高中数学2.3.1双曲线及其标准方程练习北师大版选修1_1

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高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程作业2 北师大版选修1-1

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题2.3.1 双曲线及其标准方程[A.基础达标]1．已知双曲线C 的右焦点为F (3，0)，c a ＝32，则C 的标准方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析：选B.由题意可知c ＝3，a ＝2，b ＝c 2－a 2＝32－22＝5，故双曲线C 的标准方程为x 24－y 25＝1.2．“3<m <5”是“方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线的充要条件是(m －5)(m 2－m －6)<0，即(m －5)(m －3)·(m ＋2)<0.解得m <－2或3<m <5.故“3<m <5”⇒“m <－2或3<m <5”，但“m <－2或3<m <5”⇒/ “3<m <5”，所以选A.3．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P的值等于( )A.7B.74C.54D.45解析：选D.|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|PA |||AB |＝2a 2c ＝a c ＝45.4．已知F 1，F 2为双曲线x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在该双曲线上，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C.双曲线方程可化为x 22－y 22＝1，a ＝b ＝2，c ＝2，由⎩⎨⎧|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝22得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，又因为|F 1F 2|＝2c ＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34. 5．如图，△ABC 外接圆半径R ＝1433，∠ABC ＝120°，BC ＝10，弦BC 在x 轴上且y 轴垂直平分BC 边，则过点A 且以B ，C 为焦点的双曲线的方程为( )A.x 29－y 216＝1(x ＜0) B.x 216－y 29＝1(x ＜0) C.x 212－y 213＝1(x ＜0) D.x 215－y 210＝1(x ＜0)解析：选B.由正弦定理：|AC |sin ∠ABC＝2R ，得|AC |＝14.由余弦定理：|AC |2＝|BC |2＋|AB |2－2|BC ||AB |cos ∠ABC ，得|AB |＝6，所以|||AC |－|AB |＝8＝2a ，得a ＝4，因为c ＝5，所以b ＝3，所以该双曲线的方程为x 216－y 29＝1(x ＜0)．6．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，3)，则k 的值为________．解析：依题意，双曲线方程可化为y 2－8k －x 2－1k＝1，已知一个焦点为(0，3)，所以－8k －1k ＝9，解得k ＝－1. 答案：－17．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P (3，7)在双曲线上，则双曲线的方程为________．解析：因为|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，所以|||PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，即a ＝2，又因为c ＝2，所以b ＝c 2－a 2＝2，所以该双曲线的方程为x 22－y 22＝1.答案：x 22－y 22＝18．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若|PQ |＝16，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：显然点A (5，0)为双曲线的右焦点．由题意得，|FP |－|PA |＝6，|FQ |－|QA |＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP |＋|FQ |＝28，所以△PQF 的周长为|FP |＋|FQ |＋|PQ |＝44.答案：449．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆心C 的轨迹L 的方程．解：依题意得两圆的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，从而可得|CF 1|＋2＝|CF 2|－2或|CF 2|＋2＝|CF 1|－2，所以||CF 2|－|CF 1||＝4<|F 1F 2|＝25，所以圆心C 的轨迹是双曲线，其中a ＝2，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝1，故圆心C 的轨迹L 的方程是x 24－y 2＝1.10．双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，求点P 到x轴的距离．解：设P 点坐标为(x 0，y 0)，而F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则PF 1→＝(－5－x 0，－y 0)，PF 2→＝(5－x 0，－y 0)．因为PF 1⊥PF 2，所以PF 1→·PF 2→＝0，即(－5－x 0)(5－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝0，整理，得x 20＋y 20＝25.①又因为P (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 209－y 2016＝1.②联立①②，得y 20＝25625，即|y 0|＝165.因此点P 到x 轴的距离为165.[B.能力提升]1．如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A. 3B. 5C.5－ 3D.5＋ 3解析：选C.|OM |－|MT |＝12|PE |－(|MF |－|FT |)＝|FT |－12(|PF |－|PE |)＝5－12×2 3＝5－ 3.2．已知P 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 是△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为( )A.a 2＋b 22aB.a a 2＋b 2C.b aD.a b 解析：选B.设△PF 1F 2的内切圆半径为r .则S △IPF 1＝12|PF 1|r ，S △IPF 2＝12|PF 2|r ，S △IF 1F 2＝12|F 1F 2|r ，由S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2得 λ|F 1F 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即λ·2c ＝2a 得λ＝ac ＝a a 2＋b 2 .3．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是________．解析：连接PC 2并延长交C 2于点Q 0，连接PC 3交C 3于点R 0.|PQ |－|PR |≤|PQ 0|－|PR 0|＝(|PC 2|＋1)－(|PC 3|－1)＝|PC 2|－|PC 3|＋2＝2a ＋2＝10. 答案：10 4．已知双曲线的方程为x 2－y 24＝1，如图，点A 的坐标为(－5，0)，B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则|MA |＋|MB |的最小值为________．解析：设D (5，0)，则A 、D 为双曲线的两个焦点，连接BD ，MD ，由双曲线的定义，得|MA |－|MD |＝2a ＝2.所以|MA |＋|MB |＝2＋|MB |＋|MD |≥2＋|BD |，又点B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，圆的圆心为C (0，5)，半径为1，故|BD |≥|CD |－1＝10－1，从而|MA |＋|MB |≥2＋|BD |≥10＋1，当点M ，B 在线段CD 上时上式取等号，即|MA |＋|MB |的最小值为10＋1. 答案：10＋15．已知双曲线过P 1(－2，325)和P 2(437，4)两点，求双曲线的标准方程．解：法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2a 2－（325）2b 2＝1，（437）2a 2－42b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19.舍去；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎪⎨⎪⎧（325）2a 2－（－2）2b2＝1，42a 2－（437）2b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.故所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2m ＋（325）2n ＝1，（437）2m ＋42n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19，故所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.6．(选做题)设点P 到点M (－1，0)，N (1，0)的距离之差为2m ，到x 轴，y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围．解：设点P 的坐标为(x ，y )，依题意，有|y ||x |＝2，即y ＝±2x (x ≠0)．所以点P (x ，y )，M (－1，0)，N (1，0)三点不共线，所以||PM |－|PN ||<|MN |＝2. 又因为||PM |－|PN ||＝2|m |>0，所以0<|m |<1.所以点P 在以M ，N 为焦点的双曲线上，且a 2＝m 2，c 2＝1，所以b 2＝1－m 2，所以x 2m 2－y 21－m 2＝1.①把y ＝±2x (x ≠0)代入①，得x 2＝m 2（1－m 2）1－5m2. 因为1－m 2>0，所以1－5m 2>0，解得0<|m |<55，所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，55.。

【测控设计】高二数学北师大版选修1-1课后作业提升：2.3.1 双曲线及其标准方程 Word版含解析[ 高考]

§3双曲线3.1双曲线及其标准方程课后作业提升1已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的左支C.一条射线D.双曲线的右支解析:本题容易犯片面性错误,从而根据双曲线的定义得出错误结果.由于|PM|-|PN|=4恰好等于这两个定点间的距离,故其轨迹是一条射线.答案:C2“ab<0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:A3在双曲线中,,且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点,则双曲线的方程是() A.-x2=1 B.-y2=1C.x2-=1D.y2-=1解析:椭圆的标准方程为=1,故焦点坐标为(±,0),∴c=.由,得a=2,又双曲线中c2=a2+b2,则b2=1.答案:B4双曲线中心在原点,且一个焦点为F1(-,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是()A.-y2=1B.x2-=1C.=1D.=1解析:设该双曲线方程为=1(a>0,b>0),由已知条件知c=,即a2+b2=5,①由题意得P点坐标为(,4),则=1,②由①②可解得a2=1,b2=4,所求双曲线方程为x2-=1.答案:B5给出问题:F1,F2是双曲线=1的焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下:由||PF1|-|PF2||=2a=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1或17.该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将正确答案填在下面横线上.解析:在双曲线的定义中,||PF1|-|PF2||=2a,即|PF1|-|PF2|=±2a,正负号的取舍取决于P点的位置是在左支上还是在右支上.∵|F1F2|=12,|PF1|=9,∴|PF2|=1或17.若|PF2|=1,这与三角形两边之差小于第三边矛盾.∴|PF2|=17.答案:|PF2|=176已知双曲线的方程为=1(a>0,b>0),A,B在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为另一焦点,则△ABF1的周长为.解析:由双曲线定义得|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,∴|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=4a.∴|AF1|+|BF1|=4a+m.∴△ABF1的周长是4a+2m.答案:4a+2m7求与双曲线=1共焦点,且过点(3,2)的双曲线方程.解:由于所求的双曲线与已知的双曲线共焦点,从而可设所求的双曲线方程为=1.由于点(3,2)在所求的双曲线上,从而有=1.整理,得k2+10k-56=0,∴k=4或k=-14.又16-k>0,4+k>0,∴-4<k<16.从而得k=4.故所求双曲线的方程为=1.8某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处(如图所示),|PA|=100m,|PB|=150m,∠APB=60°,试说明怎样运土才能最省工.解:如图,以AB所在的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.设M是分界线上的点,则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,于是有|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.这说明这条分界线是以A,B为焦点的双曲线的右支.在△APB中,由余弦定理,得|AB|2=|AP|2+|PB|2-2|AP|·|PB|cos60°=17500.从而a=25,c2==4375,所以b2=c2-a2=3750.所以所求分界线的方程为=1(x≥25).于是运土时,将此双曲线左侧的土沿AP运到P处,右侧的土沿BP运到P处最省工.。

北师大版数学高二-选修1-1课时作业 2.3.2 双曲线及其标准方程(2)

选修1-1 第二章 §3 课时作业18一、选择题1．双曲线方程为x 2－2y 2＝2，则它的左焦点坐标为( ) A ．(－22，0) B ．(－52，0) C ．(－62，0) D ．(－3，0)解析：双曲线标准方程为x 22－y 2＝1，∴c 2＝2＋1＝3.∴左焦点坐标为(－3，0)．答案：D2．[2014·四川宜宾一模]已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( )A.62B. 32C. 3D. 2解析：由已知可得c ＝2，a ＝1，∴b ＝1. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝1(x ≤－1)．将y ＝12代入，可得点P 的横坐标为x ＝－52.∴点P 到原点的距离为 (－52)2＋(12)2＝62. 答案：A 3．方程(x －4)2＋y 2－(x ＋4)2＋y 2＝6化简的结果是( )A. x 29－y 27＝1B. x 225－y 29＝1 C. x 29－y 27＝1(x ≤－3)D. x 29－y 27＝1(x ≥3)解析：方程的几何意义是动点P (x ，y )到定点(4,0)，(－4，0)的距离之差为6，由于6<8，所以动点的轨迹是双曲线的左支，由定义可得方程为x 29－y 27＝1，x ≤－3.答案：C4．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程是( )A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 24－y 2＝1 解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，在Rt △PF 1F 2中m 2＋n 2＝(2c )2＝20，m ·n ＝2，由双曲线定义知|m －n |2＝m 2＋n 2－2mn ＝16. ∴4a 2＝16.∴a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：D 二、填空题5．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k 的值为__________．解析：方程化为标准形式是y 2－8k －x 2－1k ＝1，所以－8k －1k ＝9，即k ＝－1.答案：－16．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为______．解析：如图所示，F (－4,0)，设F ′为双曲线的右焦点，则F ′(4,0)，点A (1,4)在双曲线两支之间，由双曲线定义，|PF |－|PF ′|＝2a ＝4，而|PF |＋|PA |＝4＋|PF ′|＋|PA |≥4＋|AF ′|＝4＋5＝9.当且仅当A ，P ，F ′三点共线时取等号．答案：97．[2013·上海静安二模]已知双曲线x 26－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为________．解析：由题意知F 1(－3,0)，设M (－3，y 0)，代入双曲线方程求得|y 0|＝62，即|MF 1|＝62.又|F 1F 2|＝6，利用直角三角形性质及数形结合得F 1到直线F 2M 的距离为d ＝|MF 1|·|F 1F 2||MF 1|2＋|F 1F 2|2＝62×664＋36＝65.答案：65三、解答题8．已知点P 为双曲线x 2－y 212＝1上的点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，且|PF 1|·|PF 2|＝24，求△PF 1F 2的周长．解：由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，又|PF 1|·|PF 2|＝24，所以|PF 1|＋|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋4|PF 1|·|PF 2|＝10. 又因为|F 1F 2|＝2c ＝213，所以△PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝10＋213. 9．已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1、F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解：(1)如右图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知， m －n ＝2a ＝8， ① 又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8， ∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|h ， ∴h ＝255.∴M 点到x 轴的距离为255.(2)设所求双曲线C 的方程为 x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C 过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.。

【精讲优练】高中数学北师大选修1-1课时练：2.3.1 双曲线及其标准方程(含答案解析)

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课时提升作业十四双曲线及其标准方程一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知M(-2，0)，N(2，0)，|PM|-|PN|=4，则动点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的左支C.一条射线D.双曲线的右支【解析】选C.由于|PM|-|PN|=4，恰好等于这两个定点间的距离，故其轨迹是一条射线.【误区警示】本题容易犯片面性错误，从而根据双曲线的定义得出错误结果.2.(2016·赣州高二检测)双曲线-=1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是()A.17B.7C.7或17D.2或22【解析】选D.由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=10.即|12-|PF2||=10.解得|PF2|=2或|PF2|=22.【补偿训练】已知平面内有一线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3，O为AB中点，则|PO|的最小值是()A.1B.C.2D.4【解析】选B.因为|PA|-|PB|=3<|AB|=4，所以点P在以A，B为焦点的双曲线的一支上，其中2a=3，所以|PO|min=a=.3.(2016·宜春高二检测)对于常数m，n，“mn<0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.方程mx2+ny2=1表示双曲线的充要条件为mn<0.【补偿训练】对于常数m，n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由mn>0，若m=n，则方程mx2+ny2=1表示圆，故mn>0 方程mx2+ny2=1表示椭圆，若mx2+ny2=1表示椭圆⇒mn>0，故为必要不充分条件，充分理解椭圆的标准方程是解决问题的关键.4.(2016·延安高二检测)已知点F1(-4，0)和F2(4，0)，曲线C上的动点P到F1，F2距离之差为6，则曲线C的方程为()A.-=1B.-=1(y>0)C.-=1或-=1D.-=1(x>0)【解析】选D.由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F1，F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：-=1(x>0).5.(2016·全国卷Ⅰ)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)【解析】选A.-=1表示双曲线,则(m2+n)(3m2-n)>0,所以-m2<n<3m2,由双曲线性质知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c是半焦距,所以焦距2c=2·2|m|=4,解得|m|=1,所以-1<n<3.二、填空题(每小题5分，共15分)6.设m为常数，若点F(0，5)是双曲线-=1的一个焦点，则m=__________.【解析】由题意c=5，且m+9=25，所以m=16.答案：167.(2016·长安高二检测)已知双曲线方程为x2-y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为__________.【解析】本题考查了双曲线的概念.设|PF1|=m，|PF2|=n，根据双曲线的定义及已知条件可得|m-n|=2a=2，m2+n2=4c2=8，所以2mn=4，所以(|PF1|+|PF2|)2=(m+n)2=(m-n)2+4mn=12，所以|PF1|+|PF2|=2.答案：28.已知点F1，F2分别是双曲线-=1(a>0)的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且|PF1|=2|PF2|=16，则△PF1F2的周长是________.【解析】因为|PF1|=2|PF2|=16，所以|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a，所以a=4.又因为b2=9，所以c2=25，所以2c=10.所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.答案：34【延伸探究】本题条件不变，则△PF1F2的面积是________.【解析】因为|PF1|=2|PF2|=16，所以|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a.所以a=4，又因为b2=9，所以c2=25，所以2c=10，在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2===.所以sin∠F1PF2==，所以=|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=×16×8×=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)c=，经过点(-5，2)，且焦点在x轴上.(2)已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0，-5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6.【解析】(1)因为c=，且焦点在x轴上，故可设标准方程为-=1(a2<6).因为双曲线经过点(-5，2)，所以-=1，解得a2=5或a2=30(舍去).所以所求双曲线的标准方程为-y2=1.(2)因为双曲线的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为-=1(a>0，b>0).因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5，所以b2=52-32=16.所以所求双曲线标准方程为-=1.10.如图，在△ABC中，已知|AB|=4，且三内角A，B，C满足2sinA+sinC=2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.【解题指南】条件中给出了角的关系，根据正弦定理，将角的关系转化为边的关系.由于A，B可视为定点，且|AB|=4，从而可考虑用定义法求轨迹方程.【解析】如图，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(-2，0)，B(2，0).由正弦定理，得sinA=，sinB=，sinC=.因为2sinA+sinC=2sinB，所以2|CB|+|AB|=2|CA|，从而有|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支.因为a=，c=2，所以b2=c2-a2=6.所以顶点C的轨迹方程为-=1(x>).一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2016·西安高二检测)双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，过焦点F1和双曲线同一支相交的弦AB长为m，另一个焦点为F2，则△ABF2的周长为()A.4aB.4a-mC.4a+2mD.4a-2m【解析】选C.如图所示，由双曲线的定义，得|BF2|-|BF1|=2a，|AF2|-|AF1|=2a.两式相加可得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a，又|AF1|+|BF1|=|AB|=m，所以|AF2|+|BF2|=4a+m，所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.2.(2016·景德镇高二检测)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(-，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则双曲线的方程是()A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.因为PF1的中点坐标为(0，2)，由中点坐标公式知P点坐标为(，4)，所以2a=|PF1|-|PF2|=-=6-4=2.所以a=1.又因为c=，所以b2=()2-12=4，所以方程为x2-=1.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2016·安康高二检测)与椭圆+y2=1共焦点且过点Q(2，1)的双曲线方程是__________. 【解析】因为c2=4-1=3，所以共同焦点坐标为(±，0)，设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，则由解得所以双曲线方程为-y2=1.答案：-y2=1【补偿训练】双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点坐标是(0，3)，则k的值是__________.【解析】原方程化为-=1，由焦点坐标为(0，3)，可知c=3，且焦点在y轴上，所以c2=+=-=9，所以k=-1.答案：-14.已知双曲线-=1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为________.【解析】由已知，|AB|+|AF2|+|BF2|=20，又|AB|=4，则|AF2|+|BF2|=16.根据双曲线定义，2a=|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|，所以4a=|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16-4=12，即a=3，所以m=a2=9.答案：9三、解答题(每小题10分，共20分)5.当0°≤α≤180°时，方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线怎样变化？【解题指南】根据cosα的取值，对角α分五类进行讨论，由直线、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状.【解析】(1)当α=0°时，方程为x2=1，它表示两条平行直线x=±1.(2)当0°<α<90°时，方程为+=1.①当0°<α<45°时，0<<，它表示焦点在y轴上的椭圆.②当α=45°时，它表示圆x2+y2=.③当45°<α<90°时，>>0，它表示焦点在x轴上的椭圆.(3)当α=90°时，方程为y2=1，它表示两条平行直线y=±1.(4)当90°<α<180°时，方程为-=1，它表示焦点在y轴上的双曲线.(5)当α=180°时，方程为x2=-1，它不表示任何曲线.6.(2016·永安高二检测)A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6km，C在B 的北偏西30°方向上，相距4km，P为敌炮阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4秒后，B，C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1km).A若炮击P地，求炮击的方位角.【解析】以AB的中点为原点，BA所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(-3，0)，C(-5，2).因为|PB|-|PA|=4，所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，由条件可得双曲线右支的方程是-=1(x≥2)①.又因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上，该直线的方程为x-y+7=0.②将②代入①得11x2-56x-256=0，得x=8或x=-(舍).于是可得P(8，5).设α为PA所在直线的倾斜角，又k PA=tanα=，所以α=60°，故点P在点A的北偏东30°方向上，即A炮击P地的方位角是北偏东30°.关闭Word文档返回原板块。

北师大版高中数学选修2-1第3章§3 .1双曲线及其标准方程综合测试练习题

北师大高中数学常考体型精选高考数学主要知识点：第一，函数与导数。

第二，平面向量与三角函数、第三，数列及其应用。

第四，不等式。

第五，概率和统计。

第六，空间位置关系的定性与定量分析垂直，求角和距离。

第七，解析几何。

是高考的难点，运算量大，一般含参数。

§3 .1双曲线及其标准方程设计人：赵军伟审定：数学备课组【学习目标】1.理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；2.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；【学习重点】理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义；【学习难点】会用双曲线的定义解决实际问题.【复习旧知识】1.把平面内与两个定点，的距离之和等于＿＿＿（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做＿＿＿＿＿，两定点间的距离叫做＿＿＿＿＿＿．即当动点设为时，椭圆即为点集．2平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做＿＿＿定点F不在定直线l 上)．定点F叫做抛物线的＿＿＿，定直线l叫做抛物线的＿＿＿.3.抛物线的＿＿＿在一次项对应的轴上，其数值是一次项系数的＿＿倍，准线方程与焦点坐标相反；反之可以逆推。

【学习过程】一、由教材探究过程容易得到双曲线的定义．把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做1F2F12F F双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为时，双曲线即为点集．M P={}122M MF MF a-=二、双曲线标准方程的推导过程思考：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法自己建立直角坐标系．无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．类比椭圆：设参量的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的关系有b ,,a b c 明显的几何意义．类比：写出焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程．y ()222210,0y x a b b a-=>>推导过程：【应用举例】例1 已知双曲线两个焦点分别为，，双曲线上一点到，距离差()15,0F -()25,0F P 1F 2F 的绝对值等于，求双曲线的标准方程． 6例2 已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为A B 800m A B 2s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 340/m s探究：如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且A B ()5,0-()5,0AM BM M 它们的斜率之积为，求点的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发现？ 49M 探究方法：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由(),M x y AM BM ,x y 于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹AM BM 49,x y M 方程．【巩固练习】3.下列动圆的圆心的轨迹方程：① 与⊙：内切，且过点；②M C ()2222x y ++=()2,0A 与⊙：和⊙：都外切；③ 与⊙：1C ()2211x y +-=2C ()2214x y +-=1C 外切，且与⊙：内切．()2239x y ++=2C ()2231x y -+=解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆的半径为． M r【学习反思】【作业布置】见教材习题学好高中生物不能死记硬背，要多加思考。

高中数学北师大选修1-1练习：第二章 §3 3.1 双曲线及其标准方程

[A 组基础巩固]1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )A ．1或21B ．14或36C ．2D ．21解析：设双曲线的左右焦点分别为F 1，F 2，不妨设|PF 1|＝11，根据双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝10，所以|PF 2|＝1或|PF 2|＝21，而1<c －a ＝7－5＝2，故舍去|PF 2|＝1，所以点P 到另一个焦点的距离为21，故选D.答案：D2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点Q (2,1)的双曲线方程是( )A.x 22－y 2＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 解析：∵c 2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±3，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，∴双曲线方程为x 22－y 2＝1.答案：A3．已知动点P (x ，y )满足(x ＋2)2＋y 2－(x －2)2＋y 2＝2，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的左支D ．双曲线的右支解析：(x ＋2)2＋y 2－(x －2)2＋y 2＝2表示动点P (x ，y )到两定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)的距离之差等于2，由双曲线的定义，知动点P 的轨迹是双曲线的右支．答案：D4．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：∵方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，∴(1＋k )(1－k )>0，∴(k ＋1)(k －1)<0，∴－1<k <1. 答案：A5．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D ．(3，0)解析：双曲线的标准方程为x 21－y 212＝1，∴焦点在x 轴上，且c 2＝1＋12＝32.∵c >0，∴c ＝62，∴右焦点的坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.答案：C6．已知双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其左、右焦点，点P 在双曲线右支上．若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是__________．解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，在△ F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos60°＝(r 1－r 2)2＋r 1r 2，而r 1－r 2＝4，|F 1F 2|＝213，∴r 1r 2＝36，∴S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝12×36×32＝9 3. 答案：9 37．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由已知条件有52＝m ＋9，所以m ＝16. 答案：168．若双曲线kx 2－2ky 2＝1的一个焦点是(－4,0)，则k ＝________. 解析：据已知得k >0，于是1k ＋12k ＝16.解得k ＝332.答案：3329．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？解析：(1)当α＝0°时，方程化为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1. (2)当0°<α<90°时，方程化为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆；②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝2；③当45°<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程化为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝±1.(4)当90°<α<180°时，方程化为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程化为x 2＝－1，它不表示任何曲线． 10．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点是(0，－6)，经过点A (－5,6)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同焦点，且过点(32，2)．解析：(1)由已知，得c ＝6，且焦点在y 轴上，则另一焦点为(0,6)．由双曲线的定义，得2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝8， ∴a ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝20.∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1.(2)解法一由条件可知焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝16＋4＝2018a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12b 2＝8，∴所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.解法二设所求双曲线方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，则1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.[B 组能力提升]1．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由双曲线的定义得|m －n |＝2，①在△F 1PF 2中，由余弦定理得m 2＋n 2－mn ＝8，② 联立①，②解得mn ＝4，即|PF 1|·|PF 2|＝4，故选B.答案：B2．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT交双曲线右支于点P ，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系是( )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |＝b －aC ．|MO |－|MT |<b －aD ．不能确定解析：不妨设点P 在第一象限，设F 1是双曲线的右焦点，连接PF 1，∵M ，O 分别为FP ，FF 1的中点，∴|MO |＝12|PF 1|，由双曲线的定义得|PF |－|PF 1|＝2a ，|FT |＝|OF |2－|OT |2＝b ，∴|MO |－|MT |＝12|PF 1|－|MF |＋|FT |＝12(|PF 1|－|PF |)＋|FT |＝b －a . 答案：B3．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：44．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0且a ≠b )的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．给出下面四个命题：①△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x ＝a 上； ②△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x ＝b 上； ③△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线OP 上； ④△PF 1F 2的内切圆必经过点(a,0)．其中真命题的序号是__________．解析：设△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1，PF 2切于点A ，B ，与F 1F 2切于点M ，则|P A |＝|PB |，|F 1A |＝|F 1M |，|F 2B |＝|F 2M |.又点P 在双曲线的右支上，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|F 1M |－|F 2M |＝2a ，而|F 1M |＋|F 2M |＝2c ，设点M 的坐标为(x,0)，则由|F 1M |－|F 2M |＝2a ，可得(x ＋c )－(c －x )＝2a ，解得x ＝a ，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴，故①④是真命题．答案：①④5．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．解析：解法一设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.解法二将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)，又椭圆的两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.6．如图△ABC 中，BC ＝23，AB →·AC →＝4，AC →·CB →＝2，双曲线D 以B 、C 为焦点且过A 点．(1)建立适当的坐标系，求双曲线D 的方程；(2)设过点E (1,0)的直线l 分别与双曲线D 的左、右支交于F ，G 两点，直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围．解析：(1)以BC 的中点为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系．则B (－3，0)，C (3，0)，设A (x 0，y 0)，故AB →＝(－3－x 0，－y 0)，AC →＝(3－x 0，－y 0)， CB →＝(－23，0)．由⎩⎪⎨⎪⎧AB →·AC →＝4AC →·CB →＝2，得⎩⎨⎧x 20－3＋y 20＝4－23(3－x 0)＝2，∴⎩⎨⎧x 20＝163y 20＝53.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，又c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧163a 2－53b 2＝1a 2＋b 2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2＝1.∴双曲线D 的方程为x 22－y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时，l 与双曲线无交点．当l 不垂直于x 轴时，可设l 的方程：y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x 22－y 2＝1，消去y 得 (1－2k 2)x 2＋4k 2x －(2k 2＋2)＝0.∵直线l 与双曲线左、右支分别交于F (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2k 2≠0x 1x 2＝2k 2＋22k 2－1<0，∴－22<k <22.由Ruize收集整理。

北师大版数学高二选修1-1 作业双曲线及其标准方程

1．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点F 1(5,0)的距离为15，则点P 到点F 2(－5,0)的距离为 ( )A ．7B ．23C ．7或23D ．5或25解析：由双曲线定义|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，而由双曲线方程知c ＝5，a ＝4，则点P 到F 2的距离为23或7.答案：C 2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点Q (2,1)的双曲线方程是( )A.x 22－y 2＝1 B.x 24－y 2＝1C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y22＝1[]解析：∵c 2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±3，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，b 2＝1，∴双曲线方程为x 22－y 2＝1.答案：A3．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0)解析：将双曲线方程化为标准方程为： x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0. 答案：C 4．k <2是方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：∵k <2⇒方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线，而方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线⇒(4－k )(k －2)<0⇒k <2或k >4⇒/ k <2. 答案：A5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：46．椭圆x 24＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 22＝1的焦点相同，则k 的值为________．解析：双曲线焦点位于x 轴上，∴k >0，且有4－k 2＝k ＋2即k 2＋k －2＝0，∴k ＝1或－2(负值舍去)．答案：17．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的一交点到两焦点的距离．解：由题意，c 2＝144＋25＝169，∴c ＝13，则焦点坐标F 1(－13,0)，F 2(13,0)．设过F 1且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y >0)，∴y 225＝132144－1＝25144，∴y ＝2512， ∴|AF 1|＝2512，又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，∴|AF 2|＝24＋|AF 1|＝24＋2512＝31312， ∴垂线与双曲线的一交点到两焦点的距离为2512，31312. 8．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，|F 1F 2|＝10，P 为双曲线上一点，|PF 1|＝2|PF 2|，PF 1⊥PF 2，求此双曲线的方程．解：∵|F 1F 2|＝10，∴2c ＝10，c ＝5.又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，且|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，∴4a 2＋16a 2＝100.∴a 2＝5.则b 2＝c 2－a 2＝20.故所求的双曲线方程为x 25－y 220＝1.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程(1)课时作业北师大版选修1-1

双曲线及其标准方程〔1〕一、选择题1．双曲线x 210－y 22＝1焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3解析：由双曲线标准方程可知，a 2＝10，b 2c 2＝a 2＋b 2＝12，那么2c ＝4 3.应选D. 答案：D2．双曲线a ＝5，c ＝7，那么该双曲线标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1 B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.x 225－y 249＝1或y 225－x 249＝1 解析：因为b 2＝c 2－a 2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以所求双曲线标准方程为x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1. 答案：C3．[2021·福建宁德一模]椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有一样焦点，那么a值为( )A. 2B. 10C. 4D. 34解析：因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有一样焦点(±7，0)，那么有a 2－9＝7，∴a ＝4.选C.答案：C4．双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1中点坐标为(0,2)，那么该双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2PF 1中点坐标为(0,2)，那么P 点坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.应选B.答案：B 二、填空题5．设m 是常数，假设点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1一个焦点，那么m ＝__________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1焦点落在y 轴上，所以m >0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：166．P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线两个焦点，假设|PF 1|＝17，那么|PF 2|值为__________．解析：由双曲线方程x 264－y 236＝1知，a ＝8，b ＝6，那么c ＝a 2＋b 2＝10.∵P 是双曲线上一点，∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝16，又|PF 1|＝17，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝33.又|PF 2|≥c －a ＝2，∴|PF 2|＝33. 答案：337．在△ABC 中，B (－6,0)，C (6,0)，直线AB ，AC 斜率乘积为94，那么顶点A 轨迹方程为__________．解析：设顶点A 坐标为(x ，y )，根据题意，得y x ＋6·yx －6＝94，化简，得x 236－y281＝1(x ≠±6)．故填x 236－y 281＝1(x ≠±6)．答案：x 236－y 281＝1(x ≠±6)三、解答题8．求适合以下条件双曲线标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)；(2)过点P 1(3，－42)，P 2(94，5)．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2|| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋52＋94－02－5－52＋94－02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4142－942＝8，即2a ＝8，那么ac ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9.故所求双曲线标准方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－42)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－19，B ＝116，故所求双曲线标准方程为y 216－x 29＝1.9．曲线x 216－m －y 2m＝1.(1)当曲线是椭圆时，求实数m 取值范围，并写出焦点坐标； (2)当曲线是双曲线时，求实数m 取值范围，并写出焦点坐标．解：(1)曲线为椭圆⇔⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0－m >016－m ≠－m ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <16m <0⇔mm 取值范围是(－∞，0)．此时，椭圆焦点在x 轴上，坐标为(±4,0)．(2)曲线为双曲线⇔(16－m )m >0⇔0<mm 取值范围是(0,16)．此时，双曲线焦点在x 轴上，坐标为(±4,0)．。

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【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程练习北师大版选修1-1一、选择题1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为( ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线 [答案] D[解析] 当a ＝3时，|PA |－|PB |＝6<|F 1F 2|，所以P 的轨迹为双曲线一支；当a ＝5时，|PA |－|PB |＝10＝|F 1F 2|，所以P 的轨迹为一条射线． 2．若k >1，则关于x 、y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 [答案] C[解析] 将方程化为标准方程x 2k 2－11－k＋y 2k 2－1＝1，∵k >1，∴1－k <0，k 2－1>0， ∴该方程表示焦点在y 轴的双曲线．3．过点(1,1)，且b a＝2的双曲线的标准方程为( ) A.x 212－y 2＝1 B.y 212－x 2＝1 C ．x 2－y 212＝1D.x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1 [答案] D[解析] ∵ba＝2，∴b ＝2a ，b 2＝2a 2.当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 22a 2＝1，将点(1,1)代入得，1a 2－12a 2＝1，12a2＝1，a 2＝12，b 2＝1，双曲线方程为x 212－y 2＝1.同理，当焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 212－x 2＝1.4．双曲线3x 2－4y 2＝－12的焦点坐标为( ) A ．(±5,0) B ．(0，±5) C ．(±7，0) D ．(0，±7)[答案] D[解析] 双曲线3x 2－4y 2＝－12化为标准方程为y 23－x 24＝1，∴a 2＝3，b 2＝4，c 2＝a 2＋b 2＝7，∴c ＝7，又∵焦点在y 轴上，故选D.5．若方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示双曲线，则实数k 的取值范围是( )A ．2<k <5B ．k >5C ．k <2或k >5D ．以上答案都不对[答案] C[解析] 由题意得(k －2)(5－k )<0，∴(k －2)(k －5)>0，∴k >5或k <2.6．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线C 上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线C 的方程为( )A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) [答案] D[解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)二、填空题7．(2015·北京文，12)已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________.[答案]3[解析] 由题意知c ＝2，a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，所以b ＝ 3.8．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________．[答案]x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝73b 2＝75.三、解答题9．过双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点F 1作垂直于实轴的弦AB ，若F 2为另一个焦点，求△AF 2B 的周长．[解析] 设|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，那么n －m ＝2a ，又△AF 1F 2中，∠AF 1F 2＝90°，所以n 2－m 2＝4c 2，则有⎩⎨⎧n －m ＝42， ①n 2－m 2＝64， ②①÷②得n ＋m ＝82，所以△AF 2B 的周长为2(n ＋m )＝16 2.10．已知双曲线x 2－y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，求点M 到x 轴的距离．[答案]233[解析] 由条件知c ＝3，∴|F 1F 2|＝23， ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴|MO |＝12|F 1F 2|＝3，设M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20－y 202＝1，∴y 20＝43，∴y 0＝±233.故所求距离为233.一、选择题1．(2014·揭阳一中高二期中)已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A. 2 B ．10 C ．4 D ．10[答案] C[解析] 由条件知a 2－9＝4＋3，∴a 2＝16， ∵a >0，∴a ＝4.2．设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|的值等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8[答案] A[解析] ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→.又||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝20－2|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2.3．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D ．x 23－y 22＝1[答案] B[解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，∴5a 2－16b2＝1，又a 2＋b 2＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故选B.4．(2015·重庆文，9)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 2[答案] C[解析] 由已知得右焦点F (c,0)(其中c 2＝a 2＋b 2，c >0)，A 1(－a,0)，A 2(a,0)；B (c ，－b 2a )，C (c ，b 2a )；从而A 1B ―→＝(c ＋a ，－b 2a )，A 2C →＝(c －a ，b 2a )，又因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B ―→·A 2C ―→＝0，即(c －a )·(c ＋a )＋(－b 2a )·(b 2a )＝0；化简得到b 2a 2＝1⇒b a＝±1，即双曲线的渐进线的斜率为±1；故选C.二、填空题5．设点P 是双曲线x 236－y 228＝1上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，若|PF 1|＝8，则|PF 2|＝________.[答案] 20[解析] 由题意知，a ＝6，c ＝a 2＋b 2＝36＋28＝8， ∵|PF 1|＝8<a ＋c ＝14，∴点P 在双曲线的左支上， ∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝12， ∴|PF 2|＝|PF 1|＋12＝8＋12＝20.6．一动圆过定点A (－4,0)，且与定圆B ：(x －4)2＋y 2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．[答案]x 24－y 212＝1(x ≤－2) [解析] 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得 |PB |－|PA |＝4<|AB |＝8，由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．其方程为：x 24－y 212＝1(x ≤－2)．三、解答题7．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．[答案]y 24－x 25＝1 [解析] 椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，又点A (x 0,4)在椭圆x 227＋y 236＝1上，∴x 20＝15，又点A 在双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1上，∴16a 2－15b2＝1，又a 2＋b 2＝c 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5，所求的双曲线方程为：y 24－x 25＝1.8．当0°≤α≤180°时，方程为x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？ [答案] α＝0°或90°表示直线 0°<α<45°或45°<α<90°表示椭圆 α＝45°表示圆 90°<α<180°表示双曲线 α＝180°不表示任何曲线[解析] (1)当α＝0°时，方程x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝1和x ＝－1. (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45°<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝1和y ＝－1. (4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．。