九年级数学导学案
人教版九年级数学上册(RJ)第21章 一元二次方程 导学案 一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.一、知识链接1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.想一想方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜（1）一元二次方程 (x－x1)(x－x2) = 0 (x1，x2为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2与 p，q 之间的关系吗？（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？证一证：x1 + x2= x1·x2=归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x2，那么12bx xa ，12cx xa.(前提条件是b2－4ac≥0).(1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2.归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别Δ≥0，如是则代入 a、b、c的值即可.例2 已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.变式题已知关于的值.例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.练一练设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：(1) 12x x ， (2)12xx ，(3) 2212x x ， (4)212()x x .归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.常见的求值式子如下： 12111.x x +=22122.x x += 12213.=x xx x + 124.(1)(1)x x ++= 125.||=x x -例4 设x 1，x 2是方程 x 2－2(k －1)x + k 2 =0的两个实数根，且2212x x 4，求k 的值.方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0 .2b x a，1c x a.2221212()2x x x x x 2221212)()4x x x x x122121x x x x x......1.如果－1是方程2x 2－ = .2.已知一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q = .3.已知关于 的值.4.已知x 1，x 2是方程2x 2+2kx+k －1=0的两个根，且(x 1+1)(x 2+1)=4.(1)求k的值； (2)求(x1－x2)2的值.5.设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值：(1) (x 1 + 1)(x2 + 1)； (2)2112.x xx x拓展提升6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根之差为1.7.已知关于-2=0(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；(2)若方程两根x1，x2满足|x1-的值.242bb ac xa.时，方程有两个相1232课堂探究二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜=b a ，x 1x 2证一证：（注：b221242b b ac x x a +-+=2b b a -+-= 22ba-=.b a =- 1222b b x x a a•-+-⋅=()()22244b b ac a ---=244ac a=.ca =例1 解：（1） a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b 2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 = –( – 6 ) =6，x 1 x 2 = – 15 .（2）a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b 2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 =73， x 1 x 2 =933.（3）方程可化为4x 2–5x +1 =0，a =4，b = – 5，c = 1.Δ = b 2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1， x 2，那么x 1 + x 2 =5544，x 1 x 2 =1.4=6.5=3.5+ x 2=2+ 35=.5k 得k=答：方程的另一个根是3,5k=－ 解：设方程的两个根分别是+ x 2=1+ x =5 .121231,.22x x x 222121122)2,x xx x x ∴22221212123113()22.224xxx x x x 121212131 3.22x x x x x练一练 （1）4 （2）1 （3）14 （4）12例4 解：由方程有两个实数根，得22221212()2x x x x x = 4(k 222x 4，得 2k +4 =4，解得k 1=0，k 2=4 . 当堂检测1. ；-3.2. 1 ； -2.1161.3c x a 116.3x 12121,.2k x k x x 1()1 4.2kk 解得k = -7；4.-则222121212)()474(4)65.x x x x x12124, 1.3b c x x x aa)+1=441()1.33122221121221212()234.9x x x x x x x x x x x x 12121,.22kx x x 22121212()()4 1.x x x x x x 22141,3,2 3.222k k k7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b 2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2=4m 2-4m 2+8m=8m ≥0.∵m≠0，∴m 的取值范围为m ＞0. 121222,.m x x x m22121212()()4 1.x x x x x x 22241.m m解得m=8.经检验，解.。
九年级 二次函数 导学案17个
1NO.1《函数与它的表示法》导学案学习目标：1.熟练掌握函数表示方法，会求自变量取值范围，并能解决生活中的函数问题。
2.体会函数建模思想在实际生活中的应用，3.感受数学在生活中的魅力．预习案出函数图象． （２）．据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？【归纳】__________________________________________叫做函数解析式或______________ _________________________叫做解析法___________________________叫做列表法 __________________________________________叫做图像法 【探究点二】2、如图，一辆汽车在行驶中，速度v 随时间t 变化的情况如图所示.（1）在这个问题中，速度v 与时间t 之间的函数关系是 用哪种方法表示的？_______________（2）时间t 的取值范围是什么？______________________。
（3）当时间t =______，汽车行驶的速度最大，最大速度是______； 当时间t =______时，速度为0？当t__________时，汽车的行驶速度逐渐增加？当t__________时，汽车的行驶速度逐渐减少？当t__________时，按匀速运动行驶?【典型例题】3、一根蜡烛长20cm,每小时燃掉4cm.(1)写出蜡烛剩余的长度y （cm ）与燃烧时间x （h ）之间的函数解析式.(2)求自变量x 可以取值的范围;(3)蜡烛点燃2h 后还剩多长?4、求下列函数中自变量x 的取值范围(1) y=3x+2 335x -（2）y =(3)4y （）探究案1、等腰三角形ABC 的周长为10cm,底边BC 长为y (cm), 腰AB 长为x （cm ） (1)写出y 与x 之间的函数解析式; (2)指出自变量x 可以取值的范围.2的正方形ABCD 的一边BC 上，有一动点P 从B 点运动到C 点，设PB=x ，四边形APCD 的面积为y 。
人教版九年级数学导学案全册
人教版九年级数学导学案全册九年级数学导学案-全册第一章：有理数导学目标：了解有理数的定义，会对有理数进行加减法运算1. 有理数的定义有理数是指可以表示为两个整数比例的数，包括正整数、负整数、零以及可以表示为分数形式的小数。
2. 有理数的表示有理数可以通过分数、小数和负号表示。
例如：32/5，-1.2，-3。
3. 有理数的比较有理数的大小可以通过数轴进行比较，数轴的左边表示负数，右边表示正数。
例如：-5 < -1 < 0 < 2 < 4。
4. 有理数的加法运算有理数的加法运算遵循以下规则：- 两个正数相加，结果为正数；- 两个负数相加，结果为负数；- 正数加负数时，找到两个数的绝对值中较大的数，并用它的符号作为结果的符号。
5. 有理数的减法运算有理数的减法运算可以转化为加法运算，即求减数的相反数后再进行加法运算。
例如：7-3可以转化为7+(-3)。
第二章：代数基础导学目标：掌握代数基础概念，灵活运用代数式进行计算1. 代数式的定义代数式是由数或运算符号组成的表达式，可以包括数字、字母和运算符号。
2. 代数式的计算代数式可以通过代数运算进行计算，其中常用的运算符号包括加减乘除和指数符号。
3. 代数式的展开和因式分解代数式的展开指的是将括号中的内容按照规则进行计算，例如：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
代数式的因式分解指的是将代数式分解成乘积的形式，例如：4x^2 + 12x = 4x(x + 3) 。
4. 代数式的简化代数式可以通过合并同类项进行简化，合并同类项是将相同字母的项合并在一起，例如：2x + 3x = 5x。
第三章：图形的认识导学目标：了解几何图形的基本概念和性质，能够进行图形的分类和判断1. 平面图形的分类平面图形包括点、线段、射线、直线和曲线，可以通过形状和大小进行分类，例如：三角形、四边形、圆等。
2. 几何图形的性质几何图形有不同的性质，例如：矩形的对边相等、正方形的对角线相等。
九年级数学导学案一元二次方程的应用--几何问题
一元二次方程的应用--几何问题（三）题型1 与一元二次方程有关的三角形动点问题例1如图，在△ABC内，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？变式1-1如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．（1）当t＝4时，求△APQ的面积．（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．变式1-2如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s 的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？变式1-3已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于cm？（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．题型2 与一元二次方程有关的四边形动点问题例2如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为s．变式2-1如图，在边长为6cm正方形ABCD中，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q 从点B开始沿BC和CD边向D点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．变式2-2如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？变式2-3如图，菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝8cm BD＝6cm，动点M从A点出发沿AC方向以2cm/s匀速直线运动到C点，动点N从B点出发沿BD方向以1cm/s匀速直线运动到D点，若M，N 同时出发，设运动时间为t秒：（1）当t＝1秒时，M，N两点之间的距离是多少？（2）当2＜t＜3时，用含t的代数式表示OM的长；设W＝MN2，求W关于t的函数关系式；（3）当t为何值时，△MON的面积为cm2．。
九年级数学《相似三角形的周长与面积》导学案
《相似三角形的周长与面积》导学案一、教学目标知识与技能1.理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
2.能用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解决简单的问题。
过程与方法1.经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性。
2.在探索实践中培养学生分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观1. 在获得知识的过程中培养学习的自信心，知道数学来源于生活有服务于生活。
2. 敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题.二、重点难点重点理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
难点相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．三、学情分析相似三角形的周长与面积在初中数学和中考中占有重要的位置，同时，在日常生活生产中也有广泛的应用，因此这是一节很重要的课题。
学生已学习相似形的性质和判定，以及全等三角形的有关知识，在此基础上研究本节课，学生应感到并不困难。
小结：1．本节学习的数学知识：(1)相似三角形（或多边形）长的比等于相似比．（2）相似三角形（或多边形）的面积比等于相似比的平方（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角的平分线的比五、设计思路本节课开始让学生回顾旧内容，再根据提出的问题，让学生对相似三角形的周长、高、中线、角平分线、面积之间的关系进行猜测，然后从理论上，对学生的猜测逐一进行证明。
从两相似三角形周长和面积两方面进行探索，让学生在探索中得出结论，在探索中培养学生初步的发现能力和概括能力。
27.2.3 相似三角形的周长与面积一、自主探究问题一：相似三角形、相似多边形的周长之间的关系 1、已知：△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k ，求证：'''ABC A B C C k C =V V2、猜想：相似多边形的周长之间有什么关系？3、根据以上两个问题你会得到什么结论？问题二：相似三角形对应高、面积之间的关系1、已知：△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k ，AD ，''A D 分别是高线，求证：''A D kA D=2、已知：△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k ，AD ，''A D 分别是高线，求证：'''2ABC A B C S k S =V V .B 'C ''CB 'C ''3、已知：四边形ABCD 相似于四边形A'B'C'D'，相似比为k ，它们的面积比是多少？4、根据以上讨论，归纳结论.问题三; 相似三角形对应中线、角的平分线之间的关系已知：△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k ，AD ，''A D 分别是中线，则''A D A D的值是多少？若AD ，''A D 分别是角平分线呢？由此你会得到什么结论？二、尝试应用1、(2010福建泉州市惠安县)两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）A.9:1B. 3:4C.9：4D.3:16 2、(2010重庆市)已知△ABC 与△DEF 相似且对应中线的比为2:3，则△ABC 与△DEF 的周长比为_____________.3、如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，△ABC 的周长是24，面积是48，求△DEF 的周长和面积．D CB ADC 'D'CE FA 'B 'C 'D '三、补偿提高1、（2010重庆潼南县）△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为.2、（2009年宜宾）若一个图形的面积为2，那么将它与成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为（）A.8B. 6C.4D.23、(2009年安顺)如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.其中正确的有：A．0个B．1个C．2个D3个4、如图，有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC=12cm，高AD=8cm要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍，问加工成的铁片的面积是多少?。
23.2.3关于原点对称点的坐标(导学案)九年级数学上册(人教版)
23.2.3 关于原点对称点的坐标导学案1.能够正确认识关于原点对称的两点坐标间的关系.2.能够运用关于原点对称的两点坐标间的关系，在平面直角坐标系中作图.3.经历了观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、动手能力、观察能力，以及与他人合作交流的能力.★知识点1：在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P ′(x，y).★知识点2：在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形的一般步骤：1）确定关键点(通常为图形顶点等特殊点)的坐标；2）写出关键点关于原点对称的点坐标；3）在直角坐标系中标出对称点的坐标；4）顺次连接对称点，所作的图形为所求图形.1.在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号_________，即点P（x，y）关于原点O的对称点P ′(______，____________).2.在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形的一般步骤：1）确定____________(通常为图形顶点等特殊点)的坐标；2）写出__________关于____________对称的点坐标；3）在直角坐标系中标出_____________的坐标；4）顺次连接________________，所作的图形为所求图形.【问题一】关于x轴对称的点的坐标的特点是什么？【问题二】关于y轴对称的点的坐标的特点是什么？【问题三】求点A (4，2)，B (0，–3)，C (2，1)，D (–1 ，2)，E (–3，–4)关于x轴、y轴对称点的坐标？[问题1]在直角坐标系中，做出下列已知点关于原点O的对称点，并写出它们的坐标.A (4，0)，B (0，–3)，C (2，1)，D (–1 ，2)，E (–3，–4).[问题2]在直角坐标系中，关于原点对称的两个点，它们的横坐标、纵坐标有什么关系？你发现了什么？[问题3]简述在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系？例1 写出下列各点关于原点的对称点的坐标：1）点A（3，4）关于原点对称的点的坐标A′（，）；2）点B（–2，3）关于原点对称的点的坐标B′（，）；3）点C（0，5）关于原点对称的点的坐标C′（，）；4）点D（5，0）关于原点对称的点的坐标C′（，）.【针对训练】1．在平面直角坐标系中，点A(3,4)关于原点O的对称点是点A′，则OA′=（）A．3B．4C．5D．√52．已知点A(a，2018)与点A′(－2019，b)是关于原点O的对称点，则a＋b的值为()A．1B．5C．6D．43．若点A(a+b,1)与点B(−5,a−b)关于原点对称则点P(a，b)的坐标是（）A．(2,3)B．(3,2)C．(−2,−3)D．(−3,2)4．在平面直角坐标系中，有A(−1,−2)，B(2,−1)，C(−2,−1)，D(−2,1)四点，其中关于原点对称的两点为（）A．点A和点C B．点B和点C C．点C和点D D．点B和点D例2 填空：若设点M(a,b)，点M关于x轴的对称点M1（，）；点M关于y轴的对称点M2（，）；点M关于原点对称点M3（，）.【针对训练】1 填空：1）点A(m, – 2)，B(2, n)关于x轴对称，则m=____，n=____.2）点A(m, – 2)，B(2, n)关于y轴对称，则m=_____，n=_____.3）点A(m, – 2)，B(2, n)关于原点对称，则m=_____，n=_____.例3 已知a<0，则点P(a2，a+1)关于原点的对称点P′在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【针对训练】1 直角坐标系第二象限内的点P（x2+2x，3）与另一点Q（x+2，y）关于原点对称，试求x+2y的值．2．已知点P(a,2−a)关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）[作图1]利用关于原点对称的点的坐标的特点，作与线段AB关于原点对称的图形.[作图2]已知★ABC利用关于原点对称的点的坐标的特点，作与★ABC关于原点对称的图形.[问题]简述在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形的一般步骤？例4 如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1,2)，B(3,3)．先作菱形OABC关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（）A．(2,1)B．(1,2) C．(2,1) D．(2,1)【针对训练】1 如图，在平面直角坐标系中，★ABC 的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）请解答下列问题：(1)画出★ABC 关于y 轴对称的★A1B1C1，并写出A1的坐标．(2)画出★ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到的★A2B2C2，并写出A2的坐标．(3)画出★A2B2C2关于原点O 成中心对称的★A3B3C3，并写出A3的坐标．2 在如图所示编号为★、★、★、★的四个三角形中，关于x轴对称的两个三角形的编号为_________；关于y轴对称的两个三角形的编号为_________；关于原点O对称的两个三角形的编号为__________.1．已知点A（x1，y1）与点B（x2，y2）关于原点对称，若x1+y1=2，则x2+y2的值为（）A．2B．12C．−12D．−22（1）点A(−1,2)关于y轴的对称点坐标是_________；点A关于原点的对称点的坐标是________；点A关于x轴对称的点的坐标为__________；（2）若A(m+4,n)和点B(n−1,2m+1)关于x轴对称，则m=______，n=______；（3）已知点M(x,y)与点N(−2,−3)关于x轴对称，则x+y=_______；（4）已知点P(a+3b,3)与点Q(−5,a+2b)关于y轴对称，则a=______，b=_______．1．（2022·广西·统考中考真题）如图，数轴上的点A表示的数是1，则点A关于原点对称的点表示的数是（）A．2B．0C．1D．22．（2022·四川自贡·统考中考真题）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(−2,5)，则点C的坐标为（）A．(5,−2)B．(2,−5)C．(2,5)D．(−2,−5)3．（2023·四川泸州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，若点P(2,−1)与点Q(−2,m)关于原点对称，则m的值是．1.简述在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系？2.简述在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形的一般步骤？【参考答案】[问题1]在直角坐标系中，做出下列已知点关于原点O的对称点，并写出它们的坐标.A (4，0)，B (0，–3)，C (2，1)，D (–1 ，2)，E (–3，–4).A′ (– 4，0)，B ′ (0，3)，C ′ (–2，–1)，D ′(1 ，–2)，E ′ (3，4).[问题2]在直角坐标系中，关于原点对称的两个点，它们的横坐标、纵坐标有什么关系？你发现了什么？1.两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.2.第一象限内的点关于原点的对称点在第三象限，第二象限内的点关于原点的对称点在第四象限，坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上.[问题3]简述在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系？两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P ′(x，y)。
最新人教版九年级数学上册全册导学案
第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程——一元二次方程的相关概念一、新课导入1.导入课题：情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系）问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题）问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式BC2=2AC）问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题）2.学习目标：（1）会设未知数，列一元二次方程.(2)了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.3.学习重、难点：重点：一元二次方程的一般形式及相关概念.难点：寻找等量关系.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.（4）自学参考提纲：①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到.先去括号5000-100x-200x+4x2=3600移项合并同类项4x2-300x+1400=0系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场.设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场.整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28.你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到.去括号x2-12x=28系数化为1(两边同乘以2) x2-x=562.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程.②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化：（1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.（2）练习：根据下列问题列方程①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长.1x(x-3)=92③4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长x. 4x2=25④一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. x(x-2)=100⑤把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.x=(1-x)21.自学指导：（1）自学内容：教材第3页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：观察方程①②③，从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们共同的特点.（4）自学参考提纲：①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是a x2+b x+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？因为a=0时，未知数的最高次数小于2.③同桌之间相互说说方程①②③的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项各是什么.方程①x2+2x-4=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：2x 一次项系数：2常数项：-4方程②x2-75x+350=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-75x 一次项系数：-75 常数项：350方程③x2-x=56 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-x 一次项系数：-1常数项：-56④举例说明什么是一元二次方程的根.⑤自学例题，说说把一元二次方程化为一般形式，要经过哪些变形？去括号，移项，合并同类项.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号.②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.（2）生助生：生生互动交流、订正错误.4.强化:(1)交流总结：确定一元二次方程各项的系数时，若方程不是一般形式，要先经过去括号、移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式，通常习惯把二次项系数化为正数，且各项系数均为整数且互质，在指出各项系数时，一定要带上各项前面的符号.(2)练习：①将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：5x2-1=4x；4x2=81；解：原式化为5x2-4x-1=0解：原式化为4x2-81=0二次项系数：5一次项系数：-4常数项：-1二次项系数：4一次项系数：0常数项：-81 4x（x+2）=25；(3x-2)(x+1)=8x-3.解：原式化为4x2+8x-25=0解：原式化为3x2-7x+1=0二次项系数：4一次项系数：8常数项：-25二次项系数：3一次项系数：-7常数项：1②若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≥0且m≠1.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有什么困惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生参与学习的情况，回答问题，小组互动情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:(1)注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.(2)教师创设情境，给出实例，学生积极主动探究，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.(3)增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（C）A. 3，5B. 3，0C. 3，-5D. 5，02.（10分）下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 4.解：－4，33.（20分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x2+1=6x；（2）4x2=81－5x；解：原式化为3x2-6x+1=0 解：原式化为4x2+5x-81=0二次项系数：3 二次项系数：4一次项系数：-6 一次项系数：5常数项：1 常数项：-81（3）x(x+5)=5x－10; （4）(3x－2)(x+1)=x(2x－1).解：原式化为x2+10=0 解：原式化为x2+2x-2=0二次项系数：1 二次项系数：1一次项系数：0 一次项系数：2常数项：10 常数项：-24.（30分）根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少？解：设长方形的长为x cm，则宽为(x-1)cm，根据题意，得x(x-1)=132，整理，得x2-x-132=0.（2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的平方的长方形?解：设长方形的长为x m，则宽为(0.5-x)m.根据题意，得x(0.5-x)=0.06,整理，得50x2-25x+3=0.（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得x(x-1)=10整理，得x2-x-20=0二、综合应用（20分）5.（20分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，则x满足的方程是（B）A. x2+130x-1400=0B. x2+65x-350=0C. x2-130x-1400=0D. x2-65x-350=0三、拓展延伸（10分）6.（10分）如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根.解：将2代入原方程中,得22-c=0，得c=4.将c=4代入原方程，得x2-4=0.解得x=±2.即方程的另一个根为-2.21.2解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法一、导学1.导入课题：情景：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，求盒子的棱长.问题1：本题的等量关系是什么？问题2：设正方体的棱长为x dm，请列出方程并化简.问题3：根据平方根的意义解方程x2=25.由此导入并板书课题直接开平方法.2.学习目标：(1)能根据平方根的意义解形如x2=p及a x2+c=0的一元二次方程.(2)能运用开平方法解形如(m x+n)2=p(p≥0)的方程.(3)体会“降次”的数学思想.3.学习重、难点：重点：运用开平方法解形如(m x+n)2=p(p≥0)的方程.难点：降次的数学思想.4.自学指导：(1)自学内容：教材第5页到第6页“练习”之前的内容.(2)自学时间：10分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①根据平方根的意义，解方程：x2=36；2x2-4=0；3x2-4=8.x=±6，x2=2，x2=4，x1=6，x2= -6. x=±2，x2=±2，x1=，x2= -. x1=2，x2= -2.②当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根x1= -x2=.当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根x1=x2=0.当p<0时，方程x2=p无实数根.③探究方程(x+3)2=5的根：因为(x+3)2=5，所以x+3是5的平方根,所以x+3等于5或-5.即x+3=,或x+3= -.解x+3=,得x1=-3；解x+3=-,得x2= --3.于是，方程(x+3)2=5的根为x1=-3, x2= --3.解方程(x+3)2=5的过程实质上是把一个一元二次方程降次,转化为两个一元一次方程,再解两个一元一次方程即得原方程的解.二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：看学生能否顺利解决所给问题，注意书写格式方面存在的问题.(2)差异指导：注意帮助学困生复习平方根等知识，紧扣平方根讨论p的符号与方程的解的个数的关系.2.生助生：同桌之间互相批改，相互讨论改正错误.四、强化1.教师示范：解方程x2+4x+4=1.分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.解：由已知，得：(x+2)2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1或x+2=-1所以，方程的两根为x1= -1，x2= -3.2.练习：解下列方程：3.上面的方程都能化成x2=p或(m x+n)2=p(p≥0)的形式，那么可由“降次”得到x=±或m x+n=±p≥0)求解.4.以师生对话的形式讨论(m x+n)2=p的解的个数问题.五、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：你会解哪些形式的一元二次方程？怎样解？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习态度、方法、积极性及存在的不足之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：(1)本课时通过创设问题情景，激发学生探究新知的欲望.(2)本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫.(3)教师引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解决问题的能力.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(80分)1.(10分)一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是(D)A. x-6= -4B. x-6=4C. x+6=4D. x+6= -42.(10分)方程3x2+9=0的根为(D)A. 3B. －3C. ±3D. 无实数根3.(10分)若8x2-16=0，则x的值是±2.4.(10分)已知方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是x1=9,x2= -3.5.(40分)解下列方程:(1) 4x2=81；(2) (x＋6)2－9=0；解：由已知，得：x2=，解：由已知，得：(x+6)2=9，直接开平方，得x=±，直接开平方，得x+6=±3，所以方程的两根为x1=，x2= -. 所以方程的两根为x1= -3, x2= -9.(3) x2+2x+1=4；(4) 9x2+6x+1=4.解：由已知，得：(x+1)2=4，解：由已知，得：(3x+1)2=4，直接开平方，得x+1=±2，直接开平方，得3x+1=±2，所以方程的两根为x1=1, x2= -3. 所以方程的两根为x1= -1, x2=.二、综合应用(10分)6.(10分)如果x=3是一元二次方程a x2=c的一个根，则方程的另一根是(B)A. 3B. -3C. 0D. 1三、拓展延伸(10分)7.(10分)解关于x的方程(x+m)2=n.解：①当n>0时，此时方程两边直接开方.得x+m=±，方程的两根为x1=-m,x2= --m.②当n=0时，此时(x+m)2=0,直接开方得x+m=0,方程的两根为x1=x2= -m.③当n<0时，因为对任意实数x，都有(x+m)2≥0，所以方程无实数根.21.2.1配方法第2课时配方法一、新课导入1.导入课题：情景：请把方程(x+3)2=5化成一般形式，并由一名学生口答.问题：(追问)那么你能将方程x2+6x+4=0转化为(x+3)2=5的形式吗？由此导入课题.(板书课题)2.学习目标：(1)知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，会用配方法解一元二次方程.(2)通过配方进一步体会“降次”的转化思想.3.学习重、难点：重点：用配方法解一元二次方程.难点：配方的方法.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第6页“探究”到第7页例1上面的部分.(2)自学时间：6分钟.(3)自学方法：完成下面的探究提纲，如果觉得有困难就先完成②，③，再完成①.(4)探究提纲：①解方程x2+6x+4=0.移项：把常数项移到方程的右边，得x2+6x= -4；配方：两边都加9，使得左边配成x2+2b x+b2的形式，得x2+6x+9=；变形：把左边写成完全平方形式，得(x+3)2=5；降次：运用平方根的定义把方程转化为两个一元一次方程，得x+3=±；求解：解两个一元一次方程，得x1=-3, x2= --3.②回忆完全平方公式填空：a2+2ab+b2=(a+b )2，x2+6x+9=(x+3)2.③为什么要在x2+6x=-4两边加9而不是其他数？因为两边加9，式子左边可以恰好凑成完全平方式.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生配方时的难点和易错点.②差异指导：根据具体情况指导学生配方.(2)生助生：小组内相互交流研讨，订正错误.4.强化：(1)配方的依据和步骤.(2)试一试：对下列各式进行配方：1.自学指导：(1)自学内容：教材第7页到第9页的例1.(2)自学时间：10分钟.(3)自学方法：认真阅读分析和解答过程，注意把方程转化为你能解的形式.(4)自学参考提纲：①仿照方程x2+6x+4=0的解法解方程(1)，然后对照课本纠错.②方程(2)、(3)中是怎样化二次项系数为1的？方程两边同除以原二次项的系数③方程(3)没有实数根的依据是什么？实数的平方是非负数.④用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？移项时需注意改变符号.⑤请小结用配方法解一元二次方程的一般步骤.①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.⑥解方程(x+n)2=p.①当p>0时,则x+n=±,方程的两个根为x1=-n, x2= --n.②当p=0时,则(x+n)2=0,开平方得x+n=0,方程的两个根为x1=x2= -n.③当p<0时,则方程(x+n)2= p无实数根.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：主要了解学生解方程配方时是否存在困难，计算是否错误，书写格式是否规范.②差异指导：针对学生在学习中出现的问题予以指导.(2)生助生：生生互动，交流研讨.4.强化：(1)用配方法解一元二次方程的一般步骤.(2)用配方法解方程：三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：你会用配方法解一元二次方程吗？本节课你学习了哪些知识？2教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习参与情况、小组交流协作状况、学习效果及不足等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)本节课，重在让学生自主参与，进而获得成功的体验，在数学方法上，仍突出数学研究中转化的思想，激发学生产生合理的认知冲突，激发兴趣，建立自信心.(2)在练习内容上，有所改进，加强了核心知识的理解与巩固，提高了自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，提高教学效果.(3)用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法，后面的求根公式是在配方法的基础上推出的，配方法在使用时又与原来学习的完全平方式联系密切，用配方法解一元二次方程既是对原来知识的巩固，又是对后面学习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求解中也同样使用的是配方法，因此配方法是一种基本的数学解题方法.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(70分)1.(10分)用配方法解方程-x2+6x+7=0时，配方后得的方程为(B)A. (x+3)2=16B. (x-3)2=16C. (x+3)2=2D. (x-3)2=22.(20分)填空.(1) 4x2+4x+1=(2x+1)2(2) x2－x+=(x-)23.(40分)用配方法解下列方程.(1)x2+10x+9=0；(2)4x2-12x－7=0;解：移项,x2+10x=-9, 解：移项，4x2-12x=7,配方,x2+10x+25=16, 系数化为1，x2-3x=,(x+5)2=16, 配方，x2-3x+=4,x+5=±4, ( x-2=4,方程的两个根为x1=-1，x2= -9. x-=±2,方程的两个根为x1=72，x2= -12.(3) x2+4x－9=2x－11; (4) x(x+4)=8x+12解：移项,x2+2x= -2, 解：化简移项,x2-4x=12,配方,x2+2x+1= -1, 配方,x2-4x+4=16,(x+1)2= -1, (x-2)2=16,方程没有实数根. x-2=±4,方程的两个根为x1=6,x2= -2.二、综合应用(10分)4.(10分)用配方法解方程4x2-x-9=0.三、拓展延伸(20分)5.(20分) 当a为何值时，多项式a2+2a+18有最小值？并求出这个最小值. 解：对原式进行配方，则原式=(a+1)2+17∵(a+1)2≥0,∴当a= -1时，原式有最小值为17.21.2.2公式法——根的判别式及求根公式一、新课导入1.导入课题：(1)用配方法解一元二次方程的步骤是什么？(2)你能用配方法解一般形式的一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)吗？我们继续学习另一种解一元二次方程的方法——公式法.2.学习目标：(1)知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式直接判断一元二次方程的根的情况.(2)会用公式法解一元二次方程.3.学习重、难点：重点：用求根公式解一元二次方程.难点：计算时的符号处理.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第9页到11页例2之前的内容.(2)自学时间：15分钟.(3)自学方法：认真阅读书上的内容，并动手推导出求根公式.(4)自学参考提纲：②Δ=b2－4ac叫做一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的根的判别式.当b2－4ac>0时，方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；当b2－4ac=0时，方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；当b2－4ac<0时，方程a x2+b x+c=0(a≠0)无实数根.注意：上述的叙述，反过来也成立.③当Δ≥0时，一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的求根公式.④不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.x2+5x+6=0；9x2+12x+4=0；Δ=b2-4ac=52-4×1×6=1>0 Δ=b2-4ac=122-4×9×4=0方程有两个不等的实数根. 方程有两个相等的实数根.2x2+4x－3=2x－4；x(x+4)=8x+12.方程化为2x2+2x+1=0 方程化为x2-4x-12=0Δ=b2-4ac=22-4×2×1=-4<0 Δ=b2-4ac=(-4)2-4×(-12)=64>0方程无实数根. 方程有两个不等的实数根.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生配方的过程以及配方后是否讨论.②差异指导：指导学生配方变形；指导学生对b2－4ac的符号进行讨论.(2)生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：(1)公式的推导，判别式定义解读；(2)练习：不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.1.自学指导：(1)自学内容：教材第11页到第12页的例2.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：阅读解答过程，注意解题步骤和格式.(4)自学参考提纲：①先独立运用公式法解所给方程，然后对照课本找错误、分析错因.x2-4x-7=0；2x2-22x+1=0；5x2-3x=x+1；x2+17=8x.x1=2+x1=x2=x1=1 无实数根x2=2-x2= -②说说运用公式法解一元二次方程的一般步骤，有哪些易错点？先将方程化为一般形式，确定a,b，c的值；计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解；若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根，若Δ<0，方程无实数根.计算Δ时，注意a,b,c符号的问题.③解答本章引言中的问题.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：看学生能否从例2的学习中总结出用公式法解方程的一般步骤及注意事项.②差异指导：注意强调运用公式法解方程的前提条件.(2)生助生：同桌之间互相找错，分析错因.4.强化：(1)用公式法解一元二次方程的一般解题步骤及注意事项.(2)解下列方程：三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？有何收获或不足？你知道一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的根的判别式与其根的个数有什么关系吗？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习效果、方法及不足之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)本课时容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此教学设计各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开，问题设计、课堂学习有利于学生强化运算能力、掌握基本技能，也有利于教师发现教学中存在的问题.(2)在教学设计中，引导学生自主探究一元二次方程的求根公式，在师生讨论中发现求根公式，并学会利用公式法解一元二次方程.(3)整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探究活动，体验到成功的喜悦.(4)公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它使解一元二次方程更加简便，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法解一元二次方程得到延续和深化.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(80分)1.(10分)一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是(B)A. b2-4ac=0B. b2-4ac＞0C. b2-4ac＜0D. b2-4ac≥02.(10分)已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0.下列说法正确的是(B)A. ①②都有实数解B. ①无实数解，②有实数解C. ①有实数解，②无实数解D. ①②都无实数解3.(10分)利用求根公式求5x2+＝6x的根时，a，b，c的值分别是(C)A. 5，，6B. 5，6，C. 5，-6，D. 5，-6，-4.(20分)不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)x2－3x－32=0；(2) 16x2－24x+9=0；方程有两个不等的实数根. 方程有两个相等的实数根.(3)x2－42x+9=0；(4)3x2+10=2x2+8x.解：Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×9= -4<0, 解：方程化为x2-8x+10=0方程无实数根. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×10=24>0方程有两个不等的实数根.5.(30分)用公式法解下列方程：二、综合应用(10分)6.(10分)解方程x2=3x+2时，有一位同学解答如下：请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程.解：有错误，方程化为标准形式x2-3x-2=0, ∴a=1,b= -3,c= -2, b2-4ac=17.三、拓展延伸(10分)7.(10分)无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗？给出你的答案并说明理由.解：方程化简为x2-5x+6-p2=0.∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,∴Δ>0.∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.21.2.3 因式分解法一、新课导入1.导入课题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后物体离地面的高度(单位：m)为：10x-4.9x2.问题1：你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？问题2：设物体经过x s落回地面，请说说你列出的方程.问题3：你能用配方法或公式法解这个方程吗？是否还有更简单的方法呢？(板书课题)2.学习目标：(1)会用因式分解法解一元二次方程.(2)能选用合适的方法解一元二次方程.3.学习重、难点：重点：用因式分解法解一元二次方程.难点：选择合适的方法解一元二次方程.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第12页到第13页的内容.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：可先解答②，再解答①.(4)自学参考提纲：①解方程10x-4.9x2=0.分解因式：左边提公因式，得x(10-4.9x)=0，降次：把方程化为两个一次方程，得x=0或10-4.9x=0，求解：解这两个一次方程，得x1=0, x2=.②将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？提公因式法，公式法，十字相乘法用因式分解法解一元二次方程的依据是：如果ab=0，则a=0或u.③请小结因式分解法解一元二次方程的步骤：移项，合并同类项，因式分解，写出一元二次方程的根.④解下列方程：(x-2)·(x-3)=0；4x2－11x=0.x1=2, x2=3 x1=0, x2=2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：是否理解用因式分解法解一元二次方程的依据，是否掌握用因式分解法解方程的步骤.②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.(2)生助生：小组内互相交流、研讨.4.强化：(1)用因式分解法解方程的一般步骤：第一步，把方程变形为x2+p x+q=0的形式；第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式；第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式；第四步，解两个一次方程，求出方程的根.(2)点两名学生板演第④题，并点评.1.自学指导：(1)自学内容：教材第14页例3及“归纳”.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：先独立作业，然后小组互相改正.(4)自学参考提纲：①方程x(x-2)+x-2=0左边可用提公因式法进行因式分解，分解为(x+1)(x-2).②方程5x2-2x-=x2-2x+左右两边都有含未知数的项，无法因式分解，因此，可先将其化为一般形式4x2-1=0，再用平方差公式法对左边进行因式分解.③说说运用因式分解法解一元二次方程要注意哪些问题.④解下列方程:2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生对运用因式分解法解一元二次方程的方法是否掌握.②差异指导：指导学生观察题目特点，选用适当的方法分解因式.(2)生助生：同桌之间互相改错、分析错因.4.强化：(1)点6名学生板演自学参考提纲第④题，并点评.(2)说说运用因式分解法解一元二次方程要注意的问题.1.自学指导：(1)自学内容：选择合适的方法解一元二次方程.(2)自学时间：15分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①直接开平方法适用于哪种形式的方程？x2=p；配方法适用于哪种形式的方程？(m x+n)2=p；公式法适用于哪种形式的方程？a x2+b x+c=0(a≠0)；因式分解法适用于哪种形式的方程？x2-(m+n)x+mn=0.②前面这些解法各有什么优缺点？③解一元二次方程的基本思想是什么？④选择适当的方法解下列方程：。
数学九年级下册全套导学案(pdf版含答案)(1)
人教版数学九年级下册全套导学案26.1.1反比例函数§26.1 反比例函数1.认识反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型.2.经历由实际问题抽象反比例函数的过程，掌握反比例函数的概念.3.能够根据已知条件求反比例函数的解析式.试一试反比例函数的概念1.回答下列问题（1）京沪线铁路全程为1463km ，某次列车的平均速度v（单位：km/ h ）随此次列车的全程运行时间t （单位：h ）的变化而变化.问题中有两个变量与，当一个量变化时，另一个量随着它的变化而变化，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应.因此变量间具有函数关系，它的解析式为 .（2）某住宅小区要种植一块面积为1000m2 的矩形草坪，草坪的长y （单位：m ）随宽x（单位：m ）的变化而变化. 问题中有两个变量与，当一个量变化时，另一个量随着它的变化而变化，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应.因此变量间具有，它的解析式为.（3）已知北京市的总面积为1.68 104 km2 ，人均占有面积S （单位：km2 / 人）随全市总人口n （单位：人）的变化而变化. 问题中有两个变量与，当一个量变化时，另一个量随着它的变化而变化，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应. 因此变量间具有，它的解析式为.答案：1.（1）t，v，t，v，t，v，v1463；（2）x，y，x，y，x，y，函数关系，y t=1000；x1.68 ⨯104 k（3）n，S，n，S，n，S，函数关系，Sk = ；小结：（1） y = ，非零常数； n x（2）x ，y ，x ，不等于 0 的一切实数；（3）分母，无意义；（4）自变量，函数.根据已知条件求反比例函数解析式 1．已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x = 2 时， y = 6 .（1）写出 y 关于 x 的函数解析式；（2）当 x = 4 时，求 y 的值.解：（1）因为 y 是 x 的 ，所以设 .又因为 x = 2 时， y = 6 ，所以有，解得， 因此 y = .（2）把 x = 4 代入，得 y = . 2. 近视眼镜的度数 y （单位：度）与镜片焦距 x （单位：m ）成反比例.已知 200 度近视眼镜的镜片焦距为0.5m ，则 y 与 x 之间的函数解析式是. 答案：1.（1）反比例函数，y= ，6 = x试一试k 12，k=12，2 x；（2）y12，3；2.xy 100.x 题组一1.用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：（1）某厂现有 300 吨煤，这些煤能烧的天数y（单位：天）随平均每天烧的吨数x（吨/天）的变化而变化.那么y 与x 之间的函数关系式是.（2）一个物体重100N，物体对地面的压强p （单位：Pa）随物体与地面的接触面积S（单位：m2 ）的变化而变化.那么p 与S 之间的函数关系式是.2.下列函数：① y做一做2x1；②y4=-；③yx⑤ xy =15；⑥y=2，其中y 是x 的反比例函数的是（填序号）. x 23.在xy + 2 = 0 中，y 是x 的（）A.一次函数B.反比例函数C. 正比例函数D.既不是正比例函数也不是反比例函数答案：1.（1）y300；（2）p x=300；2. ②④⑤；3. B. S题组二1.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强，如下表：体积 x （mL）100 80 60 40 20压强 y（kPa） 60 75 100 150 300则可以反映y 与x 之间的关系的式子是（）3000 6000A. y =3000x做一做B. y 6000xC.y =D. y =x x2.已知y 与x2 成反比例，并且当x = 3 时，y = 4 .（1）写出y 关于x2 的函数解析式；（2）当x = 1.5 时，求y 的值；（3）当y = 4 时，求x 的值.答案：1.D；2.（1）因为y 与x2 成反比例，所以设y =k k. 又因为 x = 3 时， y = 4 ，所以x 2 有4 = ，解得k = 36 ，因此 y =3236；（2）将x=1.5代入y = x36得y 16；（3）将x2 y = 6代入 y = 36得 x = ± 6 .x 1. 若 y = (a +1)xa -2 是反比例函数，则 a 的取值为 .2. 已知函数 y = 能力拓展m + 3 x1-m2-3m是反比例函数，则m2 2m = .3.反比例函数y=k在x = 2 处自变量增加 1，函数值相应地减少了2 x 3小结：（1）反比例函数y = 中 k≠0，自变量 x 的指数为；k x （2） y 与 x 成正比例， x 与 z 成反比例，则 y 与 z 成. 6 ，则 k= .4.若 y 与 x 成正比例， x 与 z 成反比例，且当 z = 2 时， y = -3，则 y 与 z 的函数解析式是 .答案：1. 1；2. 0；3. 4；4. y = -6 ；小结：（1）-1；（2）反比例. x 26.1.2 反比例函数的图像和性质1. 会根据解析式画反比例函数的图像，归纳反比例函数的图像特征和性质.2. 灵活运用反比例函数的图像和性质解决问题.3. 感悟反比例函数的解析式与图像之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法. 反比例函数的图像和性质 1. 通过描点法画出下列反比例函数的图像.（1） y = （2） y = 12 x x解：列表表示几组 x 与 y 的对应值（填空）：x … -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 12 … y = 6xy = 12 x图26.1-12. 通过描点法画出下列反比例函数的图像.（1） y = - 6x试一试（2）y =-12 x答案：1. 略；小结（2）一、三，一、三，减小；（3）减小；2. 略；小结：（3）二、四，二、四，上升，增大；（4）二、四，增大.反比例函数的图像和性质的运用1.已知反比例函数的图像经过点A(2,6) .（1）这个函数的图像位于哪些象限？y 随x 的增大如何变化？（2）点B(3,4) ，C(-2试一试1, 4 2k k 14) ， D (2,5) 是否在这个函数图像上？ 5解：（1）因为点 A (2,6) 在 象限，所以这个函数的图像位于 象限，在每一个象限内， y 随 x 的增大而.（2）设这个反比例函数的解析式为 y = ，因为点 A (2,6) 在其图像上，所以点 A 的坐x标满足 y = ，即 ，解得 k=.所以这个反比例函数的解析式为，x因为点满足该解析式，点 不满足该解析式，所以点在这个函数图像上，点 不在这个函数图像上. 2. 下列反比例函数：① y = - 2x②y =③ 7 y =-103x x④ y3 100x（1）图像位于第一、三象限的是 ； （2）图像位于第二、四象限的是 .小结：1. 如果任意一点的坐标满足函数解析式，那么这个点就在其图像上，否则，就不在其图像上.2. 反比例函数图像的位置以及 y 如何随 x 的变化而变化的情况，只与有关.函数 图像位置 图像变化趋势y = kxk > 0 第一、三象限 在每个象限内， y 随 x 的增大而减小 k < 0第二、四象限在每个象限内， y 随 x 的增大而增大3. 如图 26.1-2，它是反比例函数 y =m - 5 图像的一支.根据图像，回答下列问题：x（1）图像的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？（2）在这个函数图像的某一支上任取点 A (x 1，y 1) 和点 B (x 2，y 2 ) ，如果 x 1 > x 2 ，那么y 1和 y 2 有怎样的大小关系？图 26.1-2解：（1）反比例函数的图像只有两种可能：位于象限，或者位于象限.因为这个函数的图像的一支位于第 象限，所以另一支必位于第象限. 因为这个函数位于象限，所以 m-5，解得.（2）因为 m-5 ，所以在这个函数图像的任一支上，y 都随 x 的增大而，因此当 x 1 > x 2 时，.4. A (-1, y ) ， B (1, y ) ， C (3, y ) 是反比例函数 y = - 1图像上的三点，请你正确排出123xy 1，y 2，y 3 的大小顺序.k 12 答案：1.（1）第一，第一、三，减小；（2） 6 =，12， y =，B 、C ，D ，B 、C ，D ；2.2x（1）②④；（2）①③；小结：2. k 的正负；3，（1）第一、三，第二、四，一，三，一、三， ＞0，m ＞5；（2）＞0，减小， y 1 < y 2 ；4. y 2 < y 3 < y 1 ；小结：（2）原点.反比例函数的几何意义k1. 如图 26.1-3 所示，反比例函数 y =试一试(k ≠ 0) 的图像上任取一点P(x, y) ，过这一点分别x作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足分别为点M 、N ，所得的矩形PMON 的面积为多少？图 26.1-3k解：矩形PMON 的面积S = ，因为y =，所以xy =k ，所以S= ，即过x双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形面积为.k2.如图 26.1-3 所示，反比例函数y =k (k ≠ 0) 的图像上任取一点 E (x , y ) ，过 E 作 xEF ⊥ y 轴于点 F ，连接OE ，所得三角形 EOF 的面积为多少？ 解：三角形 EOF 的面积 S= ，因为 y = ，所以 xy = k ，所以 S=， x即过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，并将该点与原点相连，所得的三角形的面积为 .答案：1. PM ⋅ PN =y ⋅x =xyk k， ， ，k ，k ；2. 1 EF ⋅ OF =1x ⋅ y = 1xy1 1.22 22 2题组一1. 下列图像中是反比例函数图像的是（ ）（A ）（B ）2. 填空学习迁移做一做k （C ）（D ） 5（1）反比例函数 y =的图像在第象限.x（2）反比例函数 y = 的图像如图 26.1-4 所示，则k0；在图像的每一支上，y 随 xx的增大而.图 26.1-43. 对于反比例函数 y =3 ，下列说法正确的是（ ）xA.图像经过点(-1,3)a 2B. 图像位于第二、第四象限C. x > 0 时， y 随 x 的增大而增大D. x < 0 时， y 随 x 的增大而减小4.当a ≠ 0 时，函数 y = ax +1与函数 y = 在同一坐标系中的图象可能是()x答案：1.C ；2.（1）一、三；（2）>，减少；3.D ；4.C.题组二k1. 若点 P 1(-1,m ) P 2 (-2, n ) 在反比例函数 y = x(k > 0) 的图像上，则m n （填“>”“<”或“=”） 2. 已知点 A (x 1, y 1) ， B (x 2 , y 2 ) ， C (x 3, y 3 ) 是函数 y = - xx 1 < 0 < x 2 < x 3 ，则 y 1, y 2 , y 3 的大小关系是3 + 2m图 像 上 的 三 点 ， 且3. 已知 A (-1, y 1) ， B (2, y 2 ) 两点在双曲线 y = （ ）做一做，且y1 >y2 ，则m 的取值范围是xA.m >0B.m 0C.m >-3 2D.m <-3 2答案：1.<；2. y2 <y3 <y1 ；3.D.题组三k1.如图26.1-5 所示，M 为反比例函数y =的图像上的一点，MA⊥y轴，垂足为A，△MAOx的面积为2，则k 的值为.2.如图26.1-6，点A 在函数y =做一做4 4 ( x > 0) 的图象上，且OA = 4 ，过点 A 作 AB ⊥ x 轴于x点 B ，则△ ABO 的周长为．图26.1-5 图26.1-6 3. 如图 26.1-7 所示，A 、B 两点在双曲线 y = ，分别经过 A 、B 两点向坐标轴作垂线段，x已知 S 阴影 = 1，则 S 1+ S 2 等于（ ） A. 3B. 4C. 5D.6图 26.1-7图 26.1-84 4. 如图 26.1-8 所示，函数 y = -x 与函数 y = -x6 的图像相交于 A ，B 两点，过 A ，B 两点 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C ，D ，则四边形 ACBD 的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 答案：1.4；2. 2 + 4 ；3.D ；4.D. 1. 如图 26.1-9，P 是双曲线 y =4( x > 0) 的一个分支上的一点，以点P 为圆心，1 个点位x长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y = 3相切时，点P 的坐标为. 图26.1-9 图26.1-102.如图26.1-10，在平面直角坐标系中，反比例函数y =k( x> 0) 的图像上有一点A(m,4)，x过点 A 作AB⊥x轴于点 B，将点 B 向右平移 2 个单位长度得到点 C，过点 C 作y 轴的平行线4交反比例函数的图像于点D，CD =.3（1）点D 的横坐标为（用含m 的式子表示）；（2）求反比例函数的解析式.3.如图 26.1-11，四边形ABCO 是平行四边形，OA = 2 ，AB = 6 ，点C 在x 轴的负半轴上，将□ABCO 绕点A 逆时针旋转得到□ADEF，AD 经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴k上，若点 D 在反比例函数y =( x< 0) 的图像上，则k 的值为.x图 26.1-11答案：1.（1，4）或（2，2）；2.（1）m+2；（2） CD =4，∴点 D 的坐标为(m + 2, 34) . 3点 A (m ,4) ，点 D (m + 2, 4 ) 在函数 y = k 的图像上，∴4m = 4(m + 2) ，解得 m=1，3 x 3∴k = 4m = 4 .∴反比例函数的解析式为 y = 4；3. 4 x§26.2 实际问题与反比例函数1.运用反比例函数的概念、图像、性质解决实际问题.2.经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程，进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识，激发学生学习兴趣.几何问题与反比例函数1.已知矩形面积为36cm 2，相邻的两条边长分别为 x cm 和 y cm ，则 y 与 x 之间的函数图像大致是（ ）A BC D2.市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m 3的圆柱形煤气储存室.（1）储存室的底面积 S （单位： m 2）与其深度d （单位： m ）有怎样的函数关系？（2）公司决定把储存室的底面积 S 定为500m 2，施工队施工时应该向地下掘进多深？ （3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m .相应地，储存室的底面积应改为多少？（结果保留小数点后两位） 解：（1）根据圆柱的体积公式，得，所以 S 关于d 的函数解析式为 ，其中是常量，是变量， S 是d 的函数.（2）由题意，把储存室的底面积 S 定为500m 2，也即 S = 500 ，将其代入 S 关于d 的函数解析式得，解得d =.因此，如果把储存室的底面积 S 定为500m 2，施工时应向地掘进深.（3）由题意，把储存室的深度改为15m ，也即d = 15 ，将其代入 S 关于d 的函数解析式得，解得 S ≈ .因此，如果把储存室的深度改为15m ，储存室的底面积应改为.4104104 答案：1.A ；2.（1） Sd = 10 ， S =，容积， S 、d ，反比例；（2） 500 =，dd3知识建构试一试。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
归纳演绎
基础练习
1、将方程2x(x-1)=3(x-5)-4化为一般形式，则二次项系数为，一次项系数为，常数项为。
2、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
3、已知方程（k+3）xK2-7+x-3=0是关于x的一元二次方程，求k的值。
4、用适当的方法解下列方程（并结合下列各题说明你怎样灵活应用这些方法的？）
九年级数学导学案
课题
一元二次方程复习导学案
课时
总课时
主备人
陈石松
组员
授课人
课型
教学目标
理解有关概念，掌握一元二次方程的解法及应用
教学重点
一元二次方程的解法
教学难点
一元二次方程的解法及应用二次Biblioteka 课浏览诊断知识梳理
1、概念部分
一元二次方程的定义中强调了哪几点？
一般形式是什么？
一般形式中的a、b、c的取值范围各是多少？
2、方程的解法
你学过哪些解一元二次方程的方法？
确认标示
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的
求根公式
2.根的判别式及应用
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式是
怎样利用根的判别式判断方程根的情况？（1）
（2）
（3）
3.根与系数的关系及应用
如果X ，X 是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则
2、关于x的一元二次方程 x2-(m-1)x-6=0的两根互为相反数，求m的值。
课后反思
（1）、x2+8x+16=3（2）、x2-6x-11=0
（3）、(x-2)(3x-5)=1（4）、x（3x＋2）=6(3x＋2)
5、不解方程直接判断下列方程根的情况
(1)x(2x-5)=-4(2) (3)x2–kx-(k+2) =0
及时演练
拓展应用
1、已知关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则a的值。
2、已知 是方程 的一个根，求方程的另一个根及c值。
3、已知二次方程x2-3x＋1=0的两根为α，β，求：
（1） （2）
4、已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+m+2=0的两个实数根的平方和等于6，求m的值。
课堂小结
学习小结：
谈谈你本节课的收获？你还有哪些疑惑？
布置作业
1、已知关于x的一元二次方程kx2+2x+3=0有两个相等的实数根，求k的值。