离散数学简答题
华理离散数学试题及答案
华理离散数学试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 在离散数学中，以下哪个概念是用来描述两个集合之间元素的对应关系的？A. 函数B. 映射C. 序列D. 集合答案：A2. 命题逻辑中，以下哪个符号表示逻辑“与”？A. ∧B. ∨C. →D. ¬答案：A3. 集合{1, 2, 3}和{3, 4, 5}的交集是什么？A. {1, 2}B. {3, 4}C. {3}D. {1, 2, 3, 4, 5}答案：C4. 以下哪个图是无向图？A. 有向图B. 无向图C. 完全图D. 部分图答案：B5. 在图论中，一个图的度是指什么？A. 顶点的数量B. 边的数量C. 顶点的度数D. 图的连通性答案：C二、填空题（每题2分，共10分）1. 在集合论中，空集用符号____表示。
答案：∅2. 如果A和B是两个集合，那么A和B的并集用符号____表示。
答案：A∪B3. 逻辑运算中的否定运算符用符号____表示。
答案：¬4. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都可以通过路径相连，则称这个图为____图。
答案：连通5. 一个有n个顶点的完全图，其边的数量为____。
答案：\(\frac{n(n-1)}{2}\)三、简答题（每题5分，共20分）1. 请解释什么是二元关系，并给出一个例子。
答案：二元关系是集合A和集合B之间的一种对应关系，它由有序对(a, b)组成，其中a属于A，b属于B。
例如，如果A是人名集合，B是年龄集合，那么“小于”就是一个二元关系。
2. 什么是归纳推理？请给出一个简单的例子。
答案：归纳推理是一种从特殊到一般的推理方法，它通过观察一系列具体实例来推断出一个普遍的结论。
例如，观察到太阳每天从东方升起，我们归纳出“太阳每天都会从东方升起”。
3. 什么是图的生成树？请简述其特点。
答案：图的生成树是包含图中所有顶点的子图，并且是一个树。
它的特点是没有环，并且任意两个顶点之间有且仅有一条路径。
离散数学简答题
简答题1．用真值表法判断下列公式的类型.（1）⌝（P∧Q）↔（⌝P∧⌝Q）（2）（P∧⌝Q）→R（3）（P→（P∨Q））∨R（4）⌝（P→Q）∧Q解：（1）⌝（P∧Q）↔（⌝P∧⌝Q）的真值表为：（2）（P∧⌝Q）→R的真值表为：（3）（P→（P∨Q））∨R的真值表为：（4）⌝（P →Q ）∧Q 的真值表为：2．用真值表的方法求（P ∨Q ）→（Q ↔R ）的主析取范式和主合取范式。
解：（P ∨Q ）→（Q ↔R ）的真值表（P ∨Q ）→（Q ↔R ）⇔ 0147m m m m ∨∨∨ 主合取范式为：（P ∨Q ）→（Q ↔R ）⇔2356M M M M ∧∧∧3．用等值演算法求（（P ∨Q ）→R ）→P 的主析取范式和主合取范式。
解：（（P ∨Q ）→R ）→P ⇔⌝（⌝（P ∨Q ）∨R ）∨P ⇔（（P ∨Q ）∧⌝R ）∨P⇔（P ∧⌝R ）∨（Q ∧⌝R ）∨P （析取范式） ⇔P ∨（Q ∧⌝R ）（析取范式）⇔（P ∧（Q ∨⌝Q ）∧（R ∨⌝R ））∨（（Q ∧⌝R ）∧（ P ∨⌝P ）） ⇔（P ∧Q ∧R ）∨（P ∧Q ∧⌝R ）∨（P ∧⌝Q ∧R ）∨（P ∧⌝Q ∧⌝R ） ∨（P ∧Q ∧⌝R ）∨（⌝P ∧Q ∧⌝R ）（六个极小项，其中重复了一个） ⇔（P ∧Q ∧R ）∨（P ∧Q ∧⌝R ）∨（P ∧⌝Q ∧R ）∨（P ∧⌝Q ∧⌝R ）∨（⌝P ∧Q ∧⌝R ） ⇔24567m m m m m ∨∨∨∨ （主析取范式） 由主合取范式与主析取范式的关系得：（（P ∨Q ）→R ）→P ⇔013M M M ∧∧ （主合取范式） 4．求下列公式的主析取和合取范式。
（1）(┐P → Q)∧(P → R) （2）(P → Q)∨(P∧R) （3） P ∧Q ∨R解：（1）(┐P → Q)∧(P → R)⇔(P∨Q)∧(┐P∨R) (合取范式) ⇔((P∨Q)∨(R∧┐R ))∧((┐P∨R)∨(Q ∧┐Q ))⇔((P∨Q∨R)∧(P∨Q∨┐R ))∧((┐P ∨Q∨R)∧(┐P ∨┐Q∨R)) ⇔(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨┐R)∧(┐P ∨Q∨R)∧(┐P ∨┐Q∨R) (主合取范式) ⇔0146M M M M ∧∧∧由主合取范式与主析取范式的关系得：(┐P → Q)∧(P → R)⇔2567m m m m ∨∨∨(主析取范式) （2）(P → Q)∨(P∧R)⇔（┐P∨Q）∨(P∧R ) ⇔(P∨┐P∨Q )∧(┐P∨Q ∨R) (合取范式)⇔(1∨Q )∧(┐P∨R∨Q )⇔┐P ∨Q∨R (主合取范式) ⇔4M由主合取范式与主析取范式的关系得： (P →Q)∨(P∧R)⇔0123567m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨ （3） P ∧Q ∨R ⇔(P ∨R)∧(Q∨R)⇔(P ∨(Q ∧┐Q)∨R)∧((P∧┐P)∨Q∨R )⇔(P ∨Q ∨R)∧(P∨┐Q ∨R)∧(P∨Q ∨R)∧(┐P ∨Q ∨R) ⇔(P ∨Q ∨R)∧(P∨┐Q ∨R)∧(┐P ∨Q ∨R) ⇔024M M M ∧∧ (合取范式) 由主合取范式与主析取范式的关系得：P ∧Q ∨R ⇔13567m m m m m ∨∨∨∨ (主析取范式)5.给定解释I如下：(1)D={2,3}；I(2)D中的特定元素a=2；I(3)D上的函数f(x)为f(2)=3,f(3)=2;I(4)D上的谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1;.IG(x,y)为G(2,2)= G(2,3)= G(3,2)=1, G(3,3)=0;L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)= L(3,2)= 0;在这个解释下，求下列各式的值：(1)∀x(F(x)∧G(x,a));(2) ∃x(F(f(x))∧G(x,f(x))) ；(3) ∀x∃yL(x,y);(4)∃y∀xL(x,y);(5)∀x∀y( L(x,y) →L(f(x),f(y)))解：(1) ∀x(F(x)∧G(x,a))⇔(F(2)∧G(2,2))∧(F(3)∧G(3,2))⇔(0∧1)∧(1∧1)⇔ 0(2)∃x(F(f(x))∧G(x,f(x)))⇔(F(f(2))∧G(2,f(2))) ∨ (F(f(3))∧G(3,f(3)))⇔ (F(3)∧G(2,3)) ∨ (F(3)∧G(3,3))⇔(1∧1) ∨(0∧1)⇔1(3)∀x∃yL(x,y)⇔∃yL(2,y)∧∃yL(3,y)⇔(L(2,2)∨L(2,3))∧(L(3,2)∨L(3,3))⇔1∧1⇔1(4)∃y∀xL(x,y)⇔∃y(L(2,y)∧L(3,y))⇔(L(2,2)∧L(3,2))∨ (L(2,3)∧L(3,3))⇔0 ∨ 0⇔0(5)∀x∀y( L(x,y) →L(f(x),f(y)))⇔∀y(L(2,y)→L(f(2),f(y)))∧∀y(L(3,y)→L(f(3),f(y)))⇔(L(2,2)→L(f(2),f(2)))∧(L(2,3)→L(f(2),f(3)))∧(L(3,2)→L(f(3),f(2)))∧(L(3,3)→L(f(3),f(3)))⇔(1→L(3,3))∧(0→L(3,2))∧(0→L(2,3))∧(1→L(2,2))⇔(1→1)∧(0→0)∧(0→0)(1→1)⇔06.给定解释I如下：D为实数集合R；(a)个体域I(b)D中的特定元素a=0；ID上的特定函数f(x,y)=x-y;(c)ID上的特定谓词F(x,y):x=y,G(x,y):x<y(d)I说明下列公式在I下的含义，并指出其真值。
离散数学考试题及详细参考答案
离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
b)我今天进城，除非下雨。
c)仅当你走，我将留下。
2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。
（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。
（每小题2分，共4分）a)（A B）－C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。
（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠ 且B≠ ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。
离散数学题库简答题
10 011 0101 0101 001 110 111 0100 001 111 011 000
附：最优二叉树求解过程如下：
简答题
8
7.2
3
用washall方法求图的可达矩阵，并判断图的连通性。
答:
1：A[2，1]=1， ； 2：A[4，2]=1，
简答题
8
4.4
3
用Warshall算法，对集合A={1，2，3，4，5}上二元关系R={<1,1>,<1,2>,<2,4>,<3,5>,<4,2>}求t（R）。
答:
1时， [1,1]=1, A =
2时，M[1,2]=M[4,2]=1
A=
3时，A的第三列全为0，故A不变
4时，M[1,4]=M[2,4]=M[4,4]=1
答:若 是自反的，则 也是自反的。因为
自反， ，从而 ，即 也是自反的。
若 是对称的，但 不一定是对称的。
如：A = {a , b , c}， ， ，则 是对称的，但 不是对称的。
简答题
8
4.3
4
如图给出的赋权图表示六个城市 及架起城市间直接通讯线路的预测造价。试给出一个设计方案使得各城市间能够通讯且总造价最小，并计算出最小总造价。
２)、画一个有一条欧拉回路，但没有一条汉密尔顿回路的图。
３)、画一个有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。
答:
简答题
8
6.4
3
求 的主合取范式。
答:
简答题
8
2.3
3
在下面关系中:
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题1. 关于图论的基本概念，以下哪个说法是正确的？A. 无向图中的边无方向性，有向图中的边有方向性。
B. 有向图中的边无方向性，无向图中的边有方向性。
C. 无向图和有向图都是由顶点和边组成的。
D. 无向图和有向图都只由边组成。
答案：A2. “若顶点集合为V，边集合为E，那么图G可以表示为G(V, E)”是关于图的哪个基本概念的描述？A. 图的顶点B. 图的边C. 图的邻接D. 图的表示方法答案：D3. 以下哪个命题是正确的？A. 若集合A和B互相包含，则A和B相等。
B. 若集合A和B相交为空集，则A和B相等。
C. 若集合A和B相等，则A和B互相包含。
D. 若集合A和B相等，则A和B相交为空集。
答案：C二、填空题1. 有一个集合A = {1, 2, 3, 4}，则集合A的幂集的元素个数为__________。
答案：162. 设A = {a, b, c}，B = {c, d, e}，则集合A和B的笛卡尔积为__________。
答案：{(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (c, c), (c, d), (c, e)}3. 若p为真命题，q、r为假命题，则合取范式(p ∨ q ∨ r)的值为__________。
答案：真三、计算题1. 计算集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {3, 4, 5, 6}的交集、并集和差集。
答案：交集：{3, 4}并集：{1, 2, 3, 4, 5, 6}差集：{1, 2}2. 计算下列命题的真值：(~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)，其中p为真命题，q为假命题。
答案：真四、证明题证明：对于任意集合A和B，如果A和B互相包含，则A和B相等。
证明过程：假设A和B互相包含，即A包含于B且B包含于A。
设x为集合A中的任意元素，则x也必然存在于集合B中，即x属于B。
同理，对于集合B中的任意元素y，y也属于集合A。
离散数学样题
离散数学样题⼀、简答题（本⼤题共10⼩题，每⼩题3分，共30分）1．求下列公式的真值表：r q p ) (?→?∧2．含有n 个命题变元且互不等值的命题公式共有多少个。
3．将下列命题符号化：晚上我或者在家看电视，或者去图书馆看书。
4．在谓词逻辑中将下列命题符号化：有的兔⼦⽐所有的乌龟跑得快。
5. 给定解释I ，说明公式))),,(()),,(((x a y g P y a x f P y x →??在I 下的含义，并讨论真值。
解释I ： (a) 个体域N D =(N 为⾃然数集合)(b) D 中特定元素2=a(c) D 上特定函数y x y x f +=),(，xy y x g =),((d) D 上谓词y x y x P =:),(6. 设},{b a A =，试写出A A P ?)(的所有元素。
7．集合x x S {30=为30的正因⼦}关于整除关系做成偏序集，试画出该偏序集的Hasse 图。
8．设}20,15,12,10,9,8,7,6,5,4,3,2{=A ，R 为A 上的整除关系，试写出该偏序集的极⼤元和极⼩元。
9．画出所有具有五个点三条边的互不同构的简单图。
10．设有⼀棵树，它有⼆个点度为2，⼀个点度为3，三个点度为4，其余为1度点，则它共有⼏个点？⼆、计算题（本⼤题共4⼩题，每⼩题7分，共28分）1．求下列公式的主析取范式：)() (r q q p →∧?→2．某公司在六个城市621,,,C C C 中的每⼀个城市都设有分公司。
从i C 到j C 的班机旅费由下列矩阵中的第i ⾏第j列元素给出（∞表⽰没有直接班机）： ∞∞∞∞∞∞05525251055010202525100102040 2010015252015050102540500 公司所关⼼的是计算任意两城市之间的最便宜路线。
试求解之（只求出1C 到其余各城市的最便宜路线即可。
）3．给出定义在集合}3,2,1{=A 上的所有的等价关系。
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是离散数学的研究对象？A. 图论B. 组合数学C. 微积分D. 逻辑学答案：C2. 在逻辑学中，下列哪个命题是真命题？A. 如果今天是周一，那么明天是周二。
B. 如果今天是周一，那么明天是周三。
C. 如果今天是周一，那么明天是周四。
D. 如果今天是周一，那么明天是周五。
答案：A3. 在集合论中，下列哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 在图论中，下列哪个术语描述的是图中的顶点集合？A. 边B. 路径C. 子图D. 顶点答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个集合A包含5个元素，那么它的子集个数是______。
答案：322. 在逻辑学中，如果命题P和命题Q都是真命题，那么复合命题“P且Q”的真值是______。
答案：真3. 在图论中，如果一个图的顶点数为n，那么它的最大边数是______。
答案：n(n-1)/24. 如果一个二叉树的深度为3，那么它最多包含______个节点。
答案：7三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的连通性，并给出一个例子。
答案：图的连通性是指在图中任意两个顶点之间都存在一条路径。
例如，在一个完全图K3中，任意两个顶点之间都可以通过一条边直接连接，因此它是连通的。
2. 解释什么是逻辑蕴含，并给出一个例子。
答案：逻辑蕴含是指如果一个命题P为真，则另一个命题Q也必须为真。
例如，命题P：“如果今天是周一”，命题Q：“明天是周二”。
如果今天是周一，那么根据逻辑蕴含，明天必须是周二。
3. 请描述什么是二叉搜索树，并给出它的一个性质。
答案：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左子树只包含小于当前节点的数，右子树只包含大于当前节点的数。
它的一个性质是中序遍历可以得到一个有序序列。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4, 5}，请计算它的幂集，并列出所有元素。
离散数学试题总汇及答案
离散数学试题总汇及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合{1,2,3}和{3,4,5}的笛卡尔积中，元素(2,4)是否存在？A. 存在B. 不存在C. 无法确定D. 以上都不对2. 函数f: A→B是单射的，当且仅当对于任意的a1, a2∈A，若f(a1)=f(a2)，则a1=a2。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对3. 以下哪个命题是真命题？A. 所有的狗都会游泳。
B. 有些狗不会游泳。
C. 所有的狗都不会游泳。
D. 以上都不是真命题。
4. 如果p蕴含q为假，那么p和q的真值可以是？A. p为真，q为假B. p为假，q为真C. p为真，q为真D. p为假，q为假5. 以下哪个图是连通图？A. 一个孤立点B. 两个不相连的点C. 一个包含三个点且每对点都相连的图D. 以上都不是连通图6. 在有向图中，如果存在从顶点u到顶点v的路径，那么称v是u的后继顶点。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对7. 以下哪个等价关系是集合{1,2,3}上的？A. {(1,1), (2,2), (3,3)}B. {(1,2), (2,1), (2,2), (3,3)}C. {(1,1), (2,3), (3,2), (3,3)}D. {(1,1), (2,2), (3,3), (1,3)}8. 以下哪个命题是假命题？A. 所有的鸟都有羽毛。
B. 有些鸟不会飞。
C. 所有的哺乳动物都是温血动物。
D. 以上都不是假命题。
9. 在图论中，一个图的生成树是包含图中所有顶点的最小连通子图。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对10. 如果命题p和q互为逆否命题，那么它们具有相同的真值。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1,2,3}和{3,4,5}的并集是________。
2. 函数f: A→B是满射的，当且仅当对于任意的b∈B，存在a∈A，使得f(a)=________。
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简答题1．用真值表法判断下列公式的类型.（1）（P Q）（P Q）（2）（P∧Q）R（3）（P（P Q））R（4）（P Q）Q解：（1）（P∧Q）（P∧Q）的真值表为：P Q R （P Q）P∧Q （P Q）（P Q）0 0 0 1 1 10 0 1 1 1 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 0 01 1 0 0 0 11 1 1 0 0 1由真值表得，此公式（1）为可满足式。
（2）（P Q）R的真值表为：P Q R Q P Q （P Q）R0 0 0 1 0 10 0 1 1 0 10 1 0 0 0 10 1 1 0 0 11 0 0 1 1 01 0 1 1 1 11 1 0 0 0 11 1 1 0 0 1（3）（P（P Q））R的真值表为：P Q R P Q P（P∨Q）（P（P Q））R0 0 0 0 1 10 0 1 0 1 10 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 111由真值表得，此公式（3）为永真式。
（4）（P Q ）Q 的真值表为： P Q PQ （P Q ）（PQ ）Q0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 10 0由真值表得，此公式（4）为永假式。
2．用真值表的方法求（P Q ）（Q R ）的主析取范式和主合取范式。
解：（P Q ）（Q R ）的真值表P Q R P QQ R （PQ ）（Q R ）0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 11（P Q ）（Q R ） 0147m m m m ∨∨∨主合取范式为：（P Q ）（QR ）2356M M M M ∧∧∧3．用等值演算法求（（P Q ）R ）P 的主析取范式和主合取范式。
解：（（PQ ）R ）P （（P Q ）R ）P （（PQ ）R ）P（P R ）（Q R ）P （析取范式） P （Q R ）（析取范式）（P （Q Q ）（R R ））（（Q R ）（ P P ）） （P Q R ）（P Q R ）（PQR ）（P Q R ） （P Q R ）（PQ R ）（六个极小项，其中重复了一个） （PQR ）（PQR ）（PQ R ）（PQR ）（P QR ）24567m m m m m ∨∨∨∨ （主析取范式）由主合取范式与主析取范式的关系得： （（PQ ）R ）P013M M M ∧∧ （主合取范式）4．求下列公式的主析取和合取范式。
（1）(┐P Q)∧(P R)（2）(PQ)∨(P∧R)（3） P ∧Q ∨R 解：（1）(┐PQ)∧(PR) (P∨Q)∧(┐P∨R) (合取范式) ((P∨Q)∨(R∧┐R ))∧((┐P∨R)∨(Q ∧┐Q ))((P∨Q∨R)∧(P∨Q∨┐R ))∧((┐P ∨Q∨R)∧(┐P ∨┐Q∨R)) (P∨Q∨R)∧(P∨Q∨┐R)∧(┐P ∨Q∨R)∧(┐P ∨┐Q∨R) (主合取范式)0146M M M M ∧∧∧由主合取范式与主析取范式的关系得： (┐P Q)∧(P R)2567m m m m ∨∨∨(主析取范式)（2）(P Q)∨(P∧R)（┐P∨Q）∨(P∧R ) (P∨┐P∨Q )∧(┐P∨Q ∨R) (合取范式)(1∨Q )∧(┐P∨R∨Q )┐P ∨Q∨R (主合取范式) 4M由主合取范式与主析取范式的关系得： (P Q)∨(P∧R)0123567m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨（3） P ∧Q ∨R (P ∨R)∧(Q∨R)(P ∨(Q ∧┐Q)∨R)∧((P∧┐P)∨Q∨R )(P ∨Q ∨R)∧(P∨┐Q ∨R)∧(P∨Q ∨R)∧(┐P ∨Q ∨R) (P ∨Q ∨R)∧(P∨┐Q ∨R)∧(┐P ∨Q ∨R)024M M M ∧∧ (合取范式)由主合取范式与主析取范式的关系得： P ∧Q ∨R13567m m m m m ∨∨∨∨ (主析取范式)5.给定解释I 如下： (1)I D ={2,3}；(2)I D 中的特定元素a=2；(3)I D 上的函数f(x)为f(2)=3,f(3)=2; (4)I D 上的谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1;.G (x,y)为G(2,2)= G(2,3)= G(3,2)=1, G(3,3)=0;L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)= L(3,2)= 0;在这个解释下，求下列各式的值：(1)x(F(x)∧G(x,a));(2) x(F(f(x))∧G(x,f(x))) ； (3) x yL(x,y); (4)y xL(x,y);(5)x y( L(x,y) →L(f(x),f(y)))解：(1) x(F(x)∧G(x,a))(F(2)∧G(2,2))∧(F(3)∧G(3,2)) (0∧1)∧(1∧1) 0(2)x(F(f(x))∧G(x,f(x)))(F(f(2))∧G(2,f(2))) ∨ (F(f(3))∧G(3,f(3))) (F(3)∧G(2,3)) ∨ (F(3)∧G(3,3)) (1∧1) ∨(0∧1) 1 (3)xyL(x,y)yL(2,y)∧yL(3,y)(L(2,2)∨L(2,3))∧(L(3,2)∨L(3,3))1∧1 1 (4)y xL(x,y)y(L(2,y)∧L(3,y))(L(2,2)∧L(3,2))∨ (L(2,3)∧L(3,3))0 ∨ 0(5)x y( L(x,y) →L(f(x),f(y)))y(L(2,y)→L(f(2),f(y)))∧y(L(3,y)→L(f(3),f(y))) (L(2,2)→L(f(2),f(2)))∧(L(2,3)→L(f(2),f(3)))∧(L(3,2)→L(f(3),f(2)))∧(L(3,3)→L(f(3),f(3)))(1→L(3,3))∧(0→L(3,2))∧(0→L(2,3))∧(1→L(2,2)) (1→1)∧(0→0)∧(0→0)(1→1)6.给定解释I如下：(a)个体域D为实数集合R；ID中的特定元素a=0；(b)ID上的特定函数f(x,y)=x-y;(c)I(d)D上的特定谓词F(x,y):x=y,G(x,y):x<yI说明下列公式在I下的含义，并指出其真值。
(1)x y(G(x,y) →┐F(x,y))(2) x y(F(f(x,y),a) →G(x,y))(3) x y(G(x,y) →┐F(f(x,y),a) )(4) x y(G(f(x,y),a) → F(x,y) )解：(1) x y(G(x,y) →┐F(x,y))含义：任意两个实数x,y，若x<y，则就不会有x=y.真值为1。
(2) x y(F(f(x,y),a) →G(x,y))含义：任意两个实数x,y，若x-y=0，则x<y。
真值不确定。
(3) x y(G(x,y) →┐F(f(x,y),a) )含义：任意两个实数x,y，若x<y，则就不会有x-y=0。
真值为1。
(4) x y(G(f(x,y),a) → F(x,y) )含义：任意两个实数x,y，若x-y<0，则x=y。
真值不确定.7.设个体域为D={a,b,c},将下列各公式的量词去掉。
(1) x(F(x)→G(x))(2) x(F(x)∨yG(y))(3) x yF(x,y)(4) x(F(x,y) → yG(y))解: (1)x(F(x)→G(x))(F(a)→G(a))∧(F(b)→G(b))∧(F(c)→G(c))(2)xF(x)∨yG(y)(F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∨ G(b)∨ G(c))(3)x yF(x,y)x( F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c))(F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c))∨(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c))∨(F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c))(4) x(F(x,y) → yG(y))xF(x,y) → yG(y)F(a,y)∨F(b,y)∨F(c,y)→G(a)∨G(b)∨G(c)8.求公式下列公式的前束范式。
(1)"xF(x,y) →$yG(x,y)(2) xF(x)∧xG(x)(3) xF(x) → yG(x,y)(4) x(F(x,y) → y G(x,y,z) )(5) (xF(x,y) →yG(y)) → xH(x,y,z)(6) xF(x,y) →(F(x) →┐yH(x,y))解：(1) "xF(x,y) →$yG(x,y)Û"xF(x, t) → $yG(s,y)Û $x(F(x, t) → $yG(s,y))Û $x$y(F(x, t) →G(s,y))(2) xF(x)∧xG(x)xF(x)∧yG(y) (换名规则)x y(F(x)∧G(y)) (量词辖域扩张等值式)(3)xF(x) → yG(x,y)xF(x) → yG(z,y) (换名规则)x y(F(x) → G(z,y)) (量词辖域扩张等值式)(4)x(F(x,y) → y G(x,y,z))x(F(x,a) → y G(x,y,z)) (代替规则)x y(F(x,a) → G(x,y,z))(量词辖域扩张等值式)(5)(xF(x,y) →yG(y)) → xH(x,y,z) (xF(x,a) →y G(y))→ b H(b,a,z) (换名规则)x y(F(x,a) →G(y))→ b H(b,a,z) (量词辖域扩张等值式)x y b ((F(x,a) →G(y))→H(b,a,z)) (量词辖域扩张等值式)(6) xF(x,y) →(F(x) →┐yH(x,y))xF(x,y) →(F(a) →┐yH(a,y))xF(x,y)→(F(a) →y ┐H(a,y))xF(x,y)→y(F(a) →┐H(a,y))x y(F(x,y)→(F(a) →┐H(a,y))9．化简下式各式（1）．((A∪B∪C)-(B∪C))∪A（2）．(A∩B)-(C-(A∪B))（3）．（（AÈBÈC）Ç（AÈB））-（（AÈ（B-C））ÇA）解：（1）((A∪B∪C)-(B∪C))∪A=（（A∪（B∪C））∩(B∪C)）∪A=（A∩(B∪C)）∪（（B∪C）∩(B∪C)）∪A=（A∩(B∪C)）∪Φ∪A=A 吸收律（2）(A∩B)-(C-(A∪B))=(A∩B)-（C∩(A∪B)）=(A∩B)-（C∩（A∩B））=(A∩B)∩（C∩A∩B）=(A∩B)∩（C∪A∪B）=A∩B 吸收律（3）（（AÈBÈC）Ç（AÈB））-（（AÈ（B-C））ÇA）=（AÈB）-A （利用两次吸收律）=（AÈB）Ç A=（AÇA）È（BÇA）=ΦÈ（BÇA）=B- A10．设A={a, b, {a, b}}， B={a, b}，试求B－A，A⊕B解：B－A＝B－B∩A＝{a, b}－{a, b}∩{a, b, {a, b}}＝{a, b}－{a, b}＝ΦA⊕B＝A∪B－A∩B＝{a, b, {a, b}}∪{a, b}－{a, b, {a, b}}∩{a, b}＝{a, b, {a, b}}－{a, b}＝｛｛a, b｝｝11．对60个学生参加课外活动的情况进行调查。