苏教版数学高一练习第十五周课时专题训练
苏教版高中数学必修一高一周练 1014
江苏省棠张中学高一数学周练1014一、填空题：1、函数]3,1[,24)(2-∈+-=x x x x f 的值域 . 2、已知)()2(,32)(x f x g x x f =++=，则)(x g = ． 3、设函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--1||,111||,2|1|2x xx x ，则f [f (21)]= . 4、已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，定义域为]2,1[a a -，则a =________．5、函数223y x mx =-+,当[)2,x ∈-+∞时是增函数，则m 的取值范围是 ．6、如图中的图象所表示的函数解析式为 ．7、设f(x)是定义在(－∞,＋∞)上的奇函数,且x>0时,f （x ）=x 2+1,则f(-2)=______________．8、若函数)(x f y =的图象恒过点)1,0(-，则函数)4(+=x f y 的图象恒过点 ．9、若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上为减函数，且(1)0f =，则0)(<x f 时x 的取值范围是___________．10、下列几个命题：其中正确的有 .①奇函数的图象一定经过原点，即f （0）=0；②函数2211y x x =-+-是偶函数，但不是奇函数；③函数()f x 的值域是[2,2]-，则函数(1)f x +的值域为[3,1]-；④已知函数()y f x =满足(1)(1)f f -=则此函数一定不是奇函数．11、已知函数21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，则实数a 的取值范围是 ． 12、若函数2()32f x x x =-+的定义域为],0[m ，值域为1[,2]4-，则实数m 的取值范围是 ． 13、已知2(31)4,1()211,1a x a x f x ax x x -+<⎧=⎨--≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 ． 14、若函数1)(2++=mx mx x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ．二、解答题:15．若22)(2+-=ax x x f 在区间[]5,5-上是单调函数，求实数a 的取植范围． 16．函数)(x f y =在（-1，1）上是减函数，且为奇函数，满足(24)(2)0f a f a -+->，求实数a 的取值范围．17．已知函数2()1x a f x x bx -=++，满足()()0f x f x +-=． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）判断函数)(x f 在[1,+∞）上的单调性，并加以证明.（3）求()f x 的最大值．（选做）18．已知二次函数f(x)=ax 2＋bx(a ≠0)满足条件f(2)=0且方程f(x)=x 有等根.（1）求f(x)的解析式；（2）问是否存在实数m 、n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为［m 、n ］和［2m 、2n ］，如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由.。
第二课时：已知周长求直径、半径
第二课时：已知周长求直径、半径教学内容：练习十五第2-8题。
教学目标：1、知识目标;学会根据圆的周长求圆的直径、半径。
2、能力目标：训练逻辑推理能力。
3、情意目标：初步掌握变换和转化的方法。
教学重点：求圆的直径和半径。
教学难点：灵活运用公式求圆的直径和半径。
教学策略：迁移法教学准备：实物投影等。
教学过程：一、复习。
1、口答。
4π 2π 5π 10π 8π2、求出下面各圆的周长。
C=πd c=2πr3.14×2 2×3.14×4=6.28(厘米) =8×3.14=25.12(厘米)二、新课。
1、提出研究的问题。
（1）你知道Π表示什么吗？（2）下面公式的每个字母各表示什么？这两个公式又表示什么？C=πd C=2πr（3）根据上两个公式，你能知道：直径=周长÷圆周率半径=周长÷（圆周率×2）2、学习练习十四第2题。
（1）小红量得一个古代建筑中的大红圆柱的周长是3.768米，这个圆柱的直径是多少米？（得数保留一位小数）已知：c=3.77m 求：d=?解：设直径是x米。
3.77÷3.14 3.14x=3.77≈1.2(米) x=3.77÷3.14 x≈1.2（2）做一做。
用一根1.2米长的铁条弯成一个圆形铁环，它的半径是多少？（得数保留两位小数）已知：c=1.2米 R=c÷(2Π) 求：r=?解：设半径为x米。
3.14×2x=1.2 1.2÷2÷3.146.28x=1.2 = 0.191x=0.191 ≈0.19(米)x≈0.19三、巩固练习。
1、饭店的大厅挂着一只大钟，这座钟的分针的尖端转动一周所走的路程是125.6厘米，它的分针长多少厘米？2、求下面半圆的周长，选择正确的算式。
⑴ 3.14×8⑵ 3.14×8×2⑶ 3.14×8÷2+83、一只挂钟分针长20cm，经过30分后，这根分针的尖端所走的路程是多少厘米？经过45分钟呢？（1）想：钟面一圈是60分钟，走了30分，就是走了整个钟面的，也就是走了整个圆的。
江苏省西亭高级中学高三数学微专题十五——两个数列的公共项问题 - 教案
两个数列的公共项问题在全国卷、外省高考压轴题或自主招生试题中，常有两个数列的交集问题，除了我们常见的子数列问题（如：等差数列中的等比数列，等比数列中的等差数列）外，还有一些其它的数列的情况，可转化为两个数列的公共项问题，这种类型在江苏省内的高考中还未涉及，本专题中我们将对此进行专门研究．第一节 两个等差数列的公共项问题在我们常见的数列中，有些数列是没有公共项的，如数列{2}n 和数列{2+1}n 就没有公共项，那么数列公共项是什么？怎么样去寻找公共项呢？我们首先从两个最简单、常见的等差数列的公共项开始． 一、数列公共项的定义：将数列{}n a 与{}n b 看成两个集合，这两个集合的交集中的元素按照一定的顺序排成一列数，形成的新数列，成为两个数列的公共数列，其中的这些元素就是数列的公共项． 【例1】数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为41n a n =-，32n b n =+，它们的公共项由小到大排成的数列是{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．通过列举数列的前几项：{}n a ：3，7，11，15，19，23，27，31，35，… {}n b ：5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…数列的公共项不需要在两个数列中项与项数相同，只需要项相同即可．比如本题中的11在两个数列中都是第3项，它是数列的公共项，但是23在两个数列中，一个为第6项，一个为第7项，它也是数列的公共项，由此可见：这两个数列的公共项从小到大排列是11，23，35，…发现该数列是首项为11，公差为12的等差数列，通项公式为121n c n =-．上述方法通过列举、观察，看出两个等差数列的公共项还是一个等差数列，是否具有普遍规律呢？二、两个等差数列公共项的求法：【例1】数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为41n a n =-，32n b n =+，它们的公共项由小到大排成的数列是{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．【解析】法一：设k m p a b c ==，则4132k m -=+，所以3(1)4m k +=， 因为3，4互质，所以1m +必为4的倍数，即41m p =-， 所以3(41)2121p m c b p p ==-+=-， 即数列{}n c 的通项公式为121n c n =-．【点评】通过定义及分析，本题的本质是找到符合条件k m a b =（其中*,k m ∈N ）的二元不定方程的正整数解问题，可以通过简单的数论知识的推演得到问题的结论．此方法可称为不定方程法．【分析】回到观察数列的公共项的方法中去，我们可以发现，在找到第一个公共项后，寻找第二个公共项的过程值得总结：写出一个数列中的项，看是否在另一个数列中．写出哪个数列中的项？如何判断是不是另一个数列中的项？【解析】法二：由观察可知，两个数列的第一个公共项为11，所以111c =．设k m p a b c ==，则4132k m -=+，所以144(1)143363()23k a k k m m +=+-=+=+=++不是数列{}n b 中的项，284(2)1473103()23k a k k m m +=+-=+=+=++不是数列{}n b 中的项，34(3)14113143(4)2k a k k m m +=+-=+=+=++是数列{}n b 中的项．所以，13p k c a ++=，则133412p p k k c c a a ++-=-=⨯=， 所以数列{}n c 是等差数列，其公差为12，首项为11， 因此，数列{}n c 的通项公式为121n c n =-．【点评】本方法的关键在于寻找下一个公共项，逐个检验公差为4的数列中的后续项是否为另一个数列中的项．此方法可称为周期法．【方法小结（应对策略）】在两个等差数列的公共项问题中，可以有两种方法：1、不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式；2、周期法：即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式．【跟踪训练】1．（北师大版必修3第78页例4）韩信采用下述点兵方法：先令士兵从1~3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1~5报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵从1~7报数，结果最后一个士兵报4；这样，韩信很快就算出了自己部队士兵的总人数．【解析】根据士兵报数结果可得：士兵的总数是三个等差数列{32}n +，{53}n +，{74}n +的公共项所组成的数列中的项．记32n a n =+，53n b n =+，74n c n =+，新数列记为{}n d ． 从小到大列举数列{}n c 中的项，并判断是否为数列{}n a 与{}n b 的项， 可得，数列{}n d 的首项为153d =，设k m p n a b c d ===，则325374k m p +=+=+，所以177(1)47475()35p c p p m +=++=++=++不是数列{}n b 的项；2147(2)474145()35p c p p m +=++=++=++不是数列{}n b 的项；3217(3)474215()35p c p p m +=++=++=++不是数列{}n b 的项；4287(4)474285()35p c p p m +=++=++=++不是数列{}n b 的项；5357(5)474355(7)33()23p c p p m k +=++=++=++=++不是数列{}n a 的项；6427(6)474425()35p c p p m +=++=++=++不是数列{}n a 的项；．．．157(15)4741055(21)33(35)2p c p p m k +=++=++=++=++是两个数列中的项．所以，115n p d c ++=，则1105n n d d +-=， 所以数列{}n d 的通项公式为10552n d n =-．【点评】（1）本题已经拓展为三个数列的公共项问题，可以使用两次数列公共项的方法求解，也可以直接求解．（2）本法过程可简化：777()47475()33()253p q q qc p q p q m k +=++=++=++=++， 要使p q c +同时是两个数列中的项，则73q ，75q均为整数，所以q 的最小值为15，所以151p n c d ++=．（3）本题还可以用不定方程法求解．2．（2011年上海高考文科压轴题）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+．将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n =∈=∈N N U 中的元素从小到大依次排列，构成数列1c ，2c ，3c ，L ，n c ，L ．（1）求三个最小的数，使它们既是数列{}n a 中的项，又是数列{}n b 中的项； （2）数列1c ，2c ，3c ，L ，40c 中有多少不是数列{}n b 中的项； （3）求数列{}n c 的前4n 项和4n S ．【分析】将两个等差数列的项组成的集合合并后的新数列，重复的项只可能出现一次，此问题可转化为两个数列公共项的问题求解．【解析】将数列{}n a 和{}n b 的公共项从小到大排列，记为数列{}n d ．设k m a b =，则3627k m +=+，即312k m -=，所以k 为奇数，设21k n =-，则31m n =-， 3(21)663n k d a n n ==-+=+． （1）三个最小的数依次为9，15，21．（2）由数列1c ，2c ，3c ，L ，n c ，L 的构成可知，63m d m =+与169m d m +=+均为数列{}n c 中的项，在m d 和1m d +中还有以下项：656667m m m +++，，，因此，数列{}n c 中的项从第41k +项起，连续的4项中只有第43k +项是数列{}n a 中的偶数项，不是数列{}n b 中的项，所以数列1c ，2c ，3c ，L ，40c 中有10个不是数列{}n b 中的项；（3）由（2）可知，数列{}n c 的前4n 项中，由数列{}n b 中的前3n 项和数列{}n a 中的前n 项偶数项构成，因此，243(967)(1266)=123322n n n n n S n n +++++=+．【点评】本解法避免了求解数列{}n c 的通项公式，利用两个数列公共项形成的新数列，找到新数列的编排规律，是快速解决本题的关键．【拓展研究】两个递增的等差数列的公共项还是等差数列．【定理1】设无穷等差数列{}n a 与{}n b 的公差分别为正数1d 和2d ，且存在正整数m ，n 使得m n a b =，则存在正整数p ，q 使得p q a b =的充要条件是12d d 是有理数． 【证明】充分性：设*12=(,)d ss t d t∈N ，即存在正数d 使12d sd d td ==，， 所以1m t m m a a td a tsd +=+=+，2n s n n b b sd b tsd +=+=+， 所以m t n s a b ++=．充分性成立．必要性：由p q a b =，m n a b =可知，p m q n a a b b -=-，所以12()()p m d q n d -=-， 则12d q nd p m-=-，显然为有理数．必要性成立． 【理解】两个等差数列已有公共项，若还有公共项，两个数列公差之比必须为有理数． 【定理2】设无穷等差数列{}n a 与{}n b 的公差分别为正数sd 和td （其中s ，t 是互质的正整数，0d >），且两个数列存在公共项，将这些公共项从小到大排列，则形成的新数列{}n c 为等差数列，且公差为std ．【证明】设存在正整数m ，n 使得m n a b =，设为p c ，若1p m k n l c a b +++==．所以m k m a a ksd +=+，n l n b b ltd +=+， 所以ks lt =，因为s ，t 是互质的正整数， 所以k qt =（*p ∈N ），因为k ，l 是使1p m k n l c a b +++==成立的最小正整数，所以k qt t ==， 所以1p p m k m c c a a tsd ++-=-=．所以新数列{}n c 为等差数列，且公差为std ．【理解】两个等差数列的公共项构成新的等差数列，且新数列的公差为原来两个数列公差的“最小公倍数”．【推论1】设无穷等差数列{}n a 与{}n b 的公差分别为正整数s 和t ，则它们的公共项从小到大排列成的新等差数列的公差为[]s t ，．【推论2】设无穷等差数列{}n a 与{}n b 的公差分别为既约分数pq和s t ，则它们的公共项从小到大排列成的新等差数列的公差为[]()p s q t ，，． （说明：[]m n ，为正整数m n ，的最小公倍数，()m n ，为正整数m n ，的最大公约数．） 【定理应用】【例1再看】数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为41n a n =-，32n b n =+，它们的公共项由小到大排成的数列是{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．【分析】数列的公共项从小到大构成等差数列，公差为[34]=12，，首项为11，因此，通项公式为121n c n =-．【练习】数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为3944n a n =+，51166n b n =+，它们的公共项由小到大排成的数列是{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．【分析】数列的公共项从小到大构成等差数列，公差为[35]15=(46)2，，，首项为3492a b ==，因此，通项公式为1532n c n =-．第二节 与等比数列有关的公共项问题与等差数列相比，等比数列的通项公式更为复杂，涉及指数函数类型的问题，在求解中的难度高于等差数列，但方法却基本相同，我们依然可以沿用上一讲中重点介绍的不定方程法和周期法求解．下面我们结合具体问题进行研究． 一、两个等比数列的公共项求解【例2】已知数列{}n a 的前n 项的和n S 满足243=-n n S a ，数列{}n b 的前n 项的积2223+=⋅nnn n T ．数列{}n a 与{}n b 的公共项由小到大排成的数列是{}n c ，求数列{}n c 的前n 项的和．【分析】由题意可知两个数列均为等比数列．其公共项可以用不定方程法求解． 【解析】由243=-n n S a 可得132a =，11243n n S a --=-，所以1122()44n n n n n a S S a a --=-=- ，即12n n a a -=（2n ≥），因此-232n n a =⋅． 由2223+=⋅nnn n T 可得1212324b +=⋅=，又22221(1)2(1)11233223n n n n n n n n n n T b T ++-+---⋅===⋅⋅（2n ≥），因此2132n n b +=⋅． 设k m p a b c ==，则2213232k m -+⋅=⋅，所以23k m =+（1m ≥）即可， 所以，232213232n n n c +-+=⋅=⋅．所以，数列{}n c 的前n 项的和为2324(14)8(41)2814n n n +-=-=--． 【点评】本题主要研究两个正项等比数列的公共项问题，寻找二元不定方程的正整数解为解题关键．【拓展】将等比数列转化为等差数列研究对于正项等比数列，我们可以通过取对数，将等比数列转化为等差数列，因此本题还可以这样研究：因为-232n n a =⋅，所以令22log log 32n n A a n ==+-． 因为2132n n b +=⋅，所以令22log log 321n n B b n ==++．经过这样的转化，等比数列{}n a 与{}n b 的公共项可以转化为等差数列{}n A 和{}n B 的公共项问题来研究，研究过程这里就不再赘述．由此，根据上述思路及第一节拓展知识可以得到几个结论，特别强调：【推论3】两个无穷正项数列{}n a 与{}n b 的公比分别为1q 和2q ，且存在正整数m ，n 使得m n a b =，则存在正整数p ，q 使得p q a b =的充要条件是21log q q 是有理数．【方法指导】1、若两个等比数列的各项均为负数，如数列{62}n -⋅和{38}n -⋅的公共项，可以先确定所有的公共项的符号均为负，再转化为两个正项数列{62}n ⋅和{38}n ⋅的公共项问题求解．2、若两个等比数列中的项有正有负，亦可以先确定公共项的符号特点，再根据数列中项的绝对值形成的新数列的公共项问题求解．如数列{62}n -⋅和{3(8)}n ⋅-的公共项问题，数列{6(2)}n ⋅-和{3(8)}n ⋅-的公共项问题等都可以如此处理． 二、等差数列与等比数列的公共项问题不是任意的等差数列和等比数列都有公共项，也不是都有无穷多个公共项．本专题中均涉及无穷数列的问题，其公共项也都是无穷项．对于数列公共项为有限个数的问题，这里不进行探讨．【例3】数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为2n n a =，32n b n =+，它们的公共项由小到大排成的数列是{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．【分析】依然可以通过列举的方法探求解题的思路，体现出特殊到一般的思想． 【解析】方法一（周期法）：观察数列的前几项可得，18c =． 设k m p a b c ==，则232k m =+．则1122222(32)643(2)23k k k a m m m ++==⨯=+=+=++不是数列{}n b 中的项，222424(32)1283(42)2k k k a m m m ++==⨯=+=+=++是数列{}n b 中的项，所以，12p k c a ++=，则12224p k p kc a c a ++===， 所以数列{}n c 是等比数列，公比为4，首项为8，即通项公式为212n n c +=．【点评】方法与等差数列中类似，选择利用2n 进行探究的原因是该等比数列的项变化大，可以快速找到下一个公共项．【解析】方法二（不定方程法）：设k m p a b c ==，则232k m =+，所以，考虑使用二项式定理：113(31)233+(1)23(1)2k k k k k k m C t -=--=-+--=+--L ，其中t ∈Z ，所以*(1)23k m t --=+∈N ，故k 为奇数，考虑到2325k m =+≥，所以k 为大于等于3的奇数．所以2122k p p k c a +===，即通项公式为212n n c +=．【点评】考虑到2可以用31-表示，结合二项式定理，可以顺利求解，特别要根据参数的取值范围，确定初始值的取值，否则会出现漏项或者多项的情况．【拓展】由于等比数列与等差数列的公共项问题，与等差数列中的等比子数列、等比数列中的等差子数列问题非常相像，结论也基本相同，另有专题进行研究，本专题中不再深入探讨，仅做以下推论：【推论4】等比数列与等差数列的公共项所构成的新数列，一般仍为等比数列． 三、等比数列与完全多项式型数列的公共项问题完全多项式指可化为相同的多项式的乘积的形式的多项式．如5(23)x +，2(1)x -等． 【例4】数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为2n n a =，3n b n =，设集合123{}n A a a a a =L L ，，，，，，123{}n B b b b b =L L ，，，，，，将集合A B U 中的元素由小到大排成的数列记为{}n c ，求{}n c 的前30项的和．【分析】（1）本题是两个数列的合并问题，先考虑两个数列的公共项的情况，再对两个数列的合并过程中项的排列顺序进行讨论研究，找出合并数列的特征；（2）本题也可以仅找出数列合并后由小到大排列的前30项（数据量小），根据公共项的位置逐个判断；（3）由于两个通项公式都非常简单，故公共项问题首先考虑不定方程法求解．【解析】设两个数列{}n a 与{}n b 的公共项从小到大排列为一个新数列{}n t ，方法一（不定方程法）： 设k m p a b t ==，则32k m =，所以，32km =，因此 *3k ∈N ，即3k p =，所以，32pp k t a ==，即数列{}n t 的通项公式为8n n t =．方法二（周期法）：首先观察数列的前几项可得，18t =． 设k m p a b t ==，则32k m =．则13312222)k k k a m ++==⨯==不是数列{}n b 中的项，23322424)k k k a m ++==⨯==不是数列{}n b 中的项， 33332828(2)k k k a m m ++==⨯==是数列{}n b 中的项，所以，13p k t a ++=，所以13328p k p kt a t a ++===，则数列{}n t 的通项公式为8n n t =． 由于328n n n n t a b ===，所以不超过48（即122、316）的项中，{}n a 中有12个，{}n b 中有16个，减去4个公共项，则48为数列{}n c 中的第24项，还需要6项， 因为1328096=，14217192=，3208000=，3219261=， 所以这6项依次为333313317181920221，，，，，．所以前30项的和为12133331234(222)(1221)(8888)+++++++-+++L L241421(211)8(18)2265063218+-⎡⎤=-+-=⎣⎦-． 【点评】（1）不定方程法需要对分数指数幂的形式较为熟悉，才能顺利求解；（2）在确定合并的第24项以后的项的过程中，应该根据数据变化的特点，先考虑数列{}n b 中的6项，再进行检验和删减．【练习】已知数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为2n n a =，3n b n =，设集合123{}n A a a a a =L L ，，，，，，123{}n B b b b b =L L ，，，，，，将集合A B U 中的元素由小到大排成的数列记为{}n c ，求数列{}n c 的前221n n ++项的和．【解析】由于328n n n n t a b ===，所以不超过8n （即32n 、3(2)n ）的项中，{}n a 中有3n 个，{}n b 中有2n 个， 减去n 个公共项，则8n 为数列{}n c 中的第3222n n n n n +-=+项，因此，221n n c ++为31n a +与21n b +的较小者．因为3133231212(21)232321n n n n n n n a b +++-=-+=-⨯-⨯-，当1n =时，43a b <，则4221n n c a ++=，此时数列{}n c 的前221n n ++项的和为39． 当2n ≥时，323121232321n n n n n a b ++-=-⨯-⨯-222[(23)23]21[(23)23]210n n n =------>≥，则22121n n n c b +++=， 因此，数列{}n c 的前221n n ++项的和为123121221()()()n n n a a a b b b t t t ++++++++-+++L L L231(21)(211)8(18)22218n n n n ++++-⎡⎤=-+-⎣⎦- 321126(21)(2321)7n n n --⋅-=+⋅++． 所以，数列{}n c 的前221n n ++项的和为321123916(21)(2321) 2.7n n n n n --=⎧⎪⎨⋅-+⋅++⎪⎩， ，，≥第三节 与多项式型数列有关的公共项问题除等差数列、等比数列外，还有不少通项公式不复杂的数列，其公共项的求解在高考、竞赛、自主招生中有出现的可能，其对应不定方程解的求解也较为复杂，会涉及到数论的部分知识，如整除、同余等等．这一节中，我们重点研究多项式型数列的公共项问题．【例5】数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为3n a n =，32n b n =+，它们的公共项由小到大排成的数列是{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．【分析】考虑到三次方的展开并不复杂，需要整理成的形式为除以3余2的形式，考虑使用同余的相关知识进行求解．【解析】方法一（不定方程法）：设k m p a b c ==，则332k m =+，所以，考虑对k 进行分类，分为32313t t t --，，，其中*t ∈N ， 当32k t =-时，33(32)1(mod3)k t =-≡，不符合题意； 当31k t =-时，33(31)2(mod3)k t =-≡，符合题意； 当3k t =时，33(3)0(mod3)k t =≡，不符合题意；所以，3(31)p k c a p ==-，即通项公式为3(31)n c n =-．【点评】1、本题中对参数k 进行分类时要准确判断范围，不可以用33132t t t ++，，（其中*t ∈N 或者t ∈N ）的形式；2、同余知识的使用和书写要注意规范；【思考】如果符合题意的分类超过一个，怎么办？【分析】周期法在研究公共项问题中常常显得不太简洁，但在用不定方程法研究受阻时，可利用对变化幅度较大的数列进行逐项考察，直到找到满足条件的下一个公共项，再指出其关系，适用于不太熟悉数论知识的学生使用．本题中也使用本法进行尝试．【解析】方法二（周期法）：首先观察数列的前几项可得，18c =． 设k m p a b c ==，则332k m =+．则33221(1)331323310(mod3)k a k k k k m k k +=+=+++=++++≡不是数列{}n b 中的项，33222(2)61283261281(mod3)k a k k k k m k k +=+=+++=++++≡不是数列{}n b 中的项，33223(3)9272732927272(mod3)k a k k k k m k k +=+=+++=++++≡是数列{}n b 中的项，所以，13p k c a ++=33k k =+-=，所以为等差数列，公差为3，首项为2，所以数列{}n c 的通项公式为3(31)n c n =-．【点评】利用确定的关系式代入，并找出各项与3的关系，利用同余的知识，可以大幅度的简化思维与书写过程．【练习】证明：数列3{}n n +与{71}n +没有公共项． 【解析】设3n a n n =+，71n b n =+．对n 进行分类，可分为7717273k k k k ±±±，，，，其中t ∈N ， 当7n k =时，3(7)70(mod7)n a k k =+≡不是数列{}n b 中的项，当71n k =+时，3(7+1)(71)112(mod7)n a k k =++≡+≡不是数列{}n b 中的项， 当72n k =+时，3(7+2)(72)823(mod7)n a k k =++≡+≡不是数列{}n b 中的项， 当73n k =+时，3(7+3)(73)2732(mod7)n a k k =++≡+≡不是数列{}n b 中的项， 当73n k =-时，33(73)(73)(3)35(mod7)n a k k =-+-≡--≡不是数列{}n b 中的项，当72n k =-时，33(72)(72)(2)24(mod7)n a k k =-+-≡--≡不是数列{}n b 中的项， 当71n k =-时，33(71)(71)(1)(1)5(mod7)n a k k =-+-≡-+-≡不是数列{}n b 中的项， 因此，数列3{}n n +与{71}n +没有公共项．【点评】本题使用不定方程法证明，使用周期法证明不太合适．【例6】将自然数中既是完全平方数，又能被3整除余1的数由小到大排成，形成新数列{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．【分析】本题中的数满足两个条件，再考虑范围问题，本题可以看成是两个数列2{}n 与{32}n -的公共项问题．【解析】设数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为2n a n =，32n b n =-，它们的公共项由小到大排成的数列就是{}n c ． 方法一（不定方程法）： 设k m p a b c ==，则232k m =-，所以，考虑对k 进行分类，分为32313t t t --，，，其中*t ∈N ， 当32k t =-时，22(32)1(mod3)k t =-≡，是数列{}n b 中的项； 当31k t =-时，22(31)1(mod3)k t =-≡，是数列{}n b 中的项； 当3k t =时，22(3)0(mod3)k t =≡，不是数列{}n b 中的项；所以，数列{}n c 的通项公式为222231()(32)21232(31)2()2n n n t n t c n t n t n -⎧⎧-=-⎪⎪==⎨⎨--=⎪⎪⎩⎩，为奇数，，，，，，为．偶数 方法二（周期法）：首先观察数列的前几项可得，1111c a b ===． 设k m p a b c ==，则232k m =-．则22121(1)2132213()23k k a k k k m k m ++=+=++=-++=+-，当3k t =时1k a +不是数列{}n b 中的项， 当31k t =+时1k a +是数列{}n b 中的项， 当32k t =+时1k a +不是数列{}n b 中的项，2221(2)4432443(1)23k k a k k k m k m k ++=+=++=-++=+++-，当3k t =时2k a +不是数列{}n b 中的项， 当31k t =+时2k a +不是数列{}n b 中的项， 当32k t =+时2k a +是数列{}n b 中的项，223(3)6932693(23)2k a k k k m k m k +=+=++=-++=++-，不论k 为何值，一定是数列{}n b 中的项， 所以，3231{}{}n n n c a a --=，，得通项公式为222231()(32)21232(31)2()2n n n t n t c n t n t n -⎧⎧-=-⎪⎪==⎨⎨--=⎪⎪⎩⎩，为奇数，，，，，，为．偶数 【点评】（1）本题即为存在多项符合条件的问题，可利用分段解析式的形式进行表述，找准项与序号的关系．（2）本题中“周期”较为复杂，但仍可进行多次分类，探求了多个可找出下一公共项的类型，找出了“周期”；（3）本题还可以使用数学归纳法研究．【练习】数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为2n a n =，n b =排成的数列是{}n c ，求{}n c 的通项公式．【解析】可对问题进行平方转化，设k m p a b c ==，则2k = 即441k m =+， 方法一（不定方程法）：当4k t =时，44(4)0(mod 4)k t =≡， 当41k t =+时，44(41)1(mod 4)k t =+≡， 当42k t =+时，444(42)20(mod 4)k t =+≡≡， 当41k t =-时，444(41)21(mod 4)k t =-≡≡， 所以，41k t =±，*t ∈N ． 因此，2(21)n c n =+． 方法二（不定方程法）：当2k t =时，44(2)0(mod 4)k t =≡， 当21k t =+时，44(21)1(mod 4)k t =+≡，所以，21k t =+，*t ∈N ．因此，2(21)p c p =+，即2(21)n c n =+．【点评】（1）对于部分无理式的问题，可以利用转化思想进行研究；（2）某些分式形式也可以利用转化思想研究； （3）最终结论需回答转化前原题的提问．综述数列的公共项是数列的交、并运算的基础，本专题中重点介绍了研究两个数列的公共项问题的研究策略和方法：不定方程法和周期法，两种方法特色鲜明，可操作性强．相比较而言，不定方程法的策略是利用数论知识解不定方程，适用于有一定数论基础的学生，它的使用范围比较广泛，可以解决公共项的问题，也可以证明无公共项的问题；周期法的策略是“若n k c a =，寻找符合条件的整数T ，使{}k mT n a c +∈”，缩小了考虑范围，找到数列中项的变化规律，适用于数论基础薄弱的学生，但在使用中，它仅适用于可以找到公共项的问题．因此，需要针对不同问题进行合理的方法选用．。
高一数学下学期周练十五 试题
卜人入州八九几市潮王学校正阳县第二高级二零二零—二零二壹下期高一数学周练十五1、750°化成弧度为( )rad A.283π B.256π C.236π D.233π2、α为第三象限角,那么2α所在的象限是( )A.第一或者第二象限B.第二或者第三象限C.第一或者第三象限 限3、假设向量假设向量(2,3)BA =,(4,7)CA =,那么BC =( )A.(-2,-4)B.(2,4)C.(6,10)D.(-6,-10)4、向量a ,b 满足|a |=1,|b |=4,且a ·b =2,那么a 与b 的夹角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°5、在△中,那么△ABC 是( )A.直角三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形6、设集合{|,}24k M x x k Z ππ==+∈ ,{|,}42k N x k Z ππ=+∈,那么必有( )A.M=NB.N M ⊆C.M N ⊆D.M N =∅7、假设P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)三点一共线,那么( )A.x=-1B.x=3C.D.x=518、假设点O 是平行四边形ABCD 的中心, 124,6AB e BC e ==,那么2132e e -〔〕A.AOB. CO C .BO D.DO9、假设函数()sin()f x x ωϕ=+的图像(局部)如以下图所示,那么ω和ϕ的取值是()A.1,3πωϕ==B. 1,3πωϕ==-C. 1,26πωϕ==D. 1,6πωϕ==- 10、要得到sin(2)3y x π=-的图象,只要将y=sin2x 3π3π6π6π个单位 11、4sin cos ,(0,)34πθθθ+=∈,那么sin cos θθ-的值是( ) A.23 B.— 23 C.13 D.—1312、函数y=-xcosx 的局部图象是( )A.B. C. D. 13、向量(6,2),(2,)a b k ==-,k 为实数，假设a ∥b ,那么k=___________;14、半径为3,圆心角为120°的扇形面积为15、化简:211[(43)(67)]334a b b a b -+--= 16、假设2cos 3α=-,那么cos(4)sin()sin()tan()2πααπαπα--+-的值是17、(0,),(,0)22ππαβ∈∈-,且32cos(),sin 510αββ-==-求α。
第十五周 图形问题
第十五周图形问题专题简析：解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点：1，细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决；2，从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。
分析与解答：用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积。
操场现在的面积是（90+10）×（45+5）=5000平方米，操场原来的面积是90×45=4050平方米。
所以，现在的面积比原来增加5000－4050=950平方米。
练习一分析与解答：由“宽不变，长增加6米，面积增加54平方米”可知，它的宽为54÷6=9米；由“长不变，宽减少3米，面积减少36平方米”可知，它的长为36÷3=12米。
所以，这个长方形原来的面积是12×9=108平方米。
练习二3，一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米。
求这个长方形原来的面积。
例3：下图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求它的占地面积。
墙米分析与解答：根据题意，因为一面利用着墙，所以两条长加一条宽等于16米。
而宽是4米，那么长是（16－4）÷2=6米，占地面积是6×4=24平方米。
练习三1，右图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求养鸡场的占地面积。
墙分析与解答：把水泥路分成四个同样大小的长方形（如下图）。
因此，一个长方形的面积是12÷4=3平方米。
因为水泥路宽1米，所以小长方形的长是3÷1=3米。
从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差，所以小正方形的边长是3－1=2米。
中间花坛的面积是2×2=4平方米。
练习一1，有一个正方形的水池，如下图的阴影部分，在它的周围修一个宽8米的花池，花池的面积是480平方米，求水池的边长。
第1题44分析与解答：把阴影部分剪下来，并把剪下的两个小长方形拼起来（如图），再被上长、宽分别是8分米、5分米的小长方形，这个拼合成的长方形的面积是181+8×5=221平方分米，长是原来正方形的边长，宽是8+5=13分米。
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扬州中学西区校高一数学周练三命题、校对：陶福忠 2008-4-11班级__________姓名______________学号_________ 成绩___________一、填空题1、设x 、y ∈R ＋ 且19x y+＝1,则x ＋y 的最小值为_____________ 2、设,x y R ∈，且4x y +=，则55x y +的最小值是____________ 3、已知320,3271x y x y +-=++则的最小值是_________4、已知103x <<，则(13)x x -取最大值时x 的值是_____________ 5、下列结论正确的有_____________①1y x x =+的最小值为2 ②当101,lg 2lg x x x x >≠+≥且时 ③2232x y x +=+的最小值为2 ④10,2x x x>+≥当时 ⑤221sin sin y x x =+，(0,)2x π∈的最小值为2 ⑥12,x x x ≥+当时的最小值为2 ⑦221y x x=+的最小值为2 6、设y x ,满足,404=+y x 且,,+∈R y x 则y x lg lg +的最大值是7、若,a b R +∈、且满足3,ab a b =++则a b +的取值范围是 _____________8、设1,x -函数(5)(2)1x x y x ++=+的最小值是_____________9、我市某公司，第一年产值增长率为p ，第二年产值增长率q ，这二年的平均增长率为x ，那x 与2q p +大小关系（)q p ≠是________________（填＞、=、＜） 10、若x,y +∈R 且2x+8y - xy=0,则x + y 的最小值为_______11、函数2254x y x +=+的最小值是_____________二、解答题：12、某村计划建造一个室内面积为 800m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 l m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？13、某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入世后第一个月起累计收入n T 与时间n （以月为单位）的关系为n T =b an +，且入世第一个月时收入将为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．参 考 答 案1、 162、 503、74、 165、⑷⑺6、 27、 [6,)+∞8、255+9、 ＜ 10、 1811、 5212、解：设矩形温室的一边长为x 米，则另一边长为800x 米，设蔬菜的种植面积为y 平方米，根据题意，得：800(4)(2)y x x=-- =808-2（1600()x x + ≤808-2*21600xx =648当且仅当1600x x =即40x =时，取“=”号。
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扬州中学西区校高一数学周练一命题人：陶福忠 2008-2-27班级__________姓名______________学号_________ 成绩___________一. 填空题1．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_________2．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于___________ 3．锐角三角形中,边a,b 是方程22320x x -+=的两根,且6c =则角C =4．在△ABC 中，060,1,3,ABC A b S ∆∠===则CB A cb a sin sin sin ++++=___________5．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是__________ 6．在ABC ∆中，3=a ，1=b ， 30=B ，则ABC ∆的面积为____________7．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，ccb A 22cos 2+=，则△ABC 的形状为______ 8．在∆ABC 中，根据条件：①b=10，A=45，C=70 ②a=60，c=48，B=60 ③a=7，b=5，A=80④a=14，b=16，A=45解三角形，其中有2个解的有二．解答题9．在△AB C 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知C ab B ca A bc c cos cos cos 2++=（1）判断△AB C 的形状； （2）若3,9AB BC AB AC ⋅=-⋅=，求角B 的大小。
10．2003年伊拉克战争初期,美英联军为了准确分析战场形势,有分别位于科威特和沙特的两个距离为32a 的军事基地C 和D ，测得伊拉克两支精锐部队分别在A 处、B 处, 如图所示,30ADB ∠=，30BDC ∠=，60DCA ∠=，45ACB ∠=，求伊军这两支精锐部队的距离。
2020-2021学年数学新教材苏教版必修第一册课时分层作业15 指数 Word版含解析
课时分层作业(十五) 指数(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列说法中：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [①错，16的4次方根是±2；②错，416＝2；③④正确，由根式的意义可知．]2．化简： (a ＞0，b ＞0)( )A ．a bB ．abC ．a 2bD ．ab 23．3(－6)3＋4(5－4)4＋3(5－4)3的值为( ) A ．2 B ．－6＋2 5 C ．－6 D ．－14 C [3(－6)3＝－6， 4(5－4)4＝|5－4|＝4－5， 3(5－4)3＝5－4，∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6．]4．式子a5－1a 3＝( )A ．－a 25 B ．a 25 C ．a 85D ．－a 855．若(a ＋2)2＋(2b －1)2＝0，则a 2 020·b 2 020＝( ) A ．22 020B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 020C ．－1D ．1D [∵(a ＋2)2＋(2b －1)2＝0，∴a ＝－2，b ＝12， ∴(－2)2 020·⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 020＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×12 2 020＝1．]二、填空题6．已知10α＝3,10β＝4，则102α＋β2＝ ．18 [102α＋β2＝(10α)2×(10β)12＝32×412＝18．]8．若81的平方根为a ，－8的立方根为b ，则a ＋b ＝ ． －11或7 [∵(±9)2＝81，∴81的平方根为±9，即a＝±9．又(－2)3＝－8，∴－8的立方根为－2，即b＝－2．∴a＋b＝－9－2＝－11或a＋b＝9－2＝7，∴a＋b＝－11或7．] 三、解答题9．化简：10．化简：1．若x <0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2C [∵x <0，∴原式＝－x －(－x )＋－x－x＝－x ＋x ＋1＝1．] 2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A ．p ＋q 2B ．(p ＋1)(q ＋1)－12C ．pqD ．(p ＋1)(q ＋1)－1D [设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝(1＋p )(1＋q )－1．]3．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么用x 表示y 等于 ． x x －1 [由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，y ＝1＋2－b ＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1．] 4．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果是 ． －1 [∵2－x 有意义， ∴2－x ≥0，即x ≤2． x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9 ＝(x －2)2－(x －3)2 ＝|x －2|－|x －3|＝2－x －(3－x )＝2－x －3＋x ＝－1．] 5．根据已知条件求下列值：(1)已知x ＝12，y ＝23，求x ＋y x －y －x －y x ＋y 的值；(2)已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值． [解] (1)x ＋y x －y －x －yx ＋y＝(x ＋y )2x －y －(x －y )2x －y ＝4xy x －y ．将x ＝12，y ＝23代入上式得： 原式＝412×2312－23＝413－16＝－2413＝－83．(2)∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝6，ab ＝4，∵a >b >0，∴a >b ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15， ∴a －b a ＋b ＝15＝55．。