1.2.2导数运算公式与法则 导学案(教师版)

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) 内容要求 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.知识点1 导数运算法则 法则语言叙述 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝ f ′（x ）g （x ）－f （x ）·g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方思考 若f (x )＝x 2·sin x ，则f ′(x )＝(x 2)′·(sin x )′＝2x ·cos x 是否正确？ 提示 不正确.f ′(x )＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′＝2x ·sin x ＋x 2·cos x .知识点2 复合函数的求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x )) 复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积 【预习评价】思考 复合函数y ＝f (g (x ))，用中间变量y ＝f (u )，u ＝g (x )代换后求导的顺序是什么？ 提示 根据复合函数的求导法则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，求导的顺序是从外向内逐层求导．题型一利用导数的运算法则求函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝(x2＋1)(x－1)；(2)y＝3x－lg x.解(1)方法一y′＝(x2＋1)′(x－1)＋(x2＋1)(x－1)′＝2x(x－1)＋x2＋1＝3x2－2x＋1.方法二∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′＝3x2－2x＋1.(2)(3x－lg x)′＝(3x)′－(lg x)′＝3x ln 3－1x ln 10.规律方法本题是基本初等函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数.【训练1】求下列函数的导数：(1)y＝x3－x2－x＋3；(2)y＝2x2＋3x3；(3)y＝1－sin x1＋cos x；(4)y＝1＋x1－x＋1－x1＋x.解(1)y′＝(x3－x2－x＋3)′＝(x3)′－(x2)′－x′＋3′＝3x2－2x－1.(2)方法一因为y＝2x－2＋3x－3，所以y′＝(2x－2＋3x－3)′＝(2x－2)′＋(3x－3)′＝－4x －3－9x －4＝－4x 3－9x 4.方法二 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋3x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 3′ ＝2′·x 2－2·（x 2）′x 4＋3′·x 3－3·（x 3）′x 6＝－4x 3－9x 4.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－sin x 1＋cos x ′ ＝（1－sin x ）′（1＋cos x ）－（1－sin x ）（1＋cos x ）′（1＋cos x ）2 ＝－cos x －cos 2x ＋sin x －sin 2x （1＋cos x ）2 ＝－1－cos x ＋sin x （1＋cos x ）2. (4)因为y ＝1＋x1－x ＋1－x 1＋x ＝（1＋x ）21－x ＋（1－x ）21－x＝2（1＋x ）1－x ＝41－x－2， 所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝4′（1－x ）－4（1－x ）′（1－x ）2＝4（1－x ）2. 题型二 导数的应用【例2】 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程.解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0).①∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0，②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式，得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0).解得x0＝1或x0＝－12.∴P点坐标为(1，－1)或(－12，78)，故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y－78＝－54(x＋12)，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.规律方法(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解.【训练2】若函数f(x)＝e xx在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，求c的值.解因为f(x)＝e xx，所以f(c)＝e cc，又因为f′(x)＝e x·x－e xx2＝e x（x－1）x2，所以f′(c)＝e c（c－1）c2.依题意，知f(c)＋f′(c)＝0，所以e cc ＋e c（c－1）c2＝0，所以2c－1＝0，解得c＝12.课堂达标1.函数y＝(x＋1)(x－1)的导数等于()A.1B.－12xC.12x D.－14x解析 因为y ＝(x ＋1)(x －1)＝x －1，所以y ′＝x ′－1′＝1.答案 A2.函数y ＝cos x 1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x （1－x ）2B.x sin x －sin x －cos x （1－x ）2C.cos x －sin x ＋x sin x （1－x ）2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x 解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝（－sin x ）（1－x ）－cos x ·（－1）（1－x ）2＝cos x －sin x ＋x sin x （1－x ）2. 答案 C3.曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A.y ＝2x ＋1B.y ＝2x －1C.y ＝－2x －3D.y ＝－2x ＋2 解析 ∵y ′＝x ′（x ＋2）－x （x ＋2）′（x ＋2）2＝2（x ＋2）2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2（－1＋2）2＝2， ∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.答案 A4.直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.解析 设切点为(x 0，y 0)，(x 0＞0)，∵ y ′＝1x ，∴12＝1x 0， ∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ，∴b ＝ln 2－1. 答案 ln 2－15.曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________.解析 y ′＝e x ＋x e x ＋2，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＋0＋2＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －0)，即3x －y ＋1＝0.答案 3x －y ＋1＝0课堂小结求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.基础过关1.曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为( )A.π6B.3π4C.π4D.π3解析 因为f ′(x )＝x 2－2x ，k ＝f ′(1)＝－1，所以在x ＝1处的切线的倾斜角为3π4.答案 B2.函数y ＝x 2x ＋3的导数是( ) A.x 2＋6x （x ＋3）2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x （x ＋3）2D.3x 2＋6x （x ＋3）2 解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝（x 2）′（x ＋3）－x 2（x ＋3）′（x ＋3）2 ＝2x （x ＋3）－x 2（x ＋3）2＝x 2＋6x （x ＋3）2.答案 A3.已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A.－1B.－2C.2D.0解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，因为f ′(1)＝2，所以4a ＋2b ＝2，所以f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2.答案 B4.已知f (x )＝x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝________. 解析 因为f ′(x )＝2x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13， 解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝23. 答案 235．已知曲线y ＝e －x ：①若曲线在点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则P 点坐标是________； ②若曲线在点P 处的切线垂直于直线e x －y ＋1＝0，则P 点坐标是________． 解析 ①设点P (x 0，y 0)，因为y ′＝－e －x ，所以曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝－e －x 0，又因为切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x 0＝－2，解得x 0＝－ln 2，代入y ＝e －x 得y 0＝2，所以点P (－ln 2，2)．②设点P (x 0，y 0)，则y ′＝－e －x ，又曲线在点P 处的切线垂直于直线e x －y ＋1＝0，所以－e －x 0＝－1e，解得x 0＝1， 此时y 0＝1e ，即P ⎝⎛⎭⎫1，1e .答案 ①(－ln 2，2) ②⎝⎛⎭⎫1，1e 6.求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)；(2)y ＝ln(2x ＋1)；(3)y ＝x －sin x 2cos x 2.解 (1)方法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.方法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3，∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)y ′＝12x ＋1·(2x ＋1)′＝22x ＋1. (3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x . 7.已知抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7经过点(1，1)，且在点(1，1)处的切线方程为4x －y －3＝0，求a ，b 的值.解 由抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7经过点(1，1)，得1＝a ＋b －7，即a ＋b －8＝0.因为f ′(x )＝2ax ＋b ，且抛物线在点(1，1)处的切线方程为4x －y －3＝0，所以f ′(1)＝4，即2a ＋b －4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，2a ＋b －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝12.能力提升8.已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时P 点的坐标为( )A.(－2，－8)B.(－1，－1)或(1，1)C.(2，8)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1，1).答案 B9.曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A.－12B.12C.－22D.22 解析 y ′＝cos x （sin x ＋cos x ）－sin x （cos x －sin x ）（sin x ＋cos x ）2＝1（sin x ＋cos x ）2， 故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12. 答案 B10.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________.解析 y ′＝－4e x （e x ＋1）2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1， 设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2. ∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1，0)，α∈[3π4，π). 答案 [3π4，π)11.设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝____________. 解析 令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2.答案 212.设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R ，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程.解 因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又因为f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b .又因为f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.所以f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2a ＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0. 创新突破13.设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.解 (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3， 故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0). 令x ＝0得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0). 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。