概率论与数理统计第11讲 二项概率公式
二项分布的概率计算公式
二项分布的概率计算公式好的，以下是为您生成的关于“二项分布的概率计算公式”的文章：在咱们学习数学的这个奇妙旅程中，有一个特别有趣的概念叫做二项分布。
这玩意儿听起来好像挺高深莫测的，其实啊，它就藏在咱们的日常生活里。
先来说说啥是二项分布。
比如说，咱们抛硬币，抛一次，正面朝上或者反面朝上，这就是两种可能的结果，而且每次抛硬币正面朝上的概率都是固定的。
如果咱们连着抛好多次，然后算算正面朝上出现特定次数的概率，这就是二项分布啦。
那二项分布的概率计算公式是啥呢？它是这样的：P(X=k) = C(n,k)* p^k * (1-p)^(n-k) 。
这里面的字母都有它的意思哦，n 表示试验的次数，k 表示成功的次数，p 是每次试验成功的概率。
我给您举个例子哈。
比如说，一个班级进行数学小测验，一共 20道选择题，每道题有四个选项，只有一个是正确的，学生纯靠蒙。
那蒙对一道题的概率就是 1/4 。
现在咱们想知道这个学生蒙对 5 道题的概率是多少。
这时候就用上二项分布的概率计算公式啦。
n 就是 20，k 是 5，p 是1/4 。
先算 C(20,5)，这就是从 20 个里面选 5 个的组合数，算出来是15504 。
然后 (1/4)^5 算出来是 1/1024 ，(1 - 1/4)^(20 - 5) 算出来是243/1024 。
最后把这些数乘起来，P(X=5) = 15504 * 1/1024 * 243/1024 ，算出来大概是 0.0369 。
这就是这个学生蒙对 5 道题的概率。
再比如说，投篮比赛，一个选手投 30 次，每次投中的概率是 0.6 ，那他投中 18 次的概率是多少？同样的道理，用公式算一下，就能得出答案啦。
二项分布的概率计算公式在实际生活中的应用可多了去了。
像质量检测的时候，一批产品，知道不合格的概率，然后算抽检中出现几个不合格产品的概率；或者调查某种疾病的发病率，预测在一定数量的人群中会有多少人患病等等。
概率论与数理统计公式整理
概率论与数理统计公式整理在现代数学中，概率论与数理统计是两个重要的分支。
其中概率论是研究随机事件发生的可能性或概率的科学。
而数理统计则是利用概率论的方法，对已经发生的随机事件进行统计分析和推断。
本文将整理概率论与数理统计中常用的公式。
一、基本概率公式1.概率：$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$其中，$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$n(A)$表示事件$A$所包含的基本事件的个数，$n(S)$表示所有基本事件的个数。
2.加法原理：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$其中，$A$和$B$是两个事件，$A\cup B$表示事件$A$和事件$B$中至少有一个发生的概率，$A\cap B$表示两个事件同时发生的概率。
3.条件概率：$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$其中，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。
4.乘法定理：$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$其中，$P(A\cap B)$表示两个事件同时发生的概率，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。
二、概率分布1.离散随机变量的概率分布律：$\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{p(x_i)}=1$其中，$p(x_i)$表示离散随机变量取值为$x_i$的概率。
2.连续随机变量的概率密度函数：$\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)}\mathrm{d}x=1$其中，$f(x)$表示连续随机变量在$x$处的概率密度。
3.数学期望：$E(x)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{x_ip(x_i)}$或$E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)}\mathrm{d}x$其中，$E(x)$表示随机变量$x$的数学期望，$p(x_i)$表示$x_i$这一离散随机变量取到的带权概率。
概率论与数理统计公式定理全总结
概率论与数理统计公式定理全总结一、概率论公式：1.基本概率公式：对于随机试验E，事件A的概率可以表示为P(A)=事件A的样本点数/所有样本点数。
2.条件概率公式：对于事件A和事件B，若P(B)>，则事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.全概率公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B有P(B)=Σ(P(Ai)×P(B，Ai))。
4.贝叶斯公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B，有P(Ai，B)=(P(B，Ai)×P(Ai))/Σ(P(B，Ai)×P(Ai))。
二、数理统计公式：1.期望：随机变量X的期望E(X)=Σ(Xi×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
2. 方差：随机变量X的方差Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 ×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，E(X)为随机变量X的期望，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
3. 协方差：随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))，其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和Y的期望。
4. 相关系数：随机变量X和Y的相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X) × Var(Y))，其中Cov(X,Y)为随机变量X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别为随机变量X和Y的方差。
三、概率论与数理统计定理：1.大数定律：对于独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，它们的均值X̄=(X1+X2+...+Xn)/n，当n趋向于无穷大时，X̄趋向于X的期望E(X)。
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学中的一门重要分支，用于研究随机事件的发生概率和规律性。
下面是概率论中的一些常用公式和定理，供参考：1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的情况数，n(S)表示样本空间中所有事件发生的情况数。
2.加法定理：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B发生的概率。
3.乘法定理：P(A∩B)=P(B，A)×P(A)其中，P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
4.互斥事件的概率：若事件A和事件B互斥（即不能同时发生），则P(A∪B)=P(A)+P(B) 5.条件概率：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
6.贝叶斯定理：P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率；P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
7.全概率公式：P(A)=∑[P(A∩B_i)]其中，事件B_1,B_2,...,B_n互斥且构成样本空间，P(B_i)不为0，P(A∩B_i)表示事件A和事件B_i同时发生的概率。
8.期望值：E(X)=∑[x_i×P(X=x_i)]其中，X为随机变量，x_i为随机变量X的取值，P(X=x_i)为随机变量X取值为x_i的概率。
9.方差：Var(X) = E[(X - E(X))^2]其中，X为随机变量。
10.协方差：Cov(X, Y) = E[(X - E(X)) × (Y - E(Y))]其中，X和Y为两个随机变量。
11.独立事件的概率：若事件A和事件B独立，即P(A∩B)=P(A)×P(B)12.独立随机变量的期望值：E(XY)=E(X)×E(Y)其中，X和Y为独立随机变量。
概率论与数理统计第11讲 二项概率公式
解(续) 设A=“至少命中两次”
P50 (k) C5k0 (0.08)k (0.92)50k , k 0,,50.
n = 50, p = 0.08, = 500.08 = 4.
所求概率为
P(A)
查poisson 分布表
50 k 2
50
C5k00.08k (0.92)50k
4k
e4
k 2
故 Pn (k) P(Bk ) Cnk pk qnk .
二项概率公式
推论
n
Pn (k) 1.
k 0
Pn (k) Cnk pk qnk
证明 n
n
Pn (k) Cnk pk qnk ( p q)n 1.
k 0
k 0
例1 连续投n次均匀骰子，求6点恰好出现
k次的概率？（k≤n）
解 设A=每次出现6点， A =每次不出现6点，
0.908.
k2 k !
4k
k!
e4
k e
km k!
4k e4 0.90842
k2 k !
例3 一个工厂某产品的废品率为0.005，任取
1000件，求（1）不超过5件废品的概率，
（2）其中至少有两件废品的概率.
解 n=1000, p=0.005 , λ=np=5
（1）设A=“废品不超过5件”，则
求证
Pn (k) Cnk pk qnk
证明 设Bk=“n次试验成功A恰好发生k次”,
Ai =“第i次试验成功”, Ai=“第i次试验失败”，
则 P( A1A2 Ak Ak1 An )
P( A1)P( A2 )P( Ak )P( Ak1)P( An ) pkqnk .
同理可得其它项的概率也是 pk qnk ,
概率论与数理统计计算公式
概率论与数理统计计算公式概率论和数理统计是数学中的两个重要分支，广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。
在实际中，我们经常需要计算各种概率和统计量，因此理解和掌握概率论和数理统计中的计算公式是十分重要的。
接下来，我将给出概率论和数理统计中一些常用的计算公式。
一、概率计算公式：1.加法原理：如果A和B是两个事件，那么它们的和事件(A∪B)的概率可以由如下公式计算：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2.条件概率：如果A和B是两个事件，且P(A)>0，那么事件B在已知事件A发生的条件下发生的概率可以由如下公式计算：P(B，A)=P(A∩B)/P(A)3.全概率公式：如果{B1,B2,...,Bn}是一个对样本空间Ω的一个划分，那么对于任意事件A，我们有：P(A)=ΣP(A，Bi)P(Bi)，其中i取1到n。
4.贝叶斯公式：如果{B1,B2,...,Bn}是一个对样本空间Ω的一个划分，那么对于任意事件A和i取1到n，我们有：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/ΣP(A，Bj)P(Bj)，其中j取1到n。
5.乘法定理：如果A和B是两个事件，那么它们的交事件的概率可以由如下公式计算：P(A∩B)=P(A)P(B，A)=P(B)P(A，B)二、统计量计算公式：1.样本均值：对于由n个观测值组成的样本，样本的均值可以由如下公式计算：\(\bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i\)2.样本方差：对于由n个观测值组成的样本，样本的方差可以由如下公式计算：\(S^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{X})^2\) 3.标准差：样本的标准差是样本方差的平方根\(S = \sqrt{S^2}\)4.相关系数：对于两个随机变量X和Y，它们的相关系数可以由如下公式计算：\(\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\)5.协方差：样本的协方差可以由如下公式计算：\(Cov(X,Y) = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})\)以上只是概率论和数理统计中的一些常用计算公式，实际应用中还有很多其他的公式和方法。
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式以下是概率论与数理统计中常见的公式整理：1.基本概率公式：P(A) = n(A) / n(S)，其中A 为事件，n(A) 为事件A 发生的基数，n(S) 为样本空间的基数。
2.条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中A 和B 为两个事件，P(A∩B) 表示事件A 和事件B 同时发生的概率，P(B) 表示事件B 发生的概率。
3.全概率公式：P(A) = ΣP(A|Bi) * P(Bi)，其中Bi 为互不相交的事件，P(Bi) 表示事件Bi 发生的概率，P(A|Bi) 表示在事件Bi 发生的条件下，事件A 发生的概率。
4.贝叶斯公式：P(Bi|A) = P(A|Bi) * P(Bi) / ΣP(A|Bj) * P(Bj)，其中Bi 为互不相交的事件，P(Bi) 表示事件Bi 发生的概率，P(A|Bi) 表示在事件Bi 发生的条件下，事件A 发生的概率，P(A|Bj) 表示在事件Bj 发生的条件下，事件A 发生的概率。
5.随机变量的期望值：E(X) = Σxi * P(xi)，其中X 为随机变量，xi 为随机变量X 取的第i 个值，P(xi) 表示X 取xi 的概率。
6.随机变量的方差：Var(X) = E((X - E(X))^2)，其中X 为随机变量，E(X) 表示X 的期望值。
7.正态分布的概率密度函数：f(x) = (1 / (σ* √(2π))) * e^(-((x-μ)^2 / (2σ^2)))，其中μ为正态分布的均值，σ为正态分布的标准差。
8.标准正态分布的概率密度函数：f(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x^2 / 2)，其中x 为标准正态分布的随机变量。
9.两个随机变量的协方差：Cov(X,Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))，其中X 和Y 为两个随机变量，E(X) 和E(Y) 分别表示X 和Y 的期望值。
第11讲概率统计__王松桂
一种方法是：由于g(X) 也是随机变量， 故应有概率分布，其分布可以由X的分布求 出。一旦知道了g(X) 的分布, 就可以按照期 望的定义把 E[g(X)] 计算出来。 但使用该方法 必须先求出g(X)的分布。 一般说来，这是比较复杂的事。
那么, 可否不求g(X)的分布，而只根据X 的分布来计算 E[g(X)] 呢？ 答案是肯定的。且有如下公式：
Y X 1 2
1
1/8 1/2
2
1/4 1/8
解： E(Z)= g(1,1)0.125+g(1,2)0.25 +g(2,1)0.5+g(2,2)0.125 = 4.25.
例8：设随机变量X和Y相互独立，概率密度分 别为 4e4 x , x 0, 2e2 y , y 0, f X ( x) fY ( y ) 其他, 其他. 0, 0, 求 E(XY)。 解： 因 G(X,Y)=XY, X 和Y 相互独立。
2
E ( X ) 1.68.
这意味着：若从该地区抽查很多成年男 子，分别测量他们的身高。则这些身高的平 均值近似地为1.68。
例4：设某型号电子管的寿命X服从指数分布, 平均寿命为1000小时, 计算 P{1000<X≤1200}。 解：由 E(X) = 1/λ = 1000，知 λ = 0.001，X 的概率密度为 0.001x , x 0, 0.001e f ( x) x 0. 0,
所以，
E[ g ( X , Y )]
xyf X ( x) fY ( y )dxdy 0 0 0
一般来说, 若统计了n天,
(假定每天至多出三件废品) n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.
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每次试验中 P(A)=p保持不变
各次试验的 结果互不影响
人们常把A叫“成功”, A 叫“失败”.
二项概率公式
定理1 设每次试验中成功A的概率为p (0 < p < 1), 则在n重伯努利试验中A恰好 发生k次的概率为
Pn (k) Cnk pk qnk
其中 p + q = 1, k = 0, 1, …, n.
二项概率公式
求证
Pn (k) Cnk pk qnk
证明 设Bk=“n次试验成功A恰好发生k次”,
Ai =“第i次试验成功”, Ai=“第i次试验失败”，
则 P( A1A2 Ak Ak1 An )
P( A1)P( A2 )P( Ak )P( Ak1)P( An ) pkqnk .
n = 50, p = 0.08, = 500.08 = 4.
所求概率为
P(A)
查poisson 分布表
50 k 2
50
C5k00.08k (0.92)50k
4k
e4
k 2
0.908.
k2 k !
4k
k!
e4
k e
km k!
4k e4 0.90842
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
n越大，p越小， 泊松分布近似二 项分布效果越好
n = 50, p = 0.08, =4
0.25 0.2 0.15
B(n,p)
P(λ )
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
二项分布与泊 松分布的近似 效果见实验2
谢 谢！
k2 k !
例3 一个工厂某产品的废品率为0.005，任取
1000件，求（1）不超过5件废品的概率，
（2）其中至少有两件废品的概率.
解 n=1000, p=0.005 , λ=np=5
（1）设A=“废品不超过5件”，则
P(A)
5 k 0
P1000 (k )
5 k 0
5k e-5 k!
1 5k e-5 k6 k !
查表
= 1 0.38404 0.61596.
例3 一个工厂某产品的废品率为0.005，任取
1000件，求（1）不超过5件废品的概率，
（2）其中至少有两件废品的概率.
解 n=1000, p=0.005 , np=5
（2）设B=“至少有两件废品”，则
P(B) 1 P1000 (0) P1000 (1)
定理2 如果n→∞, p→0使得np=λ
保持为正常数，则
Cnk pk (1
p)nk
k e .
k!
对k=0,1,2, „一致地成立.
泊松(Poisson)
泊松(Siméon-Denis Poisson 1781～1840) 是法国数 学家、几何学家和物理学家. 泊松定理于1837年由 泊松引入的.
二项概率公式
求证 证明
Pn (k) Cnk pk qnk
设Bk=“n次试验成功A恰好发生k次”, Ai =“第i次试验成功”,Ai =“第i次试验失败”，
则 Bk A1A2 Ak Ak1 An
A1 A2 Ak1 Ak Ak1 Ak2 An
A1 A2 Ank Ank1 An.
k 0
例1 连续投n次均匀骰子，求6点恰好出现
k次的概率？（k≤n）
解 设A=每次出现6点， A =每次不出现6点，
P( A) 1 p, P( A) 5 q.
6
6
Pn (k)
Cnk
(1)k 6
( 5 )nk 6
,(k
0,1,, n).
例2 某人进行射击，每次射击的命中率为 0.08,独立射击50次,求至少命中两次的概率. 解 设A=“至少命中两次”
1
50 e-5 5 e-5 0! 1!
1000
5k e-5
5k
e-5
查表
0.95957.
k2 k !
k2 k !
二项分布与泊松分布概率分布图
n = 5, p = 0.8, = 4
B(n,p)
P(λ )
0.45 0.4 0.35
0.3 0.25 0.2 0.15
0.1Leabharlann [n(1 p)]nk (n k)!
en(1 p) .
k=0,1,
…n.
当0.1＜p＜0.9时，用正态近似.在后面学习.
例2 某人进行射击，每次射击的命中率为 0.08,独立射击50次,求至少命中两次的概率.
解(续) 设A=“至少命中两次”
P50 (k) C5k0 (0.08)k (0.92)50k , k 0,,50.
P50 (k) C5k0 (0.08)k (0.92)50k , k 0,,50. 所求概率为 P( A) 1 P50 (0) P50 (1)
1 (0.92)50 50 0.08 (0.92)49
0.917. 上式计算较繁琐, 下面给出近似公式.
二项概率的泊松(Poisson)逼近定理
二项概率的泊松逼近定理
在实际计算中, 当n ≥10, p ≤0.1时,可用近似
公式
Pn (k ) Cnk pk (1 p)nk
k e.
k!
其中 λ=np, k=0,1, …n.
当n ≥10, p ≥0.9(即q ≤0.1) 时,可用近似公式
Pn (k)
Cnk
pk (1
p)nk
同理可得其它项的概率也是 pk qnk ,
故 Pn (k) P(Bk ) Cnk pk qnk .
二项概率公式
推论
n
Pn (k) 1.
k 0
Pn (k) Cnk pk qnk
证明 n
n
Pn (k) Cnk pk qnk ( p q)n 1.
k 0
二项概率公式
n重伯努利试验
若一个试验只有两个结果: A和 A , 称试验为伯努利试验.
伯努利 Jacob Bernoulli(1654-1705) 瑞士数学家. 伯努利家族代表人物 之一, 概率论中的伯努利试验与大 数定律都是他提出来的. 被公认为 概率论的先驱之一.
n重伯努利试验
设P(A) = p (0 < p <1）, 则P( A ) = 1－p = q. 将伯努利试验重复、独立地进行n次, 称 为n重伯努利试验.