高中数学竞赛讲义_平面向量

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【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题4 平面向量(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题4 平面向量（50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·全国·高三竞赛）已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，BC CA AB >>.则（）. A ．OA OB ⋅>OA OC ⋅>OB OC ⋅. B ．OA OB ⋅>OB OC ⋅>OA OC ⋅. C ．OB OC ⋅>OA OC ⋅>OA OB ⋅ D ．OA OC ⋅>OB OC ⋅>OA OB ⋅ 【答案】A 【解析】【详解】设ABC ∆的外接圆半径为R .则2cos2O R A OB C ⋅=,2cos2O R B OC A ⋅=,2cos2O R A OC B ⋅=.又由BC CA AB >>，可知sin sin sin 0A B C >>>.故22212sin 12sin 12sin A B C -<-<-，即cos2cos2cos2A B C <<.所以OA OB ⋅>OA OC ⋅>OB OC ⋅.2．（2019·全国·高三竞赛）设P 为ABC ∆所在平面内一动点.则使得PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅取得最小值的点P 是ABC ∆的（）. A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心【答案】C 【解析】【详解】注意到()()()()PA PB PB PC PC PA PA PA AB PA AB PA AC PA AC PA⋅+⋅+⋅=⋅+++⋅+++⋅222()32()3()33AB AC AB AC PA AB AC PA AB AC PA AB AC ++=++⋅+⋅=+-+⋅①当3AB ACPA +=，即P 为ABC ∆的重心时，式①取得最小值2()3AB AC AB AC +-+⋅.故答案为C3．（2018·全国·高三竞赛）设H 是ABC ∆所在平面上的一点，用a 、b 、c 、h 分别表示向量OA 、OB 、OC 、OH ．若⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅a b c h b c a h c a b h ，则H 是ABC ∆的．A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】D 【解析】【详解】由⋅+⋅=⋅+⋅a b c h b c a h ，得0⋅+⋅-⋅-⋅=a b c h b c a h ，即()()0-⋅-=a c b h ．所以0CA HB ⋅=,则HB CA ⊥．同理，HA BC ⊥．4．（2019·全国·高三竞赛）如图，在ABC ∆的边上做匀速运动的三个点P 、S 、R ，当0=t 时，分别从A 、B 、C 出发，当1t s =时，恰好同时到达B 、C 、A ．那么，这个运动过程中的定点是PQR ∆的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心【答案】D 【解析】【详解】依题意知AP BS CR AB BC CA λ===，设G 为PSR ∆的重心，则1(),3AG AP AS AR =++ 11[1)]()33AB AB BC AC AB AC λλλ+++-=+（. 所以，G 为ABC ∆的重心. 故答案为D5．（2018·全国·高三竞赛）如图，在凸四边形ABCD 中，4AB =，3BC =，52CD =，且90ADC ABC ∠=∠=︒.则BC AD→⋅→等于（）.A ．25334+B ．27334+C ．338+D ．29334+【答案】B 【解析】【详解】如图由勾股定理得225435222AC CD =+==⨯=，且90ADC ∠=︒，则30CAD ∠=︒. 又因90ADC ABC ∠=∠=︒，所以，A 、B 、C 、D 四点共圆. 联结BD ，则903060ABD ACD ∠=∠=︒-︒=︒. 设BAC α∠=（α为锐角），则3sin 5α=，()4cos 0605αα=︒<<︒. 作矩形CBAF ，则AF BC =，()903060FAD αα∠=︒-+︒=︒-.故()cos 3sin cos 60sin BC AD AF AD AF ADAB FAD ABD ADB α⎡⎤→⋅→=→⋅→=→⋅→∠=⋅∠︒-⎢⎥∠⎣⎦()413273sin60cos sin 33sin 90224ααα⎡⎤=⨯⋅︒+=+⎢⎥︒-⎣⎦.选B.编者注：此题用复数法解答比较简洁.6．（2018·全国·高三竞赛）已知P 为△ABC 内一点，且满足2PA+3PB+4PC=0，那么，::PBC PCA PAB S S S ∆∆∆等于.A ．1:2:3B ．2:3:4C ．3:4:2D ．4:3:2【解析】【详解】如图，延长PA 至D ，使PD=2PA ；延长PB 至E ，使PE=3PB ；延长PC 至F ，使PF=4PC.则PD+PE+PF=0.从而，P 为△DEF 的重心.于是，有 11113433436PBC PEF DEF DEF S S S S ∆∆∆∆==⨯=⨯⨯， 11114234224PCA PFD DEF DEF S S S S ∆∆∆∆==⨯=⨯⨯， 11112332318PAB PDE DEF DEF S S S S ∆∆∆∆==⨯=⨯⨯. 故111::::2:3:4362418PBC PCA PAB S S S ∆∆∆==.7．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知单位向量1e ，2e 的夹角为60°，向量12a xe ye =+，且12x ≤≤，12y ≤≤，设向量a 与1e 的夹角为α，则cos α的最大值为（）．A 6B 6C 57D 27【答案】C 【解析】【详解】由题意有2212cos x y x xy y α+=++ 则22222221344cos 11x xy yx xy y x x y y α++==-++⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为1,22x y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2425cos ,728α⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以max 517cos α=8．（2018·全国·高三竞赛）平面上的两个向量OA 、OB 满足OA a =，OB b =，且224a b +=，0⋅=OA OB .若向量(),OC OA OB λμλμ=+∈R ，且222211122a b λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则OC 的最大值是（） A ．12 B ．1 C ．2 D ．4【答案】C 【解析】【详解】因为OA a =，OB b =，且224a b +=，OA OB ⊥，所以，O 、A 、B 三点在以AB 的中点M 为圆心、1为半径的圆上. 又()12OM OA OB =+，OC OA OB λμ=+，则 11=22MC OC OM OA OBλμ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故21112222MC OA λλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.22221111222OA OB OB a b μλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.从而，点C 也在以M 为圆心，1为半径的圆上. 因此，O 、A 、B 、C 四点共圆，其圆心为M .当O 、M 、C 三点共线，即OC 为M 的一条直径时，max 2OC =.9．（2018·陕西·高三竞赛）在边长为8的正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是AD 边上一点，且3DN NA =，若对于常数m ，在正方形ABCD 的标上恰有6个不同的点P ，使PM PN m ⋅=，则实数m 的取值范围是A ．()8,8-B ．()1,24-C ．()1,8-D ．()0,8【答案】C 【解析】如图建立直角坐标系，()()()()0,0,8,4,0,2,,A M N P x y .由题意得：()()228,4,2868PM PN x y x y x x y y m ⋅=--⋅--=-+-+= ()()224317x y m ⇔-+-=+.即以()4,3为圆心，17m +为半径的圆与正方形四边有且仅有6个不同的交点，易由图形知()41751,0m m <+<⇒∈-.二、填空题10．（2018·吉林·高三竞赛）如图，在直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么CP CA CP CB ⋅+⋅=__________.【答案】4 【解析】【详解】解法一：因为()11213333CP CA AP CA AB CA AC CB CA CB =+=+=++=+，所以CP CA CP CB ⋅+⋅=22218443333CA CB +=+=. 解法二：以C 为原点，CA 、CB 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A （2，0）， B （0，2），P （43，23），有()2,0CA =，()0,2CB =，42,33CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以CP CA CP CB ⋅+⋅= 84433+=. 故答案为411．（2019·全国·高三竞赛）设ABC ∆的面积为1，边AB 、AC 的中点分别为E 、F ，P 为线段EF 上的动点，则2f PB PC BC =⋅+的最小值为__________．【答案】3 【解析】【详解】作PD BC ⊥于点D.设BC a =.如下左图，当点D 位于线段BC 或CB 的延长线上时， ()()f PD DB PD DC =+⋅++2BC 22PD DB DC a =+⋅+ 221234a a h a ah ≥+>=>. 如下右图，当点D 位于边BC 上时， ()()f PD DB PD DC =+⋅++ 2BC 22PD DB DC a =+⋅+ 2214a h DB DC a ≥-+ 2222231334442a a a a h a h a ah +≥-+=≥= 当D 为线段BC 的中点以及23a =时，上式等号成立. 综上，min 3f =. 故答案为312．（2019·全国·高三竞赛）设P 是ABC 所在平面上一点,满足2PA PB PC AB ++=.若ABC S ∆1=,则PAB S ∆=______. 【答案】13【解析】【详解】设O 为原点.则()()()OA OP OB OP OC OP PA PB PC -+-+-=++ ()22AB OB OA ==-,即()3OA OP OB OC -=-. 故3PA CB =.得PA BC ,且3BC PA =. 所以,PABS=11=33ABC S ∆. 故答案为1313．（2019·全国·高三竞赛）在△ABC 中，已知2,3,4AB AC BC ===，设0为△ABC 的内心，且AO AB BC λμ=+.则λ+μ=________．【答案】79【解析】【详解】设AO 与BC 交于点D. 由角平分线定理知23BD AB DC AC ==. 于是，3255AD AB AC =+. 又54AO AB AC AB AC OD BD CD BD CD ===+=，则 512939AO AD AB AC ==+ ()1239AB AB BC =++ 5299AB BC =+. 因此，79λμ+=. 故答案为7914．（2021·全国·高三竞赛）已知向量(cos ,sin ),(2,7)a b αα==，则|2|a b +的最大值是___________．【答案】5【解析】【详解】|2|2||||235a b a b +≤+≤+=，当14tan 2α=时等号成立故答案为：5.15．（2019·全国·高三竞赛）在正四面体ABCD 中，设14AE AB =，14CF CD =，记DE 和BF 所成的角为θ．则cos θ=______．【答案】413- 【解析】【详解】设正四面体棱长为4．则()()224cos43BF DE BC CF DA AE CF DA BC AE π⋅=+⋅+=⋅+⋅=⨯=-．而222cos133BF DE BC CF BC CF π==+-=，则4cos 13BF DE BF DEθ⋅==-⋅．16．（2019·全国·高三竞赛）如图，已知G 是ABO 的重心，若PQ 过点G ,且,,,OA a OB b OP ma OQ nb ====，则11m n+=_____.【答案】3 【解析】【详解】由1()2OM a b =+，可知21()33OG OM a b ==+.由P 、G 、Q 三点共线有PG GQ λ=.而111()()333PG OG OP a b ma m a b =-=+-=-+,111()(),333GQ OQ OG nb a b a n b =-=-+=-+-故11113333m n λ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为、a b 不共线，所以，11331133m n λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩. 解得3mn m n =+.故113m n+=. 故答案为317．（2021·全国·高三竞赛）ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 是ABC 的外心，点P 满足OP OA OB OC =++，若3B π=，且4BP BC ⋅=，则ABC 的面积为_________．【答案】【解析】【分析】【详解】由OP OA OB OC =++，得OP OA OB OC -=+，即AP OB OC =+．注意到()OB OC BC +⊥，所以AP BC ⊥．同理，BP AC ⊥，所以P 是ABC 的垂心， ()BP BC BA AP BC BA BC ⋅=+⋅=⋅，所以cos 4ac B =，8ac =，所以1sin 2ABC S ac B ==△故答案为：18．（2021·全国·高三竞赛）已知平面单位向量a b c x 、、、，且0a b c ++=，记||||||y x a x b x c =-+-+-，则y 的最大值为________．【答案】4 【解析】【分析】【详解】单位向量a b c 、、满足0a b c ++=，则有2,,,3a b b c c a π===，不妨设四个向量如图所示，分别为OA OB OC OX 、、、，X 在单位圆O 的AB 上．设||,||AX m BX n ==，则有223m n mn ++=，故有22()()334m n m n mn ++=+≤+，即有2m n +≤，故||||||||224y x a x b x c m n x c =-+-+-=++-≤+=．故答案为：4.19．（2021·全国·高三竞赛）已知点A 满足1||2OA =，B 、C 是单位圆O 上的任意两点，则AC BC ⋅的取值范围是__________．【答案】1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】【详解】(221()()()2AC BC OC OA OC OB OC OA OB OC ⋅=-⋅-=++--)222211()28OA OB OCOA CB --=+-. 又150||||||222OA CB OA CB ≤+≤+≤+=，取等可以保证，故所求范围为1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．（2020·浙江·高三竞赛）已知a ，b 为非零向量，且1a a b =+=，则2a b b ++的最大值为__________. 【答案】22【解析】解法一设()1,0a =，()cos 1,sin b θθ=-，则(cos 2cos sin222a b b θθ⎛⎫==+≤ ⎝++⎪⎭解法二设m an a b =⎧⎨=+⎩，则2a b n m a n m⎧+=+⎨=-⎩，且1n m ==，所以()()222222422a b b n m n m n m n mn m++=++-≤++-=+=故答案为：21．（2021·全国·高三竞赛）已知两个非零向量,m n 满足2,22m m n =+=，则2m n n ++的最大值是_____．【解析】【分析】【详解】设()()2,0,22cos ,2sin m m n x x =+=，则()cos 1,sin n x x =-．则：|2|||(cos m n n x ++===.当且仅当102cos 3(22cos )3x x +=-，即1cos 3x =.. 22．（2021·全国·高三竞赛）设P 是ABC 所在平面内一点，满足3PA PB PC AB ++=，若PAC △的面积为1，则PAB △的面积为__________.【答案】12【分析】【详解】因为3PA PB PC AB ++=，所以33PA AB AC AB ++=，即1322()2PA AB AC AB AC =-=-，记AC 的中点为M ，于是23PA MB =，因此1122PAB PAM PAC S S S ===.故答案为：12.23．（2021·全国·高三竞赛）已知、、A B C 为ABC 三内角，向量cos,3sin ,||222A B A B αα-+⎛⎫== ⎪⎝⎭.如果当C 最大时，存在动点M ，使得|||||MA AB MB 、、∣成等差数列，则||||MC AB 最大值为________.【解析】【分析】【详解】 2213||2cos 3sin 2cos()cos()22222A B A B A B A B α-+=⇔+=+--+= 1cos()3cos()2sin sin cos cos tan tan 2A B A B A B A B A B ⇔-=+⇔=⇔=， tan tantan tan()2(tan tan )tan tan 1A BC A B A B A B +=-+==-+≤---，等号成立仅当tan tan 2A B ==. 令||2AB c =，因||||4MA MB c +=，所以M 是椭圆2222143x y c c +=上的动点.故点C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设(,)M x y ，则： 22222224||432c MC x y c y y ⎛⎫=+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭221932c y =-+，||y ≤.当3y c =-时，22max max 72661||,||22MC c MC c ++==. 即max||2324||MC AB +=.故答案为：2324+. 24．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，32,5,cos ,5CAB AB AC D ===∠是边BC 上一点，且2BD DC =．若点P 满足BP 与AD 共线，PA PC ⊥，则||||BP AD 的值为_________．【答案】34或316【解析】【分析】【详解】因为2BD DC =，所以2()AD AB AC AD -=-，即1233AD AB AC =+．因为BP 与AD 共线，所以存在实数λ，使得BP AD λ=．因为1233AD AB AC =+，所以233BP AB AC λλ=+，从而2213333PA PB BA AB AC AB AB AC λλλλ⎛⎫=+=---=-+- ⎪⎝⎭21133PC PA AC AB AC λλ⎛⎫⎛⎫=+=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222422111133333PA PC AB AB AC AC λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++-⋅-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因为32,5,cos 5AB AC CAB ==∠=，所以2234,25,2565AB AC AB AC ==⋅=⨯⨯=，所以24221411612533333PA PC λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⨯++-⨯--⨯ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2128829λλ=--．因为PA PC ⊥，所以0PC PA ⋅=，即21288209λλ--=，解得34λ=或316λ=-．因此||3||4||BP AD λ==或316．故答案为：34或316.25．（2021·全国·高三竞赛）若平面向量a b a b +、、的模均在区间[]2,4内，则a b ⋅的取值范围是_________．【答案】[]14,4- 【解析】【分析】【详解】222222()||||2441422a b a b a b +----⋅=≥=-．等号成立当且仅当||||4,||2a b a b ==+=时成立．取边长为4、4、2的等腰OAB ，其中2AB =．令,OA a BO b ==即可．又222()()4444a b a b a b +--⋅=≤=．取(2,0)a b ==，等号成立．故答案为：[]14,4-.26．（2019·广西·高三竞赛）已知点P (－2，5)在圆22:220C x y x y F +--+=上，直线l ：3480x y ++=与圆C 相交于A 、B 两点，则AB BC →→⋅=____________ .【答案】32- 【解析】【详解】由已知求得圆C ：(x －1)2+(y －1)2=52到直线l 的距离为3，从而4||5,||8,cos 5BC AB ABC ==∠=. 所以||||cos()32AB BC AB BC ABC π⋅=-∠=-. 故答案为：32-．27．（2019·甘肃·高三竞赛）△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，点O 为△ABC 的外心，已知2220b b c -+=，那么BC AO ⋅的取值范围是____________ .【答案】1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【详解】延长AO 交△ABC 的外接圆于D ，得到 BC AO AO AC AO AB ⋅=⋅-⋅1122AD AC AD AB =⋅-⋅ ()2212b c =-21124b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 因为2220c b b =-+>，所以b ∈(0，2)，故1,24BC AO ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭.故答案为：1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．28．（2019·四川·高三竞赛）设正六边形ABCDEF 的边长为1，则()()AB DC AD BE +⋅+=______ .【答案】－3 【解析】【详解】如图所示，建立平面直角坐标系设C (1，0)，则1313,,,2222B A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1313,,,2222D E ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是13(1,0),22AB DC ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭33,22⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(1,3)(1,3)(0,23)AD BE +=-+--=-，于是33()()(0,23)32AB DC AD BE ⎛+⋅+=⋅-=- ⎝⎭.故答案为：3-．29．（2019·重庆·高三竞赛）已知向量,,a b c 满足()||:||:||1::3a b c k k +=∈Z ，且b a -=2()c b -，若α为,a c 的夹角，则cos α=_______ .【答案】112- 【解析】【详解】因为2()b a c b -=-，所以1233b a c =+，所以222144999b a c a c =++⋅.因为||||:||1::3a b c k ==，所以2144cos (2,6)93k α=++∈. 又因为k ∈Z +，所以k =2，所以1cos 12α=-.故答案为：112-．30．（2018·山东·高三竞赛）在ABC 中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，且有14AD AC t AB =+．若8AB =，则AD =______．【答案】63 【解析】【详解】过点D 作DE AB 交AC 于点E ，DF AC 交AB 于点F ，由题设14AD AC t AB AE AF =+=+，所以14AE AC =，13AE EC =，AF t AB =．因此13AE BD BF AB EC CD FA AC ====，所以24AC =，334FA BF AB ==，因此34t =．所以22131313444444AD AC AB AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22196108161616AC AB AC AB =++⋅=．由此得63AD =31．（2018·河北·高三竞赛）设点O 为三角形ABC 内一点，且满足关系式： 23=AOBBOC COAABCSS SS++_____.【答案】116【解析】【详解】将OA 2OB 3OC 32CA AB BC ++=++化为3OA OB 2OC 0++=，()()OA OB 2OA OC 0+++=.设M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则OM 2ON =-. 设△ABC 的面积为S ，由几何关系知12BOCS S =，13AOHS S =，16AOCS S =，所以23116AOBBOC COAABCSS SS++=.32．（2018·全国·高三竞赛）在等腰△ABC中，已知AC BC ==D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且AD =DB=EF=1．若25·16DE DF ≤，则·EF BA 的取值范围是_______．【答案】423⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】【详解】以D 为原点、射线DB 和DC 分别为x 和y 轴正方向建立平面直角坐标系.则 A(-1,0)，B(1,0)，C(0,2).设点()()1122,,,E x y F x y ，其中，112222,22y x y x =-+=+.设线段EF 的中点为()00,M x y .则()121201212024,22.2y y x x x y y x x y ⎧-=-+=-⎪⎨+-==-⎪⎩ 由EF=1，得()()2200421x y -+-=. ①故()()2200041201 3.x y y -=--≥⇒≤≤ ②又()()222221125·4416DE DF DE DF DE DF DM EF DM ⎡⎤=+-+=-=-≤⎢⎥⎣⎦ 222002929.1616DM x y ⇒≤⇒+≤ ③ 将式①代入式③，消去0x ，整理得220002984154321653y y y --≤⇒-≤≤. ④ 综合式②、④得041.3y ≤≤于是，12312x x ≤-≤. 故()()()2121124·,?1,02,23EF BA x x y y x x ⎡⎤=---=-∈⎢⎥⎣⎦. 33．（2018·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系中，已知O 为原点，点()1,0A -，(B ，动点C 在圆()2234x y -+=上运动，则OA OB OC ++的最大值为_________．2 【解析】【详解】令()[)()32cos ,2sin 0,2C θθθπ+∈，则(2OA OB OC ++=()()()2222232cos 2sin 72θθ≤+++=+.当且仅当点()3,2与()2cos ,2sin θθ的连线过原点O 时，上式等号成立.这显然是可以取得的.34．（2019·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，已知O 为BC 的中点，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，且6AM =，4MB =，4AN =，3NC =，90MON ∠=︒．则cos A =______．【答案】38【解析】【详解】令AB a =，AC b =．则10a =，7b =．因为O 为BC 的中点，所以，1122AO a b =+．由题意知35AM a =，47AN b =．故31111522102OM AM AO a a b a b ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎝⎭，41111722214ON AN AO b a b a b ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭．由90MON ∠=︒，知11110102214OM ON a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221910203528a a b b ⇒-+⋅-=191100107cos 490203528A ⇒-⨯+⨯⨯-⨯= 3cos 8A ⇒=．故答案为3835．（2018·全国·高三竞赛）已知D 为ABC 边AB 上的一点, P 为ABC 内一点,且满足3D 4A AB =,25AP AD BC =+.则APD ABCS S =△△ ______. 【答案】310【解析】【详解】注意到, 1sin 23232154510sin 2APD ABC AD DP ADP S DP BC DP BC ADP B S AB BC B ∠=⇒⇒∠=∠⇒==⨯= 36．（2018·全国·高三竞赛）已知O 是ABC 的外心.若AB AC =,30CAB ∠=︒,且12CO CA CB λλ=+,则12λλ=______.【答案】12【解析】【详解】不妨设2AB =.以A 为原点、AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.则()())0,0,2,0,A BC . 设外心为()O 1,y .由C OA O =，得())()222111y y+=+-.解得2y =则(()()12121121CO CA CB λλλλ==+=-+-.解得13,λ= 22λ=.故1212λλ=.37．（2018·全国·高三竞赛）在△ABC 中，已知∠A=120︒，记向量,cos cos BABCBA A BC C α=+.cos cos CACBCA A CB B β=+则α与β的夹角等于________.【答案】60︒【解析】【详解】注意到1221IG F F IG PF IG PF ⋅=⋅-⋅，即,CA BA αβ⊥⊥.从而，α与β的夹角与∠A 相等或互补.又11.cos ?cos cos cos cos cos ?cos BA CBBC CBB C ABA CB A B BC CB B C αβ⋅⋅⋅=+=--⋅⋅⋅ 显然，cos cos cos 0.B C A ⋅>->则0.αβ⋅>因此，α与β的夹角等于60.︒38．（2018·全国·高三竞赛）如图，设G H 、分别为ABC ∆的重心、垂心，F 为线段GH 的中点，ABC ∆外接圆的半径1R =．则222AF BF CF ++ =_______．【答案】3【解析】【详解】以ABC ∆的外心O 为原点建立平面直角坐标系.于是， O H OA OB OC =++，()1 3OG OA OB OC =++. 则()()1223OF OG OH OA OB OC =+=++. 故222AF BF CF ++()()()()()()OA OF OA OF OB OF OB OF OC OF OC OF =-⋅-+-⋅-+-⋅- ()22223OA OB OC OA OB OC OF OF OF =++-++⋅+⋅2223OA OB OC =++=39．（2019·全国·高三竞赛）如图，M ，N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 的内分点，且AM CN AC CE λ==，若B 、M 、N 三点共线，则λ=______.3【解析】【详解】延长EA 、CB 交于点P ，设正六边形边长为1，易知2PB =，A 为EP 的中点，3EA AP ==，由AM AC λ=，可得(1)CM CA λ=-，又3CP CB =，CA 是PCE ∆边PE 上的中线，CN CE λ=，则有1()2CA CE CP =+，即113122λλ=+-，整理得CM ()31122λλλ--=+，因为当B 、M 、N 三点共线时，存在实数t 使得(1)CM t CN tCB =-+，故()311122λλλ--+=，解得λ=40．（2019·全国·高三竞赛）设实常数k 使得方程222250x y xy x y k +-+++=在平面直角坐标系xOy 中表示两条相交的直线,交点为P.若点A 、B 分别在这两条直线上,且||1PA PB ==,则PA PB ⋅=_____.【答案】45± 【解析】【详解】由题设知，关于x y 、的二次多项式222250x y xy x y k +-+++=可以分解为两个一次因式的乘积.因()()2222522x y xy x y x y +-=-+-+，所以，()()2222522x y xy x y k x y a x y b +-+++=-++-++，其中，a b 、为待定的常数.将上式展开后比较对应项的系数得,21,21ab k a b b a =--=+= .解得1,1,1a b k ==-=-.再由210,210,x y x y -++=⎧⎨-+-=⎩得两直线斜率为121,22k k ==，交点()1,1P . 设两直线的夹角为θ（θ为锐角）.则212134tan ,cos 145k k k k θθ-===+.故PA PB ⋅cos PA PB θ=⋅ 或()4cos 180cos 5PA PB PA PB θθ⋅︒-=±⋅=±. 故答案为45± 41．（2018·全国·高三竞赛）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB c =.沿向量AB 的方向，点121,,,n M M M -将线段AB 分成了n 等份.设0A M =，n B M =.则()11211lim n n CA CM CM CM CM CB n -→+∞⋅+⋅++⋅=______. 【答案】23c【解析】【详解】设CB a =，CA b =.则222a b c +=.故i n i iCM CA CB n n -=+.由0CA CB ⋅=，得111lim ni in i CM CM n -→∞=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑()()()22221111lim n n i i i ni n i ab n n n →∞=⎡⎤---+=+⎢⎥⎣⎦∑()()222111lim n n i ii b a n n→∞=-=-∑()222223211lim lim33nn n i c n c i i c n n →∞→∞=-=-==∑.42．（2019·全国·高三竞赛）设点O 在ABC 的外部，且230OA OB OC --=.则:ABC OBC S S =______.【答案】4【解析】【详解】如图，设D ，E 分别是边AB 、BC 的中点，联结CD .则2OA OB OD += ① 2OB OC OE += ②3-⨯①②得2326OA OB OC OD OE →=--=-. 则3OD OE =.因此，OD 与OE 共线，且3OD OE =. 于是，2DE OE =.故221BCD OBC S S ==，24ABCBCD OBC OBCS S S S ==. 43．（2018·全国·高三竞赛）已知向量a 、b 满足·2a b a b ===，且()()·0a c b c --=.则2b c -的最小值为______.71【解析】【详解】注意到，·1cos ,,=23a b a b a b a b π==⇒. 由此可设()(2,0,3b a == .设(),c m n = . 由()()()()())2233·01203012a c b c m m n n m n ⎛⎛⎫--=⇒--+-=⇒-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 设33cos ,sin 2m n αα=+=. 又()24,b c m n -=--，则()()2252485cos 3sin 827sin arctan 3b c m n ααα⎛⎫-=-+=--=--+ ⎪⎝⎭ 82771≥-=-.因此，min 271b c -=-.44．（2018·江苏·高三竞赛）在ABC ∆中，5AB =，4AC =，且12AB AC ⋅=，设P 为平面ABC 上的一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是________.【答案】658-【解析】【详解】由5AB =，4AC =，且12AB AC ⋅=得3cos 5A =.如图，以A 为坐标原点，AC 为x 轴建立直角坐标系，则()4,0C ，()3,4B ，设(),P x y ，则()()()22,72,422724PA PB PC x y x y x x y y ⋅+=--⋅--=-+-()2276522148x y ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭.即()PA PB PC ⋅+的最小值是658-.故答案为658-45．（2018·贵州·高三竞赛）已知O 为△ABC 所在平面上一定点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，其[]0λ∈+∞，，则P 点的轨迹为________．【答案】∠BAC 的角平分线【解析】【详解】 AB AC AB AC OP OA AB AC AB AC λλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=++⇒=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 而AB AC AB AC ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭，且[]0λ∈+∞，，所以AB AC AB AC λ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭表示∠BAC 的角平分线上的一个向量．因此，P 点的轨迹为∠BAC 的角平分线．故答案为∠BAC 的角平分线46．（2021·全国·高三竞赛）已知平面向量a ､b ､c ，满足||2,||||5,01a b c λ===<<，若0b c ⋅=，那么2|()|(1)()5a b b c c b c λλ-+-++--的最小值为___________.2##2-【解析】【分析】设(,),(5,0),(0,5)a x y b c ===，则2|()|(1)()5a b b c c b c λλ-+-++--即为点(55,5)P λλ-到点(,)A x y （圆224x y +=上的动点）的距离与到点(0,3)D 的距离，利用对称可求其最小值.【详解】解析：建立直角坐标系.设(,),(5,0),(0,5)a x y b c ===，则2|()|(1)()5a b b c c b c λλ-+-++-- 2222[(55)](5)(550)(53)x y λλλλ=--+---+-问题转化为点(55,5)P λλ-到点(,)A x y 的距离与到点(0,3)D 的距离之和最小，其中点(55,5)P λλ-在直线5(05)x y x +=<<上运动，点(,)A x y 在圆224x y +=上运动，所以||||||||||||2PD PA PD PO r PD PO +≥+-=+-.点O 关于直线5x y +=对称的点为(5,5)G ，所以22|||||5229PD PO DG +≥+=∣ 所以||||292PD PA +≥292.292.【点睛】思路点睛：向量的模的最值问题，可建立平面直角坐标系，将问题转化为动点到几何对象的距离和最值的问题.47．（2019·贵州·高三竞赛）在△ABC 中，0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=.则(tan tan )tan tan tan A B C A B+⋅=____________ .【答案】12【解析】【详解】设△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c . 由0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=，知G 为△ABC 的重心.又GA ⊥GB ，所以22222222211221122GA GB c GA GB a GB GA b ⎧⎪+=⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩. 得到2225a b c +=.故：(tan tan )tan (sin cos cos sin )sin tan tan sin sin cos A B C A B A B C A B A B C++=⋅ 2sin sin sin cos C A B C =()22222abc ab a b c =+-2222212c a b c ==+-. 故答案为：12．48．（2021·全国·高三竞赛）已知三个非零向量a 、b 、c ，满足||a b c a b b c c a t λ++=⋅+⋅+⋅=（其中λ为给定的正常数）．则实数t 的最小值为___________．【答案】23λ【解析】【分析】应用()()222211||||cos ,||||||||22a b a b a b a b a b a b ⋅=⋅<>≤⋅≤+=+及求和的轮换关系得到2222cyc cyc||23t a b c a a b t λ=++=+⋅≥∑∑，再分类讨论即可得解.【详解】 ()()222211||||cos ,||||||||22a b a b a b a b a b a b ⋅=⋅<>≤⋅≤+=+，所以2cyc cyc a b a ⋅≤∑∑．故2222cyc cyc||23t a b c a a b t λ=++=+⋅≥∑∑．假设0=t ，则0,()0a b c a b a b c ++=⋅++⋅=．故2222()2a b c a b a b c a b a b +=-⋅=-+⋅-⋅=-⋅，所以22||||||||||2||||a b a b a b a b ⋅≥⋅=+≥⋅，这与a 、b 为非零向量矛盾．从而0t >．又223t t λ≥，所以23t λ≥，当,,a b c 两两同向且模均为λ时等号成立．故2min 3t λ=．故答案为：23λ三、解答题49．（2020·浙江温州·高一竞赛）若平面上的点111222333()(),,,,,(),2)1(,A x y A x y A x y C -满足1235CA CA CA ===．（1）求12CA CA -的最大值；（2）设向量(,)m a b =,(,)n c d =,定义运算m n ac bd ⊗=-．若21230A A A A ⋅=,求122331OA OA OA OA OA OA ⊗+⊗+⊗的取值范围．(其中О为坐标原点)【答案】（1）（2）[]24,6-．【解析】【详解】（1）因为121225CA CA CA CA -≤+=等号当且仅当向量1CA 与2CA 反向共线时成立,所以12CA CA -的最大值为（2）由于1235CA CA CA ===所以点123,,A A A 在以C 为圆心又因为21230A A A A ⋅=,所以13A A 为圆的直径,则点C 为A 1A 3的中点．所以122331OA OA OA OA OA OA ⊗+⊗+⊗121223233131x x y y x x y y x x y y =-+-+-① 因为点C 为13A A 的中点,所以132x x +=,134y y +=-,代入式①可得原式=2213132211112424(2)(4)x y x x y y x y x x y y ++-=++----222211112424x y x x y y =+-+++②因为125CA CA ==所以()()()()22112222125125x y x y ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩, 可得221111244x x y y -+=+≥-,再代入式②可化简为：22211242(2)x y x x ++-+,且21182(2)2x x -≤-+≤．设21x α=,22y α=-,则22246x y αα+=-++4[]16,∈-．故122331OA OA OA OA OA OA ⊗+⊗+⊗22211242(2)x y x x =++-+6[]24,∈-．50．（2021·全国·高三竞赛）已知点(2cos ,sin ),(2cos ,sin ),(2cos ,sin )A B C ααββγγ，其中,,[0,2)αβγπ∈，且坐标原点O 恰好为ABC 的重心，判断ABCS是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】三角形ABC 【解析】【分析】【详解】先证明一个引理：若()()1122,,,,(0,0)A x y B x y C ，则122112ABCS x y x y =-．因为()()1122,,,CA x y CB x y ==，所以21cos CA CB C CA CBx⋅==⨯所以sin C ==所以：1sin 2ABCSCA CB C =⋅⋅12211122x y x y==-回到原题，连结OA、OB、OC，则：ABC OAB OBC OACS S S S=++112cos sin2sin cos2cos sin2sin cos22αβαββγβγ=-+-12cos sin2sin cos2αγαγ+-sin()sin()sin()αββγαγ=-+-+-．由三角形的重心为原点得sin sin sin0,2cos2cos2cos0.αβγαβγ++=⎧⎨++=⎩即sin sin sin,cos cos cos.αβγαβγ+=-⎧⎨+=-⎩所以两式平方相加可得1cos()2αβ-=-，所以sin()αβ-=，同理sin()sin()βγαγ-=-=，所以sin()sin()sin()3ABCSαββγαγ=-+-+-==故三角形ABC【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题4 平面向量（50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·全国·高三竞赛）已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，BC CA AB >>.则（）. A ．OA OB ⋅>OA OC ⋅>OB OC ⋅. B ．OA OB ⋅>OB OC ⋅>OA OC ⋅. C ．OB OC ⋅>OA OC ⋅>OA OB ⋅ D ．OA OC ⋅>OB OC ⋅>OA OB ⋅2．（2019·全国·高三竞赛）设P 为ABC ∆所在平面内一动点.则使得PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅取得最小值的点P 是ABC ∆的（）. A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心3．（2018·全国·高三竞赛）设H 是ABC ∆所在平面上的一点，用a 、b 、c 、h 分别表示向量OA 、OB 、OC 、OH ．若⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅a b c h b c a h c a b h ，则H 是ABC ∆的．A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心4．（2019·全国·高三竞赛）如图，在ABC ∆的边上做匀速运动的三个点P 、S 、R ，当0=t 时，分别从A 、B 、C 出发，当1t s =时，恰好同时到达B 、C 、A ．那么，这个运动过程中的定点是PQR ∆的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心5．（2018·全国·高三竞赛）如图，在凸四边形ABCD 中，4AB =，3BC =，52CD =，且90ADC ABC ∠=∠=︒.则BC AD→⋅→等于（）.A ．25334B ．27334C ．338D ．293346．（2018·全国·高三竞赛）已知P 为△ABC 内一点，且满足2PA+3PB+4PC=0，那么，::PBC PCA PAB S S S ∆∆∆等于.A ．1:2:3B ．2:3:4C ．3:4:2D ．4:3:27．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知单位向量1e ，2e 的夹角为60°，向量12a xe ye =+，且12x ≤≤，12y ≤≤，设向量a 与1e 的夹角为α，则cos α的最大值为（）．A 6B 6C 57D 278．（2018·全国·高三竞赛）平面上的两个向量OA 、OB 满足OA a =，OB b =，且224a b +=，0⋅=OA OB .若向量(),OC OA OB λμλμ=+∈R ，且222211122a b λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则OC 的最大值是（） A ．12B ．1C ．2D ．49．（2018·陕西·高三竞赛）在边长为8的正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是AD 边上一点，且3DN NA =，若对于常数m ，在正方形ABCD 的标上恰有6个不同的点P ，使PM PN m ⋅=，则实数m 的取值范围是A ．()8,8-B ．()1,24-C ．()1,8-D ．()0,8二、填空题10．（2018·吉林·高三竞赛）如图，在直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么CP CA CP CB ⋅+⋅=__________.11．（2019·全国·高三竞赛）设ABC ∆的面积为1，边AB 、AC 的中点分别为E 、F ，P 为线段EF 上的动点，则2f PB PC BC =⋅+的最小值为__________．12．（2019·全国·高三竞赛）设P 是ABC 所在平面上一点,满足2PA PB PC AB ++=.若ABC S ∆1=,则PAB S ∆=______.13．（2019·全国·高三竞赛）在△ABC 中，已知2,3,4AB AC BC ===，设0为△ABC 的内心，且AO AB BC λμ=+.则λ+μ=________．14．（2021·全国·高三竞赛）已知向量(cos ,sin ),(2,7)a b αα==，则|2|a b +的最大值是___________．15．（2019·全国·高三竞赛）在正四面体ABCD 中，设14AE AB =，14CF CD =，记DE 和BF 所成的角为θ．则cos θ=______．16．（2019·全国·高三竞赛）如图，已知G 是ABO 的重心，若PQ 过点G ,且,,,OA a OB b OP ma OQ nb ====，则11m n+=_____.17．（2021·全国·高三竞赛）ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 是ABC 的外心，点P 满足OP OA OB OC =++，若3B π=，且4BP BC ⋅=，则ABC 的面积为_________．18．（2021·全国·高三竞赛）已知平面单位向量a b c x 、、、，且0a b c ++=，记||||||y x a x b x c =-+-+-，则y 的最大值为________．19．（2021·全国·高三竞赛）已知点A 满足1||2OA =，B 、C 是单位圆O 上的任意两点，则AC BC ⋅的取值范围是__________．20．（2020·浙江·高三竞赛）已知a ，b 为非零向量，且1a a b =+=，则2a b b ++的最大值为__________.21．（2021·全国·高三竞赛）已知两个非零向量,m n 满足2,22m m n =+=，则2m n n ++的最大值是_____．22．（2021·全国·高三竞赛）设P 是ABC 所在平面内一点，满足3PA PB PC AB ++=，若PAC △的面积为1，则PAB △的面积为__________.23．（2021·全国·高三竞赛）已知、、A B C 为ABC 三内角，向量cos,3sin ,||222A B A B αα-+⎛⎫== ⎪⎝⎭.如果当C 最大时，存在动点M ，使得|||||MA AB MB 、、∣成等差数列，则||||MC AB 最大值为________.24．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，32,5,cos ,5CAB AB AC D ===∠是边BC 上一点，且2BD DC =．若点P 满足BP 与AD 共线，PA PC ⊥，则||||BP AD 的值为_________．25．（2021·全国·高三竞赛）若平面向量a b a b +、、的模均在区间[]2,4内，则a b ⋅的取值范围是_________．26．（2019·广西·高三竞赛）已知点P (－2，5)在圆22:220C x y x y F +--+=上，直线l ：3480x y ++=与圆C 相交于A 、B 两点，则AB BC →→⋅=____________ .27．（2019·甘肃·高三竞赛）△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，点O 为△ABC 的外心，已知2220b b c -+=，那么BC AO ⋅的取值范围是____________ . 28．（2019·四川·高三竞赛）设正六边形ABCDEF 的边长为1，则()()AB DC AD BE +⋅+=______ .29．（2019·重庆·高三竞赛）已知向量,,a b c 满足()||:||:||1::3a b c k k +=∈Z ，且b a -=2()c b -，若α为,a c 的夹角，则cos α=_______ .30．（2018·山东·高三竞赛）在ABC 中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，且有14AD AC t AB =+．若8AB =，则AD =______． 31．（2018·河北·高三竞赛）设点O 为三角形ABC 内一点，且满足关系式：23=AOBBOC COAABCSS SS++_____.32．（2018·全国·高三竞赛）在等腰△ABC 中，已知5AC BC ==，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且AD =DB=EF=1．若25·16DE DF ≤，则·EF BA 的取值范围是_______． 33．（2018·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系中，已知O 为原点，点()1,0A -，()0,3B ，动点C 在圆()2234x y -+=上运动，则OA OB OC ++的最大值为_________．34．（2019·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，已知O 为BC 的中点，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，且6AM =，4MB =，4AN =，3NC =，90MON ∠=︒．则cos A =______．35．（2018·全国·高三竞赛）已知D 为ABC 边AB 上的一点, P 为ABC 内一点,且满足3D 4A AB =,25AP AD BC =+.则APD ABCS S =△△ ______. 36．（2018·全国·高三竞赛）已知O 是ABC 的外心.若AB AC =,30CAB ∠=︒,且12CO CA CB λλ=+,则12λλ=______.37．（2018·全国·高三竞赛）在△ABC 中，已知∠A=120︒，记向量,cos cos BA BC BA ABC Cα=+.cos cos CA CB CA ACB Bβ=+则α与β的夹角等于________.38．（2018·全国·高三竞赛）如图，设G H 、分别为ABC ∆的重心、垂心，F 为线段GH 的中点，ABC ∆外接圆的半径1R =．则222AF BF CF ++ =_______．39．（2019·全国·高三竞赛）如图，M ，N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 的内分点，且AM CNAC CEλ==，若B 、M 、N 三点共线，则λ=______.40．（2019·全国·高三竞赛）设实常数k 使得方程222250x y xy x y k +-+++=在平面直角坐标系xOy 中表示两条相交的直线,交点为P.若点A 、B 分别在这两条直线上,且||1PA PB ==,则PA PB ⋅=_____.41．（2018·全国·高三竞赛）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB c =.沿向量AB 的方向，点121,,,n M M M -将线段AB 分成了n 等份.设0A M =，n B M =.则()11211limn n CA CM CM CM CM CB n -→+∞⋅+⋅++⋅=______.42．（2019·全国·高三竞赛）设点O 在ABC 的外部，且230OA OB OC --=.则:ABCOBCSS=______.43．（2018·全国·高三竞赛）已知向量a 、b 满足·2a b a b ===，且()()·0a c b c --=.则2b c -的最小值为______.44．（2018·江苏·高三竞赛）在ABC ∆中，5AB =，4AC =，且12AB AC ⋅=，设P 为平面ABC 上的一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是________.45．（2018·贵州·高三竞赛）已知O 为△ABC 所在平面上一定点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，其[]0λ∈+∞，，则P 点的轨迹为________．46．（2021·全国·高三竞赛）已知平面向量a ､b ､c ，满足||2,||||5,01a b c λ===<<，若0b c ⋅=，那么2|()|(1)()5a b b c c b c λλ-+-++--的最小值为___________. 47．（2019·贵州·高三竞赛）在△ABC 中，0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=.则(tan tan )tan tan tan A B CA B+⋅=____________ .48．（2021·全国·高三竞赛）已知三个非零向量a 、b 、c ，满足||a b c a b b c c a t λ++=⋅+⋅+⋅=（其中λ为给定的正常数）．则实数t 的最小值为___________．三、解答题49．（2020·浙江温州·高一竞赛）若平面上的点111222333()(),,,,,(),2)1(,A x y A x y A x y C -满足1235CA CA CA ===．（1）求12CA CA -的最大值；。

高考数学总复习五《平面向量》讲义

高考数学总复习五《平面向量》讲义第十三讲平面向量的概念与运算一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +2．(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．04．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2016年山东）已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为A ．4B ．–4C ．94D ．–946．（2016年天津）已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为 A ．85-B ．81 C ．41 D ．8117．（2016年全国II ）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()+⊥a b b ，则m = A ．8- B ．6- C ．6 D ．88．（2016年全国III ）已知向量1(,22BA = ,31(,),22BC = 则ABC ∠=A ．30B ．45C ．60D ．1209．(2015重庆)若非零向量a ，b 满足=a ，且()(32)-⊥+ab a b ，则a 与b 的夹角为 A ．4π B ．2π C ．34π D ．π10．（2015陕西）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是A ．||||||⋅≤a b a bB ．||||||||--≤a b a bC ．22()||+=+a b a bD ．22()()+-=-a b a b a b11．（2015安徽）ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ=a ，2ΑC =+a b ，则下列结论正确的是A ．1=bB ．⊥a bC ．1⋅=a bD ．()4ΒC -⊥a b12．（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA ．ADB ． AD 21C ． BC 21D ． BC13．（2014新课标2）设向量a ,b 满足|+a b |-a b ⋅=a bA ．1B ．2C ．3D ．514．(2014山东)已知向量(1(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =A ．B C ．0D ．15．（2014安徽）设,a b 为非零向量，2=b a ，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为 A ．23π B ．3π C ．6πD ．0 16．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)==e eB ．12(1,2),(5,2)=-=-e eC ．12(3,5),(6,10)==e e D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e17．（2014浙江）设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||t +b a 是最小值为1A ．若θ确定，则||a 唯一确定B ．若θ确定，则||b 唯一确定C ．若||a 确定，则θ唯一确定D ．若||b 确定，则θ唯一确定18．（2014重庆）已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ，则实数k =A ．92-B ．0C ．3D ．15219．（2013福建）在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==BD AC ，则该四边形的面积为A ．5B ．52C ．5D ．1020．（2013浙江）设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014PB AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅⋅≥．则 A ．090=∠ABC B ．090=∠BAC C ．AC AB = D ．BC AC =21．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 22．（2013湖北）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为A B C ． D ． 23．（2013湖南）已知,a b 是单位向量，0⋅a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则c 的最大值为A 1BC 1D 224．（2013重庆）在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==,12AP AB AB =+．若12OP <，则OA 的取值范围是A ．0,2⎛ ⎝⎦ B ． 22⎛ ⎝⎦ C ． 2⎛ ⎝ D ．2⎛ ⎝ 25．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．426．（2012陕西）设向量a =（1,cos θ）与b =（-1,2cos θ）垂直，则cos 2θ等于A ．2B ．12C ．0D ．－127．（2012浙江）设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a bC ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b aD ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b28．（2011广东）已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=A ．14B ．12C ．1D ．229．（2011辽宁）已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，(2)0⋅-=a a b ，则=kA ．12-B ．6-C ．6D ．1230．（2010辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA=a ，OB =b ，则△OAB 的面积等于A BC D 31．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)m n =a ，(,)p q =b ，令mq np =-ab ，下面说法错误的是A ．若a 与b 共线，则0=a bB ．=ab b aC ．对任意的R λ∈，有()()λλ=a b a bD ．2222()()||||+•=a b a b a b二、填空题32．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若(2)+∥c a b ，则λ= ．33．(2017新课标Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b = ． 34．(2017浙江)已知向量a ,b 满足||1=a ,||2=b ,则||||++-a b a b 的最小值是，最大值是．35．(2017山东)已知1e ，2e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是．36．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45．若OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），则m n += ．37．(2016全国I)设向量(,1)m =a ，(1,2)=b ，且222||||||+=+a b a b ，则m = . 38．(2015江苏)已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n - 的值为___．39．（2015湖北）已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ．40．(2015新课标Ⅰ)设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ___． 41．（2015浙江）已知12,e e 是空间单位向量，1212⋅=e e ，若空间向量b 满足12⋅=b e ，252⋅=b e ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)x y x y x y R -+-+=∈≥b e e b e e ，则0x =____，0y =_____，=b _____．42．（2014新课标Ⅰ）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为．43．(2014山东)在ABC 中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC 的面积为．44．（2014安徽）已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成．记112233S x y x y x y =⋅+⋅+⋅4455x y x y +⋅+⋅，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是____（写出所有正确命题的编号）． ①S 有5个不同的值． ②若⊥a b 则min S 与||a 无关． ③若∥a b 则min S 与||b 无关． ④若||4||>b a ，则0min >S ．⑤若||2||=b a ，2min 8||S =a ，则a 与b 的夹角为4π． 45．(2014北京)已知向量a 、b 满足1=a ，(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则λ=__．46．（2014陕西）设20πθ<<，向量()sin 2cos θθ=，a ，()cos 1θ，b ，若∥a b ，则=θtan _______．47．（2014四川）平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，m =+c a b （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =____________．48．（2013新课标Ⅰ）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =_____．49．（2013新课标Ⅱ）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ⋅= ． 50．（2013山东）已知向量AB 与AC 的夹角120，且|AB |=3，|AC |=2，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为_____．51．（2013浙江）设1e ，2e 为单位向量，非零向量12x y =+b e e ，,x y ∈R ，若1e ，2e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于________． 52．（2013天津）在平行四边形ABCD 中，AD = 1，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若·1AC BE =，则AB 的长为．53．（2013北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (λ，μ∈R )，则λμ= ．54．（2013北京）已知向量a ，b 夹角为o45，且||1=a ，|2|10-a b ||=b ．55．（2012湖北）已知向量a =（1，0），b =（1，1），则（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为____________；（Ⅱ）向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为____________。

高中数学竞赛_直线圆锥曲线平面向量

专题五直线圆锥曲线平面向量一能力培养1,函数与方程思想 2,数形结合思想 3,分类讨论思想 4,转化能力 5,运算能力二问题探讨问题1设坐标原点为O,抛物线22y x =与过焦点的直线交于A,B 两点,求OA OB ⋅的值.问题2已知直线L 与椭圆22221x y a b +=交于P,Q 不同两点,记OP,OQ 的斜率分别为OP k ,OQ k ,如果22OP OQb k k a⋅=-,求PQ 连线的中点M 的轨迹方程.问题3给定抛物线C:24y x =,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点.(I)设l 的斜率为1,求OA 与OB夹角的大小;(II)设FB AF λ=,若[4,9]λ∈,求l 在y 轴上截距的变化范围.问题4求同时满足下列三个条件的曲线C 的方程:①是椭圆或双曲线; ②原点O 和直线1x =分别为焦点及相应准线;③被直线0x y +=垂直平分的弦AB 的长为三习题探选择题1已知椭圆2215x y k+=的离心率e =,则实数k 的值为A,3 B,3或25332一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切,则动圆圆心的轨迹为 A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线3已知双曲线的顶点为(2,1)-与(2,5),它的一条渐近线与直线340x y -=平行,则双曲线的准线方程是 A,925y =±B,925x =± C,1225y =± D,1225x =± 4抛物线22y x =上的点P 到直线4y x =+有最短的距离,则P 的坐标是 A,(0,0) B,1(1,)2 C,1(,1)2 D,11(,)225已知点F 1(,0)4,直线l :14x =-,点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点M,则点M 的轨迹是A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线填空题6椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离为103,则此椭圆的方程为 . 7与方程3x y =的图形关于y x =-对称的图形的方程是 . 8设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,且分PA所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 .9设椭圆与双曲线有共同的焦点12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍, 则椭圆与双曲线的交点轨迹是 . 解答题10已知点H (3,0)-,点P 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,点M 在直线PQ 上,且满足0HP PM ⋅= ,32PM MQ =- .(I)当点P 在y 轴上移动时,求点M 的轨迹C;(II)过点T (1,0)-作直线l 与轨迹C 交于A,B 两点,若在x 轴上存在一点E 0(,0)x , 使得ABE ∆是等边三角形,求0x 的值.11已知双曲线C:22221x y a b-=(0,0)a b >>,点B,F 分别是双曲线C 的右顶点和右焦点,O 为坐标原点.点A 在x 轴正半轴上,且满足,,OA OB OF成等比数列,过点F 作双曲线C 在第一,第三象限的渐近线的垂线l ,垂足为P.(I)求证:PA OP ⋅= PA FP ⋅; (II)设1,2a b ==,直线l 与双曲线C 的左,右两分支分别相交于点D,E,求DFDE的值.12已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.四参考答案问题1解:(1)当直线AB ⊥x 轴时,在22y x =中,令12x =,有1y =±,则 11(,1),(,1)22A B -,得113(,1)(,1)224OA OB ⋅=⋅-=- . (2)当直线AB 与x 轴不互相垂直时,设AB 的方程为:1()2y k x =-由21(22y k x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,消去y ,整理得22221(2)04k x k x k -++=,显然0k ≠.设1122(,),(,)A x y B x y ,则21212221,4k x x x x k ++=⋅=,得 OA OB ⋅= 1122(,)(,)x y x y ⋅=12x x ⋅+1y 2y =12x x ⋅+11(2k x -21(2k x ⋅-=22212121(1)()24k k x x x x k +⋅-++=22222121(1)424k k k k k ++-⋅+=34-.综(1),(2)所述,有34OA OB ⋅=-. 问题2解:设点P,Q,M 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,(,)x y由条件知2211221x y a b += ①2222221x y a b += ②122x x x +=,122y y y += ③212212y y b x x a =- ④ ①+②得22221212222x x y y a b+++= 即22121212122222()()222x x y y x x y y a b a b +++--=,将③,④代入得2222442x y a b+=, 于是点M 的轨迹方程为2222122x y a b +=.问题3解:(I)C 的焦点为F(1,0),直线l 的斜率为1,所以l 的方程为1y x =-,把它代入24y x =,整理得2610x x -+= 设A 11(,)x y ,B 22(,)x y 则有12126,1x x x x +==.112212121212(,)(,)2()OA OB x y x y x x y y x x x x ⋅=⋅=+=-++1=3-. OA OB ===cos ,41OA OB OA OB OA OB⋅<>==-, 所以OA 与OB夹角的大小为arccos41π-. (II)由题设FB AF λ= 得2211(1,)(1,)x y x y λ-=--,即21211(1)x x y y λλ-=-⎧⎨=-⎩.得22221y y λ=,又2211224,4y x y x ==,有221x x λ=,可解得2x λ=,由题意知0λ>, 得B (,λ或(,λ-,又F(1,0),得直线l 的方程为(1)1)y x λ-=-或(1)1)y x λ-=--,当[4,9]λ∈时,l 在y或,21λ=-,可知1λ-在[4,9]上是递减的,于是34413λ≤≤-,43314λ-≤-≤--, 所以直线l 在y 轴上的截距为[43,34--]34[,]43. 问题4解:设M (,)x y 为曲线C 上任一点,曲线C 的离心率为e (0,1)e e >≠,由条件①,②得e =,化简得:22222(1)20e x y e x e -++-= (i)设弦AB 所在的直线方程为y x m =+ (ii) (ii)代入(i)整理后得:22222(2)2()0e x m e x m e -+++-= (iii), 可知22e =不合题意,有220e -≠,设弦AB 的端点坐标为A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,AB 的中点P 00(,)x y .则1x ,2x 是方程(iii)的两根.21222()2m e x x e ++=--,2121222()()()22m e y y x m x m m e ++=+++=-+-2120222x x m e x e ++==-,21202(1)22y y m e my e ++-==-,又中点P 00(,)x y 在直线0x y +=上, 有222m e e +-+22(1)2m e me +--=0,解得2m =-,即AB 的方程为2y x =-,方程(iii)为 2222(2)2(2)40e x e x e -+-+-=,它的28(2)0e ∆=->,得22e >.21222(2)22e x x e -++=-=-,212242e x x e-⋅=-由12AB x =-,得22222121212()(1)[()4](1)AB x x k x x x x k =-+=+-+即222224(24)(11)2e e-=-⋅+-,得242e =>,将它代入(i)得223840x y x --+=. 所求的曲线C 的方程为双曲线方程:224()314493x y --=.1焦点在x 轴得3k =;焦点在y 轴得253k =,选B.2设圆心O(0,0),1(4,0)O -,'O 为动圆的圆心,则''1(4)(1)3O O O O r r -=+-+=,选C.3知双曲线的中心为(2,2),由340x y -=变形得220916y x -=,于是所求双曲线方程为 22(2)(2)1916y x ---=,它的准线为925y -=±,即925y =±,选A. 4设直线y x m =+与22y x =相切,联立整理得222(1)0x m x m +-+=, 由224(1)40m m ∆=--=,得12m =,这时得切点(12,1),选B.5由MF MB =知点M 的轨迹是抛物线,选D.6可得28103a c a a c+=⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去c ,整理得237400a a --=,有5a =或83-(舍去),得3c =,4b =,所以所求的椭圆方程为2212516x y +=. 7设点P (,)x y 是所求曲线上任一点,它关于y x =-对称的点'(,)P y x --在3x y =上, 有3()y x -=-,即3y x =. 8设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.9由条件可得123PF PF =或213PF PF =,设P (,)x y 代入可知交点的轨迹是两个圆.10解:(I) 设点M (,)x y ,由32PM MQ =- ,得P (0,),(,0)23y xQ -由0HP PM ⋅= ,得3(3,)(,)0,22y y x -⋅=所以24y x =.又点Q 在x 轴的正半轴上,得0x >.所以,动点M 的轨迹C 是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点.(II)设直线l :(1)y k x =+,其中0k ≠,代入24y x =,整理得22222(2)0k x k x k +-+= ①设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,2121222(2),1k x x x x k -+=-=,1212(1)(1)y y k x k x +=+++=124()2k x x k k++=,有AB 的中点为2222(,)k k k -,AB 的垂直平分线方程为22212()k y x k k k --=--,令0y =,0221x k =+,有E 22(1,0)k + 由ABE ∆为正三角形,E 到直线AB,知2AB k =由2k k =,解得k =,所以0113x =. 11(I)证明:直线l 的方程为:()ay x c b=-- 由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,得P 2(,)a ab c c ,又,,OA OB OF 成等差数列,得A(2a c,0),有22(0,),(,),(,)ab a ab b ab PA OP FP c c c c c =-==- ,于是222a b PA OP c ⋅=- ,222a b PA FP c⋅=- ,因此PA OP ⋅= PA FP ⋅ .(II)由1,2a b ==,得c =,l:1(2y x =--由221(214y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,消去x ,整理得215160y -+= ① 设D 11(,)x y ,E 22(,)x y ,由已知有12y y >,且1y ,2y 是方程①的两个根.12y y +=121615y y =,21212122112()2103y y y y y y y y y y +-+==,解得213y y =或13. 又12y y >,得21y y =13,因此121211321DF y y y y DEy ===--. 12解:(I)1(1,0)F,12AF BF ==,设2(,)F x y 则121220AF AF BF BF a -=-=>,去掉绝对值号有两种情况,分别得2F 的轨迹方程为1x =和22(1)(2)184x y --+=(0,4y y ≠≠)(II)直线1l :1x =,2l :y x m =+,D(1,4),椭圆Q:22(1)(2)184x y --+=①若2l 过点1F 或D,由1F ,D 两点既在直线1l 上,又在椭圆Q 上,但不在2F 的轨迹上, 知2l 与2F 的轨迹只有一个公共点,不合题意.②若2l 不过1F ,D 两点(1,3m m ≠-≠).则2l 与1l 必有一个公共点E,且点E 不在椭圆Q 上, 所以要使2l 与2F 的轨迹有且只有两个公共点,必须使2l 与Q 有且只有一个公共点, 把y x m =+代入椭圆的方程并整理得223(104)2810x m x m m --+-+= 由0∆=,得1m =±。

(完整版)平面向量全部讲义

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

高中数学竞赛_三角平面向量复数

专题四三角平面向量复数一能力培养1,数形结合思想 2,换元法 3,配方法 4,运算能力 5,反思能力二问题探讨问题1设向量(cos ,sin )a αα= ,(cos ,sin )b ββ=,求证:sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+.问题2设()f x a b =⋅,其中向量(2cos ,1)a x =,(cos 2)b x x =,x R ∈(I)若()1f x =且[,]33x ππ∈-,求x ; (II)若函数2sin 2y x =的图象按向量(,)()2c m n m π=<平移后得到函数()y f x =的图象,求实数,m n 的值.问题3(1)当4x π≤,函数2()cos sin f x x x =+的最大值是 ,最小值是 .(2)函数32cos sin cos y x x x =+-的最大值是 .(3)当函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取得最小值时,x 的集合是 . (4)函数sin (0)cos 1xy x x π=<<+的值域是 .问题4已知ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,且4,5a b c =+=,tan tan A B +=tan tan )A B -,求角A.三习题探讨选择题1在复平面内,复数12ω=-对应的向量为OA ,复数2ω对应的向量为OB ,那么向量AB对应的复数是A,1 B,1- D,2已知α是第二象限角,其终边上一点P(x ),且cos 4x α=,则sin α=D, 3函数2sin(3)4y x π=-图象的两条相邻对称轴之间的距离是A,3πB,23π C,π D,43π4已知向量(2,0)OB = ,向量(2,2)OC = ,向量)CA αα=,则向量 OA 与向量OB的夹角的取值范围是A,[0,]4πB,5[,]412ππ C,5[,]122ππ D,5[,]1212ππ5已知(,2)a λ=,(3,5)b =-,且a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是 A,103λ>B,103λ≥ C,103λ< D,103λ≤ 6若x 是三角形的最小内角,则函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域是A,[1,)-+∞ B,[- C, D,1]2填空题7已知sin sin 1αβ⋅=,则cos()αβ+= .8复数13z i =+,21z i =-,则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于第象限. 9若tan 2α=,则224sin 3sin cos 5cos αααα--= .10与向量1)a =-和b =的夹角相等,的向量c = . 11在复数集C 内,方程22(5)60x i x --+=的解为 .12若[,]1212ππθ∈-,求函数cos()sin 24y πθθ=++的最小值,并求相应的θ的值.13设函数11()22x x f x ---=-,x R ∈,若当02πθ≤≤时,2(cos 2sin )f m θθ++(22)0f m --<恒成立,求实数m 的取值范围.14设5arg 4z π=,且22z R z -∈,复数ω满足1ω=,求z ω-的最大值与最小值勤.15已知向量33(cos ,sin )22a x x = ,(cos ,sin )22x x b =- ,且[0,]2x π∈(I)求a b ⋅ 及a b + ; (II)求函数()4f x a b a b =⋅-+的最小值.16设平面向量1)a =- ,1(,22b = .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-, 使向量2(tan 3)c a b =+- ,tan d ma b θ=-+ ,且c d ⊥ .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.问题1证明:由cos cos sin sin a b αβαβ⋅=+,且cos()cos()a b a b αβαβ⋅=⋅-=-得cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ ① 在①中以2πα-代换α得cos[()]2παβ-+=cos()cos sin()sin 22ππαβαβ-+-.即sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+.温馨提示:向量是一种很好用的工具.运用好它,可简捷地解决一些三角,平几,立几,解几等问题.问题2解:(I)可得2()2cos 212sin(2)6f x x x x π==++由12sin(2)6x π++=1得sin(2)62x π+=-又33x ππ-≤≤,得52266x πππ-≤+≤,有26x π+=3π-,解得4x π=-. (II)函数2sin 2y x =的图象按向量(,)c m n =平移后得到函数2sin 2()y n x m -=-, 即()y f x =的图象.也就是1y -=2sin 2()12x π+的图象.而2m π<,有12m π=-,1n =.问题3解:(1)22151sin sin (sin )24y x x x =-+=--+而4x π≤,有sin 22x -≤≤,当1sin 2x =,即6x π=时,max 54y =;当sin 2x =-,即4x π=-时,min 322y =-.(2)32cos (1cos )cos y x x x =+--,令cos t x =,则11t -≤≤,有321y t t t =--+,得'2321y t t =--令'0y =,有11t =,213t =-①当113t -≤<-时,'0y >,y 为增函数;②当113t -<<时,'0y <,y 为减函数. 32111()()()1333y =-----+极大=3227,而y =x=111110--+=,于是y 的最大值是3227.(3) 22cos 1sin 2sin 2cos 22)24y x x x x x π=++=++=++当2242x k πππ+=-,即38x k ππ=-时,min 2y =(4)可得cos 2sin y x y x +=,有sin cos 2x y x y -=)2x y ψ+=,有sin()1x ψ+=≤,得y ≤≤,又0y >,于是有y的值域是.问题4解:由已知得tan tan 1tan tan A BA B+=-⋅即tan()A B +=又000180A B <+<得0120A B +=,060C =.又4,5,a b c =+=得5,b c =-由余弦定理2216(5)8(5)60c c c cos =+---. 得72c =,32b =. 由正弦定理得0742sin sin 60A =,有sin 7A =. 又a c b >>,得A 为最大角.又01sin sin 302B =<=,有030B <,于是090B C +<.所以得A π=-. 习题:1得2122ω=--,11()()2222AB OB OA i =-=----+= ,选D.2 OP =又cos x α==,得x =舍去),有cos 4α=-,sin 4α==,选A.3它的对称轴为:342x k πππ-=+,即34k x ππ=+,有(1)[]()34343k k πππππ++-+=,选A.4(数形结合)由)CA αα=,知点A 在以C (2,2)为圆心(如图),过原点O 作圆C 的切线'OA ,'A 为切点,由OC ='A C =知'6AOC π∠=,有'4612AOB πππ∠=-=,过点O 作另一切线''OA ,''A 为切点,则''54612A OB πππ∠=+=,选D.5由310a b λ⋅=-+ ,a b ⋅= 设a 与b 的夹角为θ,则0090180θ<<, 有1cos 0θ-<<,即10-<<,得225603203100λλλ⎧+->⎨-+<⎩,有103λ>,选A.6由03x π<≤,令sin cos ),4t x x x π=+=+而74412x πππ<+≤,得1t <≤.又212sin cos t x x =+,得21sin cos 2t x x -=,得2211(1)122t y t t -=+=+-,有2111022y -+<≤=,选D. 7显然sin 0α≠且sin 0β≠,有1sin sin αβ=, 当0sin 1β<≤时,11sin β≥,有sin 1α≥,于是sin 1α=,得sin 1β=,则cos cos 0αβ== 得到cos()cos cos sin sin 1αβαβαβ+=-=-, 当1sin 0β-≤<时,同理可得cos()1αβ+=-.8 12(3)(1)24z z z i i i =⋅=++=+,它对应的点位于第一象限.9由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==.10设(,)c x y =,则1)(,)a c x y y ⋅=-⋅=-,(,)b c x y x ⋅=⋅=.设c 与a ,b 的夹角分别为,αβ,则cos a c a c α⋅==⋅,cos b c b c β⋅==⋅由αβ=,y -=x +①;由c ,得222x y +=.②由①,②得, 111212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,221212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,于是11()22c =或11(,)22-- 11设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-.12解:cos()sin 2cos()cos(2)442y πππθθθθ=++=+-+22c o s ()c o s ()144ππθθ=-++++ 令cos()4t πθ=+,得2219212()48y t t t =-++=--+ 由1212ππθ-≤≤,得643πππθ≤+≤,有1cos()242πθ≤+≤,122t ≤≤于是当2t =,即cos()42πθ+=,得12πθ=-时,min 122y =-. 13解:由1()1()22()x x f x f x ------=-=-,知()f x 是奇函数,而'11'11()2ln 22ln 2(1)2ln 22ln 20x x x x f x x ------=---=+>得()f x 在R 上为增函数,则有2cos 2sin 22m m θθ+<+,令sin t θ=有 22(21)0t mt m -++>,[0,1]t ∈恒成立.①将①转化为:22(1)(1)m t t ->-+,[0,1]t ∈ (1)当1t =时,m R ∈;(2)当01t ≤<时,22()2[(1)]1m h t t t >=--+-,由函数2()g x x x=+在(0,1]上递减,知当0t =时,min ()1h t =-,于是得12m >-. 综(1),(2)所述,知12m >-.14解:设(,)z a bi a b R =+∈,由5arg 4z π=得0b a =<,得222222(1)2(1)(1)(1)z a i a a iz a i a----++-==+ 由22z R z-∈,得210a -=,从而1z i =--, 设,z ω在复平面上的对应点分别为,W Z ,由条件知W 为复平面单位圆上的点,z ω-的几何意义为单位圆上的点W 到点Z 的距离,所以z ω-的最小值为1OZ OA -=;最大值为1OZ OA +=.15解(I)33cos cos sin (sin )cos 22222x xa b x x x ⋅=+-= ,33(cos cos ,sin sin )2222x xa b x x +=+- ,得2cos a b x +== 2cos2x =([0,]2x π∈).(II)22()cos 28cos 2cos 8cos 12(cos 2)9f x x x x x x =-=--=-- 当且仅当cos 1x =时,min ()7f x =-.16解:(I)由c d ⊥ ,1102a b ⋅== ,得2[(tan 3)][tan ]c d a b ma b θθ⋅=+-⋅-+ =223(tan 3tan )0ma b θθ-+-= ,即223(tan 3tan )m a b θθ=- ,得31(tan 3tan )()422m ππθθθ=--<<.(II)由tan t θ=,得31()(3),4m g t t t t R ==-∈求导得''23()(1)4m g t t ==-,令'()0g t =,得11t =-,21t =当(,1)t ∈-∞-,'()0g t >,()g t 为增函数;当(1,1)t ∈-时,'()0g t <,()g t 为减函数; 当(1,)t ∈+∞时,'()0g t >,()g t 为增函数. 所以当1t =-,即4πθ=-时,()m g t =有极大值12;当1t =,即4πθ=时,()m g t =有极小值12-.。

高中数学竞赛试题汇编五《平面向量》空白讲义

高中数学竞赛试题汇编五《平面向量》1. 在ABC ∆中，BC BA CB CA ⋅=⋅ ，则ABC ∆是 .A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.以上均不对2. 在直角坐标系xoy 中，已知三点(,1),(2,),(3,4)A a B b C ，若向量,OA OB 在OC 上的投影相同，则34a b -= .3. 设,a b 是非零向量，且2a = ，22a b += ，则a b b ++ 的最大值是 .4. 已知()()375a b a b +⊥- ，且()()472a b a b -⊥- ，则a b 与的夹角是 .5. 在ABC ∆中，点O 为BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB mAM = ，AC nAN = ，则m n +的值为 .6. 在ABC ∆中3,5,6AB BC CA ===，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅= .7. 在ABC ∆中，若321AB BC BC CA CA AB ⋅⋅⋅== ，则tan A = .AB CM O N8. 已知O 是ABC ∆的外接圆，8,6AC AB ==，则AO BC ⋅= .9. 在△ABC 中，AB=BC=2，CA=3.①求AB AC ⋅ ；②设△ABC 的内心为O ，求满足AO=pAB+qAC 的实数p 、q 的值.10. 若P 是ABC ∆所在平面内的一点，满足PA PB PC BC --= ，则ABP ABCS S ∆∆= .11. 已知O 是ABC ∆内一点，且432AO AB BC CA =++ ，则ABC OBCS S ∆∆= .12. 若O 是ABC ∆内一点，且1134AO AB AC =+ ，则OAB OBC S S ∆∆= .。

高一平面向量讲义

平面向量讲义§2.1平面向量的实际背景及基本概念1．向量：既有，又有的量叫向量．2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作．3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为的向量叫做零向量，记作．(2)单位向量：长度为的向量叫做单位向量．(3)相等向量：且的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作．②规定：零向量与平行．考点一向量的有关概念例1判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a≠b，则a一定不与b共线；②若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形中，一定有＝；④若向量a与任一向量b 平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.变式训练1判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a与b同向，且>，则a>b；(2)若向量＝，则a与b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意＝，且a与b的方向相同，则a＝b；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．考点二向量的表示方法例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100到达D点．(1)作出向量、、；(2)求|.考点三相等向量与共线向量例3如图所示，O是正六边形的中心，且＝a，＝b，＝c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．§2.2平面向量的线性运算1．向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝＋＝.(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B 三点不共线，以，为邻边作，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝.(2)结合律：(a＋b)＋c＝.3.相反向量(1)定义：如果两个向量长度，而方向，那么称这两个向量是相反向量．(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝.②若a，b互为相反向量，则a＝，a＋b＝.③零向量的相反向量仍是．4.向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的．(2)作法：在平面内任取一点 O ，作＝a ，＝b ，则向量 a －b ＝.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为，被减向量的终点为的向量．例如：－＝.5．向量数乘运算实数 λ 与向量 a 的积是一个，这种运算叫做向量的，记作，其长度与方向规定如下： (1)|λ＝.(2)λa (a ≠0)的方向错误!；特别地，当 λ＝0 或 a ＝0 时，0a ＝或 λ0＝.6．向量数乘的运算律 (1)λ(a μ)＝.(1)(λ＋μ)a ＝. (3)λ(a ＋b )＝.特别地，有(－λ)a ＝＝； λ(a －b )＝.7．共线向量定理向量 a (a ≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使．8．向量的线性运算向量的、运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a 、b ，以及任意实数 λ、μ 、μ ，恒有λ(μ a ±μ b )＝.考点一运用向量加法法则作和向量例 1如图所示，已知向量 a 、b ，求作向量 a ＋b .变式训练 1 如图所示，已知向量 a 、b 、c ，试作和向量 a ＋b ＋c .考点二运用向量加减法法则化简向量例 2 化简：（1）＋；(2)＋＋；(3)＋＋＋＋. （4）(－)－(－)．(5)(－)－(－)；（6）(＋＋)－(－－)．1 212变式训练2如图，在平行四边形中，O是和的交点．(1)＋＝；(2)＋＋＝；(3)＋＋＝；(4)＋＋＝.变式训练3如图所示，O是平行四边形的对角线、的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.考点三向量的共线例3设e，e是两个不共线的向量，若向量m＝－e＋(k∈R)与向量n＝e－2e共线，则121221()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝变式训练4已知△的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则( )A．P在△内部B．P在△外部C．P在边上或其延长线上D．P在边上考点四：三点共线例4两个非零向量a、b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)求实数k使＋b与2a＋共线．变式训练5已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( ) A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D变式训练 6 已知平面内 O ，A ，B ，C 四点，其中 A ，B ，C 三点共线，且＝＋，则 x ＋y ＝.§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理 (1)定理：如果 e ，e 是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量 a ，实数 λ ，λ ，使 a ＝.(2)基底：把的向量 e ，e 叫做表示这一平面内向量的一组基底．2.两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个和 b ，作＝a ，＝b ，则＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量 a 与 b 的夹角． ①范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是． ②当 θ＝0°时，a 与. ③当 θ＝180°时，a 与.(2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是，则称 a 与 b 垂直，记作．3．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个，j 作为基底，对于平面内的一个向量 a ，有且只有一对实数 x ，y 使得 a ＝，则叫作向量 a 的坐标，叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A (x ，y )，则＝，若 A (x ，y )，B (x ，y )，则＝. 4．平面向量的坐标运算(1)若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a ＋b ＝，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a －b ＝，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(2)若 a ＝(x ，y )，λ∈R ，则 λa ＝，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．5．两向量共线的坐标表示设 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )． (1)当 a ∥b 时，有． (2)当 a ∥b 且 x y ≠0 时，有．即两向量的相应坐标成比例．6．若＝λ，则 P 与 P 、P 三点共线．当 λ∈时，P 位于线段 P P 的内部，特别地 λ＝1 时，P 为线段 P P 的中点；当 λ∈时，P 位于线段 P P 的延长线上；当 λ∈时，P 位于线段 P P 的反向延长线上．考点一对基底概念的理解1 2 1 2 1 21 12 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2例 1 如果 e ，e 是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe ＋μe (λ、μ∈R )可以表示平面 α 内的所有向量；②对于平面 α 内任一向量 a ，使 a ＝λe ＋μe 的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量 λ e ＋μ e 与 λ e ＋μ e 共线，则有且只有一个实数 λ，使得 λ e ＋μ e ＝λ(λ e ＋μ e )；④若存在实数 λ，μ 使得 λe ＋μe ＝0，则 λ＝μ＝0. A ．①②B ．②③C ．③④D ．②变式训练 1 设 e 、e 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 与 e ＋e ；②e －2e 与 e －2e ； ③e －2e 与 4e －2e ；④e ＋e 与 e －e . 其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是．(写出所有满足条件的序号)考点二用基底表示向量例 2 .如图，梯形中，∥，且＝2，M 、N 分别是和的中点，若＝a ，＝b 试用 a ，b 表示、、变式训练 2 如图，已知△中△ ，D 为的中点，E ，F 为的三等分点，若＝a ，＝b ，用 a ，b 表示，，.考点三平面向量基本定理的应用例 3 如图所示， △在中，点 M 是的中点，点 N 在边上，且＝2，与相交于点 P ，求证：∶ ＝4∶1.变式训练 3 如图所示，已知△中，点 C 是以 A 为中点的点 B 的对称点，＝2，和交于点 E ，设＝a ，＝b .(1)用 a 和 b 表示向量、； (2)若＝λ，求实数 λ 的值．1 212 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 22 12 21 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2考点四平面向量的坐标运算例4已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求(1)－；(2)＋2；(3)－.变式训练4已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.考点五平面向量的坐标表示例5已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.变式训练5设i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，a＝i－(2m－1)j，b＝2i＋(m∈R)，已知a∥b，求向量a、b的坐标．考点六平面向量坐标的应用例6已知的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求顶点D的坐标．变式训练6已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．考点七平面向量共线的坐标运算例7已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？变式训练7已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？考点八平面向量的坐标运算例8已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线上，且|＝2|，求点P的坐标．变式训练8已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，|＝2，求点B的坐标．考点九利用共线向量求直线的交点例9如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求与的交点P 的坐标．变式训练9平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线上，且＝，连接，点E在上，且＝，求E点坐标．§2.4 平面向量的数量积1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a · b ，即 a · b ＝ θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为．(3)投影：设两个非零向量 a 、b 的夹角为 θ，则向量 a 在 b 方向的投影是，向量 b 在 a 方向上的投影是．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积 a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积．3．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝(交换律)； (2)(λa )· b ＝＝(结合律)； (3)(a ＋b )· c ＝(分配律)．4．平面向量数量积的坐标表示若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a·b ＝. 即两个向量的数量积等于．5．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a ⊥ b .6．平面向量的模(1)向量模公式：设 a ＝(x ，y )，则＝. (2)两点间距离公式：若 A (x ，y )，B (x ，y )，则|＝.7．向量的夹角公式设两非零向量 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，a 与 b 的夹角为 θ，则 θ＝＝.考点一求两向量的数量积例 1 已知＝4，＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与 b 的夹角为 30°时，分别求 a 与 b 的数量积．变式训练 1 已知正三角形的边长为 1，求： (1)· ；(2)· ；(3)·.考点二求向量的模长1 12 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2例2已知＝＝5，向量a与b的夹角为，求＋，－.变式训练2已知＝＝1，|3a－2＝3，求|3a＋.考点三向量的夹角或垂直问题例3设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m 的夹角．变式训练3已知＝5，＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量－b与a＋2b垂直？考点四向量的坐标运算例4已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.变式训练4若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝；a·(b·c)＝.考点五向量的夹角问题例5已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．变式训练5已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．考点六向量数量积坐标运算的应用例6已知在△中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，为边上的高，求|与点D的坐标．变式训练6以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直△角，∠B＝90°，求点B和的坐标．§2.5平面向量应用举例1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔⇔.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔⇔.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式θ＝＝.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：＝.2．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．(1)相同点：力和向量都既要考虑又要考虑．(2)不同点：向量与无关，力和有关，大小和方向相同的两个力，如果不同，那么它们是不相等的．3．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是．(4)功即是力F与所产生位移s的．考点一三角形问题例1点O是三角形所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△的()A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点变式训练1在△中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则边的中线的长是()A．2C．3变式训练2若O是△所在平面内一点，且满足－|＝＋－2|，△则的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形变式训练3设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，△则的形状一定是．考点二向量的计算例2已知平面上三点A、B、C满足|＝3，|＝4，|＝5.则·＋·＋·＝.变式训练4如图，在△中，点O是的中点，过点O的直线分别交直线、于不同的两点M、N，若＝，＝，则m＋n的值为．考点三向量的应用例3两个大小相等的共点力F，F，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的12夹角为120°时，合力大小为()A．40N B．10N C．20N D．10N变式训练5在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为．。

高中数学竞赛_平面向量【讲义】

第八章平面向量一、基础知识定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。

画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。

向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。

书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。

零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。

加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λ f定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。

定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。

定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos<a, b>，也称内积，其中|b|cos θ叫做b 在a 上的投影（注：投影可能为负值）。

定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2)， 1．a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2)， 2．λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c ，3．a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)=222221212121yx y x y y x x +⋅++(a, b ≠0),4. a//b ⇔x 1y 2=x 2y 1, a ⊥b ⇔x1x2+y 1y 2=0.定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1，p 2的一点，则存在唯一实数λ，使21PP P P λ=，λ叫P 分21P P 所成的比，若O 为平面内任意一点，则λλ++=121OP OP 。

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平面向量一、基础知识定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。

画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。

向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。

书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。

零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。

加法和减法都满足交换律和结合律。

由此可得若P 1，P ，P 2的坐标分别为(x 1,y 1), (x, y), (x 2, y 2)，则..1121212121y y y y x x x x y y y x x x --=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλλ定义6 设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=22k h +个单位得到图形'F ，这一过程叫做平移。

设p(x, y)是F 上任意一点，平移到'F 上对应的点为)','('y x p ，则⎩⎨⎧+=+=k y y h x x ''称为平移公式。

定理5 对于任意向量a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2), |a ·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】因为|a|2·|b|2-|a ·b|2=))((22222121y x y x ++-(x 1x 2+y 1y 2)2=(x 1y 2-x 2y 1)2≥0，又|a ·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a ·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注：本定理的两个结论均可推广。

1）对n 维向量，a=(x 1, x 2,…,x n )，b=(y 1, y 2, …, y n )，同样有|a ·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：≥++++++))((2222122221n n y y y x x x (x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n )2≥0，又|a ·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a ·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注：本定理的两个结论均可推广。

1）对n 维向量，a=(x 1, x 2,…,x n ), b=(y 1, y 2, …, y n )，同样有|a ·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：≥++++++))((2222122221n n y y y x x x (x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n )2。

2）对于任意n 个向量，a 1, a 2, …,a n ，有| a 1, a 2, …,a n |≤| a 1|+|a 2|+…+|a n |。

二、方向与例题1．向量定义和运算法则的运用。

例1 设O 是正n 边形A 1A 2…A n 的中心，求证：.21O OA OA OA n =+++【证明】记n OA OA OA +++= 21，若≠，则将正n 边形绕中心O 旋转nπ2后与原正n 边形重合，所以S 不变，这不可能，所以.O S =例2 给定△ABC ，求证：G 是△ABC 重心的充要条件是.O GC GB GA =++【证明】必要性。

如图所示，设各边中点分别为D ，E ，F ，延长AD 至P ，使DP=GD ，则.2==又因为BC 与GP 互相平分，所以BPCG 为平行四边形，所以BG //PC ，所以.CP GB =所以.O PG CP GC GCGB GA =++=++充分性。

若O GC GB GA =++，延长AG 交BC 于D ，使GP=AG ，连结CP ，则.PG GA =因为O PC PG GC =++，则PC GB =，所以GB //CP ，所以AG 平分BC 。

同理BG 平分CA 。

所以G 为重心。

例 3 在凸四边形ABCD 中，P 和Q 分别为对角线BD 和AC 的中点，求证：AB 2+BC 2+CD 2+DA 2=AC 2+BD 2+4PQ 2。

【证明】如图所示，结结BQ ，QD 。

因为=+=+,，所以2222)()(+++=+=22222+++·⋅+2=.2)(22222222++=⋅++++ ①又因为,,,=+=+=+同理222222++=+， ②222222++=+， ③由①，②，③可得)(24222222++=++2222224)22(2++=++=。

得证。

2．证利用定理2证明共线。

例4 △ABC 外心为O ，垂心为H ，重心为G 。

求证：O ，G ，H 为共线，且OG ：GH=1：2。

【证明】首先AM 32+=+= =)2(31)(31OC OB AO OA AC AB OA +++=++).(31++= 其次设BO 交外接圆于另一点E ，则连结CE 后得CE .BC ⊥又AH ⊥BC ，所以AH//CE 。

又EA ⊥AB ，CH ⊥AB ，所以AHCE 为平行四边形。

所以,=所以OC OB OA OC EO OA EC OA AH OA OH++=++=+=+=，所以OG OH 3=，所以OG 与OH 共线，所以O ，G ，H 共线。

所以OG ：GH=1：2。

3．利用数量积证明垂直。

例5 给定非零向量a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a ⊥b.【证明】|a+b|=|a-b|⇔(a+b)2=(a-b)2⇔a 2+2a ·b+b 2=a 2-2a ·b+b 2⇔a ·b=0⇔a ⊥b. 例6 已知△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，D 为AB 中点，E 为△ACD 重心。

求证：OE ⊥CD 。

【证明】设c OC b OB a OA ===,,，则)(21b a +=， .612131)(2131b a c b a c a ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=又c b a CD -+=)(21，所以⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⋅c b a b c a 2121613121c a b a c b a ⋅-⋅+-+=31313112141222 31=a ·(b-c). （因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）又因为AB=AC ，OB=OC ，所以OA 为BC 的中垂线。

所以a ·(b-c)=0. 所以OE ⊥CD 。

4．向量的坐标运算。

例7 已知四边形ABCD 是正方形，BE//AC ，AC=CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证：AF=AE 。

【证明】如图所示，以CD 所在的直线为x 轴，以C 为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A ，B 坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E 点的坐标为（x, y ），则=(x, y-1), )1,1(-=，因为//，所以-x-(y-1)=0.又因为||||=，所以x 2+y 2=2.由①，②解得.231,231-=+=y x所以.324||,231,2332+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=AE AE 设)1,'(x F ，则)1,'(x =。

由和共线得.0231'231=+--x 所以)32('+-=x ，即F )1,32(--，所以2||=4+2||32=，所以AF=AE 。

三、基础训练题1．以下命题中正确的是__________. ①a=b 的充要条件是|a|=|b|，且a//b ；②(a ·b)·c=(a ·c)·b ；③若a ·b=a ·c ，则b=c ；④若a, b 不共线，则xa+yb=ma+nb 的充要条件是x=m, y=n ；⑤若b a ==,，且a, b 共线，则A ，B ，C ，D 共线；⑥a=(8, 1)在b=(-3, 4)上的投影为-4。

2．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式中：①++；②+2；③+；④-2与，相等的有__________.3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a ·b=0，则|x|+|y|=__________.4．设s, t 为非零实数，a, b 为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a 和b 的夹角为__________.5．已知a, b 不共线，=a+kb, =la+b ，则“kl-1=0”是“M ，N ，P 共线”的__________条件.6．在△ABC 中，M 是AC 中点，N 是AB 的三等分点，且2=，BM 与CN 交于D ，若BM BD λ=，则λ=__________.7．已知OB OA ,不共线，点C 分AB 所成的比为2，OB OA OC μλ+=，则=-μλ__________. 8．已知OB a OA ,==b, a ·b=|a-b|=2，当△AOB 面积最大时，a 与b 的夹角为__________. 9．把函数y=2x 2-4x+5的图象按向量a 平移后得到y=2x 2的图象，c=(1, -1), 若b a ⊥，c ·b=4，则b的坐标为__________.10．将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则b 的坐标为__________. 11．在Rt △BAC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，试问PQ 与BC 的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值。