初中数学《锐角三角函数》单元教学设计以及思维导图
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1一. 教材分析《锐角三角函数》是北师大版数学九年级下册第一章第一节的内容。
本节课的主要内容是引导学生通过锐角三角函数的定义，了解正弦、余弦、正切函数的概念，并会进行简单的计算。
这一节内容是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。
在教材中，通过大量的实例，让学生感受三角函数在实际问题中的应用，从而培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念有一定的了解。
但是，对于三角函数的定义和应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例，理解三角函数的概念，并能够运用三角函数解决实际问题。
三. 教学目标1.理解锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切函数的概念。
2.能够运用三角函数解决实际问题。
3.培养学生的数学应用能力。
四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的定义，正弦、余弦、正切函数的概念。
2.难点：运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.实例教学：通过实际问题，引导学生理解三角函数的定义和应用。
2.小组讨论：让学生在小组内讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力。
3.练习巩固：通过大量的练习，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
六. 教学准备1.教材：北师大版数学九年级下册。
2.课件：相关的教学课件。
3.练习题：相关的练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入三角函数的概念。
例如，一个直角三角形，一个锐角为30度，斜边长为1，求这个三角形的两条直角边的长度。
让学生思考，如何解决这个问题。
2.呈现（10分钟）通过多媒体课件，呈现三角函数的定义和概念。
引导学生理解，三角函数是描述直角三角形中，角度和边长之间关系的一种数学工具。
讲解正弦、余弦、正切函数的定义，并通过动画演示，让学生直观地理解这三个函数的定义。
3.操练（10分钟）让学生进行一些相关的练习题，巩固所学的知识。
教师可以通过多媒体课件，展示解题过程，引导学生正确解题。
九年级数学基础知识思维导图
九上数学第二十三章 数据分析23.1 平均数与加权平均数一般地，我们把n个数的和与n的比，叫做这n个数的算术平均数=x ˉx +…+x n1(1n )已知n个数，，...，,若,,...,为一种正数，则把，叫做n个数，，...，的加权平均数x 1x 2x n w 1w 2w n w +w +...+w 12nx w +x w +...+x w 1122n nx 1x 2x n 23.2 中位数与众数一般地、将n个数据按大小顺序排列，如果n为奇数，那么位于中间位置的数据叫做这组数据的中位数；如果n为偶数，那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。
一般地、把一组数据中出现最多的那个数据叫做众数，一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数23.3 方差设n个数据，，...，的平均数为，各个数据与平均数偏差的平方分别是，，...,，偏差平方的平均数叫做这组数据的方差，用表示，即x 1x 2x n x ˉx −(1x ˉ)2x −(2x ˉ)2x −(n x ˉ)2s 2s =2x −+x −+...+x −n1[(1x ˉ)2(2x ˉ)2(n x ˉ)2]当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小。
因此，方差的大小反映了数据波动的大小23.4 用样品估计总体由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不相同；当样本容量较小时，差异可能还较大。
但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近，因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。
同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差第二十四章 一元二次方程24.1 一元二次方程关于未知数x的整式方程，且x的最高次数都为2，像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式为（a不等于0）ax +2bx +c =0是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项ax 224.2 解一元二次方程配方法通过配方，把一元二次方程变形为一边含有未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法公式法x =2a−b ±b −4ac2当时，方程有两个不相等的解b −24ac >0当时，方程有两个相等的解b −24ac =0当时，方程没有实数根b −24ac <0用求根公式求一元二次方程的方法，叫做公式法因式分解把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解十字相乘十字左边两个数相乘是二次项系数十字相乘右边的数相乘是常数项交叉相乘再相加是一次项系数得到结果后上面两个数依次是第一组数的未知数系数和常数项，下面两个数依次是第二组数据的未知数系数和常数项概要24.3 一元二次方程与系数的关系一元二次方程的两根分别是,ax +2bx +c =0x 1x 2x ⋅x =12ac x +1x =2−ab24.4 一元二次方程的应用要根据题目给的现实情况来排除答案第二十五章 图形的相似25.1 比例函数在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
课时19 锐角三角函数的概念及运算
第19课时锐角三角函数的概念及应用一、【思维导图】二、【知识精讲】1. 定义正弦:在Rt ABCD中,∠C=90º,我把把锐角A的对边与斜边的的比叫作∠A的正弦,记作sin A, sin A=________a c =余弦:在Rt ABCD中,∠C=90º,我把把锐角A的邻边与斜边的的比叫作∠A的余弦,记作cosA, cos A=________b c =正切:在Rt ABCD中,∠C=90º,我把把锐角A的对边与邻边的的比叫作∠A的正切,记作tan A, tan A=_________a b =2.特殊角的三角函数值三、【考点直击】★考点1：锐角三角函数的定义--正弦 核心提示：本题考查的是正弦的定义 .例1（2013•温州市）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC=3，则sin A 的值是（ ）.A.34 B .43 C .35 D .45分析：本题利用正弦的定义直接来求即可. 解： SinA=35BC AB =,故选C . 点评：本题较为简单,利用正弦的定义可以直接求出结果. ★考点2：锐角三角函数的定义--正切.核心提示：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．例2（2013•贵阳市）如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为（12，5），则tanα等（ ）.★考点3：特殊角的三角函数值-正弦. 核心提示：零指数幂；特殊角的三角函数值. 例3（2013•郴州市）计算：|﹣|+（2013﹣）0﹣（）﹣1﹣2sin60°．分析：先分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则，特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可.解：原式=2+1﹣3﹣2×=2+1﹣3﹣=﹣2．点评：本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则，特殊角的三角函数值是解答此题的关键.★考点4：特殊角的三角函数值-余弦,正切 核心提示：有理数的乘法;特殊角的三角函数值 .例4 （2013•重庆市）计算6tan45°-2cos60°的结果是（ ）. A.B .4 C.D .5分析：将特殊角的三角函数值代入计算即可．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，要求同学们熟练掌握特殊角的三角函数值.★考点5：锐角三角函数的应用核心提示：锐角三角函数的定义；旋转的性质.例5.（2013•昭通市）如图，A 、B 、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A逆时针旋转得到△AC'B '，则tan B ′的值为（ ）.A ．12B ．13C ．14D ．4分析：过C 点作CD ⊥AB ，垂足为D ，根据旋转性质可知，∠B ′=∠B ，把求tan B ′的问题，转化为在Rt △BCD 中求tan B ． 点评：本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法. ★中考新动态1.多知识点的组合例6 （（2013•钦州市）计算：|﹣5|+（﹣1）2013+2sin30°﹣.分析：本题涉及绝对值、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点．针对每个考点.分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.解：原式=5﹣1+2×﹣5=﹣1+1=0．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对值、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点的运算2.实际操作中的应用例7 （2013•包头市）如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C 落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为．分析：先根据图形翻折变换的性质得出BC=BD，∠BDE=∠C=90°，再根据AD=BD可知AB=2BC，AE=BE，故∠A=30°，由锐角三角函数的定义可求出BC的长，设BE=x，则CE=6﹣x，在Rt△BCE中根据勾股定理即可得出BE的长.解：∵△BDE是△BCE反折而成，∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°，∵AD=BD，∴AB=2BC，AE=BE，∴∠A=30°，在Rt△ABC中，∵AC=6，∴BC=AC•tan30°=6×=2，设BE=x，则CE=6﹣x，在Rt△BCE中，∵BC=2，BE=x，CE=6﹣x，∴BE2=CE2+BC2，即x2=（6﹣x）2+（2）2，解得x=4．故答案为：4．点评：本题考查的是图形的翻折变换，熟知图形反折不变性的性质是解答此题的关键 四、【阶梯训练】 A 组：基础巩固1. 在正方形网格中,α的位置如图所示,则sin α的值为 ( ).A .12 B.2C.2 D.32.如图P 是α的边OA 上一点,且点P 的坐标为(3,4),则sin α( ). A .35 B .45C .34 D .433.在Rt ABC D 中,∠C =90º,如果AB =2,BC =1,那么sin B 的值是( ).A .12 B.2C.3D4.已知α为锐角,且sin(α-10º)=2则α等于( ) . A .50º B .60º C .70º D .80º 5.在Rt ABC D 中,∠C =90º,BCAC∠A = ( ).A .90ºB .60ºC .45ºD .30º6.如图:正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心,EC 为半径的半圆与 以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,求∠EAB 的正弦值.7.已知AE,CF 是锐角本角形ABC 的两条高,如果AE :CF =3:2,求sin A :sin C 的值.8.若2320)cos A B -+-=试判断ABC D 的形状.9.知己锐角A 满足关系式22730sin sin A A -+=求sin A 的值.10.如图,一棵大树在一次强台风中于离地面5 m 处折断倒下,倒下部分与地面成30º的夹角,求这棵大树在折断前的高度. B 组：拓展提高11.如图,圆O 是∆ABC 的外接圆,圆O 的半径R =2,sin B =34求弦AC 的长.12.如图,在菱形ABC D 中,DE ⊥AB 垂足为E ,DE =6 cm ,sin A =35,求菱形ABCD 的面积.13.把两块含有30º的相同的直角尺按如图所示摆放,知C ,B ,E 在同一条直线上,连接CD ,若AC =6 cm ,求∆BCD 的面积.14.如图,在∆ABC 中,AE ⊥BC 于E ,D 为AB 边上一点,如果BD =2AD ,CD =8,sin ∠BCD =34求AE 的长.15.某梯子与地面所成的角α满足45º≤α≤60º时,人可以安全的瓟上斜靠在墙面上的梯子的顶端,现有一长6 m 的梯子,求这个梯子最高可以安全瓟到的最大高度. 16.若tan A =2,求2sin cos sin cos A AA A+-17.在∆ABC 中,∠C =90º,tan A .tan20º=1,求角A 的度数.18.已知α为锐角,且tan α=2,求cos α. C 组：创新迁移21.如图，已知∠ABC 和射线BD 上一点P （点P 与点B 不重合），且点P 到BA 、BC 的距离为PE 、PF ． （1）若∠EBP =40°，∠FBP =20°，PB =m ，试比较PE 、PF 的大小；（2）若∠EBP =α，∠FBP =β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE 、PF 的大小，并给出证明．22. 设a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断a n +b n 与c n 的关系，并证明你的结论.五、【学习评价】※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※复习感悟______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________第19课时锐角三角函数的概念及应用阶梯训练参考答案A组：基础巩固1.B.2.B.3.B.4.C.5.D.6.3 5 .7.2:3.8.直角三角形.9.1 2 .10.15 m.B组：拓展提高.11.3.12.60.13.27.14.9.16.5.17.70º.18.1-2.C组：创新迁移∴a n+b n＜c n．。
知识必备09 锐角三角函数(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备09锐角三角函数（公式、定理、结论图表）考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.同理；；．要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．典例1：（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为 ． ．【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sin A＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释： (1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： 、、、、的值依次为0、、、、1，而、、、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时， ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．典例2：（2022•天津）tan45°的值等于（ ）A．2B．1C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，； (2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商数关系：． 要点诠释： 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： ①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系： ，，， ，，. ④，h 为斜边上的高.要点诠释： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤两直角边(a ，b)由求∠A ，∠B=90°－∠A ，两边斜边，一直角边(如c，a)由求∠A ，∠B=90°－∠A ，锐角、邻边(如∠A ，b)∠B=90°－∠A ，，一直角边和一锐角锐角、对边(如∠A ，a)∠B=90°－∠A ，，Rt △ABC一边一角斜边、锐角(如c ，∠A)∠B=90°－∠A ，，要点诠释： 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.典例3：（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解．【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四边形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，∴DE＝3，CD＝4，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如： 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 典例4：（2022•黑龙江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（ ）米A．600﹣250B．600﹣250C．350+350D．500【分析】设EF＝5x米，根据坡度的概念用x表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度为5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，则EF＝500米，BF＝1200米，由题意可知，四边形DCFE为矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，则DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高典例5：（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C 点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为 16 m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，进而可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，∴AB＝16m．故答案为：16．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键典例6：（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）（1）求点D与点A的距离；（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴（米），答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是东西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴（米），在Rt△BDE中，∴（米），∴（米），答：隧道AB的长为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：；(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B＝90°；(3)边与角之间的关系：，，，．(4)如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；由△ACD∽△ABC或由△ABC面积，得ab＝ch．(5)如图所示，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则①CD＝AD＝BD＝AB；②点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径R＝AB．(6)如图所示，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则．直角三角形的面积：①如图所示，．（h为斜边上的高）②如图所示，．典例7：（2022•黄石）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π≈＝3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（ ）A．12sin15°B．12cos15°C．12sin30°D．12cos30°【分析】利用圆内接正十二边形的性质求出A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．【解答】解：在正十二边形中，∠A6OM＝360°÷24＝15°，∴A6M＝sin15°×OA6＝R×sin15°，∵OA6＝OA7，OM⊥A6A7，∴A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，∴π≈＝12sin15°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．。
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案一. 教材分析浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》是本册教材的第一课时，主要介绍锐角三角函数的定义及概念。
本节课内容是学生对初中数学中三角函数知识的初步接触，对于培养学生的数学思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念有一定的了解。
但是，对于锐角三角函数的定义和应用，学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过实例讲解，让学生更好地理解和掌握锐角三角函数的知识。
三. 教学目标1.了解锐角三角函数的定义和概念；2.能够运用锐角三角函数解决实际问题；3.培养学生的数学思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义和概念；2.教学难点：如何运用锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例讲解法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的数学素养。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片；2.准备多媒体教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实际问题，如测量身高、角度等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。
从而引出锐角三角函数的概念。
2.呈现（10分钟）讲解锐角三角函数的定义和概念，让学生了解锐角三角函数的基本性质。
通过示例，让学生掌握如何运用锐角三角函数解决实际问题。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，选取一个生活实例，运用锐角三角函数进行解决。
教师巡回指导，为学生提供帮助。
4.巩固（5分钟）选取一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
教师及时批改，给予反馈。
5.拓展（5分钟）引导学生思考：除了生活中的实例，还有哪些领域会用到锐角三角函数？让学生了解锐角三角函数在实际应用中的广泛性。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，让学生明确所学知识的重难点。
三角函数-思维导图
三角函数三角函数定义符号三角函数线正弦 余弦 正切余切正割余割角制与弧度制角制弧度制定义：平面内，一射线绕端点旋转分类表示方式旋转方向终边位置正角负角零角(不旋转)象限角轴线角第一/二/三/四象限角在(正/负)X 轴上在(正/负)Y 轴上定义：用弧长与半径之比度量对应圆心角角度的方式，用符号rad 表示，读作弧度互相转化弧度制与角制的相关性恒等变换基本关系式诱导公式和差倍角和差与积的转化解三角形平方关系商数关系倒数关系三角函数的恒等关系中的基本关系式含义：角a 与特殊角的三角函数关系口诀：奇变偶不变，符号看象限诱导公式公式一:设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等sin(2k π+α)=sin α(k ∈Z)cos(2k π+α)=cos α(k ∈Z)tan(2k π+α)=tan α(k ∈Z)cot(2k π+α)=cot α(k ∈Z)公式二:设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系sin(π+α)=－sin αcos(π+α)=－cos αtan(π+α)=tan αcot(π+α)=cot α公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系sin(－α)=－sin αcos(－α)=cos αtan(－α)=－tan αcot(－α)=－cot α公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系sin(π－α)=sin αcos(π－α)=－cos αtan(π－α)=－tan αcot(π－α)=－cot α公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系sin(2π－α)=－sin αcos(2π－α)=cos αtan(2π－α)=－tan αcot(2π－α)=－cot α公式六:π/2±α与α的三角函数值之间的关系sin(π/2+α)=cos αsin(π/2－α)=cos αcos(π/2+α)=－sin αcos(π/2－α)=sin αtan(π/2+α)=－cot αtan(π/2－α)=cot αcot(π/2+α)=－tan αcot(π/2－α)=tan α和差公式倍角公式辅助角公式两角和与差的三角函数公式sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin(α-β)=sin αcos β-cos αsin βcos(α+β)=cos αcos β-sin αsin βcos(α-β)=cos αcos β+sin αsin βtan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan αtan β)tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β)二倍角公式(升幂缩角公式)sin2α = 2sin αcos αcos2α = cos^2(α)-sin^2(α) = 2cos^2(α)-1 = 1-2sin^2(α)tan2α = 2tan α/[1-tan^2(α)]二倍角公式半角公式万能公式半角公式(降幂扩角公式)sin^2(α/2)=(1-cos α)/2cos^2(α/2)=(1+cos α)/2tan^2(α/2)=(1-cos α)/(1+cos α)另也有tan(α/2)=(1-cos α)/sin α=sin α/(1+cos α)万能公式sin α=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cos α=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tan α=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]三倍角公式平方关系(sina)^2+(cosa)^2 = 11+(tana)^2 = (seca)^21+(cota)^2 = (csca)^2商数关系tana = sina/cosa cota = cosa/sina倒数关系：sina*csca = 1cosa*seca = 1tana*cota = 1三倍角公式sin3α=3sin α-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cos αtan3α=[3tan α-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]三角函数的和差化积公式sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC 解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
初中数学_锐角三角函数教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计教学目标（一）教学知识点1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用3胡表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算.（二）能力训练要求1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力.3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.（三）情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.教学难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比.教学方法引导一探索法.教具准备FLASH演示教学过程I.创设问题情境，引入新课用FLASH课件动画演示木章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：［问1］在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?［问题2］随着改革开放的深入，上海的城市建设正H新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早己被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗?你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗?通过本章的学习，相信大家一定能够解决.这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起.（板书课题§1. 1. 1从梯子的倾斜程度谈起）・II.讲授新课用多媒体演示如下内容:［师］梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡” 或“平缓”是用来描述梯子什么的？请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)(1)在图中，梯子肋和厅哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？［生］梯子M比梯子"更陡.［师］你是如何判断的？［生］从图中很容易发现Z ABOZEFD,所以梯子肋比梯子矿陡.［生］我觉得是因为AC= ED,所以只要比较方G丹的长度即可知哪个梯子陡.BXFD,所以梯子力万比梯子必'陡.［师］我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2)在下图中，梯子月万和矿哪个更陡？你是怎样判断的？［师］我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了.能不能从第(1)问中得到什么启示呢？［生］在第⑴问的图形中梯子的垂直高度即M和勿是相等的，而水平宽度历和肋不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡•［师］这位同学的想法很好.的确如此，在第(2)问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子肋和必'的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.那么请同学们算一下梯子肋和厅哪一个更陡呢？［生］ΔΞ=±=⅛,BC 1.5 3ED _ 3.5 _ 35^FD~T3~n••8/35•——,3 13・•・梯子矿比梯子肋更陡.多媒体演示：想一想iA c2 ClO I I 如图，小明想通过测量SG及力G,算出它们的比，来说明梯子I •I I II I i的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量及力©算出它们的比，I I !［师］我们己经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述 梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程 度.下而请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法.［生］在上图中，我们可以知道RtHA&C 、和RtHA 昵是相似的.因 为ZEGM=ZEGM=90° , ZRAC 2=ZRAG f 根据相似的条件，得Rt 、A&C\sRt 、A&L ・［生］由图还可知：ZG 丄Ae If 3G 丄AC 19得ZG 〃3G, RtAABG s RtAA旺.［生］相似三角形的对应边成比例，得如果改变Z 在梯子上的位置，总可以得到RtMLAsRtMCA些=邑£1总成立.AC I AC 2［师］也就是说无论△在梯子的什么位置U 除外），ZA 的对边与 邻边的比值是不会改变的.现在如果改变Z 力的大小，Z/的对边与邻边的比值会改变吗?fi 1C 1 _ AC lB 、C 、~ AC.即"C = B Q C QAjCl AC 2仍能得到g l C 1 _ B 2C 2ΛC 7" AC 2因此，无论E 在梯子的什么位置（除A 外）,tan* ZA的对边注意：1.IanA是一个完整的符号，它表示ZS的正切，记号里习惯省去角的符号“Z” •2.IanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中Z/1的对边与邻边的比.3.tarυ4 不表示"tan” 乘以a A ff .4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，ZM是锐角的正切.思考：1. Z万的正切如何表示？它的数学意义是什么？2.前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课木图1一3,梯子的倾斜程度与tanS有关系吗？［生］1・Z万的正切记作tanE表示Z方的对边与邻边的比值，即细勺对边.ZB的邻边2.我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此在图1一3中，梯子越陡，ta胡的值越大；反过来，tan/1 的值越大，梯子越陡.［师］正切在日常生活中的应用很广泛.例如建筑、工程技术等，正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.如图，有一山坡在水平方向上每前进IOOm,就升高60m,那么山坡的坡度（即坡角G的正切一一tana）就是IOO 5这里要注意区分坡度和坡角.坡而的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度.坡度越大，坡面就越陡.IiL例题讲解解：甲梯中，“卄=Za的对边一_5Za 的邻边√i32 -5212乙梯中，ZpfiWi=6 = 3ZP的邻边8 4因为tan^>tan O f所以乙梯更陡.分析：要求tan∕l, IanB的值，根据勾股定理先求出直角边/C的长度.解：在△遊中，Zr=90° ,所以AC=√Aθ2-BC2= √202 -122 = 16 (Cm),+ Zl_ ZA的对边tan?l—---- —--BC12 .3ZA的邻边AC16 4tan* ’砂对边 AC16 4Z/喲邻边BC12 3所以tan^-—, tanj?=Z 4 "—•4 3IV.随堂练习1.如图，△磁是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗？分析：要求SnG需从图中找到ZC所在的直角三角形.因为甸-LAC f所以ZC在Rt'BDC中.然后求出ZC的对边与邻边的比，即竺DC 的值.解：• ：∖ABC是等腰直角三角形，BDLAa・•・G?=丄力C=丄X3 = 1.5.2 2在RtbBDC中，ta∏r=-= —= 1.DC 1.52.如图，某人从山脚下的点力走了20Om后到达山顶的点氏己知点万到山脚的垂直距离为55m,求山的坡度.（结果精确到0. 001）分析：由图可知，Z力是坡角，Z/的正切即tan/l为山的坡度.解：根据题意：在RtL∖ABC中，A5=200∏μ 方Q=55m,AC=√2OO2 -552= 5√1479 ≈5 × 38. 46 = 192. 30（m）•tan^= — = 5. 286.AC 192.30所以山的坡度为0. 286.V.课时小结本节课从梯子的倾斜程度谈起，经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“欣△”中定义了tarvl= 洋畧.ZA的邻边接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的一个很重要的概念.VL课后作业1.习题1. 1第1、2题.2.观察学校及附近商场的楼梯，哪个更陡.v∏∙活动与探究（江苏盐城）如图，Rt'ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡力万的长为12m,它的坡角为45° ,为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1 ： 1.5的斜坡肋,求励的长.（结果保留根号）［过程］要求％的长，需分别在RtHABC和RtbACD中求出虑和DC,根据题意，在RtbABC 中，ZABC= 45° ,力万=12m,则可根据勾 股定理求出BC ；在RtbADC 中，坡比为1 ： 1.5,即tanZλ=l : 1.5, 由BC=AC f 可求出CD,［结果］根据题意，在Rt 厶ABC 中，ZMC=45° ,所以△遊为等 腰直角三角形.设BC=AC=X m,则F+F=122,^=6√,2 ,所以 BC =AC = 6 yfl .在 Rt^ADC 中，tan/?=—=—,CD 1.5即竺= _L, cD=g 近.CD 1.5所以 DB= CD-BC=^41 -6√2 = 3√2 (m).板书设计§ 1. 1锐角三角函数1. 当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随 之确定.2. 正切的定义：在Rt 厶ABC 申,锐角力确定，那么ZS 的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做Z 力的正切,记作IanA f 即注：(DtanS 的值越大，梯子越陡.(2)坡度通常表示斜坡的倾斜程度，是坡角的正切.坡度越大,IanA=ZA 的对边 ZA 的邻边坡而越陡.3.例题讲解（略）4.随堂练习5.课时小结学情分析九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。
人教版数学九年级下册《锐角三角函数——正切》教学设计
《锐角三角函数——正切》教学设计一、教材与学情分析◆教材分析：本节教材是初中数学九年级上册第一节内容，是初中数学的重要内容之一。
一方面，这是在学习了相似三角形、直角三角形两锐角关系、勾股定理等知识的基础上，对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展；另一方面，又为解直角三角形等知识奠定了基础。
鉴于这种认识，我认为，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
◆学情分析：九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。
前面已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，通过这节课学习要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要观察、思考、交流，进一步体会数学知识之间的联系，感受数形结合的思想，体会锐角三角函数的意义，提高应用数学和合作交流的能力。
学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明了，深入浅出的剖析。
二、教学重难点：◆重点：理解锐角三角函数-正切的意义，会将某些实际问题转化为解直角三角形的问题。
◆难点：理解直角三角形中锐角与两直角边比值之间一一对应的关系，从而引入正切函数，并用符号tan A来表示.三、教学目标◆知识与技能：1．理解并掌握正切的含义，并能够举例说明;2．会在直角三角形中求出某个锐角的正切值；3．了解锐角的正切值随锐角的增大而增大．◆过程与方法：1. 经历正切的意义探索的过程，培养学生观察分析、类比归纳的探究问题的能力。
2. 逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
◆情感态度与价值观：1. 使学生在学习数学的过程中体会数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。
2 . 通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考，独立思考的好习惯。
四、教学方法：利用多媒体教学平台，采用教师引导，学生自主探索和小组合作相结合的教学方式，渗透函数、数形结合、转化等数学思想方法。
探究教学法：提出问题，让学生通过自主探究，解决问题，掌握新知。
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锐角三角函数
习学生应该明确锐角三角函数的定义，会利用相关知识解直角三角形，灵活运用其解决实际问题。
主题单元规划思维导图
主题单元学习目标
知识与技能：
了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比。
掌握30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，会由一个特殊角的三角函数值说出这个角。
会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角。
理解直角三角形中边于边的关系，角与角的关系和边角的关系，会用其解直角三角形。
会用解直角三角形有关知识解决简单的实际问题。