高考中的数列问题第1课时

2021年新高考数学总复习第六章《数列》
高考专题突破三 高考中的数列问题
等差、等比数列与数列求和
题型一 等差数列、等比数列的交汇
例1 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．
解 (1)设{a n }的公比为q .
由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6. 解得q ＝－2，a 1＝－2.
故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .
(2)由(1)可得
S n ＝a 1(1－q n )1－q
＝－23＋(－1)n 2n ＋
13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23
＝2⎣⎡⎦⎤－23
＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．
思维升华 等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n 项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．
跟踪训练1 (2019·桂林模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 1＋1，S 3，S 4成等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若S 4，S 6，S n 成等比数列，求n 及此等比数列的公比．
解 (1)设数列{a n }的公差为d .
由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 2S 3＝S 1＋1＋S 4，a 22＝a 1a 5，
d ≠0，
整理得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2a 1，即⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. (2)由(1)知a n ＝2n －1，∴S n ＝n 2， ∴S 4＝16，S 6＝36，
又S 4S n ＝S 26，∴n 2＝36216
＝81， ∴n ＝9，公比q ＝S 6S 4＝94
. 题型二 数列的求和
命题点1 分组求和与并项求和
例2 (2018·吉大附中模拟)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2
，a 3＋a 4＝32⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4
. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)， 则a n ＝a 1q n －
1，且a n >0， 由已知得⎩⎨⎧ a 1＋a 1q ＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3
＝32⎝⎛⎭⎫1a 1q 2＋1a 1q 3，
化简得⎩⎪⎨⎪⎧ a 21q (q ＋1)＝2(q ＋1)，a 21q 5(q ＋1)＝32(q ＋1)，即⎩⎪⎨⎪⎧
a 21q ＝2，a 21q 5＝32， 又∵a 1>0，q >0，∴a 1＝1，q ＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －
1.
(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋log 2a n ＝4n －1＋n －1， ∴T n ＝(1＋4＋42＋…＋4n －
1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n －1) ＝4n －14－1
＋n (n －1)2＝4n －13＋n (n －1)2. 命题点2 错位相减法求和。