高中数学北师大版必修一3.3.1 同步练习《指数函数的概念》

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2017-2018学年高中数学必修一北师大版练习：第3章 3-1

第三章 §3 3.1A 级基础巩固1．下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3，其中指数函数的个数是导学号 00814643( B )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ①中，3x 的系数2不是1，因此不是指数函数；②中3的指数是x ＋1，不是x ，因此不是指数函数；③中满足指数函数的定义，故③正确；④中函数是幂函数，故选B ．2．函数y ＝2－x 的图像是下图中的导学号 00814644( B )[解析] ∵y ＝2－x ＝(12)x ，∴函数y ＝(12)x 是减函数，且过点(0,1)，故选B ．3．(2016·山东理，2)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝导学号 00814645( C )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}．B ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |x >0}∪{x |－1<x <1}＝{x |x >－1}． 4．已知函数f (x )＝2x －1＋1，则f (x )的图像恒过定点导学号 00814646( C )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(1,1)[解析] 代入选项易知C 正确．5．经过点(－32，827)的指数函数的解析式为导学号 00814647( A )A ．y ＝(94)xB ．y ＝(32)xC ．y ＝(49)xD ．y ＝(23)x[解析] 将点(－32，827)代入指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)中，则a －32 ＝827，即(1a )32 ＝(23)3，所以1a ＝23，即a ＝94.6．(2014·山东高考)设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝导学号 00814648( C )A ．[0,2]B ．(1,3)C ．[1,3)D ．(1,4)[解析] 本题考查指数函数集合的运算． |x －1|<2，∴－2<x －1<2 即－1<x <3，y ＝2x,0≤x ≤2 ∴20≤y ≤22，即1≤y ≤4 ∴A ∩B ＝[1,3)． 7．函数f (x )＝a x2＋2x －3＋m(a >1)恒过点(1,10)，则m ＝_9__.导学号 00814649[解析] ∵函数f (x )＝a x2＋2x －3＋m(a >1)恒过点(1,10)，∴10＝a 0＋m ，∴m ＝9.8．若函数f (x )的图像与函数g (x )＝(12)x 的图像关于y 轴对称，则满足f (x )≥2的x 的取值范围是_[1，＋∞)__.导学号 00814650[解析] 由题意知，f (x )的解析式是f (x )＝(12)－x ＝2x ，由f (x )≥2得2x ≥2，解得x ≥1.9．若函数y ＝(4－3a )x 是指数函数，求实数a 的取值范围.导学号 00814651 [解析] y ＝(4－3a )x 是指数函数，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧4－3a >0，4－3a ≠1，解得a <43且a ≠1，故a 的取值范围为{a |a <43且a ≠1}．10．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1).导学号 00814652(1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )在(－1，＋∞)上的单调性．[解析] (1)只需x ＋1≠0时，f (x )都有意义，故f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠－1}．(2)设x 1，x 2是(－1，＋∞)上任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋x 1－2x 1＋1－(ax 2＋x 2－2x 2＋1) ＝(ax 1－ax 2)＋3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1).∵－1<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. 又a >1，∴ax 1<ax 2，即ax 1－ax 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )在(－1，＋∞)上是增加的．B 级素养提升1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于导学号 00814653( A )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析] 本题考查分段函数求值．∵f (1)＝21＝2，∴由f (a )＋f (1)＝0知 f (a )＝－2. 当a >0时 2a ＝－2不成立．当a <0时a ＋1＝－2，a ＝－3. 2．函数y ＝2x＋1的图像是图中的导学号 00814654( B )[解析] x ＝0时，y ＝2；且y ＝2x＋1的图像是y ＝2x 的图像向左平移1个单位得到的，为增函数．3．若指数函数f (x )的图像经过点(2,4)，则f (3)＝_8__.导学号 00814655[解析] 设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，因为图像经过点(2,4)，所以f (2)＝4，即a 2＝4.因为a >0且a ≠1，得a ＝2，即函数的解析式为f (x )＝2x ，∴f (3)＝23＝8.4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－1，x ≤0x 12 ，x >0.则满足f (x )>1的x 的取值范围是_{x |x >1或x <－1}__.导学号 00814656[解析] 由已知f (x )>1可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2－x －1>1或⎩⎨⎧x >0，x 12 >1，解得x >1或x <－1，故{x |x >1或x <－1}．5．已知f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，求a 的值及函数的值域.导学号 00814657[解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )对定义域内的每一个x 都成立．即12－x－1＋a ＝－[12x －1＋a ]， ∴2a ＝－12－x －1－12x －1＝1，∴a ＝12.∵2x －1≠0，∴x ≠0.∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵2x >0且2x ≠1，∴2x －1>－1且2x －1≠0， ∴12x－1<－1或12x －1>0，∴y <－12或y >12.∴f (x )的值域为(－∞，－12)∪(12，＋∞)．6．画出函数y ＝|2x －1|的图像，并利用图像回答：k 为何值时，方程|2x －1|＝k 无解？有一解？有两解？导学号 00814658[解析] 函数y ＝|2x －1|的图像是由函数y ＝2x 的图像向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，图像如图所示．当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|2x －1|的图像无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|2x －1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|2x －1|的图像有两个不同交点，所以方程有两解．C 级能力拔高设f (x )＝4x4x ＋2，若0<a <1，试求：导学号 00814659(1)f (a )＋f (1－a )的值；(2)f (11001)＋f (21001)＋f (31001)＋…＋f (10001001)的值．[解析] (1)f (a )＋f (1－a )＝4a 4a＋2＋41－a 41－a ＋2＝4a4a ＋2＋44a44a＋2 ＝4a 4a ＋2＋44＋2·4a ＝4a 4a＋2＋22＋4a ＝4a ＋24a ＋2＝1. (2)f (11001)＋f (21001)＋f (31001)＋…＋f (10001001)＝[f (11001)＋f (10001001)]＋[f (21001)＋f (9991001)]＋…＋[f (5001001)＋f (5011001)]＝500×1＝500.。

北师大版数学高一必修1同步练习 3.3指数函数

§3 指数函数3．1 指数函数的概念3．2 指数函数y ＝2x 和y ＝(12)x 的图像和性质3．3 指数函数的图像和性质1．函数y ＝2－x的图像是( )2．已知c<0，下列不等式中成立的是( )A ．c>2cB ．c>(12)cC ．2c <(12)cD ．2c >(12)c3．设f(x)＝3x ＋2，则函数f(x)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)4．已知函数f(x)＝4＋a x －1(a>0，a ≠1)的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,4) D ．(4,0) 5．(1)已知3x ≥9，求实数x 的取值范围；(2)已知0.2x ＋1<5，求实数x 的取值范围．课堂巩固1．设3x ＝17，则( )A ．－2<x<－1B ．－3<x<－2C ．－1<x<0D ．0<x<1 2．设x>0且a x <b x <1，则a 、b 的大小关系是 … ( )A ．b<a<1B ．a<b<1C ．1<b<aD ．1<a<b3．若0<a<1，记m ＝a －1，n ＝a －43，p ＝a －13，则m 、n 、p 的大小关系是( )A ．m<n<pB ．m<p<nC ．n<m<pD ．p<m<n4．下图所示为指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图像，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．b ＜a ＜1＜d ＜cC ．1＜a ＜b ＜c ＜dD ．a ＜b ＜1＜d ＜c5．(1)方程3x －1＝19的解是________．(2)已知函数f(x)满足：对任意实数x 1<x 2，有f(x 1)<f(x 2)，且f(x 1＋x 2)＝f(x 1)·f(x 2)，请你写出满足这些条件的一个函数为________．6．已知函数f(x)的定义域为[12，4]，求函数f(2x )的定义域．7．(易错题)已知函数y ＝9x －2·3x ＋2，x ∈[1,2]，求函数的值域．1．已知a ＝(34)－13，b ＝(43)14，c ＝43，则A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a 2．函数y ＝1－3x 的定义域是A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)3．若函数y ＝a x ＋b －1(a>0且a ≠1)的图像经过一、三、四象限，则一定有 A ．a>1且b<1 B ．0<a<1且b<0 C ．0<a<1且b>0 D ．a>1且b<04．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x>1，(4－a2)x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 A ．(1，＋∞) B ．(1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)5．指数函数y ＝(2m －1)x 在R 上是减函数，则m 的取值范围是________．6．已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，下列五个关系式：①0<b<a ；②a<b<0；③0<a0，且a ≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，求a 的值．8．分别比较函数f(x)＝2x 2－2x －1，g(x)＝(12)x 2－2x －1与函数y ＝x 2－2x －1的单调性之间的关系．9．已知函数f(x)＝(12x －1＋12)·x 3.(1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性；(3)证明f(x)>0.答案与解析§3 指数函数3．1 指数函数的概念3．2 指数函数y ＝2x 和y ＝(12)x 的图像和性质3．3 指数函数的图像和性质课前预习1．B 2.C 3.D 4.A5．解：(1)∵3>1，∴指数函数y ＝3x 在R 上是增函数．由3x ≥9＝32，可得x ≥2，即x 的取值范围是[2，＋∞)． (2)∵0<0.2<1，∴指数函数y ＝0.2x 在R 上是递减函数．∵5＝(15)－1＝0.2－1，∴0.2x ＋1<0.2－1.∴x ＋1>－1.∴x>－2，即x 的取值范围是(－2，＋∞)．课堂巩固1．A ∵19<17<13，∴3－2<3x <3－1.又y ＝3x 在R 上为增函数，∴－2<x<－1，故选A.2．B 由指数函数的性质可知0<a<1,0<b<1，令x ＝1，则a<b<1，故选B.3．D 因为0<a<1，所以函数y ＝a x 是减函数．又由－43<－1<－13，所以p<m<n.4．B 作直线x ＝1，它与各图像相交，其交点的纵坐标恰为指数函数的底数，易知b<a<1<d<c.故选B.5．(1)－1 (2)f(x)＝2x (1)由19＝3－2，∴3x －1＝3－2得x －1＝－2.∴x ＝－1.(2)这是一道开放性题目，答案不唯一，只按要求写出一个即可．由题意知，f(x)为增函数且满足指数幂的运算性质，∴此函数可认为是指数函数y ＝a x (a>1)．6．解：∵f(x)的定义域为[12，4]，∴12≤2x ≤4，即2－1≤2x ≤22.又函数y ＝2x 是R 上的增函数，∴－1≤x ≤2.故函数f(2x )的定义域为[－1,2]．7．解：y ＝9x －2·3x ＋2＝(3x )2－2·3x ＋2，设t ＝3x .∵x ∈[1,2]，∴t ∈[3,9]，则函数化为y ＝t 2－2t ＋2，t ∈[3,9]．(单调性法)∵f(t)＝(t －1)2＋1，f(t)在[3,9]上递增，∴f(3)≤f(t)≤f(9)． ∴5≤f(t)≤65，即值域y ∈[5,65]．(图像法)作出函数y ＝t 2－2t ＋2，t ∈[3,9]的图像，可知函数在[3,9]上单调递增，∴5≤y ≤65，即函数的值域为{y|5≤y ≤65}．点评：利用换元法把已知函数转化为条件二次函数类型，是高中数学的一类典型题目，求二次函数的闭区间最值或值域时，应要求对二次函数的掌握要十分到位，比如开口方向，对称轴，单调性，顶点与区间端点哪个对应的函数值最大，哪个对应的函数值最小等都很清楚，用换元法虽然简便(设t ＝3x )，但必须注意换元后新变量(t)的取值范围，若3是字母a 且情形不定，则需要分类讨论，分a>1和0<a<1两种情况．解此类问题，常结合图像，运用数形结合思想，形象直观．课后检测1．C ∵a ＝(34)－13＝(43)13，b ＝(43)14，c ＝(43)12且14<13<12，根据指数函数y ＝(43)x 在R 上是增函数得b ＜a ＜c.故选C.2．B 要使函数有意义，必须1－3x ≥0，即3x ≤1,3x ≤30，∴x ≤0.∴函数的定义域为(－∞，0]．3．D 函数y ＝a x ＋b －1(a>0且a ≠1)的图像经过一、三、四象限，则必有a>1；即⎩⎪⎨⎪⎧a>1，f(0)<0，∴⎩⎨⎧a>1，b<0.4．D 由f(x)在R 上是单调增函数，知a>1，4－a 2>0，a 1≥(4－a2)×1＋2同时成立，解此不等式组得a ∈[4,8)．点评：利用函数的单调性求参数范围问题，无论运用什么方法求解，最终都必须转化为含该参数的不等式(组)解决，但要注意转化的等价性．本题已知函数为指数函数与一次函数构成的分段函数，利用单调性时要特别注意两段的衔接点，因为f(x)是定义域为R 上的递增函数，所以当x ＝1(衔接点)时，必有a 1≥(4－a2)×1＋2成立(等号成立)，若忽视这一点，就会得出1<a<8，而错选为B 项．5．(12，1) 由题意知0<2m －1<1，∴12<m<1. 6．2 由题意：当a ＝b ＝0时，(12)a ＝(13)b ＝1，∴⑤正确；当a<0，b<0时，∵2－a ＝3－b ，∴－a>－b>0，即a<b<0.∴②正确；当a>0，b>0时，∵2－a ＝3－b ，∴－b>－a ，即a>b>0.∴①正确；∴③④不可能成立(可借助图像分析) 7．解：y ＝(a x )2＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2. 令a x ＝t>0，∴y ＝(t ＋1)2－2. 当a>1时，∵－1≤x ≤1，∴a －1≤a x ≤a 1，即1a≤t ≤a.∵函数在[1a ，a]上是增加的，∴当t ＝a 时有最大值．∴(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．当0<a<1时，t ＝a x 在[－1,1]上是减少的， ∴a 1≤a x ≤a －1，即a ≤t ≤1a .∴当t ＝1a 时函数y 有最大值14.∴(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(a ＝－15舍去)． ∴a 的值为3或13.8．解：因为y ＝(x －1)2－2，所以函数y ＝x 2－2x －1的单调减区间是(－∞，1]，单调增区间是[1，＋∞)，设x 1，x 2∈(－∞，1]，且x 1<x 2，则y 1>y 2.因为函数y ＝2x 是增函数，y ＝(12)x 是减函数，所以2y 1>2y 2，即(12)y 1<(12)y 2，即f(x 1)>f(x 2)，g(x 1)<g(x 2)．所以函数f(x)＝2x 2－2x －1在区间(－∞，1]上是减函数，g(x)＝(12)x 2－2x －1在区间(－∞，1]上是增函数．同理，函数f(x)＝2x 2－2x －1在区间[1，＋∞)上是增函数，函数g(x)＝(12)x 2－2x －1在区间[1，＋∞)上是减函数，因此函数y ＝x 2－2x －1单调递增时，函数f(x)＝2x 2－2x －1单调递增，g(x)＝(12)x 2－2x －1单调递减；函数y ＝x 2－2x －1单调递减时，函数f(x)＝2x 2－2x－1单调递减，g(x)＝(12)x 2－2x －1单调递增．9．解：(1)由题意，2x －1≠0，即x ≠0， ∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)令g(x)＝12x －1＋12，φ(x)＝x 3，则f(x)＝g(x)·φ(x)．∵g(－x)＝12－x －1＋12＝2x 1－2x ＋12＝－2x 2x －1＋12＝－(2x －1)＋12x －1＋12＝－1－12x －1＋12＝－12x －1－12＝－(12x －1＋12)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数．又∵显然φ(x)＝x 3为奇函数，∴f(x)＝(12x －1＋12)·x 3为偶函数．(3)证明：x>0时，2x >1，∴2x －1>0.又∵x 3>0，∴f(x)>0.由偶函数的图像关于y 轴对称，知x<0时，f(x)>0也成立．故对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.。

北师版高中数学必修第一册课后习题第3章指数运算与指数函数 3 指数函数 (2)

§3 指数函数课后训练巩固提升1.如果指数函数y=f(x)的图象经过点(-2,14),那么f(4)·f(2)等于( ).A.8B.16C.32D.64f(x)=a x (a>0,且a≠1),由条件知f(-2)=14,故a -2=14,所以a=2,因此f(x)=2x ,所以f(4)·f(2)=24×22=64.2.不论a 取何正实数,函数f(x)=a x+1-2的图象恒过点( ).A.(-1,-1)B.(-1,0)C.(0,-1)D.(-1,-3)x+1=0,则x=-1,f(-1)=1-2=-1,所以f(x)的图象恒过点(-1,-1).3.函数y=a |x|(0<a<1)的大致图象是( ).|x|(0<a<1)是偶函数,先画出当x≥0时的图象,再画出关于y 轴对称的图象.又0<a<1,故选C.4.(多选题)已知函数f(x)=πx ,g(x)=(1π)x,则下列说法正确的有( ). A.f (15)>g (16) B.f(x)与g(x)的图象关于x 轴对称C.f(x)与g(x)的图象关于y 轴对称D.f(x)与g(x)的图象可能有两个公共点(15)=π15>1,g (16)=(1π)16<1, 所以f (15)>g (16).故A 正确. 设点(x,y)为函数f(x)=πx 的图象上任意一点,则点(-x,y)为函数g(x)=π-x =(1π)x的图象上的点.因为点(x,y)与点(-x,y)关于y 轴对称,所以函数f(x)=πx 与g(x)=(1π)x的图象关于y 轴对称.故C 正确,B 错误. f(x)与g(x)的图象只有一个公共点(0,1).故D 错误.5.若指数函数f(x)=a x (a>0,且a≠1)的图象过点(2,14),则满足a x 2>a 2-x 的x 的取值范围是( ).A.{x |-1<x <12}B.{x|-2<x<1}C.{x|x<-2,或x>1}D.{x |x <-1,或x >12},f(2)=14,即a 2=14, 所以a=12, 所以a x 2>a 2-x ,即(12)x 2>(12)2-x ,所以x 2<2-x,即x 2+x-2<0,解得-2<x<1.6.若-1<x<0,a=2-x ,b=2x ,c=0.2x ,则a,b,c 的大小关系是 .(用“<”连接)-1<x<0,所以由指数函数的图象和性质,可得b=2x <1,a=2-x >1,c=0.2x >1.又因为2-x =0.5x <0.2x ,所以b<a<c.7.已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x -a -x +2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,则f(2)= ,函数f(x)的图象与x 轴的交点坐标为 .f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴由f(x)+g(x)=a x -a -x +2,①得f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=a-x-a x+2,②①+②,得2g(x)=4,即g(x)=2;①-②,得2f(x)=2a x-2a-x,即f(x)=a x-a-x.又g(2)=a,∴a=2,∴f(x)=2x-2-x,.∴f(2)=22-2-2=154令f(x)=0,得2x-2-x=0,解得x=0.故所求交点坐标为(0,0).(0,0)8.已知函数y=9x-2·3x+2,x∈[1,2],求函数的值域.x-2·3x+2=(3x)2-2·3x+2.设t=3x.∵x∈[1,2],∴t∈[3,9],则函数化为y=f(t)=t2-2t+2,t∈[3,9]. ∴f(t)在区间[3,9]上单调递增,∴f(3)≤f(t)≤f(9),即5≤f(t)≤65.故所求值域为[5,65].9.已知定义在R上的函数f(x)=2x-1.2|x|(1)若f(的取值范围.当x<0时,f(x)=0,没有符合要求的x;当x≥0时,f(x)=2x-12x,由2x-12x =32,得2·22x-3·2x-2=0,将上式看成关于2x的一元二次方程,解得2x=2或2x=-12.∵2x>0,∴2x=2,∴x=1.综上所述,所求f(t)≥0恒成立,即2t(22t-122t )+m(2t-12t)≥0恒成立,即m(22t-1)≥-(24t-1)恒成立.∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1)恒成立.∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5], 故实数m的取值范围是[-5,+∞).。

北师大新版数学必修第一册第三章指数运算与指数函数基础测试题

北师大新版数学必修第一册第三章指数运算与指数函数基础测试题一、单选题1．以下关于函数()2xf x =的说法正确的是（）A ．()()()f mn f m f n =B ．()()()f mn f m f n =+C ．()()()f m n f m f n +=+D ．()()()f m f n f m n =+2．下列各式中成立的是（）A ．7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．4312(3)3-=-C ．3332()x y x y +=+D ．2(3)3ππ-=-3．已知223x x -+=，则1x x -+的值为（） A ．5B ．1C ．5±D ．±14．已知指数函数()f x 过点(2,4)-，则(6)f =（） A ．34B ．164C ．43D ．1125．函数()13x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象过定点（）A ．()1,4B ．()3,1C ．()0,3D ．()1,06．下列函数中，在()0,∞+上为减函数的是（） A ．3xy =B ．1y x=-C ．13xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．2y x =-7．若01a <<,1b >则函数()x f x a b =-的图象一定经过（） A ．第一、二象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限8．若20.5a =，20.5b =，0.52c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a c b <的图象是（）A ．B ．C ．D ．10．函数221()2x xy -+=的单调递增区间是（） A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞11．下列式子成立的是（） A ．3a a a -=-B ．3a a a -=--C ．3a a a -=D ．3a a a -=-12．函数2(33)x y a a a =--是指数函数，则有（） A ．1a =-或4a = B ．4a = C ．1a =- D ．0a >或1a ≠二、填空题13．函数2x y =，[]1,2x ∈-的值域为___________. 14113202581()9274e π-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=________.15．关于x 的方程2320205xaa+=-有实数根，则实数a 的取值范围为______. 16．已知函数1()x f x a -=(0a >且1)a ≠，若(2021)(2020)f f >，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题17．计算：（1）0220.254361822772-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知：11223a a-+=，求12222a a a a --+++-18．已知函数()2121x x f x -=+.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明()f x 在其定义域上的单调性.19．函数f (x )＝2x 和g (x )＝2x 的图象如图所示，设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜x 2.（1）请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；（2）结合函数图象，判断32f ⎛⎫⎪⎝⎭与32g ⎛⎫⎪⎝⎭，f (2 019)与g (2 019)的大小．20．已知1(),()xx f x a g x a ⎛⎫== ⎪⎝⎭（0a >，且1a ≠），（1）讨论函数()f x 和()g x 的单调性.（2）如果()()f x g x <，那么x 的取值范围是多少？21．已知函数2()(0)2x x af x a a =+>是R 上的偶函数．（1）解不等式17()4f x <；（2）若关于x 的不等式()21xmf x m -≤+-在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围．22．已知函数()22,04,0x x f x x x x ⎧≤=⎨-+>⎩，（1）求()()5ff 的值；（2）画出函数()f x 的图像；（3）求函数()f x 的单调区间，并写出函数()f x 的值域.参考答案1．D 【分析】利用特殊值法可判断ABC 选项的正误，利用指数幂的运算性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，取1m n ==，则()()12f mn f ==，()()()()21124f m f n f f ===，此时()()()f mn f m f n ≠，A 选项错误；对于B 选项，取1m n ==，则()()12f mn f ==，()()()()114f m f n f f +=+=，此时()()()f mn f m f n ≠+，B 选项错误；对于C 选项，取0m n ==，则()()01f m n f +==，()()()()002f m f n f f +=+=，此时()()()f m n f m f n +≠+，C 选项错误；对于D 选项，()()()222mnm nf m f n f m n +=⋅==+，D 选项正确.故选：D. 2．D 【分析】根据指数幂的性质即可化简判断. 【详解】对于A ，777n n m m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，==B 错误；对于C ，显然不成立，故C 错误；对于D 33ππ=-=-，故D 正确. 故选：D. 3．C 【分析】将1x x -+平方即可求解. 【详解】由()212225x x x x --+=++=，知1x x -+=故选：C . 4．B 【分析】设出函数解析式，代入点(2,4)-可求得12a =，即可求出(6)f . 【详解】设()xf x a =（0a >且1a ≠），()224f a -∴-==，解得12a =， 611(6)264f ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭.故选：B. 5．A 【分析】令10x -=，解出x 的值，代入函数()f x 的解析式，计算可得出该函数的图象所过定点的坐标. 【详解】令10x -=，可得1x =，则()0134f a =+=，因此，函数()13x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象过定点()1,4.故选：A. 6．D 【分析】结合相应的函数的性质对选项进行逐一判断. 【详解】对于A ，由指数函数的性质知，3xy =在()0,∞+上为增函数，不满足，对于B ，1y x=-在()0,∞+上为增函数，不满足，对于C ，13xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上为增函数，不满足对于D ，二次函数2y x =-在()0,∞+上为减函数，满足故选：D 7．D 【分析】根据01a <<,1b >，得到(0)0f <，且是是R 上的减函数判断. 【详解】因为01a <<,1b >，所以0(0)10f a b b =-=-<，且函数是R 上的减函数，图象如图所示：所以其图象一定经过第二、三、四象限，故选：D 8．C 【分析】直接求出,,a b c 的值，即可得答案；【详解】2,1,41a b c ==-=∴b a c <<，故选：C. 9．B 【分析】,0,0x xx a x y a a x -⎧>==⎨<⎩，根据指数函数的性质，作出分段函数的图象即可.【详解】,0,0x xx a x y a a x -⎧>==⎨<⎩，当0x ≥时，因为1a >，所以xy a =过点()0,1且单调递增，结合指数函数的图象特点，排除选项A 、C 、D ，故选：B 10．C 【分析】利用复合函数判断单调性“同增异减”的方法求解即可【详解】解：令22t x x =-+，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为22t x x =-+在(,1]-∞上单调递增，在[1,)+∞上单调递减，12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内为减函数，所以221()2x xy -+=在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，故选：C 11．B 【分析】根据根式有意义求得a 的符号，结合根式的运算性质可得出与a 相等的代数式.【详解】若a 有意义，则0a -≥，可得0a ≤，(a a a ∴=--=--⨯=故选：B. 12．B 【分析】根据指数函数的概念，得到233101a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，求解，即可得出结果.【详解】因为函数2(33)xy a a a =--是指数函数，所以233101a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得4a =.故选：B. 【点睛】本题主要考查由指数函数的概念求参数，属于基础题型. 13．1,4?2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用指数函数的单调性即可得到答案. 【详解】因为2xy =在区间[]1,2-为增函数，所以值域为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．2 【分析】利用指数的运算法则直接进行运算；【详解】113208152()12227433e π-⎛⎫⎛⎫-++=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：2. 15．2,53⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】根据指数函数的性质，由题中条件，得到2305aa+>-，求解，即可得出结果. 【详解】因为指数函数2020xy =的值域为()0,∞+，关于x 的方程2320205xaa+=-有实数根，所以只需2305a a +>-，即3205a a +<-，解得253a -<<；故答案为：2,53⎛⎫- ⎪⎝⎭.16．(0,1) 【分析】由已知可得20202019a a -->，从而可求出a 的取值范围【详解】解：因为1()xf x a-=(0a >且1)a ≠，且(2021)(2020)f f >，所以1202112020a a -->，即20202019a a -->，所以01a <<，所以实数a 的取值范围为(0,1) 17．（1）4，（2）15【分析】（1）把根式化为分数指数幂，然后利用分数指数幂运算性质求解即可；（2）对11223a a -+=两边平方化简求出1a a -+，再平方可求出22a a -+的值，从而可求出结果【详解】解：（1）原式23132344122(3)2=-⨯+-1294=-+-4=（2）由11223a a -+=，得1112229a a a a --++=，得17a a -+=，所以212249a a a a --+⋅+=，所以2247a a -+=，所以122272912472455a a a a --+++===+-- 18．（1）详见解答；（2）详见解答.【分析】（1）求出()f x -判断与()f x 的关系，即可得出结论；（2）将()f x 分离常数，任取12x x <，用作差法比较12(),()f x f x 大小，即可得出结论.【详解】（1）()f x 的定义域为实数集R ，2112()()2112x x x x f x f x -----===-++，所以()f x 是奇函数；（2）()21212121x x x f x -==-++，设12x x <， 12121212222(22)()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-+=+++⋅+， 12121212,022,220,()()x x x x x x f x f x <<<-<<，所以()f x 在实数集R 上增函数.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的证明，意在考查逻辑推理能力，属于基础题.19．（1）C 1对应的函数为g (x )＝2x ，C 2对应的函数为f (x )＝2x ；（2）3322f g ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；f (2 019)＞g (2 019)．【分析】（1）观察图象可得结果；（2）从图象上可以看出，当1＜x ＜2时，f (x )＜g (x )，进而可得32f ⎛⎫⎪⎝⎭与32g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小，当x ＞2时，f (x )＞g (x )，可得f (2 019)与g (2 019)的大小关系.【详解】（1）由图像可得：C 1对应的函数为g (x )＝2x ，C 2对应的函数为f (x )＝2x .（2）∵f (1)＝g (1)，f (2)＝g (2)从图象上可以看出，当1＜x ＜2时，f (x )＜g (x )， ∴3322f g ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当x ＞2时，f (x )＞g (x )，∴f (2 019)＞g (2 019).【点睛】本题考查函数图象的应用，利用函数图象以比较函数值的大小，是基础题.20．（1）当1a >时，()x f x a =是R 上的增函数，()g x 是R 上的减函数；当01a <<时，()f x 是R 上的减函数，()g x 是R 上的增函数；（2）当1a >时，x 的取值范围是(,0)-∞；当01a <<时，x 的取值范围是(0,)+∞.【分析】（1）对底数a 分类讨论即可得出结论；（2）由题意得1xx a a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，再推出1x a <，再结合单调性即可求得答案．【详解】解：（1）当1a >时，()x f x a =是R 上的增函数. 由于101a <<，所以x 1()g x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数. 当01a <<时，()xf x a =是R 上的减函数，由于11a >，所以x1()g x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的增函数. （2）1()()x x f x g x a a ⎛⎫<⇔< ⎪⎝⎭()2011x x a a a ⇔<⇔<=，当1a >时，0x <；当01a <<时，0x >；∴当1a >时，x 的取值范围是(,0)-∞；当01a <<时，x 的取值范围是(0,)+∞．【点睛】本题主要考查指数函数单调性的应用，属于基础题．21．（1）(2,2)-；（2）13m ≤-. 【分析】(1）先利用偶函数的定义求出1a =，设2x t =，则不等式即为217110444t t t -+<⇒<<，再解关于x 的不等式即可; (2）问题转化为212221xx x m -≤-+在(0,)+∞恒成立，设12x t -=，(t <0) ，则111m t t ≤+-在(,0)t ∈-∞时恒成立，即可求出m 的取值范围.【详解】（1）()f x 为偶函数()()f x f x ∴-=恒成立，2222x x x x a a a a --∴+=+恒成立，即()1220x x a a -⎛⎫--= ⎪⎝⎭恒成立， 101a a a⇒-=⇒=±，0a >， 1a ，()21717()22221044x x x x f x -=+<⇒-⋅+<，设2x t =，则不等式即为217110444t t t -+<⇒<<， 124224x x ∴<<⇒-<<，所以原不等式解集为(2,2)-．（2）()2221x x x m m --+≤+-在(0,)+∞上恒成立，即：22112221221x xx x x x m ----≤=+--+在(0,)+∞上恒成立，令12x t -=，则2221211221(1)11x x x t t m t t t t t t-≤===-+-+-++-，在(,0)t ∈-∞时恒成立，所以min111m t t ⎛⎫ ⎪≤ ⎪ ⎪+-⎝⎭，又12t t+≤-，当且仅当1t =-时等号成立，则min11131t t ⎛⎫ ⎪≥- ⎪ ⎪+-⎝⎭．所以13m ≤-． 22．（1）()()1532f f =；（2）图象见解析；（3）()f x 的单调递增区间是(],0-∞和(]0,2，单调递减区间是()2,+∞，值域是(],4-∞.【分析】（1）根据分段函数()22,04,0x x f x x x x ⎧≤=⎨-+>⎩，先求()5f ，再求()()5f f 即可. （2）根据指数函数和二次函数的图象和性质画出函数的图象.（3）由（2）中函数的图象，写出单调区间和值域即可.【详解】（1）因为函数()22,04,0x x f x x x x ⎧≤=⎨-+>⎩，所以()255455f =-+⨯=-，所以()()()5155232ff f -=-==，即()()1532f f =.（2）画函数图象如图所示：（3）由图象知：函数()f x 的单调递增区间是(],0-∞和(]0,2，单调递减区间是()2,+∞. 函数()f x 的值域是(],4-∞.。

新教材北师大版高中数学必修第一册第三章指数运算与指数函数学案(知识点汇总及配套习题)

第三章指数运算与指数函数3.1指数幂的拓展 (1)3.2指数幂的运算性质 (7)3.3 指数函数 (12)1、指数函数的概念指数函数的图象和性质 (12)2、指数函数及其性质的应用 (21)复习巩固 (28)3.1指数幂的拓展学习目标核心素养1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法．(易混点)1．通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养．2．通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养.1．正分数指数幂的定义是什么？2．正分数指数幂有哪些性质？3．负分数指数幂的定义是什么？1．正分数指数幂(1)定义：给定正数a和正整数m，n，(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得b n＝a m，则称b为a的mn次幂，记作b＝a.这就是正分数指数幂．(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂a满足：a＝a.②a＝n a m.2．负分数指数幂给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义a＝1a＝1n a m.能否将3－27＝－3写成(－27)＝－3?[提示]不能．因为在指数幂的概念中，总有a>0.于是，尽管有3－27＝－3，但不可以写成(－27)＝－3的形式．1.把下列各式中的b(b>0)写成正分数指数幂的形式：(1)b4＝35；(2)b－3＝32.[解](1)∵b4＝35，∴b＝3.(2)∵b－3＝32，∴b＝32.2.计算：(1)8＝________；(2)27＝________.(1)2(2)19[(1)设b＝8，由定义，得b3＝8，b＝2，所以8＝2.(2)由负分数指数幂的定义，得27＝127.设b＝27，由定义，得b3＝272＝93，b＝9，所以27＝19 .]类型1 根式的化简与求值【例1】化简：(1)n x－πn(x＜π，n∈N*)；(2)4()x＋24.[解](1)∵x＜π，∴x－π＜0.当n为偶数时，n x－πn＝|x－π|＝π－x；当n为奇数时，n x－πn＝x－π.综上可知，nx －πn＝⎩⎨⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.(2)4()x ＋24＝||x ＋2＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≥－2－x －2，x <－2.正确区分n a n 与⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n(1)n a n 表示a 的n 次方的n 次方根，而⎝ ⎛⎭⎪⎫na n表示a 的n 次方根的n 次方，因此从运算角度看，运算顺序不同．(2)运算结果不同①⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n ＝a .②n a n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.[跟进训练]1．若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( ) A ．x ＞0，y ＞0 B ．x ＞0，y ＜0 C ．x ≥0，y ≥0D ．x ＜0，y ＜0B [∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ，∴xy ≤0. 又∵xy ≠0，∴xy ＜0，故选B.] 2．若2a －12＝31－2a3，则实数a 的取值范围为________．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 [2a －12＝|2a －1|，31－2a3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a ，故2a －1≤0，所以a ≤12.]类型2 根式与分数指数幂的互化【例2】 (1)3可化为( ) A ． 2B ．33C ．327 D．27(2)5a－2可化为( )A ．a B．a C．a D．－a[思路点拨] 熟练应用n a m＝a mn是解决该类问题的关键．(1)D(2)A[(1)3＝()33＝27. (2) 5a－2＝()a－2＝a.]根式与分数指数幂的互化规律1．关于式子n a m＝a的两点说明(1)根指数n即分数指数的分母；(2)被开方数的指数m即分数指数的分子．2．通常规定a中的底数a>0.[跟进训练]3．将下列各根式化为分数指数幂的形式：(1)13a；(2)4a－b3.[解](1)13a ＝1a＝a；(2)4a－b3＝()a－b.类型3 求指数幂a mn的值【例3】求下列各式的值：(1)64；(2)81.[思路点拨] 结合分数指数幂的定义，即满足b n ＝a m 时，a ＝b (m ，n ∈ N ＋，a ，b >0)求解．[解] (1)设64＝x ，则x 3＝642＝4 096，又∵163＝4 096， ∴64＝16. (2)设81＝x, 则x 4＝81－1＝181，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181，∴81＝13.解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．[跟进训练]4．求下列各式的值： (1)125；(2)128.[解] (1)设125＝x ，则x 3＝125，又∵53＝125， ∴125＝5. (2)设128＝x ，则x 7＝128－1＝1128，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝1128，∴128＝12. 随堂检测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1) 2表示23个2相乘．( )(2) a ＝m a n(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．( )1(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．( )(3) a＝n a m[答案](1)×(2)×(3)√2.3a－2可化为( )A．a B．aC．a D．－a[答案]A3．计算243等于( )A．9 B．3C．±3D．－3B[由35＝243，得243＝3.]4．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝________.[答案]55．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)，(1)a3＝________；1(2)＝________.3a53.2指数幂的运算性质学习目标核心素养1.掌握指数幂的运算性质．(重点)2. 能用指数幂的运算性质对代数式进行化简与求值．(难点)通过指数幂的运算，培养数学运算素养.指数幂的运算性质由哪些？指数幂的运算性质(a>0，b>0，α∈R，β∈R) 1．aα·aβ＝aα＋β；2．(aα)β＝aαβ；3．(ab)α＝aα·bα.以下计算正确吗？若计算错误，应该如何计算[提示]错误，.1.23×2×2－2＝________.2.(x2y－1z3)＝________.[答案]x y z类型1 指数幂的运算【例1】计算下列各式：[解] (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝4×4100·a ·a ·b·b ＝425a 0b 0＝425.在进行幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，再利用幂的运算性质进行化简．[跟进训练] 1．计算：(2)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (3)23a ÷46a ·b ·3b 3. [解] (1)原式＝－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝64715. (2)原式＝－4a －2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a3c. (3)原式＝.类型2 对指数幂的运算性质的理解【例2】 (1)下列函数中，满足f ()x ＋1＝12f ()x 的是( )A ．f ()x ＝4xB ．f ()x ＝4－xC ．f ()x ＝2xD ．f ()x ＝2－x(2)＝( )(1)D (2)A [(1)f ()x ＋1＝2－(x ＋1)＝12×2－x ＝12f ()x .故选D.1．根据需要，指数幂的运算性质可正用、逆用和变形使用．2．运用幂的运算性质化简时，其底数必须大于零，对于底数小于零的，要先化为底数大于零的形式．如先化为.[跟进训练]2．下列运算结果中，正确的是( ) A ．a 2·a 3＝a 6 B ．()－a 23＝()－a 32C.()a 23＝a 5D ．()－a 23＝－a 6D [a 2·a 3＝a 5，A 错；(－a 2)3＝(－1)3×a 2×3＝－a 6，(－a 3)2＝(－1)2×a 3×2＝a 6，B 错；()a 23＝a 6，C 错，故选D.]类型3 根据条件求值【例3】已知a ＋a ＝5，求下列各式的值：(1)a ＋a －1； (2)a 2＋a －2. [解] (1)将a ＋a＝5两边平方，得a ＋a －1＋2＝5，所以a ＋a －1＝3. (2)将a ＋a －1＝3两边平方，得a 2＋a －2＋2＝9，所以a 2＋a －2＝7.在本例条件不变的情况下，则a 2－a －2＝______.±35 [令y ＝a 2－a －2，两边平方，得y 2＝a 4＋a －4－2＝(a 2＋a －2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±35，即a2－a－2＝±3 5.] 条件求值的步骤[跟进训练]3．已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求a－ba＋b的值．[解]a－b a＋b＝a－b2 a＋b a－b＝a＋b－2aba－b.①∵a＋b＝12，ab＝9，②∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108. ∵a＜b，∴a－b＝－6 3.③将②③代入①，得a－ba＋b＝12－2×9－63＝－33.随堂检测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1) 对任意实数a，a m＋n＝a m a n.( )(2) 当a>0时，()a m n＝a mn.( )(3)当a≠0时，a ma n＝a m－n.( )[答案](1)×(2)√(3)√2．2·5＝( )A ．103B ．10C ．310D ．7 3B [由实数指数幂的运算性质(ab )n ＝a n b n 知，2·5＝()2×5＝10.]3．已知x ＋x ＝5，则x 2＋1x的值为( )A ．5B ．23C ．25D ．27B [∵x ＋x ＝5，∴x ＋2＋x －1＝25，∴x ＋x －1＝23.∴x 2＋1x ＝x ＋1x ＝x ＋x －1＝23.]4.614－ 3338＋30.125 的值为________． 32[原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－3⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝52－32＋12＝32.] 5．8×42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×36________.110 [原式＝＝2＋22×33＝2＋4×27＝110.]3.3 指数函数1、指数函数的概念指数函数的图象和性质学习目标核心素养1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．(重点) 2．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．(重点、难点)1．通过指数函数的图象的学习，培养直观想象素养．2．借助指数函数性质的应用，培养逻辑推理素养.1．指数函数的概念是什么？2．结合指数函数的图象，分别指出指数函数y ＝a x (a >1)和y ＝a x (0<a <1)的定义域、值域和单调性各是什么？3．y ＝a x和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x(a >0且a ≠1)的图象和性质有什么关系？知识点1 指数函数的概念1．定义：当给定正数a ，且a ≠1时，对于任意的实数x ，都有唯一确定的正数y ＝a x 与之对应，因此，y ＝a x 是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数．2．性质：(1)定义域是R ，函数值大于0； (2)图象过定点(0,1)．指数函数的解析式有什么特征？[提示] 指数函数解析式的3个特征：①底数a 为大于0且不等于1的常数；②自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1；③a x 的系数是1.1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)y ＝x 2是指数函数．( )(2)指数函数y ＝a x 中，a 可以为负数．( ) (3)y ＝2x ＋1是指数函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)×2.函数y ＝(a －2)a x 是指数函数，则a ＝________.3[由指数函数定义知a－2＝1得a＝3.]3.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.(2)x[设f(x)＝a x(a >0，a≠1)，∵f(2)＝2，∴a2＝2，∴a＝2，即f(x)＝(2)x.]知识点2 指数函数的图象和性质1．对于函数y＝a x和y＝b x(a>b>1)．(1)当x<0时，0<a x0时，a x>b x>1.2．对于函数y＝a x和y＝b x(0<a<b<1)．(1)当x<0时，a x>b x>1；(2)当x＝0时，a x＝b x＝1；(3)当x>0时，0<a x10<a<1图象性质定义域：R值域：(0，＋∞)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在R上是增函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0在R上是减函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大4．一般地，指数函数y＝a x和y＝⎝⎛⎭⎪⎫a(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R 上的单调性相反．(1)在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？ (2)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象与底数a 有什么关系？[提示] (1)指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限．(2)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a >1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a <1时，指数函数的图象是“下降”的．4.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数．( )(2)已知函数f (x )＝3x ，若m >n ，则f (m )>f (n )．( ) (3)指数函数的图象一定在x 轴的上方．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√5.下列函数中，是增函数的是________(填上正确的序号)． ①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；②y ＝(3＋1)x ；③y ＝2－x ；④y ＝(a 2＋2)x . [答案] ②④6.函数f (x )＝2x ＋3的值域为________． [答案] (3，＋∞)7.函数y ＝a x －1－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点________． (1,0) [由于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(0,1)，因而在函数y ＝a x －1－1中，当x ＝1时，恒有y ＝0，即函数y ＝a x －1－1的图象恒过点(1,0)．]第1课时指数函数的概念、图象和性质类型1 指数函数的概念【例1】给出下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ；③y ＝32x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3C [①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y ＝3x 是指数函数；③中，y ＝32x ＝9x ，故③是指数函数；④中，y ＝x 3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．]判断一个函数是指数函数，需判断其解析式是否可化为y ＝a x (a >0，且a ≠1)的形式．[跟进训练]1．函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1C [由指数函数定义知⎩⎨⎧a －22＝1，a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.]类型2 指数型函数的定义域和值域【例2】求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝2；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |；(3)y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x . [解] (1)∵x 应满足x －4≠0，∴x ≠4， ∴定义域为{x |x ≠4，x ∈R }． ∵1x －4≠0，∴2≠1，∴y ＝2的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)定义域为R .∵|x |≥0，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32|x |≥⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1，∴此函数的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120， ∴x ≥0，∴定义域为{x |x ≥0，x ∈R }． ∵x ≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >0，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1.∴0≤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<1，∴0≤y <1，∴此函数的值域为[0,1)．函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合．(2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．[跟进训练] 2．函数f (x )＝3x －4＋2x－4的定义域是________． [2,4)∪(4，＋∞) [依题意有⎩⎨⎧x －4≠0，2x－4≥0，解得x ∈[2,4)∪(4，＋∞)．]3．若函数f (x )＝a x －a 的定义域是[1，＋∞)，则a 的取值范围是________． (1，＋∞) [∵a x －a ≥0， ∴a x ≥a ，∴当a>1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a>1.]4．函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．[解]①当0<a<1时，函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2，所以a－a2＝a2，解得a＝12或a＝0(舍去)；②当a>1时，函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a，所以a2－a＝a2，解得a＝32或a＝0(舍去)．综上所述，a＝12或a＝32.类型3 指数型函数图象【例3】(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0(2)在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是________．(1)D(2){m|m≥1，或m＝0} [(1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝a x(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0.(2)画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有1个交点，则m≥1或m＝0，即实数m的取值范围是{m|m≥1，或m＝0}．]处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．[跟进训练]4．函数f(x)＝2x＋2－x2x－2－x的大致图象为( )A B C DA[要使函数有意义，则2x－2－x≠0，即x≠0，故其定义域为{x|x≠0}．由于所有选项中的图象都具有奇偶性，因此考虑其奇偶性：f(－x)＝2－x＋2x 2－x－2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．再考虑单调性：f(x)＝2x＋2－x2x－2－x＝22x＋122x－1＝1＋222x－1，当x>0时，f(x)为减函数，故符合条件的函数图象只有A.]5．(多选)函数y＝a x－1a(a>0，a≠1)的图象可能是( )A B C DCD [当a >1时，1a ∈(0,1)，因此x ＝0时，0<y ＝1－1a <1，且y ＝a x －1a在R上是增函数，故C 符合；当0<a <1时，1a>1，因此x ＝0时，y <0，且y ＝a x －1a在R 上是减函数，故D 符合．故选CD.]指数函数图象变换问题探究为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数f (x )＝2x 为例，借助几何画板画出了下面4组函数的图象：(1)y ＝f (x －1)；(2)y ＝f (|x |)＋1；(3)y ＝－f (x )；(4)y ＝|f (x )－1|.[问题探究]1．请分别写出这4组函数的解析式． [提示] (1)y ＝f (x －1)＝2x －1； (2)y ＝f (|x |)＋1＝2|x |＋1； (3)y ＝－f (x )＝－2x ； (4)y ＝|f (x )－1|＝|2x －1|.2．若给出函数f (x )＝4x 的图象，能否由图象变换的方法得到上面这4组函数的图象？若能，试分别写出图象的变换过程．[提示] 能．(1)将函数y ＝f (x )＝4x 的图象向右平移1个单位长度得到函数y ＝f (x －1)＝4x －1的图象．(2)保留函数y ＝f (x )＝4x 在y 轴右侧的图象，并对称至y 轴左侧，再向上平移1个单位长度得到y ＝f (|x |)＋1＝4|x |＋1的图象．(3)函数y ＝－f (x )＝－4x 与y ＝f (x )＝4x 的图象关于x 轴对称．(4)将函数y ＝f (x )＝4x 的图象向下平移1个单位长度得到函数y ＝f (x )－1＝4x －1的图象，再将x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴的上方，便得到函数|f (x )－1|＝|4x －1|的图象.随堂检测1．下列函数中，指数函数的个数为( ) ①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x－1.A ．0个B ．1个C ．3个D ．4个B [由指数函数的定义可判定，只有②正确．]2．若函数y ＝(2a －1)x(x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >0，且a ≠1 B ．a ≥0，且a ≠1 C ．a >12，且a ≠1D ．a ≥12C [依题意得：2a －1>0，且2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，故选C.]3．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )A BC DC [函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，故可排除选项ABD.] 4．函数f (x )＝2x －3(1<x ≤5)的值域是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤14，4 [因为1<x ≤5，所以－2<x －3≤2.而函数f (x )＝2x －3在其定义域上是增函数，所以14<f (x )≤4，即所求函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤14，4.]5．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________．7 [由已知得⎩⎨⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋3＝4＋3＝7.]2、指数函数及其性质的应用类型1 指数式的大小比较【例1】 (链接教材第86页例3)比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫311与⎝ ⎛⎭⎪⎫833；(3)1.50.3和0.81.2.[解] (1)∵函数y ＝1.5x 在R 上是增函数，2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2.(2)指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫311x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫833x 的图象(如图)，由图知⎝ ⎛⎭⎪⎫311>⎝ ⎛⎭⎪⎫833.(3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1，而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2.比较指数式大小的3种类型及处理方法[跟进训练]1．比较下列各题中两个值的大小： (1)0.8－0.1,1.250.2； (2)1.70.3,0.93.1；(3)a 0.5与a 0.6(a >0，且a ≠1)． [解] (1)∵0<0.8<1， ∴y ＝0.8x 在R 上是减函数． ∵－0.2<－0.1， ∴0.8－0.2>0.8－0.1，而0.8－0.2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45－0.2＝1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.(2)∵1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1， ∴1.70.3>0.93.1.(3)a 0.5与a 0.6可看做指数函数y ＝a x 的两个函数值．当0<a <1时，函数y ＝a x 在R 上是减函数． ∵0.5<0.6，∴a 0.5>a 0.6.当a >1时，函数y ＝a x 在R 上是增函数． ∵0.5<0.6，∴a 0.5<a 0.6.综上所述，当0<a <1时，a 0.5>a 0.6；当a >1时，a 0.5<a 0.6. 类型2 解含指数型不等式【例2】求解下列不等式：(1)已知3x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5，求实数x 的取值范围；(2)若a －5x >a x ＋7(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．[解] (1)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5＝30.5，所以由3x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5可得3x ≥30.5，因为y ＝3x 在R上为增函数，故x ≥0.5.(2)①当0<a <1时，函数y ＝a x 在R 上是减函数，则由a －5x >a x ＋7可得－5x <x ＋7，解得x >－76.②当a >1时，函数y ＝a x 在R 上是增函数，则由a －5x >a x ＋7可得－5x >x ＋7，解得x <－76.综上，当0<a <1时，x >－76；当a >1时，x <－76.指数型不等式的解法(1)指数型不等式a f (x )>a g (x )(a >0，且a ≠1)的解法：当a >1时，f (x )>g (x )；当0<a <1时，f (x )<g (x )．(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a 0(a >0，且a ≠1)，a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x(a >0，且a ≠1)等．[跟进训练]2．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤2x 的解集为________．{x |x ≥1，或x ≤－2} [∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2＝(2－1)x 2－2＝22－x 2，∴原不等式等价于22－x 2≤2x .∵y ＝2x 是R 上的增函数， ∴2－x 2≤x ，∴x 2＋x －2≥0，即x ≤－2或x ≥1， ∴原不等式的解集是{x |x ≥1，或x ≤－2}．] 类型3 指数型函数性质的应用指数型函数的单调性问题【例3】求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ＋3的单调区间．[解] 令t ＝x 2－2x ＋3，则由二次函数的性质可知该函数在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 为减函数，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ＋3的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．指数型函数的奇偶性问题【例4】若函数y ＝a －12x－1为奇函数． (1)确定a 的值； (2)求函数的定义域．[解] (1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x －1＋a －12x －1＝0， ∴2a ＋1－2x1－2x ＝0.∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x －1≠0，即x ≠0，∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．指数型函数性质的综合问题【例5】已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)求f (x )的值域．[解] (1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x1＋4x.又f (0)＝0.故当x ∈(－1,1)时，f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x ＋1，x ∈0，1，0，x ＝0，－2x 4x＋1，x ∈－1，0(2)f (x )＝2x1＋4x ，x ∈(0,1)为减函数，证明如下：任取x 1，x 2∈(0,1)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝2x 2－2x 12x 1＋x 2－14x 1＋14x 2＋1.∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0,1)上是减函数．由奇函数的对称性知f (x )在(－1,0)上也是减函数．∴当0<x <1时，f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2141＋1，2040＋1，即f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12；当－1<x <0时，f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2040＋1，－2－14－1＋1，即f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25.而f (0)＝0，故函数f (x )在(－1,1)上的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25∪{0}∪⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12.1．对于形如f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)的函数，可以利用复合函数的单调性，转化为指数函数y ＝a x 及函数g (x )的单调性来处理．2．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．[跟进训练]3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x2，求f (x )的值域与单调区间．[解] 令u ＝2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋1≤1，定义域为R ，故u 在(－∞，1)上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u为减函数，所以根据复合函数的“同增异减”得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x2在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，单调增区间为[1，＋∞)，单调减区间为(－∞，1)．4．求函数y ＝4x －2×2x ＋5的单调区间．[解] 函数的定义域为R ，令t ＝2x ，x ∈R 时，t ∈(0，＋∞)．y ＝(2x )2－2×2x ＋5＝t 2－2t ＋5＝(t －1)2＋4，t ∈(0，＋∞)．当t ≥1时，2x ≥1，x ≥0；当0<t <1时，0<2x <1，x <0.∵y ＝(t －1)2＋4在[1，＋∞)上递增，t ＝2x 在[0，＋∞)上递增，∴函数y ＝4x －2×2x ＋5的单调增区间为[0，＋∞)．同理可得单调减区间为(－∞，0].随堂检测1．若函数f (x )＝(1－2a )x 在实数集R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B [由已知，得0<1－2a <1，解得0<a <12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]2．下列判断正确的是( ) A ．2.52.5>2.53 B ．0.82<0.83 C ．π2<π 2D ．0.90.3>0.90.5D [∵y ＝0.9x 是减函数，且0.5>0.3， ∴0.90.3>0.90.5.]3．若f (x )＝3x＋1，则( ) A ．f (x )在[－1,1]上为减函数B ．y ＝3x＋1与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋1的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象过点(0,1)D ．f (x )的值域为[1，＋∞)B [f (x )＝3x ＋1在R 上为增函数，则A 错误；y ＝3x ＋1与y ＝3－x ＋1的图象关于y 轴对称，则B 正确；由f (0)＝2，得f (x )的图象过点(0,2)，则C 错误；由3x>0，可得f (x )>1，则D 错误．故选B.]4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调增区间为________．(－∞，＋∞) [由已知得，f (x )的定义域为R . 设u ＝1－x ，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u.因为u ＝1－x 在R 上为减函数，又因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u在(－∞，＋∞)上为减函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 在(－∞，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调增区间为(－∞，＋∞)．]5．不等式52x 2>5x ＋1的解集是________． ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12，或x >1 [由52x 2>5x ＋1得2x 2>x ＋1，解得x <－12或x >1.]复习巩固类型1 指数的运算【例1】化简：(1)；[解] (1)原式＝＝2－1×103×10＝2－1×10＝102. (2)原式＝＝a 2·a 2＝a 4.指数运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解，以达到约分的目的．[跟进训练]1．0.25－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫3702×[(－2)3]＋(2－1)－1－2＝________.－1252 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－(－2)2×(－2)4＋12－1－ 2＝12－4×16＋(2＋1)－ 2 ＝－1252.] 类型2 函数图象及其应用由解析式判断函数图象【例2】定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x的图象是( )A B C D A [∵当x ≥0时，2x ≥1，当x <0时，2x <1，∴f (x )＝1⊕2x＝⎩⎨⎧2x ，x <0，1，x ≥0，故选A.][跟进训练]2．函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )A BC DA [对于函数y ＝2x －x 2，当x ＝2或4时，2x －x 2＝0，所以排除B ，C ；当x ＝－2时，2x－x 2＝14－4＜0，排除D.故选A.]应用函数图象研究函数性质【例3】设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点坐标为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)B [在同一坐标系中画出y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象，如图，由图知当x <x 0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2>x 3，当x >x 0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2<x 3.代入x ＝2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝1<23，∴2>x 0.再代入1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝2>13，∴x 0>1.] [跟进训练]3．已知函数f (x )＝|2x －1|，a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．2a ＋2c ＜2B ．2－a ＜2cC ．a ＜0，b ≥0，c ＞0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0A [作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图所示．对于A ，∵a ＜c ，且f (a )＞f (c )，结合函数图象，如果a ，c 位于函数的减区间(－∞，0)，此时a ＜b ＜c <0，可得f (a )＞f (b )＞f (c )，与题设矛盾；如果a ，c 不位于函数的减区间(－∞，0)，那么必有a ＜0＜c ，则f (a )＝|2a －1|＝1－2a ，f (c )＝|2c －1|＝2c －1.又∵f (a )＞f (c )，∴1－2a ＞2c －1，即2a ＋2c ＜2.故A 正确．对于B ，C ，D 选项，取a ＝－2，b ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫或14，c ＝12，满足a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，但是B ，C ，D 选项均不成立．]指数函数图象是研究指数函数性质的工具，所以要能熟练画出指数函数图象，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．类型3 指数函数的性质及应用比较大小【例4】(1)比较数的大小：(1)27,82；(2)比较1.5，23.1,2的大小关系是( )A．23.1<2<1.5B．1.5<23.1<2C．1.5<2<23.1D．2<1.5<23.1(1)[解]∵82＝(23)2＝26，由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27，即82<27.(2)C[∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数，1.5<2，∴1.5<2.又∵指数函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数，13.1<3.1，∴2<23.1，∴1.5<2<23.1.]数的大小比较常用方法：(1)当需要比较大小的两个实数均是指数幂时，可将其看成某个指数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(2)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．[跟进训练]4．比较下列数的大小：a1.2，a1.3.[解]∵函数y＝a x(a>0，且a≠1)，当底数a>1时在R上是增函数，当底数0<a<1时在R上是减函数，而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2<a1.3；当0<a<1时，有a1.2>a1.3.函数性质综合应用【例5】已知f(x)＝a＋22x＋1(a∈R)．(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；(2)用定义法判断函数f(x)的单调性；(3)若当x∈[－1,5]时，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．[解](1)若函数f(x)为奇函数，∵x∈R，∴f(0)＝a＋1＝0，得a＝－1，验证当a＝－1时，f(x)＝－1＋22x＋1＝1－2x1＋2x为奇函数，∴a＝－1.(2)任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝22x1＋1－22x2＋1＝22x2－2x12x1＋12x2＋1，由x1<x2，得2x1＜2x2，∴2x2－2x1>0，又2x1 ＋1>0,2x2 ＋1>0，故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．(3)当x∈[－1,5]时，∵f(x)为减函数，∴f(x)max＝f(－1)＝43＋a，若f(x)≤0恒成立，则满足f(x)max＝43＋a≤0，得a≤－43，∴a的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－43.函数y＝a f(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数y＝a f(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．[跟进训练]5．已知函数f (x )＝9x －3x ＋1＋c (其中c 是常数)．(1)若当x ∈[0,1]时，恒有f (x )＜0成立，求实数c 的取值范围； (2)若存在x 0∈[0,1]，使f (x 0)＜0成立，求实数c 的取值范围． [解] f (x )＝9x －3x ＋1＋c ＝(3x )2－3·3x ＋c ，令3x ＝t ，则g (t )＝t 2－3t ＋c .(1)当x ∈[0,1]时，t ∈[1,3]，g (t )＝t 2－3t ＋c <0恒成立． ∵二次函数g (t )＝t 2－3t ＋c 图象的对称轴方程为t ＝32，∴根据二次函数的性质可知g (t )在[1,3]上的最大值为g (3)， ∴g (3)＝32－3×3＋c <0，解得c <0.故c 的取值范围为{c |c <0}．(2)存在x 0∈[0,1]，使f (x 0)<0，等价于存在t ∈[1,3]，使g (t )＝t 2－3t ＋c <0，于是只需g (t )在[1,3]上的最小值小于0即可．∵二次函数g (t )＝t 2－3t ＋c 图象的对称轴方程为t ＝32，∴根据二次函数的性质可知g (t )在[1,3]上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－3×32＋c <0，解得c <94，故c 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪c <94.1．(2015·山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a 0.60.6>0.61.5>0，而1.50.6>1，所以b <a <c .故选C.]2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f⎝⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ [法一：当x >0时，f (x )＝2x >1，则不等式f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1，恒成立当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝x ＋1＋x ＋12＝2x ＋32>1，解得x >－14，综上知，x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.法二：设F (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，∵f (x )在R 上是增函数，∴F (x )为R 上的增函数，原不等式即为F (x )>1，∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝1，∴原不等式等价于F (x )>F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，即知x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.]3．(2015·江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________．{x |－1<x <2} [不等式可化为2x 2－x <22，∵函数y ＝2x 为R 上的增函数，所以不等式等价于x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.则知不等式的解集为{x |－1<x <2}．]4．(2015·山东卷)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [f (x )＝2x ＋12x －a ，f (－x )＝2－x ＋12－x －a ，∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴a ＝1.∴f (x )＝2x ＋12x －1，∴f (x )>3，即2x ＋12x －1>3，故不等式可化为2x －22x －1<0，即1<2x <2，解得0<x <1，∴x 的取值范围为(0,1)．]。

北师大版高中数学必修一课后训练3.3指数函数.docx

课后训练基础巩固1．设集合S＝{y|y＝3x，x∈R}，T＝{y|y＝x2－1，x∈R}，则S∩T是()．A．∅B．T C．S D．有限集2．函数f(x)＝12x-的定义域为()．A．(－∞，0) B．[0，＋∞)C．(－∞，0] D．(－∞，＋∞)3．定义运算a*b＝,,,,a a bb a b≤⎧⎨>⎩例如1*2＝1，则函数y＝1*2x的值域为( )A．(0，1) B．(－∞，1) C．[1，＋∞) D．(0,1]4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝13x⎛⎫⎪⎝⎭，那么12f⎛⎫⎪⎝⎭的值是()．A．33B．3C．3-D．95．函数y＝a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝()．A．12B．2 C．4 D．146．函数y＝a x＋2(a＞0，且a≠1)的图像经过的定点坐标是()．A．(0,1) B．(2,1) C．(－2,0) D．(－2,1) 7．函数y1＝0.13x和y2＝0.31x的大致图像是()．8．已知1335a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1235b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1243c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是( )． A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 能力提升9．若函数y ＝a x ＋b －1(a ＞0，a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( )． A ．0＜a ＜1且b ＞0 B ．a ＞1且b ＞0 C ．0＜a ＜1且b ＜0 D ．a ＞1且b ＜010．已知函数f (x )＝|2x －1|，a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )．A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ≥0，c ＞0C ．2－a ＜2c D ．2a ＋2c ＜211．函数f (x )＝33,0,,0xx a x a x -+-<⎧⎨≥⎩(a ＞0且a ≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是________．12．已知函数f (x )＝22333x x +，则12100101101101f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝________. 13．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图像经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中a ＞0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域． 14．已知函数f (x )＝221xa -+(a ∈R )． (1)用定义证明函数f (x )在R 上是增函数．(2)探索是否存在实数a ，使得函数f (x )为奇函数？若存在，求出a 值；若不存在，请说明理由．15．对于函数261712x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求函数的定义域和值域； (2)确定函数的单调区间．16．已知方程9x －2×3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，求实根k 的取值范围．参考答案1．C 点拨：集合S 是指数函数y ＝3x ，x ∈R 的值域，另知S ＝{y |y ＞0}；集合T 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的值域，易知T ＝{y |y ≥－1}.由交集的运算性质可知S ∩T ＝{y |y ＞0}＝S ，这是一个无限集.2．C 点拨：要使函数f (x )＝(12)x -有意义，需满足1－2x ≥0，即2x ≤20. ∵指数函数y ＝2x 在R 上是增函数，∴x ≤0. 故函数f (x )＝(12)x -的定义域为(－∞，0].3．D 点拨：由函数f (x )＝2x的图像可知，y ＝1*2x＝2010.x x x ⎧≤⎨>⎩，，，又∵当x ≤0时，0＜2x≤1， ∴函数y ＝1*2x 的值域为(]0,1 4．C 点拨：121113223f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.5．B 点拨：y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和a 0＋a 1＝3⇒a ＝2.6．D 点拨：当x ＋2＝0，即x ＝－2时，无论a 取何值，必有a x ＋2＝1，即y ＝1.所以函数y ＝a x ＋2(a ＞0，且a ≠1)的图像经过的定点坐标是(－2,1)．7．C 点拨：因为函数y ＝0.13x 和y ＝0.31x 在R 上都是减函数，所以可排除选项A 和D ；又根据底数对指数函数图像的影响规律知，“在第一象限内，指数函数的底数从下向上依次增大”，故选C.8．A 点拨：∵指数函数35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，1132->-，∴113233155--⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b ＞a ＞1.又由指数函数43xy ⎛⎫=⎪⎝⎭的性质可知，12413-⎛⎫< ⎪⎝⎭，即c ＜1.∴c ＜a ＜b .9．C 点拨：因为函数y ＝a x ＋b －1(a ＞0且a ≠1)的图像可以看作由y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像向上或向下平移|b －1|个单位长度得到的，所以若它的图像经过第二、三、四象限，则其图像如图所示，故0＜a ＜1，且b －1＜－1，所以b ＜0.10．D 点拨：作出函数f (x )＝|2x－1|的图像如下图中实线所示，又a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，结合图像知f (a )＜1，a ＜0，c ＞0.∴0＜2a ＜1，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a .∴f (c )＜1，∴0＜c ＜1.∴1＜2c ＜2，f (c )＝|2c －1|＝2c －1.又f (a )＞f (c )，即1－2a ＞2c －1.∴2a ＋2c ＜2.11．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦点拨：当x ＜0时，函数f (x )＝－x ＋3－3a 是减函数，当x ≥0时，若函数f (x )＝a x 是减函数，则0＜a ＜1.要使函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，需满足0＋3－3a≥a 0，解得23a ≤，所以a 的取值范围是01,2,3a a <<⎧⎪⎨≤⎪⎩即0＜a ≤23. 12．50点拨：∵f (x )＋f (1－x )＝11999993919393939399339xxxx x x x x xx x--+=+=+=++++++， ∴原式＝11002995051101101101101101101f f ff f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝5011+1++1=50个相加.13．解：(1)∵函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图像经过点122⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴f (2)＝12，即a 2－1＝12，∴a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝112x -⎛⎫⎪⎝⎭(x ≥0)，此函数是减函数，其图像可由12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭(x ≥－1)的图像向右平移1个单位长度得到(如图所示)．故函数112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭(x ≥0)的值域为(0,2]．14．解：(1)任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1212212122222(22)21212121(21)(21)x x x x x x x x a a -⎛⎫⎛⎫---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭.∵指数函数y ＝2x 在R 上是增函数，且x 1＜x 2， ∴122<2xx，故12220xx-<.又由2x ＞0得12+1>0x ,22+1>0x，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴函数f (x )在R 上是增函数． (2)(方法1)若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即222121x xa a -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭. ∴222222(21)2=22121212121x x xx x x x a -⨯+=+=+=+++++，故a ＝1.∴当a ＝1时，f (x )为奇函数．(方法2)∵函数f (x )在x ＝0处有意义， ∴若f (x )为奇函数，则f (0)＝0，即02021a -=+，解得a ＝1. ∴当a ＝1时，f (x )为奇函数．15．解：设u ＝x 2－6x ＋17，则12uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)定义域为R .∵u ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，12u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，∴811122256u y ⎛⎫⎛⎫=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故原函数的值域为10,256⎛⎤ ⎥⎝⎦. (2)函数u ＝x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意的x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1＜x 2，都有u 1＜u 2，从而121122u u⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即y 1＞y 2.∴函数261712x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在[3，＋∞)上为减函数．同理可知，261712x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在(－∞，3]上为增函数．16．解：令3x ＝t ＞0，则方程化为 t 2－2t ＋(3k －1)＝0.①要使原方程有两个实根，方程①必须有两个正根，设两个根为t 1，t 2，则2121224(31)0,310,20,k t t k t t ⎧∆=--≥⎪⋅=->⎨⎪+=>⎩ 解得1233k <≤. 故实数k 的取值范围是12,33⎛⎤⎥⎝⎦.。

2016北师大版高中数学必修一第三章《指数与指数函数》同步练习

指数与指数函数同步练习一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项就是符合题目要求的)1、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,结果就是( )A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭C 、13212--D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2、44366399a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于( ) A 、16a B 、8aC 、4aD 、2a 3、若1,0a b ><,且22b b a a-+=,则b b a a --的值等于( ) A 、6 B 、2± C 、2- D 、24、函数()2()1x f x a =-在R 上就是减函数,则a 的取值范围就是( )A 、1>aB 、2<aC 、2a <D 、12a << 5、下列函数式中,满足1(1)()2f x f x +=的就是( ) A 、 1(1)2x + B 、14x + C 、2x D 、2x - 6、下列2()(1)x x f x a a -=+g 就是( )A 、奇函数B 、偶函数C 、非奇非偶函数D 、既奇且偶函数7、已知,0a b ab >≠,下列不等式(1)22a b >;(2)22a b>;(3)b a 11<;(4)1133a b >;(5)1133a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中恒成立的有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个8、函数2121x x y -=+就是( ) A 、奇函数 B 、偶函数 C 、既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数9、函数121x y =-的值域就是( ) A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞U C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞U10、已知01,1a b <<<-,则函数xy a b =+的图像必定不经过( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限11、2()1()(0)21x F x f x x ⎛⎫=+⋅≠ ⎪-⎝⎭就是偶函数,且()f x 不恒等于零,则()f x ( ) A 、就是奇函数 B 、可能就是奇函数,也可能就是偶函数C 、就是偶函数D 、不就是奇函数,也不就是偶函数 12、一批设备价值a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低%b ,则n 年后这批设备的价值为( )A 、(1%)na b -B 、(1%)a nb -C 、[1(%)]n a b -D 、(1%)na b -二、填空题:(本题共4小题,每小题4分,共16分,请把答案填写在答题纸上)13、若103,104x y ==,则10x y -= 。

高中数学新北师大版必修第一册第三章 32 第1课时指数函数的概念、图象与性质固学练习2

3.1指数函数的概念3.2第1课时指数函数的概念、图象与性质固学篇基础达标1.函数f(x)={2x，x>0，x+3，x≤0，则f(f(-2))的值为()A.14B.12【解析】由题意f(-2)=-2+3=1，则f(f(-2))=f(1)=2.故选C.【答案】C2.函数f(x)=(m2-m-1)a x(a>0，且a≠1)是指数函数，则实数m的值为()或-1【解析】由指数函数的定义，得m2-m-1=1，解得m=2，或m=-1，故选D.【答案】D3.函数y=a x-a(a>0，且a≠1)的图象可能是()【解析】当a>1时，y=a x是增函数，-a<-1，则函数y=a x-a的图象与y轴的交点在x轴的下方，故选项A不正确；y=a x-a的图象与x轴的交点是(1，0)，故选项B不正确；当0<a<1时，y=a x是减函数，y=a x-a的图象与x轴的交点是(1，0)，又-1<-a<0，y=a x-a的图象与y 轴的交点在x轴上方，故选项D不正确，选项C正确.【答案】C4.已知a=3，b-3，c=3，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a【解析】∵3>1，0<0.2<1，∴a=3∈(1，3).∵b-3=(15)-3=53=125，c=3=1315<130=1，∴b>a>c.【答案】B5.已知指数函数f(x)=(1-2a)x，且f(3)<f(2)，则a的取值范围是.【解析】∵f(x)是指数函数，且f(3)<f(2)，∴函数f(x)在R上是减函数，∴0<1-2a<1，即0<2a<1，∴a<0.【答案】(-∞，0)6.已知0<a<1，-1<b<0，则函数y=a x+b的图象不经过第象限.【解析】0<a<1，指数函数y=a x为减函数，-1<b<0，将函数y=a x的图象向下平移|b|个单位长度，得到y=a x+b的图象，可知图象不经过第三象限.【答案】三7.根据函数y=|2x-1|的图象判断：当实数m分别满足什么条件时，方程|2x-1|=m无解?有一解?有两解?【解析】函数y=|2x-1|的图象可由指数函数y=2x的图象先向下平移一个单位长度，再作x轴下方的部分关于x轴对称的图形，如图所示，观察两函数y=|2x-1|，y=m的图象可知：当m<0时，两函数图象没有公共点，所以方程|2x-1|=m无解；当m=0或m≥1时，两函数图象只有一个公共点，所以方程|2x-1|=m有一解；当0<m<1时，两函数图象有两个公共点，所以方程|2x-1|=m有两解.素养提升8.定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M=max{2x，2x-3，6-x}，则M的最小值是()【解析】画出函数M=max{2x，2x-3，6-x}的图象，如图所示.由图可知，函数M 在A (2，4)处取得最小值22=6-2=4，即M 的最小值为4，故选C.【答案】C9.函数f (x )=3a x -2+5(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P ，点P 又在幂函数g (x )的图象上，则g (-2)的值为( )1819【解析】∵f (x )=3a x -2+5，令x -2=0，得x =2，∴f (2)=3a 0+5=8，即f (x )的图象恒过点P (2，8).设g (x )=x α，把P (2，8)代入得2α=8，解得α=3，即g (x )=x 3，故g (-2)=(-2)3=-8.故选A.【答案】A10.若函数f (x )={a (x -1)+1，x <-1，a -x ，x ≥-1是R 上的单调函数，则正实数a 的取值范围是( ) A.[13，1) B.(0，13] C.(0，1)D.(1，+∞) 【解析】显然a =1不符合条件，∵a 是正实数，∴当x <-1时，f (x )=a (x -1)+1单调递增，于是函数f (x )在R 上单调递增，又当x ≥-1时，f (x )=a -x =1ax ， ∴{1a >1，a (-1-1)+1≤a ，解得13≤a <1. 【答案】A11.(多选题)如图，某湖泊的蓝藻的面积y (单位：m 2)与时间t (单位：月)的关系满足y =a t ，则下列说法正确的是( )A.蓝藻面积每个月的增长率为100%B.蓝藻每个月增加的面积都相等C.第6个月时，蓝藻面积就会超过60 m2D.若蓝藻面积蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有t1+t2=t3【解析】由题图可知，函数y=a t的图象经过点(1，2)，即a1=2，则a=2，∴y=2t；∴2t+1-2t=2t不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，因而每个月的增长率为100%，A对，B错；当t=6时，y=26=64>60，C对；若蓝藻面积蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t1=2，2t2=3，2t3=6，于是2t1·2t2=2×3，即2t1+t2=6，因而t1+t2=t3，D对.【答案】ACD12.(多选题)若函数f(x)=e x-1与g(x)=ax的图象恰有一个公共点，则实数a可能的取值为()【解析】由f(x)=e x-1与g(x)=ax恒过点(0，0)，如图，当a≤0时，两函数图象恰有一个公共点；当a>0时，函数f(x)=e x-1与g(x)=ax的图象恰有一个公共点，则g(x)=ax为f(x)=e x-1的切线，且切点为(0，0)，易验证知，当a=1时符合题意.结合选项，知B，C，D均符合题意.【答案】BCD13.比较下列各题中两个数的大小：(1)(311)56与(833)56； (2)3x 2-2x+9与(13)x 2+2x -6；与.【解析】(1)(方法一)(311)56÷(833)56=(311×338)56=(98)56.∵98>1，56>0，∴(98)56>1. 又∵(311)56>0，(833)56>0，∴(311)56>(833)56. (方法二)利用指数函数y =(311)x 与y =(833)x 的图象(如图)比较大小.由图知(311)56>(833)56. (2)令y 1=3x 2-2x+9=3(x 2-2x+1)+8=3(x -1)2+8≥38，y 2=(13)x 2+2x -6=3-x 2-2x+6=3-(x+1)2+7≤37， ∴y 1>y 2，即3x 2-2x+9>(13)x 2+2x -6. (3)由指数函数的性质知0=1，0=1， ∴.。

2020-2021学年北师大版高中数学必修一《指数与指数函数》同步练习及解析

最新（新课标）北师大版高中数学必修一指数与指数函数同步练习一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（）A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭2、44等于（）A 、16aB 、8aC 、4aD 、2a3、若1,0a b ><,且b b a a -+=则b b a a --的值等于（） A 、6B 、2±C 、2-D 、24、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（） A 、1>a B 、2<a C、a < D、1a <<5、下列函数式中，满足1(1)()2f x f x +=的是( ) A 、1(1)2x + B 、14x + C 、2x D 、2x - 6、下列2()(1)x x f x a a -=+g 是（）A 、奇函数B 、偶函数C 、非奇非偶函数D 、既奇且偶函数7、已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b>；(3)ba 11<；(4)1133a b >；(5)1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中恒成立的有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个8、函数2121x x y -=+是（）A 、奇函数B 、偶函数C 、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数 9、函数121x y =-的值域是（） A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞U C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞U 10、已知01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限11、2()1()(0)21x F x f x x ⎛⎫=+⋅≠ ⎪-⎝⎭是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x ( )A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不是偶函数12、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（）A 、(1%)na b -B 、(1%)a nb -C 、[1(%)]n a b -D 、(1%)n a b - 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上） 13、若103,104x y ==，则10x y -=。

高中数学第三章指数函数讲解与例题北师大版必修1

3 指数函数1．指数函数的概念函数y＝a x(a＞0，a≠1)叫作指数函数．谈重点如何理解指数函数的定义(1)指数函数的定义域是实数集R.(2)底数a大于零且不等于1的理由：若a＝0，那么当x＞0时，a x≡0(“≡”表示恒等于)，当x≤0时，a x无意义；若a＜0，那么对于x的某些数值，如12，可使a x无意义；若a＝1，那么对任何的x∈R，a x≡1，对它没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1，这样对于任何x∈R，a x都有意义，而且有研究的必要．(3)指数函数解析式的结构特征：在指数函数y＝a x中，a x的系数必须是1，自变量x必须出现在指数的位置上，底数a 是一个大于0而不等于1的常量．有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如y＝a x＋k(a ＞0，a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，例如y＝a－x(a＞0，a≠1)，这是因为它的解析式可以等价化归为1xya⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中1>0a，11a≠.指数函数结构的三个特征是判断函数是否为指数函数的三个标准，缺一不可．(4)“形如y＝ka x(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数”，这是非常有用的函数模型——指数增长型．【例1－1】函数y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则有( )．A．a＝1，或a＝2 B．a＝1C．a＝2 D．a＞0，且a≠1解析：根据指数函数解析式的结构特征可知，若函数y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则需2331,0,1,a aaa⎧-+=⎪>⎨⎪≠⎩解得a＝2.答案：C【例1－2】指数函数y＝f(x)的图像经过点(π，e)，则f(0)＝________，f(1)＝________，f(－π)＝________.解析：设指数函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝a x(a＞0，a≠1，x∈R)，因为其图像经过点(π，e)，所以aπ＝e，故a＝1πe，f(x)＝1ππe ex x⎛⎫=⎪⎝⎭.因此，f(0)＝e0＝1，f(1)＝1πe，f(－π)＝e－1＝1e.答案：11πe1e析规律待定系数法求解析式已知函数类型求函数解析式，通常采用待定系数法．【例1－3】下列函数是指数函数的是________．(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝x x；(8)y＝(2a－1)x(12a>且a≠1)解析：根据指数函数解析式的结构特征进行判断，易知(1)(5)(8)为指数函数．(2)式中的自变量在底数的位置上，是幂函数而不是指数函数；(3)中4x的系数为－1，所以不是指数函数；(4)中底数－4＜0，所以不是指数函数；(6)中指数不是自变量x，而是x的函数x2，所以不是指数函数；(7)中底数x不是常数，不是指数函数．答案：(1)(5)(8)2．指数函数y＝2x和12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像和性质(1)图像：在同一直角坐标系中用描点法画出函数y＝2x和12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像．由图可以看出，两个函数图像的相同点是都位于x轴的上方，都过点(0,1)；两个函数图像的不同点是函数y＝2x的图像是上升的，函数12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像是下降的．两个函数的图像关于y轴对称．(2)性质：定义域都是实数集R，函数值都大于0；20＝12⎛⎫⎪⎝⎭＝1；函数y＝2x是R上的增函数，函数12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭是R上的减函数．(3)正整数指数函数y＝2x(x∈N＋)和实数指数函数y＝2x(x∈R)的图像都是上升的，在各自的定义域上都是增函数，但它们的图像不同，函数y＝2x(x∈N＋)的图像是一些孤立的点，这些点都在函数y＝2x(x∈R)的图像上；函数y＝2x(x∈R)的图像是一条连续的曲线．【例2】满足112x⎛⎫>⎪⎝⎭的x的取值范围是__________．解析：可结合指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像，也可利用指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性解决．由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像可以看出，当x ＜0时，函数值112x⎛⎫> ⎪⎝⎭.或利用其单调性求解，由于011122x⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，所以x ＜0.答案：(－∞，0)xa ＞10＜a ＜1图像性质定义域 R 值域 (0，＋∞) 定点过点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1 函数值的变化当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1 单调性是R 上的增函数是R 上的减函数【例3－1】函数y ＝15x的图像是( )．解析：因为指数函数y ＝15x的底数15＞1，所以函数y ＝15x是R 上的增函数，排除A ，C ；又因为当x ＝0时，y ＝1，即图像过点(0,1)，故选B.答案：B【例3－2】函数17xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域和值域分别是( )．A ．R ，RB ．(0，＋∞)，(0，＋∞)C ．(0，＋∞)，RD ．R ，(0，＋∞)解析：因为函数17xy⎛⎫= ⎪⎝⎭是指数函数，所以，由指数函数的性质可知，函数17xy⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R，值域是(0，＋∞)．答案：D4．指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的底数a对函数图像的影响(1)一般地，当a＞b＞1时，函数y＝a x和y＝b x的图像如图所示．由图像可以看出：两个函数都是R上的增函数；当x＜0时，总有0＜a x＜b x＜1；当x＝0时，总有a x＝b x＝1；当x＞0时，总有a x＞b x＞1；指数函数的底数越大，当x＞0时，其函数值增长得就越快．(2)当0＜b＜a＜1时，函数y＝a x和y＝b x的图像如图所示．由图像可以看出：两个函数都是R上的减函数；当x＜0时，总有b x＞a x＞1；当x＝0时，总有a x＝b x＝1；当x＞0时，总有0＜b x＜a x＜1；指数函数的底数越小，当x＜0时，其函数值减少得就越快．【例4】下图是指数函数(1)y＝a x；(2)y＝b x；(3)y＝c x；(4)y＝d x的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是( )．A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c解析：根据图像的直观性可先分两类，(1)(2)的底数小于1，(3)(4)的底数大于1，即a＜1，b＜1，c＞1，d＞1，由此可排除C.因为指数函数y＝m x(m＞1)的底数越大，当x＞0时，其函数值增长得就越快，所以，由图像(3)(4)可知c＞d；因为指数函数y＝m x(0＜m＜1)的底数越小，当x ＜0时，其函数值减少得就越快，所以，由图像(1)(2)可知b ＜a ，综上可得b ＜a ＜1＜d ＜c .答案：B析规律直线x ＝1的妙用我们也可以利用直线x ＝1与指数函数的图像的交点位置比较底数的大小．如图是四个指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x在同一直角坐标系中的图像．作出直线x ＝1，则其与四个函数交点的纵坐标恰好是相应函数的底数，根据数轴上实数的大小关系可直观地得到底数的大小为a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0.可简记为：在第一象限内，指数函数的底数从下向上依次增大．5．函数y ＝a x与函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像间的关系一般地，在同一坐标系内画出函数y ＝a x(a ＞1)和函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(a ＞1)的图像，可以发现，二者的图像关于y 轴对称，如下图所示．下面从点关于线对称的角度，加以说明．设P (m ，n )为函数y ＝a x图像上任意一点，其关于y 轴的对称点为P ′(－m ，n )．显然，对于函数1x y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当x ＝－m 时，1my a -⎛⎫= ⎪⎝⎭＝(a －1)－m ＝a(－1)×(－m )＝a m＝n ，即点P ′(－m ，n )在函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像上，所以函数y ＝a x与函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像关于y 轴对称．【例5】函数y ＝2－|x |的示意图是( )．解析：因为y ＝2－|x |＝12,0,22,0,x x x x x -⎧⎛⎫=≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪<⎩而且12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与y ＝2x的图像关于y 轴对称，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[0，＋∞)上是减函数，y ＝2x 在(－∞，0)上是增函数，所以函数y ＝2－|x |的示意图是D.答案：D6．与指数函数有关的函数的定义域和值域求法与指数函数有关的指数型函数，是指数函数与其他函数复合的函数．求这类函数的定义域时，充当指数的式子取全体实数都有意义；求值域时，要注意到充分考虑指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．形如y ＝a f (x )函数的定义域是使f (x )有意义的x 的取值集合，求其值域应先求出f (x )的值域，再结合指数函数的单调性求出a f (x )的值域．对于解析式中某些较复杂的式子，往往采用换元法求解，这样可以使问题变得清楚简洁，避免出错．【例6】求下列函数的定义域和值域：(1)142x y -=；(2)2212x x y -⎛⎫=⎪⎝⎭.分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，分式问题要使分母不为0，二次根式问题要使被开方数大于或等于0；结合换元法，联想函数的图像，根据单调性等确定值域．解：(1)要使函数142x y -=有意义，只需x －4≠0，即x ≠4.∴函数142x y -=的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)．∵x ≠4，104x ≠-， ∴1421x -≠，∴函数142x y -=的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．(2)函数2212x x y -⎛⎫=⎪⎝⎭的定义域为R .∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴221111222x x -⎛⎫⎛⎫≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∴函数2212x x y -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.7．指数幂大小的比较方法比较幂式的大小时，通常有以下几种方法：(1)单调性法：当幂式的底数相同时，可构造指数函数，利用指数函数的单调性进行比较(此时，要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值以及指数函数的底数与1的大小关系，从而确定函数的单调性，特别地，当底数中含有字母时要注意分类讨论)；(2)图像法：若幂式的底数不同而指数相同时，可以根据指数函数的图像随底数的变化规律，利用图像进行比较；(3)中间量法：若底数不同且幂指数也不同时，则需要引入中间量进行比较，中间量可以是幂式，使它与其中一个底数相同而与另外一个指数相同，或用0,1作为中间量．【例7－1】设y 1＝40.9，y 2＝80.48， 1.5312y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则( )．A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 1＞y 2＞y 3解析：从形式上看，三个幂式的底数和指数各不相同，但根据指数的运算性质可得，y 1＝40.9＝(22)0.9＝21.8，y 2＝80.48＝(23)0.48＝21.44， 1.5312y -⎛⎫= ⎪⎝⎭＝(2－1)－1.5＝21.5.因为指数函数y ＝2x (x ∈R )是增函数，所以21.8＞21.5＞21.44，即y 1＞y 3＞y 2.答案：C【例7－2】比较下列各组中数的大小． (1)2334⎛⎫⎪⎝⎭________2356⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)2.3－0.28________0.67－3.1. 解析：(1)根据指数函数的图像随底数的变化规律可知，函数34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和56xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像如图所示，易知2334⎛⎫⎪⎝⎭＜2356⎛⎫⎪⎝⎭.(2)∵2.3－0.28＜2.30＝1,0.67－3.1＞0.670＝1，∴2.3－0.28＜0.67－3.1. 答案：(1)＜ (2)＜8．指数型方程(不等式)的解法(1)因为y ＝a x (a ＞0，a ≠1)是单调函数，若a f (x )＝a g (x )⇔f (x )＝g (x )．这是解“同底型”指数方程的基本依据；对于形如a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0的方程，可用换元法求解，先令a x＝t ，将原方程转化为二次方程t 2＋bt ＋c ＝0，求出t ，再求x .例如，解方程11122xx-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据指数的运算性质，原方程可化为()11122xx -+-=，即1122xx-=.因为指数函数y ＝2x在R 上是增函数，所以11x x=-，即x 2＋x －1＝0(x ≠0)．解得15x --=或15x -+=. 又如，解方程4x－3×2x－4＝0，由于4x＝(22)x＝(2x )2，所以方程可化为(2x )2－3×2x－4＝0.若把2x 看作一个整体，令2x ＝t (t ＞0)，则方程t 2－3t －4＝0是关于t 的一元二次方程．解得t ＝4或t ＝－1(舍去)，即2x ＝4＝22，故x ＝2.(2)因为y ＝a x (a ＞0，a ≠1)是单调函数，故af (x )＞ag (x )⇔,1,0 1.f xg x a f x g x a ()>()>⎧⎨()<()<<⎩这是解简单的“同底型”指数不等式的基础．例如，已知(a 2＋a ＋2)x＞(a 2＋a ＋2)1－x，则x 的取值范围是________．观察不等式可知，这是一个“同底型”指数不等式，由于a 2＋a ＋2＝21724a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＞1，所以y ＝(a 2＋a ＋2)x在R 上是增函数，故x ＞1－x ，即12x >，【例8－1】解不等式231xx a-+＞a (a ＞0，a ≠1)．分析：根据231x x a -+＞a 1和指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的单调性将不等式转化为关于x的一元二次不等式x 2－3x ＋1＞1或x 2－3x ＋1＜1求解即可．解：当a ＞1时，指数函数y ＝a x是R 上的增函数，∴由231x x a -+＞a 1，可得x 2－3x ＋1＞1，即x 2－3x ＞0，∴x (x －3)＞0.∴0,30,x x >⎧⎨->⎩或0,30,x x <⎧⎨-<⎩解得x ＞3或x ＜0.当0＜a ＜1时，指数函数y ＝a x是R 上的减函数， ∴由231x x a -+＞a 1，可得x 2－3x ＋1＜1，即x 2－3x ＜0，∴x (x －3)＜0.∴0,30,x x >⎧⎨-<⎩或0,30,x x <⎧⎨->⎩解得0＜x ＜3.综上可知，当a ＞1时，不等式的解集为{x |x ＞3或x ＜0}；当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |0＜x ＜3}．【例8－2】画出函数y ＝|3x －1|的图像，并利用图像回答：k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？解：函数y ＝|3x－1|的图像如下(图中实线部分)．因此，x 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. (3)利用函数的图像也可解决与指数型方程和不等式有关的问题，如观察两个函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图像的交点个数可确定方程f (x )＝g (x )的解的个数，观察函数y ＝f (x )与x 轴的交点情况，可以确定不等式f (x )＞0或f (x )＜0的解集等．由图可知，当k ＜0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像无交点，即方程|3x－1|＝k 无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像有唯一的交点，即方程|3x－1|＝k 有一解；当0＜k ＜1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像有两个不同交点，即方程|3x－1|＝k 有两解．9．指数型函数的定点问题由于a 0＝1(a ≠0)，即任意一个不为0的数的零次方都等于1，所以，对于指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)，不管其底数取何大于0且不等于1的常数，其图像都过一个定点(0,1)．因此，讨论有关指数型函数的定点问题时，关键是确定指数等于0的条件．一般地，函数g (x )＝ka f (x )＋b (a ＞0，a ≠1，k ，b 是常数)，若f (m )＝0，则函数g (x )恒过定点(m ，k ＋b )．熟记此结论，可提高解题速度．【例9】若对任意大于0且不等于1的实数a ，函数y ＝(p －1)·a x－2p(p 是常数)的图像恒过一定点，则该定点坐标为________．解析：虽然当实数a 变化时，函数y ＝(p －1)·a x－2p(p 是常数)的解析式不同，其图像也会相应地变化，但是，当x ＝0时，a x≡1，此时y ＝(p －1)－2p ＝12p -是一个常数，所以所有函数的图像恒过一定点，该定点坐标为0,12p ⎛⎫- ⎪⎝⎭.答案：0,12p ⎛⎫- ⎪⎝⎭解技巧指数型函数的定点问题求指数型函数的定点问题时，只需令含变量底数的幂的指数为零，则可消去底数，从而解出定点．10．指数函数图像的变换 (1)函数图像的平移变换一般地，函数y ＝f (x )的图像向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a |个单位长度就得到y ＝f (x ＋a )的图像；向上(b ＞0)或向下(b ＜0)平移|b |个单位长度就得到y ＝f (x )＋b 的图像．所以，若已知y ＝a x的图像，把它向左(m ＞0)或向右(m ＜0)平移|m |个单位长度就得到y ＝a x ＋m 的图像；向上(n ＞0)或向下(n ＜0)平移|n |个单位长度就得到y ＝a x＋n 的图像．(2)函数图像的对称变换一般地，函数y ＝f (x )的图像与y ＝f (－x )的图像关于y 轴对称；与y ＝－f (x )的图像关于x 轴对称；与y ＝－f (－x )的图像关于原点对称．所以，若已知y ＝a x 的图像，则其与y ＝a －x 的图像关于y 轴对称；与y ＝－a x的图像关于x 轴对称；与y ＝－a －x的图像关于原点对称．(3)函数图像的翻折变换①y ＝|f (x )|的图像是保留y ＝f (x )的图像中位于x 轴及其上方的部分，将y ＝f (x )的图像中位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方而得到的；②y ＝f (|x |)是一个偶函数，其图像关于y 轴对称，y ＝f (|x |)的图像是保留y ＝f (x )的图像中位于y 轴及其右侧的部分，去掉位于y 轴左侧的部分，再将右侧部分以y 轴为对称轴翻折到左侧而得到的．【例10】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数y ＝2x的图像经过怎样的变换得到的．(1)y ＝2x －1；(2)y ＝2x ＋1；(3)y ＝2|x |；(4)y ＝|2x －1|；(5)y ＝－2x ；(6)y ＝－2－x. 分析：可用描点法或图像的变换规律作出函数的图像，然后再指出两个函数图像的关系．由图像的变换规律，可掌握函数图像的大致形状和快速作图．解：如图所示：(1)y＝2x－1的图像是由y＝2x的图像向右平移1个单位长度得到的；(2)y＝2x＋1的图像是由y＝2x的图像向上平移1个单位长度得到的；(3)y＝2|x|的图像是保留y＝2x的图像中位于y轴及其右侧的部分，去掉位于y轴左侧的部分，再将右侧部分以y轴为对称轴翻折到左侧而得到的；(4)y＝|2x－1|的图像是由y＝2x的图像向下平移1个单位长度，然后将其x轴下方的图像对称到x轴上方得到的；(5)y＝－2x的图像与y＝2x的图像关于x轴对称；(6)y＝－2－x的图像与y＝2x的图像关于原点对称．。

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《指数函数的概念》同步练习
1、函数2x f x a 3a 3a =+（）（﹣）是指数函数，则a 的值为（）
A 、1
B 、3
C 、2
D 、1或3
2、指数函数x y a =的图像经过点（2，16）则a 的值是（）
A 、14
B 、12
C 、2
D 、4 3、函数2x y a 5a 5a =
+（﹣）是指数函数，则a 的值为（） A 、1 B 、-1 C 、4 D 、1和4
4、下列函数中一定是指数函数的是（）
A 、x 1y 5+=
B 、y=x 4
C 、y=3x
D 、y=﹣2•3x
5、函数y=（2a 2﹣3a+2）a x 是指数函数，则a 的值为（）
A 、12
B 、1
C 、-12
D 、1 或12
6、下列各函数中，是指数函数的是（）
A 、x y 3=（﹣）
B 、x ?y 3=﹣
C 、1y 3x -=
D 、y 3x -=
7、下列一定是指数函数的是（）
A 、形如y=a x 的函数
B 、y=x a
（a ＞0，a≠1）
C 、y=（|a|+2）﹣x
D 、y=（a ﹣2）a x
8、已知正整数指数函数()() 2x x f a a =-，则f （2）=（）
A 、2
B 、3
C 、9
D 、16
9、已知指数函数x f x a 0a 1=（）（＜＜），则f （3） ________f （2）。

（填＞或＜） 10、下列函数中是指数函数的序号是________
2x x x x x x 2x 1x
y x y 3y 4y 5y e 1y x y 32y 2y 2a 1a a 12+=========≠① ② ③﹣ ④（﹣） ⑤
⑥ ⑦﹣ ⑧ ⑨（﹣）（＞且）
答案与解析
1、【答案】C
【解析】由题意得：
2331
0,1
a a
a a
⎧-+=
⎨
>≠
⎩
，解得：a=2，故选：C
2、【答案】D
【解析】因为指数函数y=a的图像经过点（2，16)，所以16=a2，又因为a>0且a1,所以a=4.选D。

3、【答案】C。