第17讲几何变换之轴对称(中)-
轴对称与轴对称图形-教案稿
轴对称与轴对称图形-教案稿第一章：轴对称的概念1.1 导入：引入话题：探讨轴对称的概念及其在生活中的应用。
展示一些图片，如剪纸、建筑设计等，让学生观察并指出其中的轴对称元素。
1.2 理论讲解：定义轴对称：一个图形如果可以通过某条直线（称为对称轴）旋转180度后与原图形完全重合，这个图形就是轴对称的。
解释对称轴的概念：对称轴是指图形上的一条直线，使得图形两部分关于这条直线对称。
1.3 实例分析：分析一些具体的轴对称图形，如正方形、矩形、圆形等，并指出它们的对称轴。
让学生尝试找出生活中常见的轴对称图形，并说明其对称轴。
1.4 练习与巩固：提供一些图形，让学生判断它们是否为轴对称图形，并指出对称轴的位置。
让学生自己设计一个轴对称图形，并解释其对称轴的选取理由。
第二章：轴对称图形的性质2.1 导入：复习轴对称的概念，并引入轴对称图形的性质。
2.2 性质讲解：讲解轴对称图形的性质：1. 轴对称图形关于对称轴对称。
2. 对称轴是图形的中心线，将图形分为两个完全相同的部分。
3. 轴对称图形的任意一点关于对称轴都有对应的一点，两点的距离相等。
2.3 实例分析：以正方形为例，演示其轴对称性质，如对角线互相垂直且相等。
让学生尝试找出其他轴对称图形的性质，并进行验证。
2.4 练习与巩固：提供一些图形，让学生判断它们是否为轴对称图形，并说明其对称轴的性质。
让学生自己设计一个轴对称图形，并验证其对称性质。
第三章：轴对称图形的对称变换3.1 导入：引入轴对称图形的对称变换概念。
展示一些轴对称图形的对称变换，如折叠、翻转等。
3.2 变换讲解：讲解轴对称图形的对称变换：1. 对称变换是指将图形沿着对称轴进行旋转或翻转，使其与原图形重合。
2. 对称变换不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置。
3.3 实例分析：演示如何将一个正方形通过对称变换变成一个矩形。
让学生尝试找出其他轴对称图形的对称变换方式。
3.4 练习与巩固：提供一些图形，让学生通过对称变换将它们变成其他形状。
小学生数学认识几何变换与对称性
小学生数学认识几何变换与对称性几何变换是数学中的重要概念之一，而对称性是几何变换中常见的一种特征。
通过学习几何变换和对称性，小学生可以培养几何思维能力，提高空间想象力，并且对解决实际问题也具有一定的应用价值。
本文将介绍几何变换和对称性的基本概念，并说明其在小学数学教育中的重要性。
一、几何变换几何变换是指在平面内或空间内对图形进行移动、旋转、翻转或拉伸等操作，而保持图形本质不变的过程。
常见的几何变换有平移、旋转、翻转和拉伸等。
1. 平移平移是指将一个图形在平面内沿着某个方向移动一段距离，并且所有点的位置发生相同的平移。
平移不改变图形的大小和形状，只改变了它在平面上的位置。
例如，将一个正方形沿着水平方向平移5个单位，它的形状和边长都不变，只是位置发生了改变。
2. 旋转旋转是指将一个图形绕着某个中心点进行转动，使得图形的每一个点都按照一定的规律旋转到新的位置上。
旋转可以是顺时针也可以是逆时针方向。
例如，将一个正三角形沿着其一个顶点为中心顺时针旋转一定角度，它的形状和大小不变，只是方向改变了。
3. 翻转翻转是指将一个图形绕着某个直线对称，使得图形的每一个点都关于对称轴对称。
翻转可以是关于水平轴、垂直轴、对角线或任意其他直线的对称。
例如，将一个矩形关于垂直轴翻转，它的形状和大小保持不变，只是左右位置互换。
4. 拉伸拉伸是指将一个图形在某个方向上按照一定比例进行伸缩，使得图形的各个部分相对地拉伸或缩短。
拉伸后的图形形状和比例发生改变，但仍保持相似性。
例如，将一个矩形在水平方向上拉伸2倍，它的形状和宽度都改变了，但长度没有改变。
二、对称性对称性是指一个图形能够绕着某条直线、某个点或某个平面对称。
对称性分为轴对称和中心对称两种。
1. 轴对称轴对称是指一个图形能够绕着某条直线对称，使得图形的两侧关于对称轴完全相同。
轴对称图形可以关于垂直轴、水平轴，或者对角线等轴进行对称。
例如，正方形、等腰三角形都具有轴对称。
2. 中心对称中心对称是指一个图形能够绕着某个固定点对称，使得图形的每一个点关于中心点的延长线上都有对称的点。
几何变换对称
几何变换对称几何变换是指在平面或空间中改变图形的形状、大小、位置的操作。
对称是指图形中存在一条轴线、中心点或平面，使得图形在这条轴线、中心点或平面的对立侧存在对称关系。
几何变换对称是指在进行几何变换的同时，保持图形的对称性不变。
下面将分别介绍几何变换中的平移、旋转、翻转和尺度变换对称。
一、平移对称平移是指将图形在平面上按照一定的方向和距离进行移动。
平移操作不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
当一个图形在平移前后仍然保持对称时，称这个图形具有平移对称性。
例如，一个正方形在平移前后仍然保持对称。
当你将这个正方形沿着平面上的任意直线进行平移，正方形的每一部分都能沿着对应的位置平移，仍然保持对称关系。
二、旋转对称旋转是指围绕一个点或一条轴线将图形按照一定的角度进行旋转。
旋转操作改变图形的角度，但不改变图形的形状和大小。
当一个图形在旋转前后仍然保持对称时，称这个图形具有旋转对称性。
例如，一个圆形在任意一个中心点处都具有旋转对称性。
无论你将这个圆形围绕中心点旋转多少度，它的每个点都能找到对应的对称点，保持对称关系。
三、翻转对称翻转是指将图形绕着一条轴线进行镜像反转。
翻转操作改变图形的位置和方向，但不改变图形的形状和大小。
当一个图形在翻转前后仍然保持对称时，称这个图形具有翻转对称性。
例如，一个矩形具有关于某条中心线的翻转对称性。
当你将这个矩形绕着中心线进行翻转，矩形的每个点都存在对应的对称点，保持对称关系。
四、尺度变换对称尺度变换是指将图形等比例地放大或缩小。
尺度变换改变图形的大小，但不改变图形的形状和位置。
当一个图形在经过尺度变换后仍然保持对称时，称这个图形具有尺度变换对称性。
例如，一个正三角形具有尺度变换对称性。
无论你将这个正三角形放大或缩小，三角形的每个边和角度都保持等比例关系，保持对称性。
综上所述，几何变换对称是指在进行几何变换时，图形仍然保持原有的对称性。
平移、旋转、翻转和尺度变换分别对应不同的对称性。
《轴对称变换》课件
07
总结与展望
本课程的主要内容回顾
轴对称变换的基本概念
详细介绍了轴对称变换的定义 、性质和分类，以及其在几何 、代数和解析几何等领域的应 用。
轴对称变换的几何意义
通过具体的图形变换，阐述了 轴对称变换在几何图形中的表 现形式，以及其在解决几何问 题中的应用。
轴对称变换的代数表示
介绍了如何用矩阵和线性变换 来表示轴对称变换，以及其在 矩阵论和线性代数中的重要地 位。
03
轴对称变换的扩展研究
展望了轴对称变换未来的研究方向，如非线性对称性、高维空间的对称
性等，以及其在数学、物理学和工程学等领域的重要意义。
THANK YOU
感谢聆听
轴对称变换课件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 轴对称变换的基本概念 • 轴对称变换的分类 • 轴对称变换的数学表达 • 轴对称变换的几何意义 • 轴对称变换的实际应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
轴对称变换：是指一个平面图形沿着一条直线折叠 后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形 关于这条直线对称，这个图形叫做轴对称图形，这 条直线叫做对称轴。
详细描述
当一个图形关于y轴进行对称变换时，其形状和大小同样保持不变，但方向可能 发生变化。例如，一个竖直线段会变成一条水平线段，一个长方形会变成一个 水平放置的正方形。
关于原点的对称变换
总结词
关于原点的对称变换是指图形在原点两侧保持对称的性质。
详细描述
当一个图形关于原点进行对称变换时，其形状和大小保持不变，但方向会发生180度的变化。例如，一个点会变 成其相对原点的对称点，一个正方形会变成一个旋转了180度的正方形。
考虑点P(1, 2)和对称轴y=1，经过轴对称变换后得到点P'(1, 0)。这个变换可以用向量方程来表示：向量 OP' = 向量OP - 2*(向量OP · 单位向量j)*单位向量j = (1, 2) - 2*(1/√2)*(1, 0) = (1, -2)。
几何变换之轴对称
几何变换之轴对称（翻折）翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。
以这个性质为基础，结合圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
那么碰到这类题型，我们的思路就要以翻折性质为基础，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！对于翻折和折叠题型分两个题型来讲，一类题型就是直接计算型，另一类是涉及到分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了！解决翻折题型的策略一：利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等。
对应边相等，对应角相等②对应点连线被对称轴垂直平分二：结合相关图形的性质（三角形，四边形等）三：运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
翻折折叠题型（一），直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路！翻折折叠题型（二），分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析！常见的几类类型1. 纸片中的折叠如图，有一条直的宽纸带，按照如图方式折叠，则＝.【解答】【解析】，如图所示：∵∠＝∠1，∠2＝∠1，∴∠＝∠2，∴2∠＋∠AEB＝180º，即2∠＋∠30º＝180º，解得∠＝75º.2. 三角形中的折叠在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C’DE，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图1，把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；（2）如图2，把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；（3）如图3，把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系.【解答】（1）∠1＋∠2＝60º；（2）∠1＋∠2＝50º；（3）∠2－∠1＝2∠C【解析】（1）由图可得∠1＋∠2＝180º－2∠CDE＋180º－2∠CED＝360º－2（∠CDE＋∠CED）＝360º－2（180º－∠C）＝2∠C＝60º（2）连接DG，如图所示：∠1＋∠2＝180º－∠C’－（∠ADG＋∠AGD）＝180º－30º－（180º－80º）＝50º（3）由图可得∠2－∠1＝180º－2∠CED－（2∠CDE－180º）＝360º－2（∠CDE＋∠CED）＝360º－2（180º－∠C）＝2∠C3. 矩形中的折叠如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC＝8，AB＝6，求折叠后重合部分的面积.【解答】阴影部分的面积为【解析】∵点C与点E关于直线BD对称，∴∠1＝∠2，∵AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴FB＝FD，设，则，在Rt △BAF 中，，即，解得， ∴阴影部分面积. 4.圆中的折叠 如图，将半径为8的沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB ＝ .【解答】AB = 【解析】延长CO 交AB 于E 点，连接OB ，如图所示：∵CE ⊥AB ，∴E 为AB 的中点，由题意可得CD=4，OD=4，OB=8，DE = 21(8×2 - 4) = 6，OE=6-4=2，在Rt △OEB 中，根据勾股定理可得：AB = .。
几何形的变换与对称性
几何形的变换与对称性几何形的变换与对称性是数学中重要的概念之一，它们在几何学、物理学以及其他科学领域都有着广泛的应用。
本文将介绍几何形的变换和对称性的基本概念，以及它们在实际中的应用。
一、几何形的变换几何形的变换是指对图形进行改变的操作，主要包括平移、旋转和镜像三种基本变换。
1. 平移: 平移是指图形在平面上沿着某个方向保持大小和形状不变地移动。
平移可以由向量表示，将图形上的每个点都按照相同的向量进行平移。
2. 旋转: 旋转是指图形按照某个中心点进行旋转，使得图形在平面上绕中心点进行旋转。
旋转可以由角度表示，将图形上的每个点都按照相同的角度进行旋转。
3. 镜像: 镜像是指图形关于一条直线或一个点对称。
图形通过镜像变换后，与原来的图形完全重合，但是对称于镜像中心。
这三种基本变换可以组合使用，实现更复杂的变换效果，例如平移结合旋转可以实现圆周运动，平移结合镜像可以实现图形在平面上的滑移等。
二、对称性对称性是指一个图形相对于某条直线、某个平面或一个点而言能够完全或部分重合。
对称性可以分为以下几种类型：1. 线对称: 图形相对于一条直线对称，即左右对称。
直线可以是任意位置的，图形中的每个点关于直线都有对称点。
2. 面对称: 图形相对于一个平面对称，即上下对称或前后对称。
平面可以是任意位置的，图形中的每个点关于平面都有对称点。
3. 点对称: 图形相对于一个点对称，即中心对称。
点可以是图形中的任意一个点，图形中的每个点关于对称中心都有对称点。
对称性具有重要的几何性质，它可以帮助我们研究图形的性质和相似性质，简化计算和分析的过程。
三、应用案例几何形的变换与对称性在实际中有着广泛的应用。
以下是几个应用案例的介绍：1. 制造业: 在制造业中，使用几何形的变换和对称性可以帮助工程师设计、分析和生产产品。
例如，通过对产品进行平移、旋转和镜像变换，可以评估产品的装配性能、运动轨迹和外观质量。
2. 计算机图形学: 在计算机图形学中，几何形的变换和对称性是实现计算机动画和图形处理的基础。
轴对称变换要点全析
教师寄语春来春去，燕离燕归，枝条吐出点点新绿，红花朵朵含苞欲放，杨柳依依书写无悔年华，白云点点唱响人生奋斗的凯歌，微冷的春风淡去了烟尘与伤痛，沉淀在内心的却是缤纷的梦想以及那收获前的耕耘与奋斗。
轴对称变换·要点全析1．变换在《现代汉语词典》中，变换的意思是：事物的一种形式或内容换成另一种，如变换位置、变换手法．在前面学习全等三角形时，学习和介绍了全等变换．所谓全等变换，即把一个图形经过平移、翻折、旋转后，得到另一个图形的过程．在这个过程中，原来图形的形状、大小都没有改变，只是位置、方向发生了改变．如图 14-2-1 中，（1）图是△ ABC平移后得到△ DEF，（ 2）图是△ ABC翻折后得到△ DBC，（3）图是△ ABC 旋转一个角（即∠ BAD）后，得到△ ADE，（4）图是△ABC先平移（ BE），后翻折，得到△ DEF，以上这几种图形变化的过程都是全等变换．变换前后，两图形全等．2 ．轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．例如：图 14-2-2 中，△ DEF与△ ABC成轴对称，同样得到△ ABC的一系列对称图形△GHK、△ PQR、△ LMN等，并且△ ABC≌△ DEF≌△ GHK≌△ PRQ≌△LMN．以上这些图形的变化过程就是轴对称变换．3．轴对称变换的性质（1）变换前后的两个图形的形状、大小完全一样．（2）新图形的每一个点，都是原图形上每一个点关于某直线的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．【说明】如图 14-2-2 中，以△ ABC与△ DEF关于直线 l 对称为例说明如下：①△ ABC与△ DEF全等，只是图形的位置与方向发生变化，而形状、大小没变．②点 A、B、 C 分别与点 D、E、F 关于直线 l 对称．③线段 AD、 CF被直线 l 垂直平分．（4）①当对称轴平行时，变换一次，方向改变；变换两次，与原图形方向相同．依此类推，当变换奇数次时，方向改变，当变换偶数次时，方向不变．如图 14-2-3 ．②当对称不平行时，方向改变的幅度随对称轴的倾斜程度而变化．如图14-2-4 ．4．轴对称变换的应用利用轴对称变换可以设计出精美的图案，在许多美术作品和工艺制品中，经常看到轴对称变换的例子．如图 14-2-5 中的设计图：再如图 14-2-6 中的剪纸图：5．如何作一个图形关于某直线的对称图形由轴对称图形的性质可知，对称点的连线被对称轴垂直平分．因此，先把一个几何图形看成由一些点组成，只要作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可得到原图形关于对称轴的对称图形．对于一些由特殊直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可得到原图形关于对称轴的对称图形．例如：如图 14-2-7 中，已知△ ABC和直线 l ．作出△ ABC关于直线 l 的对称图形．分析：在（ 1）图中，△ ABC的三个顶点已确定，只要作出三个顶点关于直线 l 的对称点，连接这三个对称点，就得△ ABC关于直线 l 对称图形．作法：（ 1）图中，（1）过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为 G，在垂直线上截取 GA′＝ GA．则点A′，就是点 A 关于直线 l 的对称点（因 AA′被直线 l 垂直平分）．（2）同样道理和方法，分别作出点B、 C 关于直线 l 的对称点 B′、 C′．（3）连接 A′B′、 B′C′、 C′ A′，得到△ A′ B′ C′即为所求．在（ 2）图中，作法同（ 1）图的作法，图形如（ 2）图所示．再如一些几何图形的对称图形的画法，如图 14-2-8 所示．6．应用轴对称，寻找最佳方案问题例如：如图 14-2-9 ，在金水河的同一侧有两个村庄A、 B．要从河边同一点修两条水渠到 A、B 两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河MN何处使两条水渠最短？分析：先将具体问题抽象成数学模型．河流为直线MN，在直线 MN的同一侧有 A、B 两点．在直线 MN上找一点 P，使 P 点到 A、B 两点的距离之和为最小．这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决．解：如图 14-2-9 所示，作 B 点关于直线 MN的对称点 B′，连接 AB′与 MN 相交于点 P，则 P 点即为所求．事实上，如果不是 P 点而是 P′点时，则连接 AP′、P′B和 P′B′．由轴对称性可知， P′B＝P′B′， PB＝PB′，所以 P′到 A、B 的距离之和AP′＋P′B＝AP′＋ P′B′．而 P 到 A、B 的距离之和 AP＋ PB＝AP＋PB′＝ AB′，在△ AB′P′中，三角形两边之和大于第三边，即 AP′＋ P′B′＞AB′．所以 P 点即为所求的点．【说明】（1）此题为典型的最佳方案选择问题，问题的核心是如何节省材料，反映在数学上就是寻找最小值问题．（2）与此类型相似，前几节学过的利用角平分线、线段垂直平分线的性质解决等距问题，也是按此方法处理的．（3）解决这类问题时，先把具体问题抽象成数学模型，再用数学中学过的有关法则、定理等去解决．（4）在本例中，充分利用了轴对称的性质．7．轴对称的坐标表示方法点（ x， y）关于 x 轴对称点的坐标为（ x，－ y）；点（ x， y）关于 y 轴对称点的坐标为（－ x，y）．如图 14-2-10 中，点 P（2，3）关于 x 轴的对称点为P2（2，－ 3），关于 y轴的对称点为 P 1 ，（－ 2， 3）；点 P 2 关于 y 轴的对称点为 P 3（－ 2，－ 3）；而点 P 3 （－ 2，－ 3）与点 P 1（－ 2， 3）关于 x 轴对称．因此，我们得到规律：关于 x 轴对称的两个点的坐标， 横坐标不变， 纵坐标变成它的相反数； 关于y 轴对称的两个点，纵坐标不变，横坐标变成它的相反数．反过来，也成立．例如：判断下列各点的位置关系： C （－ ，－ ） D （－，）A （，－）B （，）2 5 2 5 2 5 2 5解：由坐标特点知， A 与 B 关于 x 轴对称， A 与 C 关于 y 轴对称， B 与 D 关于 y 轴对称．8 ．点 P （ x ， y ）关于直线 x ＝a 的对称点坐标如图 14-2-11中，点 P （ ， ）关于直线 x ＝ 2 的对称点为 P 1（ ， ）；关于1 43 4 直线 x ＝－ 1的对称点为 P 2（－ ， ）．3 4，而 P 1 、P 2 的横坐标发 由此可以看出，点 P 、P 1、P 2 的纵坐标都没变，都是 4生了变化，变化的规律是： P 1 点的横坐标比 A 点横坐标 2 多了一个 AP 1（即 AP ） 的长，而 AP 的长为 － ＝ ，∴ P 1 横坐标为 ＋（ － ）＝ ．2 1 1 2 2 1 3同样道理， P 2 点的横坐标是比 B 点横坐标－ 1 多了一个 BP 2（即 BP ）的长，而 BP 的长为｜－ － ｜＝ ，∴ P 2 横坐标为－ ＋（－ － ）＝－ ．1 12 1 1 1 3因此，得出规律：点 P （x ，y ）关于直线 x ＝ m 的对称点 P 1 的横坐标为 m ＋（ m － x ）＝ m － x ，纵坐标不变，即点 P 1、坐标为（m －x ，y ）．2 2P x ， y ）关于直线 y ＝ m 的对称点 P 2 的纵坐标为 m m y ）＝同样，点 （＋（ －m －y ，横坐标不变，即点 P 2 坐标为（x ， m － y ）．2 2 的对称点坐标为 P 1（ × － ，由此可以直接写出点 P （ ， ）关于直线 x ＝5 3 2 P 2（，） 2 5 3 2），即 P 1 （ ， ），关于 y ＝ 3的对称点 P 2 的坐标为7 2 3 4 例如：写出下列点关于直线 x ＝4 和直线 y ＝5 的对称点的坐标． A （2，3） B （4，5）C （－ 3， 1）D （－ 2，－ 1） 解：由上面的式子可知， 点关于直线 x ＝ 4 的对称点和关于直线 y ＝ 5 的对称 点坐标列表如下：A （2，3）B （4，5）C （－ 3，1）D （－ 2，－ 1） 关于直线 x ＝ 4 A 1（，）B 1（ ，５）C 1（，１）D 1（ ，－ ）的对称点6 341110 1关于直线 y ＝ 5A 2（ ，７）B 2（ ，５）C 2（－ ， ）D 2（－ ， ）的对称点243 9 2 11同样，关于 x 轴（y ＝0）对称的点的坐标中 x 坐标不变， y 坐标为其相反数；关于 y 轴（ x＝0）对称的点的坐标中， y 坐标不变， x 坐标为其相反数．9．轴对称在生产实际中的应用应用点的对称性质能解决生产实践中遇到的寻求最佳点的问题，看下面两个例子．例 1 ：如图 14-2-12 ，EFGH是一个长方形的台球桌面，有黑、白两球分别位于 A、B 位置上．试问：怎样撞击黑球 A，使黑球先撞击台边 EF，反弹后再击中白球 B？试画出黑球 A 的运动路线．画法：（ 1）作点 A 关于 EF 的对称点 A′．（2）连接 A′B 交 EF于点 M．点 M就是黑球 A 撞击边框 EF的位置，黑球 A 的运动路线为 AMB．根据物理知识，黑球 A 的入射角∠ AMC只有与黑球 A 撞击边框 EF反弹后的反射角∠ BMC相等，黑球 A 才能击中白球 B．证明：过点 M作垂线 CD．∵EF是线段 A′A 的中垂线，∴MA＝MA′，∴ ∠AMF＝∠ A′ MF．又∵∠FMC＝∠ FMD＝90°（已知），∴∠AMC＋∠ AMF＝ 90°，∠ A′MD＋∠ A′MF＝90°．∴∠AMC＝∠ A′MD（等角的余角相等）．又∵∠A′MD＝∠ BMC（对顶角相等）．∴∠AMC＝∠ BMC（等量代换）．例 2 ：如图 14-2-13 ，甲、乙、丙三人做接力游戏．开始时，甲站在∠ AOB 内的 P 点，乙站在 OA上，丙站在 OB上．游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑到终点 P 处．如果甲、乙、丙三个人速度相同，试找出乙、丙站在何处，他们比赛所用的时间最短．画法：（ 1）作点 P 关于 OA的对称点 P1．（2）作点 P 关于 OB的对称点 P2．（3）连接 P1P2交 OA于点 M，交 OB于点 N．则点 M是乙所站的位置，点N 是丙所站的位置．证明：若在 OA上取一点 M′，连接 M′P1，M′P．∵P 和 P1关于 OA对称，∴M′ P1＝ M′ P，同理在 OB上取一点 N′，则 N′P＝N′P2．若乙站在 M′位置，丙站在 N′位置，接力棒传递路线为： PM′＋ M′N′＋ N′P．∵P1M′＝ PM′， N′ P2＝N′P，∴PM′＋ M′N′＋ N′ P＝ P1′＋ M′N′＋ N′P2．∵两点间直线段最短，∴P1M′＋ M′N′＋ N′P2＞P1P2＝P1M＋MN＋NP2＝PM＋MN＋NP．因此，乙站在 M点，丙站在 N 点，甲、乙、丙三人传递接力棒的距离最短．。
几何变换4----轴对称变换
几何变换-轴对称变换提高题【知识提要】1. 如果已知平面上直线l 和一点A ，自点A 作l 的垂线，垂足设为H ，在直线AH 上、l 的另一侧取点A '，使得A H AH '=，如图所示，我们称点A '是点A 关于直线l 的轴对称点，或者说点A 与点A '关于直线l 为轴对称，其中l 称为对称轴.2. 图形F 的每一点关于直线l 的对称点组成的图形F '，称为F 关于轴l 的轴对称图形.把一个图形变为关于直线l 的轴对称图形的变换，叫作轴对称变换(或反射变换)，直线l 称为对称轴(反射轴).3. 我们容易想到，一条线段AA '关于它的垂直平分线为轴对称图形，一个角AOA '∠关于它的角平分线为轴对称图形.在几何证题或解题时，如果图形是轴对称图形，则经常要添加对称轴以便充分利用轴对称图形的性质；如果图形不是轴对称图形，往往可选择某直线为对称轴，补为轴对称图形，或将对称轴一侧的图形反射到该直线的另一侧，以实现条件的相对集中.4. 在几何问题中有两种常用而比较普遍的对称图形，它们是轴对称图形和中心对称图形.利用对称性解题是解决几何问题的有效方法之一，本讲重点讲解轴对称图形.(1) 轴对称变换：把一个图形变为关于某一直线为对称轴的轴对称图形，这种变换称为轴对称变换.在几何图形中，如果是轴对称图形，则常添加对称轴，以充分利用对称的性质.如等腰三角形、等腰梯形的对称轴可以应用三线合一等；对于正方形、菱形，经常添加对角线等.(2) 中心对称变换：把一个图形绕着一个定点按一定方向、一个角度旋转而得到另一个图形，这种变换称为旋转变换.特殊地，当旋转角为180 时，称为中心对称变换.平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形.在对称变换下，可使某些相关元素相对集中，为充分运用已知条件、转化结论提供方便.【例题精讲】【例1】在ABC ∆中，由A 点向BC 边引高线，垂足D 落在BC 上，如果2C B ∠=∠，求证：AC CD BD +=.A AB CD C 1AB C D【解法1】如图所示，以AD 为对称轴翻折ADC ∆到1ADC ∆的位置，则1C 在BD 上，1AC AC =，1C D CD =，12AC D ACD B ∠=∠=∠.在1ABC ∆中，根据外角定理可知11ABC BAC ∠=∠， 所以11AC BC =，故1111AC CD AC C D BC C D BD +=+=+=.【解法2】以AD 为对称轴翻折ABD ∆到AED ∆的位置，则12AED ABD ACB ∠=∠=∠，从而CA CE =.进而AC CD CE CD DE +=+=，而DE BD =(由“翻折”的特点决定)， 故AC CD BD +=.【解法3】回顾一下我们在第10讲中所学的知识，可知2()c b a b =+，即22c b ab -=.注意到2222222()2c b BD CD a x x a ax -=-=--=-，故22a ax ab -=， 即2a x b -=，亦即a x b x -=+，故BD AC CD =+.【点评】题设中的2C B ∠=∠给了我们太多的联想！我们不妨回忆一下第4讲、第5讲、第10讲，看看是否还有其他解法(比如延长AC 至E ，使CE CD =).【例2】如图所示，在四边形ABCD 中，BC CD =，60BCA ACD ∠-∠=︒，求证：AD CD AB +≥.AB C D ED CBA D'D CBA a-x x cbD C B A【解析】注意到60BCA ACD ∠-∠=︒，这提示我们可以进行对称变换以“创造”出60︒角.以AC 为对称轴将DAC ∆翻折到'D AC ∆的位置，连接'BD . 则'CD CD BC ==，''60BCD BCA ACD BCA ACD ∠=∠-∠=∠-∠=︒， 故'D BC ∆为等边三角形.从而''AD CD AD D B AB +=+≥， 等号成立时AC 平分BAD ∠.【变式】(第3届英国数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，AB AC >，BE 、CF 为ABC ∆的两条高，求证：AB CF AC BE +>+.【解法1】将改写A B C F A C B E +>+为AB AC BE CF ->-，可形成下面的思路：BAC ∠的平分线记为l ，作点C 关于l 的对称点'C ，作点F 关于l 的对称点'F ，过点'C 作BE 的垂线'CD ，因为'AB AC BC -=，''BE CF BE C F BD -=-=， 而'BC BD >，故AB CF AC BE +>+.【解法2】我们用“分析法”寻求思路：AB CF AC BE +>+22()()AB CF AC BE ⇔+>+222222AB CF AB CF AC BE AC BE ⇔++⋅>++⋅.注意到224ABC AB CF AC BE S ∆⋅=⋅=，222AB AE BE =+，222AC AF CF =+，故22AB CF AC BE AE AF AE AF +>+⇔>⇔>. 而由ABE ACF ∆∆∽、AB AC AE AF >⇒>.【例3】如图所示，在四边形ABCD 中，30AB =，48AD =，14BC =，40CD =，90ABD BDC ∠+∠= ，求四边形ABCD 的面积.48401430A'A B CDl 48401430A B CD EFCBAlDC'F'EFCBA【解析】直接计算四边形ABCD 的面积有困难，注意到90ABD BDC ∠+∠= ，我们以BD 的垂直平分线l 为对称轴，作ABD ∆的关于l 的轴对称图形'A DB ∆，从而可以将角度集中.1ABD A DB S S ∆∆=，'30A D AB ==，'48A B AD ==，'A DB ABD ∠=∠， 所以''A DC A DB BDC ∠=∠+∠90ABD BDC =∠+∠= ， 因此，'A DC ∆是直角三角形.由勾股定理求得'50A C . 在'A BC ∆中，'50A C =，'48A B =，14BC =.而2222'1448BC A B +=+1962304=+2500=2250'A C ==. 由勾股定理的逆定理可知'90A BC ∠= . 'ABCD A BCD S S =''A BC A DC S S ∆∆=+11''22A B BC A D CD =⋅+⋅ 114814304022=⨯⨯+⨯⨯ 336600936=+=.【变式】在凸四边形ABCD 中，105ADB ABC ∠=∠= ,75CBD ∠= .如果15AB CD ==厘米，求四边形ABCD 的面积.【解析】如图所示，以BD 边上的中垂线为对称轴作DBC ∆的轴对称图形1BDC ∆，则1DBC BDC S S ∆∆=，175C DB CBD ∠=∠=︒，110575180ADB C DB ∠+∠=︒+︒=︒， 故A 、D 、1C 共线.A BCDA B C D C 1又因为1057530ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 由ABD ∆可知1801053045A ∠=︒-︒-︒=︒， 而115C B CD AB ===， 故145C A ∠=∠=︒.因此190ABC ∠=︒，1ABC ∆是等腰直角三角形.故111515112.52ABCD ABC S S ∆==⨯⨯=.【例4】(1993年圣彼得堡数学奥林匹克竞赛试题) 已知点M 是四边形ABCD 的BC 边的中点，且120AMD ∠= ,证明：12AB BC CD AD ++≥.【解析】显然，要证题设的不等式，应当把AB ，12BC ，CD 三条线段首尾连接成一条折线，然后再与线段AD 比较.要实现这一构想，折线之首端应与A 点重合，尾端应与D 点重合，这可由轴对称来实现.以AM 为对称轴，作点B 关于AM 的对称点1B ，连接1AB 、1MB ， 则1AB AB =，1MB MB =，即1AB M ∆≌ABM ∆，由此1B MA BMA ∠=∠.B 1AB CDM C 1AB CDM再以DM 为对称轴，作点C 关于DM 的对称点1C ，连接1DC 、1MC ， 则1DC DC =，1MC MC =，即1DC M ∆≌DCM ∆，由此1C MD CMD ∠=∠. 而120AMD ∠= ，所以180********BMA CMD AMD ∠+∠=-∠=-= . 注意到1160B MA C MD BMA CMD ∠+∠=∠+∠= ，因此1111120()B MC B MA C MD ∠=-∠+∠ 1206060=-= ， 而1112MB MC BC ==，所以11B MC ∆是等边三角形，1112B C BC =. 由于两点之间以直线段为最短，所以1111AB B C C D AD ++≥，即12AB BC CD AD ++≥.【变式】(2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题) 设M 是凸四边形ABCD 的边BC 的中点，135AMD ∠=︒，求证：AB CD AD ++≥.【解析】作点B 关于AM 的对称点'B ，作点C 关于DM 的对称点'C ，连接'AB 、''B C 、'C D ， 则''MB MB MC MC ===， 且'AB AB =，'C D CD =. 而''90C MB ∠=︒，则'''B C ==，故''''AB CD AB B C C D AD ++=++≥.M D C B A C'B'M DCB A【例5】(2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，A ∠的平分线交BC 于点D ，已知2BD DC AD ⋅=，且45ADB ∠=︒，求ABC ∆的各个内角.【解析】AD 是角平分线提示我们可以进行“翻折”.将点C 翻折到'C 的位置，且'C 在AB 的延长线上，且'AC AC =，'DC DC ⊥，'DC DC =.延长CB 至点E ，使ED DC =，则2BD ED AD ⋅=，故E BAD DAC ∠=∠=∠， 从而222AC ED DC DC =⋅=，则'AC CC ==，故'AC C ∆为等边三角形.故60BAC ∠=︒，15ACB ∠=︒.【变式】如图所示，已知在ABC ∆中，6AB =，3AC =，120BAC ∠= ，BAC ∠的平分线交BC 于D ，求AD 之长.【解法1】由于AD 平分BAC ∠，因此这就提供了以AD 为轴进行对称变换的可能性.取AB 的中点C '，连接CC '，交AD 于O ，易知AOC ∆与AOC '∆关于AD 对称，且AO CC '⊥.由于30ACO ∠= ，3AC =，所以32AO =. 延长AC 至B '，使6AB '=，连接BB '交AD 的延长线于点E . C B A D C'C B AO E D B'EC'45︒DCBA 45︒D CB A显然ABE ∆和AB E '∆关于AE 对称，且AE BB '⊥. 由于OC 是AEB '∆的中位线， 所以32AO OE ==，1122OC EB BE '==. 因为OC OD BE DE =， 所以12OD DE =. 所以332OD =，12OD =. 于是31222AD AO OD =+=+=. 【解法2】回顾一下我们学过的第9讲例3之“变式2”：如图所示，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠且交BC 于点D ，求证：111AD AB AC=+. 直接应用此结论可得11163AD =+， 即2AD =.下面的题目作为备用题：【备选1】如图所示，在ABC ∆中，2ACB ABC ∠=∠，P 为三角形内一点，AP AC =，PB PC =，求证：3BAC BAP ∠=∠.PC BAPCBAMA'DB A【解析】由已知条件PB PC =，考虑作直线PM BC ⊥于M ，并以PM 为对称轴将APC ∆翻折至A PB '∆的位置，连接AA '.由轴对称的性质有//AA BC '，2A BC ACB ABC '∠=∠=∠. 因为A AB ABC A BA ''∠=∠=∠， 于是AA A B AC AP A P '''====， 即A AP '∆是正三角形，从而可得60ABC A AB BAP '∠=∠=-∠ ，21202ACB ABC BAP ∠=∠=-∠ .再由ABC ∆三内角之和为180 ，即(60)(1202)180BAP BAP BAC -∠+-∠+∠= ， 整理后得3BAC BAP ∠=∠.【备选2】如图所示，在ABC ∆中，60B ∠= ，100A ∠= ，E 为AC 的中点，80DEC ∠= ，D是BC 边上的点，1BC =，求ABC ∆的面积与CDE ∆的面积的两倍的和.【解析】将ABC ∆补成一个等边三角形，并作ABC ∆的对称三角形，可以发现等边三角形的面积等于24ABC CDE S S ∆∆+.作60BCF ∠= ，其中点F 在BA 的延长线上，则BFC ∆为等边三角形.作CH BF ⊥于点H ，并取点A 关于点H 的对称点G ， 则有18080CGH CAH BAC ∠=∠=-∠= .而80DEC ∠= ，18080EDC DEC ACB ∠=-∠-∠= ， 故CGA CED ∆∆∽，且相似比为2. 则4CAG CDE S S ∆∆=.ED C B A GHFE D C B A而ABC GFC S S ∆∆=(ABC GFC ∆∆≌)， 故2ABC CDE S S ∆∆+12FBC S ∆==【复习巩固】练习1. 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，点P 在ABD ∆内部，求证：APB APC ∠>∠.【解析】作点P 关于AD 的对称点'P ，连接'AP 并延长交PC 于点Q ，连接'P C .因为AB AC =，AD 是BC 边上的高， 易得'AP C APB ∠=∠.因为''AP C P QC ∠>∠，'P QC APC ∠>∠， 故APB APC ∠>∠.练习2.(1997年罗马尼亚数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC BD ⊥，求证：(1) AD BC AB CD +≥+； (2) AD BC AB CD ⋅≥⋅.DCBA C'D'DCB A D QP'P CB AP D CB A【解析】(1) 以AC 为对称轴将ADC ∆翻折到'AD C ∆的位置，则由AC BD ⊥可知'D 在BD 上，且'AD AD =，'CD CD =.将DC 平移到'BC 的位置，则由AB CD ∥可知'C 在AB 的延长线上， 且''C B CD CD ==，'CC BD ∥，因此''BC CD 是一个等腰梯形，所以''BC D C =，于是'''''AD BC AD D C AC AB BC AB CD +=+≥=+=+.(2) 由(1)可得22()()AD BC AB CD +≥+，即222222AD BC AD BC AB CD AB CD ++⋅≥++⋅， 而由AC BD ⊥及勾股定理可得2222AD BC AB CD +=+， 故AD BC AB CD ⋅≥⋅.练习3. 在ABC ∆中，AB AC =，60120A ︒<∠<︒，P 为ABC ∆内部一点，PC AC =，120PCA A ∠=︒-∠，求CBP ∠的度数.【解析】容易求得1302PAC A ∠=∠+︒，1302BAP BCP A ∠=∠=∠-︒. ABC ∆的对称轴为AD ，作点P 关于AD 的对称点'P ， 则'60PAP ∠=︒，故'APP ∆为等边三角形，则'P C 平分ACP ∠，1'602PCP A ∠=︒-∠. 故11'(30)(60)3022CBP BCP A A ∠=∠=∠-︒+︒-∠=︒.练习4. 如图所示，P 为ABC ∆边BC 上的一点，且2PC PB =，已知45ABC ∠= ，60APC ∠= ，试求ACB ∠的度数.P C B A D P'P CB AC P B ACP BA C 1M【解析】作出点C 关于直线AP 的对称点1C ，连接1BC 、1PC 、1AC ，则12C P CP BP ==，如图所示.11180C PB APC APC ∠=-∠-∠ 180606060=--= . 取1C P 的中点M ，连接BM ，则BM P ∆为等边三角形，1BM MP MC ==， 故111302C BM BC M BMP ∠=∠=∠= ，190C BC ∠= . 又因为45ABC ∠= ，故1ABC ABC ∠=∠，故AB 平分1C BC ∠， 故A 点到直线CP 、1PC 、1BC 等距， 从而1AC 是1BC P ∠的外角平分线， 所以11(18030)752ACB AC P ∠=∠=-= .‘’。