E点。
因为AD是BC的中线，根据中线定理可知AD=DC。
又因为ABC 为等腰三角形，所以AB=AC，由此可得BD=DC。
考虑△ADE和△ACD，根据两边相等、夹角相等、以及对应边角对应相等的条件可以得出△ADE≌△ACD。
等腰三角形性质三线合一”专题
等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
这就是 著名的等腰三角形“三线台一”性质。
“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。
反之， 如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合， 那么这个三角形就是等腰三角形。
【例题讲解】例二：如图△ ABC 中，AB = AC, / A = 36°, BD 平分/ ABQ DE 丄 AB 于 E ,若 CD= 4，且△ BDC 周长为 24，求 AE 的长度。
变式练习1-2 已知，如图所示, 求证：AD 垂直平分EF 。
AD >△ ABC ，DE DF 分另U >△ ABDA ACD 的高。
求证：AD 垂直平分BG例三•等腰三角形顶角为 ，一腰上的高与底边所夹的角是 ，则 与 的关系式为图2分析：欲证/ ACE=/ B,由于AC=AB 因此只需构造一个与 Rt △ ACE 全等的三角形，即做底边 BC 上的高即可。
证明：作ADL BC 于D, •/ AB=AC1••• BD BC2 1又••• CE BC ,2• - BD=CE在 Rt △ ABD 和 Rt △ ACE 中，AB = AC, BD=CE• Rt △ ABD^ Rt △ ACE( HL )。
• / ACE 玄 B例五•已知：如图3,等边三角形 ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线一点，CE=CD DM L BC 于M,求证: M 是BE 的中点。
分析：如图1，AB=ACEAC 90° / C ，/BD 丄AC 于D,作底边BC 上的高 AE, E 为垂足，则可知/ EAC=/ EAB - 又/2 ，90° / C ，所以例四•已知：如图2, △ ABC 中，AB=AC CE!AE 于E , CE1— 。
21 BC , E 在厶 ABC 外,求证：/ ACE / B 。
冀教版-数学-八年级上册- 17.1等腰三角形 三线合一
（3）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D、E在 底边BC上，且AD=AE，你能说明BD与CE相等吗？ （你能用不同的方法来证明吗？试一试！）
A
BD
EC
内容：
1.前两个条件如何应用？ 2.题中有没有等腰三角形“三线合一”
的完整图形？
要求：
1.展示的同学负责讲解本组解决问题的方法 及回答讨论的问题.
2.展示时，其他同学认真倾听，可做纠正、 质疑或补充.
探究”性质的应
用
如图，在△ABC中，AC=BC，ACB 90 D是AC上一点，
交BD的延长线于点E，且 AE BD
AE 1 BD 2
求证：BD是∠ABC的角平分线.
F
C
B
作业
解 析 根据等腰三角形三线合一，确定 AD⊥BC.又因为EF⊥AB，然后根据角平分线上的 点到角的两边的距离相等可证明结论．
等腰三角形 “三线合一”性质及应用
等腰三角形“三线合一”
等腰三角形“三线合一”的性质
用符号语言表示为：
在△ABC中 （1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠ =1∠ ，2 = BＤ； CＤ
（2）∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ =1∠ ，2 ⊥ AD； BC
（3）∵AB=AC，∠1=∠2，
∴ A⊥D ，BC = BＤ。 CＤ
1.项目纸——巩固练习
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC.
2∵.一BG平张分期∠A末BC复，E习F⊥综AB合， 题
∴EF＝ED.
总结提升 等腰三角形“三线合一”是证明两条线段相等、两个角相
等以及两条直线互相垂直的重要依据．
谢谢大家！
A 12
B
D
利用等腰三角形的“三线合一”性质解题
证明 以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连结AE，则AE＝AB，即∠AEB＝∠ABC.
因为AD⊥BC，所以AD是BE的中线，即DE＝BD.
又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB3;∠C，所以∠CAE＝∠C，即CE＝AE＝AB，
故CD＝AB+BD.
分析 由于DE⊥AB，DF⊥AC，所以要证明DE＝DF，只要证明点D是∠BAC的平分线上的点，于是连结AD，而由AB＝AC，BD＝CD即可证明AD是∠BAC的平分线.
证明 连结AD.因为AB＝AC，BD＝CD，所以AD是等腰三角形底边BC上的中线，即AD又是顶角的平分线.
又因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE＝DF.
证明 延长线BA、CD交于点E.因为BF平分∠ABC，CD⊥BD，所以可得BC＝BE，DE＝DC，
又因为∠BAC＝90°，∠AFB＝∠DFC，所以可得∠ABF＝∠DCF，
又AB＝AC，∠BAF＝∠CAE，所以△ABF≌△ACE（SAS），即BF＝CE，
故BF＝2CD.
五、证明一个角是直角
例5如图5，△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：∠A＝90°.
利用等腰三角形的“三线合一”性质解题
我们知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，被称做为“三线合一”.等腰三角形的“三线合一”性质在几何解题中有着广泛地运用，现举例说明.
一、证明线段相等
例1如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF.
等腰三角形性质：三线合一”专题
等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。
“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。
反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。
【例题讲解】例1．如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。
求证：BE=CE。
变式练习1-1 如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。
求证：AD垂直平分BC。
变式练习1-2 已知，如图所示，AD是△ABC，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。
求证：AD垂直平分EF。
例二：如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，若CD ＝4，且△BDC 周长为24，求AE 的长度。
例三. 等腰三角形顶角为α，一腰上的高与底边所夹的角是β，则β与α的关系式为β=___________。
图1例四. 已知：如图2，△ABC 中，AB=AC ，CE ⊥AE 于E ，CE BC =12，E 在△ABC 外，求证：∠ACE=∠B 。
图2例五. 已知：如图3，等边三角形ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线一点，CE=CD ，DM ⊥BC 于M ，求证：M 是BE 的中点。
图3 AB CED8、、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC=21∠DAB ； ④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号 ．(把你认为正确结论的序号都填上)9、已知：如图2，△ABC 中，AB=AC ，CE ⊥AE 于E ，CE BC12，E 在△ABC 外，求证：∠ACE=∠B 。
(完整版)等腰三角形三线合一性质应用
等腰三角形专题基本知识总结：1、基本概念：有两条边相等的三角形才是等腰三角形，所有的证明需证明至此（如：若知道三角形的两个底角相当，则需要使用等角对等边，证明边相等才可）2、性质：①等边对等角②三线合一3、判定：等角对等边常见题型：1、等腰三角形的构造型问题：（1）①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角（2）找点问题例1：如图，有直线n m ,，n m ,之间的间距为cm 2，在n 上取cm AB 3=，在m 上取点p ，使得PAB ∆为等腰三角形，则满足条件的点p 有几个？mn • •A B变式1：若取cm AB 2=，则点p 有几个？变式2：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，︒=∠30BAC ，在直线上或AC BC 取一点P ，使得PAB ∆为等腰三角形，则符合条件的点p 有几个？2、三线合一的性质应用（知二即知三）应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系例1：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB =，AD BD ⊥于D ，求证：DBC BAC ∠=∠2.例2：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°，AB=AC ，若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：DM ＝DN.变式1：若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。
问DM 和DN 有何数量关系。
变式2：如图，在ABC ∆中，︒=∠90A ，AC AB =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作AB PE ⊥，AC PF ⊥，垂足分别为F E 、，求证：（1）DF DE =；（2）DF DE ⊥应用二：证垂直平分例3：已知，如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DF DE 、分别是ABD ∆和ACD ∆的高。
求证：AD 垂直平分EF .例4：已知四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ADB ACB ，N M 、分别为CD AB 、的中点，求证：MN 垂直平分CD .应用三：逆命题：知二即知等腰①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.例5：如图，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB.例6：已知，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
三线合一证明等腰三角形
三线合一证明等腰三角形
腰三角形是数学中一种常见的形状，它由三条不同的直线组成。
腰三角形的特征是它有两组平行的边，第三条边它们之间的距离是相等的。
比如一个等腰三角形，它的三条边都是相等的长度。
腰三角形有许多有趣的特性，一个特别重要的特性是关于它的角度和边长的推定。
例如，一个等腰三角形的内角和边长之间有一个确定的关系，那就是一个等腰三角形的内角总是相等的，因为它有两组平行的边，所以它的角度也相等，具体来说，三个内角的角度都是60°。
腰三角形的特性对于多种应用都非常有用。
比如，建筑物的构造通常会使用到等腰三角形，因为它可以创建出许多稳定的结构，从而使建筑物更稳定和结实。
另外，腰三角形也被用于科学和数学中，可以帮助求解许多未知数字，其中包括三边长度之积和其余两个内角之和，以及互相平分另一条边的几何。
定义等腰三角形并不复杂，其基本原理是，三条边都是相等的长度。
所以，当需要证明一个三角形是等腰三角形时，只需要证明三条边都是相等的长度就可以了。
具体来说，要做的是将三线看作一条，然后从一点开始量出三条边的长度，如果长度都一样，就说明是等腰三角形。
总之，腰三角形是非常常见的几何形状，它有着广泛的应用，也有简单易懂的特性，在证明等腰三角形时，可以将三条边看作一条，从一点开始量出三条边的长度，如果长度都一样，就说明是等腰三角形。
等腰三角形三线合一
等腰三角形三线合一
等腰三角形是一种特殊的三角形，其特点是有两条边长相等，这两条相等的边被称为腰，而第三条边则被称为底边。
在等腰三角形中，有一些几何性质非常有趣，其中最著名的就是“三线合一”定理。
等腰三角形三线合一定理：在等腰三角形中，底边上的高（垂直平分线）、底边上的中线以及顶角平分线是重合的。
定理的证明：
1. 设A、B、C是等腰三角形的三个顶点，其中AB=AC，BC是底边。
2. 设D是BC的中点，那么BD=DC（因为D是中点）。
3. 从A点作垂线至BC，垂足为E，那么AE就是底边上的高。
4. 由于AB=AC，根据等腰三角形的性质，AE同时平分了∠BAC，即AE 也是顶角BAC的平分线。
5. 根据三角形的中位线定理，DE是三角形ABC的中位线，所以DE平行于AB，且DE=1/2AB。
6. 由于DE平行于AB，且DE=1/2AB，根据相似三角形的性质，三角形AED与三角形ABC相似。
7. 相似三角形的对应角相等，所以∠AED=∠BAC/2，即AE也是∠BAC 的平分线。
8. 由于AE是底边BC上的高，也是顶角的平分线，同时DE是底边的中线，因此三线合一定理成立。
定理的应用：
1. 在解决几何问题时，利用三线合一定理可以简化问题，快速找到解法。
2. 在证明其他几何性质时，三线合一定理可以作为一个重要的辅助定理。
3. 在实际测量中，如果已知等腰三角形的底边和高，可以利用三线合一定理来确定其他边长和角度。
通过上述证明和应用，我们可以看到等腰三角形的三线合一定理在几何学中的重要性。
它不仅帮助我们理解等腰三角形的内在联系，还为解决更复杂的几何问题提供了有力的工具。
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等腰三角形的性质教案设计
诸城市密州街道卢山中学钟宪梅
教案背景：
面向：初二学生
教学方法：
自主合作，交流探究
教材分析
等腰三角形的性质是三年制初二学生学习的内容，教材从动手实践中得出等腰三角形的两个底角相等以及等腰三角顶角的角平分线，底边的中线以及底边的高线三线合一，然后利用等腰三角形是轴对称图形进行了理论论证。
课时：1课时
课前准备：
学生自己用硬纸板做一个两边相等的等腰三角形，一个三边相等的等腰三角形（等边三角形）
等腰三角形的性质教学设计
教学目标
1、掌握等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一的性质，并能运用它们进行有关的论证和计算。
2、理解等腰三角形和等边三角形性质定理之间
的联系。
重点：等腰三角形的三线合一
难点：等腰三角形的三线合一的应用
一、课前预习
1、什么样的三角形叫做等腰三角形？
2、指出等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。
首先教师提问了解前置知识掌握情况。
二、构设悬念，创设情境
1、一般三角形有哪些性质？
2、等腰三角形除具有一般三角形的性质外，还有那些特殊性质？把问题作为教学的出发点，激发学生的学习兴趣。
三、目标导向，自然引入
本节课我们一起研究——等腰三角形的性质。
四、设问质疑，探究尝试
请同学们拿出准备好的等腰三角形，与教师一起按照要求，把两腰叠在一起。
[问题]通过观察，你发现了什么结论？
[结论]
1、
2、
3、三线合一
[填空]根据等腰三角形性质定理的推论，在△ABC中（符号语言）（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠＿=∠＿，＿=＿；
（2）∵AB=AC，AD是中线，
∴∠＿=∠＿，＿⊥＿；
（3）∵AB=AC，AD是角平分线，
∴＿⊥＿，＿=＿。
五、变式训练，巩固提高
达标练习一
A组：根据等腰三角的形性质定理
(1)等腰直角三角形的每一个锐角都等于多少度？
(2)若等腰三角形的顶角为40°，
则它的底角为多少度?
(3)若等腰三角形的一个底角为40°,则它的顶角为多少度?
B组：根据等腰三角形的性质定理
(1)若等腰三角形的一个内角为40°,则它的其余各角为多少度?
(2) 若等腰三角形的一个内角为120°,则它的其余各角为多少度?
(3)等边三角形的三个内角有什么关系?各等于多少度?
从而引出推论 2 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.
达标练习二
A组：等腰三角形斜边上的高把直角分成两个角，求这两个角的度数。
B组：已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100°。
求顶架上∠B、∠C、
∠BAD、∠CAD的度数。
六、小结
七、板书设计
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质1 等腰三角的性质2 典例点拨图形语言图形语言
文字语言文字语言
符号语言符号语言
八、教后反思
通过本节课的学习，可以看出学生对学习等腰三角形的性质兴趣比较浓厚，课堂气氛非常活跃，但是学生对数学三种语言的相互转化仍然感到有一定的难度，今后在教学中加强这方面的联系。