高中数学竞赛试题汇总
高中数学比赛试题及答案
高中数学比赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^2-2x+1，则f(-1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知等差数列{an}，其中a1=3，公差d=2，求a5的值：A. 9B. 11C. 13D. 153. 计算下列极限：lim (x→0) [sin(x)/x] 的值为：A. 0B. 1C. 2D. 34. 圆的方程为x^2+y^2-4x-6y+9=0，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算复数z=1+2i的模长：________。
6. 一个三角形的三个内角分别为α、β、γ，若α=30°，β=60°，则γ=________°。
7. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f'(x)=________。
8. 一个等比数列的前三项依次为2，4，8，求此数列的第5项：________。
三、解答题（每题15分，共30分）9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的单调区间。
10. 证明：对于任意实数x，不等式x^2-2x+2>0恒成立。
四、综合题（每题20分，共40分）11. 已知函数f(x)=x^2-2x+1，求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。
12. 解方程：x^3-3x^2+4x-4=0，并说明其根的性质。
答案：一、选择题1. B2. D3. B4. A二、填空题5. √56. 907. 3x^2-6x+28. 32三、解答题9. 函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x+2。
令f'(x)>0，解得x<1或x>2，因此f(x)在区间(-∞,1)和(2,+∞)上单调递增。
令f'(x)<0，解得1<x<2，因此f(x)在区间(1,2)上单调递减。
数学高中奥赛试题及答案
数学高中奥赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)的图像经过点(1, 0)和(-1,0)，则下列哪个选项是正确的？A. \( a + b + c = 0 \)B. \( a - b + c = 0 \)C. \( a + b - c = 0 \)D. \( a - b - c = 0 \)答案：B2. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的前三项分别为1, 4, 7，那么第10项\( a_{10} \)是多少？A. 26B. 28C. 30D. 32答案：A3. 一个圆的半径是5，圆心到直线\( y = 2x \)的距离是3，那么圆的方程是什么？A. \( (x-2)^2 + (y-3)^2 = 25 \)B. \( (x+2)^2 + (y+3)^2 = 25 \)C. \( (x-3)^2 + (y-2)^2 = 25 \)D. \( (x-3)^2 + (y+2)^2 = 25 \)答案：A4. 若\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)在第一象限，求\( \cos \theta \)的值。
A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 计算\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值是______。
答案：\( \frac{1}{3} \)2. 已知\( \log_2 8 = 3 \)，那么\( \log_2 32 \)的值是______。
答案：53. 一个等腰三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的长度是______。
答案：44. 一个数的平方根是2和-2，那么这个数是______。
答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知函数\( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)，求\( f(x) \)的导数。
全国高中数学奥林匹克竞赛试题
全国高中数学奥林匹克竞赛试题一、设集合A为所有满足条件“能被3整除且末位数字为7”的正整数的集合，集合B为所有满足条件“能被7整除且末位数字为3”的正整数的集合。
则集合A和B的交集：A. 只含有一个元素B. 含有有限个元素C. 含有无限多个元素D. 为空集（答案）C二、在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a + 2b = 3c，且sin A : sinB : sinC = 3 : 4 : 5，则cos C的值为：A. 1/5B. -1/5C. 3/5D. -3/5（答案）B三、已知函数f(x) = ax3 + bx2 + cx + d的图像经过点(0,1)，且在x=1处取得极值，在x=-1处取得最值。
则a+b+c的值为：A. -1B. 0C. 1D. 2（答案）D四、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = -23，且S10 = S14，则S20的值为：A. -110B. -90C. -70D. -50（答案）C五、已知椭圆C的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a > b > 0)，其左焦点为F，过F作直线l 交椭圆C于A、B两点。
若|AF| = 3|FB|，且cos∠BFA = -5/13，则椭圆C的离心率为：A. √2/2B. √3/2C. 2√2/3D. √5/3（答案）A六、设函数f(x) = ex - ax - 1，若存在唯一的实数x0，使得f(x0) = 0，则实数a的取值范围为：A. a < 0B. 0 < a < 1C. a > 1D. a = 1（答案）C七、已知向量a = (1,2)，b = (2,m)，若a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是：A. m > -1 且 m ≠ 4B. m > 4C. m ≠ 4D. -1 < m < 4（答案）A八、设函数f(x) = ln(x + 1) - x2/2，若对所有的x ∈ [0, +∞)，都有f(x) ≤ ax + b ≤ x2/2 + ln(x + 1)成立，则a + b的最大值为：A. -1B. 0C. 1/2D. 1（答案）B。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √4答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。
A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7，求第四项的值。
A. 10B. 11C. 13D. 15答案：A4. 计算复数z = 1 + i的模。
A. √2B. 2C. 1D. √3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等比数列的公比为2，首项为1，求第5项的值。
答案：326. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的点积。
答案：-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。
答案：18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。
答案：(2, 3)三、解答题（每题10分，共60分）9. 求证：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。
证明：设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2，其中k为整数。
当n = 3k时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1)，能被3整除。
当n = 3k + 1时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2)，能被3整除。
当n = 3k + 2时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4)，能被3整除。
因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。
10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的单调区间。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
数学竞赛试题及答案高中生
数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。
解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。
因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。
由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。
解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。
将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。
试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。
竞赛数学高中试题及答案
竞赛数学高中试题及答案试题一：多项式问题题目：已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( P(2) \) 的值。
解答：将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中，得到：\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \)，求斜边 BC 的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三：数列问题题目：给定数列 \( a_n = 2n - 3 \)，求数列的前 5 项。
解答：根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \)，我们可以计算出前 5 项：\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为：-1, 1, 3, 5, 7。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，随机抽取 2 个球，求抽到一个红球和一个蓝球的概率。
解答：首先计算总的可能组合数，即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数：\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数：\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以，抽到一个红球和一个蓝球的概率为：\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五：函数问题题目：若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。
高中数学竞赛初赛试题(含答案)
高中数学竞赛初赛试题(含答案)高中数学竞赛初赛试题(含答案)一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b，如果 f(1) = 3 且 f'(1) = 4，那么常数 a 和 b 的值分别是多少？A) a = 2, b = 4 B) a = 2, b = 3 C) a = 3, b = 4 D) a = 3, b = 32. 在平面直角坐标系中，点 P(-3,4) 和点 Q(1,-2) 的连线所在直线的斜率是多少？A) -1/4 B) 2/3 C) 2 D) -3/23. 若 a, b, c 是等差数列的前三项，且 a + b + c = 9，那么 a 的值是多少？A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 34. 若函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 2 的图像经过点 (2, 8)，那么常数a 和b 的值之和为多少？A) 6 B) 8 C) 10 D) 125. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，前 n 项和为 S_n。
下列哪个等式是正确的？A) S_n = 4(2^n - 1) B) S_n = 2(2^n - 1) C) S_n = 2^n + 2 D) S_n = 2^n二、填空题1. 若 3/4 张纸能折成 2^7 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：2^10 层2. 若 1/3 张纸能折成 2^8 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：3 × 2^8 层3. 一条长杆分成三段，第一段比第二段长 2cm，第二段比第三段长4cm，三段的长度之和是 50cm。
请分别求出第一段、第二段和第三段的长度。
答案：第一段：12cm，第二段：14cm，第三段：24cm4. 若 a 和 b 是互质的整数，并且 a × b = 147，那么 a 和 b 的值分别是多少？答案：a = 1，b = 147 或 a = 147，b = 15. 在平面直角坐标系中，顶点为 (0,0)，椭圆的长轴在 x 轴上，短轴在 y 轴上，且长轴长为 8，短轴长为 6。
高中数学趣味知识竞赛题库
高中数学趣味知识竞赛题库一、选择题（1 - 10题）1. 设集合A={xx^2-3x + 2=0}，B={xax - 2=0}，若B⊆ A，则a所有可能的值构成的集合为（）- A. {1,2}- B. {1,(2)/(3)}- C. {0,1,2}- D. {0,1,(2)/(3)}- 解析：- 先求解集合A，对于方程x^2-3x + 2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以A={1,2}。
- 因为B⊆ A，当B=varnothing时，ax-2 = 0无解，此时a = 0；当B≠varnothing时，若x=(2)/(a)=1，则a = 2；若x=(2)/(a)=2，则a = 1。
所以a所有可能的值构成的集合为{0,1,2}，答案是C。
2. 函数y=log_a(x + 3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny + 1 = 0上，其中mn>0，则(1)/(m)+(2)/(n)的最小值为（）- A. 8- B. 6- C. 4- D. 10- 解析：- 对于函数y=log_a(x + 3)-1，令x+3 = 1，即x=-2，此时y=-1，所以定点A(-2,-1)。
- 因为点A在直线mx + ny+1 = 0上，所以-2m - n+1 = 0，即2m + n = 1。
- 又因为mn>0，所以m>0,n>0。
- 则(1)/(m)+(2)/(n)=(2m +n)((1)/(m)+(2)/(n))=2+(4m)/(n)+(n)/(m)+2=(4m)/(n)+(n)/(m)+4。
- 根据基本不等式(4m)/(n)+(n)/(m)≥slant2√(frac{4m){n}×(n)/(m)} = 4，当且仅当(4m)/(n)=(n)/(m)时等号成立。
- 所以(1)/(m)+(2)/(n)≥slant4 + 4=8，答案是A。
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高中数学竞赛模拟试题一一 试（考试时间：80分钟 满分100分）一、填空题（共8小题，5678=⨯分）1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是。
2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如()22212312314f =++=。
记1()()f n f n =，1()(())k k f n f f n +=，1,2,3...k =，则=)2010(2010f。
3、如图，正方体1111D C B A ABCD -中，二面角11A BD A --的度数是 。
4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。
5、若正数cb a ,,满足ba cc a b c b a +-+=+，则ca b +的最大值是 。
6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。
7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=ni ia 01的值是 。
8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x xx xx xx x++++=+++++++在(,)2x o π∈时的最小值为 。
二、解答题（共3题，分44151514=++）9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n )求证：对于任何正整数n ，都有：n nn n a a 111+≥+10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。
（1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ∆的面积为定值；（2）若BOC ∆的面积等于AOD ∆面积的31，求证：||||||CD BC AB ==11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f122+-x tx 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -=（Ⅱ）证明：对于)2,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则643)(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g .二 试（考试时间：150分钟 总分：200分）一、（本题50分）如图，1O 和2O 与ABC 的三边所在的三条直线都相切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的延长线交于P 点。
求证：直线PA 与BC 垂直。
E FAB C GH PO 1。
O 2二、（本题50分）正实数z y x ,,，满足1≥xyz 。
证明：0225252252522525≥++-+++-+++-yx z z z x z y y y z y x x x三、（本题50分）对每个正整数n，定义函数0()[{}n f n n n ⎧⎪=⎨⎪⎩（当为平方数）（当不为平方数）（其中[]x 表示不超过x 的最大整数，])[}{x x x -=。
试求：∑=2401)(k k f 的值。
四、（本题50分）在世界杯足球赛前，F 国的教练员为了考察1234567,,,,,,A A A A A A A 这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且1234,,,A A A A 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，567,,A A A 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除．如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？答案与解析一、填空题 1、453。
y x 42+≥2222x y +=33,24x y ==时取最小值,此时22x y +35。
2、4。
解： 将5)2010(=f 记做52010→，于是有89583716420421458985292552010→→→→→→→→→→→→→从89开始，n f 是周期为8的周期数列。
故4)89()89()89()2010(58250520052010====⨯+f f f f 。
3、60。
解：连结1D C ,作⊥1CE BD ，垂足为E ，延长CE 交1A B 于F ，则1FE BD ⊥，连结AE ，由对称性知1,AE BD FEA ⊥∴∠是二面角11A BD A --的平面角。
连结AC ，设1AB =，则112, 3.AC AD BD ===1Rt ABD ∆在中，1123AB AD AE BD ⋅==，在22222242213cos 42223AE CE AC AE AC AEC AEC AE CE AE -+--∆∠====-⋅中, 0120,AEC FEA AEC ∴∠=∠∠而是的补角，060FEA ∴∠=。
4、40183。
解：三个数成递增等差数列，设为d a d a a 2,,++，按题意必须满足,20102≤+d a1004≤d 。
对于给定的,d a 可以取1,2,,20102d -.CED1C1A1B1ABDF故三数成递增等差数列的个数为 .1004*1005)22010(10041=-∑=d d三数成递增等差数列的概率为 401831004*100532010=C 。
5、4117-。
解：由条件，有cb ab ac c a b +++=+， 令z a c y c b x b a =+=+=+,,； 则2,2,2xz y c z y x b y z x a -+=-+=-+=， 从而原条件可化为：,1411++≥++≥-+++=+yx zy z x z y x z x z y z y x令,t zy x =+则14+≥tt ，解得21712171-≤+≥t t 或，故41172122-≥-=-+=+t z z y x c a b6、1.解：经过,M N 两点的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线3y x =-上，设圆心为(,3)S a a -，则圆S 的方程为：222()(3)2(1)x a y a a -+-+=+对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当MPN ∠取最大值时，经过,,M N P 三点的圆S 必与x 轴相切于点P ，即圆S 的方程中的a 值必须满足222(1)(3),a a +=-解得 1a =或7a =-.即对应的切点分别为(1,0)P 和(7,0)P '-，而过点,,M N P '的圆的半径大于过点,,M N P 的圆的半径，所以'MPN MP N ∠>∠，故点(1,0)P 为所求，所以点P 的横坐标为1.7、)32(312--+n n .解：设1111,0,1,2,...,(3)(6)18,n n n nb n a b b +==-+=则即1111113610.2,2()333n n n n n n b b b b b b +++--=∴=++=+ 故数列1{}3n b +是公比为2的等比数列，11001111112()2()2(21)33333n n n n n n b b b a +++=+=+=⨯∴=-。
()112001112(21)1(21)(1)2333213n nn ni n i i o i i i b n n a +++===⎡⎤-==-=-+=--⎢⎥-⎣⎦∑∑∑。
8、4.解：⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=x x x x x x x x x x x x x f cot sin 1tan cos 1)cot (tan cot cos 1tan sin 1)cos (sin )(⎪⎭⎫⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++≥x x x x x x x x x x x x cot cos tan sin 4)cot (tan cot cos tan sin 4)cos (sin （由调和平均值不等式）4=要使上式等号成立，当且仅当⎩⎨⎧+=++=+)2(sin cot cos tan )1(cot cos tan sin x x x x x x x x （1） －（2）得到x x x x sin cos cos sin -=-， 即得x x cos sin =。
因为)2,0(π∈x ，所以当4π=x 时，4)4()(==πf x f 。
所以4)(min =x f 。
二、解答题 9、证明：令 10=a ,则有 11-++=k k k a a a ，且 ),2,1(1111 =+=+-+k a aa a k k k k 于是∑∑=+-=++=nk k k nk k k a aa a n 11111 由算术-几何平均值不等式，可得011212312311+n n nn n n a a a a a a a a a a a a -++≥⋅⋅⋅⋅注意到110==a a ，可知nn n nn a a a 11111+++≥，即nnnn a a 111+≥+10、解：（1）设直线l ：b kx y +=代入m y x =-22得：02)1(222=----m b bkx x k ，0>∆得：0)1(22>-+k m b ，设),(11y x B ，),(22y x C ，则有22112k bk x x -=+，22211)(km b x x -+-=， 设),(33y x A ，),(44y x D ，易得：kb x -=13，kbx +-=14， 由||||||CD BC AB ==得||31||AD BC =，故||31||4321x x x x -=-，BA CQ PyOC xDBA代入得|12|311)(4)12(22222k b km b k bk -=-++-， 整理得：)1(8922-=k m b ， 又|1|2||k b OA -=，|1|2||kbOD +=，︒=∠90AOD ， ∴229|1|8AODb S m k ∆==-为定值. （2）设BC 中点为P ，AD 中点为Q 则22112k bkx x x p-=+=，24312k bkx x x Q-=+=，所以Q P x x =，P 、Q 重合，从而||||DP AP =，从而||||CD AB =，又BOC ∆的面积等于AOD ∆面积的31，所以||31||AD BC =， 从而||||||CD BC AB ==.11、解：（Ⅰ）设22121122,4410,4410,x x x tx x tx αβ≤<≤--≤--≤则221212121214()4()20,2()02x x t x x x x t x x ∴+-+-≤∴-+-< 则[]211212212122222121()()2222()()11(1)(1)x x t x x x x x t x t f x f x x x x x -+-+---=-=++++又12121212211()22()20()()02t x x x x t x x x x f x f x +-+>+-+>∴-> 故()f x 在区间[],αβ上是增函数。