可积数值算法的若干研究 - LSEC Index Home Page
两类多项式微分系统的可积性问题
两类多项式微分系统的可积性问题作者：桑波来源：《上海师范大学学报·自然科学版》2013年第05期摘要：利用伪除法给出了一类复多项式微分系统奇点量的计算方法，得到了两类复多项式微分系统可积的充要条件，并通过构造积分因子或形式首次积分验证了所得条件的正确性.关键词：多项式微分系统；可积性；积分因子；奇点量中图分类号：O 175.12 文献标识码：A 文章编号：10005137（2013）050458070 引言在常微分方程定性理论中，焦点量与鞍点量是两类重要的奇点判定量.形式幂级数法作为计算这两类判定量的理论方法，在实际应用中效率普遍不高.刘一戎、陈海波[1]基于奇点量与焦点量、鞍点量的代数等价关系，给出了奇点量的线性递推公式，从而避免了复杂的非线性代数方程组的求解.王东明[2]在形式幂级数法的基础上，通过反复使用伪除法有效地提高了焦点量的计算效率.参考文献：[1] CHEN H B，LIU Y R.Linear recursion formulas of quantities of singular point and applications[J].Applied Mathematics and Computation，2004，148（1）：163-171.[2] WANG D M.Mechanical manipulation for a class of differential systems[J].Journal of symbolic computations，1991，12（2）：233-254.[3] 刘一戎.一类三次系统的奇点量公式和可积性条件，M（3）≥7[J].科学通报，1989，34（17）：1299-1301.[4] ROMANOVSKII V G，SHCHEGLOVA N L.The integrability conditions for two cubic vector fields[J].Differential Equations，2000，36（1）：108-112.[5] FERCˇEC B，CHEN X W，ROMANOVSKII V G.Integrability conditions for complex systems with homogeneous quintic nonlinearities[J].Journal of Applied Analysis and Computation，2011，1（1）：9-20.[6] FERCˇEC B，GIN J，LIU Y R，et al.Integrability conditions for lotkavolterra planar complex quartic systems having homogeneous nonlinearities[J].Computers & Mathematics with Applications，2011，61（4）：1190-1201.[7] 杨路，张景中，侯晓荣.非线性代数方程组与定理机器证明[M].上海：上海科技教育出版社，1996.[8] 刘木兰.Grbner基理论及其应用[M].北京：科学出版社，2000.[9] 桑波.两类三次微分系统的中心焦点问题[J].南京师范大学学报：自然科学版，2012，35（2）：16-21.[10] 刘一戎，李继彬.平面向量场的若干经典问题[M].北京：科学出版社，2010.[11] MATTEI J F，MOUSSU R.Holonomie et intégrates premières[J].Ann Sci Ecole Normale Superieure，1980，13（4），469-523.Abstract：This paper，using pseudodivision algorithm，introduces a method for computing singular point values of a class of complex polynomial differential systems，establishes the necessary and sufficient conditions for integrability of two classes of complex polynomial differential systems，and verifies all these conditions by constructing integrating factors or formal first integrals.Key words：polynomial differential systems； integrability； integrating factor； singular point quantities（责任编辑：冯珍珍）。
实变函数论的什么研究各种积分的推广方法
实变函数论的什么研究各种积分的推广方法
实变函数论研究的一个重要方向是各种积分的推广方法。
其中包括广义积分、黎曼-斯蒂尔杰斯积分、黎曼-勒贝格积分、勒
贝格积分、史蒂尔杰斯积分等。
广义积分是对一些不满足黎曼可积条件的函数进行积分的一种推广方法。
广义积分是通过将函数分解为有界函数和不可积函数的和来定义的。
黎曼-斯蒂尔杰斯积分是在黎曼可积函数的基础上，进一步对
某些特殊性质的函数进行积分的一种推广方法。
黎曼-斯蒂尔
杰斯积分将函数分解为可积和非可积部分，通过对可积部分进行积分得到积分的值。
黎曼-勒贝格积分是对一类具有有界变差的函数进行积分的一
种推广方法。
在黎曼-勒贝格积分中，函数的积分被定义为柯
西序列的极限。
勒贝格积分是对一类具有测度的函数进行积分的一种推广方法。
勒贝格积分将函数看作是一个测度函数对另一个测度函数的积分，通过积分集合上的性质来定义积分的值。
史蒂尔杰斯积分是对一类具有振荡性质的函数进行积分的一种推广方法。
史蒂尔杰斯积分通过将函数分解为振荡和非振荡部分的和来定义积分的值。
通过研究这些积分的推广方法，实变函数论可以更好地描述和处理各种类型的函数，并且可以扩展积分的应用范围。
初等数论-绪论
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于 1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一 部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题 大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问 题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用 以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。
若2n 1是素数，则2n1(2n 1)是完全数
注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然 不知道有没有奇完全数。
四、我国古代数学的伟大成就
1、周髀算经 公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又
谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了 著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。
广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。
三 几个著名数论难题
初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗 留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞 懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ； 费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先 发现的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数 学家欧拉,正式提出了以下的猜想：
一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一 个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数 的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点， 至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2
许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的 律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多 年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 写下一个看起来很简单的定理。
牛顿-科特斯求积公式的代数精度研究(买买提克热木·亚森)信息08-5班2013.4.14
编号学士学位论文牛顿-柯特斯求积公式的代数精度研究学生姓名：买买提克热木·亚森学号：20080101025系部：数学系专业：信息与计算科学年级： 2008-5班指导教师：阿米娜·沙比尔完成日期： 2013年4月20日本文主要对求数值积分公式的代数精度进行探讨。
首先描述了数值积分的矩形法，梯形法，插值求积公式等求积方法的基本思路和代数精度概念，进行了余项估计。
然后重点讨论对牛顿—柯特斯求积公式当15n 的情形及其代数精度.最后用数值例题验证牛顿—柯特斯求积公式的代数精度的重要性。
关键词：数值积分；梯形公式；代数精度；牛顿-柯特斯公式；2目 录摘要 (1)引言 (2)1基本概念 (4)1.1代数精度的概念 (4)1.3 插值型的求积公式 (7)1.4 求积公式的余项 (8)1.5 求积公式的收敛性和稳定性 (9)2. 牛顿—柯特斯公式 (10)2.1 柯特斯系数与辛普森公式 (10)2．2偶阶求积公式的代数度 (18)2.3 辛普森公式的余项 (19)参考文献 (23)致谢 (24)2引言1问题的提出实际问题当中常常需要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系.依据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分()b af x dx I =⎰，只要找到被积函数)(x f 的原函数)(x F ，便有下列牛顿—莱布尼茨（Newton —Leibniz ）公式()()()ba f x dx Fb F a =-⎰但实际使用这种求积方法往往有困难，因为大量的被积函数，比如xx )sin()0(≠x ，2x e -等，其原函数不能用初等函数表达，故不能用上述公式计算，即使能求得原函数的积分有时计算也十分困难.例如对于被积函数611)(xx f +=，其原函数 c x x x x x x x x F ++-+++-+=1313ln 341)1arctan(61arctan 31)(22 计算)(),(b F a F 仍然很困难.另外，当)(x f 是有测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿—莱布尼茨公式也不能直接运用.因此很有必要研究计算方便，计算量少，精度高而且稳定的数值积分方法.2我的想法积分中值定理告诉我们，在积分区间[]b a ,内存在一点ξ，成立()()()b a f x dx b a f ζ=-⎰就是说，低为a b -而高为)(ζf 的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积I ，如图4.1 ，问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出)(ζf 的值，我们将)(ζf 称为区间[]b a ,上的平均高度。
计算数学-上海师范大学数理学院
天体物理专业（070401）培养方案（学术型硕士研究生）Astronomical Physics一、培养目标和要求1、努力学习马列主义、毛泽东思想和邓小平理论，坚持党的基本路线，热爱祖国，遵纪守法，品德良好，学风严谨，具有较强的事业心和献身精神，积极为社会主义现代化建设服务。
2、掌握坚实宽广的理论基础和系统深入的专门知识，具有独立从事科学研究工作的能力和社会管理方面的适应性，在科学和管理上能作出创造性的研究成果。
3、积极参加体育锻炼，身体健康。
4、专业学习要求：(1)掌握本学科和相关学科的基础理论知识，有较强的自学能力，能及时跟踪学科前沿发展动态。
(2)具有团队工作精神和项目综合组织能力，具有和谐的人际关系以及一定的公关能力。
(3)具有强烈的责任心和敬业精神。
(4)能广泛获取各类相关知识，对科技发展具有一定的敏感性。
(5)有扎实的英语基础，能流利地阅读专业文献，有较好的听说写译综合技能。
5、本专业的主要学习内容有：恒星结构与演化、星系天文学、星系动力学、实测天体物理学、恒星光谱处理、红外天文学、数值方法、数据处理、大样本巡天、广义相对论、计算机应用、专业英语等课程，此外还需参加教学实习、全国性乃至国际性学术交流会议、撰写毕业论文等实践环节。
硕士生毕业后可以继续深造攻读博士学位，或在高校和中学担任教学、科研工作，此外也可在相关企事业单位任职。
6、培养目标：根据国家中长期科学规划，结合国家大科学工程，培养进行天体物理学研究的专业人才，对有继续培养需要的成绩优秀生，可推荐至欧美等国际性科研机构攻读（或联合培养）博士。
二、学习年限三年（特殊情况下可以适当延长或缩短）三、研究方向与导师（一）研究方向1、银河系结构演化对银河系的整体观测特性进行物理描述，研究各主要成分和其整体的形成和演化;主要导师姓名：束成钢、罗智坚、陈建珍2、星系形成和演化结合数值模拟结果，用半解析方法研究宇宙中星系整体的形成和演化;利用大型天文观测设备及大样本数据观测资料，研究星系及星系团的各类性质。
柯西积分定理和留数定理的应用
柯西积分定理和留数定理的应用柯西积分定理和留数定理是数学中非常重要的概念，它们的应用领域非常广泛，如电动力学、量子力学等等。
在本文中，作者将探讨柯西积分定理和留数定理的应用，并介绍两种定理的定义、性质和推导过程。
一、柯西积分定理柯西积分定理是基于复数理论的一个定理，它描述了一个在某个有界区域内解析的复函数的积分在这个区域的任何路径上都相等。
这个定理在复变函数论中起着非常重要的作用，可以用来计算函数在一个复平面内的积分值，其一般形式如下：设f(z)是在闭合区域D内解析的复函数，而C是D内的一条简单封闭曲线，则有：∮Cf(z)dz=0其中∮C表示C上的积分，它表示为沿C逆时针方向运动时，复函数f(z)在路径上的点z的导数沿路径方向的积分。
柯西积分定理的证明可以用Green定理来完成，即将f(z)表示为实部u(x,y)和虚部v(x,y)的和，将C分为无限小的短线段连接起来，然后套用Green定理将曲线积分转化为面积积分，进而将面积积分转化为两个正交方向上的一阶导数的积分，最后通过偏导数的相等性得证。
柯西积分定理的应用非常广泛，例如它可以用于计算复定积分、判断曲线的正向和逆向等等。
一个经典的例子是计算沿着单位圆逆时针方向运动的积分：∮C(1+z^2)dz这个积分可以使用柯西积分定理来计算，因为f(z)=1+z^2在整个复平面都是解析的。
由柯西积分定理可知，在内部是没有奇点的，因此围绕整个圆形的积分是0。
二、留数定理留数定理是复变函数论中另一个非常重要的定理，它被用来计算复函数在奇点处的积分值。
留数定理也是在解析函数f(z)的基础上得出的，其一般形式如下：设f(z)是在含有奇点z0的开集合U内解析的，那么对于U内的任何简单闭曲线C，都有：∮Cf(z)dz=2πiRes(z0)其中Res(z0)表示f(z)在奇点z0处的留数，它是由f(z)在z0处的误差项决定的。
留数定理的证明可以通过柯西积分定理和对残积的定义进行推导。
数学中的可积性研究方法
数学中的可积性研究方法在数学领域中，可积性是一个重要的研究对象。
可积性指的是一个函数或者一个系统是否可以在某种程度上被积分。
在很多应用中，我们需要研究函数或者系统是否具有可积性，以便更好地处理问题。
在本文中，我们将探讨一些数学中的可积性研究方法。
一、解析方法解析方法是一个常见的研究可积性的方法。
这种方法的基本思想是使用解析技巧将问题转化为容易研究的形式。
我们可以使用拉普拉斯变换、傅里叶变换、希尔伯特变换等解析技巧，将函数或者系统转换为其复杂的频率域表示。
通过研究这种频率域表示的性质，我们可以更好地理解函数或者系统的可积性。
例如，我们可以将一个函数的拉普拉斯变换表示为复平面上的一个向量，这个向量的位置和方向可以告诉我们该函数的性质。
如果这个向量是有界的，那么函数就是可积的。
通过这种方法，我们可以研究很多复杂的函数，如狄利克雷级数、黎曼ζ函数等的可积性。
二、代数几何方法代数几何方法是另一个常用的研究可积性的方法。
这种方法的基本思想是使用代数结构来研究函数或者系统的可积性。
我们可以将函数或者系统表示为一个代数结构，如矢量空间、李代数等，然后通过研究这个代数结构的性质来判断其可积性。
例如，在流体力学中，我们可以将流体的速度场表示为一个矢量场，这个矢量场可以看作是一个矢量空间。
通过研究这个矢量空间的群论结构，我们可以推导出流体力学中的一些基本方程式，如欧拉方程、纳维-斯托克斯方程等。
三、动力学方法动力学方法是另一个重要的研究可积性的方法。
这种方法的基本思想是使用动力学理论来研究函数或者系统的可积性。
我们可以将函数或者系统看作是一个动力学系统，然后通过研究它的相空间结构、稳定性等来判断其可积性。
例如，在经典力学中，我们可以将一个力学系统的相空间表示为一个多维的流形。
通过研究这个流形的拓扑结构、哈密顿函数等，我们可以得到一系列的动力学结论，如可积性、混沌性等。
四、微分几何方法微分几何方法是另一个常用的研究可积性的方法。
可积系研究和组合计数方法
从上面的推导可以得出结论, 由递推式
算得的列 乃是KdV方程族的
无穷多个守恒密度. 而且其导数 给出KdV方程族
右边的表示式.
为了更好地了解Faulhaber多项式和KdV方程的关系,我们来推导 或 的一般 表达式. 换言之下面的任务就是求解下面的微分差分方程的明显表达式.
或在方程两边施以算子
KdV方程族守恒密度的一般表示式 上面我们推导出KdV方程实际上是KdV方程族中的一员。它们共有一组无穷多个守 恒密度。若将这组守恒密度规范化，将其最高阶导数项的系数取作1，则KdV 方程族可以写成
2000年Avramidi 和 Rainer:在文 A new explicit expression for the Korteweg-De Vries hierarchy, Math. Nachr. (219 (2000) 45{64), 中给出了一个G的一个很复杂 的所谓一般表达式
守恒密度G[u]的构造 Avramidi 和 Rainer还考察了微分多项式 G 的构造。他们提到G中次数最高而 阶数最低的项为
这里我们假设u(x,t)在x等于正负无穷时迅速递减至零。
KdV方程守恒量和Faulhaber多项式 上面的 成为守恒量是因为
使得
是所谓的守恒密度,也即存在 , 事实上我们有
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可积数值算法的若干研究
孙建青
摘要
如何设计高效、稳定的算法,是计算数学领域的一个核心问题.2006年,日本京都大学的Nakamura教授在自己的著作《Functionality of Integrable Systems》中首次提出了“可積分アルゴリズム”的概念,中文译为“可积数值算法”.这类算法不仅有良好的数值效果,还具备一些特殊的代数、几何性质,即所谓的“可积性”.可积数值算法的研究不仅促进了可积系统理论的发展,还为计算数学提供了新的思路和方法.
研究可积数值算法有两个基本问题,一是建立某些经典算法和可积系统的联系；二是从已有的可积系统出发构造新的数值算法.而利用可积系统设计数值算法,已成为计算数学领域的一个研究热点.本文主要介绍我们在这方面取得的新进展.
（1）给出了第二类Bogoyavlensky格方程的Lax表示,并研究了对应Lax矩阵的渐近行为.基于此,我们构造了用于计算一类带状矩阵特征值问题的数值算法,并且讨论了离散方程中参数的选取对算法收敛速度的影响.
（2）Boussinesq格方程是格的Gel’fand-Dikii方程族的第二个成员,可以用来设计收敛加速算法.本文中,我们给出了Boussinesq格方程对应的q-差分形式和confluent形式,并研究了它们的数值应用.
（3）我们导出了多步ε-算法的confluent形式,并通过研究它的行列式解,得到了一类新的continuous prediction算法.
（4）通过研究一类推广的Lotka-Volterra方程,我们得到了一种新的序列变换和收敛加速算法,并给出了相应的收敛性和稳定性分析结果.理论和数值结果都表明,新得到的算法对一类线性收敛序列和超线性收敛序列有效.
关键词：可积性,双线性方法,特征值,收敛加速算法,序列变换
1。