数学概率
高等数学概率
高等数学概率
高等数学概率是高等数学中的一个重要内容，包括概率空间、随机变量、概率分布、期望和方差等概念和性质的研究。
概率是用来描述事件发生可能性的量，是统计学和数学中的重要工具。
高等数学概率的核心内容包括：
1. 概率空间：概率空间是由一个样本空间和一个事件的集合以及对应的概率测度组成的。
样本空间是所有可能发生的事件的集合，事件是样本空间的子集，概率测度是对事件发生的可能性进行量化的函数。
2. 随机变量：随机变量是将样本空间映射到实数集上的函数。
随机变量可以是离散的（取有限或可数个值）或连续的（取无穷个值），可以用于描述某个随机实验的结果。
3. 概率分布：概率分布描述了随机变量可能取得各个值的概率。
对于离散随机变量，可以用概率质量函数（PMF）或累积分
布函数（CDF）来描述；对于连续随机变量，可以用概率密度函数（PDF）或累积分布函数（CDF）来描述。
4. 期望和方差：期望是描述随机变量平均取值的量，是随机变量的一个重要特征；方差是描述随机变量取值离散程度的量，用来衡量随机变量与其期望值之间的差异。
高等数学概率在实际应用中广泛存在，例如在金融领域中的风险评估和投资组合优化、在工程领域中的可靠性分析和失效概率计算、在统计学中的样本调查和抽样理论等。
通过研究概率，可以更好地理解和解决与随机性相关的问题。
高三数学知识点归纳概率
高三数学知识点归纳概率概率是数学中一个非常重要的分支，它可以帮助我们理解事件发生的可能性。
在高三数学中，概率是一个必学的知识点。
本文将对高三数学概率知识点进行归纳总结，旨在帮助高三学生加深对概率的理解和掌握。
一、基础概念概率是指事件发生的可能性，用来表征事件的随机性。
它的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
常用的求概率的方法有频率法、几何法和古典概型法等。
二、事件的概率计算1.频率法频率法是通过实验的次数和结果的出现次数来计算概率的方法。
当实验的次数足够多时，事件发生的频率将逼近其概率。
2.几何法几何法是通过对样本空间的几何图形进行面积比较来计算概率。
对于连续型随机事件，可以使用几何法计算概率。
3.古典概型法古典概型法适用于样本空间元素个数有限且等可能的随机事件。
通过计算事件的有利结果个数与总结果个数之比来计算概率。
三、概率的性质与公式1.加法公式对于两个互斥事件A和B，其概率之和等于两个事件分别发生的概率之和。
2.乘法公式对于两个独立事件A和B，其同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率之积。
3.全概率公式全概率公式是在事件A的基础上，将样本空间划分为若干互斥事件，并计算这些事件的概率之和等于事件A的概率。
4.条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
通过条件概率，我们可以计算两个事件的相关性。
四、排列与组合排列与组合是概率中常见的计数方法。
排列是指从n个不同元素中选取m个元素按照一定顺序排列的方法数，计算公式为P(n,m)=n!/(n-m)!。
组合是指从n个不同元素中选取m个元素并不考虑顺序的方法数，计算公式为C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]。
五、常见的概率模型1.简单随机抽样简单随机抽样是指从总体中随机选择样本的抽样方法，其样本容量n较小时，可以近似认为是简单随机抽样，使用古典概型法计算概率。
2.二项分布二项分布是一种离散型概率分布，适用于只有两种可能结果的重复试验。
中考数学概率计算大全
中考数学概率计算大全
方法一：列举法
1.列表：适用于一步概率计算
例1一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为____．
2.画树状（形）图：适用于两步及以上概率计算
例2在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球（记作为第一次传球），则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是（）
方法二：频率估计概率
例3林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为____．
方法三：几何面积概型
例4如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的，若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率为____．
应用：游戏公平性问题
例5一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．
（1）用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果；
（2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由．。
数学中的概率论应用
数学中的概率论应用概率论是数学中的一个重要分支，研究的是随机现象发生的规律性。
概率论的应用广泛，涉及到生活、工作和科学等各个领域。
本文将介绍数学中概率论的几个常见应用。
1. 随机事件的概率计算概率论最基础的应用之一是计算随机事件的概率。
通过定义随机事件以及样本空间，可以利用基本概率原理计算出某个事件发生的可能性。
例如，抛硬币的结果中出现正面的概率是1/2，掷骰子得到一个奇数的概率是1/2。
2. 模拟和实验设计概率论在模拟和实验设计中有重要应用。
通过使用概率模型和随机数生成器，可以模拟各种随机事件，从而评估实验结果的可能性。
这对于科学实验、市场营销策略的设计以及天气预测等方面都非常有用。
3. 随机变量和概率分布在概率论中，随机变量是对随机事件结果的量化描述。
通过对随机变量进行概率分布的建模，可以计算出不同事件结果的概率，并推断出它们的性质。
常见的概率分布包括离散型分布（如二项分布和泊松分布）和连续型分布（如正态分布和指数分布）。
4. 统计与推断概率论在统计学领域的应用也是非常重要的。
通过概率模型和统计推断方法，可以从收集到的数据中推断出总体的性质和参数。
例如，通过抽样调查的数据，可以利用概率分布模型和假设检验方法来推断总体的均值和方差。
5. 随机过程与排队论概率论还涉及到随机过程和排队论的研究。
随机过程描述的是随机事件随时间的演变，例如在股票市场中的价格变动。
排队论则研究了各种排队系统中等待时间和服务时间的概率分布，如交通拥堵和电话呼叫中心等。
总结起来，概率论在数学中的应用非常广泛。
它不仅可以用于计算随机事件的概率，还可以模拟和预测各种随机现象。
同时，概率论也为统计学、实验设计和随机过程等领域提供了重要的分析工具。
掌握概率论的应用方法，有助于我们更好地理解和解决实际问题。
数学高考知识点概率总结
数学高考知识点概率总结概率是数学高考的重要知识点之一，它是研究随机事件发生可能性的数学分支。
掌握概率的相关知识，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以提高我们的思维能力。
本文将总结数学高考中常见的概率知识点，并对它们进行详细的解析。
一、基本概念概率是指某一随机事件在所有可能事件中发生的可能性。
通常用P(A)来表示事件A发生的概率，其中0≤P(A)≤1。
如果事件A 必然发生，那么P(A)=1；如果事件A不可能发生，那么P(A)=0。
二、加法公式和乘法公式加法公式和乘法公式是概率计算中的基本工具。
加法公式用于计算两个事件的并的概率，乘法公式用于计算两个事件的交的概率。
加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)乘法公式：P(A∩B)=P(A)×P(B|A)其中P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
三、排列和组合排列是指从n个不同元素中取出m个元素，且考虑元素顺序的情况。
排列的计算公式为：A(n,m)=n!/(n-m)!组合是指从n个不同元素中取出m个元素，且不考虑元素顺序的情况。
组合的计算公式为：C(n,m)=n!/[(n-m)!×m!]排列和组合在概率计算中经常用到，特别是在计算事件的样本空间大小时。
四、条件概率和独立事件条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)其中P(A|B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
独立事件是指两个事件相互独立，即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
对于两个独立事件A和B，有：P(A∩B)=P(A)×P(B)在实际问题中，判断事件是否独立往往需要根据题目条件进行推理。
五、贝叶斯定理贝叶斯定理是根据条件概率的概念，通过已知的后验概率来推测前验概率的一种方法。
贝叶斯定理的公式为：P(A|B)=P(B|A)×P(A)/P(B)其中P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
数学概率例题
数学概率例题
例题1：在一副扑克牌中，从中随机抽取一张牌，求抽到红心的概率。
解答：一副扑克牌中有52张牌，其中有13张红心牌。
因此，抽到红心的概率为13/52，即1/4。
例题2：一个骰子被投掷一次，求投掷出6点的概率。
解答：一个骰子一共有6个面，每个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6。
因此，投掷出6点的概率为1/6。
例题3：有一个装有5个红球和7个蓝球的盒子，从中随机抽取两个球，求抽出的两个球都是红球的概率。
解答：首先，抽取第一个球时，有5个红球和12个总球，所以第一个球是红球的概率为5/12；接着，抽取第二个球时，由于第一个球已经抽出，所以红球数量减少为4个，总球数量减少为11个，因此第二个球是红球的概率为4/11。
由于两次抽取是独立的事件，所以抽出的两个球都是红球的概率为(5/12) * (4/11) = 20/132 = 5/33。
数学概率计算公式
数学概率计算公式概率是数学中一个重要的概念，广泛应用于科学、工程和统计学等领域。
概率计算是通过使用一系列的公式和方法来确定事件发生的可能性。
下面将介绍一些常用的数学概率计算公式。
1.概率的基本概念：概率表示一个事件发生的可能性，通常用P(A)来表示事件A发生的概率。
概率的范围是从0到1，其中0表示事件绝对不会发生，1表示事件一定会发生。
2.事件的互斥和独立：如果事件A和事件B不能同时发生，即事件A发生时事件B一定不发生，这两个事件就是互斥事件。
例如，投掷一个硬币时，正面朝上和反面朝上这两个事件就是互斥事件。
如果事件A和事件B的发生不受对方的影响，就称为独立事件。
例如，从一副扑克牌中抽取一张红色牌和从同一副扑克牌中抽取一张黑色牌，这两个事件是独立事件。
3.事件的概率计算公式：概率可以通过事件发生的次数与总次数的比值来计算。
设事件A发生的次数为n(A)，事件A发生的总次数为n(S)，则事件A发生的概率P(A)的计算公式为：P(A)=n(A)/n(S)4.互斥事件的概率计算公式：如果两个事件A和B是互斥事件，即A和B不能同时发生，那么它们的概率之和等于它们各自的概率之和。
即P(A∪B)=P(A)+P(B)5.独立事件的概率计算公式：如果事件A和事件B是独立事件，那么它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
即P(A∩B)=P(A)×P(B)6.条件概率的计算公式：条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)7.全概率公式：全概率公式用于计算一个事件A的概率，将A分解成多个互斥事件的并，再计算每个事件发生的概率并求和，即可得到事件A的概率。
全概率公式的计算公式为：P(A)=P(A∩B₁)+P(A∩B₂)+...+P(A∩Bₙ)8.贝叶斯公式：贝叶斯公式用于在已知事件B发生的条件下，根据A的概率来计算事件A的概率。
贝叶斯公式的计算公式为：P(A，B)=(P(B，A)×P(A))/P(B)9.期望值：期望值是一个随机变量的平均值，表示该随机变量在大量实验中的平均表现。
高中数学概率公式大全
高中数学概率公式大全概率是数学中一个重要的概念，它可以用来衡量某件事情发生的可能性。
概率学的研究对于现代社会非常重要，因为它可以帮助我们分析和预测事物的发展方向，从而为我们提供决策和指导。
尤其是在经济、金融、保险等领域，概率学尤为重要。
在高中数学中，学习概率也是重要的一环，学生需要掌握多种概率计算公式，以便能够根据给定的条件来计算出概率。
在本文中，我们将综述常见的概率计算公式，以便高中学生能够更好地掌握概率相关知识。
一、概率的基本定义概率是客观概念，它是指某个事件发生的可能性，也可以说是某个事件发生的机会大小。
其计算公式如下：概率=假设情况下A事件发生的次数/总共事件发生的次数这里，A事件发生次数是指给定实验条件下，A事件在多次实验中发生的次数；总共事件发生次数则指多次实验中，出现的所有事件的次数总和。
二、独立重复试验中的概率独立重复试验是概率学中一个基本概念，它指的是每次实验中，每一种可能结果发生的概率都是一样的，且每一次实验都是独立的，不会相互影响。
其计算公式如下：独立重复试验概率=A发生概率*B发生概率*…*N发生概率这里，A、B、…、N分别表示多次实验中，出现的一系列事件，而每一个事件发生的概率分别用P(A)、P(B)，…，P(N)表示。
三、二项式定理的应用高中数学中的二项式定理是概率计算的重要公式，其计算公式如下：二项式定理=nCr*P^r*(1-P)^(n-r)这里，n表示实验次数，r是某个事件发生的次数，P是该事件发生的概率，nCr表示从n个中选择r个的组合数，即n!/[r!*(n-r)!]。
四、条件概率条件概率是概率学中一个重要概念，它是用来衡量在某个事件发生的情况下，另一个事件发生的可能性。
条件概率的计算公式如下：条件概率=P(B|A) = P(AB)/P(A)这里，P(B|A)表示在A事件发生的情况下，B事件发生的概率，P(AB)表示A与B事件同时发生的概率，P(A)表示A事件单独发生的概率。
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1 高三二轮复习专题研讨 排列、组合、二项式定理和概率
南京市中华中学 潘俊文 一 高考考纲要求
考点 要求 考点 要求 1 分步计数原理、分类计数原理 掌握 7 随机事件及其概率的意义 了解 2 排列、组合的意义 了解 8 等可能性事件的概率的意义 了解 3 排列数、组合数公式 掌握 9 互斥事件、独立事件的意义 了解 4 组合数的性质 掌握 10 互斥事件的概率加法公式 会用 5 二项式定理 掌握 11 独立事件的概率乘法公式 会用 6 二项展开式的性质 掌握 12 独立重复事件的概率公式 会用 二 高考考点分析 (一)05年各地高考题排列组合、二项式定理和概率归类分析 省份 题量结构 科目 排列组合 二项式定理 概率 分值 江苏 12＋6＋5 合 选择12 选9 解答20 22分
全国Ⅰ 12＋4＋6
理 选择12 填空14 解答20(期望) 21分
文 填空15 填空14 解答20 20分
全国Ⅱ 12＋4＋6
理 填空15 解答19 16分
文 填空15(同理) 选择8 解答18 21分
全国Ⅲ 12＋4＋6
理 选择3 填空15(期望)，解答17 21分
文 选择3(同理) 解答18(同理) 17分
北京 8＋6＋6
理 选择7 填空11 解答17(期望) 23分
文 选择8 填空10 解答18 23分
上海 12＋4＋6
理 填空12 填空4 填空8 12分
文 填空12(同理) 填空8(同理) 8分
天津 10＋6＋6
理 选择8 填空11 选择7 14分
文 填空11 选择3；填空16 13分
重庆 10＋6＋6
理 选择8 填空15，解答18(期望) 22分
文 选择8 填空15，解答18 22分 广东 10＋4＋6 合 填空13 选择8，解答18(期望) 22分 2
山东 12＋4＋6
理 选择5 选择9，解答18(期望) 22分
文 选择6(同理) 选择10(同理)，解答18 22分
浙江 10＋4＋6
理 填空14 选择5 解答19(期望) 23分
文 填空14 选择5 解答17 23分
福建 12＋4＋6
理 选择9 填空13 解答18(期望) 21分
文 选择10(同理) 填空13(同理) 解答18 21分
江西 12＋4＋6
理 选择4 选择12，解答19(期望) 22分
文 选择7 选择3(同理) 解答19 22分 辽宁 12＋4＋6 合 填空15 填空13 选择3，解答19(期望) 25分
湖北 12＋4＋6
理 填空14 选择12，解答19(期望) 21分
文 选择9 填空14 解答21 21分
湖南 10＋5＋6
理 选择9 填空12 解答18(期望) 23分
文 选择7 填空13(同理) 解答20 23分 从以上全国各省市文理卷共29份试卷统计可以看出， (1)绝大多数都考查了排列、组合内容，并以选择题和填空题形式出现，其中有2／3试卷直接考查排列组合，另1／3试卷则是通过求等可能事件的概率考查排列组合，达到一题考查两个知识点的目的． (2) 仅有全国Ⅱ理科卷和上海文科卷没有涉及二项式定理，其余27份试卷都以小题的形式考查了二项式定理，且大多数试题考查二项展开式通项公式的运用． (3) 05年第一次全国各省市全部都考查了概率这一内容，这意味着全国范围内都完成了从老教材到新教材的过渡．大部分试卷概率题以解答题形式出现，同时有近1／3的试卷有一大一小两题考查概率，其中有一题是运用排列组合求概率．但是，上海和天津文理共4份试卷概率仅以小题形式呈现． (二) 江苏近三年高考排列组合、二项式定理和概率试题分析 年份 题量结构 排列组合 二项式定理 概率 分值 2003年 12＋4＋6 填空15 填空13 解答17 21分 2004年 12＋4＋6 选择3 选择7 选择9 15分 2005年 12＋4＋6 选择12 选择9 解答20 22分 过去三年试题都全面考查了排列组合、二项式定理和概率内容，二项式定理每年都是容易小题；03、04年概率以解答题形式出现，属于常规题型，04年概率仅考一道小题，占分比例较小； 03、05年排列组合难度较大，得分率较低，解答这两个问题，要有较高的分析问题和解决 3
问题有能力． 1．(2003．15)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法 有 120 种。（以数字作答）
2．(2004．3)从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( D ) A．140种 B．120种 C．35种 D．34种 3．(2005．12）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为 ( B ) A．96 B．48 C．24 D．0 解析：相交两棱所代表的物品不同在一个仓库，设侧棱为1、2、3、4，底面上的边为5、6、7、8，画图分析可知，不可能有3种物资放在同一个仓库，故每个仓库放2种，且1、2、3、4必须各放一个仓库，因此先将编号为1、2、3、4的物品入仓，则有44A种放法，然后从有1的开始． A：若有1 的仓库放5，则有2的仓库放6且8只能在含4的仓中，那么7只能放在含3的仓中． B：若有1的仓库放8，同理可知也只有一种放法，故放法有2种．所以有244A＝2×24＝48（种）． 命题立意：本题考查排列问题及两个原理思想．
4．(2003．13)92)21(xx展开式中9x的系数是 221 ． 5．(2004．7) 4)2(xx的展开式中x3的系数是( C ) A．6 B．12 C．24 D．48
6．(2005．9)设5)2(,5,4,3,2,1xk则的展开式中kx的系数不可能是（ C ） A．10 B．40 C．50 D．80 解析：x1的系数为45C•24＝80，x2的系数为35C•23＝80，x3的系数为25C•22＝40，x4的系数为15C•21
＝10，x5的系数为05C•20＝1，所以系数不可能是50． 命题立意：本题主要考查二项式定理中指定项的系数． 7． ( 2004.9) 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是( D )
A．2165 B．21625 C．21631 D．21691 8． (2003．17) 有三种产品， 合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验． (Ⅰ) 求恰有一件不合格的概率； (Ⅱ) 求至少有两件不合格的概率．
（17）本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力。满分12 4
分 简解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C．
（Ⅰ） P（A）=0.90，P（B）= P（C）=0.95，P（A）=0.10，P（B）= P（C）=0.05。 因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为
P（A·B·C）+P（A·B·C）+P（A·B·C） = P（A）·P（B）·P（C）+ P（A）·P（B）·P（C）+ P（A）·P（B）·P（C） =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.90×0.95=0.176 答：恰有一件不合格的概率为0.176。 （Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为
P（A·B·C）+ P（A·B·C）+P（A·B·C）+P（A·B·C） =0.90×05.02+2×0.10×0.05×0.95+0.10×05.02=0.012 答：至少有两件不合格的概率为0.012。 解法二：三件产品都合格的概率为
P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）=0.90×05.02=0.812 由（1）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为 1-[ P（A·B·C）+0.176]=1-（0.812+0.176）=0.012 答：至少有两件不合格的概率为0.012。 9．（2005．20）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是4332和.假设两人射击是否击中目
标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响． (Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率； (Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； (Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率 是多少?
简解：（Ⅰ）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件A为“4次均击中目
标”，由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验，故426511381PAPA．
答：甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为8165． （Ⅱ）设“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2, “乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件
B2，则27832132)(242242CAP，642743143)(343342CBP．
由于甲、乙射击相互独立，故816427278)()()(2222BPAPBAP． 答：两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为81． （Ⅲ）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3,“乙第i次射击未击中”为事件Di（i＝1，2，3，4，5），则)(123453DDDDDA，且P(Di)41． 由于各事件相互独立，故
3543211131145()()()()()(1)444441024PAPDPDPDPDD．