2017高一数学竞赛试题
数学竞赛试题高一及答案
数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。
答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。
答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。
答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。
证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。
因此，该三角形为直角三角形。
2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。
解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。
2017年高中数学联赛一二试及详解版
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(l o g )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.6.7.9.10.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二、。
2017年全国高中数学联赛陕西赛区试题(一试)解析pdf版
abc （ a ≥1 且 a Z ） abc
f '(a )
bc(a b c) abc b 2 c bc 2 ≥0 (a b c) 2 (a b c) 2
所以 f ( a ) 在 [1, ) 上单调递增 所以 f ( a ) min f (1) 令 g (b)
A、
1 2
B、
1 3
C、
2 2
D、
3 3
【解析】由 AOB 60 ， OA OB b ，得 A
3 1 2 a, 2 a , B (0, a ) ，所以直线 AB 为
y
3 xa 3
3 y xa 3 由 2 2 x y 1 a 2 b2
A
Q
D P Q1 B
C
1 1 1 AC , PP AC , QQ1 AC ， 1 2 2 2
P1 C1 B1
因 为 AC PR, AC PQ, AC QR ， 所 以 RR1 平 面
R D1 A1 R1
PQR ， PP 1 平面 PQR ， QQ1 平面 PQR ，所以三棱柱
4
)4∴Βιβλιοθήκη 4≤
4
≤
5 4
∴
2 ≤ sin( ) ≤ 1 2 4
∴ 4 5 ≤ 10 sin(
4
) 4 ≤ 4 10
∴ B y 4 5 ≤ y ≤ 4 10
∵A 中的元素是 3 的倍数的正整数，而 B 中的元素是 3 的倍数的有 3 和 6 ∴集合 A B 中元素的个数有 2 个 所以选 B 8、设 x ≥ y 0，若存在实数 a, b 满足 0≤ a ≤ x ，0≤ b ≤ y ，且
2017年广西高一数学竞赛“创新杯”决赛试卷(含参考答案)
2017年广西高一“创新杯”决赛试卷参考答案一、选择题（每小题6分，共36分）1．如果1=++cc bb aa ，则abcabc 的值为 ( _★_ )A.1-B. 1C. 1±D. 与c b a ,,的值有关【答案】A解：c c b b a a ，，的取值是1或－1,因为1=++c c b b a a ，所以c c b b a a ，，中有2个1，1个－1.c b a ,,中有两正一负，所以0<abc ，.1-=abcabc2．已知非零实数a b 、满足:2210a ab b a b ++-+=+，则a b +的值等于 ( _★_ )A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】B解：由题设得22211102a b a b ⎡⎤++++-=⎣⎦（）（）（），则0a b =+，10a =+，10b -=，故0a b =+．3．方程 3)2(22=-+x x x 的所有实数根之和为 ( ★ ) A ．1 B.3 C.5 D .7 【答案】C 解：方程22()32x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。
即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。
解得1x =。
经检验1x =是原方程的根。
∴ 原方程所有实数根之和为5。
4．如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC =DB =1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为 ( _★_ ) A.1 B. 2 C. 3 D. 6【答案】B解：设KH 中点为S ，连接PE 、ES 、SF 、PF 、PS ，可证明四边形PESF 为平行四边形，∴G 为PS 的中点,即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所以G 的运行轨迹为△CSD 的中位线,∵CD =AB －AC －BD =6－1－1=4，∴点G 移动的路径长为421⨯=2.5．已知,,x y z 为三个非负实数，且满足325231x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，设37s x y z =+-，则s 的最大值是 ( _★_ ) A ．57-B. 75-C. 111D. 111- 【答案】D 解：由方程组解出73711x z y z=-⎧⎨=-⎩，由,x y 非负实数，可解得37711z ≤≤，∵373(73)711732s x y z z z z z =+-=-+--=-，取711z =代入即可求得，111max -=s6．()f x 是定义在R 上的函数，若0)1(=f ，且对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，)()6(x f x f -+≥6，则=)2017(f ( _★_ )A. 2015B. 2016C. 2017D. 2018 【答案】B解：∵ 对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，∴[][][](6)()(6)(4)(4)(2)(2)()6f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-≤,又)()6(x f x f -+≥6因此，(6)()6f x f x +-=，(6)()6f x f x +=+. ∴ (6)()6f x k f x k +=+，*k N ∈.∴ .20163366)1()33661()2017(=⨯+=⨯+=f f f二、填空题（每小题9分，共54分）7．已知实数x ，y 满足x 2+3x +y －4=0，则x +y 的最大值为 ． 【答案】5解：由x 2+3x +y －4=0得y =－x 2－3x +4，把y 代入x +y 得：x +y =x －x 2－3x +4=－x 2－2x +4=－（x +1）2+5≤5，∴x +y 的最大值为5．8．设a =，且ab = 1，则a 2 + b 2的值为 ．【答案】98解：因25a ===+，及ab = 1知,625)23(23232-=-=+-=b ，故a 2 + b 2 = (a + b )2– 2ab = 100 – 2 = 98．9．若f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12(,则e d c b a +-+-的值是 ．【答案】2解：f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12( ,当x =0时，1=f ，当1-=x 时，1-=+-+-+-f e d c b a ，2-=-+-+-e d c b a2=+-+∴e d c b a -.10．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，5BFFC=． 已知AB = 8，AE = 2．则AD 的长为 ．【答案】231+ 解：联结BE ．由BC 为直径知∠BEC = 90°．故BE == 又由Rt △BFE ∽Rt △EFC ，知225BE BF EF BE BF EC EC EF FC EC FC==⇒==⇒=由割线定理得()AE AE EC AD AB +===11．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：34+=kx y 与x轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB =30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是 ．【答案】6解：∵直线l ：y =kx +与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∴B （0，4），∴OB =在Rt △AOB 中，∠OAB =30°，∴OA OB =×4=12，∵⊙P 与l 相切，设切点为M ，连接PM ，则PM ⊥AB ，∴PM =12P A ，设P （x ，0），∴P A =12﹣x ，∴⊙P 的半径PM =12PA =6－12x ，∵x 为整数，PM 为整数，∴x 可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P 成为整圆的点P 个数是6．12．黑板上写有1001,,31,21,1⋅⋅⋅共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数b a ,，然后删去b a ,，并在黑板上写上数ab b a ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是 ． 【答案】100解：1)1)(1(-++=++b a ab b a ，∵计算结果与顺序无关，∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++.13．（本小题满分20分）已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝13，a 2＋b 2＋c 2＝77，abc ＝48，求cb a 111++的值． 解：因为a ＋b ＋c ＝13，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝169． ……………… 5分 因为a 2＋b 2＋c 2＝77，所以ab ＋bc ＋ca ＝46． ……………… 10分 又因为abc ＝48，所以2423111=++=++abc ca bc ab c b a ． ……………… 20分14．（本小题满分20分）如图，⊙O 的直径AB =2，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ．设AD =x ，BC =y ． （1）求y 关于x 的关系式；（2）求四边形ABCD 的面积S ，并证明：S ≥2.解：（1）过点D 作BC DF ⊥于F ，则DF AB // ∵AB 是直径，AM 、BN 是切线∴AB BN AB AM ⊥⊥, ∴BN AM //∴四边形ABFD 为平行四边形又∵∠ABC =90°，∴四边形ABFD 为矩形.∴2==AB FD ，x AD BF ==∵DE 、DA ，CE 、CB 都是切线 ∴根据切线长定理，得x AD DE ==，y CB CE ==在DFC Rt ∆中，x y BF BC CF y x CE DE DC DF -=-=+=+==,,2∴222)(2)(x y y x -+=+化简，得)0(1>=x xy ……………………………… 10分 （2）)0(,1)(21>+=+=x xx BC AD AB S ABCD,即)0(,1>+=x xx S ……………………………… 15分 ∵2)1(21xx x x -=-+≥0当且仅当1=x 时，等号成立 ∴xx 1+≥2，即S ≥2.……………………………… 20分15．（本小题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥. 当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4. 当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.……… 10分(下面考虑：22324M a ab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+，2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数， 不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1， 故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.……………… 20分。
2017年全国高中数学联赛一试(B卷)答案
成立，求实 成立．由于
解：设 t 2 x ，则 t [2, 4] ，于是
对所有
t a 5 t (t a ) 2 (5 t ) 2 (2t a 5)(5 a ) 0 ． ………………8 分 对给定实数 a ，设 f (t ) (2t a 5)(5 a ) ，则 f (t ) 是关于 t 的一次函数或常 值函数．注意 t [2, 4] ，因此 f (t ) < 0 等价于 f (2) (1 a )(5 a ) 0, ………………12 分 f (4) (3 a )(5 a ) 0, 解得 3 a 5 ． 所以实数 a 的取值范围是 3 a 5 ． ………………16 分 10. （ 本 题 满 分 20 分 ） 设 数 列 {an } 是 等 差 数 列 ， 数 列 {bn } 满 足 2 , n 1, 2, ． bn an1an2 an （1）证明：数列 {bn } 也是等差数列； （2） 设数列 {an } 、 并且存在正整数 s, t ， 使得 as bt {bn } 的公差均是 d 0 ， 是整数，求 a1 的最小值． 解： （1）设等差数列 {an } 的公差是 d ，则 2 2 bn1 bn ( an2an3 an 1 ) ( an1an2 an ) an2 ( an3 an1 ) ( an1 an )( an1 an ) an2 2d ( an1 an ) d
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分， 解答题中第 9 小题 4 分为一个档次， 第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分． 1. 在等比数列 {an } 中， a2 2, a3 3 ，则
2017年全国高中数学联赛新疆赛区预赛高一试题及详解
12017年全国高中数学联赛新疆赛区预赛高一试题详解一．填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分，把答案填在横线上）1.已知函数()f x 是R 上的减函数，且是奇函数.若,m n 满足不等式组()(2)0,(1)0,f m f n f m n +-≤⎧⎨--≤⎩则5m n -的取值范围是 .2.已知1231,2,3x x x ===是满足432()f x x ax bx cx d =++++的三个零点，则(0)(4)f f += .3.已知1a >，则4log 162log a a +的最小值为 .4.在Rt ABC ∆中，60C ∠=.以C 为圆心，BC 为半径的圆交AC 于D 点.连接BD .弧BD 与弦BD 将ABC ∆分为三部分（如图）.则三部分面积之比123::S S S = .5.已知A 从甲地到乙地用了整数个小时，且A 每小时走的公里数与他从甲地到乙地所用时间相同. B 从甲地到乙地每小时走2公里，且每走4公里休息1小时，公用了11小时，则甲乙两地距离为 公里.6.已知在ABC ∆中，tan ,(1tan ,tan A B C +成等差数列，则B ∠的最小值为 .7.已知直线2017ax by +=与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，则这样的直线E 为AB 上一点，1AE =.现将BCE ∆沿CE 折起，使得点B 在平面ABCD 上共有 条.8.已知数列{n a }首项为2，且满足16341n n n S a +=+-，则n S 的最大值为 . 二．解答题（本大题共3小题，其中第1题16分，第2,3小题各20分，共56分）1.(1)对于任意的,0a b >，求证: 1111()4a b a b≤++; (2)设123,,0x x x >,且1231111x x x ++=.求证：12312312313321231213232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++≤+++.2.已知已,,x y z 是正数，且满足2222223,4,7.x y xy y z yz z x zx ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩求x y z ++.（1）求椭圆的方程；3.如图，边长为2的等边三角形ABC ∆中，D 是BC 的中点. ,E F 分别是边,AB AC 上的动点.（1）若120EDF ∠=，求证：AE AF +为定值；（2）若60EDF ∠=，此时AE AF +是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出AE AF +的取值范围.。
2017年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)(含参考答案及评分标准)
答案： 13, 20 ． 解：由条件可知： a1 , a2 , b1 均为正整数，且 由于 ，故 ． ．反复运用 {an } 的递推关系知 ， 因此 而 21a1 a10 b10 512b1 2b1 (mod 34) ， ，故有 ． 另一方面，注意到 ，有 ． 当 当 时，①，②分别化为 时，①，②分别化为 ，此时 当 ． ，得到唯一的正整数 ，无解． ，得到唯一的正整数 ，故 ②
( x1 + 3x2 + 5 x3 )( x1 +
x2 x3 1 5x + ) = ( x1 + 3x2 + 5 x3 )(5 x1 + 2 + x3 ) 3 5 5 3 2 1 1 5x ≤ ⋅ ( x1 + 3x2 + 5 x3 ) + (5 x1 + 2 + x3 ) 5 4 3
1 PP PF 1 1 P 2F 1 2 4 2 PF 1 2 P 2 F2 PP 1 2 4 2 ， ………………15 分 （例如， 当 z1 z2 2 2 i 时，F2 恰是 PP 等号成立当且仅当 F2 位于线段 PP 1 2 上 1 2 的中点） ． 综上可知， z1 2 z2 2 z1 z2 的最小值为 4 2 ． …………20 分
① ② ③
a b a b ab f k m 1 ． 2 2 2
由① ② 2 ③知， a b ( a b) 2 4， =f ( a ) f ( b ) 2 f 2 2 故ba 2 2 ．
2
1 14 ………………10 分 = 6 x1 + x2 + 6 x3 20 3 1 9 2 ≤ ( 6 x1 + 6 x2 + 6 x3 ) = ， 20 5 1 1 9 = x1 = , x2 0, = x3 当 时不等式等号成立，故欲求的最大值为 ． ………20 分 2 2 5 11. （ 本 题 满 分 20 分 ） 设 复 数 z1 , z2 满 足 Re( z1 ) 0, Re( z2 ) 0 ， 且
2017年第10届全国中学数理化竞赛高一数学试题答案(初赛)
二、填空题(每题 8 分，共 48 分) 9 9.－2 解析 函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0 的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0 的解集为 a<0， 1＋2＝－b， {x|1≤x≤2}，所以 b 1×2＝a， 3 a＝－2， 3 9 所以a＋b＝－2－3＝－2. 解得 b＝－3，
y f 0 x 2 的图像，作该图像在 x 轴下方的部分关于 x 轴的对称图形得到图 3，其中 x 轴
上方的部分即是 f 2 x f1 x 2 的图像．易得所求面积为 7．
y
y
y (1,2) 1
(-1,2)
1
o
x
-1
o
1
x
-3
o
-1
3
x
图1
图2
图3
三、解答题（共 70 分） 13.（23 分）
特级教师 王新敞
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1 1 1 1 对于①，f(x)＝x－x ， f ( ) ＝x－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于②， f ( ) ＝ x x
1 1 1 x ,0 x 1, x , x 1, 1 1 1 1 不满足 “倒负” 变换； 对于③， f ( ) ＝ 0, 1, 即 f ( ) ＝ 0, x 1, x ＋x＝f(x)， x x x x,0 x 1 1 x , x 1 1 故 f ( ) ＝－f(x)，满足“倒负”变换．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. x
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2017高一数学竞赛试题
导读：我根据大家的需要整理了一份关于《2017高一数学竞赛试题》的内容，具体内容：在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你!一、选择题：(本大...
在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你!
一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)
1.已知 , 为集合I的非空真子集，且 , 不相等，若，则
( )
A. B. C. D.
2.与直线的斜率相等，且过点(-4,3)的直线方程为 ()
A. = 32
B. =32
C. =32
D. =-32
3. 已知过点和的直线的斜率为1，则实数的值为 ( )
A.1
B.2
C.1或4
D.1或2
4. 已知圆锥的表面积为6 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 ( )
A. B.2 C. D.
5. 在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为 ()
①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直;
②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则∥;
③若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l;
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线;
A.3
B.2
C.1
D.0
6. 已知函数定义域是，则函数的定义域是 ( )
A. B. C. D.
7. 直线在同一坐标系中的图形大致是图中的 ( )
8. 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 ( )
A. B. C. D.
9.设函数，如果，则的取值范围是 ( )
A. 或
B.
C.
D. 或
10.已知函数没有零点，则实数的取值范围是 ()
A. B. C. D.
11.定义在R上的偶函数满足：对任意的，有 .则 ( )
A. B.
C. D.
12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各个面中，直角三角形的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)..
13.已知增函数，且，则的零点的个数为
14. 已知在定义域上是增函数，则的取值范围是
15. 直线恒过定点
16. 高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为
三、解答题(17题10,其余每题12分)
17.已知一个空间组合体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，请说出该组合体由哪些几何体组成，并且求出该组合体的表面积和体积
18.已知偶函数的定义域为 ,且在上是增函数，试比较与的大小。
19. 已知方程 + +6- =0( ).
(1)求该方程表示一条直线的条件;
(2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在?求出这时的直线方程;
(3)已知方程表示的直线在轴上的截距为 -3，求实数的值;
20. 已知函数，判断函数的奇偶性，单调性，并且求出值域
21. 如图，长方体﹣中，，， ,点分别在上， .过点的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(说明画法和理由)
(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.
22. 如图，三棱锥P-A BC中，平面PAC 平面ABC， ABC= ，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//面PBC.
(1)证明：EF// BC.
(2)证明：AB 平面PFE.
(3)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.
答案
一、ACACD,BCBDA,DB
13、1个 14、 15、(-2,3) 16、1
17、解：解：由一个半球和一个圆柱组成的...2分
表面积是： ...6分
体积是： ... 10分
18、解： ...5分
因为函数为偶函数，且在上是增函数，所以在是减函数...8分
所以 ...12分
19、解：解：(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2―2m―3=0，解得m=-1或m=3;
令2m2+m-1=0，解得m=-1或m= .
所以方程表示一条直线的条件是mR，且m-1....4分
(2)由(1)易知，当m= 时，方程表示的直线的斜率不存在，此时的方程为x= ，它表示一条垂直于轴的直线 (8)
(3)依题意，有 =-3，所以3m2-4m-15=0.所以m=3，或m=- ，由(1)知所求m=- ....12分
20、解：函数的定义域是，...2分
因为，所以函数是奇函数。
...4分，设，则
当时，，所以，所以在上是减函数;...8分
当时，，所以，所以在上也是减函数。
由，，所以或 ...12分
21、解：
(Ⅰ)交线围成的正方形EHGF如图：在面ABCD中做HG平行于BC,连接EH,FG且HB=GC=6，则E F平行且等于HG，所以四边形EFGH是平行四边形，EF平行于 ,所以EF垂直面 ,所以EF垂直于EH,且经过计算可知EH=FG=10，所以EFGH是正方形...6分
(Ⅱ)作EMAB,垂足为M，则AM= A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8.
因为EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=10.于是MH= .
因为长方体被平面分为两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为 ( 也正确)...12分
22、(1)证明： EF//面PBC.EF 面ABC, 面PBC 面ABC=BC,
所以根据线面平行的性质可知EF// BC. ...4分
(2)由DE=EC,PD=PC可知：E为等腰 PDC中D C边的中点，
故PE AC,又平面PAC 平面ABC，
平面PAC 面ABC=AC,PE 平面PAC, PE AC,
所以PE 平面ABC，
所以PE AB,因为 ABC= ，EF// BC.所以AB EF
所以AB 面PEF...8分
(3)设BC= ，在直角三角形ABC中，AB= ，，EF// BC知 AFE相似于 ABC，所以
由AD= AE, ，
从而四边形DFBC的面积为，
由(2)可知PE是四棱锥P-DFBC的高，PE= ，
所以V=所以，所以或者，
所以BC=3或BC= ...12分。