高中数学竞赛讲义_几个初等函数的性质
基本初等函数主要性质
基本初等函数主要性质五类基本初等函数是高中函数的基础和根本，要想对函数问题有一个全面的认识，并能对函数问题快速解决，就必须在牢记基本知识的前提下重点识记基本初等函数的性质。
高中学生所学科目多，新课改以来，降低了考察的深度，但增加了考察的广度，也就意味着要想取得好成绩，就必须大量的记忆知识点和平时做过的试题。
高中数学180多个知识点，常考知识点50多个，记不住，记不牢是常有的事情，谁都有知识漏洞，多记多背多练，培养题感，连蒙带猜。
高中所研究的函数性质：①定义域：使函数有意义的自变量x 的取值范围；②值域：x 在对应法则f （解析式）作用下确定的应变量()x f y =的取值范围； ③单调性：函数在定义域上的增减性（随着x 由小到大，函数图象的升降）；④奇偶性：函数在关于原点对称的定义域上的对称性（图象关于原点或关于y 轴对称）； ⑤周期性：函数图象在定义域上重复出现的性质；⑥对称性：函数图象在定义域上关于点和线的对称性（点对称或轴对称）⑦图象：在确定了上述函数的性质以后利用点动成线特性描点获取的几何形象。
一、函数定义域①求函数()431ln 2+--+=x x x y 的定义域；②若()x x x f -+=11ln，求()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x f y 12的定义域； ③若()22-=x f y 定义域为[]21，，求()x f y =的定义域。
二、函数值域（函数最值）求函数值域方法：配方法；反解法；判别式法；换元法；不等式法；单调性法；求导法等。
①求函数642-+-=x x y 的值域（最值）；②求函数x x y cos 1sin 1+-=的值域（最值）；③求函数432+=x x y 的值域（最值）。
三、函数单调性在区间M 上：增函数()()2121x f x f x x <⇒<⇔；减函数()()2121x f x f x x >⇒<⇔。
复合函数单调性：“同增异减”，内外函数单调性相同，复合函数为增函数；反之，为减函数。
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
个人精心整理高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲
1、数学竞赛考纲二试1、平面几何根本要求：驾驭高中数学竞赛大纲所确定的全部内容。
补充要求：面积与面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点间隔之与最小的点--费马点。
到三角形三顶点间隔的平方与最小的点--重心。
三角形内到三边间隔之积最大的点--重心。
几何不等式。
简洁的等周问题。
理解下述定理：在周长肯定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长肯定的简洁闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积肯定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积肯定的简洁闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
2、代数在一试大纲的根底上另外要求的内容：周期函数与周期，带肯定值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简洁的恒等式，三角不等式。
第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求n次迭代，简洁的函数方程。
n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合，简洁的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简洁的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
3、立体几何多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的根本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、外表绽开图。
4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线与法线。
圆的幂与根轴。
5、其它抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
集合的划分。
覆盖。
梅涅劳斯定理托勒密定理西姆松线的存在性及性质(西姆松定理)。
赛瓦定理及其逆定理。
高中数学竞赛讲义
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛〔一试〕所涉及的知识范围不超出教育部2000年【全日制普通高级中学数学教学大纲】中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试〔二试〕与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛根底知识第一章 集合与简易逻辑一、根底知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否那么称x 不属于A ，记作A x ∉。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛专题一函数与方程思想
高中数学竞赛专题一函数与方程思想函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，它主要包括函数的概念、图象和性质以及几类典型的函数，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。
函数思想贯穿于高中代数的全部内容，它是在学习指数函数、对数函数以及三角函数的过程中逐渐形成，并为研究这些函数服务的，如研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容，一直是高考的热点、重点内容。
函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路．和函数有必然联系的是方程，方程是初中代数的主要内容，初中阶段主要学习了几类方程和方程组的解法，方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略。
一、考点回顾函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
比如，对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围一例，我们习惯上把x当作自变量，构造函数y＝x2＋(p－4)x＋3－p,于是问题转化为：当p∈[0,4]时，y＞0恒成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)，则y是p的一次函数，就非常简单．即令 f(p)＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．函数f(p)的图象是一条线段，要使f(p)＞0恒成立，当且仅当f(0)＞0，且f(4)＞0，解这个不等式组即可求得x的取值范围是(－∞,－1)∪(3,＋∞)．本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的在函数的学习和复习中，要做到熟练掌握基础知识，充分理解各知识点间的内在联系，如数列中的an、Sn都可以看作是n的函数而应用函数思想以获得新的解法。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
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几个初等函数的性质一、基础知识1．指数函数及其性质：形如y =a x (a >0, a ≠1)的函数叫做指数函数，其定义域为R ，值域为（0，+∞），当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。
2．分数指数幂：n m n mn nn m nm nnaa a aa a a a1,1,,1====--。
3．对数函数及其性质：形如y =log a x (a >0, a ≠1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R ，图象过定点（1，0）。
当0<a <1，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数。
4．对数的性质（M>0, N >0）；1）a x=M ⇔x =log a M(a >0, a ≠1)； 2）log a (M N )= log a M+ log a N ；3）log a （NM）= log a M- log a N ；4）log a M n =n log a M ；， 5）log a n M =n 1log a M ；6）a loga M =M; 7) log a b =a b c c log log (a ,b ,c >0, a , c ≠1).5. 函数y =x +xa（a >0）的单调递增区间是(]a -∞-,和[)+∞,a ，单调递减区间为[),a -和(]a ,0。
（请读者自己用定义证明）6．连续函数的性质：若a <b , f (x )在[a , b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )=0在（a ,b ）上至少有一个实根。
二、方法与例题 1．构造函数解题。
例1 已知a , b , c ∈(-1, 1)，求证：ab +bc +ca +1>0. 【证明】 设f (x )=(b +c )x +bc +1 (x ∈(-1, 1))，则f (x )是关于x 的一次函数。
所以要证原不等式成立，只需证f (-1)>0且f (1)>0（因为-1<a <1）. 因为f (-1)=-(b +c )+bc +1=(1-b )(1-c )>0， f (1)=b +c +bc +a =(1+b )(1+c )>0， 所以f (a )>0，即ab +bc +ca +1>0.例2 （柯西不等式）若a 1, a 2,…,a n 是不全为0的实数，b 1, b 2,…,b n ∈R ，则（∑=ni ia12）·（∑=ni ib12）≥(∑=ni ii ba 1)2，等号当且仅当存在∈μR ，使a i =ib μ, i =1, 2, …, n 时成立。
【证明】 令f (x )= （∑=ni ia12）x 2-2(∑=ni ii ba 1)x +∑=n i i b 12=∑=-ni i ib x a12)(,因为∑=ni ia12>0，且对任意x ∈R , f (x )≥0，所以△=4(∑=ni ii ba 1)-4（∑=ni ia12）(∑=ni ib12)≤0.展开得（∑=ni ia12）(∑=ni ib12)≥(∑=ni ii ba 1)2。
等号成立等价于f (x )=0有实根，即存在μ，使a i =i b μ, i =1, 2, …, n 。
例3 设x , y ∈R +, x +y =c , c 为常数且c ∈(0, 2]，求u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11的最小值。
【解】u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11=xy +xy x y y x 1++≥xy +xy 1+2·x y y x ⋅ =xy +xy1+2.令xy =t ，则0<t =xy ≤44)(22c y x =+,设f (t )=t +t 1,0<t ≤.42c 因为0<c ≤2，所以0<42c ≤1，所以f (t )在⎥⎦⎤ ⎝⎛4,02c 上单调递减。
所以f (t )m in =f (42c )=42c +24c ，所以u ≥42c +24c +2.当x =y =2c 时，等号成立. 所以u 的最小值为42c +24c+2.2．指数和对数的运算技巧。
例4 设p , q ∈R +且满足log 9p = log 12q = log 16(p +q )，求pq的值。
【解】 令log 9p = log 12q = log 16(p +q )=t ，则p =9 t , q =12 t , p +q =16t ，所以9 t +12 t =16 t ，即1+.34342tt ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛记x =tt t p q ⎪⎭⎫⎝⎛==34912，则1+x =x 2，解得.251±=x又p q >0，所以p q =.251± 例5 对于正整数a , b , c (a ≤b ≤c )和实数x , y , z , w ，若a x =b y =c z =70w ，且wz y x 1111=++，求证：a +b =c .【证明】 由a x =b y =c z =70w 取常用对数得xlga =ylgb =zlgc =wlg 70. 所以w 1lga =x 1lg 70, w 1lgb =y1lg 70, w 1lgc =z 1lg 70，相加得w 1(lga +lgb +lgc )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++z y x 111lg 70，由题设w z y x 1111=++， 所以lga +lgb +lgc =lg 70，所以lgabc =lg 70.所以abc =70=2×5×7.若a =1，则因为xlga =wlg 70，所以w =0与题设矛盾，所以a >1. 又a ≤b ≤c ，且a , b , c 为70的正约数，所以只有a =2, b =5, c =7. 所以a +b =c .例6 已知x ≠1, ac ≠1, a ≠1, c ≠1. 且log a x +log c x =2log b x ，求证c 2=(ac )logab . 【证明】 由题设log a x +log c x =2log b x ，化为以a 为底的对数，得bxc x x a a a a a log log 2log log log =+， 因为ac >0, ac ≠1，所以log a b =log ac c 2，所以c 2=(ac )logab .注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。
3．指数与对数方程的解法。
解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。
值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。
例7 解方程：3x +4 x +5 x =6 x .【解】 方程可化为xx x ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛653221=1。
设f (x )=xx x ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛653221, 则f (x )在(-∞,+∞)上是减函数，因为f (3)=1，所以方程只有一个解x =3.例8 解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==++312x yy x y x y x （其中x , y ∈R +）. 【解】 两边取对数，则原方程组可化为.3lg )(lg 12lg )(⎩⎨⎧=+=+glx y y x yx y x ①②把①代入②得(x +y )2lgx =36lgx ，所以[(x +y )2-36]lgx =0.由lgx =0得x =1，由(x +y )2-36=0(x , y ∈R +)得x +y =6， 代入①得lgx =2lgy ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0. 又y >0，所以y =2, x =4.所以方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==24;112211y x y x . 例9 已知a >0, a ≠1，试求使方程log a (x -ak )=log a 2(x 2-a 2)有解的k 的取值范围。
【解】由对数性质知，原方程的解x 应满足⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-00)(22222a x ak x a x ak x .①②③若①、②同时成立，则③必成立，故只需解⎩⎨⎧>--=-0)(222ak x a x ak x .由①可得2kx =a (1+k 2)， ④当k =0时，④无解；当k ≠0时，④的解是x =k k a 2)1(2+，代入②得kk 212+>k .若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1.综上，当k ∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时，原方程有解。
三、基础训练题1．命题p : “(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)-y -(log 53)-y ”是命题q :“x +y ≥0”的_________条件。
2．如果x 1是方程x +lgx =27的根，x 2是方程x +10x =27的根，则x 1+x 2=_________. 3．已知f (x )是定义在R 上的增函数，点A （-1，1），B （1，3）在它的图象上，y =f -1(x )是它的反函数，则不等式|f -1(log 2x )|<1的解集为_________。
4．若log 2a aa ++112<0，则a 取值范围是_________。
5．命题p : 函数y =log 2⎪⎭⎫⎝⎛-+3x a x 在[2，+∞）上是增函数；命题q : 函数y =log 2(ax 2-4x +1)的值域为R ，则p 是q 的_________条件。
6．若0<b <1, a >0且a ≠1，比较大小：|log a (1-b )|_________|log a (1+b ). 7．已知f (x )=2+log 3x , x ∈[1, 3]，则函数y =[f (x )]2+f (x 2)的值域为_________。
8．若x =31log 131log 15121+，则与x 最接近的整数是_________。
9．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=x x y 1111log 21的单调递增区间是_________。
10．函数f (x )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+--2,235212x x x x 的值域为_________。
11．设f (x )=lg [1+2x +3 x +…+(n -1) x +n x ·a ]，其中n 为给定正整数, n ≥2, a ∈R .若f (x )在x ∈(-∞,1]时有意义，求a 的取值范围。