高中数学第2章平面向量223向量的数乘优化训练苏教版必修4
【方向】高中数学第2章平面向量223向量的数乘优化训练苏教版必修4
【关键字】方向2.2.3 向量的数乘5分钟训练（预习类训练,可用于课前）判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由:(1)向量a与向量b平行，则向量a与向量b方向相同或相反；(2)向量与向量是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；(3)若干个向量首尾相连，形成封闭图形(即向量链)，则这些向量的和等于0；(4)起点不同，但方向相同且长度相等的几个向量是相等的向量.解:(1)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定.(2)不正确.若向量与向量是共线向量，则向量与向量在同一条直线上，或者向量与向量所在的直线平行，因此，A、B、C、D四点不一定在一条直线上.(3)正确.(4)正确10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.若+2n=a，m-3n=b，其中a、b是已知向量，求m、n.思路解析:此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.在此题求解过程中，要利用实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，与解向量的二元一次方程组的方法和解实数的二元一次方程组的方法是一致的.解:记+2n=a，①m-3n=b，②3×②得-9n=3b. ③①-③得11n=a-3b.∴n=a-b. ④将④代入②,有m=b+3n=a+b.2.在平行四边形ABCD中，=a，=b，求、.思路解析:由平面几何的知识可知，对角线相等且互相平分，用已知向量可以表示所求向量；也可用所求向量表示已知向量，联立方程组，求得所求向量.解法一:利用平行四边形的性质，得==a，==b.∵=+=-，∴=a-b.又∵=+,=，∴=a+b.解法二:将、视为未知量，由向量的加法、减法,得两式相加得2=+,∴=+=a+b.两式相减得2=-,∴=-=a-b.3.一艘船以的速度向笔直于对岸的方向行驶，该船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际航行速度.思路解析:用向量法解决物理问题的步骤为:(1)用向量表示物理量;(2)进行向量运算;(3)回扣物理问题，解决问题.本题求速度，可以用向量表示速度，然后用向量加法合成速度即可. 解:如图，表示水流速度，表示船笔直于对岸方向行驶的速度，表示船的实际航行速度，∠AOC=30°,||=5，∵四边形ABCD 为矩形，∴||=||cot30°=，∴水流速度为km/h,船的实际航行速度为.4.用向量方法证明:三角形两边中点连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半. 证明:如图所示，在△ABC 中，∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，∴=，=.∴=-=(-)=.又D 不在BC 上，∴DE ∥BC ，且DE=BC.志鸿教育乐园腹部的疤痕5岁的女儿不明白妈妈的肚皮为什么有一个疤痕，妈妈向女儿解释说：“这是医生割了一刀，把你取出的地方.”女儿认真想了一会儿，很认真地问妈妈：“那你为什么要吃掉我？”30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.若3x-2(x-a)=0，则x 等于( )A.2aB.-2aC.52aD.-52a 思路解析:这是一个简单的向量多项式的运算，通过移项、合并同类项可以得到正确答案. 答案:B2.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )A.a 与-λa 的方向相反B.|-λa |≥|a |C.a 与λ2a 的方向相同D.|-λa |=|λ|a思路解析:如果λ>0,则a 与-λa 的方向相反，如果λ<0，则a 与-λa 的方向相同，A 错；如果|λ|<1，则|-λa |<|a |，B 错；|-λa |是一个大于或等于零的实数，而|λ|a 是向量，它们之间不能比较大小，D 错.答案:C3.如图2-2-11，ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN=31BD.求证:M 、N 、C 三点共线.图2-2-11证明:设AB =a ，BC =b ， 则MN =MB +BN=21a +31(-a +b )=61a +31b ， MC =MB +BC =21a +b ，所以MC =3MN .所以M 、N 、C 三点共线.4.设x 是未知向量，满足31x +3a -125b =0，求x . 解:原方程可变形为31x =-3a +125b ， ∴x=3(-3a +125b )=-9a +45b . 5.如图2-2-12所示，在△ABC 中，AB =a ，BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量AG .图2-2-12 解法一:∵AB =a ，BC =b ， 则BD =21BC =21b ， ∴AD =AB +BD =a +21b ，而AG =32AD . ∴AG =32a +31b . 解法二:过G 作BC 的平行线，交AB 、AC 于E 、F 两点.∵△AEF ∽△ABC ，AE =32AB =32a ，EF =32BC =32b ，EG =21EF =31b ， ∴AG =AE +EG =32a +31b .此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
数学苏教版必修4 第2章2.2.3向量的数乘 作业 Word版含解析
[学业水平训练]．设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是．(填序号)①与λ的方向相反；②与λ的方向相同；③－λ≥；④－λ＝λ·.解析：λ可正可负，故①不正确；而λ是非零实数，故λ>，所以与λ的方向相同，②正确；又λ与的大小不确定，故③不正确；又－λ＝λ·，故④不正确．答案：②已知＝，＝，＝λ，则λ等于．解析：因为＝λ，所以＝λ·，即＝·λ，所以λ＝±.答案：±若＝，与反向，＝，则＝.解析：∵与反向，由共线向量基本定理知，＝－.答案：－点在线段上，且＝，则＝，＝.解析：∵＝，∴点为线段的等分点，∴＝，＝－.答案：－已知向量，不共线，实数，满足(－)＋(－)＝＋，则－的值为．解析：由原式可得解得∴－＝.答案：在△中，已知是边上一点，若＝，＝＋λ，则λ＝．解析：由＝，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，结合＝＋λ，知λ＝.答案：()已知(＋)＋(－)－(－＋)＝(其中，为已知向量)，求；()已知其中，为已知向量，求，.解：()原方程化为＋＋－－＋－＝.得＋－＝，即＝－.∴＝－.()由②得＝－，代入①，得＋(－)＝.∴＋－－＝，＝＋.∴＝＋.∴＝(＋)－＝＋－＝－.综上可得设两个向量与不共线．()试证：起点相同的三个向量，，－的终点在同一条直线上(≠)；()求实数，使得＋与＋共线．解：()证明：设＝，＝，＝－.因为＝－＝(－)－＝(－)，＝－＝－，所以＝－，故，共线．又，有公共起点，所以，，在同一条直线上．()因为＋与＋共线，所以设＋＝λ(＋)，λ∈，即＋＝λ＋λ，又与不共线，所以所以＝±.[高考水平训练]已知是△内的一点，且＋＋＝，则是△的．解析：＋是以、为邻边作平行四边形的对角线，且过的中点，设中点为，则＋＝，∴＋＝，同理设、为，中点，则满足条件的点为△三边中线的交点，故为重心．答案：重心已知△和点满足＋＋＝.若存在实数使得＋＝成立，则＝．解析：由＋＋＝知，点为△的重心，设点为底边的中点，则＝＝×(＋)＝(＋)，所以有＋＝，故＝.答案：证明：若向量、、的终点、、共线，则存在实数λ、μ，且λ＋μ＝，使得：＝λ＋μ；反之，也成立．证明：①如图所示，若、、的终点、、共线，则∥，故存在实数，使得＝，又＝－，＝－，所以－＝(－)，即＝－＋(＋).令λ＝－，μ＝＋，则存在实数λ、μ且λ＋μ＝，使得＝λ＋μ.②若＝λ＋μ，其中λ，μ∈且λ＋μ＝，则μ＝－λ.故＝λ＋(－λ)，即－＝λ(－)，即＝λ.所以、、三点共线，即向量、、的终点在一条直线上．．设，，为非零向量，其中任意两向量不共线，已知＋与共线，且＋与共线，则与＋是否共线？请证明你的结论．解：与＋共线．证明如下：∵＋与共线，∴存在惟一实数λ，使得＋＝λ.①∵＋与共线，∴存在惟一实数μ，使得＋＝μ.②由①－②得，－＝λ－μ.∴(＋μ)＝(＋λ).又∵与不共线，∴＋μ＝，＋λ＝，∴μ＝－，λ＝－，∴＋＝－，即＋＋＝.∴＋＝－.故＋与共线．。
高中数学 第2章 平面向量 2.2.1 向量的加法优化训练 苏教版必修4(2021年整理)
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2.2。
1 向量的加法5分钟训练（预习类训练，可用于课前）OB、OC、AO是（）1.如图2-2-1所示,在圆O中，向量图2-2—1A。
有相同起点的向量 B。
单位向量C.模相等的向量D.相等的向量思路解析：指定大小和方向后就可以确定一个向量，不能说某些向量是有相同起点的，A错;本题中没有给定向量的长度是1，所以不能说它们是单位向量，B错;这三个向量的方向是不同的,所以不是相等的向量,D错；这三个向量的模都是圆的半径，所以它们的模相等。
答案：C2。
(1）把平面上所有单位向量的起点平行移动到同一点P，则这些向量的终点构成的几何图形为_______________________.(2)把平行于直线l的所有单位向量的起点平行移动到直线l上的点P，则这些向量的终点构成的几何图形为_______________________.（3)把平行于直线l的所有向量的起点平行移动到直线l上的点P,则这些向量的终点构成的几何图形为_______________________。
思路解析：向量是自由向量，根据向量相等,可以把向量的起点平移到同一点.（1)因为单位向量的模都是单位长度，所以同起点时，终点构成单位圆.应为一个圆。
(2）因为平行于直线l的所有单位向量只有两个方向，故这样的单位向量只有两个，起点为P,则终点应为直线l上与P的距离相等的两个点。
第2章223向量的数乘作业含解析苏教版必修4数学.doc
［学业水平训练］1. 设a 是非零向量，人是非零实数，下列结论中正确的是. ① a 与加的方向相反；② a 与久咕的方向相同；③ |—Aa|＞|a|；④ 加| = |A|・a.解析：2可正可负，故①不正确；而2是非零实数，故护＞0,所以a 与几的方向相同, ②正确；又|刀与1的大小不确定，故③不正确；又|—Za| = |z|-|a|,故④不正确.答案：②2. 已知|a|=l, |切=2, a=2b,则久等于 ____________・解析：因为a=Xb,所以|4 =以|・|创,即1 =2・|刀，所以z=±|.答案：±23. 若|a|=8, 〃与a 反向,|创=7,则a=解析:、：b 与a 反向，Q 由共线向量基本定理知，a=—〒b. 答案：-马4. 点C 在线段M 上，且务諾，则花= __________解析：•・•%今•:点C 为线段M 的5等分点，/.花=+能,£祐. 3 2答案：5 _55. 已知向量a, b 不共线,实数X, y 满足（3兀—4y ）a+（2x —3y ）b=6a+3b,贝＞J x~y 的值为答案：36. 在△ ABC 中，己知Q 是边上一点，若尬=2矗,C&=|c5+/lcS,则久=解析：由石）=2矗,2得 cb=CA+Ab=CA+^2 io,=c\ + j （C^—c5）•（填序号）b. Ak.解析：由原式可得 3x —4v=6, n ，解得I x=6, b=3.答案T7.⑴已知3(x+a)+3(x-2a)-4(x-a+ft)=0(其中a, b为已知向量),求工;3x+4v=a,(2)已知| 其中a，方为己知向量，求兀，y.2x—3y=b9解:(1)原方程化为3x+3«+3x-6«-4x+4a-4^=0.得2x+a—4方=0,即2x=4b—a...x=2h—^a.‘3x+4y=a,①(2)[2x—3y=b,②2 1由②得丿=金一新，代入①，得3x+4(*—~^b)=a.8 4•：3x+亍r—卫一a=0, 17 兀=4b+3a.・*牯+轨，•尸給。
高中数学 第2章 平面向量 2.2.3 向量的数乘成长训练
高中数学 第2章 平面向量 2.2.3 向量的数乘成长训练 苏教版必修4夯基达标1.4（a -b ）-3（a +b ）-b 等于（ ）A.a -2bB.aC.a -6bD.a -8b 解析：4（a -b ）-3（a +b ）-b =4a -4b -3a -3b -b =a -8b . 答案：D2.已知=32，=32，则等于（ ） A.31 B.-31 C.-32 D.32解析: =-=32323232-==-.答案:C3.点C 在线段AB 上，且=53，则等于（ ） A.32 B.23 C.-32 D.-23解析:如图，设AB=5，则AC=3，BC=2，又AC 与BC 方向相反，故AC =-23BC .答案:D 4.若O 为ABCD 对角线的交点，=2e 1,=3e 2,则23e 2-e 1等于（ ） A.AO Ｂ.BO Ｃ.CO Ｄ.DO 解析:23e 2-e 1=21(3e 2-2e 1)=21(-)=21(+)=21=.答案:B5.已知5（x +a ）=3(b -x )，则x 等于（ ）A.85a -83bB.83a -85bC.-85a +83bD.-83a +85b 解析:5(x +a )=2(b -x )⇒5x+5a =3b -3x ⇒8x=-5a +3b ⇒x=b a 8385+-.答案:C6.如右图所示，D 、E 、F 分别是三角形所在边的中点，则++等于（ ）A.-AC Ｂ.-21BC Ｃ.AC Ｄ.0 解析：2=++，又DF 为△ABC 的中位线， ∴-==2.答案：A7.给出下面四个结论中，其中正确的个数是（ ） ①对于实数p 与向量a 、b ，有p （a -b ）=p a -p b ②对于实数p 、q 和向量a ，有（p-q ）a =p a -q a ③若p a =p b (p∈R )，则有a =b ④若p a =q a ,(p·q∈R ,a ≠0)则p=q A.1 B.2 C.3 D.4 解析:结论③中，p=0也有p a =p b .其余正确. 答案:C 走近高考8.在四边形ABCD 中，=a +2b ，=-4a -b ，=-5a -3b ，（a ，b 为不共线向量） 求证：四边形ABCD 是梯形.证明：∵=a +2b ，=-4a -b ，=-5a -3b ， ∴++==a +2b -4a -b -5a -3b =-8a -2b ， ∴=2BC ，∴AD ∥BC 且AD=2BC ， ∴四边形ABCD 是梯形.9.如下图，已知=3e 1, =3e 2,（1） （2）(1)若C 、D 是AB 的三等分点，求，.（用e 1,e 2表示）（2）若C 、D 、E 是AB 的四等分点，求，，.（用e 1,e 2表示） 解析:（1）∵C、D 是AB 的三等分点， ∴==DB =31AB =31（-）=31（3e 2-3e 1）=e 2-e 1.∴=+=3e 1+e 2-e 1=2e 1+e 2,=+=3e 1+2=3e 1+2e 2-2e 1=e 1+2e 2.（2）====41=41（3e 2-3e 1）=43e 2-43e 1， ∴=+=3e 1+43e 2-43e 1=49e 1+43e 2，=+=49e 1+43e 2+43e 2-43e 1=23e 1+23e 2,OE =OD +DE =23e 1+23e 2+43e 2-43e 1=43e 1+49e 2.10.设G 是△A BC 的重心，O 为平面内不同于G 的任一点，求证:=31（++）. 证明:∵=+，=+，=+, 又∵G 为△ABC 重心， ∴++=0.∴++=++，即=31（++）. 点评:若O 与G 重合，上式即为31（++）=0，即++=0走近高考11.（2006安徽高考）在ABCD 中，=a ，=b ，AN =3NC ，M 为BC 中点，则MN=_______________（用a 、b 表示）. 解法一：如图，++==-21b -a +43AC =-21b -a +43（a +b ）=41（b -a ）. 解法二：设AC 交BD 于O ，由于N 为AC 的43处分点，则有N 为OC 中点，=21=41BD =41（b -a ）. 答案:41（b -a ） 12.（2005全国高考）△A BC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH =m(OA +OB +OC ),则实数m=_____________.解析:（特殊值法）当△ABC为直角三角形时，O为AC中点.AB、BC边上高的交点H与B重合.OA+OB+OC=OB=OH，∴m=1.答案:1。
数学苏教版高一必修4_第2章2.2.3向量的数乘_作业 含解析
数学苏教版高一必修4_第2章2.2.3向量的数乘_作业 含解析[学业水平训练]1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是________．(填序号) ①a 与λa 的方向相反；②a 与λ2a 的方向相同；③|－λa |≥|a |；④|－λa |＝|λ|·a .解析：λ可正可负，故①不正确；而λ是非零实数，故λ2>0，所以a 与λ2a 的方向相同，②正确；又|λ|与1的大小不确定，故③不正确；又|－λa |＝|λ|·|a |，故④不正确．答案：②2.已知|a |＝1，|b |＝2，a ＝λb ，则λ等于________．解析：因为a ＝λb ，所以|a |＝|λ|·|b |，即1＝2·|λ|，所以λ＝±12. 答案：±123.若|a |＝8，b 与a 反向，|b |＝7，则a ＝________b .解析：∵b 与a 反向，由共线向量基本定理知，a ＝－87b . 答案：－874.点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →. 解析：∵AC CB ＝32，∴点C 为线段AB 的5等分点， ∴AC →＝35AB →，BC →＝－25AB →. 答案：35 －255.已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为__________．解析：由原式可得⎩⎨⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝3. 答案：36.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝__________．解析：由AD→＝2DB →， 得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →， 结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.答案：237.(1)已知3(x ＋a )＋3(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0(其中a ，b 为已知向量)，求x ；(2)已知⎩⎨⎧3x ＋4y ＝a ，2x －3y ＝b ，其中a ，b 为已知向量，求x ，y . 解：(1)原方程化为3x ＋3a ＋3x －6a －4x ＋4a －4b ＝0.得2x ＋a －4b ＝0，即2x ＝4b －a .∴x ＝2b －12a . (2)⎩⎨⎧3x ＋4y ＝a ， ①2x －3y ＝b ， ② 由②得y ＝23x －13b ，代入①， 得3x ＋4(23x －13b )＝a . ∴3x ＋83x －43b －a ＝0，17x ＝4b ＋3a . ∴x ＝317a ＋417b . ∴y ＝23(317a ＋417b )－13b ＝217a ＋851b －13b ＝217a －317b . 综上可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝317a ＋417b ，y ＝217a －317b .8.设两个向量a 与b 不共线．(1)试证：起点相同的三个向量a ，b ，3a －2b 的终点在同一条直线上(a ≠b )；(2)求实数k ，使得k a ＋b 与2a ＋k b 共线．解：(1)证明：设OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝3a －2b . 因为AC→＝OC →－OA →＝(3a －2b )－a ＝2(a －b )， AB→＝OB →－OA →＝b －a ， 所以AC→＝－2AB →，故AC →，AB →共线． 又AC→，AB →有公共起点A ，所以A ，B ，C 在同一条直线上． (2)因为k a ＋b 与2a ＋k b 共线，所以设k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )，λ∈R ，即k a ＋b ＝2λa ＋kλb ，又a 与b 不共线，所以⎩⎨⎧k ＝2λ，1＝kλ，所以k ＝±2. [高考水平训练]1.已知O 是△ABC 内的一点，且OA→＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的________． 解析：OA→＋OB →是以OA →、OB →为邻边作平行四边形的对角线，且过AB 的中点，设中点为D ，则OA→＋OB →＝2OD →，∴2OD →＋OC →＝0，同理设E 、F 为AC ，BC 中点，则满足条件的点O 为△ABC 三边中线的交点，故为重心．答案：重心2.已知△ABC 和点M 满足MA→＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________．解析：由MA→＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)， 所以有AB→＋AC →＝3AM →，故m ＝3. 答案：33.证明：若向量OA→、OB →、OC →的终点A 、B 、C 共线，则存在实数λ、μ，且λ＋μ＝1，使得：OC→＝λOA →＋μOB →；反之，也成立．证明：①如图所示，若OA→、OB →、OC →的终点A 、B 、C 共线， 则AB→∥BC →，故存在实数m ，使得BC →＝mAB →，又BC →＝OC →－OB →，AB →＝OB →－OA →， 所以OC→－OB →＝m (OB →－OA →)， 即OC→＝－mOA →＋(1＋m )OB →. 令λ＝－m ，μ＝1＋m ，则存在实数λ、μ且λ＋μ＝1，使得OC→＝λOA →＋μOB →. ②若OC→＝λOA →＋μOB →，其中λ，μ∈R 且λ＋μ＝1， 则μ＝1－λ.故OC→＝λOA →＋(1－λ)OB →， 即OC→－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BC →＝λBA →. 所以A 、B 、C 三点共线，即向量OA→、OB →、OC →的终点在一条直线上． 4．设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则b 与a ＋c 是否共线？请证明你的结论．解：b 与a ＋c 共线．证明如下：∵a ＋b 与c 共线，∴存在惟一实数λ，使得a ＋b ＝λc .①∵b ＋c 与a 共线，∴存在惟一实数μ，使得b ＋c ＝μa .②由①－②得，a －c ＝λc －μa .∴(1＋μ)a ＝(1＋λ)c .又∵a 与c 不共线，∴1＋μ＝0，1＋λ＝0，∴μ＝－1，λ＝－1，∴a ＋b ＝－c ，即a ＋b ＋c ＝0.∴a ＋c ＝－b .故a ＋c 与b 共线．。
苏教版高中数学必修4章末练测：第二章平面向量(含参考答案).docx
第2章平面向量（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上）1.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量OD等于.2. 有下列四个关系式：①|a·b|=|a|·|b|;②|a·b|≤|a|·|b|;③|a·b|≥|a|·|b|;④|a·b|≠|a|·|b|.其中正确的关系式是.3.在△ABC中，AB边上的高为CD,若CB=a,CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则AD= .4.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|= .5.设x，y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|= .6.设a=(13，tan )，b=(cos ，32)，且a∥b，则锐角的值为.7.点P为△ABC所在平面内任一点，且PA+PB+PC=AB，则点P与△ABC的位置关系是.8.对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是.○1若a·b=0，则a=0或b=0;○2若λa=0，λ=0或a=0;○3若a2=b2，则a=b或a=-b;○4若a·b=a·c，则b=c.9. 在△ABC所在平面存在一点O使得OA+ OB + OC= 0，则面积= .10.若将向量a=（1，2）绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b，则b的坐标是.11.已知平面上三点A、B、C满足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值等于.12.已知点A（1，-2），若向量AB与a=（2，3）同向，|AB|=213，则点B的坐标为.13. 设OA=(3，1)，OB=(-1，2)，OC⊥OB, BC ∥OA,又OD+OA=OC，则OD的坐标是.14.若对n个向量a1，a2，…，a n存在n个不全为零的实数k1,k2,…,k n，使得k1a1+k2a2+…+k n a n=0成立，则称向量a1,a2,…,a n为“线性相关”.依此规定，能说明a1=(1,2),a2=(1,-1)，a3=(2,10)“线性相关”的实数k1,k2,k3依次可以取（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）.二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15.(15分)设a，b，c，d∈R，求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）. 16.（15分）已知实数a，b，c，d，求函数f（x）=2222()()x a b x c d+++-+的最小值.17.（21分）平面内给定三个向量a＝（3，2），b ＝（-1，2），c=（4，1）.（1）求满足a=m b+n c的实数m,n；（2）若（a+k c）∥(2b-a)，求实数k；（3）设d=(x,y)满足（d-c）∥(a+b)，且|d-c|＝1，求向量d. 18.（14分）设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为零的实数.（1）若x=a+（t-3）b与y=-k a+t b垂直，求k关于t的函数表达式k=f（t）；（2）求函数k=f（t）的最小值.19.（15分）一条河的两岸平行，河的宽度d为500 m，一条船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=4 km/h，那么v1与v2的夹角（精确到1°）多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间？（精确到0.1 min）第2章平面向量（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15.16. 17. 18. 19.第2章 平面向量（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. a +c -b 解析：如图，点O 到平行四边形三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a 、b 、c ， 结合图形有OD =OA +AD =OA +BC =OA +OC -OB =a +c -b .2. ○2 解析：|a ·b |=|a ||b ||cos θ|≤|a |·|b |,其中θ为a 与b 的夹角.3.45a -45b 解析：利用向量的三角形法则求解. 如图，∵ a ·b =0，∴ a ⊥b ，∴ ∠ACB =90°， ∴ AB =22AC BC +=5.又CD ⊥AB ,∴ AC 2=AD ·AB ，∴ AD =455. A DOB CC b aA D B∴ AD =45AB =45（a -b ）=45a -45b . 4.5 解析：｜a +b ｜2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=50，即5+2×10+|b |2=50,∴ |b |=5.5. 解析：利用平面向量共线和垂直的条件求解. ∵ a =（x ,1）,b =（1,y ）,c =（2,-4）, 由a ⊥c 得a ·c =0,即2x-4=0,∴ x =2. 由b ∥c ,得1×（-4）-2y =0,∴ y =-2. ∴ a =（2,1）,b =（1,-2）.∴ a +b =（3,-1）,∴ |a +b |=223(1)+-=.6.π6解析：∵ a ∥b ，∴ 13×32-t a n cos =0，即sin =12，∴ =π6.7. P 在AC 边上 解析：∵ PA +PB +PC =AB ，∴ PA +PC =AB +BP =AP ，即PC =2AP . ∴ A 、C 、P 三点共线，即P 在AC 边上. 8.○2 解析：取a =（1，0），b =（0，-1），满足条件a ·b =0，a 2=b 2，但不能推得a =0或b =0，a =b 或a =-b ，故选项○1、○3均假；向量数量积运算不满足消去律，故选项○4假. 9.13解析：∵ OA + OB + OC = 0 ，∴ OB + OC = AO ， 设 OB + OC =OD ， ∴O 是AD 的中点， 要求面积之比的两个三角形是同底的三角形， ∴面积之比等于三角形的高之比，∴比值是13， 10. （22-，322） 解析：设b =（x ，y ），则|b |=|a |=，a ·b =|a ||b |·cos π4=××22=522，即x 2+y 2=5，x+2y =522，解得x =22-，y =322（舍去x =322，y =22）.故b =（22-，322）. 11.-25 解析：∵|AB |2+|BC |2=|CA |2，∴ △ABC 为直角三角形，AB ⊥BC ， cos A =35，cos C =45. ∴原式=3×4×0+4×5×(45-)+5×3×(35-)=25-.12.（5，4） 解析：设AB =（x ，y ），∵ AB 与a 同向， ∴ AB =λa （λ>0），即（x ，y ）=λ（2，3）.∴ 2,3.x y λλ=⎧⎨=⎩又|AB |=2，∴ x 2+y 2=52.∴ 4λ2+9λ2=52，解得λ=2（负值舍去）.∴ 点B 的坐标为（5，4）.13. 1 解析：设OC =(x ,y ),由OC ⊥OB ,得-x+2y =0.① 由BC =OC -OB =(x+1,y-2), BC ∥OA , 得(x+1)-3(y-2)=0.②由①②联立，解得x =14,y =7.故OD =OC -OA =(14，7)-(3，1)=(11，6).14.只要写出-4c ,2c ,c (c ≠0)中一组即可，如-4，2，1等 解析：由k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3＝0得12313,12323,20,421002k k k k k k k k k k ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴ k 1=-4c ,k 2=2c ,k 3=c (c ≠0). 二、解答题15.证明：引入向量a =（a ，b ），b =（c ，d ）. 设向量a 、b 的夹角为，则（ac+bd ）2=（a ·b ）2=（|a ||b |cos ）2≤（|a ||b |）2=（a 2+b 2）（c 2+d 2）. 16.解：引入向量a =（x+a ，b ），b =（c-x ，d ）， 则原函数变为f （x ）=|a |+|b |.∴ f （x ）=|a |+|b |≥|a +b |=22()()x a c x b d ++-++=22()()a c b d +++. ∴ 函数f （x ）的最小值为22()()a c b d +++. 17.解：（1）因为a =m b +n c ,所以（3，2）＝（-m+4n ,2m+n ）,所以5,43,9228.9m m n m n n ⎧=⎪-+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩（2）因为（a +k c ）∥(2b -a ),又a + k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2), 所以2（3+4k ）+5（2+k ）＝0，即k =-1613. （3）因为d -c =(x-4,y-1),a +b =(2,4), 又（d -c ）∥(a +b ),|d -c |=1，所以22554,4,4(4)2(1)0,55(4)(1)1,25251,155x x x y x y y y ⎧⎧=+=-⎪⎪---=⎧⎪⎪⎨⎨⎨-+-=⎩⎪⎪=+=-⎪⎪⎩⎩解得或.所以d =（5254,155++）,或d =（5254,155--）. 18.解：（1）∵ a ⊥b ，∴ a ·b =0.又x ⊥y ，∴ x ·y =0，即［a +（t-3）b ］·（-k a +t b ）=0，-k a 2-k （t-3）a ·b +t a ·b +t （t-3）b 2=0. 将|a |=2，|b |=1代入上式得-4k+t 2-3t =0， 即k =f （t ）=14（t 2-3t ）. （2）由（1）知k =f （t ）=14（t 2-3t ）=14（t-32）2916-, ∴ 当t =32时，k 最小=916-. 19.解：如图，根据向量的平行四边形法则和解三角形知识可得| v 1|2=| v |2+| v 2|2，得| v |=2212-v v =22104-≈9.2（km/h ）. ∵ cos （π-）=21v v =410=25，∴ π-≈1130π，即≈1930π=114°，时间t =d v ≈0.59.2=592（h ）,即约3.3 min. 答：v 1与v 2的夹角约为114°时船才能垂直到达对岸B 处，大约行驶3.3 min.v 1 vA v 2。
高中数学 2.2.3向量的数乘练习(含解析)苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题
2．2.3 向量的数乘情景：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)(与已知向量a相比)．思考：相加后和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？1．实数λ与向量a的积是一个向量，记作________．答案：λa2．|λa|＝________．答案：|λ||a|3．当________时，λa与a方向相同；λ＜0时，λa与a方向________；当________时，λa＝0(a≠0)．答案：λ＞0 相反λ＝04．实数与向量的积的运算律中，结合律是________，它的几何意义是__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案：λ(μa)＝(λμ)a将表示向量a的有向线段先伸长或压缩|μ|倍，再伸长或压缩|λ|倍，与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λμ|倍所得结果相同5．第一分配律是________，几何意义是___________________________________________________________________________________________________________________________________.答案：(λ＋μ)a＝λa＋μa将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λ|倍后，再与表示向量a的有向线段伸长或压缩|μ|倍后相加，和直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λ＋μ|倍所得结果相同6．第二分配律是________，几何意义是___________________________________________________________________________________________________________________________________.答案：λ(a＋b)＝λa＋λb将表示向量a、b的有向线段先相加，再伸长或压缩|λ|倍，与将表示向量a、b的有向线段先伸长或压缩|λ|倍，再相加所得结果相同7．向量b与非零向量a共线的等价条件是__________________________________________________________．答案：存在唯一实数λ使b＝λa8．向量线性运算是指向量的________运算，几何意义是__________________________________________________________．答案：加、减、数乘将表示两个向量a，b的有向线段先分别伸长或缩短|μ1|，|μ2|倍，再相加(或相减)，最后再伸长或缩短|λ|倍，与将表示这两个向量a，b的有向线段先分别伸长或缩短|λμ1|，|λμ2|倍，再相加(或相减)所得的结果相同9．与非零向量a共线的单位向量是________．答案：±a|a|实数与向量的积实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．实数与向量的积的定义可以看做是数与数的积的概念的推广．数与向量的积还是一个向量，λa与a同向(λ＞0)或反向(λ＜0)时，判断两个向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数和其中的一个向量的积能够把另一个向量表示出来．向量数乘运算律设λ、μ为实数，那么：(1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .实数与向量的积的运算律与中学代数运算中实数乘法的运算律相似，只是实数乘向量的分配律由于因子的不同可分为：第一分配律，即(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；第二分配律，即λ(a ＋b )＝λa ＋λb .共线向量定理如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa .基础巩固1．设λ、μ∈R，下面叙述不正确的是( ) A ．λ(μa )＝(λμ)a B ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa C ．λ(a ＋b )＝λa ＋λb D ．λa 与a 的方向相同(λ≠0) 答案：D2．|a －b |＝|a |＋|b |(b ≠0)成立的等价条件是( )A ．b ＝λa 且λ∈(－∞，0)B ．a ＝λb 且λ∈[0，＋∞)C ．b ＝λa 且λ∈(－∞，0]D ．a ＝λb 且λ∈(－∞，0] 答案：D3．在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 的中点，若BE →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝________．解析：如图，BE →＝AE →－AB →＝12AD →－AB → ＝12(AB →＋BD →)－AB → ＝－12AB →＋12BD →＝－12AB →＋14BC →＝－12AB →＋14(AC →－AB →)＝－34AB →＋14AC →.∴m ＝－34，n ＝14.∴m ＋n ＝－12.答案：－124．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是________．答案：共线5．若a ，b 是已知向量，且13(3a －2c )＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫14c －b ＋a ＋6b ＝0，则c ＝________． 答案：－6(a ＋b )6．已知向量a 、b 不共线，实数x 、y 满足等式5xa ＋(8－y )b ＝4xb ＋3(y ＋9)a ，则x ＝_______，y ＝_______．答案：3 －47．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－2 015OB →＋2 014OC →＝0，则|AB →||BC →|＝________．答案：20148．化简：76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋2b ）－23a －b ＝________．答案：09．已知OA →＝a ，OB →＝b ，C 为AB →上距A 较近的一个三等分点，D 为CB →上距C 较近的一个三等分点，则用a ，b 表示OD →的表达式为OD →＝________．答案：4a ＋5b 9能力升级10．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( )A ．2OA →－OB →B ．－OA →＋2OB →C .23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →答案：A11．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D解析：∵AB →＝a ＋2b ，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴A 、B 、D 三点共线． 答案：A12．向量OA →＝a ，OB →＝b ，a 、b 不共线，则∠AOB 的平分线OM →可表示为( ) A.a |a |＋b |a | B.a ＋b|a ＋b |C.|b |a －|a |b|a |＋|b |D ．λ⎝⎛⎭⎪⎫a |a |＋b |b |(λ由|OM→|确定) 解析：因a |a |与b|b |均是单位向量，∴以这两个向量为邻边的平行四边形是菱形，而菱形的对角线平分对角．∴只有D 项才表示∠AOB 的平分线向量．答案：D13．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：AB→|AB →|是与AB →同向的单位向量，AC →|AC →|是与AC →同向的单位向量．以A 为共同起点，以这两个单位向量为邻边作出菱形AB 0P 0C 0，则它们的和向量AB→|AB →|＋AC→|AC →|即菱形的对角线所确定的以A 为起点的向量AP 0→，同时由菱形的对角线平分一组对角知AP 0平分∠BAC .λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝λAP 0→(λ≥0)，与以A 为起点的AP 0同向的向量AP →＝OP →－OA →＝λAP 0→(λ≥0)，故点P 的轨迹是∠BAC 的平分线(含点A )．故通过内心．答案：B14．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D ，E ，若AD →＝xAB →，AE →＝yAC →，xy ≠0，则1x ＋1y的值为________．解析：不妨设过△ABC 的重心所作直线与BC 平行，则AD →＝23AB →，AE →＝23AC →，故x ＝y ＝23，所以1x ＋1y ＝32＋32＝3.15．已知非零向量e 1，e 2不共线，且AB →＝e 1＋e 2，BC →＝ke 1＋ 8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)．若A 、B 、D 三点共线，试确定实数k 的值．解析：∵BD →＝BC →＋CD →＝ke 1＋8e 2＋3(e 1－e 2) ＝(k ＋3)e 1＋5e 2， 又A 、B 、D 三点共线，∴存在唯一实数λ，使得AB →＝λBD →， 即e 1＋e 2＝λ[(k ＋3)e 1＋5e 2]， 即[λ(k ＋3)－1]e 1＝(1－5λ)e 2.又e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ（k ＋3）－1＝0，1－5λ＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，λ＝15.∴k ＝2.16．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)若8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，某某数k 的值．(1)证明：∵AB →＝OB →－OA →＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b ，而BC →＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－2a －4b ＝－2AB →，∴AB →与BC →共线，且有公共端点B . ∴A ，B ，C 三点共线．(2)解析：∵8a ＋kb 与ka ＋2b 共线， ∴存在实数λ，使得8a ＋kb ＝λ(ka ＋2b )． ∴(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0. ∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0.∴8＝2λ2.∴λ＝±2. ∴k ＝2λ＝±4.17．如右下图所示，在平行四边形ABCD 中，AD →＝a ，AB →＝b ，M 是AB 的中点，点N 是BD 上一点，|BN |＝13|BD |.求证：M 、N 、C 三点共线．证明：∵AD →＝a ，AB →＝b ， ∴BD →＝AD →－AB →＝a －b .∴MN →＝MB →＋BN →＝12b ＋13BD →＝12b ＋13(a －b )＝13a ＋16b ＝16(2a ＋b )．又∵MC →＝MB →＋BC →＝12b ＋a ＝12(2a ＋b )，∴MC →＝3MN →. ∴MC →与MN →共线．又MC →与MN →有共同起点，∴M 、N 、C 三点共线．18．设平面上不在一直线上的三点为O 、A 、B ，证明：当实数p ，q 满足1p ＋1q＝1时，连接pOA →，qOB →两个向量终点的直线通过一个定点．证明：方法一(构造法一)设OA ′→＝pOA →，OB ′→＝qOB →，其中C ′为直线A ′B ′上任意一点，则OC ′→＝λOA ′→＋μOB ′→＝λp OA →＋μqOB →(λ＋μ＝1)．∵1p ＋1q ＝1，令λ＝1p ，μ＝1q，则OC ′→＝OA →＋OB →＝OC →，其中点C 是以OA 、OB 为邻边的平行四边形的另一顶点，显然C为定点，故满足要求．方法二(构造法二)如图所示，OC ′→＝OA ′→＋λA ′B ′→＝OA ′→＋λ·(OB ′→－OA ′→)＝(1－λ)OA ′→＋λOB ′→＝(1－λ)pOA →＋λq OB →.∵1p ＋1q ＝1，∴令1－λ＝1p ，λ＝1q ，显然满足1－λ＋λ＝1p ＋1q＝1，OC ′→＝OA →＋OB →.∴C ′为定点．。
苏教版高中数学必修4第二章平面向量单元练习().doc
第二章平面向量单元练习（必修4）一、填空题1．若有以下命题：① 两个相等向量的模相等； ② 若a 和b 都是单位向量，则b a =；③ 相等的两个向量一定是共线向量； ④ b a //，b c //，则c a //；⑤ 零向量是唯一没有方向的向量； ⑥ 两个非零向量的和可以是零。
其中正确的命题序号是 。
2. 在水流速度为4h km /的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8h km /的速度航行，则船自身航行速度大小为____________h km /。
3. 任给两个向量a 和b ，则下列式子恒成立的有________________。
① ||||||b a b a +≥+ ② ||||||b a b a -≥- ③||||||b a b a +≤- ④ ||||||b a b a -≤-4. 若a AB 3=，a CD 5-=且||||BC AD =，则四边形ABCD 的形状为________。
5．梯形ABCD 的顶点坐标为)2,1(-A ，)4,3(B ，)1,2(D 且DC AB //，CD AB 2=，则点C 的坐标为___________。
6. ABC ∆的三个顶点坐标分别为),(11y x A ，)(22y x B ，)(33y x C ，若G 是ABC ∆的重心，则G 点的坐标为__________，=++GC GB GA __________________。
7. 若向量)1,1(=a ，)1,1(-=b ，)2,1(-=c ，则=c ___________(用a 和b 表示)。
8. 与向量)4,3(=a 平行的单位向量的坐标为 ________________。
9. 在ABC ∆中，已知7=AB ，5=BC ，6=AC ，则=∙BC AB ________________。
10.设)3,(x a =，)1,2(-=b ，若a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 __ ____。
2016-2017苏教版高中数学必修4检测：第2章2.2-2.2.3向量的数乘 Word版含解析
第2章 平面向量2.2 向量的线性运算2.2.3 向量的数乘A 级 基础巩固1．4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( )A ．a －2bB ．aC ．a －6bD ．a －8b解析：原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b .答案：D2．设a 是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有( )(1)a 与－λ a 的方向相反；(2)|－λ a |≥|a |；(3)a 与λ2a 方向相同；(4)|－2λ a |＝2|λ|·|a |.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：由向量数乘的几何意义知(3)(4)正确．答案：B3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA→＋OB →＋OC →＝0.则( )A.AO →＝2OD →B.AO →＝OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO ＝OD →解析：因为D 为BC 的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，所以OB →＋OC →＝2OD →.所以2OA →＋2OD →＝0.则OA →＋OD →＝0，因此AO →＝OD →.答案：B4．化简13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）的结果是( ) A ．2a －bB ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13(6b －3a )＝2b －a . 答案：B5．设四边形ABCD 中，有DC →＝12AB →且|AD →|＝|BC →|，则这个四边形是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形解析：因为DC →＝12AB →，所以AB ∥DC 且AB ≠DC . 所以四边形ABCD 是梯形．又|AD →|＝|BC →|，所以四边形ABCD 是等腰梯形．答案：C6．已知|a |＝35|b |，b 与a 的方向相反，若a ＝λb ，则λ＝________. 解析：因为|a |＝35|b |，b 与a 的方向相反，所以a ＝－35b .所以λ＝－35. 答案：－357．(2015·课标全国Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λ a ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．解析：因为λ a ＋b 与a ＋2b 平行，所以λ a ＋b ＝t (a ＋2b )，即λ a ＋b ＝t a ＋2t b .所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t .解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：128．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y ＝__________________．解析：由2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，得2y －23a －12c －12b ＋32y ＋b ＝0，即72y －23a －12c ＋12b ＝0， 所以y ＝421a －17b ＋17c . 答案：421a －17b ＋17c 9．已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：因为BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，所以BD →＝BC →＋CD →＝(6e 1＋23e 2)＋(4e 1－8e 2)＝10e 1＋15e 2. 又因为AB →＝2e 1＋3e 2，所以BD →＝5AB →.所以AB →，BD →共线，且有公共点B .所以A ，B ，D 三点共线．B 级 能力提升10．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为MA →＋MB →＋MC →＝0，所以MA →＋MA →＋AB →＋MA →＋AC →＝0.从而有AB →＋AC →＝－3MA →＝3AM →＝mAM →，故有m ＝3.答案：B11．已知|a |＝6，b 与a 的方向相反，且|b |＝3，a ＝m b ，则实数m ＝________．解析：|a ||b |＝63＝2，所以|a |＝2|b |. 又a 与b 的方向相反，所以a ＝－2b .所以m ＝－2.答案：－212．已知非零向量e 1，e 2不共线，且AB →＝e 1＋e 2，BC →＝ke 1＋ 8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)．若A ，B ，D 三点共线，试确定实数k 的值．解：因为BD →＝BC →＋CD →＝ke 1＋8e 2＋3(e 1－e 2)＝(k ＋3)e 1＋5e 2，又A ，B ，D 三点共线，所以存在唯一实数λ，使得AB →＝λBD →，即e 1＋e 2＝λ[(k ＋3)e 1＋5e 2]，即[λ(k ＋3)－1]e 1＝(1－5λ)e 2.又e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ（k ＋3）－1＝0，1－5λ＝0. 则⎩⎨⎧k ＝2，λ＝15.所以k ＝2. 13．已知e ，f 为两个不共线的向量，且四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)将AD →用e ，f 表示；(2)求证：四边形ABCD 为梯形．(1)解：根据向量的线性运算法则，有AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →，所以AD →与BC →同向，且AD →的长度为BC →长度的2倍．所以在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是梯形．。
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2.2.3 向量的数乘
5分钟训练（预习类训练,可用于课前）
判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由:
(1)向量a 与向量b 平行，则向量a 与向量b 方向相同或相反；
(2)向量AB 与向量CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；
(3)若干个向量首尾相连，形成封闭图形(即向量链)，则这些向量的和等于0；
(4)起点不同，但方向相同且长度相等的几个向量是相等的向量.
解:(1)不正确.因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不确定.
(2)不正确.若向量
AB 与向量CD 是共线向量，则向量AB 与向量CD 在同一条直线上，或者向量AB 与向量CD 所在的直线平行，因此，A 、B 、C 、D 四点不一定在一条直线上.
(3)正确.
(4)正确
10分钟训练（强化类训练,可用于课中）
1.若3m +2n =a ，m -3n =b ，其中a 、b 是已知向量，求m 、n .
思路解析:此题可把已知条件看作向量m 、n 的方程，通过方程组的求解获得m 、n .在此题求解过程中，要利用实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，与解向量的二元一次方程组的方法和解实数的二元一次方程组的方法是一致的.
解:记3m +2n =a ， ① m -3n =b ， ② 3×②得3m -9n =3b . ③ ①-③得11n =a -3b .
∴n =
111a -11
3b . ④ 将④代入②,有m =b +3n =113a +112b . 2.在平行四边形ABCD 中，AC =a ，BD =b ，求AB 、AD .
思路解析:由平面几何的知识可知，对角线相等且互相平分，用已知向量可以表示所求向量；也可用所求向量表示已知向量，联立方程组，求得所求向量.
解法一:利用平行四边形的性质，得OA =21AC =2
1a ， BO =21BD =2
1b . ∵
AB =OA +OB =OA -BO ， ∴
AB =21a -21b .
又∵=OA +OD ,OD =21， ∴AD =21a +21b .
解法二:将、视为未知量，由向量的加法、减法,得
⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,
AC 两式相加得2
AD =AC +BD , ∴=21AC +21=21a +21b . 两式相减得2
AB =AC -BD , ∴=21AC -21=21a -21b . 3.一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，该船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际航行速度.
思路解析:用向量法解决物理问题的步骤为:(1)用向量表示物理量;(2)进行向量运算;(3)回扣物理问题，解决问题.本题求速度，可以用向量表示速度，然后用向量加法合成速度即可. 解:如图，OA 表示水流速度，OB 表示船垂直于对岸方向行驶的速度，OC 表示船
的实际航行速度，∠AOC=30°,|
OB |=5，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴|OA |=|AC |cot30°=35，
.102
33530cos ||||=== OA OC
∴水流速度为35km/h,船的实际航行速度为10 km/h.
4.用向量方法证明:三角形两边中点连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半. 证明:如图所示，在△ABC 中，
∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点， ∴AD =21AB ，AE =21AC . ∴DE =AE -AD =21(AC -AB )=21BC . 又D 不在BC 上，
∴DE ∥BC ，且DE=
21BC. 志鸿教育乐园
腹部的疤痕
5岁的女儿不明白妈妈的肚皮为什么有一个疤痕，妈妈向女儿解释说：“这是医生割了一刀，把你取出的地方.”
女儿认真想了一会儿，很认真地问妈妈：“那你为什么要吃掉我？”
30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）
1.若3x -2(x -a )=0，则x 等于( )
A.2a
B.-2a
C.52a
D.-5
2a 思路解析:这是一个简单的向量多项式的运算，通过移项、合并同类项可以得到正确答案. 答案:B
2.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )
A.a 与-λa 的方向相反
B.|-λa |≥|a |
C.a 与λ2a 的方向相同
D.|-λa |=|λ|a
思路解析:如果λ>0,则a 与-λa 的方向相反，如果λ<0，则a 与-λa 的方向相同，A 错；如果|λ|<1，则|-λa |<|a |，B 错；|-λa |是一个大于或等于零的实数，而|λ|a 是向量，它们之间不能比较大小，D 错.
答案:C
3.如图2-2-11，
ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN=3
1BD.求证:M 、N 、C 三点共线.
图2-2-11
证明:设
AB =a ，BC =b ， 则MN =MB +BN =21a +31(-a +b )=61a +31b ，
MC =MB +BC =21a +b ， 所以MC =3.
所以M 、N 、C 三点共线.
4.设x 是未知向量，满足
3
1x +3a -125b =0，求x . 解:原方程可变形为31x =-3a +12
5b ， ∴x=3(-3a +125b )=-9a +45b . 5.如图2-2-12所示，在△ABC 中，
AB =a ，BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量AG .
图2-2-12
解法一:∵
AB =a ，BC =b ， 则=21BC =21b ， ∴
AD =AB +BD =a +21b ，而AG =32AD . ∴AG =32a +3
1b .
解法二:过G 作BC 的平行线，交AB 、AC 于E 、F 两点.
∵△AEF ∽△ABC ，
AE =32AB =32a ，EF =32BC =32b ，EG =21EF =31b ， ∴
AG =+EG =32a +3
1b .。