一元二次函数解法 辅导讲义
一元二次方程解法讲义
龙文教育学科教师辅导讲义说明：一些含有y x +、22y x +、xy 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便. 例3、关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，〔1〕求k 的取值范围；〔2〕是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？假设存在，求出k 的值；假设不存在，请说明理由。
例4、当k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程〔二次项系数为1〕时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。
你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例6、b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：假设0122=--a a ，0122=--b b ，那么ab b a +的值为 。
例7、βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .测试题目：一、选择题1．解方程：3x 2+27=0得〔 〕.(A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2．方程〔2-3x 〕+〔3x-2〕2=0的解是〔 〕.(A),x 2=-1 (B) ,(C)x 1=x 2= (D) ,x 2=13.方程(x-1)2=4的根是( ).(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-24.用配方法解方程:正确的选项是( ).(A) (B)(C),原方程无实数解 (D) 原方程无实数解用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的选项是( ). (A) a=1,b= (B)a=1,b=-,c=2(C)a=-1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b=,c=26．用公式法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕都不对二、填空7．方程9x2=25的根是___________...8.二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,那么t=________,另一个根是_________.9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,那么m的值为__________.10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个一样的解,那么a=________.三、用适当的方法解以下关于x和y的方程12．〔x+2〕〔x-2〕=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)214.3x2-4x-4=0. 15.x2+x-1=0.16.x2+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.18.2x2- 19.x2-bx-2b2=0.20.a2x2+2abx+b2-4=0(a≠0). 21．〔b-c〕x2-〔c-a〕x+〔a-b〕=0〔a≠c〕22．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.〔A〕因式分解法〔B〕配方法〔C〕公式法23．解方程：〔1〕〔2〕24．解关于x的方程：x2-2x+1-k〔x2-1〕=025．|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx〔x+1〕-5〔x+1〕〔x-1〕=x2。
第34讲一元二次不等式的解法精品PPT课件
有两个相异的
实根x1，x2 x1<x2
有两个相等实根 x1=x2
ax2+bx+c>0
的解集
{x|x>x2或x<x1}
{x|x≠
b 2a}
ax2+bx+c<0 的解集
{x|x1<x<x2}
没有实根 R
a<0如何画出上图相类似的结构图？
1定 .求义函 x域 y数 R 值 x2y 4域 x5 ， 9 的 定义 . 如为果+域 3值呢域？呢？改
学习数学先认识自己，再发现就是初中如何学习一元二次方
程、函数、不等式的自己，而这个自己是不好的，于是突破自 己，成为那个就是要达到像高中一样的学习一元二次方程、函 数、不等式的自己，自动化化做这个最好的自己。
课件下载后可自由编辑，使用上如有不理 解之处可根据本节内容进行提问
Thank you for coming and listening,you can ask questions according to this section and this courseware can be downloaded and edited freely
一、请同学们自学教材，教材给人什么感觉？ 答：其实不是教材编的不好，但给人感觉是乱。
二、因为文理相通： 你们在学习《》的时候，老师会告诉你一条线索就是 以贾宝玉、林黛玉的爱情为线索，以贾宝玉与薛宝钗的爱情为 线索。长篇小说是很长的，没有线索就会显的很乱。线索就是把许 多洒落在地下的珍珠，用一条线把它们串起来，形成一条美丽的珍 珠项链。那好，在《一元二次不等式及其解法》这一节中线索是什 么？
cx2 bxa0的解集.
2.设 aR,解 关 于 x的 不 等 式 x2ax40.
一元二次函数解法__辅导讲义
公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑
能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为 一般形式再选取合理的方法。
6
x1Βιβλιοθήκη 2, x21. 3
（3）用公式法解:
49 . 36
解:移项,得 3x2 5x 2 0（ 这里 a=3,b=-5,c=-2）
b2 4ac 52 4 3 (2) =49
x (5) 49 5 7
23
6
2
本先教育教案
x1
2, x2
1. 3
总结： 1、解一元二次方程的方法：
例题：x 2 -6x=-8
1
本先教育教案
练习：(1)3x 2 +6x-4=0
(2)2x 2 -5x+2=0
④公式法： 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2 +bx+c=0(a≠0).
2.b 2 -4ac≥0. 例题：X2+2x-3=0
练习： -2m2+4=-3m
31
a2-a- =0
24
8y2-2y-15=0
△ 用三种方法解方程： 3x2 5x 2
（1）用因式分解法解:
解:移项,得 3x2-5x-2=0 （ 使方程右边为零）
方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成 A`B=0 的形式）
即 x-2=0 或 3x+1=0（A=0 或 B=0）
一元二次不等式的解法公开课课件
利用一元二次函数图象解一 元二次不等式
其方法步骤是:
先求出Δ和相应方程的解， 再画出函数图象，根据图象 写出不等式的解。
若a<0时,先变形!
课后： （1） 作业 P21.习题1.5 1、3、5； （2） 归纳一元一次不等式的解集； （3） 预习 P20.~P21。
预习提纲 (1) 一元二次不等式能否可化为不等式组来解?
2x2－3x－2 < 0
1 x2 2
-2
3
利用一元二次函数图象解一 元二次不等式
其方法步骤是:
先求出Δ和相应方程的解， 再画出函数图象，根据图象 写出不等式的解。
若a<0时,先变形!
例2.解不等式 －3x2＋6x > 2
略解: －3x2＋6x > 2
3x2－6x＋2 < 0
x |1
3 x 1 3
Δ>0 Δ=0 Δ<0
请同学们完成下表:
方程或不等式 （a>0）
Δ>0
解
集
Δ=0
｛x|x=x1 或 ax2＋bx＋c=0、
x=x2｝
｛－b ｝
2a
ax2＋bx＋c >0
Δ<0 ф
ax2＋bx＋c <0
一元二次方程、不等式的解集
方程或不等式 （a>0）
Δ>0
解
集
Δ=0
ax2＋bx＋c=0、 ｛x|x=x1 或 x=x2｝
新课 一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系
1、作一元一次函数y=2x-7的图象。它的对应值表 与图像如下：
x 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y -3 -2 -1 0 1 2 3
4.1一元二次函数4.2一元二次不等式及其解法课件(北师大版)
{x|x≠- }
R
[例1] 解不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
2
解:(1)方程 2x -3x-2=0 的解是 x1=- ,x2=2.
2
画出一元二次函数 y=2x -3x-2 的图象[如图(1)],结合图象得不等式
2
2x -3x-2>0 的解集是{x|x<- ,或 x>2}.
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)当Δ>0时,讨论相应一元二次方程两根的大小.
简记为“一a,二判(Δ),三大小(两根)”.
最后对系数中的参数进行完全分类,即将(-∞,+∞)分成若干个区间,根
据相应一元二次函数在各个区间的值,写出一元二次不等式的解集.
备用例题
[例题] 已知函数f(x)=x2-4ax,x∈R,a∈R.
(1)若f(x)<b的解集为(1,3),求a,b的值;
与系数的关系可知 a,b,c 之间的关系.
2
①如果不等式 ax +bx+c>0 的解集为{x|d<x<e},则说明 a<0,x1=d,x2=e 分别为方程
2
ax +bx+c=0 的两根,即 d+e=- ,d·e= ;若解集为{x|x<d,或 x>e},则说明 a>0,
2
x1=d,x2=e 分别为方程 ax +bx+c=0 的两根,即 d+e=- ,d·e= .
拓展探索素养培优
含参数的一元二次不等式的解法
[典例] 解关于x的不等式x2-ax-2a2<0.
一元二次辅导讲义(全面)
杭州教育辅导讲义21xx的形式，然后利用根与系数的关系代入求值．要特别注意如下公式：（1）()2122122212xxxxxx-+=+；（2）21212111xxxxxx+=+；（3）()()212212214xxxxxx-+=-；（4）()()212132132313xxxxxxxx+-+=+；（5）()21221214xxxxxx-+=-；（6）()21221214xxxxxx-+±=-；（7）()2121221221xxxxxxxx++=+；（8）()21212212122xxxxxxxx+-+=+．五、实际应用：1、知识结构2、知识要点归纳由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈现在我们中学生面前的数学应用问题.从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”.（1）加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁.（2）加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是学生所能接受的.（3）加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际问题，有验证的意识就可以了.3解一元二次方程的数学应用题的一般步骤（1）找——找出题中的等量关系（2）设——设未知数（3）列——列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式（4）解——解出所列的方程（5）验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验（6）答——作答下结论4、中考改革趋势一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的气息，更宣于生活化，更贴近学生的实际.考点回放1考察一元二次方程概念1．下列方程不是整式方程的是（）年我省森林覆盖率为家庭轿车将达到多少辆（2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的倍，求该小区最多可建两种车位各多少个试写出所有可能的方案.11．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台12..(2009年潍坊)要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P 、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P 、Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的14，求P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽． （2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为1O 和2O ，且1O 到AB BC AD 、、的距离与2O 到CD BC AD 、、的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．24.已知m,n 是一元二次方程0719992=++x x 的两个根，求)82000)(61998(22++++n n m m 的值。
第二章 一元二次方程复习 讲义
龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：八年级 学科教师：汪老师 授课日期及时段课 题第二章 一元二次方程复习重点、难点、考点1、一元二次方程的基本概念2、一元二次方程的解法及应用学习目标1、理解一元二次方程的基本概念及其相应的应用2、一元二次方程的解法及其应用教学内容一、知识回顾:1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。
2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式 （警告： 用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（注意：方程要先化成一般形式.）3．一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。
知识点练习知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是 。
初三数学讲义——一元二次方程的解法
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5 方程 x 2 mx (n 1) 0 的两个根是 2 和－4，那么 m = 思维提升： 1、若两数和为 4，两数积为 3，则这两数分别为 .
，n=
.
2 2、已知方程 2 x 2 3x 4 0 的两根为 x1 ， x2 ，那么 x12 x2 =
. ， m 的值是 . .
（7） 4 x2 12x 1 0
2 （8） （x 1 ） 6( x 1) 2 45 0
3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式：
x
b b 2 4ac 2 (b 4ac 0) 2a
2 2
一元二次方程（m-1）x +2mx＋m＋3=0 有两个不相等的实数根，求 m 的最大整数值．
2
7/8
中国教育领军品牌
8/8
4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程 最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为 0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因 式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式
2 （ 7x 3 ） 16 0 （1） 25
教学内容 一、教材回归
一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式： ax2 bx c 0(a 0) ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数 x 的二 次多项式，等式右边是零，其中 ax2 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项 系数；c 叫做常数项。
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课题一元二次方程的解法
重点、难点熟练掌握一元二次方程的解法
教学内容
一元二次方程的解法：
①因式分解法：
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.
→因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
例题：用因式分解法解方程：3(x-3)=(x-3)2
练习：(2x+3)2=24x （2x-1）(3x+4)=x-4 1.2y-0.04=9y2 (2x-1)2+3(2x-1)=0
②开平方法：方程的左边是完全平方式，右边是非负数x2=a（a》0）
例题：3x2－27=0;
练习：(x＋1)2=4 (2x－3)2=7 x2＋2x-3=0
③配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.变形:把二次项系数化为1
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
例题：x2-6x=-8
练习：(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0
④公式法：
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0).
2.b 2-4ac ≥0.
例题：X 2+2x-3=0
练习： -2m 2+4=-3m
23a 2-a-4
1=0 8y 2-2y-15=0
△ 用三种方法解方程：2532=-x x （1）用因式分解法解:
解:移项,得 3x2-5x-2=0 （ 使方程右边为零）
方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成A`B=0的形式）
即 x-2=0或3x+1=0（A=0或B=0）
31
,221-==∴x x
（2）用配方法解:
解：两边同时除以3，得: 32352=-x x 左右两边同时加上 2
)65( ，得:
.3625323625352+=+-x x 即 .3649652=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x 开平方，得:.36496
5±=-x .31,221-==∴x x
（3）用公式法解:
解:移项,得02532=--x x （ 这里a=3,b=-5,c=-2）
())2(34542
2-⨯⨯--=-∴ac b =49 6753249)5(±=⨯±--=∴x
()
.04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-=
.31,221-==∴x x
总结：
1、解一元二次方程的方法：
①因式分解法 （方程一边是0，另一边整式容易因式分解）
②开平方法 （ (x+m)2=a a ≥0 ）
③公式法 (化方程为一般式）
④配方法 （二次项系数为1，而一次项系数为偶数）
ax 2+c=0 ---- 直接开平方法
ax 2+bx=0 ---- 因式分解法
ax 2+bx+c=0 ----- 因式分解法
公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。
课后练习：
1．填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x 2+2x+________=（x+__ ）2； （2）x 2-6x+_____=（x-___）2；
（3）t 2-10t+________=（t-___）2； （4）y 2+____y+121=（y+___）2．
2．方程（x+1）2=9的解是_________．
3．在横线上填上适当的数或式，使下列等式成立：
（1）x 2+px+_____=（x+__）2； （2）x 2+b a
x+_____=（x+___）2． 4．解方程：
（1）x 2=121； （2）（x -3）2=16．
5．解下列方程：
（1）x 2-2x=1； （2）x 2+24=10x ；
（3）x （x+2）=323； （4）x 2+6x-91=0．。