海南高一数学
海南省海口市2023-2024学年高一下学期开学考试 数学含答案
高一数学寒假作业验收卷（答案在最后）（考试时间：16：30-17：30共一个小时，总分110分）一､单选题（每小题5分）1.已知集合{}{}2280,28x A x x x B x =--≤=<，则A B = （）A.{}24x x -≤≤ B.{}42x x -≤≤C.{}23x x -≤< D.{}43x x -≤<2.函数()R 1,Q0,Q x D x x ∈⎧=⎨∈⎩ð被称为狄利克雷函数，则()D D=（）A.2B.C.1D.03.函数1()ln(1)2f x x x =+--的定义域为（）A.(1,)+∞B.(1,2)(2,)⋃+∞C .(,1)-∞ D.(0,2)(2,)⋃+∞4.函数()1f x x x=-的大致图象是（）A.B.C.D.5.下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A.()2f x x =B.()22f x x =++C.()13f x x x=+- D.()ln 3f x x =+6.函数()f x 的定义域为R ，且对于任意()1212,R x x x x ∈≠均有()()21210f x f x x x -<-成立，若()()121f a f a ->-，则正实数a 的取值范围为（）A.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭B.2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.20,3⎛⎫⎪⎝⎭D.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦7.已知sin 2sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α=（）A.12B.35C.34D.458.已知函数2ln(),0()41,0x x f x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，若函数()()g x f x m =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则下列结论中正确的是（）A.211ex -<≤- B.10m -≤<C.12110x x =D.342x x +=二､多选题（每小题6分）9.下列说法正确的是（）A.“1ab >”是“1,1a b >>”的必要不充分条件B.“幂函数()()2311mf x m x =-在()0,∞+上单调递减”的充要条件为“2m =”C.命题3:,310x p x x ∀∈+->R 的否定p ⌝为：3,310x x x ∀∈+-≤RD.已知一扇形的圆心角60α= ，且其所在圆的半径=5r ，则扇形的弧长为5π310.已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个周期为2B.()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间[]1,2上单调递增11.已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为(-∞，1)(5 ，)∞+，则（）A.0a >B.0a b c ++>C.0bx c +>的解集是5{|}6x x >D.20cx bx a -+<的解集是1{|5x x >-或1}x <-三､填空题（每小题5分）12.已知3πcos ,,052αα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.13.已知0,0x y >>，且21x y +=，则11x y+的最小值为________.14.已知函数π()2cos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为__________．四､解答题15.已知函数())2cos cos 1f x xx x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎣⎦上的值域．16.已知函数21()2x x f x a+=+为奇函数．（1）求实数a 的值；（2）求关于x 的不等式()3f x >的解集；（3）设函数22()log log 24x xg x m =⋅+，若对任意的1[2,8]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得()()12g x f x =成立，求实数m 的取值范围．高一数学寒假作业验收卷（考试时间：16：30-17：30共一个小时，总分110分）一､单选题（每小题5分）1.已知集合{}{}2280,28x A x x x B x =--≤=<，则A B = （）A.{}24x x -≤≤B.{}42x x -≤≤C.{}23x x -≤< D.{}43x x -≤<【答案】C 【解析】【分析】先求出集合,A B 中元素范围，再求交集即可.【详解】{}{}228024A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}283xB x x x =<=<，则{}23A B x x ⋂=-≤<.故选：C.2.函数()R 1,Q0,Q x D x x ∈⎧=⎨∈⎩ð被称为狄利克雷函数，则()D D=（）A.2B.C.1D.0【答案】C 【解析】【分析】利用定义结合分段函数性质计算即可.()()Q,0Q 0,01D D D D ∈⇒=∴==.故选：C 3.函数1()ln(1)2f x x x =+--的定义域为（）A.(1,)+∞B.(1,2)(2,)⋃+∞C.(,1)-∞D.(0,2)(2,)⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由题可得1020x x ->⎧⎨-≠⎩，即可解出定义域.【详解】因为1()ln(1)2f x x x =+--，所以要使函数有意义，则1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，所以()f x 的定义域为(1,2)(2,)⋃+∞，故选：B.4.函数()1f x x x=-的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用单调性、最值结合图象可得答案.【详解】当0x >时，()1f x x x=-，为减函数，排除AD ；当0x <时，()12f x x x =-≥=-，当且仅当=1x -时，()f x 取得最小值2，故排除C.B 选项的图象符合题意.故选：B .5.下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A.()2f x x =B.()22f x x =++C.()13f x x x=+- D.()ln 3f x x =+【答案】B 【解析】【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解.【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；对于A ，()2f x x =有唯一零点0x =，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于B ，()(222f x x x =++=+有唯一零点x =但(20y x =+≥恒成立，故不可用二分法求零点；对于C ，()13f x x x =+-有两个不同零点352x =，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；对于D ，()ln 3f x x =+有唯一零点3x e -=，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B.6.函数()f x 的定义域为R ，且对于任意()1212,R x x x x ∈≠均有()()21210f x f x x x -<-成立，若()()121f a f a ->-，则正实数a 的取值范围为（）A.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭B.2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】由题意()()21210f x f x x x -<-，()1212,R x x x x ∈≠可知()f x 在R 上单调递减，又()()121f a f a ->-，所以121a a -<-,解不等式即可得解.【详解】由题意()()21210f x f x x x -<-,()1212,R x x x x ∈≠，不失一般性不妨假设12x x <，则()()12f x f x >，所以()f x 在R 上单调递减，又()()121f a f a ->-，所以121a a -<-,解不等式得23a >,则正实数a 的取值范围为2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：B.7.已知sin 2sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α=（）A.12B.35C.34D.45【答案】B 【解析】【分析】根据正弦的和差角公式展开可计算出tan α，把sin 2α转化成齐次式再运用弦化切的思想即可求解.【详解】因为sin 2sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()sin cos 2cos sin 22αααα+=⨯-，得cos 3sin αα=，显然cos 0α≠，所以1tan 3α=，而222222sin cos 2tan 33sin22sin cos sin cos 1tan 5113ααααααααα=====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故选：B8.已知函数2ln(),0()41,0x x f x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，若函数()()g x f x m =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则下列结论中正确的是（）A.211ex -<≤- B.10m -≤<C.12110x x =D.342x x +=【答案】A 【解析】【分析】由题意可得函数()y f x =与y m =有四个不同的交点，作出函数()y f x =与y m =的图象如图所示，然后结合图象逐个分析判断即可.【详解】因为函数()()g x f x m =-有四个不同的零点，所以()f x m =有四个不同的解，即函数()y f x =与y m =有四个不同的交点，作出函数()y f x =与y m =的图象如图所示：又0x =时，()01f =，由图象可得01m <≤，故B 不正确，由ln()1x -=，得1e x =-或e x =-，所以由图象可得211ex -<≤-，故A 正确；由图象可得11x <-，所以()()12ln ln x x -=-，即()()12ln ln x x -=--，即()12ln 0x x =，所以121=x x ，故C 错误；又3x ，4x 关于2x =对称，故344x x +=，故D 错误，故选：A.关键点点睛：此题考查对数函数图象的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是将问题转化为函数()y f x =与y m =有四个不同的交点，然后作出函数图象，结合图象分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题.二､多选题（每小题6分）9.下列说法正确的是（）A.“1ab >”是“1,1a b >>”的必要不充分条件B.“幂函数()()2311mf x m x =-在()0,∞+上单调递减”的充要条件为“2m =”C.命题3:,310x p x x ∀∈+->R 的否定p ⌝为：3,310x x x ∀∈+-≤RD.已知一扇形的圆心角60α= ，且其所在圆的半径=5r ，则扇形的弧长为5π3【答案】AD 【解析】【分析】由充分必要条件举例可得到A 正确；由幂函数的单调性可得到B 错误；由全称与特称命题的性质可得到C 错误；由弧长公式可得到D 正确.【详解】A ：1ab >，可以是13,2a b ==，所以充分性不成立；若1,1a b >>，则1ab >恒成立，所以必要性成立，故A 正确；B ：由题意可知231112m m -=Þ=±，又幂函数()()2311mf x m x =-在()0,∞+上单调递减，则2m =-，故B 错误；C ：命题3:,310x p x x ∀∈+->R 的否定p ⌝为：3,310x x x ∃∈+-≤R ，故C 错误；D ：扇形的圆心角π603α==，所以由弧长公式可知弧长为π5π533⨯=，故D 正确.故选：AD10.已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个周期为2B.()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间[]1,2上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.【详解】对于A ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知其最小正周期π2π2T ==，故A 正确；对于B ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知πππ1π2,Z 2422x k x k k +≠+⇒≠+∈，故B 错误；对于C ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭可知1πππ2242x x =⇒+=，此时()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；对于D ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知[]ππ3π5π1,2,2444x x ⎡⎤∈⇒+∈⎢⎣⎦，又tan y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，显然3π5π,44⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD11.已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为(-∞，1)(5 ，)∞+，则（）A.0a >B.0a b c ++>C.0bx c +>的解集是5{|}6x x >D.20cx bx a -+<的解集是1{|5x x >-或1}x <-【答案】CD 【解析】【分析】由题意可得1和5是方程20ax bx c ++=的两根，且a<0，利用韦达定理可得,b c 与a 的关系，然后逐项判断可得答案.【详解】由题意可得1和5是方程20ax bx c ++=的两根，且a<0，由韦达定理可得15,15cab a +=-⨯=，得6,5b a c a =-=，对于A ，因为a<0，故A 错误；对于B ，650a b c a a a ++=-+=，故B 错误；对于C ，不等式0bx c +>，即650ax a -+>，即650x ->，得56x >，∴不等式0bx c +>的解集是5{|}6x x >，故C 正确；对于D ，由不等式20cx bx a -+<，得2(561)0a x x ++<，即25610x x ++>，则(51)(1)0x x ++>，得15x >-或1x <-，即解集为{|x x >15-或1}x <-，故D 正确.故选：CD.三､填空题（每小题5分）12.已知3πcos ,,052αα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】45##0.8【解析】【分析】根据三角函数的基本关系式，求得4sin 5α=-，再结合诱导公式，即可求解.【详解】因为3πcos ,,052αα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，所以4sin 5α==-，又由π4cos sin 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭.故答案为：45.13.已知0,0x y >>，且21x y +=，则11x y +的最小值为________.【答案】##3+【解析】【分析】构造基本不等式“1”的代换，求出最小值.【详解】因为0x >，0y >，所以()11112x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭22213x y x y y x y x =+++=++33≥+=+当且仅当212x y x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即22212x y ⎧=⎪⎪⎨-⎪==-⎪⎩时等号成立.所以11x y +的最小值为.故答案为：14.已知函数π()2cos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为__________．【答案】713,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】首先求π23x ω+的取值范围，再根据余弦函数的图象，列式求ω的取值范围.【详解】当[0,π]x ∈时，πππ2,2π333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦．因为()f x 在[0,π]上有且仅有2个零点，所以，3ππ5π2π232ω≤+<，解得7131212ω≤<．故答案为：713,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭四､解答题15.已知函数())2cos cos 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎣⎦上的值域．【答案】（1）πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）[]1,2-【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简()f x 的解析式，再利用单调性质求解；（2）由图象变换得()g x 解析式，再利用整体法求值域.【小问1详解】因为()2πcos 2cos 1cos22sin 26f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -≤+≤+，得ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈,所以()f x 的单调递增区间为πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】将函数()f x 的图象向右平移π6个单位，得到πππ2sin 2666f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦π2sin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到()π2sin 46g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当πππ5π0,,4,4666x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故π1sin 4,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()g x 的值域为[]1,2-．16.已知函数21()2x x f x a+=+为奇函数．（1）求实数a 的值；（2）求关于x 的不等式()3f x >的解集；（3）设函数22()log log 24x x g x m =⋅+，若对任意的1[2,8]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得()()12g x f x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1-（2）{|01}x x <<（3）134m ≥．【解析】【分析】（1）由奇函数定义计算即可得；（2）可结合函数单调性计算，亦可借助换元法解不等式；（3）计算出()f x 及()g x 的值域后，对任意的1[2,8]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得()()12g x f x =成立即为()g x 的值域为()f x 的值域的子集，计算即可得.【小问1详解】因为函数21()2x x f x a+=+为奇函数，所以()()f x f x -=-，即212122x x x x a a--++=-++在定义域上恒成立，整理得()(1)210++=x a ，故1a =-；【小问2详解】解法一：由（Ⅰ）知212()12121+==+--x x x f x ，所以函数()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减，且当(,0)x ∈-∞时，()0f x <，当,()0x ∈+∞时，()0f x >，所以()3(1)f x f >=，解得01x <<；所以此时不等式的解集为{|01}x x <<；解法二：因为21()321x x f x +=>-，令2xt =，则21321x x +>-可化简为131t t +>-，即2401t t -<-，即()()2410t t --<，解得12t <<，即01x <<．所以此时不等式的解集为{|01}x x <<．【小问3详解】由（Ⅰ）得21()21x x f x +=-在(0,1]x ∈的值域[3,)A =+∞，又()()2222()log log log 1log 224x x g x m x x m =⋅+=--+，[2,8]x ∈，设2log t x =，[1,3]t ∈，则2(1)(2)32y t t m t t m =--+=-++，当32t =时，取最小值为14m -+，当3x =时，取最大值为2m +，即()g x 在[2,8]x ∈上的值域1,24B m m ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦，又对任意的1[2,8]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得()()12g x f x =成立，即B A ⊆，所以134m -+≥，解得134m ≥．。
海南省海南中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
海南省海南中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知全集{}0U x x =>，集合{}12A x x =≤<，则U A =ð（）A ．{|1x x ≤-或}2x ≥B ．{|01x x <<或}2x ≥C ．{|1x x <-或>2D ．{|01x x <<或>22．命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（）A ．x ∃∈R ，2210x x ++≥B ．x ∃∈R ，2210x x ++<C ．x ∀∈R ，2210x x ++>D ．x ∀∈R ，2210x x ++<3．“小明是海南人”是“小明是中国人”的（）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．不等式3112x x-≥-的解集为（）A ．123x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．13x x ⎧<⎨⎩或2x >}D ．34x x ⎧≤⎨⎩或2x >}5．已知函数()y f x =的定义域是[1,1]-，则(21)y f x =-的定义域是（）A ．[3,1]-B ．[1,1]-C ．[1,0]-D ．[0,1]6．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A ．21y x =+B ．1y x=C．y =D ．y x x=7．已知函数3()1f x ax bx =++，若(2)4f =，则(2)f -=()A ．4-B ．2-C ．0D ．28．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足(2)4f =，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12 ,x x ≠()()211212-0-x f x x f x x x <恒成立，则不等式(3)26f x x ->-的解集为（）A ．(3,7)B ．(,5)-∞C ．(5,)+∞D ．(3,5)二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．由1,2,3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1B ．∅与{}0是同一个集合C ．集合{}2|1=-x y x 与集合{}2|1y y x =-是同一个集合D ．集合{}2|560x x x ++=与集合{}2,3--是同一个集合10．下列选项正确的是（）A ．若0a ≠，则4a a+的最小值为4B ．若0ab <，则a b ba+的最大值为2-C ．若02x <<，则函数(42)y x x =-的最大值是2D ．若x ∈R211．函数()1,0,R x f x x ∈⎧=⎨∈⎩QQ ð称为狄利克雷函数．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，利用其独特性质可以构造许多数学反例．狄利克雷函数的出现，表示数学家们对数学的理解发生了深刻变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来．这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．以下结论正确的有（）A ．对任意x ∈R ，都有()1f f x ⎡⎤=⎣⎦B ．对任意x ∈R ，都有()()0f x f x -+=C ．对任意1x ∈R ，都存在2x ∈Q ，()()121f x x f x +=D ．若0a <，1b >，则有(){}(){}x f x a x f x b>=<三、填空题12．已知幂函数()()215m f x m m x -=+-在0,+∞上单调递减，则m =.13．若1x >，则2221x x y x -+=-的最小值为.14．已知函数(3)1,1()1,1a x x f x ax x x a--≤⎧⎪=+⎨>⎪+⎩在(,)∞∞-+上单调递增，则实数a 的取值范围为.四、解答题15．（1）计算：223631827-⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭；（2）已知102,108x y ==，求2310yx -的值.16．设函数2()f x ax x b =-+.(1)若不等式()0f x <的解集为(1,2)-，求,a b 的值；(2)若0,0a b >>，且(1)1f =，求14a b+的最小值.17．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产x 台，需另投入成本()G x 万元，且()2260,04036002012100,40100x x x G x x x x ⎧+<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.(1)写出年利润()W x 万元关于年产量x 台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少?18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+.现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象.(1)写出函数()()f x x ∈R 的增区间.(2)写出函数()()f x x ∈R 的解析式.(3)若函数()()22([1,2])g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值.19．已知函数()(),b f x ax a b x =+∈R ，且5(1)2,(2)2f f =-=-.(1)()f x 的解析式，并写出其定义域；(2)用函数单调性的定义证明：()f x 在0,1上单调递减.(3)若对任意11,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，不等式210x cx -+≥恒成立，求实数c 的取值范围.。
海南高一高中数学期末考试带答案解析
海南高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.过点(－1, 3)且垂直于直线的直线方程为A．2x + y1= 0B．2x + y5= 0C．x + 2y5= 0D．x2y + 7= 02.等差数列的前n项和为，且 =6，=4，则公差d等于A．1B．C．2D．33.已知圆，圆，则其公共弦所在直线方程的斜率为A．B．C．D．24.与直线平行的抛物线的切线方程是A．2x y+3=0B．2x y3=0C．2x y+1=0D．2x y1=05.已知两点，点P满足=12，则点P的轨迹方程为A．B．C．D．6.在二项式的展开式中，含的项的系数是A．－5B．5C．－10D．107.已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是A．B．C．D．8.若方程表示双曲线，则实数k适合的条件是A．或B．或C．或D．9.设．若的最小值为A．8B．4C．1D．10.在如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包括边界）内，目标函数取得最大值的最优解有无数个，则为A．－2B．2C．－6D．611.我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设(a>b>0)为“优美椭圆”，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于A．60°B．75°C．90°D．120°12.若关于x的方程有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是A．B．C．D．二、填空题1.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有______▲______种（用数字作答）．2.已知x, y满足，则的取值范围是▲．3.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则______▲______．4.已知圆C的方程为，定点，直线有如下两组论断：由第Ⅰ组论断作为条件，第Ⅱ组论断作为结论，写出所有可能成立的命题（将命题用序号写成形如p q的形式）▲．三、解答题1.（本题满分10分）设函数，其中．(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)若不等式的解集为，求a的值．2.（本题满分10分）一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米．(Ⅰ)建立如图所示的平面直角坐标系xOy，试求拱桥所在抛物线的方程；(Ⅱ)若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？3.（本题满分12分）已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点．(Ⅰ)求实数m的取值范围；(Ⅱ)求以PQ为直径且过坐标原点的圆的方程．4.（本题满分12分）设为非零实数，(Ⅰ)写出并判断是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；(Ⅱ)设，求数列的前n项和．5.（本题满分12分）阅读下列材料，解决数学问题．圆锥曲线具有非常漂亮的光学性质，被人们广泛地应用于各种设计之中，比如椭圆镜面用来制作电影放映机的聚光灯，抛物面用来制作探照灯等，它们的截面分别是椭圆和抛物线．双曲线也具有非常好的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，它们好像是从另一个焦点射出的一样，如图（1）所示．反比例函数的图像是以直线为轴，以坐标轴为渐近线的等轴双曲线，记作C ． (Ⅰ)求曲线C 的离心率及焦点坐标；(Ⅱ)如图（2），从曲线C 的焦点F 处发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，求入射光线的方程．（1） （2）6.（本题满分14分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：的左、右焦点分别为F 1、F 2．F 2也是抛物线C 2：的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且．(Ⅰ)求C 1的方程； (Ⅱ)平面上的点N 满足，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若·=0，求直线l 的方程．海南高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.过点(－1, 3)且垂直于直线的直线方程为A ．2x + y 1= 0B ．2x + y 5= 0C ．x + 2y 5= 0D ．x 2y + 7= 0【答案】A【解析】根据题意，易得直线x-2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为-2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程． 解：根据题意，易得直线x-2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为-2， 又知其过点（-1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y-1=0．2.等差数列的前n 项和为，且 =6，=4，则公差d 等于A ．1B ．C ．2D ．3【答案】C【解析】由题意可得 S 3=6=（a 1+a 3），且 a 3=a 1+2d ，a 1=4，解方程求得公差d 的值．解：∵S 3=6=（a 1+a 3），且 a 3=a 1+2d ，a 1=4，∴d=-2，故选C ．3.已知圆，圆，则其公共弦所在直线方程的斜率为A ．B ．C ．D ．2【解析】圆与圆公共弦所在直线方程为:故选B.4.与直线平行的抛物线的切线方程是A．2x y+3=0B．2x y3=0C．2x y+1=0D．2x y1=0【答案】D【解析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x处的导数等于切线的斜率，建立等式，求出x的值，从而求出切点坐标，最后将切线方程写出一般式即可．解：y’=2x2x=2即x=1∴切点坐标为（1，1）∴与直线2x-y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是 2x-y-1=0故答案为D5.已知两点，点P满足=12，则点P的轨迹方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】设P点坐标为（x，y），由=12进而可得到x和y的关系式．解：设P（x，y），则=（-2-x，-y），=（2-x，-y）∴=（2-x）（-2-x）+y2=12整理可得x2+y2=16．故选B6.在二项式的展开式中，含的项的系数是A．－5B．5C．－10D．10【答案】D【解析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求得．= (x2)5-r(-)r=(-1)r x10-3r，解：对于Tr+1对于10-3r=4，∴r=2，2（-1）2=10则x4的项的系数是C5故选项为D7.已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是A．B．C．D．【解析】先求得准线方程，可推知a和b的关系，进而根据c2=a2-b2求得b，椭圆的方程可得，与直线y=kx+2联立消去y，根据判别式小于等于0求得k的范围．解：根据题意，易得准线方程是x=±=±1所以c2=a2-b2=4-b2=1即b2=3所以方程是联立y=kx+2可得3x2+（4k2+16k）x+4=0由△≤0解得K∈[-]故选A8.若方程表示双曲线，则实数k适合的条件是A．或B．或C．或D．【答案】B【解析】要使方程是双曲线方程需要两个分母一个大于零，一个小于0，进而联立不等式组求得k的范围．解：要使方程表示双曲线，需或；解得k＞5或-2＜k＜2故选B9.设．若的最小值为A．8B．4C．1D．【答案】C【解析】答案应选B由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值解：因为3a?3b=3，所以a+b=1，=(a+b)()=2+≥2+2=4，当且仅当=即a=b=时“=”成立，故选择B．10.在如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包括边界）内，目标函数取得最大值的最优解有无数个，则为A．－2B．2C．－6D．6【解析】11.我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设(a>b>0)为“优美椭圆”，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于A．60°B．75°C．90°D．120°【答案】C【解析】由可得2c2=(3-)a2验证|FA|2=|FB|2+|AB|2成立所以所以∠FBA等于 90°．解：∵，∴2c2=(3-)a2在三角形FAB中有b2+c2=a2，|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|=，∴|FA|2=（a+c）2=a2+c2+2ac，|FB|2+|AB|2=2a2+b2=3a2-c2，∴|FA|2=|FB|2+|AB|2=a2，所以∠FBA等于 90°．故选C．12.若关于x的方程有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】先将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况，再用数形结合，先求出相切时的斜率，再得到有两个交点的情况．解：将方程-kx-3+2k=0转化为：半圆y=，与直线y=kx+3-2k有两个不同交点．当直线与半圆相切时，有=2k=∴半圆y=与直线y=kx+3-2k有两个不同交点时．直线y=kx+3-2k=k（x-2）+3，一定过（2，3），由图象知直线过（-2，0）时直线的斜率k取最大值为k∈(，]故选D二、填空题1.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有______▲______种（用数字作答）．【答案】140【解析】略2.已知x, y满足，则的取值范围是▲．【答案】z≤－2或z≥1【解析】略3.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则______▲______．【答案】2【解析】略4.已知圆C的方程为，定点，直线有如下两组论断：由第Ⅰ组论断作为条件，第Ⅱ组论断作为结论，写出所有可能成立的命题（将命题用序号写成形如p q的形式）▲．【答案】【解析】略三、解答题1.（本题满分10分）设函数，其中．(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)若不等式的解集为，求a的值．【答案】解：(Ⅰ)当时，可化为，由此可得或；故不等式的解集为或；（4分）(Ⅱ)由得，此不等式化为不等式组或即或因为，所以不等式组的解集为，由题设可得= ，故．（10分）【解析】略2.（本题满分10分）一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米．(Ⅰ)建立如图所示的平面直角坐标系xOy，试求拱桥所在抛物线的方程；(Ⅱ)若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？【答案】解：(Ⅰ)设抛物线方程. ……（1分）由题意可知，抛物线过点，代入抛物线方程，得，解得， ……（4分） 所以抛物线方程为. ……（5分） (Ⅱ)把代入，求得. ……（8分）而，所以木排能安全通过此桥. ……（10分）【解析】略3.（本题满分12分）已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点． (Ⅰ)求实数m 的取值范围；(Ⅱ)求以PQ 为直径且过坐标原点的圆的方程． 【答案】解：(Ⅰ) （法一）圆C ：，圆心，半径圆心到直线的距离，得；（4分）（法二）由，有，得m<8；（或者联立得）（4分）(Ⅱ)设P(x 1,y 1), Q(x 2,y 2)，由∴由于以PQ 为直径的圆过原点，∴OP ⊥OQ ， ∴x 1x 2+y 1y 2=0， 而x 1x 2=9－6(y 1+y 2)+4y 1y 2=，∴解得m =3．（8分）故P(1,1), Q(－3,3)，圆的方程为，即．（12分）（法二）设过PQ 的圆的方程为∴，即∵圆过原点，∴，又以PQ 为直径，则取最小值，此时，故m=3，圆的方程为，即．（12分）【解析】略4.（本题满分12分） 设为非零实数，(Ⅰ)写出并判断是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由； (Ⅱ)设，求数列的前n 项和．【答案】解(Ⅰ)∴从而因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列；（6分）(Ⅱ)由(Ⅰ)知，∴⑵⑴得：∴（12分）【解析】略5.（本题满分12分）阅读下列材料，解决数学问题．圆锥曲线具有非常漂亮的光学性质，被人们广泛地应用于各种设计之中，比如椭圆镜面用来制作电影放映机的聚光灯，抛物面用来制作探照灯等，它们的截面分别是椭圆和抛物线．双曲线也具有非常好的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，它们好像是从另一个焦点射出的一样，如图（1）所示．反比例函数的图像是以直线为轴，以坐标轴为渐近线的等轴双曲线，记作C ．(Ⅰ)求曲线C 的离心率及焦点坐标；(Ⅱ)如图（2），从曲线C 的焦点F 处发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，求入射光线的方程．（1） （2）【答案】略【解析】略6.（本题满分14分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：的左、右焦点分别为F 1、F 2．F 2也是抛物线C 2：的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且．(Ⅰ)求C 1的方程；(Ⅱ)平面上的点N 满足，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若·=0，求直线l 的方程． 【答案】解：(Ⅰ)由:知．设，在上，因为，所以，得,．M 在上，且椭圆的半焦距，于是，消去并整理得，解得（不合题意，舍去）．故椭圆的方程为．（6分） (Ⅱ)由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点， 因为，所以与的斜率相同，故的斜率．设的方程为．由消去并化简得． 设，，，．因为，所以．．所以． 此时， 故所求直线的方程为，或．（14分） 【解析】略。
2024-2025学年海南省海口市高一上学期第一次阶段考试数学检测试题(含解析)
注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2.请将答案正确填写在答题卡上.一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.2024-2025学年海南省海口市高一上学期第一次阶段考试数学检测试题请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）1. 设集合{}0,1,2,3A =，{}1,2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A. {}0.1,2,3,4,5B. {}0,1,2,3,4C. {}0,1,2,3 D. {}1,2,3【答案】D【解析】【分析】根据集合交集运算计算即可.【详解】根据题意知{}{}{}1,2,3,4,51,2,30,1,2,3A B Ç==Ç.故选：D2. 设R x Î，则“2x >”是“()10x x ->”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先将不等式化简，然后判断充分性和必要性即可.【详解】解不等式()10x x ->得，1x >或0x <所以“2x >”是“()10x x ->”的充分不必要条件.故选：A3. 命题“()0,1x $Î，32x x >”的否定是（ ）A. ()0,1x "Î，32x x >B. ()0,1x "Î，32x x £C. ()0,1x $Î，32x x £ D. ()0,1x $∉，32x x £【答案】B【解析】【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定即可.【详解】命题“()0,1x $Î，32x x >”的否定是“()0,1x "Î，32x x £”.故选：B.4. 已知函数()()()1,012,0x x f x f x f x x +£ì=í--->î，则()3f =（ ）A. 2- B. l - C. 0 D. 1【答案】B【解析】【分析】根据分段函数定义计算即可.【详解】()()()()()()()()3211010011f f f f f f f éù=-=--=-=-+=-ëû.故选：B.5. 已知集合{}1,2,3A =，{},B a ba Ab A =+ÎÎ∣，则集合B 的真子集个数为（ ）A. 63B. 32C. 31D. 15【答案】C【解析】【分析】由集合的描述用枚举法写出集合，由一个集合有n 个元素，则有21n -个真子集求得真子集个数即可.【详解】由题意可知{}2,3,4,5,6B =共有5个元素，所以集合B 的真子集个数为52131-=.故选：C.6. 下列说法错误的是（ ）A. 命题“x $ÎR ，210x x ++<”，则p Ø：“x "ÎR ，210x x ++³”B. “1x =”是“2320x x -+=”的充分条件C. 若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件D. 已知a ，b ÎR ，则“1ab >”是“1a >且1b £”的充分而不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件，必要条件，全称与特称命题的否定依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A ：命题“x $ÎR ，210x x ++<”，则p Ø：“x "ÎR ，210x x ++³，正确；对于B ：当1x =时，2320x x -+=成立，正确；对于C ：若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件，正确；对于D ：当2,3a b ==时，满足1ab >，此时1a >且1b £不成立，错误；故选：D7. 某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ）A. 27B. 23C. 25D. 29【答案】A【解析】【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题.【详解】作出韦恩图，如图所示，可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为5211043227++++++=.故选：A.8. 已知集合12,Z 3A x x k k ìü==+Îíýîþ，21,Z 3k B x x k ìü+==Îíýîþ，则（ ）A A B Í B. A B =ÆI C. A B = D. A B Ê【答案】A的.【分析】由集合A ，B 中的元素特征判断可得.【详解】1612,Z ,Z 33k A x x k k x x k ìüìü+==+Î==Îíýíýîþîþ，当Z k Î时，21k +表示2的整数倍与1的和，61k +表示6的整数倍与1的和，故A B Í，故选：A9. 若0a >，0b >，412ab a b =++，则ab 的取值范围是（ ）A. {}018x x <£ B. {}036x x <£C. {}18x x ³ D. {}36x x ³【答案】D【解析】【分析】根据题意利用基本不等式可得120ab --³.【详解】因为0a >，0b >，由基本不等式可得4121212ab a b =++³=+，即120ab --³6³2£-（舍去），即36ab ³，当且仅当436b a ab =ìí=î，即312a b =ìí=î时，等号成立，故ab 的取值范围是{}36x x ³．故选：D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.10. 若a b c d >>>，则下列不等式恒成立的是（ ）A. a c d b->- B. a c b d +>+ C. ac bd > D. ad bc>【答案】AB【解析】分析】采用作差法可知AB 正确；通过反例可说明CD 错误.【详解】对于A ，()()()()a c d b a c b d ---=-+-，a b c d >>>Q ，0a c \->，0b d ->，【()()0a c d b \--->，即a c b d ->-，A 正确；对于B ，()()()()a c b d a b c d +-+=-+-，a b c d >>>Q ，0a b \->，0c d ->，()()0a c b d \+-+>，即a c b d +>+，B 正确；对于C ，当3a =，0b =，2c =-，3d =-时，60ac bd =-<=，C 错误；对于D ，当3a =，2b =，1c =，0d =时，02ad bc =<=，D 错误.故选：AB.11. 设集合{1,2},{|20,R}M N x ax a ==+=Î且N M Í，则实数a 可以是（ ）A. 1- B. 1 C. 2- D. 0【答案】ACD【解析】【分析】依题意，结合子集定义，分0a =或0a ¹讨论即可.【详解】当0a =时，N =Æ时，满足N M Í，符合题意，当0a ¹时，2N a ìü=-íýîþ，因为N M Í,所以当21a -=时，解得2a =-；当22a-=时，解得1a =-；故选：ACD.12. 下列说法正确的是（ ）A. 若102x <<，则()12x x -的最大值为18B. 函数233(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为2C. 已知1,0,0x y x y +=>>，则1y x y +的最小值为3D. 若正数,x y 满足220xxy +-=，则3x y +的最小值是4【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式及“1”的妙用，对选项逐一分析检验即可.【详解】对于A ，102x <<Q ，120x \->，()()2112121122122228x x x x x x +-æö\-=´-£´=ç÷èø，当且仅当212x x =-，即14x =时，等号成立，所以()12x x -的最大值为18.故A 正确；对于B ，因为1x >-，所以10x +>，所以()()221113*********x x x x y x x x x ++++++===+++³+=+++，当且仅当111x x +=+，即0x =时等号成立，所以函数2331x x y x ++=+的最小值为3.故B 错误；对于C ，因为1x y +=，0x >，0y >，所以1113y y x y y x x y x y x y ++=+=++³=，当且仅当y x x y =即12x y ==时等号成立，所以1y x y +的最小值为3.故C 正确；对于D ，因为220x xy +-=，0x >，0y >，所以2=-y x x ，则223324x y x x x x x +=-+=+³=，当且仅当22x x=即1x =时等号成立，此时1y =，所以3x y +的最小值为4.故D 正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.13. 已知集合{(,)3}A x y y x ==+∣，{}2(,)3B x y y x ==+∣，则A B =I __________.【答案】()(){}0,3,1,4【解析】【分析】求出方程组233y x y x =+ìí=+î的解，根据集合交集的含义，即可得答案.【详解】解233y x y x =+ìí=+î，得03x y =ìí=î或14x y =ìí=î，故()()(){}23,|0,3,1,43y x A B x y y x ìü=+ìÇ==ííý=+îîþ，故答案为：()(){}0,3,1,414. 已知集合{|1}A x x =>，{|}B x x a =>，若A B Í，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,1]-¥【解析】【分析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用A B Í可得实数a 的取值范围.【详解】如图，在数轴表示,A B ，因为A B Í，故1a £，填(],1-¥.【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取.15. 已知a ，b ÎR ，且a b ¹，满足()()()()4242222023222023a ab b ì-+-=ïí-+-=ïî，若对于任意的{}38x x x Σ£，均有22tx x a b +£+成立，则实数t 的最大值是______.【答案】14-##0.25-【解析】【分析】将()()()()4242222023222023a ab b ì-+-=ïí-+-=ïî两式作差后因式分解可得4a b +=，则22tx x a b +£+可转化为242x t x -£，求出242x x-在{}38x x x Σ£上的最小值即可得.【详解】由()()()()4242222023222023a a b b ì-+-=ïí-+-=ïî ，两式作差有()()()()42422222a a b b -+-----()()()()()()222222222222a b a b a b éùéù=-+----+---ëûëû()()()()2222221220a b a b éùéù=-+-+---=ëûëû，由()()222210a b -+-+>，故()()22220a b ---=，即()()2222a b -=-，又a b ¹，即有22a b -=-，故4a b +=，则224tx x a b +£+=，又{}38x x x Σ£，故2224242111444x t x x x x -æö£=-=--ç÷èø，又111,83x éùÎêúëû，则2min 11114444x éùæö--=-êúç÷èøêúëû，此时4x =，即14t £-，故实数t 的最大值14-.故答案为：14-.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. 解答下列各题．（1）若3x >，求43x x +-的最小值；（2）若正数x ，y 满足911y x+=，求x y +的最小值．【答案】（1）7（2）16【解析】【分析】（1）由443333x x x x +=-++--，利用基本不等式求解；（2）作“1”的代换，利用基本不等式求解.【小问1详解】3x >Q ，30x \->，44333733x x x x +=-++³+=--，当且仅当433x x -=-，即5x =时等号成立.所以43x x +-的最小值为7.【小问2详解】,0x y >Q ，911y x+=，()919101016x y x y x y y x y x æö\+=++=++³+=ç÷èø，当且仅当9x y y x=，即4,12x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为16.17. 设全集为R ，集合{}{}|36,|29A x x B x x =£<=<<（1）分别求(),U A B B A I U ð；（2）已知{}|1C x a x a =<<+，若C B B =U ，求实数a 的取值范围【答案】（1）{}|36A B x x Ç=£<，()U B A È=ð{2x x £或36x <≤或}9x ³（2）28a ££【解析】【分析】（1）利用交集，并集和补集的概念求出答案；（2）根据并集结果得到C B Í，从而得到不等式，求出答案.小问1详解】{}{}{}|36|29|36A B x x x x x x Ç=£<Ç<<=£<，{2U B x x =£ð或}9x ³，(){2UB A x x È=£ð或}9x ³{}|36x x È£<={2x x £或36x <≤或}9x ³；【小问2详解】{}|1C x a x a =<<+，{}|29B x x =<<，C B B C B =ÞÍU ，显然C ¹Æ，则219a a ³ìí+£î，解得28a ££，故实数a 的取值范围是28a ££【18. （1）33a x y =+，22b x y xy =+，其中x ，y 均为正实数，比较a ，b 的大小；（2）证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c c a c b c >--.【答案】（1）a b ³；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用作差法判断即可；（2）根据不等式性质计算可得；【详解】解：（1）因为33a x y =+，22b x y xy =+，所以()()()233223322a b x y x y xy x y x y xy x y x y -=+-+=+--=-+因为0x >，0y >，所以0x y +>，()20x y -³，所以0a b -³，即a b ³；（2）因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，所以0a c b c ->->，所以110a c b c<<--，所以c c a c b c>--；19. 中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为3m ，底面积为212m ，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两面墙的长度均为()m 26x x ££．（1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为()9001a x x +元(0)a >，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围【答案】（1）4（2）012a <<【解析】【分析】（1）根据题意，建立函数，利用基本不等式，可得答案；的（2）由题意，等价转化为不等式恒成立问题，利用分离参数，建立新函数，结合基本不等式，可得答案.【小问1详解】设甲工程队的报价为y 元，121440072003150234009007200y x x x x=+×´+××=++，由26x ££，则720014400y ³+=，当且仅当14400900x x=，即4x =时，等号成立，所以当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低.【小问2详解】由题意可知：不等式()9001144009007200a x x x x+++>在[]2,6上恒成立，化简不等式可得：21681x x a x++>+，设()()()221619816916111x x x x f x x x x x ++++++===++++++，由[]2,6x Î时，则()612f x ³=，所以012a <<.20. 设A 是正整数集的非空子集，称集合{|||,B u v u v A =-Î，且}u v ¹为集合A 的生成集．（1）当{}1,3,6A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正整数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正整数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}2,3,5B =；（2）4；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）假设存在集合{},,,A a b c d =，可得d a c a b a ->->-，d a d b d c ->->-，c a c b ->-，16d a -=，然后结合条件说明即得.【小问1详解】因为{}1,3,6A =，所以132,165,363-=-=-=，所以{}2,3,5B =；【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为21314151a a a a a a a a <<<----，所以B 中元素个数大于等于4个，又{}1,2,3,4,5A =，则{}1,2,3,4B =，此时B 中元素个数等于4个，所以生成集B 中元素个数的最小值为4；【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正整数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集B 由,,,,,b a c a d a c b d b d c ------组成，又,,d a c a b a d a d b d c c a c b ->->-->->-->-，所以16d a -=，若2b a -=，又16d a -=，则14d b B -=∉，故2b a -¹，若2d c -=，又16d a -=，则14c a B -=∉，故2d c -¹，所以2c b -=，又16d a -=，则18d b c a -+-=，而{},3,5,6,10d b c a --Î，所以18d b c a -+-=不成立，所以假设不成立，故不存在4个正整数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
海南市重点中学2024届数学高一第二学期期末质量检测试题含解析
海南市重点中学2024届数学高一第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在等比数列{}n a 中，1101,3,a a ==则23456789a a a a a a a a =（ ） A ．81B ．52727C ．3D ．2432．在ABC 中，点D 是BC 边上的靠近C 的三等分点，则AD =（ ）A ．1233AB AC + B ．2133AB AC - C ．2133AB AC +D ．1233AB AC -3．已知4log 5a =，2log 3b =，sin2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<4．一实体店主对某种产品的日销售量（单位：件）进行为期n 天的数据统计，得到如下统计图，则下列说法错误的是（ ）A ．30n =B ．中位数为17C ．众数为17D ．日销售量不低于18的频率为0.55．已知sin()sin()m αβαβ-=+，且tan 2tan 0αβ=≠，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．12C ．3D ．136．设1e ，2e 是平面内一组基底，若1222sin 0e e λλ+=，1λ，2R λ∈，则以下不正确．．．的是（ ） A ．1sin 0λ=B ．2tan 0λ=C ．120λλ=D ．2cos 1λ=7．以()1,m 为圆心，且与两条直线240x y -+=，260x y --=都相切的圆的标准方程为（ ）A ．()()22195x y -++= B ．()()2211125x y -+-= C ．()()22115x y -+-=D ．()()221925x y -++=8．已知等比数列{}n a 中，0n a >，164a a =，则22232425log log log log a a a a +++=（ ） A ．10B ．7C ．4D ．129．一个几何体的三视图如图（图中尺寸单位：m ），则该几何体的体积为（ ）A ．33m πB ．34m πC ．3m πD ．334m π 10．设1F ，2F 是椭圆2221(02)4x yb b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +最大值为5，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．22C 51- D 3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
海南省海口市海南中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷
海南省海口市海南中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知集合{Z|||1}A x x =∈≤,*{N |12}B x x =∈-≤≤，则A B =U （ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,2 2．已知命题p ：x ∀∈R ，3210x x +->，则p ⌝为（ ）A ．0x ∃∈R ，300210x x +-≤B ．0x ∃∈R ，300210x x +-< C ．x ∀∈R ，3210x x +-≤D ．x ∀∈R ，3210x x +-<3．“a b >”是“a b >”的条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 4．已知方程()2250x m x m ++++= 有两个正根，则实数m 的取值范围是A ．2m <-B ．4m ≤-C ．5m >-D ．54m -<≤- 5．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：{02}A x x =<∆<∣，{35}B x x =-≤≤∣，203C x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，然后他们三人各用一句话来正确描述“∆”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：x B ∈是x A ∈的必要不充分条件；丙：x C ∈是x A ∈的充分不必要条件.则“∆”表示的数字是（ ）A ．3或4B ．2或3C ．1或2D ．1或36．已知集合1,Z 44k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合1,Z 84k N x x k ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N ⋂=∅ B ．M N ⊆ C ．N M ⊆ D ．M N M ⋃=7．若不等式()()224230a x a x -+-+>的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1124a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{2a a ≤∣或11}4a > C ．{2a a <∣或11}4a > D ．1124a a ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ 8．对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()()10a x a x -+>的解集不可能为（ ） A ．∅ B ．{}1- C ．(),1a - D ．()(),1,a -∞-+∞U二、多选题9．已知16,38a b -<<<<，则下列结果正确的有（ ）A ．123a b -<<B ．214a b <+<C ．42a b -<-<-D ．348ab -<< 10．下列结论正确的是（ ）A ．当0x ≥时，1121x x ++≥+ B ．当0x >2≥ C ．1x x+的最小值为2D2 11．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5Z k n k n =+∈，0k =、1、2、3、4，给出如下四个结论，其中正确结论的是（ ）A ．[]20211∈B ．[]133-∈C ．若整数a 、b 属于同一“类”，则[]0a b -∈D ．若[]0a b -∈，则整数a 、b 属于同一“类”三、填空题12．已知集合{}22,2,A a a a =--，若2A ∈，则a =.13．不等式253x ≤-的解集是． 14．方程230x kx k -++=的两个根均大于2,则k 的取值范围是四、解答题15．已知非空集合{}{}2112,320()A x a x a B x x x a R =+≤≤-=++≥∈． (1)若1a =-，求()R A B ⋂ð；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围．16．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为2330m ，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？ 17．已知关于x 的不等式220ax x ++<(a ∈R )．（1）若220ax x ++<的解集为{|1x x >或}x b <，求实数a ，b 的值；（2）求关于x 的不等式223ax x ax ++<+的解集．18．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？19．已知正实数集{}12,,,n A a a a =L ，定义：{}2,i j i j A a a a a A =∈称为A 的平方集.记()n A 为集合A 中的元素个数.(1)若{}1,2,3,4A =，求集合2A 和()2n A ； (2)若()22016n A =，求min ()n A ；(3)求证：()()221n A n A ≥-，并指出取等条件．。
海南高一高中数学期末考试带答案解析
海南高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线的斜率为，则的倾斜角的大小是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2.下列说法正确的是（）A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形B．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体C．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线3.直线的斜率为，，直线过点且与轴交于点，则点坐标为（）A．B．C．D．4.如图，正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离为（）A．B．C．D．5.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列正确的是（）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，则6.长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．B．C．D．都不对7.已知正四面体内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下，则（）①②③④A．以下四个图形都是正确的B．只有②④是正确的C．只有④是正确的D．只有①②是正确的8.如图长方体中，，，则二面角的大小为（）A．B．C．D．9.四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°10.．如图，一平面图形的直观图是一个等腰梯形OABC，且该梯形的面积为，则原图形的面积为( )A．2B．C．2D．411.把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（）A．B．C．D．12.设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（）A．或B．C．D．或二、填空题1.如图，中，平面，此图形中有个直角三角形．2.一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是直径为1的圆，这个几何体的体积为。
海南省文昌中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题
海南省文昌中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2,N A x x x =≤∈，{}0,1,2,3B =，则A B =I （ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}2D ．∅2．命题“0x ∀<，2210x x -+≤”的否定是（ ）A ．0x ∃≥，2210x x -+>B ．0x ∀≥，2210x x -+≤C ．0x ∃<，2210x x -+>D ．0x ∀<，2210x x -+>3．不等式()273x x +≥-的解集为（ ） A ．(]1,3,2⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．(]1,2,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭D ．12,3⎡--⎤⎢⎥⎣⎦ 4．若全集{}1,2,3,4U =且{}1U A =ð，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个5．若正实数x ，y 满足40x y xy +-=，则xy 的取值范围为（ ）A ．(]0,4B ．[)2,+∞C ．[)4,+∞D ．[)16,+∞ 6．“1a =-”是“函数221y ax x =+-与x 轴只有一个交点”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．现有一级小麦m kg ，二级小麦n kg ，某粮食收购站有两种收购方案．方案一：分两个等级收购小麦，一级小麦a 元/kg ，二级小麦b 元/ kg （b a <）；方案二：以方案一两种价格的平均数收购．收购方式更加优惠的是（ ）A ．方案一B ．方案二C ．同样优惠D ．以上均有可能 8．已知命题“存在{|13}x x x ?<，使等式210x mx --=成立”是假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．8,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B ．()8,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭C ．][8,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭D ．(],0∞-二、多选题9．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}260A x x x m =-+=∣，A U ⊆且U A ð中有6个元素，则实数m 的值可以是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 10．使a R ∈，4a <成立的充分不必要条件可以是（ ）A ．4a <B ．3a <C ．44a -<<D ．0<<3a11．已知0x >，0y >且3210x y +=，则下列结论正确的是（ ）A ．xy 的最大值为625 B C ．32x y +的最小值为52D ．221002513x y ≤+<三、填空题12．已知全集{3U x x =<或}5x ≥，集合{}12A x x =-<<，则U A =ð．13．二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的取值范围是．14．已知集合304x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭ ，(){}2=2+2+7+70B x x k x k <，若A B ⋂中恰有一个整数，则实数k 的取值范围为．四、解答题15．已知集合{}29A x x =≥，701x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭ ，{}24C x x =-<． (1)求集合B 和C ；(2)若全集U =R ，求U A B U ð．16．已知关于x 的不等式2200x mx --<的解集为{}2|x x n -<<．(1)求m ，n 的值；(2)正实数a ，b 满足2na mb +=，求115a b+的最小值． 17．如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为2100m 的十字形地域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为22800/m 元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地面，造价为2250/m 元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为280/m 元．设总造价为W （单位：元），AD 长为x （单位：m ）．(1)当4m x =时，求草坪面积；(2)当x 为何值时，W 最小？并求出这个最小值．18．已知关于x 的不等式2210ax ax ++≥对于R x ∀∈恒成立．(1)求a 的取值范围；(2)在（1）的条件下，解关于x 的不等式220x x a a --+<．19．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．例如，1ab =，求证：11111a b+=++． 证明：原式111111ab b ab a b b b =+=+=++++． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．2a b +（0a >，0b >），当且仅当a b =时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在0x >的条件下，当x 为何值时，1x x+有最小值，最小值是多少？解：0x Q >，10x >，12x x +∴1x x +≥12x x ∴+≥，当且仅当1x x =，即1x =时，1x x+有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知1a b ⋅=，求221111a b +++的值． (2)若1a b c ⋅⋅=，解关于x 的方程5551111ax bx cx ab a bc b ca c ++=++++++． (3)若正数a ，b 满足1a b ⋅=，求11112M a b =+++的最小值．。
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海南中学2010—2011学年第一学期期终高一数学试题(必修四)(总时量：120分钟 总分：100分)第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本题12小题，每题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案涂在答题卡上) 1．下列与6π终边相同的角为( ) A ．390 B ．330C ．60D ．300-2．角α的终边过点P (4，－3)，则αcos 的值为( ) A ．4B ．－3C ．54 D ．53-3．已知|a|＝2，|b |＝1，1a b ⋅=，则向量a 在b 方向上的投影是( )A ．1B ．1-C ．12D ．12-4．若α为第三象限，则ααααsin sin 2cos cos +的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－15．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为( )弧度 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．已知向量(,2),(2,2)a k b ==-且b a ⊥，则k 的值为( ) A ．2B ．－2C ．2D ．－27．对于函数x x x f cos sin 2)(=，下列选项中正确的是( ) A ．)(x f 在)2π,4π(上是递增的 B ．)(x f 的最小正周期为π2 C ．)(x f 为奇函数D ．)(x f 的最大值为28．计算下列几个式子，①sin35︒cos25︒＋ cos35︒sin25︒ ②6πtan16πtan2- ③15tan 115tan 1-+④35tan 25tan 335tan 25tan ++，结果为3的是( ) A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④9．与向量a ＝(12，5)平行的单位向量为( ) A ．125,1313⎛⎫-⎪⎝⎭B ．125,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 D ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 10．电流I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin (ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流是( )A ．－5安B ．5安C．53安D ．10安11．定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a=(m,n)，b p,q)=（，令ab=mq-np ，下面说法错误．．的是( ) A ．若a 与b 共线，则a b=0B ．ab=b aC ．对任意的R λ∈，有a)b=(λλ（a b)D ．2222(ab)+(a b)=|a||b|⋅12．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+且)(x f 在]2,3[--上是减函数，又βα,是锐角三角形的两个内角，则( ) A ．)(sin )(sin βαf f >B ．)(cos )(cos βαf f <C ．)(cos )(sin βαf f <D ．)(cos )(sin βαf f >第Ⅱ卷(非选择题 共64分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分)13．函数)12tan(+=x y 的最小正周期为__________．14．O 为平面中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定的平面内且满足(OA OP -)·(AC AB -)＝0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的_______心．(填外心，内心，重心或垂心) 15．已知1411)cos(,71cos ,,-=+=βααβα都是锐角，则βcos ＝_________． 16．设函数()()ππsin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，给出下列三个论断：①()f x 的图象关于直线π6x =-对称；②()f x 的周期为π；③()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称．以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题___________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(共48分) 17．(6分)如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA → ＝a ，CB →＝b ，试用b a ,表示AD 、CE ．18．(8分)已知πtan 34α⎛⎫+=⎪⎝⎭，计算： (1)tan α；(2)αααα2sin 32cos 52cos 32sin -+19．(8分)已知2||=a，3||=b ，a 与b 的夹角为︒120．求(1)(2)(3)a b a b -⋅+；(2)||b a-20．(8分)已知点A 、B 、C 的坐标分别为A (3，0)、B (0，3)、C )sin ,(cos αα，α∈(2π，2π3)， (1)若|AC |＝|BC |，求角α的值．(2)若AC ·1-=BC ，求αααtan 12sin sin 22++的值．21．(8分)如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为32m ，圆环的圆心距离地面的高度为m 1，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P 0处. (1)试确定在时刻t 时蚂蚁距离地面的高度)(t h ；(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过32m ？22．(10分)设函数)()(c b a x f +∙=，其中向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c＝(－cos x ，sin x )，x ∈R . (1)求函数)(x f 的单调减区间．(2)函数)(x f y =的图象可由函数x y sin =的图象经过怎样变化得出？(3)若不等式2)(<-m x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π, 8πx 上恒成立，求实数m 的取值范围．海南中学2010—2011学年第一学期期终 高一数学试题(必修四)参考答案一、选择题：(每小题3分共计36分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACABBCCDCABD二、填空题：(每小题4分，共计16分) 13．2π14．垂心 15．21 16．由①②⇒③或由②③⇒① 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：a b CA CB AD 3131)(31-=-=……………3分 a b AE CA CE 3132+=+=……………6分 18．解：(1)πtantan π1tan 4tan()3π41tan 1tan tan 4ααααα+++===-- 1tan 2α∴= …………4分(2)22tan 4tan 21tan 3ααα==- 原式＝sin 23cos 23tan 2135cos 23sin 253tan 23αααααα++==--……8分 19．解：3)21(32120cos -=-⨯⨯=︒=⋅b a b a(1)223 5 2) 3 ( ) 2(b b a a b a b a -⋅+=+-3427158-=--= …………4分(2)2222)( b b a a b a b a +⋅-=-=-19964=++= …………8分20．解：(1)∵AC ＝(cosα－3，sinα)，BC ＝(cosα，sinα－3)，∴|AC |＝αααcos 610sin )3(cos 22-=+-，|BC |＝αααsin 610)3(sin cos 22-=-+.由|AC |＝|BC |得sinα＝cosα. 又∵α∈(2π，2π3)，∴α＝4π5. ………4分 (2)由AC ·BC ＝－1得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1. ∴sin α＋cos α＝32.① 又ααααααααcos sin 1)cos (sin sin 2tan 12sin sin 22++=++＝2sin αcos α.由①式两边平方得1＋2sin αcos α＝94， ∴2sin αcos α＝95-. ………8分 21．解：(1))(2cos 321)(m t t h π-=…………………4分 (3)由322cos 321)(>-=t t h π解得6561<<t ，所以一圈内，有32分钟的时间蚂蚁距离地面超过32m . …………8分 22．解：(1)由题意得)()(c b a x f +∙=＝(sin x ，－cos x )·(sin x －cos x ，sin x －3cos x )＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x ＝2＋cos2x －sin2x ＝22+sin (2x ＋π43)…2分)π(83π8πππ23π2π4322ππ2Z ∈+≤≤-+≤+≤+k k x k k x k 得由故)(x f 的单调减区间为)(π83π,8ππZ ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k ………4分 (2)先将x y sin =的图象上所有点向右平移4π3个单位， 再将所得的图象上所有点横坐标压缩到原来的21，然后再将所得的图象上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，最后将所得图象上所有点向上平移2个单位即可得)(x f y =的图象………6分(3)∵2)(<-m x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π , 8πx 上恒成立∴2)(2)(+<<-x f m x f∴[]2)(max ->x f m 且[]2)(min +<x f m 即0>m 且24-<m∴240-<<m ………10分。