数学北师大版九年级下册垂径定理的运用
北师大版九年级数学下册教案：3.3垂径定理
你想知道桥拱的半径是多少吗？我们认真探索垂径定理之后，相信你一定可以算出来！(板书课题：*3垂径定理)
处理方式：让学生倾听欢快的音乐，欣赏赵州桥优美的图片，惊叹古代人们设计桥梁的技术，感受古代人们的伟大智慧，思索“桥”中的数学问题．
这一环节主要是让学生在欣赏赵州桥图片的同时，惊叹古代人的智慧，引起好奇，激起学生探究桥拱半径的兴趣.
巩固训练(多媒体出示)
1．辨析：判断下列图形能否使用垂径定理．
图3－3－15
2.如图3－3－16，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，OB，下列结论中不一定正确的是()
A.AE＝BE
B. ＝ 图3－3－16
C.OE＝DE
D.∠AOD＝∠BOD
处理方式：先让学生独立思考，然后找学生回答，师生共同纠错．注意：定理中的两个条件缺一不可——直径(半径)，垂直于弦．通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识.
图3－3－22图3－3－23图3－3－24
3.一条排水管的截面如图3－3－24所示，已知排水管的半径OB＝10cm，水面宽AB＝16cm，则截面圆心O到水面的距离OC是________．
处理方式：学生在练习本上完成后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错.
在题目的设计上，尽量地遵循由易到难、层次分明的原则．通过这3个题目达到落实新知的目的，又将知识进一步延伸，拓广学生的思维．
在教师的引导下探究了垂径定理，并要求学生能快速、准确地将该定理的三种语言进行转化．教学时要鼓励学生用多种方法进行探讨，体会研究图形的多种方法.
让学生理解证明的方法，培养学生熟练证明的能力，提高证明过程的准确性和推理的能力．借此培养学生的合作意识.
北师大版九年级下册数学3.3垂径定理(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决与圆相关的几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，学生们对于垂径定理在实际生活中的应用提出了很多有趣的见解。这让我感到很高兴，因为他们能够将所学知识应用到实际问题中。但同时，我也发现部分学生在讨论中较为拘谨，不敢大胆地表达自己的观点。为了鼓励学生们更加积极地参与讨论，我将在今后的教学中多给予他们肯定和鼓励，营造一个轻松、自由的学习氛围。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂径定理的基本概念。垂径定理指的是直径垂直于弦且平分弦的定理。它在解决与圆相关的几何问题中起着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个体的案例。这个案例展示了如何运用垂径定理来求解一个圆的半径，以及它如何帮助我们解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂径定理的证明和运用这两个重点。对于难点部分，如证明过程中辅助线的构造，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。
-理解垂径定理与圆的其他性质（如圆心角、弧、弦的关系）之间的联系。
举例解释：
-证明过程：解释为何需要通过构造辅助线，如何利用全等三角形或相似三角形的性质来完成证明。
-灵活运用：通过设置不同难度的练习题，引导学生掌握垂径定理在不同情境下的应用，如非直径垂直弦、圆内接四边形等。
-性质联系：强调垂径定理与圆的其他基本性质（如圆心角定理、弧弦定理等）之间的关系，通过对比和联系加深理解。
北师大版九年级数学下册第三章《垂径定理的应用》优质课课件(共13张PPT)
A
60D0
B
O ø650
C
独立作业
• P93:习题3.2 1题
如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
M
BE
·N
F
C
0
九年级数学(下)第三章 圆
圆的对称性 (2)
忆一忆
垂径定理
垂径定理的逆定理
定理 垂直于弦的直径 平分弦（不是直径）的直
平分弦,并且平分弦所 径垂直于弦,并且平 分弦
的两条弧.
所对的两条弧.
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹
的弧相等.
C
AM
B
●O
A
●O
B
A
●O
B
C
D
Hale Waihona Puke CDD随堂练习
3.如图为一圆弧形拱桥，它的跨度（即弧所对的 弦长）为16m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为 4m，求桥拱所在圆的半径。
想一想
垂径定理三角形
组卷网
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你能总结出什么规律吗？
C
O
E
A
B
D
方法总结
n 对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量
•
• 解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
据 由垂题径设定 得理A ,D是 B A7 .B2 的,C 中点 D ,2 C.是4 ,H AB 的 中N 1 点M ,CD 就1 N .是5 .拱高. 2
北师大版九年级下册3.3垂径定理优秀教学案例
同时，我还注重培养学生的逻辑思维能力，引导学生从特殊到一般，从具体到抽象的思考问题，让学生在理解垂径定理的同时，能够灵活运用该定理解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性和综合性的小组合作任务，让学生在合作中思考、交流、探究，提高学生的学习效果。
2.组织学生进行小组讨论，鼓励学生提出问题、分享思路、互相启发、互相学习，培养学生的批判性思维和问题解决能力。
3.教师在小组讨论过程中给予及时的反馈和指导，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。
（四）反思与评价
1.引导学生对学习过程进行反思，培养学生自我评价和自我调整的能力。
2.设计具有针对性和全面性的评价指标体系，对学生的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观进行全面评价。
3.利用自评、互评、师评等多种评价方式，给予学生客观、公正的评价，提高学生的自信心和积极性。
4.根据评价结果，调整教学策略和教学方法，为下一阶段的教学提供有益的参考。
北师大版九年级下册3.3垂径定理优秀教学案例
一、案例背景
北师大版九年级下册3.3垂径定理是圆的知识点中的一个重要定理，它揭示了圆中关于垂直于弦的直径的一系列性质。在本节课中，学生需要理解和掌握垂径定理的内容，并能够运用该定理解决相关问题。
在进行本节课的教学设计时，我充分考虑了学生的年龄特点和学习需求，以提高学生的几何思维能力和解决问题的能力为目标，力求通过丰富的教学活动和合理的教学设计，帮助学生理解和掌握垂径定理。
2.要求学生对自己的作业进行自我评价，培养学生的自我反思和自我调整能力。
北师大版九年级下册3.3垂径定理教学设计
2.证明过程：引导学生通过几何画板或实际操作，观察并思考如何证明垂径定理。在此基础上，给出严格的证明过程，强调证明方法与逻辑推理。
3.推论介绍：介绍垂径定理的两个重要推论，即弦的一半、弦心距和圆半径构成直角三角形，以及圆的弦垂直平分线相交于圆心。
4.通过对垂径定理及其推论的学习，使学生体会几何知识之间的联系，培养他们运用几何知识解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对几何学的兴趣，培养他们主动探究、积极思考的学习态度。
2.通过对垂径定理的学习，使学生体会数学的简洁美和逻辑美，提高他们对数学的审美能力。
3.培养学生的团队合作精神，使他们学会在合作中交流、分享和互助，共同解决问题。
3.情感态度培养：鼓励学生勇于提出问题、发表见解，培养他们的自信心和批判性思维。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及培养学生的独立思考能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请同学们完成课本第63页的练习题1、2、3，这些题目主要考察对垂径定理基本概念的理解和简单应用。
5.请同学们按时提交作业，教师将及时批改、反馈，帮助大家查漏补缺，提高学习效果。
2.教学难点：垂径定理的证明过程，以及在实际问题中的应用。
-证明过程涉及严密的逻辑推理，对于部分学生来说可能存在理解上的困难。
-在实际应用中，学生需要能够灵活运用定理，结合其他几何知识，解决更为复杂的问题。
（二）教学设想
1.采定理及其推论。
-教师应以鼓励和表扬为主，营造积极向上的课堂氛围，让学生在轻松的环境中学习。
九年级数学下册 3.3 垂径定理应用例析素材 (新版)北师大版
垂径定理应用例析圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，利用这个“对称性”，我们可以得到垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.结合圆的特点，我们体会它们的用处：【例1】在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图1所示,若油面宽AB =0.6米,则油的最大深度为_______.图1分析：本题考查垂径定理和勾股定理.欲求油的最大深度,就是求图1中弓形高CD =OD －OC ,所以关键是求OC ,利用勾股定理在△AOC 中可求出.通过本题可看出图中弦长a ,弦心距d ,半径r ,与弓形高h 四者之间的关系,要特别明确:①r =h +d ; ②r 2=(2a )2+d 2,由两个式子可知对于a 、d 、r 、h 这四个量,已知两个,另外两个一定能求,我们应该熟记.解：作半径OD ⊥AB 于C ,∴AC =21AB =0.6×21=0.3. 在Rt △AOC 中,∵OC =22AC OA -=22)3.0()5.0(-=0.4, ∴CD =OD －OC =0.5－0.4=0.1(米). ∴油的最大深度为0.1米.【例2】在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8厘米,另一条弦长为6厘米,则两弦之间的距离为_______.分析：本题考查垂径定理和勾股定理.根据题意,画出图形,这是与半径、弦长有关的问题,很自然联想到垂径定理,作出垂径,根据弦长a ,圆心到弦的距离d ,半径r 三者之间的关系r 2=(2a )2+d 2可求出弦心距d ,从而问题解决.解答本题时,一定要注意分两种情况讨论,两条平行弦可能在圆心两侧,也可能在圆心同侧.解：①如图2所示,如果两条平行弦在圆心两侧,过O 作EF ⊥AB 于E ,EF ⊥CD 于F ,连结AO 、CO , 在Rt △AOE 中,OE =22AE OA -=2245-=3, 在Rt △COF 中,OF =22CF OC -=2235-=4, ∴EF =OE +OF =7(厘米).E FA BCDOE F ABC D O图2图3②如图3所示,如果两条平行弦在圆心同侧,过O 作OE ⊥AB 于E ,延长OE 交CD 于F . ∵AB ∥CD ,则OF ⊥CD ,连结AO 、CO ,在Rt △AOE 中,OE =22AE OA -=2245-=3, 在Rt △COF 中,OF =22CF OC -=2235-=4, ∴EF =OF －OE =1(厘米).【例3】已知：如图4，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于P ，CD ＝10cm ，AP :PB ＝1:5.求：⊙O 的半径.图3分析：已知直径AB ⊥弦CD ，利用垂径定理可知PC =21CD =5cm ，可设AP =x ，PB =5x ，直径AB =6x ，连结OC ，则OC =3x ，把已知和未知集中在Rt △CPO 中，利用勾股定理可以求解.一个圆的半径有无数条，在解题时要利用好这个条件，并能恰当地增添辅助线.连结OC ，构造出一个直角三角形，利用勾股定理便可以使问题得以解决.在圆中有关弦，弦心距，半径的问题常作的辅助线是连半径或作弦心距，常把垂径定理和勾股定理结合起来解题.解：连结OC ∵ AP :PB ＝1:5.∴ 设AP ＝x ，PB ＝5x ，AB ＝AP ＋PB ＝6x .∵ 直径AB ⊥弦CD . ∴ PC ＝PD ＝21CD ＝5cm . ∵ OC ＋OA ＝3x . ∴ PO ＝2x .在Rt △POC 中，根据勾股定理，得OC 2＝PC 2＋OP 2. ∴ (3x )2＝52＋(2x )2.解方程，得x ＝±5，x ＝－5不合题意，舍去. ∴ ⊙O 的半径为35cm .【例4】“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题,“今有圆材,埋壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何？”用现在的数学语言表述是:“如图3－2－16所示,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为E , CE =1寸,求直径CD 的长.”分析：本题是考查垂径定理和勾股定理的一道跨学科试题.解决本题的关键是理解题意,把文言文翻译成数学语言,然后画出几何图形,再利用数学知识来解决.解：连结OA .∵AB ⊥CD ,CD 为直径,∴AE =21AB =21×10=5(寸). 在Rt △AEO 中,设OA =x ,则OE =x －1,由勾股定理,得x 2=52+(x －1)2,解得x =13. ∴OA =13,∴CD =2AO =26(寸).。
九年级数学下册 3.3 垂径定理“垂径定理”与解题思路分析素材 (新版)北师大版
“垂径定理”与解题思路分析垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理，它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据，也是学好本章的基础，在学习中要注意以下几点：一.圆的辆对称是垂径定理的理论基础同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就会重合在一起。
因此，课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折，直径两侧的两个半圆能重合这一事实，指出圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，然后利用这一性质给出了垂径定理，并利用圆的对称性证明。
所以，圆的轴对称性是垂径定理的理论基础。
二.垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联系在垂径定理(推论)中，一是隐含着一条直线；二是该直线具有以下性质：(1)经过圆心，(2)垂直于弦，(3)平分这条弦，(4)平分这条弦所对的劣弧，(5)平分这条弦所对的优弧。
垂径定理可以简记为：由于垂径定理本身的结论有多个，因此在构造逆命题时也会有多个，这就需要掌握构造逆命题的技巧。
例如：以(1)、(3)为条件的逆命题为：如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦(不是直径)，那么这条直线垂直于弦，且平分弦所对的弧。
类似地，同学们一定会分别写出以(1)和(4)、(1)和(5)、(2)和(3)、(2)和(4)、(2)和(5)、(3)和(4)、(3)和(5)、(4)和(5)为条件的逆命题。
由于一条直线如果具备上述五条性质中的任何两条时，这条直线唯一确定，所以，上述九个逆命题都是真命题，它们都是垂径定理的推论。
垂径定理连同推论在内共十条定理。
对于这十条定理，同学们切不可死记硬背，关键要抓住它们的特点，即一条直线具有上面所说的五条性质中的任何两性质，就有其余三条性质(具有性质(1)、(3)时，所说的弦不是直径，这是因为如果这里的弦是直径的话，两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直)。
三.灵活应用垂径定理及其推论解题垂径定理及其推论，主要应用于研究直径与同圆中的弦、弧之间的垂直平分关系，其内容虽然简单，但要能灵活应用却非易事。
北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是北师大版九年级数学下册第3章第3节的内容。
本节主要介绍圆中的垂径定理及其应用。
垂径定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。
通过学习垂径定理，学生能够更深入地理解圆的性质，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的观察、分析和推理能力。
但在学习垂径定理时，学生可能对定理的理解和应用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生逐步理解并掌握垂径定理。
三. 教学目标1.理解垂径定理的内容及证明过程。
2.能够运用垂径定理解决与圆相关的问题。
3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和应用。
2.难点：垂径定理的证明过程。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、分析、推理，发现垂径定理。
2.实例讲解法：教师通过具体例子，讲解垂径定理的应用。
3.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。
六. 教学准备1.教学PPT：包含垂径定理的定义、证明和应用。
2.实例图片：用于讲解垂径定理的应用。
3.练习题：巩固所学内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示PPT，介绍垂径定理的定义、证明和应用。
引导学生观察、分析，理解垂径定理的意义。
3.操练（10分钟）教师提出几个与垂径定理相关的问题，让学生分组讨论，共同解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成几道练习题，巩固所学内容。
教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。
5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用垂径定理解决实际问题。
学生分组讨论，分享解题方法。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，回顾学习过程，分享学习心得。
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2017 年青年教师赛课教案
唐波【上课课题】
解圆中的基本图形———求解线段长（一）
【授课班级】
初三（2）班
【教材分析】
本节课是初三第二轮专题复习《圆》的“圆中求解线段长”问题，在之前学习圆相关性质和定理基础上，用建模的思想分解出圆中的基本图形，进一步发展学生的推理能力。
本课注重学生观察、猜想、推理论证等自主探究和合作交流，强调能从复杂图形中抽取出基本图形或基本模型，经过探究过程，培养推理能力和有条理的表达能力。
【学情分析】
学生已经出现较为严重的两极分化，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，对后进生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握，学生仍然缺少推理的思考方法，对几何有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。
本节课基于学生的认知水平，让学生在“解模型”、“用模型”、“构模型”的探究过程中激发学生的探究欲望，增强信心。
【教学目标】
1.应用基本模型、基本定理、基本数学思想求解圆中线段长；
2.经历“解模型”、“用模型”、“构模型”的探究过程，通过学生观察猜想、推理论证等自主探究和合作交流，进一步发展学生的推理能力；
3.能应用复杂图形中抽取的基本图形和模型解决问题，提高解题能力和速度；
4.通过探究活动培养学生良好的思维品质和优秀的学习习惯。
【1+X 问题群设置】
1.主问题
怎样运用基本模型来求解线段长
2.问题群（任务群）
一、问题引入：这个基本图形，能想到什么定理？
二、问题探究：
探究一：“解模型”
1.已知AE=1,CE=2,求半径OC、弦心距OE？
2.连接半弧所对的弦AC、BC，求AC、BC
如果任意知道两个能求出其余的吗？（知二求二）
问题群：
（1）如果任意知道两条线段，能求出其余线段吗？
（2）在这个基本图形中运用了哪些基本模型？
（3）在这个基本图形中运用了哪些基本定理？
探究二：“用模型”
学生活动（一）：
1.问题1：图中双垂直模型有哪些？
2.问题2：①图中与与∠1相等的角有哪些？
②图中相似的等腰三角形有哪些？
3.问题3：图中”斜射影”（子母型）有哪些？
问题群：
（1）为什么OC⊥AF？
（2）证角相等用到了什么知识点？
（3）怎样证两个等腰三角形相似呢？
（4）抓子母型相似关键是什么？
学生活动（二）：
活动内容：
已知线段AE=1，CE=2.（原条件不变）
1.求线段AP的长
2. 能否求出其余线段的长？能得到什么结论？
问题群：运用了哪些基本模型及基本定理？
探究三：“构模型”
思考：CM是⊙O的切线，延长BA交MC延长线于
Q.
1.探究四边形CMFG是什么形状？
2. 若CE=2,AE=1不变，（原条件不变）求线段
CM、MF 的长.
3.还能求出其他线段吗？（如QA、QC）
问题群：遇到切线你能想到哪些知识点？
三、学以致用：
问题群：应用模型解决中考题，大家想能不能进行改编，你能求出QD的长吗？
改编中考题：
若tan∠ABC＝，CF＝8，求QD的长
【教学过程】
教学环节教学
内容
教师活动学生活动信息技
术运用
引入专题回顾
2010
年成
都市
中考
题
展示题目中的关键条件，删除有些线
段，从复杂图形中抽取出基本图形。
问题群：
这个基本图形，能想到什么定理？
直观感受，学生可以
感受到可以把复杂的
几何图形先进行分
解，由难到易，降低
畏难情绪，投入思
考。
PPT动
画
探究一解
模
型
已知在⊙O中，AB是直径，AB⊥弦CD
于E. 若线段AE=1，CE=2，连接半弧所
对的弦AC、BC.
1.求半径OC、弦心距OE？
2.求AC、BC.
问题群：
（1）如果任意知道两条线段，能求出其
余线段吗？
（2）在这个基本图形中运用了哪些基本
模型？
（3）在这个基本图形中运用了哪些基本
定理？
学生回答，其余学生
加以指正和补充，表
达推理过程，感受数
学建模的思想。
书写
探究二用
模
型
已知在⊙O中，AB是直径，AB⊥弦CD
于E. 若线段AE=1，CE=2，在前面基础
上，圆上取一点F，使点C是弧AF的中
点，连接CF、AF，交点分别为P、G、
H.
学生活动（一）：
1.问题1：图中双垂
直模型有哪些？
2.问题2：
①图中与与∠1相等
的角有哪些？
②图中相似的等腰三角形有哪些？
3.问题3：图中”斜射影”（子母型）有
学生先独立思考2分
钟，然后小组讨论3
分钟，选出代表发
言。
学生通过观察、
猜想、推理论证等自
主探究与合作交流，
再运用相关的定理及
方法解决求线段长。
选择图
形、拖
拽图形
哪些？
问题群：
（1）为什么OC⊥AF？
（2）证角相等用到了什么知识点？（3）怎样证两个等腰三角形相似呢？（4）抓子母型相似关键是什么？
学生活动（二）：
活动内容：
1.求线段AP的长
2. 能否求出其余线段的长？
问题群：运用了哪些基本模型及基本定理？
探究三构
模
型
在前面基础上，圆上取一点F，使点C
是弧AF的中点，连接CF、AF，交点分
别为P、H、G .CM是⊙O的切线，延长
BA交MC延长线于Q.
1.探究四边形CMFG是什么形状？
2.若CE=2,AE=1不变，（原条件不
变）求线段CM、MF、QA、QC 的长.
问题群：遇到切线你能想到哪些知识
点？
体会建模的重要性，
学会把复杂问题转化
为较简单的问题
学以致用改编
中考
题：
问题群：
应用模型解决中考题，大家想能不能进
行改编，你能求出QD的长吗？
若tan∠ABC＝，CF＝8，求QD的长
用基本模型就会更准
确、更快的解决中考
题型
板书设计：
解圆中的基本图形
一、解模型
弦长
半径
弓高“知二求四”弦心距
AC
BC
二、用模型“知二求全”三、“构模型”
定理：
垂径定理勾股定理射影定理思想：
转化、建模。