高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》讲义
《直线和圆的方程-大单元教学设计》示范公开课教学课件【高中数学人教】
学科核心素养
1.能用解方程组的方法判断两条直线的位置关系（相交、平行和重合），并能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2. 探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；3. 通过建立二元一次方程组的解的情况、两条直线的交点个数与相应两条直线的位置关系的联系，体会数形结合思想及坐标法思想.；4. 通过两点间的距离公式、点到直线的距离公式，两条平行直线的距离这个内容探索，体会研究几何度量“距离”的研究方法，进一步体会“坐标法”的思想，体会通过代数方法研究几何问题的一般思路. 在两点间距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线之间的距离的公式的探究和推导中，蕴涵着丰富的转化与化归、数形结合、函数与方程等重要的数学思想，发展学生的数学运算、逻辑推理等核心素养.
学科核心素养
1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程和圆的一般方程；2. 通过对圆的标准方程和圆的一般方程的探索，渗透坐标法，体会类比的数学思想，化归与转化的思想，发展学生的数学推理、数学运算、几何直观核心素养.
圆的方程 大单元设计专题概览
再 见
直线与圆、圆与圆的位置关系 大单元设计专题概览
通过抽象概括，认识直线，建立他们的方程
本单元中，无论是直线的倾斜角和斜率的确定，还是直线方程的建立，本质上都是将确定直线的几何要素代数化的过程，体现了坐标法的思想。本单元的学习，还蕴含着数形结合、特殊与一般、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，利于发展学生直观想象、逻辑推理的数学核心素养
学科核心素养
主题
单元主题
本单元教学目标
整体设计
几何与代数
直线的交点坐标与距离公式
四基四能
能用解方程组的方法求两直线的交点；探索并掌握平面上两点间的距离的距离公式，点到直线的距离公式。
高中数学竞赛_直线与圆的方程【讲义】
第十章 直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。
解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。
规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。
根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式：1=+b ya x ；（5）两点式：121121y y y y x x x x --=--；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p（其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线倾斜角），t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P 0P 方向向上则取正，否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2，将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ，夹角为α，则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-.6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。
人教A版高中数学选择性必修第一册《直线与圆的位置关系》名师课件
求支柱 的高度(精确到0.01m).
解析
建立如图所示的直角坐标系,则P (, ), (, ) 都在圆上.
设圆的方程为: + −
=
+ − =
= −.
得൝
弦得中点为,则 ⊥ (为坐标原点),
所以 =
−+
+ −
所以 = =
= ,
−
=
−
= .
典例讲授
例3、已知过点(−, −)的直线被圆 + + − = 截得
的弦长为 ,求直线的方程.
− + − =
△< 0
n=0
直线与圆相离
△= 0
n=1
直线与圆相切
△> 0
n=2
直线与圆相交
探究新知
直线与圆的位置关系的判定方法
(2)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
d
aA bB C
A B
2
2
d>r
直线与圆相离
d=r
d<r
直线与圆相切
直线与圆相交
几何法
典例讲授
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．
学科核心素养：
通过研究直线与圆的位置关系,提升逻辑推理、数学运算、直观想象的
数学素养.
探究新知
“大漠孤烟直,长河落日圆” 是唐朝诗人王维的诗句,它描述了黄昏日
落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一
条直线,那你能想象一下,直线和圆的位置关系有几种吗？
2024年高中数学新高二暑期衔接讲义第12讲直线与圆、圆与圆的位置关系(十大题型)(学生版)
第12讲直线与圆、圆与圆的位置关系【题型归纳目录】题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标题型三：切线与切线长问题题型四：弦长问题题型五：判断圆与圆的位置关系题型六：由圆的位置关系确定参数题型七：公共弦与切点弦问题题型八：公切线问题题型九：圆中范围与最值问题题型十：圆系问题【知识点梳理】知识点一：直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点.2、直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线/与圆。
的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线/与圆。
有公共点.有两组实数解时，直线/与圆C相交；有一组实数解时，直线/与圆C相切；无实数解时，直线/与圆c相离.(2)几何法：由圆C的圆心到直线I的距离日与圆的半径尸的关系判断：当d<r时，直线/与圆。
相交；当d=r时，直线/与圆。
相切；当d>r时，直线/与圆。
相离.知识点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.知识点二：圆的切线方程的求法1、点M在圆上，如图.M法一：利用切线的斜率％与圆心和该点连线的斜率幻肱的乘积等于-1,即k OM•吟=—L.法二：圆心。
到直线/的距离等于半径尸.2、点(Jr。
,％)在圆外，则设切线方程：y-y0=^(x-x0),变成一般式：kx-y+y Q-kx Q=O,因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出奴知识点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上.常见圆的切线方程：(1)过圆f+,2二广上一点尸(柘为)的切线方程是x0x+y0y=r2；(2)过圆(x-。
【高中数学复习讲义】第8讲 直线与圆-原卷版
直线与圆知识与方法1.内容概要直线与圆是初中平面几何的重要研究对象,也是高中解析几何起始阶段的重要内容.通过引入坐标系,建立直线与圆的方程,进而用代数的方法研究几何位置关系,并依据直线方程、圆的方程讨论其性质,体现形与数的结合.其内容结构如下:2.圆的切线方程,切点弦方程已知圆222:()()(0)C x a y b r r -+-=>及点()00,P x y , (1)若点()00,P x y 在圆C 上,则过点()00,P x y 的切线方程:()()()()200x a x a y b y b r --+--=.(2)若点()00,P x y 在圆C 外,则过点()00,P x y 作圆的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 的方程:()()()()200x a x a y b y b r --+--=.3.阿波罗尼斯圆在平面上给定两点,A B ,设点P 在同一平面上且满足PA PBλ=,当0λ>且1λ≠时,点P 的轨迹是圆,称为阿波罗尼斯圆(1λ=时点P 的轨迹是线段AB 的中垂线),其中阿波罗尼斯圆的直径为221a λλ-.典型例题【例1】直线()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是（ ）A.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D.3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【例2】设m ∈R ,过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y (点P 与点,A B 不重合),则PAB 面积的最大值是（ ）A. B.5 C.52【例3】(多选题)设圆222220x y x y +---=的圆心为点C ,直线l 过点()0,3且与圆C 交于,A B 两点,且AB =则直线l 的方程是（ ） A.4390x y -+= B.34120x y +-=C.0x =D.4390x y +-=【例4】直线()20mx y m +-=∈R 与圆22:210C x y y +--=相交于,A B 两点，弦长AB 的最小值为________;若ABC 则m 的值为________.【例5】已知圆22:1O x y +=上存在点P ，直线:40l kx y -+=上存在点Q ，使得6PQO π∠=,则实数k 的取值范围是（ ）A.⎡⎣B.(),∞∞-⋃+C.⎡⎣D.(),∞∞-⋃+【例6】在平面直角坐标系xOy 中,已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1,则实数c 的取值范围是________.【例7】过点()00,P x y 分别作圆221:1C x y +=与圆221:211C x y -+-=（）（）的切线，切点为,A B .若PA PB =,则2200x y +的最小值为（ ）B.54D.5【例8】已知P 是函数()2f x x =图像上的一点，过点P 作圆22:430M x y y +--=的两条切线,切点分别为,A B ,则PA PB ⋅的最小值为（ ）A.328- B.3C.0D.32【例9】已知两点()()2,0,2,0A B --以及圆222:(4)(3)(0)C x y r r ++-=>.若圆C 上存在点P ,满足0PA PB ⋅=,则实数r 的取值范围为（ ） A.[]3,6B.[]3,7C.[]4,7D.[]4,6【例10】在平面直角坐标系xOy 中,已知两定点()()2,2,0,2A B -,动点P 满足PA PB=(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)轨迹C 上有两点,E F ,它们关于直线:40l kx y +-=对称,且满足4OE OF ⋅=,求OEF 的面积.强化训练1.直线2cos 30,63x y ππαα⎛⎫⎡⎤--=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的倾斜角的变化范围是（ ） A.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ,线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=上一条动弦,且AB =则PA PB +的最大值为（ ）A. B. C. D.23.已知过点()3,0P 的直线与圆22:(2)(1)4C x y -+-=交于,A B 两点(点A 在x 轴上方).若3BP PA =,直线AB 的斜率为________.4.已知直线:0l ax by c ++=被圆22:16C x y +=截得的弦的中点为M .若320,a b c O +-=为坐标原点,则点M 的轨迹方程为________,OM 的最大值为________.5.在设点()01,P y ,若圆22:1O x y +=上存在点Q ,使得6OPQπ∠,则0y 的取值范围是________.6.若圆222(3)(5)x y r -++=上有且只有两个点到直线432x y -=的距离等于1,则半径r 的取值范围是（ ） A.(]4,6 B.[)4,6C.()4,6D.[]4,67.已知22:2220M x y x y +---=,直线:220,l x y P ++=为l 上的点,过点P 作M的切线,PA PB ,切点分别为,A B .当PM AB ⋅最小时,直线AB 的方程为（ ） A.210x y --= B.210x y +-= C.210x y -+= D.210x y ++=8.过点32,4m A m +⎛⎫ ⎪⎝⎭向圆22:4690C x y x y +-++=作切线,切点为B .若AB λ>,则实数λ的取值范围为（ ）A.()1∞-B.(∞-C.()2∞-D.(∞-9.已知点((,A B ,作直线l ,使得点,A B 到直线l 的距离均为d ,且这样的直线l 恰有4条,则d 的取值范围是（ ）A.[)1,∞+B.()0,1C.(]0,1D.()0,210.已知圆22:230C x y x +--=,若等边PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦,则线段PC 长度的最大值为（ ）B. C.4D.。
金典艺术生高考数学复习资料--七直线和圆教师版
直线与圆1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。
如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是5[0][)66，，πππ ； （2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是_42≥-≤m m 或_2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。
如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的既不充分也不必要条件； （2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy 的最大值、最小值分别为_2,13-__3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。
（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。
（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+by a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
数学竞赛辅导讲义——直线与圆的方程
数学竞赛辅导讲义——直线与圆的方程一、例题 例1 求函数()[]()3cos 02sin f θθθπθ+=∈-，的值域.例2 当实数x ，y 满足()2211x y +-=时，不等式0x y m ++≥恒成立，求实数m的取值范围.例3 过直线:5l x =上一动点M 作圆22:16C x y +=的两条切线，切点分别为1T ，2T ，试求12MTT ∆的垂心H 的轨迹方程.二、练习题1. 若直线1:440l x y +-=，2:0l mx y +=与3:2340l x my --=能围成一个三角形，则实数m 的取值范围是.2. 方程||1x -=.3. 以两圆221:410C x y x y ++++=与222:2210C x y x y ++++=的公共弦为直径的圆的方程为.4. 已知当a ∈R 且1a ≠时，圆2222(2)20x y ax a y +-+-+=总与直线l 相切， 则直线l 的方程是.5. 在平面直角坐标系中，横纵坐标都是有理数的点称为有理点，则过点且其上至少存在两个有理点的直线的条数为.6. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，则平面上的整点到直线54:35l y x =+的距离的最小值是.7. 已知矩形ABCD 的顶点C 的坐标为(4,4)，顶点A 在圆22:9(,0)O x y x y +=≥上移动，且AB ，AD 两边始终分别平行于x 轴，y 轴，求矩形ABCD 面积的最小值，以及取得最小值时点A 的坐标.8. 已知直线:l y x b =+与圆22:(1)1C x y ++=相交于A ，B 两点，点P 在l 上，且||||2PA PB ⋅=.当b 变化时，求点P 的轨迹方程.9.（2012年全国联赛）在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的边长为4，且||||6OB OD ==.（1）求证：||||OA OC ⋅为定值；（2）当点A 在半圆22:(2)4(24)M x y x -+=≤≤ 上运动时，求点C 的轨迹.10. 直线l 与O 相离，点P 为l 上任意一点，过点P 引O 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：直线AB 过定点.数学竞赛辅导讲义——直线与圆的方程参考答案1.1214.63m m ⎧⎫≠--⎨⎬⎩⎭，，，2.两个半圆.3.2261210.55x y x y ++++=4.0.x y -=5.答案：1.分析：显然，若存在这样的直线，则该直线必有斜率.下面用反证法．．．证明斜率必为零.假设斜率不为零，设点11()A p q ，与22()B p q ，为该直线上的两个不同的有理点，则有2121q qp p -=-，注意到等号的左边是个无理数，而右边是有理数，矛盾.因此假设错误，即满足条件的直线的斜率必为零. 注：此题属竞赛级别. 6.分析：平面上的整点()a b ，到直线54:35l y x =+的距离 lP(,)d a b==因5(53)a b-为5的倍数，故当且仅当5(53)10a b-=-，即532a b-=-，亦即32a k=+，54b k=+（k∈Z）（根据数论中的孙子定理，当然若想简单一点，取1a b==-便可）时，(,)d a b取最小值.注：此题属竞赛级别.7.当且仅当点A的坐标为4422⎛+⎝⎭，或4422⎛⎝⎭，时，矩形ABCD面积最小且最小值为72.8.答案：点P的轨迹方程为22(1)3(11)x y y x++=<-<.分析：易见点P在圆C的外部，即点P在点A、B的同侧.否则，若点P在线段AB 上，则22||||22||||122PA PB rPA PB+⎛⎫⎛⎫=⋅≤≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（这里r为圆C的半径），矛盾.利用切割线定理，设直线PT与圆C相切于点T，则有2||||||2PT PA PB=⋅=，于是222||||213PC PT r=+=+=，这表明点P在以(0,1)C-但不能说这个圆就是点P的轨迹，因为点P还有其他约束条件，即点P在直线l上，而l是要与圆C相交的.9.（1）（从几何关系入手）设点E为菱形ABCD的对角线的交点，则22222 2222222||||(||||)(||||)||||(||||)|| =||(||||)||||6420.OA OC OE AE OE EC OE AE OB BE AE OB BE AE OB AB⋅=-⋅+=-=---+=-=-=注：此题的条件可以简化一下.（2）（利用圆的参数方程）因点A在半圆22:(2)4(24)M x y x-+=≤≤上运动，故可设点A的坐标为(22cos2sin)([])22ππααα+∈-，，，再利用（1）的结论，可得点C的参数方程为55tan2xyα=⎧⎪⎨=⎪⎩，（α为参数，且[]22ππα∈-，），l13.x-1PTBAPCO即点C 的轨迹是一条线段，端点为(55)-，，(55)，.10. 如图建立直角坐标系，设圆O 的半径为r ，直线l 的方程为()x a a r =>，l 上的动点()P a t ，，切点1122()()A x y B x y ，，，，则切线PA ，PB 的方程分别为211x x y y r +=，222x x y y r +=，因点()P a t ，在切线PA ，PB 上，故211x a y t r +=，222x a y t r +=，上述两个方程表明A B ，都在直线2ax ty r +=上，这恰是直线AB 的方程.据此方程可知，直线AB 恒过定点2(0)r a，. 换个角度，由于OA AP ⊥，OB BP ⊥，故点A ，B 在以OP 为直径的圆M 上， 从而直线AB 成为圆O 与圆M 的公共弦所在的直线了.注：直线AB （也称切点弦）的方程与圆的切线方程非常类似，能记住最好不过了.第一种方法妙不可言，将来可以移植到椭圆、抛物线上.15.,t )。
全国高中数学联赛讲义 第十讲 直线和圆 线性规划
第十讲 直线和圆 线性规划一、直线中的元素：斜率及范围、过定点、对称专题、两条直线的位置关系1、倾斜角与斜率（1）直线的斜率1k ≥，求倾斜角的取值范围；（2）直线的斜率1k ≤，求倾斜角的取值范围；（3）(1,4)(3,1)(1,1)A B C --、、，过C 点的直线l 与线段AB 相交，求l 的取值范围。
（4）若直线:230l kx y k ---=与直线240x y -+=的交点位于第二象限，则直线l 斜率的取值范围是 2、（19年吉林预赛）3、（07年联赛真题）4、已知直线1()l y kx k k R =+-∈：，若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于两点A B 、，且=AB k ，则称曲线C 具有性质P ，给出下列三条曲线方程：① 1y x =-- ② 222210x y x y +--+= ③ 2y x = 其中，具有性质P 的曲线序号是二、圆的方程 参数方程 半圆方程 直线和圆的位置关系1、已知圆()()22:cos sin 1M x y θθ++-=，直线:l y kx =下面四个命题： （1）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； （2）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；（3）对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切; （4）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切. 其中真命题的序号是______________2、设有一组圆()224*:(1)(3)2k C x k y k k k N -++-=∈ ，下列四个命题： ① 存在一条定直线与所有圆均相切 ② 存在一条定直线与所有圆均相交 ③ 存在一条定直线与所有圆均不相交 ④ 所有圆均不经过原点其中真命题的序号是______________3、设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤，对于下列7个命题： ① 存在一个圆与所有直线相交 ② 存在一个圆与所有直线不相交 ③ 存在一个圆与所有直线相切④ M 中的直线所能围成的正三角形面积相等 ⑤ M 中的所有直线均过一个定点 ⑥ 存在定点P 不在M 中的任一条直线上⑦ 对任意正整数(3)n n ≥，存在正n 边形，所有边均在M 中的直线上其中真命题的序号是______________ 4、（04年联赛真题）已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b的取值范围是 A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b )在椭圆内或椭圆上，⇒2b 2≤3，⇒b ∈[－62，62]．选A ．5、若直线(2)4y k x =-+与曲线214y x 有两个交点，则实数k 的取值范围是6、（19年江苏预赛）7、（19年广西预赛）8、（04年联赛真题）在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M (－1，2)和N (1，4)，点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标为【答案】1【解析】当∠MPN 最大时，⊙MNP 与x 轴相切于点P (否则⊙MNP 与x轴交于PQ ，则线段PQ 上的点P '使∠MP 'N 更大)．于是，延长NM 交x 轴于K (－3，0)，有KM ·KN=KP 2，⇒KP=4．P (1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP 的半径小，从而点P 的横坐标=1．9、（19年江苏预赛）10、（09年联赛真题）已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】[]36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 36a ≤≤． 11、（19年山东预赛）实数)0(>k k ，在平面直角坐标系内已知抛物线2kx y =与圆222)()r b y a x =-+-（至少有3个公共点，其中一个是原点，另外两个在直线b kx y +=上，那么实数b 的最小值是 答案：212、（19年联赛真题）练习：1、已知P 是直线3480x y ++=上动点，PA PB 、是圆22(1)(1)1x y -+-=的两条切线，A B 、是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为2、设点0(,1)M x ，若在221O x y +=：上存在点N ，使得=45OMN ∠︒，则0x 的取值范围是 3、已知222:240C x y l x y +=+-=：，，点00(,)P x y 在直线l 上，若C 上存在点Q 是，使得4OPQ π∠=，则0x 的取值范围是4、设直线22:340,:(2)2l x y a C x y ++=-+=，若在直线l 上存在一点M ，使得过M 的圆C 的切线()MP MQ P Q 、、为切点满足=90PMQ ∠︒，则a 的取值范围是三、向量与圆1、（20年四川预赛）答案：122、点A B 、是221O x y +=：上的两个动点，且AB P 是22(3)(4)1C x y -+-=：上的动点，PA PB +的取值范围是3、已知点P 是221O x y +=：上的一个动点，A B 、是22(3)(4)1C x y -+-=：上的两个动点，且=2AB ，则PA PB ⋅的取值范围是4、平面上两个点(1,0)(1,0)A B -、,P 是22-3-44C x y +=：（）（）上的一个动点，则22+PA PB 的最小值为四、隐性圆1、过定点P 的直线10l ax y +-=：与过定点Q 的直线m 30x ay -+=：相交于点M ，则22+MP MQ 的值为2、设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=与过定点B 的直线30mx y m --+=相交于点(,)P x y ，则+PA PB 的取值范围是 （ ）A BC D ⎡⎣、3、已知点-P （1,0），过点Q （1,0）作直线2()20(,0)ax a b y b a b +++=不同时为的垂线，垂足为H ，则PH 的最小值为 （ ）A 、B 、C 、 1D 、4、若不全为0的实数a b c 、、成等差数列，点(1,2)A 在动直线0l ax by c ++=：上的射影为P ，点Q 在直线1-4120l x y +=：3上，则线段PQ 长度的最小值为5、若不全为0的实数a b c 、、成等差数列，点(1,0)P -在动直线0l ax by c ++=：上的射影为M ，点(0,3)N ，则MN 的最小值为五、线性规划1、（19年吉林预赛）2、定义在R 上的)(x f 满足)2(f = 1，)(x f '为)(x f 的导函数.若)(x f y '=图象如图所示,若正数b a ,满足1)2(>+b a f ，则21--a b 的取值范围是3、已知M 为圆22:414450C x y x y +--+=上任意一点，且点(2,3)Q -、(,)M m n 求：①32n m -+的最大值和最小值； ②22m n +的最大值和最小值。
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高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》
一、知识清单
1. 求轨迹方程的步骤：建(系),设(点),限(制条件),代(入坐标),化(简).
2．直线方程的几种形式：一般/点斜/斜截/截距/两点式.
3．l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1l 2的充要条件是k 1k 2=-1。
4．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-。
5．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2200|
|B A C By Ax d +++=。
6．圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2；圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0)
圆的参数方程为⎩
⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x 二、试题汇编
1. 与圆()2
221x y -+=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有 (A) 2条 (B) 3条 (C) 4条 (D) 6条
2. 已知22
1a b +=，且c a b <+恒成立，则c 的取值范围是
(A) (,2)-∞- (B) (,-∞ (C) ( (D) (-∞
3. P 是圆2236x y +=上的动点，A （20,0）线段PA 的中点M 的轨迹方程为
4. 已知点P 是直线40kx y ++=，PA ，PB 是圆C: 2220x y y +-=的两条切线，
A 、
B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 .
5. 若集合： {}
221(,)lg(1)1lg()S x y x y x y =++≤++ {}222(,)lg(2)2lg()S x y x y x y =++≤++
则2S 的面积与1S 的面积之比为 .
6. 在直角坐标xoy 中，曲线235x y +=所围成的图形的面积是 .
7. 直线10ax by -+=平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则ab 的取值范围为 .
8. 点P 在圆2225x y +=上，A （1,2）、B （4,1），则△PAB 面积最大值是 .
9. 已知[0,2)θπ∈，则θ
θs i n 2c o s 3-+=
y 的取值范围是 .
10. 方程1x -=表示的曲线是 .
11. 函数()2f x x =+的值域是 .。