高中数学 第一章导数的计算 第2课时 导数的运算法则学案 新人教A版选修2-2

-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------ 金戈铁制卷 第2课时 导数的运算法则 学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．

知识点一 和、差的导数 已知f(x)＝x，g(x)＝1x.Q(x)＝f(x)＋g(x)，H(x)＝f(x)－g(x) 思考1 f(x)，g(x)的导数分别是什么？ 答案 f′(x)＝1，g′(x)＝－1x2. 思考2 试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数．并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系． 答案 ∵Δy＝(x＋Δx)＋1x＋Δx－x＋1x

＝Δx＋－Δxxx＋Δx， ∴ΔyΔx＝1－1xx＋Δx. ∴Q′(x)＝limΔx→0 ΔyΔx ＝limΔx→0 1－1xx＋Δx＝1－1x2. 同理，H′(x)＝1＋1x2. Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和．H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差．

梳理 和、差的导数 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． 知识点二 积、商的导数 (1)积的导数 ①[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． ②[cf(x)]′＝cf′(x)． (2)商的导数

fx

gx

′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)． -------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------ 金戈铁制卷 (3)注意[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)， fx

gx

′≠f′xg′x.

1．若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.( × ) 2．函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．( √ )

3．当g(x)≠0时，1gx′＝－g′xg2x.( √ )

类型一 利用导数的运算法则求导 例1 求下列函数的导数． (1)y＝3x2＋xcos x；

(2)y＝lg x－1x2； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x；

(5)y＝exx＋1. 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 解 (1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′ ＝6x＋cos x－xsin x.

(2)y′＝(lg x)′－(x－2)′＝1xln 10＋2x3. (3)y′＝(x2＋3)′(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋ln x)′ ＝2x(ex＋ln x)＋(x2＋3)ex＋1x

＝ex(x2＋2x＋3)＋2xln x＋x＋3x. (4)因为y＝x2＋sin xcos x， 所以y′＝(x2)′＋sin xcos x′ ＝2x＋cos2x－sin x－sin xcos2x -------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------ 金戈铁制卷 ＝2x＋1cos2x. (5)y′＝ex′x＋1－x＋1′exx＋12 ＝exx＋1－exx＋12 ＝xexx＋12. 反思与感悟 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 跟踪训练1 求下列函数的导数．

(1)y＝2x3－3x＋x＋1xx；

(2)y＝x2＋1x2＋3； (3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)． 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则

解 (1)∵y＝232x－312x＋x－1＋32x， ∴y′＝312x＋3232x－x－2－3252x. (2)方法一 y′＝x2＋1′x2＋3－x2＋1x2＋3′x2＋32 ＝2xx2＋3－2xx2＋1x2＋32＝4xx2＋32. 方法二 ∵y＝x2＋1x2＋3＝x2＋3－2x2＋3＝1－2x2＋3， ∴y′＝1－2x2＋3′＝－2x2＋3′ ＝－2′x2＋3－－2x2＋3′x2＋32 ＝4xx2＋32. (3)方法一 y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23. 方法二 ∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5) -------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------ 金戈铁制卷 ＝x3＋9x2＋23x＋15， ∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23. 类型二 导数公式及运算法则的综合应用

命题角度1 利用导数求函数解析式

例2 (1)已知函数f(x)＝ln xx＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系； (2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用

解 (1)由题意得f′(x)＝1－ln xx2＋2f′(1)，

令x＝1，得f′(1)＝1－ln 11＋2f′(1)，即f′(1)＝－1. ∴f(x)＝ln xx－2x. ∴f(e)＝ln ee－2e＝1e－2e，f(1)＝－2， 由f(e)－f(1)＝1e－2e＋2<0，得f(e)(2)由已知得f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′ ＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′ ＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′ ＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x ＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x. 又∵f′(x)＝xcos x，

∴ a－d－cx＝0，ax＋b＋c＝x，即 a－d＝0，－c＝0，a＝1，b＋c＝0， 解得a＝d＝1，b＝c＝0. 反思与感悟 (1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常数． (2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值． 完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则．

跟踪训练2 函数f(x)＝x2x－1＋2f′(1)x，则f′(0)＝________. 考点 导数的运算法则 -------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------ 金戈铁制卷 题点 导数运算法则的综合应用 答案 1

解析 对f(x)求导，得f′(x)＝2x－1－2x2x－12＋2f′(1)＝－12x－12＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝1，∴f′(0)＝1. 命题角度2 与切线有关的问题 例3 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数为f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程． 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 解 (1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f′(x)＝2ax＋b， 又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8， 所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7. 又g(0)＝3， 所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)， 即7x＋y－3＝0. 反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．

跟踪训练3 (1)设曲线y＝2－cos xsin x在点π2，2处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________. (2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．

考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 (1)1 (2)4

解析 (1)∵y′＝sin2x－2－cos xcos xsin2x＝1－2cos xsin2x，